【新部编版】2019-2020高考数学三轮冲刺 专题 收集数据练习(含解析)
广东省2019-2020届高考数学三轮复习冲刺模拟试题(17) 含答案
高考数学三轮复习冲刺模拟试题17常用逻辑用语一、选择题1 ．已知命题p ：关于x 的函数221f (x )x ax =+-在[3，+∞)上是增函数；命题q ：关于x的方程x 2-a x +4=0有实数根。
若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．(-12，4)(4，+∞) B ．(-12，4][4，+∞) C ．(-∞，-12)(-4，4) D ．[-12，+∞)2 ．下列命题中是假命题的是（ ）A ．都不是偶函数B ．有零点C ．D ．上递减3 ． “lg ,lg ,lg x y z 成等差数列”是“2y xz =”成立的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4 ．如果命题“p 且q”是假命题,“￢p”也是假命题,则 （ ）A ．命题“￢p 或q”是假命题B ．命题“p 或q”是假命题C ．命题“￢p 且q”是真命题D ．命题“p 且￢q”是真命题5 ．已知条件2|1:|>+x p ,条件a x q >|:|,且p ⌝是q ⌝的必要不充分条件,则实数a 的取值范围是（ ）A ．10≤≤aB ．31≤≤aC ．1≤aD ．3≥a6 ． “0ϕ=”是“函数()sin()f x x ϕ=+为奇函数”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7 ．设a ，b ∈R ，那么“>1ab”是“>>0a b ”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8 ．下列命题中是假命题的是（ ）A ．(0,),>2x x sin x π∀∈B ．000,+=2x R sin x cos x ∃∈C ． ,3>0xx R ∀∈D ．00,=0x R lg x ∃∈9 ．有关下列命题的说法正确的是（ ）A ．命题“若x 2=1,则x=1”的否命题为:若“x 2=1则x ≠1” B ．“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件C ．命题“∃x ∈R,使得x 2+x+1<0”的否定是:“∀x ∈R,均有x 2+x+1<0” D ．命题“若x=y,则sinx=siny ”的逆否命题为真命题10．下列有关命题的叙述，错误的个数为①若p ∨q 为真命题，则p ∧q 为真命题。
(高考冲刺押题)2019高考数学三轮基础技能闯关夺分必备命题及逻辑联结词(含解析).doc
(高考冲刺押题)2019高考数学三轮基础技能闯关夺分必备命题及逻辑联结词（含解析）1. 了解命题的逆命题，否命题与逆否命题的意义；会分析四种命题的相互关系、2. 了解逻辑联结词“或”，“且”，“非”的含义；能用“或”，“且”，“非”表述相关的数学内容、3. 理解全称量词与存在量词的意义；能用全称量词与存在量词表达简单的数学内容、理解对含有一个量词的命题的否定的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定、【基础练习】1.以下语句中：①230x -=；②你是高三的学生吗？③315+=；④536x ->、其中，不是命题的有____①②④_____、2.一般地假设用p 和q 分别表示原命题的条件和结论，那么它的逆命题可表示为假设q 那么p ，否命题可表示为p q ⌝⌝若则，逆否命题可表示为q p ⌝⌝若则；原命题与逆否命题互为逆否命题，否命题与逆命题互为逆否命题、3.有以下命题：①对角线不垂直的平行四边形不是菱形；②0+=，那么0xy =”的逆命题；③“假设0x ≠，那么20x >”的否命题；④“假设方程20ax bx c ++=有两个不相等的实根，那么0ac <”的逆否命题、其中真命题的序号有____①③____、4.有以下命题：①2,2340x R x x ∀∈-+>；②{1,0,1},210x x ∀∈-+>；③2,x N x x ∃∈≤使；④*,29x N x ∃∈使为的约数、其中真命题的序号有___①③④___、5.对原命题及其逆命题，否命题，逆否命题这四个命题而言，假命题的个数是____0或2或4___、6.命题“假设0ab =，那么a ，b 至少有一个为零”的逆否命题是、 【范例解析】例1. 写出以下命题的逆命题，否命题，逆否命题并判断真假.（1） 平行四边形的对边相等；（2） 菱形的对角线互相垂直平分；（3） 设,,,a b c d R ∈，假设,a b c d ==，那么a c b d +=+.分析：先将原命题改为“假设p 那么q ”，在写出其它三种命题.解：〔1〕原命题：假设一个四边形是平行四边形，那么其两组对边相等；真命题；逆命题：假设一个四边形的两组对边相等，那么这个四边形是平行四边形；真命题；否命题：假设一个四边形不是平行四边形，那么其两组对边至少一组不相等；真命题；逆否命题：假设一个四边形的两组对边至少一组不相等，那么这个四边形不是平行四边形；真命题.〔2〕原命题：假设一个四边形是菱形，那么其对角线互相垂直平分；真命题；逆命题：假设一个四边形的对角线互相垂直平分，那么这个四边形是菱形；真命题；否命题：假设一个四边形不是菱形，那么其对角线不垂直或不平分；真命题；逆否命题：假设一个四边形的对角线不垂直或不平分，那么这个四边形不是菱形；真命题. 〔3〕原命题：设,,,a b c d R ∈，假设,a b c d ==，那么a c b d +=+；真命题；若0a ≠且0b ≠，则0ab ≠逆命题：设,,,a b c d R ∈，假设a c b d +=+，那么,a b c d ==；假命题；否命题：设,,,a b c d R ∈，假设a b ≠或c d ≠，那么a c b d +≠+；假命题；逆否命题：设,,,a b c d R ∈，假设a c b d +≠+，那么a b ≠或c d ≠；真命题. 点评：原命题写出其它的三种命题首先应把命题写成“假设p 那么q ”的形式，找出其条件p 和结论q ，再根据四种命题的定义写出其它命题；对于含大前提的命题，在改写命题时大前提不要动；在写命题p 的否定即p ⌝时，要注意对p 中的关键词的否定，如“且”的否定为“或”，“或”的否定为“且”，“都是”的否定为“不都是”等.例2.写出由以下各组命题构成的“p 或q ”，“p 且q ”，“非p ”形式的命题，并判断真假.〔1〕p ：2是4的约数，q ：2是6的约数；〔2〕p ：矩形的对角线相等，q ：矩形的对角线互相平分；〔3〕p ：方程210x x -+=的两实根的符号相同，q ：方程210x x -+=的两实根的绝对值相等.分析：先写出三种形式命题，根据真值表判断真假.解：〔1〕p 或q ：2是4的约数或2是6的约数，真命题； p 且q ：2是4的约数且2是6的约数，真命题；非p ：2不是4的约数，假命题.〔2〕p 或q ：矩形的对角线相等或互相平分，真命题；p 且q ：矩形的对角线相等且互相平分，真命题；非p ：矩形的对角线不相等，假命题.〔3〕p 或q ：方程210x x -+=的两实根的符号相同或绝对值相等，假命题； p 且q ：方程210x x -+=的两实根的符号相同且绝对值相等，假命题；非p ：方程210x x -+=的两实根的符号不同，真命题.点评：判断含有逻辑联结词“或”，“且”，“非”的命题的真假，先要把结构弄清楚，确定命题构成的形式以及构成它们的命题p ，q 的真假然后根据真值表判断构成新命题的真假.例3.写出以下命题的否定，并判断真假.〔1〕p ：所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；〔2〕p ：每一个非负数的平方都是正数；〔3〕p ：存在一个三角形，它的内角和大于180°；〔4〕p ：有的四边形没有外接圆；〔5〕p ：某些梯形的对角线互相平分.分析：全称命题“,()x M p x ∀∈”的否定是“,()x M p x ∃∈⌝”，特称命题“,()x M p x ∃∈”的否定是“,()x M p x ∀∈⌝”.解：〔1〕p ⌝：存在末位数字是0或5的整数，但它不能被5整除，假命题；〔2〕p ⌝：存在一个非负数的平方不是正数，真命题；〔3〕p ⌝：任意一个三角形，它的内角和都不大于180°，真命题；〔4〕p ⌝：所有四边形都有外接圆，假命题；〔5〕p ⌝：任一梯形的对角线都不互相平分，真命题.点评：一些常用正面表达的词语及它的否定词语列表如下：正面词语等于 大于 小于 是 都是 否定词语 不等于 不大于 不小于 不是 不都是 正面词语 至多有一个 至少有一个 任意的 所有的… 否定词语 至少有两个 一个也没有 某个 某些…例4.0c >且1c ≠，设:p 函数(21)x y c c =-⋅在R 上为减函数，:q 不等式2(2)1x x c +->的解集为R .假设“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求实数c 的取值范围.分析：由p ，q 为真求出c 的取值范围，结合“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题得出p ，q 一真一假，从而得出c 的取值范围.解：当p 为真时，函数(21)x y c c =-⋅在R 上为减函数，210,1,c c -<⎧∴⎨>⎩或210,0 1.c c ->⎧⎨<<⎩得11.2c <<当q 为真时，不等式2(2)1x x c +->的解集为R ，即x R ∈时，22(41)(41)0x c x c --+->恒成立.22(41)4(41)0c c ∴=--⋅-<，得58c >.“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，∴当p 为真q 为假时，11,25.8c c ⎧<<⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩解得1528c <≤.当p 为假q 为真时，101,25.8c c c ⎧<≤>⎪⎪⎨⎪>⎪⎩或解得1c >.综上所述，实数c 的取值范围是15(,](1,)28⋃+∞.点评：由条件分析得到p ，q 一真一假，学生多会先写命题的假命题，再求c 的取值范围，这样会增加计算量，而且容易出错.【反馈演练】1、命题“假设a M ∈，那么b M ∉”的逆否命题是__________________. 