【推荐】2013-2019高考文科数学分类汇编-第十章曲线与方程题型122 抛物线的定义与标准方程
2013-2019高考文科数学分类汇编-第十章曲线与方程题型129平面向量在解析几何中的应用
题型129 平面向量在解析几何中的应用2016年24.（2016天津文19）设椭圆13222=+y a x （3>a ）的右焦点为F ，右顶点为A ，已知113||||||e OF OA FA +=，其中O为原点，e 为椭圆的离心率.（1）求椭圆的方程； （2）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H .若HF BF ⊥，且MAO MOA ∠=∠，求直线l 的斜率.24.解析 （1）由，即，可得.又，所以，因此，所以椭圆的方程为 （2）设直线的斜率为，则直线的方程为，设，由方程组 ，消去， 整理得，解得或，由题意得，从而. 由（1）知，设，有，，由，得，所以， 解得.由，得为的垂直平分线与的交点，所以.由，得，即， 得，解得113e OF OA FA+=113()c c a a a c +=-2223a c c -=2223a c b -==21c =24a =221.43x y +=l (0)k k ≠l (2)y k x =-(,)B B B x y 22143(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩y 2222(43)1616120k x k x k +-+-=2x =228643k x k -=+228643B k x k -=+21243B k y k -=+(1,0)F (0,)H H y (1,)H FH y =-2229412,4343k k BF k k ⎛⎫-= ⎪++⎝⎭BF HF ⊥0BF HF ⋅=222124904343Hky k k k -+=++29412H k y k-=MOA MAO ∠=∠M OA l ()1,M k -HM l ⊥1HMl k k ⋅=-2941211k k k k -+⋅=--238k =k =k =1.（2018浙江17）已知点P (0，1)，椭圆+y 2=m (m >1)上两点A ，B 满足=2，则当m =___________时，点B 横坐标的绝对值最大．解析 设()11,A x y ，()22,B x y ，由2AP PB =，得122x x =-，1232y y =-，由A ，B 均在椭圆上可知，()()222222222344x y m x y m-⎧+-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ，先消去2x 得，243m y =-，234m y +=，再代入得()2222225161094444m m m x m y --+-+-=-==.当5m =时，22x 有最大值4，即点B 的横坐标的绝对值的最大值为2.3.（2018浙江21）如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2=4上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上．（Ⅰ）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（Ⅱ）若P 是半椭圆2+=1(<0)上的动点，求△PAB 面积的取值范围．本题主要考查椭圆、抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力.满分15分. 解析（Ⅰ）设，，． 因为，的中点在抛物线上，所以，为方程即的两个不同的实数根． 所以，即1202y y y +=，点M 的纵坐标等于点P 的纵坐标. 24x APPB 24y 00(,)P x y 2111(,)4A y y 2221(,)4B y y PA PB 1y 2y 202014()422y x y y ++=⋅22000280y y y x y -+-=1202y y y +=因此，垂直于轴．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知 所以，． 因此，的面积． 因为()220001104y x x +=-<≤，所以．因此，面积的取值范围是⎡⎢⎣⎦．4.（2018江苏12）在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为 ▲ ． 解析 设00(,2)A x x ，因为(5,0)B ，所以以AB 为直径的圆C 的圆心005,2x C x +⎛⎫⎪⎝⎭.由0AB CD AB CD ⋅=⇒⊥， 所以005,2x C x +⎛⎫⎪⎝⎭到直线:2l y x =的距离为d ====，而AB ==，解得01x =-（舍）或03x =.PM y 120212002,8,y y y y y x y +=⎧⎪⎨=-⎪⎩2221200013||()384PM y y x y x =+-=-12||y y -=PAB△32212001||||4)24PABS PM y y y x =⋅-=-△2200004444[4,5]y x x x -=--+∈PAB △。
【推荐】2013-2019高考文科数学分类汇编-第十章曲线与方程题型131 定值问题
题型131 定值问题2013年18. （2013江西文20）椭圆22221:(0)x y a C a b b =>>+的离心率e = 3.a b +=（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，,,A B D 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意点，直线DP 交x 轴于点N 直线AD 交BP 于点M ，设BP 的斜率为k ，MN 的斜率为m ，证明2m k -为定值.2014年1.（2014江西文20）如图所示，已知抛物线2:4C xy =，过点(0,2)M 任作一直线与C相交于,A B 两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D （O 为坐标原点）. （1）求证：动点D 在定直线上；（2）作C 的任意一条切线l （不含x 轴），与直线2y =相交于点1N ，与（1）中的定直线相交于点2N ，求证：2221MN MN -为定值，并求此定值.2015年1.（2015陕西文20）如图所示，椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>经过点()01A -，，且离（1）求椭圆E 的方程； （2）经过点()11，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q （均异于点A ），证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2. 1. 解析 (1)由题意知2c a =，1b =，由222a b c =+，解得a =所以椭圆的方程为2212x y +=； (2)设()11Px y ，，()22Q x y ，，120x x≠，由题设知，直线PQ 的方程为()()112y k x k =-+≠，代入2212x y +=， 化简得()()()221241220k x k k x k k +--+-=， 则()1224112k k x x k -+=+，()1222212k k x x k -=+，由已知0∆>，从而直线AP 与AQ 的斜率之和为：121212121122AP AQ y y kx k kx kk k x x x x +++-+-+=+=+， 化简得()()()()()1212412222221222AP AQ k k x x k k k k k k k k x x k k -++=+-=+-=--=-.2.