河南省周口市2015-2016学年高一(上)期末数学试卷(解析版)

2015-2016学年河南省周口市高一（上）期末数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分。

下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．已知集合M={﹣1，1}，，则M∩N=（）A．{﹣1，1} B．{﹣1} C．{0} D．{﹣1，0}2．若直线x+my﹣2=0的倾斜角为30°，则实数m的值是（）A．﹣B．C．﹣D．3．已知函数f（x）=﹣log2x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，4）D．（4，+∞）4．设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若α∥β，α∥γ，则β∥γ；②若α⊥β，m∥α，则m⊥β；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β；④若m∥n，n⊂α，则m∥α．其中正确命题的序号是（）A．①③B．①④C．②③D．②④5．设a=log54，b=（log53）2，c=log45则（）A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c6．三棱锥D﹣ABC中，AC=BD，且AC⊥BD，E，F分别分别是棱DC，AB的中点，则EF和AC所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°7．已知圆锥的母线长是10，侧面展开图是半圆，则该圆锥的侧面积为（）A．πB．100π C．πD．50π8．已知lga+lgb=0，函数f（x）=a x与函数g（x）=﹣log b x的图象可能是（）A．B． C． D．9．在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是（）A．B．C．D．10．在圆x2+y2=4上，与直线4x+3y﹣12=0的距离最小的点的坐标是（）A．（）B．（C．（﹣）D．11．如图，三棱柱ABC﹣A′B′C′的所有棱长都相等，侧棱与底面垂直，M是侧棱BB′的中点，则二面角M﹣AC﹣B的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．75°12．定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上递增，，则满足的x的取值范围是（）A．（0，+∞）B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卷中的横线上）13．已知幂函数y=f（x）的图象过点（3，），则log4f（2）=．14．国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4000元的按全部稿酬的11%纳税．已知某人出版一本书，共纳税420元时，这个人应得稿费（扣税前）为元．15．已知直线ax﹣y+2a=0和（2a﹣1）x+ay+a=0互相垂直，则a=．16．已知正三棱锥P﹣ABC的主视图和俯视图如图所示，则此三棱锥的外接球的表面积为．三、解答题（本大题共6小题，共70分。

解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）.17．已知集合，B={x|x2﹣（a+2）x+2a=0}，a∈R，A={x|a﹣2＜x＜a+2}（Ⅰ）若a=0，求A∪B（Ⅱ）若∁R A∩B≠∅，求a的取值范围．18．如图所示，光线从点A（2，1）出发，到x轴上的点B后，被x轴反射到y轴上的C点，又被y轴反射，这时反射线恰好经过点D（1，2）．（1）求直线BC的方程；（2）求线段BC的中垂线方程．19．已知函数f（x）=的定义域为A．（1）求集合A；（2）若函数g（x）=（log2x）2﹣2log2x﹣1，且x∈A，求函数g（x）的最大最小值和对应的x值．20．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点．（Ⅰ）求证：AC1∥平面CDB1（Ⅱ）求证：AC⊥BC1（Ⅲ）求直线AB1与平面BB1C1C所成的角的正切值．21．已知函数f（x）=的定义域上的奇函数，且f（2）=﹣，函数g（x）是R上的增函数，g（1）=1且对任意x，y∈R，总有g（x+y）=g（x）+g（y）（Ⅰ）求函数f（x）的解析式（Ⅱ）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并加以证明（Ⅲ）若g（2a）＞g（a﹣1）+2，求实数a的取值范围．22．已知：以点为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O、B，其中O为原点，（1）求证：△OAB的面积为定值；（2）设直线y=﹣2x+4与圆C交于点M，N，若OM=ON，求圆C的方程．2015-2016学年河南省周口市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分。