若b M ∈，则a M ∉2、命题p ：1sin ,≤∈∀x R x ，那么:p ⌝,sin 1x R x ∃∈>.3、假设命题m 的否命题n ，命题n 的逆命题p ，那么p 是m 的____逆否命题____.4、以下四个命题：①“假设1xy =，那么,x y 互为倒数”的逆命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“假设1m ≤，那么方程220x x m -+=有实根”的逆否命题；④“假设A B B ⋂=，那么A B ⊆”的逆否命题、 其中真命题的是____①②③____.5、全集U R =，A U ⊆，假设命题p A B ⋃，那么p ⌝：6、命题“假设b a >，那么122->b a ”的否命题为________________________、 8、命题:p 方程210x mx ++=有两个不相等的实根，命题:q 方程244(2)10x m x +-+=无实根，假设p q ∨为真，p q ∧为假，那么实数m 的取值范围_________、10、分别写出以下命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假、 〔1〕设,a b R ∈，假设0ab =，那么0a =或0b =； 〔2〕设,a b R ∈，假设0,0a b >>，那么0ab >、解：〔1〕逆命题：设,a b R ∈，假设0a =或0b =，那么0ab =；真命题；否命题：设,a b R ∈，假设0ab ≠，那么0a ≠且0b ≠；真命题；逆否命题：设,a b R ∈，假设0a ≠且0b ≠，那么0ab ≠；真命题；〔2〕逆命题：设,a b R ∈，假设0ab >，那么0,0a b >>；假命题；否命题：设,a b R ∈，假设0a ≤或0b ≤，那么0ab ≤；假命题；逆否命题：设,a b R ∈，假设0ab ≤，那么0a ≤或0b ≤；真命题、11、设命题p ：函数3()()2x f x a =-是R 上的减函数，命题q ：2()43f x x x =-+在[0,]a 上的值域为[1,3]-，假设“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求实数a 的取值范围、 解：由3012a <-<得3522a <<， 又22()43(2)1f x x x x =-+=--，在[0,]a 上的值域为[1,3]-，得24a ≤≤、 又“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，∴当p 为真q 为假时，解得322a <<. 当p 为假q 为真时，解得542a ≤≤. 综上所述，a 的取值范围为35(,2)[,4]22⋃. 12、命题()r x ：x R ∀∈，都有sin x m >，命题()s x ：x R ∃∈，210x mx ++=.假设()r x 为假命题且()s x 为真命题，求实数m 的取值范围.若a b ≤，则221a b ≤- (,2)(1,2][3,)-∞-⋃⋃+∞解：当()r x 为真命题时，那么1m <-，故()r x 为假命题时，得1m ≥-. 当()s x 为真命题时，0∆≥即240m -≥，那么2m ≤-或2m ≥. 综上，可知[1,2][2,)m ∈--⋃+∞.。
2020年高考三轮冲刺卷理数答案
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次不等式恒成立问题!体现了逻辑推理的核心素养! - 试题解析由约束条件作出可行域 如 图 中 阴 影 部 分 所
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2020届高考数学三轮复习冲刺模拟试题Word版含答案(2)
高考数学三轮复习冲刺模拟试题02函数01一、选择题1 ．已知函数12x f (x )x ,g(x )x ,h(x )x ln x =-=+=+的零点分别为x 1，x 2，x 3，则 （ ）A ．x 1<x 2<x 3B ．x 2<x 1<x 3C ．x 3<x 1<x 2D ．x 2<x 3<x 12 ．己知函数1f (x )+是偶函数，当1x (,)∈-∞时，函数f (x )单调递减，设1122a f (),b f (),c f ()=-=-=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c<a<bB ．a<b<cC ．a<c<bD ．c<b<a3 ．试题）定义在R 上的函数满足，当时，，则（ ）（ ）A ．B ．C ．D ．4 ．已知函数的图象如图所示则函数的图象是（ ）5 ．函数的定义域为（ ）（ ）A ．B ．C ．D ．6 ．设函数1()ln (0)3f x x x x =->,则函数()f x（ ）A ．在区间(0,1)(1,)+∞， 内均有零点B ．在区间(0,1)(1,)+∞， 内均无零点C ．在区间(0,1)内有零点,在区间(1,)+∞内无零点D ．在区间(0,1)内无零点,在区间(1,)+∞内有零点7 ．定义在R 上的奇函数f(x),当x≥0时,f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈∈+）,1[3-x -1)1,0[x ），1x （log 21x ,则关于x 的函数F(x)=f(x)-a(0<a<1)的所有零点之和为 （ ）A ．2a -1B ．1-2aC ．2-a -1D ．1-2-a8 ．设)(x f 是定义在R 上的周期函数,周期为4=T ,对R x ∈都有)()(x f x f =-,且当]0,2[-∈x 时,121)(-⎪⎭⎫⎝⎛=xx f ,若在区间]6,2(-内关于x 的方程)2(log )(+-x x f a =0)1(>a 恰有3个不同的实根,则a 的取值范围是 （ ）A ．(1,2)B ．),2(+∞C ．()4,1D ．()32,49 ．已知函数()=ln f x x ，则函数()=()'()g x f x f x -的零点所在的区间是（ ）A ．（0,1）B ．（1,2）C ．（2,3）D ．（3,4）10．定义域为R 的函数()f x 满足(+2)=2()f x f x ，当x ∈[0，2)时，2|x-1.5|-,[0,1)()=-(0.5),[1,2)x x x f x x ⎧∈⎨∈⎩若[-4,-2]x ∈时，1()-42t f x t ≥恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）A ．[-2，0)(0，l)B ．[-2，0)[l ，+∞)C ．[-2，l]D ．(-∞，-2](0，l]11．在下列区间中，函数()=+43xf x e x -的零点所在的区间为（ ）A ．（1-4，0） B ．（0，14） C ．（14，12） D ．（12，34） 12．定义在R 上的偶函数f(x),当x ∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是（ ） A ．f(π)>f(-3)>f(-2) B ．f(π)>f(-2)>f(-3)C ．f(π)<f(-3)<f(-2)D ．f(π)<f(-2)<f(-3)13．偶函数f （x ）满足(1)(1)f x f x +=-，且在x ∈[0，1]时，f （x ）=x 2，则关于x 的方程f （x ）=x⎪⎭⎫⎝⎛101在10[0,]3上根的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．5个14．设5log 4a =, 25(log 3)b =,4log 5c =，则（ ）A ．a<c<bB ．b<c<aC ．a<b<cD ．b a c <<15．设函数1(1)|-1|)=1(=1)x x f x x ⎧≠⎪⎨⎪⎩（，若关于x 的方程2[()]+()+c=0f x bf x 有三个不同的实数根123,,x x x ，则222123++x x x 等于（ ）A ．13B ．5C ．223c +2cD ．222b +2b16．函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则（ ）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 是奇函数C ．()(2)f x f x =+D ．(3)f x +是奇函数17．给定函数①12=y x-，②23+3=2xx y -，③12=log |1-|y x ，④=sin2xy π，其中在(0,1)上单调递减的个数为 （ ） A ．0B ．1 个C ．2个 D ．3个18．已知定义在区间[0,2]上的函数=()y f x 的图象如图所示，则=(2-)y f x 的图象为19．已知函数()()2531m f x m m x --=--是幂函数且是()0,+∞上的增函数，则m 的值为（ ）A ．2B ．－1C ．－1或2D ．020．已知函数2342013()12342013xx x x f x x =+-+-++,2342013()12342013x x x x g x x =-+-+--,设函数()(3)(4)F x f x g x =+⋅-,且函数()F x 的零点均在区间),,](,[Z ∈<b a b a b a 内,则-b a 的最小值为 （ ）A ．8B ．9C ．10D ．1121．函数21(0)()(1)(0)x x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩若方程()f x x a =+有且只有两个不等的实数根,则实数a 的取值范围为 （ ）A ．(-∞,0)B ．[0,1)C ．(-∞,1)D ．[0,+∞)22．函数x x x f 2log 12)(+-=的零点所在的一个区间是（ ）A ．⎪⎭⎫⎝⎛41,81 B ．⎪⎭⎫⎝⎛21,41 C ．⎪⎭⎫⎝⎛1,21 D ．)2,1(23．若直角坐标平面内的两点P 、Q 满足条件：①P 、Q 都在函数)(x f y =的图像上；②P 、Q关于原点对称，则称点对[P ,Q]是函数)(x f y =的一对“友好点对”（注：点对[P ,Q]与[Q,P]看作同一对“友好点对”）.已知函数⎩⎨⎧≤-->=)0(4)0(log )(22x x x x x x f ，则此函数的“友好点对”有（ ）A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对参考答案一、选择题 1. D 2. A3. 【答案】D【解析】由题意可知，函数的图象关于y 轴对称，且周期为2，故可画出它的大致图象，如图所示：∵且,而函数在是减函数， ∴，选D.4. 【答案】A【解析】由函数的两个根为.x a x b ==，图象可知01,1a b <<<-。
2019届(江苏)高考数学(文)三轮冲关专题训练：解答题押题练B组(含答案解析)