（2015四川文20）如图所示，椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的离心率是2，点()0,1P在短轴CD 上，且1PC PD =-.（1）求椭圆E 的方程；（2）设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A ，B 两点.是否存在常数λ，使得OA OB PA PB λ+为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.2. 分析 本题主要考查椭圆的标准方程、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想. 解析 （1）由已知可得点,C D 的坐标分别为()0,b -，()0,b .又点P 的坐标为()0,1，且1PC PD =-，所以2222112b caa b c ⎧-=-⎪⎪=⎨⎪⎪-=⎩，解得2a =，b =所以椭圆E 方程为22142x y +=. （2）当直线AB 的斜率存在是，设直线AB 的方程为1y kx =+，,A B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y .联立221421x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2221420k x kx ++-=. 其判别式()()2248210k k ∆=++>，所以122421k x x k +=-+，122221x x k =-+. 则()()1212121211OA OB PA PB x x y y x x y y λλ+=+++--⎡⎤⎣⎦()()()21212111k x x k x x λ=+++++()()2222421122121k k k λλλλ--+---==---++.所以当1λ=时，212321k λλ----=-+，此时，3OA OB PA PB λ+=-为定值.当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即为直线CD .此时213OA OB PA PB OC OD PC PD λ+=+=--=-， 故存在常数1λ=-，使得OA OB PA PB λ+为定值3-.2016年1.（2016山东文21）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的长轴长为4，焦距为（1）求椭圆C 的方程； （2）过动点()()0,0Mm m >的直线交x 轴于点N ，交C 于点,A P (P 在第一象限)，且M 是线段PN 的中点.过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长线QM 交C 于点B .（i ）设直线PM ，QM 的斜率分别为k ，k '，证明k k'为定值. （ii ）求直线AB 的斜率的最小值.1.解析 （1）设椭圆的半焦距为，由题意知，所以，所以椭圆的方程为. （2）（i ）设，由，可得 所以直线的斜率 ，直线的斜率. 此时，所以为定值. (ii)设，直线的方程为，直线的方程为.联立 ，c 24,2a c ==2,a b ==C 22142x y +=()()0000,0,0P x y x y >>()0,M m ()()00,2,,2.P x m Q x m -PM 002m m m k x x -==QM 0023'm m mk x x --==-'3k k =-'k k3-()()1122,,,A x y B x y PA y kx m =+QB 3y kx m =-+22142y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得.由，可得 ， 所以.同理，.所以，，所以 由，可知，所以 ，等号当且仅当时取得.，即，符合题意.所以直线 的斜率的最小值为 .2.（2016北京文19）已知椭圆2222:1x y C a b+=过点()2,0A ，()0,1B 两点.（1）求椭圆C 的方程及离心率；（2）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y轴交于点M ，直线PB 与x轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值.2.解析 （1）由题意得，，所以椭圆的方程为.又，所以离心率. ()222214240k x mkx m +++-=20122421m x x k -=+()()2122221m x k x -=+()()211202221k m y kx m m kx -=+=++()()()()2222222262,181181m k m x y m kx kx ---==+++()()()()()()()222221222200022223221812118121m m k m x x k x k x k k x -----=-=++++()()()()()()()()2222212222622286121812118121k m k m k k m y y m m k x kx kk x ----+--=+--=++++2212161116.44ABy y k k k x x k k -+⎛⎫===+ ⎪-⎝⎭00,0m x >>0k >16k k +…k =6=7m =AB 22,1a b ==C 2214x y +=c ==c e a ==（2）依题意画出草图如图所示.设，则.又，所以直线的方程为. 令，得. 所以.直线的方程为. 令，得.所以. 所以四边形的面积所以四边形的面积为定值.2017年1.（2017全国3文20）在直角坐标系xOy 中，曲线2–2y x mx =+与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为()01，.当m 变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC BC ⊥的情况？说明理由； （2）证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.1.解析 （1）令()1,0Ax ，()2,0B x ，C(0，1)，为220x mx +-=的根12122x x m x x ∆>⎧⎪+=-⎨⎪=-⎩，假设AC BC ⊥成立，则0AC BC ⋅=，()1,1AC x =-，()2,1BC x =-， 而1110AC BC x x ⋅=+≠，所以不能出现AC BC ⊥的情况. （2）解法一 设圆与轴的交点为()01C，，()30,D y .()()0000,0,0P x y x y <<220044x y +=()()2,0,0,1A B PA ()0022y y x x =--0x =0022M y y x -=-002112M y BM y x =-=+-PB 0011y y x x -=+0y =001N x x y -=-00221Nx AN x y =-=+-ABNM 12S AN BM =⋅=0000000000222221121212212x y x y x y y x y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-+⋅+=⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()22000000000000000000444842244222222x y x y x y x y x y x y x y x y x y ++--+--+==⋅--+--+ABNM设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++= ①令y =，得20x D x F ++=的根为x ，，所以D m =，2F=-.