下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．已知集合M={﹣1，1}，，则M∩N=（）A．{﹣1，1} B．{﹣1} C．{0} D．{﹣1，0}【考点】交集及其运算．【分析】N为指数型不等式的解集，利用指数函数的单调性解出，再与M求交集．求【解答】解：⇔2﹣1＜2x+1＜22⇔﹣1＜x+1＜2⇔﹣2＜x＜1，即N={﹣1，0}又M={﹣1，1}∴M∩N={﹣1}，故选B【点评】本题考查指数型不等式的解集和集合的交集，属基本题．2．若直线x+my﹣2=0的倾斜角为30°，则实数m的值是（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】直线的倾斜角．【专题】计算题；方程思想；定义法；直线与圆．【分析】由直线的一般式方程求得直线的斜率，由斜率等于倾斜角的正切值列式求得a的值．【解答】解：∵直线x+my﹣2=0的倾斜角为30°，∴tan30°=﹣，∴m=﹣，故选：C．【点评】本题考查了直线的倾斜角，考查了直线倾斜角与斜率的关系，是基础题．3．已知函数f（x）=﹣log2x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，4）D．（4，+∞）【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】可得f（2）=2＞0，f（4）=﹣＜0，由零点的判定定理可得．【解答】解：∵f（x）=﹣log2x，∴f（2）=2＞0，f（4）=﹣＜0，满足f（2）f（4）＜0，∴f（x）在区间（2，4）内必有零点，故选：C【点评】本题考查还是零点的判断，属基础题．4．设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若α∥β，α∥γ，则β∥γ；②若α⊥β，m∥α，则m⊥β；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β；④若m∥n，n⊂α，则m∥α．其中正确命题的序号是（）A．①③B．①④C．②③D．②④【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】利用面面平行、面面垂直以及线面关系定理分别对四个命题分析解答．【解答】解：对于①，若α∥β，α∥γ根据面面平行的性质容易得到β∥γ；故①正确；对于②，若α⊥β，m∥α，m与β的关系不确定；故②错误；对于③，若m⊥α，m∥β，可以在β找到一条直线n与m平行，所以n⊥α，故α⊥β；故③正确；对于④，若m∥n，n⊂α，那么m与α的位置关系为m∥α或者m⊂α；故④错误；故选A．【点评】本题考查了面面平行、面面垂直以及线面关系定理的运用，关键是熟练掌握应该的定理，正确运用．5．设a=log54，b=（log53）2，c=log45则（）A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c【考点】对数的运算性质；对数函数的单调性与特殊点；不等式比较大小．【专题】函数的性质及应用．【分析】因为a=log54＜log55=1，b=（log53）2＜（log55）2，c=log45＞log44=1，所以c最大，排除A、B；又因为a、b∈（0，1），所以a＞b，排除C．【解答】解：∵a=log54＜log55=1，b=（log53）2＜（log55）2，c=log45＞log44=1，∴c最大，排除A、B；又因为a、b∈（0，1），所以a＞b，故选D．【点评】本题考查对数函数的单调性，属基础题．6．三棱锥D﹣ABC中，AC=BD，且AC⊥BD，E，F分别分别是棱DC，AB的中点，则EF和AC所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题．【分析】取AD的中点G，连接GE，GF，将AC平移到EG，则∠GEF为异面EF与AC所成的角，再在Rt△EFG中，求出此角即可．【解答】解：取AD的中点G，连接GE，GF，则GE∥AC，故∠GEF就是EF和AC所成的角，又GF∥BD，且AC⊥BD，AC=BD，∴△GEF是直角三角形，且GE=GF在直角三角形△GEF中，∴∠GEF=45°．故选B．【点评】本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．7．已知圆锥的母线长是10，侧面展开图是半圆，则该圆锥的侧面积为（）A．πB．100π C．πD．50π【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】数形结合；综合法；立体几何．【分析】圆锥的母线为侧面展开图的半径，代入圆的面积公式即可．【解答】解：∵圆锥的侧面展开图的半径为圆锥的母线，∴圆锥的侧面积为=50π．故选：D．【点评】本题考查了圆锥的结构特征，侧面积计算，属于基础题．8．已知lga+lgb=0，函数f（x）=a x与函数g（x）=﹣log b x的图象可能是（）A．B． C． D．【考点】对数函数的图象与性质；指数函数的图象与性质．【专题】数形结合．【分析】先求出a、b的关系，将函数g（x）进行化简，得到函数f（x）与函数g（x）的单调性是在定义域内同增同减，再进行判定．【解答】解：∵lga+lgb=0∴ab=1则b=从而g（x）=﹣log b x=log a x，f（x）=a x与∴函数f（x）与函数g（x）的单调性是在定义域内同增同减结合选项可知选B，故答案为B【点评】本题主要考查了对数函数的图象，以及指数函数的图象和对数运算等有关知识，属于基础题．9．在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是（）A．B．C．D．【考点】空间点、线、面的位置．【专题】计算题．【分析】首先设出点的坐标，根据点到三个坐标轴的距离都是1，写出坐标之间的关系，把三个关系式相加，点的点到原点的距离公式中要包含的形式，得到结果．【解答】解：设这个点的坐标是（x，y，z）∵点到三个坐标轴的距离都是1∴x2+y2=1，x2+z2=1，y2+z2=1，∴，∴该点到原点的距离是==，故选A．【点评】本题考查空间点、线、面的位置关系，考查点到坐标轴的距离，考查点到圆心的距离，是一个基础题，单独出题的机会不大．10．在圆x2+y2=4上，与直线4x+3y﹣12=0的距离最小的点的坐标是（）A．（）B．（C．（﹣）D．【考点】点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系．【分析】在圆x2+y2=4上，与直线4x+3y﹣12=0的距离最小的点，必在过圆心与直线4x+3y ﹣12=0垂直的直线上，求此线与圆的交点，根据图象可以判断坐标．