解答题押题练B 组1．设向量a ＝(2，sin θ)，b ＝(1，cos θ)，θ为锐角．(1)若a·b＝136，求sin θ＋cos θ的值；(2)若a ∥b ，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3的值． 解 (1)因为a·b＝2＋sin θcos θ＝136， 所以sin θcos θ＝16.(2分)所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝43.又因为θ为锐角，所以sin θ＋cos θ＝233.(5分) (2)法一 因为a ∥b ，所以tan θ＝2.(7分)所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θtan 2θ＋1＝45，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θsin 2θ＋cos 2θ＝1－tan 2θtan 2θ＋1＝－35.(11分) 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝12sin 2θ＋32cos 2θ＝12×45＋32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝4－3310.(14分)法二 因为a ∥b ，所以tan θ＝2.(7分) 所以sin θ＝255，cos θ＝55.因此sin 2θ＝2sin θcos θ＝45，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝－35.(11分)所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝12sin 2θ＋32cos 2θ ＝12×45＋32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝4－3310.(14分)2．如图，在四棱锥P ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，PC ⊥AD ，底面ABCD 为梯形，AB∥DC ，AB ⊥BC ，PA ＝AB ＝BC ，点E 在棱PB 上，且PE ＝2EB.(1)求证：平面PAB ⊥平面PCB ； (2)求证：PD ∥平面EAC.解 (1)∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA ⊥BC ，又AB ⊥BC ，PA∩AB ＝A ，∴BC ⊥平面PAB.(3分) 又BC ⊂平面PCB ，∴平面PAB ⊥平面PCB.(6分)(2)∵PA ⊥底面ABCD ，又AD ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥AD.又∵PC ⊥AD ，又PC∩PA＝P ，∴AD ⊥平面PAC ，又AC ⊂平面PAC ， ∴AC ⊥AD.在梯形ABCD 中，由AB ⊥BC ，AB ＝BC ，得∠BAC ＝π4， ∴∠DCA ＝∠BAC ＝π4.又AC ⊥AD ，故△DAC 为等腰直角三角形．(4分)∴DC ＝2AC ＝2(2AB)＝2AB.连接BD ，交AC 于点M ，则DM MB ＝DCAB ＝2.在△BPD 中，PE EB ＝DMMB ＝2，∴PD ∥EM又PD ⊄平面EAC ，EM ⊂平面EAC ， ∴PD ∥平面EAC.(14分)3．某商场对A 品牌的商品进行了市场调查，预计2019年从1月起前x 个月顾客对A 品牌的商品的需求总量P(x)件与月份x 的近似关系是：P(x)＝12x(x ＋1)(41－2x)(x≤12且x ∈N *)(1)写出第x 月的需求量f(x)的表达式； (2)若第x 月的销售量g(x)＝ ⎩⎪⎨⎪⎧－21x ，1≤x＜7且x ∈N *，x 2e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－10x ＋96，7≤x≤12且x ∈N *(单位：件)，每件利润q(x)元与月份x 的近似关系为：q(x)＝10e xx ，问：该商场销售A 品牌商品，预计第几月的月利润达到最大值？月利润最大值是多少？(e 6≈403) 解 (1)当x ＝1时，f(1)＝P(1)＝39. 当x≥2时，f(x)＝P(x)－P(x －1)＝12x(x ＋1)(41－2x)－12(x －1)x(43－2x)＝3x(14－x)．∴f(x)＝－3x 2＋42x(x≤12，x ∈N *)．(5分) (2)设月利润为h(x)， h(x)＝q(x)·g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧30e x－，1≤x≤7，x ∈N *，103x 3－100x 2＋960x ，7≤x≤12，x ∈N *，h′(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧30ex－，1≤x＜7，x ∈N *，－－，7≤x≤12，x ∈N *，(9分)∵当1≤x≤6时，h′(x)≥0， 当6＜x ＜7时，h′(x)＜0，∴当1≤x＜7且x ∈N *时，h(x)max ＝30e 6≈12 090，(11分) ∵当7≤x≤8时，h′(x)≥0，当8≤x≤12时，h′(x)≤0， ∴当7≤x≤12且x ∈N *时，h(x)max ＝h(8)≈2 987.综上，预计该商场第6个月的月利润达到最大，最大月利润约为12 090元．(14分)4．如图，椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)的上，下两个顶点为A ，B ，直线l ：y ＝－2，点P 是椭圆上异于点A ，B 的任意一点，连接AP 并延长交直线l 于点N ，连接PB 并延长交直线l 于点M ，设AP 所在的直线的斜率为k 1，BP 所在的直线的斜率为k 2.若椭圆的离心率为32，且过点A(0,1)．(1)求k 1·k 2的值； (2)求MN 的最小值；(3)随着点P 的变化，以MN 为直径的圆是否恒过定点？若过定点，求出该定点；如不过定点，请说明理由． 解 (1)因为e ＝c a ＝32，b ＝1，解得a ＝2，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2分)设椭圆上点P(x 0，y 0)，有x 204＋y 20＝1，所以k 1·k 2＝y 0－1x 0·y 0＋1x 0＝y 20－1x 20＝－14.(4分)(2)因为M ，N 在直线l ：y ＝－2上，设M(x 1，－2)，N(x 2，－2)， 由方程知x 24＋y 2＝1知，A(0,1)，B(0，－1)，所以K BM ·k AN ＝－2－－x 1－0·－2－1x 2－0＝3x 1x 2，(6分) 又由(1)知k AN ·k BM ＝k 1·k 2＝－14，所以x 1x 2＝－12，(8分)不妨设x 1＜0，则x 2＞0，则 MN ＝|x 1－x 2|＝x 2－x 1＝x 2＋12x 2≥2x 2·12x 2＝43， 所以当且仅当x 2＝－x 1＝23时，MN 取得最小值4 3.(10分) (3)设M(x 1，－2)，N(x 2，－2)， 则以MN 为直径的圆的方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y ＋2)2＝0，(12分)即x 2＋(y ＋2)2－12－(x 1＋x 2)x ＝0，若圆过定点，则有x ＝0，x 2＋(y ＋2)2－12＝0，解得x ＝0，y ＝－2±23，所以，无论点P 如何变化，以MN 为直径的圆恒过定点(0，－2±23)．(16分) 5．已知函数f(x)＝－x 3＋x 2，g(x)＝aln x ，a ∈R.(1)若对任意x ∈[1，e]，都有g(x)≥－x 2＋(a ＋2)x 恒成立，求a 的取值范围；(2)设F(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧，x ＜1，，x≥1.若P 是曲线y ＝F(x)上异于原点O 的任意一点，在曲线y ＝F(x)上总存在另一点Q ，使得△POQ 中的∠POQ 为钝角，且PQ 的中点在y 轴上，求a 的取值范围． 解 (1)由g(x)≥－x 2＋(a ＋2)x ，得(x －ln x)a≤x 2－2x.由于x ∈[1，e]，ln x≤1≤x，且等号不能同时取得，所以ln x ＜x ，x －ln x ＞0.从而a≤x 2－2x x －ln x 恒成立，a≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x x －ln x min.(4分)设t(x)＝x 2－2xx －ln x，x ∈[1，e]．求导，得t′(x)＝－＋2－－2.(6分)x ∈[1，e]，x －1≥0，ln x≤1，x ＋2－2ln x ＞0，从而t′(x)≥0，t(x)在[1，e]上为增函数． 所以t(x)min ＝t(1)＝－1，所以a 的取值范围是(－∞，－1]．(8分)(2)F(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋x 2，x ＜1，aln x ，x≥1.设P(t ，F(t))为曲线y ＝F(x)上的任意一点．假设曲线y ＝F(x)上存在一点Q(－t ，F(－t))，使∠POQ 为钝角， 则OP →·OQ →＜0.(10分)①若t≤－1，P(t ，－t 3＋t 2)，Q(－t ，aln(－t))，OP →·OQ →＝－t 2＋aln(－t)·(－t 3＋t 2)． 由于OP →·OQ →＜0恒成立，a(1－t)ln(－t)＜1. 当t ＝－1时，a(1－t)ln(－t)＜1恒成立．当t ＜－1时，a ＜1－－恒成立．由于1－－＞0，所以a≤0.(12分)②若－1＜t ＜1，且t≠0，P(t ，－t 3＋t 2)，Q(－t ，t 3＋t 2)，则OP →·OQ →＝－t 2＋(－t 3＋t 2)·(t 3＋t 2)＜0， 即t 4－t 2＋1＞0对－1＜t ＜1，且t≠0恒成立．(14分) ③当t≥1时，同①可得a≤0.综上所述，a 的取值范围是(－∞，0]．(16分)6．已知数列{a n }的前三项分别为a 1＝5，a 2＝6，a 3＝8，且数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＋m ＝12(S 2n ＋S 2m )－(n －m)2，其中m ，n 为任意正整数．(1)求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ； (2)求满足S 2n －32a n ＋33＝k 2的所有正整数k ，n.解 (1)在等式S m ＋n ＝12(S 2n ＋S 2m )－(n －m)2中，分别令m ＝1，m ＝2，得S n ＋1＝12(S 2n ＋S 2)－(n －1)2，①S n ＋2＝12(S 2n ＋S 4)－(n －2)2，②②－①，得a n ＋2＝2n －3＋S 4－S 22.(3分)在等式S n ＋m ＝12(S 2n ＋S 2m )－(n －m 2)中，令n ＝1，m ＝2，得S 3＝12(S 2＋S 4)－1，由题设知，S 2＝11，S 3＝19，故S 4＝29.所以a n ＋2＝2n ＋6(n ∈N *)，即a n ＝2n ＋2(n≥3，n ∈N *)． 又a 2＝6也适合上式，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5， n ＝1，2n ＋2， n≥2.(5分)S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5， n ＝1，n 2＋3n ＋1， n≥2.即S n ＝n 2＋3n ＋1，n ∈N *.(6分)(2)记S 2n －32a n ＋33＝k 2(*)．n ＝1时，无正整数k 满足等式(*)．n≥2时，等式(*)即为(n 2＋3n ＋1)2－3(n －10)＝k 2.(8分) ①当n ＝10时，k ＝131.(9分) ②当n ＞10时，则k ＜n 2＋3n ＋1，又k 2－(n 2＋3n)2＝2n 2＋3n ＋31＞0，所以k ＞n 2＋3n. 从而n 2＋3n ＜k ＜n 2＋3n ＋1.又因为n ，k ∈N *，所以k 不存在，从而无正整数k 满足等式(*)．(12分) ③当n ＜10时，则k ＞n 2＋3n ＋1，因为k ∈N *，所以k≥n 2＋3n ＋2. 从而(n 2＋3n ＋1)2－3(n －10)≥(n 2＋3n ＋2)2.即2n2＋9n－27≤0.因为n∈N*，所以n＝1或2.(14分)n＝1时，k2＝52，无正整数解；n＝2时，k2＝145，无正整数解．综上所述，满足等式(*)的n，k分别为n＝10，k＝131.(16分)。
2020高考数学三轮冲刺 专题 收集数据练习(含解析)