又点()01C ，在圆上， 所以120E +-=得1E =，所以y，故1y =或2y =-，所以y .所以圆在y 轴上截得的弦长为3，是定值.解法二 设圆与y 轴的另一交点为D ，即AB 与CD 交于原点O ，由相交弦定理，得AO OB OC OD ⋅=⋅.由（1）知，12122AO OB x x x x ⋅=⋅==，所以2221OD OC ===，所以CD CO =+123OD =+=，为定值.评注 本题整体难度不算很高，但与常考的圆锥曲线题型存在一定区别，学生做题时会产生迷茫的感觉.第（1）问垂直的证明比较常规，但第（2）问定值类问题的处理比较不常见，一般定值都是转化为函数问题处理，本题直接用采用设方程的方法解圆的方程，对学生讲，思路是一大难题.解法二直接利用相交弦定理，更加简捷，对思维的灵活度是个挑战.2018年1.（2018全国Ⅰ文20）设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （2）证明：ABM ABN =∠∠．解析 （1）当l 与轴垂直时，l 的方程为=2，可得M 的坐标为（2，2）或（2，–2）． 所以直线BM 的方程为y =112x +或112y x =--．（2）当l 与轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线，所以∠ABM =∠ABN ．当l 与轴不垂直时，设l 的方程为(2)(0)y k x k =-≠，M （1，y 1），N （2，y 2），则1>0，2>0． 由2(2)2y k x y x=-⎧⎨=⎩得2240ky y k --=，可知122y y k +=，124y y =-．直线BM ，BN 的斜率之和为1221121212122()22(2)(2)BM BN y y x y x y y y k k x x x x ++++=+=++++．① 将112y x k =+，222yx k=+及y 1+y 2，y 1y 2的表达式代入①式分子，可得 121221121224()882()0y y k y y x y x y y y k k++-++++===．所以BM +BN =0，可知BM ，BN 的倾斜角互补，所以ABM ABN ∠=∠． 综上，ABM ABN ∠=∠．。
【2019版课标版】高考数学文科精品课件§9.7 曲线与方程
§9.7曲线与方程考纲解读分析解读 1.了解解析几何的基本思想和研究几何问题的方法——坐标法.2.理解轨迹的概念.能够根据所给条件选择适当的直角坐标系,运用求轨迹方程的常用方法(如:直接法、代入法、定义法、待定系数法、参数法、交轨法等)求轨迹方程.3.本节在高考中以求曲线的方程和研究曲线的性质为主,分值约为12分,属中高档题.五年高考考点曲线与方程1.(2017课标全国Ⅱ,20,12分)设O为坐标原点,动点M在椭圆C:+y2=1上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足=.(1)求点P的轨迹方程;(2)设点Q在直线x=-3上,且·=1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.解析(1)设P(x,y),M(x,y0),则N(x0,0),=(x-x0,y),=(0,y0).由=得x=x,y0=y.因为M(x,y0)在C上,所以+=1.因此点P的轨迹方程为x2+y2=2.(2)由题意知F(-1,0).设Q(-3,t),P(m,n),则=(-3,t),=(-1-m,-n),·=3+3m-tn,=(m,n),=(-3-m,t-n).由·=1得-3m-m2+tn-n2=1,又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0.所以·=0,即⊥.又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.2.(2016课标全国Ⅲ,20,12分)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明AR∥FQ;(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.解析由题设知F.设l:y=a,l2:y=b,则ab≠0,1且A,B,P-,Q-,R-.记过A,B两点的直线为l,则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0.(3分)(1)由于F在线段AB上,故1+ab=0.记AR的斜率为k,FQ的斜率为k2,则1==-=-b=k2.k1=-=--所以AR∥FQ.(5分)(2)设l与x轴的交点为D(x1,0),则S△ABF=|b-a||FD|=|b-a|-,S△PQF=-.由题设可得2×|b-a|-=-,所以x=0(舍去),或x1=1.(8分)1设满足条件的AB 的中点为E(x,y).当AB 与x 轴不垂直时,由k AB =k DE 可得 = - (x ≠1).而=y,所以y 2=x-1(x ≠1). 当AB 与x 轴垂直时,E 与D 重合.所以,所求轨迹方程为y 2=x-1.(12分)教师用书专用(3—6)3.(2015湖北,21,14分)一种作图工具如图1所示.O 是滑槽AB 的中点,短杆ON 可绕O 转动,长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接,MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动,且DN=ON=1,MN=3.当栓子D 在滑槽AB 内做往复运动时,带动··N 绕O 转动一周(D 不动时,N 也不动),M 处的笔尖画出的曲线记为C.以O 为原点,AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系.(1)求曲线C 的方程;(2)设动直线l 与两定直线l 1:x-2y=0和l 2:x+2y=0分别交于P,Q 两点.若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点,试探究:△OPQ 的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.图1图2解析 (1)设点D(t,0)(|t|≤2),N(x 0,y 0),M(x,y),依题意,=2 ,且| |=| |=1,所以(t-x,-y)=2(x 0-t,y 0),且 -即 - -且t(t-2x 0)=0. 由于当点D 不动时,点N 也不动,所以t 不恒等于0, 于是t=2x 0,故x 0=,y 0=-,代入 +=1,可得 +=1,即所求的曲线C 的方程为 +=1.(2)(i)当直线l 的斜率不存在时,直线l 为x=4或x=-4,都有S △OPQ =×4×4=8. (ii)当直线l 的斜率存在时,设直线l:y=kx+m, 由 消去y,可得(1+4k 2)x 2+8kmx+4m 2-16=0. 因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点,所以Δ=64k 2m 2-4(1+4k 2)(4m 2-16)=0,即m 2=16k 2+4.① 又由 -可得P;同理可得Q-. 由原点O 到直线PQ 的距离为d=和|PQ|=|x P -x Q |,可得S △OPQ =|PQ|·d=|m||x P -x Q | =·|m|·=.② 将①代入②得,S △OPQ ==8-. 当k 2>时,S △OPQ =8·-=8->8;当0≤k 2< 时,S △OPQ =8·=8 -.因0≤k 2< ,则0<1-4k 2≤1,≥2,所以S △OPQ =8 -≥8,当且仅当k=0时取等号.所以当k=0时,S △OPQ 的最小值为8.