【解答】解：圆的圆心（0，0），过圆心与直线4x+3y﹣12=0垂直的直线方程：3x﹣4y=0，它与x2+y2=4的交点坐标是（），又圆与直线4x+3y﹣12=0的距离最小，所以所求的点的坐标（）．图中P点为所求；故选A．【点评】本题考查点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系，直线的截距等知识，是中档题．11．如图，三棱柱ABC﹣A′B′C′的所有棱长都相等，侧棱与底面垂直，M是侧棱BB′的中点，则二面角M﹣AC﹣B的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．75°【考点】二面角的平面角及求法．【专题】计算题．【分析】由已知中三棱柱ABC﹣A′B′C′的所有棱长都相等，侧棱与底面垂直，易得三棱柱ABC﹣A′B′C′为直三棱柱，△ABC，MAC均是以AC为底的等腰三角形，取AC的中点D，连接BD，MD，由二面角的平面角的定义，可得∠MDB即为二面角M﹣AC﹣B的平面角，解Rt△MBD，即可求出二面角M﹣AC﹣B的大小．【解答】解：由已知中三棱柱ABC﹣A′B′C′的所有棱长都相等，侧棱与底面垂直，可得三棱柱ABC﹣A′B′C′为直三棱柱取AC的中点D，连接BD，MD，则MD⊥AC，BD⊥AC∴∠MDB即为二面角M﹣AC﹣B的平面角，在Rt△MBD中，∵M是侧棱BB′的中点∴tan∠MDB==故∠MDB=30°即二面角M﹣AC﹣B的大小为30°故选A【点评】本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，其中由二面角的平面角的定义，证得∠MDB即为二面角M﹣AC﹣B的平面角，是解答本题的关键．12．定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上递增，，则满足的x的取值范围是（）A．（0，+∞）B．C．D．【考点】对数函数的单调性与特殊点；奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用．【分析】由题意可得偶函数f（x）在[0，+∞）上递增，在（﹣∞，0]上递减，且f（﹣）=f（）=0．故由不等式可得＞①，或＜﹣②．分别求得①②的解集，再取并集，即得所求．【解答】解：由题意可得偶函数f（x）在[0，+∞）上递增，在（﹣∞，0]上递减，且f（﹣）=f（）=0．故由可得＞①，或＜﹣②．由①可得＞，lgx＜lg，解得0＜x＜．由②可得＜﹣，lgx＞﹣lg=lg2，解得x＞2．综上可得，不等式的解集为{x|0＜x＜，或x＞2}，故选C．【点评】本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用，解对数不等式，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卷中的横线上）13．已知幂函数y=f（x）的图象过点（3，），则log4f（2）=．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；对数的运算性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据幂函数的定义，利用待定系数法进行求解．【解答】解：设幂函数f（x）=xα，∵函数的图象过点（3，），∴f（3）=3α==3，解得α=，则f（x）==，则f（2）=，则log4f（2）=log4===，故答案为：．【点评】本题主要考查幂函数的解析式的求解，利用待定系数法是解决本题的关键．14．国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4000元的按全部稿酬的11%纳税．已知某人出版一本书，共纳税420元时，这个人应得稿费（扣税前）为3800元．【考点】分段函数的应用．【专题】应用题．【分析】分析知，纳税额与稿费的关系可以用一个分段函数来描述，求出函数的解析式再根据函数的解析式由纳税额为420元建立方程求出稿酬即可【解答】解：由题意，纳税额与稿费函数关系为由于此人纳税420元，令（x﹣800）×0.14=420，解得x=3800元令0.11x=420，得x=3818.2，舍故可得这个人应得稿费（扣税前）为3800元．故答案为：3800【点评】本题考查分段函数的应用，求解的关键是正确理解所给的实际问题建立起符合实际的函数的模型，本题考查建立函数模型的能力．15．已知直线ax﹣y+2a=0和（2a﹣1）x+ay+a=0互相垂直，则a=0或1．【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．【专题】分类讨论．【分析】当a=0 时，其中有一条直线的斜率不存在，经检验满足条件，当a≠0 时，两直线的斜率都存在，由斜率之积等于﹣1，可求a．【解答】解：当a=0 时，两直线分别为y=0，和x=0，满足垂直这个条件，当a≠0 时，两直线的斜率分别为a 和，由斜率之积等于﹣1得：a•=﹣1，解得a=1．综上，a=0 或a=1．故答案为0或1．【点评】本题考查两条直线垂直的条件，注意当直线的斜率不存在时，要单独检验，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．16．已知正三棱锥P﹣ABC的主视图和俯视图如图所示，则此三棱锥的外接球的表面积为．【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．【专题】空间位置关系与距离．【分析】根据三视图判断正三棱锥的侧棱长与底面正三角形的边长，借助直观图求出外接球的半径，代入球的表面积公式计算．【解答】解：由正视图与侧视图知，正三棱锥的侧棱长为4，底面正三角形的边长为2，如图：其中SA=4，AH=×2×=2，SH==2，设其外接球的球心为0，半径为R，则：OS=OA=R，∴R+=2⇒R=，∴外接球的表面积S=4π×=．故答案为：【点评】本题考查了由三视图求几何体的外接球的表面积，根据三棱锥的结构特征求出外接球的半径是解答本题的关键．三、解答题（本大题共6小题，共70分。