收集数据一、选择题（本大题共12小题，共60分）1. 总体由编号为01，02，03，，49，50的50个个体组成，利用随机数表以下选取了随机数表中的第1行和第2行选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始由左向右读取，则选出来的第4个个体的编号为A. 05B. 09C. 07D. 20（正确答案）C解：根据题意，从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始，由左到右依次选取两个数字，其中小于或等于50的编号依次为08，02，14，07，重复，舍去，43．可知选出的第4个数值为07．故选：D．从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始，由左到右依次选取两个数字，且为小于或等于50的编号，注意重复的数值要舍去，由此求出答案．本题考查了随机数表法的应用问题，是基础题．2. 我国古代数学名著九章算术有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为A. 134石B. 169石C. 338石D. 1365石（正确答案）B解：由题意，这批米内夹谷约为石，故选：B．根据254粒内夹谷28粒，可得比例，即可得出结论．本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础．3. 某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为600件、400件、300件，用分层抽样方法抽取容量为n的样本，若从丙车间抽取6件，则n的值为A. 18B. 20C. 24D. 26（正确答案）D解：由分层抽样得，解得，故选：D．根据分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键比较基础．本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键，比较基础．4. 从某校高三100名学生中采用系统抽样的方法抽取10名学生作代表，学生的编号从00到99，若第一组中抽到的号码是03，则第三组中抽到的号码是A. 22B. 23C. 32D. 33（正确答案）B解：根据系统抽样方法的特点，从100名学生中抽取10名学生，组距是，当第一组中抽到的号码是03时，第三组中抽到的号码是．故答案为：B．根据系统抽样方法的特点，先求出组距是多少，再求第三组中抽到的号码是什么．本题考查了系统抽样的应用问题，系统抽样的间隔相等，所以抽出的样本在总体中的分布是均匀的．5. 将800个个体编号为，然后利用系统抽样的方法从中抽取20个个体作为样本，则在编号为的个体中应抽取的个体数为A. 10B. 9C. 8D. 7（正确答案）D解：把这800个个体编上的号码，分成20组，则组距为；所以编号为的个体中应抽取的个体数为．故选：D．根据题意，求出系统抽样的分组组距，再求编号为的个体中应抽取的个体数即可．本题考查了系统抽样的特征与应用问题，是基础题目．6. 某小学共有学生2000人，其中一至六年级的学生人数分别为400，400，400，300，300，为做好小学放学后“快乐30分”活动，现采用分层抽样的方法从中抽取容量为200的样本进行调查，那么应抽取一年级学生的人数为A. 120B. 40C. 30D. 20（正确答案）B解：一年级学生400人，抽取一个容量为200的样本，用分层抽样法抽取的一年级学生人数为，解得，即一年级学生人数应为40人，故选：B．根据分层抽样的定义即可得到结论．本题主要考查分层抽样的应用，比较基础．7. 我国古代数学名著数书九章有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1524石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为A. 1365石B. 338石C. 168石D. 134石（正确答案）C解：由题意，这批米内夹谷约为石，故选：C．根据254粒内夹谷28粒，可得比例，即可得出结论．本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础．8. 某中学高一年级560人，高二年级540人，高三年级520人，用分层抽样的方法抽取容量为81的样本，则在高一、高二、高三三个年级抽取的人数分别是A. 28、27、26B. 28、26、24C. 26、27、28D. 27、26、25（正确答案）A解：根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为，则在高一年级抽取的人数是人，高二年级抽取的人数是人，高三年级抽取的人数是人，故选：A．根据分层抽样的定义求出在各层中的抽样比，即样本容量比上总体容量，按此比例求出在各年级中抽取的人数．本题的考点是分层抽样方法，根据样本结构和总体结构保持一致，求出抽样比，再求出在各层中抽取的个体数目．9. 为了调查某产品的销售情况，销售部门从下属的92家销售连锁店中抽取30家了解情况若用系统抽样法，则抽样间隔和随机剔除的个体数分别为A. 3，2B. 2，3C. 2，30D. 30，2（正确答案）A【分析】本题主要考查系统抽样的问题，当然要先考虑剔除的问题，属于基础题．先剔除两个，然后因为抽取30家，所以分成30组，所以每组抽取3家，所以间隔为3．【解答】解：不是整数，必须先剔除部分个体数，，剔除2个即可，而间隔为3．故选A．10. 某单位共有职工150名，其中高级职称45人，中级职称90人，初级职称15人现采用分层抽样方法从中抽取容量为30的样本，则各职称人数分别为A. 9，18，3B. 10，15，5C. 10，17，3D. 9，16，5（正确答案）A解：用分层抽样方法抽取容量为30的样本，则样本中的高级职称人数为，中级职称人数为，初级职称人数为．故选：A．根据分层抽样的定义建立比例关系，即可求出各职称分别抽取的人数．本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键比较基础．11. 为了分析高三年级的8个班400名学生第一次高考模拟考试的数学成绩，决定在8个班中每班随机抽取12份试卷进行分析，这个问题中样本容量是A. 8B. 400C. 96D. 96名学生的成绩（正确答案）C解：在本题所叙述的问题中，400名学生第一次高考模拟考试的数学成绩是总体，每班12名学生的数学成绩是样本，400是总体个数，96是样本容量，故选C．本题要求我们正确理解抽样过程中的几个概念，常见的有四个，400名学生第一次高考模拟考试的数学成绩是总体，每班12名学生的数学成绩是样本，400是总体个数，96是样本容量，选出答案．样本代表性的好坏直接影响统计结论的准确性，所以抽样过程中，考虑的最主要原则为：保证样本能够很好地代表总体而随机抽样的出发点是使每个个体都有相同的机会被抽中．12. 某校老年，中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为A. 90B. 100C. 180D. 300（正确答案）C解：由题意，老年和青年教师的人数比为900：：16，因为青年教师有320人，所以老年教师有180人，故选：C．由题意，老年和青年教师的人数比为900：：16，即可得出结论．本题考查分层抽样，考查学生的计算能力，比较基础．二、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 某高级中学共有900名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，则该校高二年级学生人数为______．（正确答案）300解：用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，高二年级要抽取，高级中学共有900名学生，每个个体被抽到的概率是该校高二年级学生人数为，故答案为：300．用分层抽样的方法抽取一个容量为45的样本，根据高一年级抽20人，高三年级抽10人，得到高二年级要抽取的人数，根据该高级中学共有900名学生，算出高二年级学生人数．本题考查分层抽样，抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同，这是解决抽样问题的依据，样本容量、总体个数、每个个体被抽到的概率，这三者可以做到知二求一．14. 已知某高中共有2400人，其中高一年级600人，现对该高中全体学生利用分层抽样的方法进行一项调查，需要从高一年级抽取20人，则全校应一共抽取______ 人（正确答案）80解：设全校应一共抽取n人，则用分层抽样的方法可得，．故答案为：80．根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键比较基础．15. 为调査某高校学生对“一带一路”政策的了解情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为500的样本，其中大一年级抽取200人，大二年级抽取100人若其他年级共有学生3000人，则该校学生总人数是______．（正确答案）7500解：由题意，其他年级抽取200人，其他年级共有学生3000人，则该校学生总人数是．故答案为：7500．由题意，其他年级抽取200人，其他年级共有学生3000人，即可求出该校学生总人数．本题主要考查分层抽样的定义和方法，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数，属于基础题．16. 将参加数学竞赛的1000名学生编号如下：0001，0002，0003，，1000，若从中抽取一个容量为50的样本，按照系统抽样的方法分成50个部分，如果第一部分编号为0001，0002，0003，，0020，第一部分随机抽取一个号码为0015，则抽取的第3个号码为______ ．（正确答案）0055解：从1000名学生从中抽取一个容量为50的样本，系统抽样的分段间隔为，第一部分随机抽取一个号码为0015，抽取的第二个编号为0035，抽取的第三个编号为0055．故答案为：0055．根据系统抽样的特征，从1000名学生从中抽取一个容量为50的样本，抽样的分段间隔为，可得抽取的第3个号码．本题考查了系统抽样方法，关键是求得系统抽样的分段间隔．三、解答题（本大题共3小题，共40分）17. 某市电视台为了宣传举办问答活动，随机对该市岁的人群抽样了人，回答问题统计结果如图表所示．Ⅰ分别求出a，b，x，y的值；Ⅱ从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？Ⅲ在Ⅱ的前提下，电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求：所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．