综合(i)(ii)可知,当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时,△OPQ 的面积取得最小值8. 4.(2014广东,20,14分)已知椭圆C: +=1(a>b>0)的一个焦点为( 离心率为.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)若动点P(x 0,y 0)为椭圆C 外一点,且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直,求点P 的轨迹方程. 解析 (1)由题意知c= ,e= =, ∴a=3,b 2=a 2-c 2=4,故椭圆C 的标准方程为 +=1.(2)设两切线为l 1,l 2,①当l 1⊥x 轴或l 1∥x 轴时,l 2∥x 轴或l 2⊥x 轴,可知P(±3,±2).②当l 1与x 轴不垂直且不平行时,x 0≠±3,设l 1的斜率为k,且k ≠0,则l 2的斜率为-,l 1的方程为y-y 0=k(x-x 0), 与 +=1联立,整理得(9k 2+4)x 2+18(y 0-kx 0)kx+9(y 0-kx 0)2-36=0,∵直线l 1与椭圆相切,∴Δ=0,即9(y 0-kx 0)2k 2-(9k 2+4)·[(y 0-kx 0)2-4]=0,∴( -9)k 2-2x 0y 0k+ -4=0,∴k 是方程( -9)x 2-2x 0y 0x+ -4=0的一个根, 同理,-是方程( -9)x 2-2x 0y 0x+ -4=0的另一个根,∴k · - =- -,整理得 +=13,其中x 0≠±3,∴点P 的轨迹方程为x 2+y 2=13(x ≠±3).检验P(±3,±2)满足上式.综上,点P 的轨迹方程为x 2+y 2=13.5.(2013福建,18,13分)如图,在正方形OABC 中,O 为坐标原点,点A 的坐标为(10,0),点C 的坐标为(0,10).分别将线段OA 和AB 十等分,分点分别记为A 1,A 2,…,A 9和B 1,B 2,…,B 9.连接OB i ,过A i 作x 轴的垂线与OB i 交于点P i (i ∈N *,1≤i ≤9). (1)求证:点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在同一条抛物线上,并求该抛物线E 的方程;(2)过点C作直线l与抛物线E交于不同的两点M,N,若△OCM与△OCN的面积比为4∶1,求直线l的方程.解析解法一:(1)依题意,过Ai(i∈N*,1≤i≤9)且与x轴垂直的直线方程为x=i,B i的坐标为(10,i),所以直线OB i的方程为y=x.设Pi的坐标为(x,y),由得y=x2,即x2=10y.所以点Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在同一条抛物线上,且抛物线E的方程为x2=10y.(2)依题意,直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+10.由得x2-10kx-100=0,此时Δ=100k2+400>0,直线l与抛物线E恒有两个不同的交点M,N.设M(x1,y1),N(x2,y2),则·①②因为S△OCM=4S△OCN,所以|x1|=4|x2|.又x1·x2<0,所以x1=-4x2,分别代入①和②,得--解得k=±.所以直线l的方程为y=±x+10,即3x-2y+20=0或3x+2y-20=0.解法二:(1)点Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在抛物线E:x2=10y上.证明如下:过Ai(i∈N*,1≤i≤9)且与x轴垂直的直线方程为x=i,B i的坐标为(10,i),所以直线OB i的方程为y=x.由解得Pi的坐标为,因为点Pi的坐标都满足方程x2=10y,所以点Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在同一条抛物线上,且抛物线E的方程为x2=10y.(2)同解法一.6.(2013四川,20,13分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),且椭圆C经过点P.(1)求椭圆C的离心率;(2)设过点A(0,2)的直线l与椭圆C交于M,N两点,点Q是线段MN上的点,且=+,求点Q的轨迹方程.解析(1)由椭圆定义知,2a=|PF1|+|PF2|=+-=2,所以a=.又由已知得,c=1,所以椭圆C的离心率e===.(4分)(2)由(1)知,椭圆C的方程为+y2=1.设点Q的坐标为(x,y).(i)当直线l与x轴垂直时,直线l与椭圆C交于(0,1),(0,-1)两点,此时点Q的坐标为.(ii)当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=kx+2.因为M,N在直线l上,所以可设点M,N的坐标分别为(x,kx1+2),(x2,kx2+2),1则|AM|2=(1+k2),|AN|2=(1+k2).又|AQ|2=x2+(y-2)2=(1+k2)x2.由=+,得=+,即=+=-.①将y=kx+2代入+y2=1中,得(2k2+1)x2+8kx+6=0.②由Δ=(8k)2-4×(2k2+1)×6>0,得k2>.由②可知,x+x2=-,x1x2=,1代入①中并化简,得x2=.③-因为点Q在直线y=kx+2上,所以k=-,代入③中并化简,得10(y-2)2-3x2=18.由③及k2>,可知0<x2<,即x∈-∪.又满足10(y-2)2-3x2=18,故x∈-.由题意知,Q(x,y)在椭圆C内,所以-1≤y≤1,由10(y-2)2=18+3x2得(y-2)2∈,且-1≤y≤1,则y∈-.所以点Q的轨迹方程为10(y-2)2-3x2=18,其中x∈-,y∈-.(13分)三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点曲线与方程1.(2018广东韶关模拟,9)设M是圆O:x2+y2=9上的动点,直线l过M且与圆O相切,若过A(-2,0),B(2,0)两点的抛物线以直线l为准线,则抛物线焦点F的轨迹方程是()A.-=1(y≠0)B.-=1(y≠0)C.+=1(y≠0)D.+=1(y≠0)答案C2.(2017河北衡水中学期中,11)已知A(-1,0),B 是圆F:x 2-2x+y 2-11=0(F 为圆心)上一动点,线段AB 的垂直平分线交BF 于P,则动点P 的轨迹方程为( )A. +=1B. -=1C. - =1D. + =1 答案 D3.(2018河北唐山调研,14)过抛物线y 2=4x 的焦点作直线与此抛物线交于P,Q 两点,那么线段PQ 中点的轨迹方程是 . 答案 y 2=2x-24.(2017安徽安庆二模,20)已知抛物线x 2=2py(p>0),F 为其焦点,过点F 的直线l 交抛物线于A 、B 两点,过点B 作x 轴的垂线,交直线OA 于点C,如图所示. (1)求点C 的轨迹M 的方程;(2)直线n 是抛物线不与x 轴重合的切线,切点为P,轨迹M 与直线n 交于点Q,求证:以线段PQ 为直径的圆过点F.解析 (1)依题意可得,直线l 的斜率存在,故设其方程为y=kx+,又设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),C(x,y), 由⇒x 2-2pkx-p 2=0⇒x 1·x 2=-p 2.(3分) 易知直线OA:y=x=x,直线BC:x=x 2,由得y= · =-,即点C 的轨迹M 的方程为y=-.(6分) (2)证明:由题意知直线n 的斜率存在. 设直线n 的方程为y=k 1x+m.由⇒x 2-2pk 1x-2pm=0⇒Δ=4p 2+8pm. ∵直线n 与抛物线相切,∴Δ=0⇒p+2m=0,可得P(pk 1,-m).又由⇒Q - - ,(9分) ∴ · = - -· -- =-(p+2m)+pm+=0⇒FP ⊥FQ,∴以线段PQ 为直径的圆过点F.(12分)B 组 2016—2018年模拟·提升题组(满分:55分 时间:50分钟)一、填空题(每小题5分,共15分)1.(2017豫北名校4月联考,15)已知△ABC 的顶点B(0,0),C(5,0),AB 边上的中线长|CD|=3,则顶点A 的轨迹方程为 . 答案 (x-10)2+y 2=36(y ≠0)2.(人教A 选2—1,二A,3(2),变式)已知圆O 1:(x-2)2+y 2=16和圆O 2:x 2+y 2=r 2(0<r<2),动圆M 与圆O 1和圆O 2都相切,动圆圆心M 的轨迹为两个椭圆,设这两个椭圆的离心率分别为e 1和e 2(e 1>e 2),则e 1+2e 2的最小值为 . 答案3.(2016广东佛山六校联考,15)已知A(3,2)、B(1,0),P(x,y)满足 =x 1 +x 2 (O 是坐标原点),若x 1+x 2=1,则P 的坐标满足的方程是 . 答案 x-y-1=0二、解答题(共40分)4.(2018湖南郴州模拟,20)已知抛物线E:y2=8x,圆M:(x-2)2+y2=4,点N为抛物线E上的动点,O为坐标原点,线段ON的中点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)点Q(x0,y0)(x0≥5)是曲线C上的点,过点Q作圆M的两条切线,分别与x轴交于A、B两点,求△QAB面积的最小值.解析(1)设P(x,y),则点N(2x,2y)在抛物线E:y2=8x上,∴4y2=16x,∴曲线C的方程为y2=4x.(2)设切线方程为y-y0=k(x-x0).令y=0,可得x=x-,圆心(2,0)到切线的距离d==2,整理可得(-4x)k2+(4y0-2x0y0)k+-4=0.设两条切线的斜率分别为k1,k2,则k1+k2=--,k1k2=--,∴△QAB的面积S=---|y0|=2·-.设t=x-1∈[4,+∞),则f(t)=2在[4,+∞)上单调递增,∴f(t)≥,即△QAB面积的最小值为.5.(2018云南玉溪模拟,20)已知点M(4,0)、N(1,0),若动点P满足·=6||.(1)求动点P的轨迹C;(2)在曲线C上求一点Q,使点Q到直线l:x+2y-12=0的距离最小.解析(1)设动点P(x,y),又点M(4,0)、N(1,0),∴=(x-4,y),=(-3,0),=(x-1,y).(3分)由·=6||,得-3(x-4)=6-,(4分)∴x2-8x+16=4(x2-2x+1)+4y2,故3x2+4y2=12,即+=1,∴轨迹C是焦点为(±1,0),长轴长为4的椭圆.(7分)(2)椭圆C上的点Q到直线l的距离的最值等于平行于直线l:x+2y-12=0且与椭圆C相切的直线l1与直线l的距离.设直线l1的方程为x+2y+m=0(m≠-12).(8分)由消去y得4x2+2mx+m2-12=0(*).依题意得Δ=0,即4m2-16(m2-12)=0,故m2=16,解得m=±4.当m=4时,直线l1:x+2y+4=0,直线l与l1的距离d==.当m=-4时,直线l1:x+2y-4=0,直线l与l1的距离d==.由于<,故曲线C上的点Q到直线l的距离的最小值为.(12分)当m=-4时,方程(*)化为4x2-8x+4=0,即(x-1)2=0,解得x=1.由1+2y-4=0,得y=,故Q,(13分)∴曲线C上的点Q到直线l的距离最小.(14分)6.(2017河南洛阳二模,20)已知动圆M过定点E(2,0),且在y轴上截得的弦PQ的长为4.(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程;(2)设A,B是轨迹C上的两点,且·=-4,F(1,0),记S=S△OFA+S△OAB,求S的最小值.解析(1)设M(x,y),PQ的中点为N,连MN,则|PN|=2,MN⊥PQ,∴|MN|2+|PN|2=|PM|2.又|PM|=|EM|,∴|MN|2+|PN|2=|EM|2,∴x2+4=(x-2)2+y2,整理得y2=4x.∴动圆圆心M的轨迹C的方程为y2=4x.(4分) (2)设A,B,不妨令y1>0,则S△OFA=·|OF|·y1=y1,(5分)∵·=-4,∴x1x2+y1y2=+y1y2=-4,解得y1y2=-8,①(6分)当y1=-y2时,AB⊥x轴,A(2,2),B(2,-2),S△AOB=4,S△OFA=,S=5.当y1≠-y2时,直线AB的方程为--=--,(7分)即y-y1=-,令y=0,得x=2,∴直线AB恒过定点(2,0),设定点为E,∴S△OAB=|OE|·|y1-y2|=y1-y2,(9分)由①可得S△OAB=y1+,(10分)∴S=S△OFA+S△OAB=y1+=y1+≥2=4当且仅当y1=,即y1=时,取等号.(11分)综上,Smin=4.(12分)C组2016—2018年模拟·方法题组方法求轨迹方程的方法1.(2018山西临汾模拟,9)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左,右顶点分别为A,B,点M,N是椭圆C上关于长轴对称的两点,若直线AM与BN相交于点P,则点P的轨迹方程是()A.x=±a(y≠0)B.y2=2b(|x|-a)(y≠0)C.x2+y2=a2+b2(y≠0)D.-=1(y≠0)答案D2.(2018安徽合肥模拟,20)如图,抛物线E:y2=2px(p>0)与圆O:x2+y2=8相交于A,B两点,且点A的横坐标为2.过劣弧AB上动点P(x0,y0)作圆O的切线交抛物线E于C,D两点,分别以C,D为切点作抛物线E的切线l1,l2,l1与l2相交于点M.(1)求p的值;(2)求动点M的轨迹方程.解析 (1)由点A 的横坐标为2,可得点A 的坐标为(2,2), 代入y 2=2px,解得p=1.(2)由(1)知抛物线E 的方程为y 2=2x.设C,D,y 1≠0,y 2≠0.易知l 1,l 2的斜率均存在,设切线l 1:y-y 1=k -,代入y 2=2x 得ky 2-2y+2y 1-k=0,由Δ=0解得k=,∴l 1的方程为y=x+,同理,l 2的方程为y=x+,联立解得 ·∵CD 的方程为x 0x+y 0y=8,其中x 0,y 0满足 +=8,x 0∈[2,2 联立得x 0y 2+2y 0y-16=0,则·代入·可知M(x,y)满足代入 +=8得-y 2=1,由x 0∈[2,2 ]知x ∈[-4,-2 ].∴动点M 的轨迹方程为-y 2=1,x ∈[-4,-2 ].3.(2017福建泉州二模,20)在△ABC 中,O 是BC 的中点,|BC|=3 ,△ABC 的周长为6+3 .若点T 在线段AO 上,且|AT|=2|TO|. (1)建立合适的平面直角坐标系,求点T 的轨迹E 的方程;(2)若M,N 是射线OC 上不同的两点,|OM|·|ON|=1,过点M 的直线与E 交于P,Q,直线QN 与E 交于另一点R.证明:△MPR 是等腰三角形. 解析 (1)如图,以O 为坐标原点,以 的方向为x 轴的正方向,建立平面直角坐标系xOy.依题意得B - ,C. 由|AB|+|AC|+|BC|=6+3 ,得|AB|+|AC|=6. 因为|AB|+|AC|=6>|BC|,所以点A 的轨迹是以B,C 为焦点,6为长轴长的椭圆(除去长轴端点),所以点A 的轨迹方程为 +=1(x ≠±3). 设A(x 0,y 0),T(x,y),依题意知 =,所以(x,y)=(x 0,y 0),即又 +=1,∴ +=1, 所以点T 的轨迹E 的方程为x 2+2y 2=1(x ≠±1).(2)证明:设M(m,0)(m ≠1),N,Q(x 1,y 1),P(x 2,y 2),R(x 3,y 3). 由题意可得直线QM 不与坐标轴平行, 因为k QM =-,所以直线QM 的方程为y=-(x-m),与x 2+2y 2=1联立并整理可得,(m 2+1-2mx 1)x 2-2m(1- )x+(2mx 1- -m 2)=0,由根与系数关系得x1x2=--,同理,x1x3=--=---=x1x2,所以x2=x3或x1=0,当x2=x3时,PR⊥x轴;当x1=0时,由x1+x2=-得x2=,同理,x3===x2,∴PR⊥x轴.因此|MP|=|MR|,故△MPR是等腰三角形.11。