（正确答案）解：Ⅰ第1组人数，所以，分第2组人数，所以，分第3组人数，所以，分第4组人数，所以分第5组人数，所以分Ⅱ第2，3，4组回答正确的人的比为18：27：：3：1，所以第2，3，4组每组应各依次抽取2人，3人，1人分Ⅲ记抽取的6人中，第2组的记为，，第3组的记为，，，第4组的记为c，则从6名学生中任取2名的所有可能的情况有15种，它们是：，，，，，，，，，，，，，，分其中第2组至少有1人的情况有9种，它们是：，，，，，，，，分故所求概率为分Ⅰ由回答对的人数：每组的人数回答正确的概率，分别可求得要求的值；Ⅱ由分层抽样按比例抽取的特点可得各组的人数；Ⅲ记抽取的6人中，第2组的记为，，第3组的记为，，，第4组的记为c，列举可得从6名学生中任取2名的所有可能的情况，以及其中第2组至少有1人的情况种数，由古典概型可得概率．本题考查列举法求解古典概型的概率，涉及频率分布表的应用和分层抽样的特点，属基础题．18. 有甲乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表．已知在全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为Ⅰ请完成上面的列联表；Ⅱ从105名学生中选出10名学生组成参观团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从105人中剔除5人，剩下的100人再按系统抽样的方法抽取10人，请写出在105人中，每人入选的概率不必写过程Ⅲ把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和作为被抽取人的序号，试求抽到6号或10号的概率．（正确答案）解：Ⅰ根据题意，共有105人，从中随机抽取1人为优秀的概率为，则两个班优秀的人数为，即两个班的优秀生共30人，乙班优秀的人数为；又由总人数为105和两个班的优秀生共30人，可得两个班的非优秀生共人，则甲班非优秀生有人；进而可得，甲班总人数为，乙班总人数为；填入表格为ⅡⅢ设“抽到6或10号”为事件A，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为．所有的基本事件有、、、、，共36个；事件A包含的基本事件有：、、、、、、、，共8个，答：抽到6号或10号的概率为．本题考查等可能事件的概率、列联表的意义以及抽样方法的运用，要将表中的数据与概率的计算综合运用起来．Ⅰ根据题意，由全部105人中抽到随机抽取1人为优秀的概率为，我们可以计算出优秀人数为30，进而易得到表中各项数据的值；Ⅱ根据随机抽样的性质，每个人入选的概率都相等，即，代入数据可得答案；Ⅲ用列举法列举所有的基本事件与事件A包含的基本事件，可得其情况数目，有等可能事件的概率公式，计算可得答案．202019. 某校为了调查“学业水平考试”学生的数学成绩，随机地抽取该校甲、乙两班各10名同学，获得的数据如下：单位：分甲：132，108，112，121，113，121，118，127，118，129；乙：133，107，120，113，121，116，126，109，129，127．以百位和十位为茎，个位为叶，在图5中作出以上抽取的甲、乙两班学生数学成绩的茎叶图，求出这20个数据的众数，并判断哪个班的平均水平较高；将这20名同学的成绩按下表分组，现从第一、二、三组中，采用分层抽样的方法抽取6名同学成绩作进一步的分析，求应从这三组中各抽取的人数．（正确答案）解：甲、乙两班学生数学成绩的茎叶图如右图示：----分这20个数据的众数为121，----------------------------------分乙班的平均水平较高；----------------------------------------分由上数据知，这20人中分值落在第一组的有3人，落在第二组的有6人，落在第三组的有9人，-------------分故应从第一组中抽取的人数为：，-------分应从第二组中抽取的人数为：，--------------------------------分应从第三组中抽取的人数为：-----------------------------------分根据茎叶图结合众数，平均数的定义进行判断即可；根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键比较基础．。
2020年06月高考数学冲刺卷(3)【解析版】_名师汇编高考数学卷
B：∵
＝13a7＜0，一定成立
≤0，∴S1S8≤S2S7， ）
C：由等差数列的求和公式及等差数列的性质可知，S12＝ a6+a7 的符号不定，S12＞0 不一定成立 D：S13﹣S12＝a13＜0，故 D 一定成立 故选：C．
第 5页
＝6（a1+a12）＝6（a6+a7），由于
24．设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn 且 a4+a8＝0，则一定成立的是（ ）
2020 年 06 月高考数学冲刺卷（三）
参考答案与试题解析
一．选择题（共 34 小题）
1．已知集合 A＝{x|2﹣x≥0}，B＝{x∈Z|y＝ln（x+1）}，则 A∩B＝（ ）
A．[﹣1，2]
B．（﹣1，2]
C．{0，1，2}
D．{﹣1，0，1，2}
【解答】解：∵集合 A＝{x|2﹣x≥0}＝{x|x≤2}，
故选：C．
19．设复数 z 满足 z（1﹣2i）＝2+i（其中 i 为虚数单位），则 z 的模为（ ）
A．1
B．
C．
D．3
【解答】解：由 z（1﹣2i）＝2+i，
得
＝
，
则 z 的模为：1．
第 4页
故选：A． 20．已知复数
，则|z|＝（ ）
A．2
B．
C．
【解答】解：∵
＝
D．5 ，
∴|z|＝
．
故选：B．
第 7页
圆心到直线 2x+y﹣z＝0 距离 d＝
，
即|z|＝2 ，解得 z＝2 （舍）或 z＝﹣2 ， 即﹣2 ≤z≤2， 目标函数 z＝2x+y 的取值范围是[﹣2 ，2] 故选：C．
【新部编版】2019-2020高考数学三轮冲刺 专题 排列组合练习(含解析)
排列组合一、选择题（本大题共12小题，共60分）1. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有A. 12种B. 18种C. 24种D. 36种（正确答案）D【分析】本题考查排列组合的实际应用，注意分组方法以及排列方法的区别，考查计算能力．把工作分成3组，然后安排工作方式即可．【解答】解：4项工作分成3组，可得：，安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，可得：种．故选D．2. 5位同学站成一排照相，其中甲与乙必须相邻，且甲不能站在两端的排法总数是A. 40B. 36C. 32D. 24（正确答案）B解：分类讨论，甲站第2个位置，则乙站1，3中的一个位置，不同的排法有种；甲站第3个位置，则乙站2，4中的一个位置，不同的排法有种；甲站第4个位置，则乙站3，5中的一个位置，不同的排法有种，故共有．故选：B．分类讨论，对甲乙优先考虑，即可得出结论．本题考查计数原理的运用，考查分类讨论的数学思想，比较基础．3. 从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为A. 48B. 72C. 90D. 96（正确答案）D解：根据题意，从5名学生中选出4名分别参加竞赛，分2种情况讨论：、选出的4人没有甲，即选出其他4人即可，有种情况，、选出的4人有甲，由于甲不能参加生物竞赛，则甲有3种选法，在剩余4人中任选3人，参加剩下的三科竞赛，有种选法，则此时共有种选法，则有种不同的参赛方案；故选：D．根据题意，分2种情况讨论选出参加竞赛的4人，、选出的4人没有甲，、选出的4人有甲，分别求出每一种情况下分选法数目，由分类计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的实际应用，注意优先考虑特殊元素．4. 为了迎接一年一度的元宵节，某商场大楼安装了5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每个彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁，在每个闪烁中，每秒钟有且只有一个彩灯闪亮，且相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒，如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是A. 1190秒B. 1195秒C. 1200秒D. 1205秒（正确答案）B解：根据题意，共有5种不同的颜色，其闪烁的顺序有个不同的闪烁，而每个闪烁时间为5秒，闪烁的时间共秒；每两个闪烁之间的间隔为5秒，闪烁间隔的时间秒．那么需要的时间至少是秒．故选：B．根据题意，先依据排列数公式计算彩灯闪烁时间的情况数目，进而分析可得彩灯闪烁的总时间以及闪烁之间的间隔总时间，将其相加即可得答案．本题考查的是排列、组合的应用，要求把排列问题包含在实际问题中，解题的关键是看清题目的实质，把实际问题转化为数学问题．5. 用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为A. 24B. 48C. 60D. 72（正确答案）D解：要组成无重复数字的五位奇数，则个位只能排1，3，5中的一个数，共有3种排法，然后还剩4个数，剩余的4个数可以在十位到万位4个位置上全排列，共有种排法．由分步乘法计数原理得，由1、2、3、4、5组成的无重复数字的五位数中奇数有个．故选：D．用1、2、3、4、5组成无重复数字的五位奇数，可以看作是填5个空，要求个位是奇数，其它位置无条件限制，因此先从3个奇数中任选1个填入，其它4个数在4个位置上全排列即可．本题考查了排列、组合及简单的计数问题，此题是有条件限制排列，解答的关键是做到合理的分布，是基础题．6. 我们把各位数字之和等于6的三位数称为“吉祥数”，例如123就是一个“吉祥数”，则这样的“吉祥数”一共有A. 28个B. 21个C. 35个D. 56个（正确答案）B解：因为，，，，，，，所以可以分为7类，当三个位数字为1，1，4时，三位数有3个，当三个位数字为1，2，3时，三位数有个，当三个位数字为2，2，2时，三位数有1个，当三个位数字为0，1，5时，三位数有4个，当三个位数字为0，2，4时，三位数有4个，当三个位数字为0，3，3时，三位数有2个，当三个位数字为0，0，6时，三位数有1个，根据分类计数原理得三位数共有．故选B．根据，，，，，，，所以可以分为7类，分别求出每一类的三位数，再根据分类计数原理得到答案．本题主要考查了分类计数原理，关键是找到三个数字之和为6的数分别是什么，属于中档题．7. 哈市某公司有五个不同部门，现有4名在校大学生来该公司实习，要求安排到该公司的两个部门，且每部门安排两名，则不同的安排方案种数为A. 40B. 60C. 120D. 240（正确答案）B解：此问题可分为两步求解，第一步将四名大学生分为两组，由于分法为2，2，考虑到重复一半，故分组方案应为种，第二步将此两组大学生分到5个部门中的两个部门中，不同的安排方式有，故不同的安排方案有种，故选：B．本题是一个计数问题，由题意可知，可分两步完成计数，先对四名大学生分组，分法有种，然后再排到5个部门的两个部门中，排列方法有，计算此两数的乘积即可得到不同的安排方案种数，再选出正确选项本题考查排列组合及简单计数问题，解题的关键是理解事件“某公司共有5个部门，有4名大学毕业生，要安排到该公司的两个部门且每个部门安排2名，”将问题分为两步来求解．8. 世博会期间，某班有四名学生参加了志愿工作将这四名学生分配到A、B、C三个不同的展馆服务，每个展馆至少分配一人若甲要求不到A馆，则不同的分配方案有A. 36种B. 30种C. 24种D. 20种（正确答案）C解：根据题意，首先分配甲，有2种方法，再分配其余的三人：分两种情况，其中有一个人与甲在同一个场馆，有种情况，没有人与甲在同一个场馆，则有种情况；则若甲要求不到A馆，则不同的分配方案有种；故选C．根据题意中甲要求不到A馆，分析可得对甲有2种不同的分配方法，进而对剩余的三人分情况讨论，，其中有一个人与甲在同一个场馆，没有人与甲在同一个场馆，易得其情况数目，最后由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的综合运用，注意题意中“每个展馆至少分配一人”这一条件，再分配甲之后，需要对其余的三人分情况讨论．9. 五种不同商品在货架上排成一排，其中A，B两种必须连排，而C，D两种不能连排，则不同的排法共有A. 48种B. 24种C. 20种D. 12种（正确答案）B解：根据题意，先将A、B看成一个“元素”，有2种不同的排法，将C、D单独排列，也有2种不同的排法，进而分2种情况讨论：若A、B与第5个元素只有一个在C、D之间，则有种情况，若A、B与第5个元素都在C、D之间，有2种不同的排法，则不同的排法共有种情况；故选：B．根据题意，首先分析A、B与C、D的安排情况：A，B两种必须连排，将A、B看成一个“元素”，而C，D两种不能连排，将C、D单独排列；进而根据题意分2种情况讨论A、B与第5个元素与C、D的关系，进而由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分类讨论，注意要优先满足受到限制的元素．10. 在2016年巴西里约奥运会期间，6名游泳队员从左至右排成一排合影留念，最左边只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法种数为A. 216B. 108C. 432D. 120（正确答案）A解：根据题意，最左边只能排甲或乙，则分2种情况讨论：、最左边排甲，则先在剩余5个位置选一个安排乙，乙有5种情况，再将剩余的4个人全排列，安排在其余4个位置，有种安排方法，此时有种情况，、最左边排乙，由于最右端不能排甲，则甲有4个位置可选，有4种情况，再将剩余的4个人全排列，安排在其余4个位置，有种安排方法，此时有种情况，则不同的排法种数为种；故选：A．根据题意，分2种情况讨论：、最左边排甲，、最左边排乙，分别求出每一种情况的安排方法数目，由分类计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的实际应用，注意要先分析特殊元素，由本题的甲、乙．11. 用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有A. 144个B. 120个C. 96个D. 72个（正确答案）B解：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个；分两种情况讨论：首位数字为5时，末位数字有3种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有种情况，此时有个，首位数字为4时，末位数字有2种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有种情况，此时有个，共有个．故选：B根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个；进而对首位数字分2种情况讨论，首位数字为5时，首位数字为4时，每种情况下分析首位、末位数字的情况，再安排剩余的三个位置，由分步计数原理可得其情况数目，进而由分类加法原理，计算可得答案．本题考查计数原理的运用，关键是根据题意，分析出满足题意的五位数的首位、末位数字的特征，进而可得其可选的情况．12. 将编号为1，2，3，4，5，6的六个小球放入编号为1，2，3，4，5，6的六个盒子，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法总数是A. 40B. 60C. 80D. 100（正确答案）A解：根据题意，有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，在六个盒子中任选3个，放入与其编号相同的小球，有种选法，剩下的3个盒子的编号与放入的小球编号不相同，假设这3个盒子的编号为4、5、6，则4号小球可以放进5、6号盒子，有2种选法，剩下的2个小球放进剩下的2个盒子，有1种情况，则不同的放法总数是；故选：A．根据题意，分2步进行分析：、在六个盒子中任选3个，放入与其编号相同的小球，由组合数公式可得放法数目，、假设剩下的3个盒子的编号为4、5、6，依次分析4、5、6号小球的放法数目即可；进而由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的综合应用，关键是编号与放入的小球编号不相同的情况数目的分析．二、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 某校选定甲、乙、丙、丁、戊共5名教师去3个边远学校支教，每学校至少1人，其中甲和乙必须在同一学校，甲和丙一定在不同学校，则不同的选派方案共有______ 种（正确答案）30解：因为甲和乙同地，甲和丙不同地，所以有2、2、1和3、1、1两种分配方案，、2、1方案：甲、乙为一组，从余下3人选出2人组成一组，然后排列，共有：种；、1、1方案：在丁、戊中选出1人，与甲乙组成一组，然后排列，共有：种；所以，选派方案共有种．故答案为30．甲和乙同地，甲和丙不同地，所以有2、2、1和3、1、1两种分配方案，再根据计数原理计算结果．本题考查了分步计数原理，关键是分步，属于中档题．14. 现有7件互不相同的产品，其中有4件次品，3件正品，每次从中任取一件测试，直到4件次品全被测出为止，则第三件次品恰好在第4次被测出的所有检测方法有______ 种（正确答案）1080解：第三件次品恰好在第4次被测出，说明第四次测出的是次品，而前三次有一次没有测出次品，最后一件次品可能在第五次被测出，第六次，或者第七次被测出，由此知最后一件次品被检测出可以分为三类，故所有的检测方法有故答案为：1080．第三件次品恰好在第4次被测出，说明第四次测出的是次品，而前三次有一次没有测出次品，有分步原理计算即可本题考查排列、组合及简单计数问题，解题的关键是熟练掌握计数原理及排列组合的公式，对问题的理解、转化也很关键．15. 从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_________种用数字填写答案（正确答案）16解：方法一：直接法，1女2男，有，2女1男，有根据分类计数原理可得，共有种，方法二，间接法：种，故答案为：16方法一：直接法，分类即可求出，方法二：间接法，先求出没有限制的种数，再排除全是男生的种数．本题考查了分类计数原理，属于基础题16. 用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有______ 个用数字作答（正确答案）1080解：根据题意，分2种情况讨论：、四位数中没有一个偶数数字，即在1、3、5、7、9种任选4个，组成一共四位数即可，有种情况，即有120个没有一个偶数数字四位数；、四位数中只有一个偶数数字，在1、3、5、7、9种选出3个，在2、4、6、8中选出1个，有种取法，将取出的4个数字全排列，有种顺序，则有个只有一个偶数数字的四位数；则至多有一个数字是偶数的四位数有个；故答案为：1080．根据题意，要求四位数中至多有一个数字是偶数，分2种情况讨论：、四位数中没有一个偶数数字，、四位数中只有一个偶数数字，分别求出每种情况下四位数的数目，由分类计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的综合应用，注意要分类讨论．。
2019高考数学三轮冲刺大题提分大题精做3统计概率：概率文含答案
大题精做3 统计概率：概率[2019·朝阳期末]某日，，三个城市18个销售点的小麦价格如下表：（1）求市5个销售点小麦价格的中位数；（2）甲从市的销售点中随机挑选一个购买1吨小麦，乙从市的销售点中随机挑选一个购买1吨小麦，求甲花费的费用比乙高的概率；（3）如果一个城市的销售点小麦价格方差越大，则称其价格差异性越大．请你对，，三个城市按照小麦价格差异性从大到小进行排序（只写出结果）．【答案】（1）2500；（2）；（3），，．【解析】（1）市一共有5个销售点，价格分别为2500，2500，2500，2450，2460，按照价格从低到高排列为2450，2460，2500，2500，2500，市5个销售点小麦价格的中位数为2500．（2）记事件“甲的费用比乙高”为，市5个销售点按照价格从低到高排列为2450，2460，2500，2500，2500，市一共有4个销售点，价格分别为2580，2470，2540，2400，按照价格从低到高排列为2400，2470，2540，2580，甲乙两个购买小麦分别花费的可能费用有如下组合：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，一共有20组．其中满足甲的费用高于乙的有如下组合：，，，，，，，一共有8组．∴甲的费用比乙高的概率为．（3）三个城市按照价格差异性从大到小排列为，，．1．[2019·大兴期末]自由购是一种通过自助结算购物的形式．某大型超市为调查顾客自由购的使用情况，随机抽取了100人，调查结果整理如下：（1）现随机抽取1名顾客，试估计该顾客年龄在且未使用自由购的概率；（2）从被抽取的年龄在使用的自由购顾客中，随机抽取2人进一步了解情况，求这2人年龄都在的概率；（3）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购顾客赠送1个环保购物袋．若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋？2．[2019·揭阳毕业]某公司培训员工某项技能，培训有如下两种方式，方式一：周一到周五每天培训1小时，周日测试；方式二：周六一天培训4小时，周日测试．公司有多个班组，每个班组60人，现任选两组(记为甲组、乙组)先培训；甲组选方式一，乙组选方式二，并记录每周培训后测试达标的人数如下表：（1）用方式一与方式二进行培训，分别估计员工受训的平均时间（精确到），并据此判断哪种培训方式效率更高？（2）在甲乙两组中，从第三周．．．培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人来自甲组的概率．3．[2019·海淀期末]迎接年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核．记表示学生的考核成绩，并规定为考核优秀．为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：（1）从参加培训的学生中随机选取1人，请根据图中数据，估计这名学生考核成绩为优秀的概率；（2）从图中考核成绩满足的学生中任取人，求至少有一人考核优秀的概率；（3）记表示学生的考核成绩在区间内的概率，根据以往培训数据，规定当时培训有效．请你根据图中数据，判断此次中学生冰雪培训活动是否有效，并说明理由．1．【答案】（1）；（2）；（3）2200．【解析】（1）随机抽取的100名顾客中，年龄在且未使用自由购的有人，∴随机抽取一名顾客，该顾客年龄在且未参加自由购的概率估计为．（2）设事件为“这2人年龄都在”．被抽取的年龄在的4人分别记为，，，，被抽取的年龄在的2人分别记为，，从被抽取的年龄在的自由购顾客中随机抽取2人共包含15个基本事件，分别为，，，，，，，，，，，，，，，事件包含6个基本事件，分别为，，，，，，则．（3）随机抽取的100名顾客中，使用自由购的有人，∴该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为．2．【答案】（1）方式一；（2）．【解析】（1）设甲乙两组员工受训的平均时间分别为、，则（小时），（小时），据此可估计用方式一与方式二培训，员工受训的平均时间分别为10小时和小时，因，据此可判断培训方式一比方式二效率更高；（2）从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取6人,则这6人中来自甲组的人数为：，来自乙组的人数为：，记来自甲组的2人为：、；来自乙组的4人为：、、、，则从这6人中随机抽取2人的不同方法数有：，，，，，，，，，，，，，，，共15种，其中至少有1人来自甲组的有：，，，，，，，，，共9种，故所求的概率．3．【答案】（1）；（2）；（3）见解析．【解析】（1）设这名学生考核优秀为事件，由茎叶图中的数据可以知道，名同学中，有名同学考核优秀∴所求概率约为．（2）设从图中考核成绩满足的学生中任取人，至少有一人考核成绩优秀为事件，∵表中成绩在的人中有个人考核为优∴基本事件空间包含个基本事件，事件包含个基本事件∴．（3）根据表格中的数据，满足的成绩有个，∴．∴可以认为此次冰雪培训活动有效．。