2019年全国高考文科数学分类汇编---解析几何
2019年全国高考文科数学分类汇编---解析几何1.（2019北京文科）已知双曲线2221x y a-=（a ＞0则a =A.B. 4C. 2D.12【答案】D 【解析】 【分析】本题根据根据双曲线的离心率的定义，列关于a 的方程求解.【详解】 ∵双曲线的离心率ce a==，c =，=，解得12a = ， 故选D.【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的定义，双曲线中a,b,c 的关系，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.（2019北京文科）设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l .则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________． 【答案】(x -1)2+y 2=4.【解析】 【分析】由抛物线方程可得焦点坐标，即圆心，焦点到准线距离即半径，进而求得结果.【详解】抛物线y 2=4x 中，2p =4，p =2，焦点F （1,0），准线l 的方程为x =-1， 以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为 (x -1)2+y 2=22,即为(x -1)2+y 2=4.【点睛】本题主要考查抛物线的焦点坐标，抛物线的准线方程，直线与圆相切的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.（2019北京文科）已知椭圆2222:1x y C a b +=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM |·|ON |=2，求证：直线l 经过定点.【答案】（Ⅰ）2212x y +=；（Ⅱ）见解析. 【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意确定a ,b 的值即可确定椭圆方程；(Ⅱ)设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程确定OM ,ON 的表达式，结合韦达定理确定t 的值即可证明直线恒过定点.【详解】（Ⅰ）因为椭圆的右焦点为(1,0)，所以1225； 因为椭圆经过点(0,1)A ,所以1b =，所以2222a b c =+=，故椭圆的方程为2212x y +=.（Ⅱ）设1122(,),(,)P x y Q x y联立2212(1)x y y kx t t ⎧+=⎪⎨⎪=+≠⎩得222(12k )4220x ktx t +++-=，21212224220,,1212kt t x x x x k k -∆>+=-=++，121222()212t y y k x x t k +=++=+，222212121222()12t k y y k x x kt x x t k-=+++=+. 直线111:1y AP y x x --=，令0y =得111x x y -=-，即111x OM y -=-； 同理可得221x ON y -=-. 因为2OM ON =,所以1212121212211()1x x x x y y y y y y --==---++；221121t t t -=-+，解之得0t =，所以直线方程为y kx =，所以直线l 恒过定点(0,0). 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．4.（2019全国1卷文科）双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的 一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为A. 2sin40°B. 2cos40°C.1sin50︒D.1cos50︒【答案】D 【解析】 分析】由双曲线渐近线定义可得tan130,tan 50b b a a -=︒∴=︒，再利用c e a == 【详解】由已知可得tan130,tan 50b ba a-=︒∴=︒，1cos50c e a ∴======︒，故选D ． 【点睛】对于双曲线：()222210,0x y a b a b -=>>，有c e a ==对于椭圆()222210x y a b a b +=>>，有c e a ==5.（2019全国1卷文科）已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为A. 2212x y +=B. 22132x y +=C. 22143x y +=D. 22154x y += 【答案】B 【解析】 分析】【由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，得12A F n =，在1A F B △中求得11cos 3F AB ∠=，再在12AF F △中，由余弦定理得2n =，从而可求解. 【详解】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1A F B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得2n =．22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得2n =．22224,,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．6（2019全国1卷文科）.已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，│AB │ =4，⊙M 过点A ，B 且与直线x +2=0相切．（1）若A 在直线x +y =0上，求⊙M 的半径．（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，│MA │－│MP │为定值？并说明理由．【答案】（1）2或6； （2）见解析. 【解析】 【分析】（1）设(),A t t -，(),B t t -，根据4AB =，可知t =M 必在直线y x =上，可设圆心(),M a a ；利用圆心到20x +=的距离为半径和MA MB r ==构造方程，从而解出r ；（2）当直线AB 斜率存在时，设AB 方程为：y kx =，由圆的性质可知圆心M 必在直线1=-y x k上；假设圆心坐标，利用圆心到20x +=的距离为半径和r MA ==构造方程，解出M 坐标，可知M轨迹为抛物线；利用抛物线定义可知()1,0P 为抛物线焦点，且定值为1；当直线AB 斜率不存在时，求解出M 坐标，验证此时()1,0P 依然满足定值，从而可得到结论.