(高考冲刺押题)2019高考数学三轮基础技能闯关夺分必备向量的数量积(含解析).doc
(高考冲刺押题)2019高考数学三轮基础技能闯关夺分必备向量的数量积（含解析）【考点导读】1. 理解平面向量数量积的含义及几何意义.2. 掌握平面向量数量积的性质及运算律.3. 掌握平面向量数量积的坐标表达式.4. 能用平面向量数量积处理有关垂直、角度、长度的问题.【基础练习】1.,a b 均为单位向量，它们的夹角为060，那么3+=a b 132.在直角坐标系xOy 中，,i j 分别是与x 轴，y 轴平行的单位向量，假设直角三角形ABC 中，2=+AB i j ，3=+AC i kj ，那么k 的可能值个数为2个3.点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅，那么点O 是ABC ∆的垂心〔填重心、垂心、外心、内心〕。
4. 假设1=a ,2=b ，a 与b 的夹角为060，假设(3+5)⊥a b ()-ma b ，那么m 的值为2385. 假设||1,||2,===+a b c a b ，且⊥ca ，那么向量a 与b 的夹角为 120°6. 【范例导析】 例1、 两单位向量a 与b 的夹角为0120，假设2,3=-=-c a b d b a ，试求c 与d 的夹角的余弦值。
分析:利用22=a a 及cos θ⋅=⋅a b a b求解. 解：由题意，1==a b ，且a 与b 的夹角为0120，所以，1cos1202⋅=︒=-a b a b ，()()22222447=⋅=-⋅-=-⋅+=c c c a b a b a a b b ∴=c ，同理可得而⋅=c d 2217(2)(3)7322-⋅-=⋅--=-a b b a a b b a ，设θ为c 与d 的夹角，那么cosθ==点评：向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑。
例2.平面上三个向量a 、b 、c 的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°， 〔1〕求证：()-a b ⊥c ；〔2〕假设||1++>ka b c )(R k ∈，求k 的取值范围.分析:问题〔1〕通过证明()0-⋅=a b c 证明()-⊥a b c ,问题〔2〕可以利用()22||++=++ka b c ka b c解：〔1〕∵ ||||||1===a b c ，且a 、b 、c 之间的夹角均为120°，∴ 00()||||cos120||||cos1200-⋅=⋅-⋅=-=a b c a c b c a c b c∴ ()0-⋅=a b c〔2〕∵ ||1++>ka b c ，即2||1++>ka b c也就是22222221+++⋅+⋅+⋅>k a b c ka b ka c b c∵ 12⋅=⋅=⋅=-a b b c a c ，∴022>-k k所以 0<k 或2>k 、解:对于有关向量的长度、夹角的求解以及垂直关系的判断通常是运用平面向量的数量积解决. 例3.如图，在直角△ABC 中，BC a =，假设长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，问BC PQ 与的夹角θ取何值时CQ BP ⋅的值最大？并求出这个最大值分析:此题涉及向量较多,可通过向量的加减法那么得()()BP CQ AP AB AQ AC ⋅=-⋅-,再结合直角三角形和各线段长度特征法解决问题解：,0.AB AC AB AC ⊥∴⋅=,,,()()AP AQ BP AP AB CQ AQ AC BP CQ AP AB AQ AC =-=-=-∴⋅=-⋅- 222222()1212cos .AP AQ AP AC AB AQ AB ACa AP AC AB APa AP AB AC a PQ BCa PQ BCa a θ=⋅-⋅-⋅+⋅=--⋅+⋅=--⋅-=--⋅=--⋅=--2cos 0,(),..2PQ BC BP CQ a πθθ==⋅-故当即与方向相同时最大其最大值为点拨:运用向量的方法解决几何问题,充分表达了向量的工具性,对于大量几何问题,不仅可以用例3向量语言加以表达,而且完全可以借助向量的方法予以证明和求解,从而把抽象的问题转化为具体的向量运算.例4.平面上有以O 为圆心，以1为半径的圆，圆上有三点A, B,C,向量,,OA OB OC 满足等式mOA nOB OC +=,这里,,0m n R mn ∈≠.（1） 假设,OA OB ⊥证明：221m n +=；（2） 假设1,m n ==-证明：ABC ∆为正三角形.分析:对于问题〔1〕,抓住所证结论的特征,可将题目所给表达式mOA nOB OC +=两边同平方证得, 对于问题〔2〕,由于是有关三角形形状的问题可以结合余弦定理解决.解：〔1〕由mOA nOB OC +=两边平方得22222cos m OA n OB OA OB mn AOB ⋅+⋅+∠= 2OC ,又2221OA OB OC ===,∵,OA OB ⊥∴90AOB ∠=,∴221m n +=（3） 由〔1〕知221cos 2m n AOB mn --∠=，而1,m n ==-∴1cos 2AOB ∠=-， ∴()22222cos AB OB OA OA OB OA OB AOB =-=+-∠=3,∴3AB =,同理可得，3BC CA ==即AB=BC=CA,∴ABC ∆为正三角形.点拨:要注意平面向量与三角、平几、解几等知识的综合运用，从而提高分析问题与综合运用知识解决问题的能力，站在新的高度来认识和理解向量。
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收集数据一、选择题（本大题共12小题，共60分）1. 总体由编号为01，02，03，，49，50的50个个体组成，利用随机数表以下选取了随机数表中的第1行和第2行选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始由左向右读取，则选出来的第4个个体的编号为A. 05B. 09C. 07D. 20（正确答案）C解：根据题意，从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始，由左到右依次选取两个数字，其中小于或等于50的编号依次为08，02，14，07，重复，舍去，43．可知选出的第4个数值为07．故选：D．从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始，由左到右依次选取两个数字，且为小于或等于50的编号，注意重复的数值要舍去，由此求出答案．本题考查了随机数表法的应用问题，是基础题．2. 我国古代数学名著九章算术有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为A. 134石B. 169石C. 338石D. 1365石（正确答案）B解：由题意，这批米内夹谷约为石，故选：B．根据254粒内夹谷28粒，可得比例，即可得出结论．本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础．3. 某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为600件、400件、300件，用分层抽样方法抽取容量为n的样本，若从丙车间抽取6件，则n的值为A. 18B. 20C. 24D. 26（正确答案）D解：由分层抽样得，解得，故选：D．根据分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键比较基础．本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键，比较基础．4. 从某校高三100名学生中采用系统抽样的方法抽取10名学生作代表，学生的编号从00到99，若第一组中抽到的号码是03，则第三组中抽到的号码是A. 22B. 23C. 32D. 33（正确答案）B解：根据系统抽样方法的特点，从100名学生中抽取10名学生，组距是，当第一组中抽到的号码是03时，第三组中抽到的号码是．故答案为：B．根据系统抽样方法的特点，先求出组距是多少，再求第三组中抽到的号码是什么．本题考查了系统抽样的应用问题，系统抽样的间隔相等，所以抽出的样本在总体中的分布是均匀的．5. 将800个个体编号为，然后利用系统抽样的方法从中抽取20个个体作为样本，则在编号为的个体中应抽取的个体数为A. 10B. 9C. 8D. 7（正确答案）D解：把这800个个体编上的号码，分成20组，则组距为；所以编号为的个体中应抽取的个体数为．故选：D．根据题意，求出系统抽样的分组组距，再求编号为的个体中应抽取的个体数即可．本题考查了系统抽样的特征与应用问题，是基础题目．6. 某小学共有学生2000人，其中一至六年级的学生人数分别为400，400，400，300，300，为做好小学放学后“快乐30分”活动，现采用分层抽样的方法从中抽取容量为200的样本进行调查，那么应抽取一年级学生的人数为A. 120B. 40C. 30D. 20（正确答案）B解：一年级学生400人，抽取一个容量为200的样本，用分层抽样法抽取的一年级学生人数为，解得，即一年级学生人数应为40人，故选：B．根据分层抽样的定义即可得到结论．本题主要考查分层抽样的应用，比较基础．7. 我国古代数学名著数书九章有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1524石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为A. 1365石B. 338石C. 168石D. 134石（正确答案）C解：由题意，这批米内夹谷约为石，故选：C．