【详解】（1）A 在直线22gR r上 ∴设(),A t t -，则(),B t t -又4AB = 2816t ∴=，解得：t =M 过点A ，B ∴圆心M 必在直线y x =上设(),M a a ，圆的半径为rM 与20x +=相切 2r a ∴=+又MA MB r ==，即((222a a r ++=((()2222a a a ∴+=+，解得：0a =或4a =当0a =时，2r =；当4a =时，6r =M ∴的半径为：2或6（2）存在定点()1,0P ，使得1MA MP -= 说明如下：A ，B 关于原点对称且4AB =∴直线AB 必为过原点O 的直线，且2OA =①当直线AB 斜率存在时，设AB 方程为：y kx =则M 的圆心M 必在直线1=-y x k上设(),M km m -，M 的半径为rM 与20x +=相切 2r km ∴=-+又r MA ===2km ∴-+=，整理可得：24m km =-即M 点轨迹方程为：24y x =，准线方程为：1x =-，焦点()1,0FMA r =，即抛物线上点到2x =-的距离 ∴1MA MF =+ 1MA MF ∴-=∴当P 与F 重合，即P 点坐标为()1,0时，1MA MP -=②当直线AB 斜率不存在时，则直线AB 方程为：0x =M \在x 轴上，设(),0M n2n ∴+=，解得：0n =，即()0,0M若()1,0P ，则211MA MP -=-=综上所述，存在定点()1,0P ，使得MA MP -为定值.【点睛】本题考查圆的方程的求解问题、圆锥曲线中的定点定值类问题.解决本定点定值问题的关键是能够根据圆的性质得到动点所满足的轨迹方程，进而根据抛物线的定义得到定值，进而验证定值符合所有情况，使得问题得解.7.（2019全国2卷文科）若x 1=4π，x 2=34π是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点，则ω= A. 2 B. 32C. 1D. 12【答案】A 【解析】 【分析】从极值点可得函数的周期，结合周期公式可得ω. 【详解】由题意知，()sin f x x ω=的周期232()44T ωπππ==-=π，得2ω=．故选A ． 【点睛】本题考查三角函数的极值、最值和周期，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用方程思想解题．8.（2019全国2卷文科）若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =A. 2B. 3C. 4D. 8【答案】D 【解析】 【分析】利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于p 的方程，即可解出p ，或者利用检验排除的方法，如2p =时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A ，同样可排除B ，C ，故选D ．【详解】因为抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2p 是椭圆2231x y p p +=的一个焦点，所以23()2pp p -=，解得8p =，故选D ．【点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．9.（2019全国2卷文科）设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为A.B.C. 2D.【答案】A 【解析】 【分析】准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率． 【详解】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c ==，||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，A ∴为圆心||2cOA =．,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a=∴==．e ∴=A ．【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．10.（2019全国2卷文科）已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为C 上一点，O 为坐标原点．（1）若2POF V 为等边三角形，求C 的离心率；（2)如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且12F PF △的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围.【答案】(1) 1e =；（2）4b =，a 的取值范围为)+∞. 【解析】 【分析】（1）先连结1PF ，由2POF V 为等边三角形，得到1290F PF ∠=，2PF c =，1PF =；再由椭圆定义，即可求出结果；（2）先由题意得到，满足条件的点(,)P x y 存在，当且仅当12162y c ⋅=，1y y x c x c ⋅=-+-，22221x y a b+=，根据三个式子联立，结合题中条件，即可求出结果.【详解】（1）连结1PF ，由2POF V 为等边三角形可知：在12F PF △中，1290F PF ∠=，2PF c =，1PF =，于是122a PF PF c =+=，故椭圆C 的离心率为1c e a ===； （2）由题意可知，满足条件的点(,)P x y 存在，当且仅当12162y c ⋅=，1y y x c x c ⋅=-+-，22221x y a b+=， 即16c y = ①222x y c += ②22221x y a b+= ③ 由②③以及222a b c =+得422b y c =，又由①知22216y c=，故4b =；由②③得22222()a x c b c=-，所以22c b ≥，从而2222232a b c b =+≥=，故a ≥；当4b =，a ≥P .故4b =，a 的取值范围为)+∞.【点睛】本题主要考查求椭圆的离心率，以及椭圆中存在定点满足题中条件的问题，熟记椭圆的简单性质即可求解，考查计算能力，属于中档试题.11.（2019全国3卷文科）已知F 是双曲线22:145x y C -=的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若=OP OF ，则OPF 的面积为（ ）A.32B.52C.72D.92【答案】B 【解析】 【分析】设()00,P x y ，因为=OP OF 再结合双曲线方程可解出0y ，再利用三角形面积公式可求出结果.【详解】设点()00,P x y ，则2200145x y -=①．又3OP OF ===，22009x y ∴+=②．由①②得20259y =， 即053y =， 0115532232OPF S OF y ∆∴==⨯⨯=， 故选B ．【点睛】本题易错在忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅。
2013高中数学高考题详细分类考点44 曲线与方程、圆锥曲线的综合应用