根据254粒内夹谷28粒，可得比例，即可得出结论．本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础．8. 某中学高一年级560人，高二年级540人，高三年级520人，用分层抽样的方法抽取容量为81的样本，则在高一、高二、高三三个年级抽取的人数分别是A. 28、27、26B. 28、26、24C. 26、27、28D. 27、26、25（正确答案）A解：根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为，则在高一年级抽取的人数是人，高二年级抽取的人数是人，高三年级抽取的人数是人，故选：A．根据分层抽样的定义求出在各层中的抽样比，即样本容量比上总体容量，按此比例求出在各年级中抽取的人数．本题的考点是分层抽样方法，根据样本结构和总体结构保持一致，求出抽样比，再求出在各层中抽取的个体数目．9. 为了调查某产品的销售情况，销售部门从下属的92家销售连锁店中抽取30家了解情况若用系统抽样法，则抽样间隔和随机剔除的个体数分别为A. 3，2B. 2，3C. 2，30D. 30，2（正确答案）A【分析】本题主要考查系统抽样的问题，当然要先考虑剔除的问题，属于基础题．先剔除两个，然后因为抽取30家，所以分成30组，所以每组抽取3家，所以间隔为3．【解答】解：不是整数，必须先剔除部分个体数，，剔除2个即可，而间隔为3．故选A．10. 某单位共有职工150名，其中高级职称45人，中级职称90人，初级职称15人现采用分层抽样方法从中抽取容量为30的样本，则各职称人数分别为A. 9，18，3B. 10，15，5C. 10，17，3D. 9，16，5（正确答案）A解：用分层抽样方法抽取容量为30的样本，则样本中的高级职称人数为，中级职称人数为，初级职称人数为．故选：A．根据分层抽样的定义建立比例关系，即可求出各职称分别抽取的人数．本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键比较基础．11. 为了分析高三年级的8个班400名学生第一次高考模拟考试的数学成绩，决定在8个班中每班随机抽取12份试卷进行分析，这个问题中样本容量是A. 8B. 400C. 96D. 96名学生的成绩（正确答案）C解：在本题所叙述的问题中，400名学生第一次高考模拟考试的数学成绩是总体，每班12名学生的数学成绩是样本，400是总体个数，96是样本容量，故选C．本题要求我们正确理解抽样过程中的几个概念，常见的有四个，400名学生第一次高考模拟考试的数学成绩是总体，每班12名学生的数学成绩是样本，400是总体个数，96是样本容量，选出答案．样本代表性的好坏直接影响统计结论的准确性，所以抽样过程中，考虑的最主要原则为：保证样本能够很好地代表总体而随机抽样的出发点是使每个个体都有相同的机会被抽中．12. 某校老年，中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为A. 90B. 100C. 180D. 300（正确答案）C解：由题意，老年和青年教师的人数比为900：：16，因为青年教师有320人，所以老年教师有180人，故选：C．由题意，老年和青年教师的人数比为900：：16，即可得出结论．本题考查分层抽样，考查学生的计算能力，比较基础．二、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 某高级中学共有900名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，则该校高二年级学生人数为______．（正确答案）300解：用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，高二年级要抽取，高级中学共有900名学生，每个个体被抽到的概率是该校高二年级学生人数为，故答案为：300．用分层抽样的方法抽取一个容量为45的样本，根据高一年级抽20人，高三年级抽10人，得到高二年级要抽取的人数，根据该高级中学共有900名学生，算出高二年级学生人数．本题考查分层抽样，抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同，这是解决抽样问题的依据，样本容量、总体个数、每个个体被抽到的概率，这三者可以做到知二求一．14. 已知某高中共有2400人，其中高一年级600人，现对该高中全体学生利用分层抽样的方法进行一项调查，需要从高一年级抽取20人，则全校应一共抽取______ 人（正确答案）80解：设全校应一共抽取n人，则用分层抽样的方法可得，．故答案为：80．根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键比较基础．15. 为调査某高校学生对“一带一路”政策的了解情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为500的样本，其中大一年级抽取200人，大二年级抽取100人若其他年级共有学生3000人，则该校学生总人数是______．（正确答案）7500解：由题意，其他年级抽取200人，其他年级共有学生3000人，则该校学生总人数是．故答案为：7500．由题意，其他年级抽取200人，其他年级共有学生3000人，即可求出该校学生总人数．本题主要考查分层抽样的定义和方法，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数，属于基础题．16. 将参加数学竞赛的1000名学生编号如下：0001，0002，0003，，1000，若从中抽取一个容量为50的样本，按照系统抽样的方法分成50个部分，如果第一部分编号为0001，0002，0003，，0020，第一部分随机抽取一个号码为0015，则抽取的第3个号码为______ ．（正确答案）0055解：从1000名学生从中抽取一个容量为50的样本，系统抽样的分段间隔为，第一部分随机抽取一个号码为0015，抽取的第二个编号为0035，抽取的第三个编号为0055．故答案为：0055．根据系统抽样的特征，从1000名学生从中抽取一个容量为50的样本，抽样的分段间隔为，可得抽取的第3个号码．本题考查了系统抽样方法，关键是求得系统抽样的分段间隔．三、解答题（本大题共3小题，共40分）17. 某市电视台为了宣传举办问答活动，随机对该市岁的人群抽样了人，回答问题统计结果如图表所示．Ⅰ分别求出a，b，x，y的值；Ⅱ从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？Ⅲ在Ⅱ的前提下，电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求：所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．（正确答案）解：Ⅰ第1组人数，所以，分第2组人数，所以，分第3组人数，所以，分第4组人数，所以分第5组人数，所以分Ⅱ第2，3，4组回答正确的人的比为18：27：：3：1，所以第2，3，4组每组应各依次抽取2人，3人，1人分Ⅲ记抽取的6人中，第2组的记为，，第3组的记为，，，第4组的记为c，则从6名学生中任取2名的所有可能的情况有15种，它们是：，，，，，，，，，，，，，，分其中第2组至少有1人的情况有9种，它们是：，，，，，，，，分故所求概率为分Ⅰ由回答对的人数：每组的人数回答正确的概率，分别可求得要求的值；Ⅱ由分层抽样按比例抽取的特点可得各组的人数；Ⅲ记抽取的6人中，第2组的记为，，第3组的记为，，，第4组的记为c，列举可得从6名学生中任取2名的所有可能的情况，以及其中第2组至少有1人的情况种数，由古典概型可得概率．本题考查列举法求解古典概型的概率，涉及频率分布表的应用和分层抽样的特点，属基础题．18. 有甲乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表．已知在全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为Ⅰ请完成上面的列联表；Ⅱ从105名学生中选出10名学生组成参观团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从105人中剔除5人，剩下的100人再按系统抽样的方法抽取10人，请写出在105人中，每人入选的概率不必写过程Ⅲ把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和作为被抽取人的序号，试求抽到6号或10号的概率．（正确答案）解：Ⅰ根据题意，共有105人，从中随机抽取1人为优秀的概率为，则两个班优秀的人数为，即两个班的优秀生共30人，乙班优秀的人数为；又由总人数为105和两个班的优秀生共30人，可得两个班的非优秀生共人，则甲班非优秀生有人；进而可得，甲班总人数为，乙班总人数为；填入表格为ⅡⅢ设“抽到6或10号”为事件A，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为．所有的基本事件有、、、、，共36个；事件A包含的基本事件有：、、、、、、、，共8个，答：抽到6号或10号的概率为．本题考查等可能事件的概率、列联表的意义以及抽样方法的运用，要将表中的数据与概率的计算综合运用起来．Ⅰ根据题意，由全部105人中抽到随机抽取1人为优秀的概率为，我们可以计算出优秀人数为30，进而易得到表中各项数据的值；Ⅱ根据随机抽样的性质，每个人入选的概率都相等，即，代入数据可得答案；Ⅲ用列举法列举所有的基本事件与事件A包含的基本事件，可得其情况数目，有等可能事件的概率公式，计算可得答案．19. 某校为了调查“学业水平考试”学生的数学成绩，随机地抽取该校甲、乙两班各10名同学，获得的数据如下：单位：分甲：132，108，112，121，113，121，118，127，118，129；乙：133，107，120，113，121，116，126，109，129，127．以百位和十位为茎，个位为叶，在图5中作出以上抽取的甲、乙两班学生数学成绩的茎叶图，求出这20个数据的众数，并判断哪个班的平均水平较高；将这20名同学的成绩按下表分组，现从第一、二、三组中，采用分层抽样的方法抽取6名同学成绩作进一步的分析，求应从这三组中各抽取的人数．（正确答案）解：甲、乙两班学生数学成绩的茎叶图如右图示：----分这20个数据的众数为121，----------------------------------分乙班的平均水平较高；----------------------------------------分※精 品 试 卷※※推 荐 下 载※由上数据知，这20人中分值落在第一组的有3人，落在第二组的有6人，落在第三组的有9人，-------------分 故应从第一组中抽取的人数为：，-------分 应从第二组中抽取的人数为：，--------------------------------分 应从第三组中抽取的人数为：-----------------------------------分根据茎叶图结合众数，平均数的定义进行判断即可；根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论． 本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键比较基础．。