考点44 曲线与方程、圆锥曲线的综合应用一、选择题1.（2013·四川高考理科·Ｔ6）抛物线24y x =的焦点到双曲线2213yx -=的渐近线的距离是（ ）（A ）12（B ）（C ）1 （D ）【解题指南】本题考查的是抛物线与双曲线的基本几何性质，在求解时首先求得抛物线的焦点坐标，然后求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式进行求解即可.【解析】选B ，由抛物线24y x =的焦点(1,0)，双曲线2213yx -=的一条渐近线方程为0y -=，根据点到直线的距离公式可得d =，故选B. 2.（2013·山东高考文科·Ｔ11）与（2013·山东高考理科·Ｔ11）相同抛物线C 1：y=12px 2(p ＞0)的焦点与双曲线C 2：2213x y -=的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M.若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p=（ ）【解题指南】 本题考查了圆锥曲线的位置关系,可先将抛物线化成标准方程,然后再利用过交点的切线平行于C 2的一条渐近线,求得切线斜率,进而求得p 的值.【解析】选D. 经过第一象限的双曲线的渐近线为3y x =.抛物线的焦点为(0,)2p F ,双曲线的右焦点为2(2,0)F .1'y x p =，所以在200(,)2x M x p处的切线斜率为，即01x p =，所以0x p =，即三点(0,)2p F ，2(2,0)F，,)6p M p 共线，所以0202p p p--=-，即p =二、填空题3. （2013·江西高考理科·Ｔ14）抛物线x 2=2py （p ＞0）的焦点为F ，其准线与双曲线22x y 133-=相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p=___________.【解题指南】A 、B 、F 三点坐标都能与p 建立起联系，分析可知△ABF 的高为P ，可构造p 的方程解决.【解析】由题意知△ABF 的高为P ，将p y 2=-代入双曲线方程得A ，B 两点的横坐标为x =ABF为等边三角形，所以0tan 60=，从而解得2p 36=，即p 6=. 【答案】6.4.（2013·安徽高考理科·Ｔ13）已知直线y a =交抛物线2y x =于,A B 两点。
【推荐】2013-2019高考文科数学分类汇编-第十章曲线与方程
第四节 曲线与方程题型125 求动点的轨迹方程2013年1. （2013辽宁文20）如图，抛物线()2212:4:2>0C x y C x py p ==-，.点()00M x y ，在抛物线2C 上，过M 作1C 的切线，切点为AB ，（M 为原点O 时，A B ，重合于O ）.当01x =时，切线MA 的斜率为12-. （1）求P 的值；（2）当M 在2C 上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程（AB ， 重合于O 时，中点为O ）.2. (2013陕西文20）已知动点()M x y ，到直线:4l x =的距离是它到点()10N ，的距离的2倍.（1）求动点M 的轨迹C 的方程；（2）过点()03P ，的直线m 与轨迹C 交于两点AB ，.若A 是PB 的中点，求直线m 的斜率.2014年1.（2014福建文21）已知曲线Γ上的点到点(0,1)F 的距离比它到直线3y =-的距离小2.（1）求曲线Γ的方程；（2）曲线Γ在点P 处的切线l 与x 轴交于点A .直线3y=分别与直线l 及y 轴交于点,M N ，以MN 为直径作圆C ，过点A 作圆C 的切线，切点为B ，试探究：当点P 在曲线Γ上运动（点P 与原点不重合）时，线段AB 的长度是否发生变化？证明你的结论.2. （2014广东文20）（14分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个焦点为)，（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点()00,P x y 为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.3.（2014湖北文22）在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F 的距离比它到y 轴的距离多1．记点M 的轨迹为C . （Ⅰ）求轨迹C 的方程；（Ⅱ）设斜率为k 的直线l 过定点()2,1P -. 求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围.2015年1.（2015浙江文7）如图所示，斜线段AB 与平面α所成的角为60，B 为斜足，平面α 上的动点P 满足30PAB ∠=，则点P 的轨迹是（ ）.A ．直线B ．抛物线C ．椭圆D ．双曲线的一支1. 解析 若30PAB ∠=，则AP 绕点A 旋转形成圆锥面，这面被平面α截得图像是椭圆.故选C.2016年1. （2016四川文15）在平面直角坐标系中，当(,)P x y 不是原点时，定义P 的“伴随点”为2222,y x P x y x y ⎛⎫-⎪++⎝⎭，当P 是原点时，定义“伴随点”为它自身，现有下列命题： ①若点A 的“伴随点”是点A '，则点A '的“伴随点”是点A ；②单元圆上的“伴随点”还在单位圆上；③若两点关于x 轴对称，则他们的“伴随点”关于y 轴对称；④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线. 其中的真命题是 .1.②③ 解析 对于①，若令则其伴随点为，而的伴随点为，而不是，故①错误； 对于②，令单位圆上点的坐标为，其伴随点为仍在单位圆上，故②正确；对于③，设曲线关于轴对称，则对曲线表示同一曲线，其伴随曲线分别为与也表示同一曲线，又因为其伴随曲线分别为与的图像关于轴对称，所以③正确；对于④，直线上取点得，其伴随点消参后轨迹是圆，故④错误.所以正确的序号为②③.2017年1.（2017全国2卷文20）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆22:12x C y +=上，过点M 作轴的垂线，垂足为N ， 点P 满足2NP NM =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .(1,1),A 11,22A ⎛⎫'-⎪⎝⎭11,22A ⎛⎫'- ⎪⎝⎭()11--，P (cos ,sin )P x x (sin ,cos )P x x '-(,)0f x y =x (,)0f x y -=(,)0f x y =2222,0y x f x y x y ⎛⎫-= ⎪++⎝⎭2222,0y x f x y x y ⎛⎫--= ⎪++⎝⎭2222,0y x f x y x y ⎛⎫-=⎪++⎝⎭2222,0y x f x y x y ⎛⎫--= ⎪++⎝⎭y y kx b =+2222,y x x y x y ⎛⎫- ⎪++⎝⎭1. 解析 （1）如图所示，设(),P x y ，(),0N x ，()1,M x y .由2NP NM =知，1y =，即1y =又点M 在椭圆2212x y +=上，则有22122x y +=，即222x y +=.（2）设())3,,Q t Pθθ-，则有()()23,t OP PQ θθθθ⋅=⋅-=222cos sin 2sin 1θθθθ---=，即sin 30θθ-+-=.椭圆C 的左焦点()1,0F -.又()()23,FP OQ t θθ⋅=+⋅-=3sin 0θθ--+=，所以FP OQ ⊥.所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .。
曲线与方程 课件(共35张PPT)
最新考纲展示
1．了解方程的曲线与 曲线的方程的对应关系．
2.了解解析几何的基本 思想和利用坐标法研究几 何问题的基本方法．
3.能够根据所给条件选 择适当的方法求曲线的轨 迹方程．
一、曲线与方程的定义 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方
程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：
(2)证明：设 E(xE，yE)，F(xF，yF)，依题意，
y＝k1x＋3，
由y92＋x2＝1
⇒(k21＋9)x2＋6k1x＝0，①
解得 x＝0 或 x＝－k216＋k19. 所以 xE＝－k216＋k19，yE＝k1－k216＋k19＋3＝2k721－＋39k21， ∴E－k126＋k19，2k721－＋39k21. ∵k1k2＝－9，∴k2＝－k91.用 k2＝－k91替代①中的 k1， 同理可得 Fk126＋k19，3kk2121－ ＋297. 显然 E，F 关于原点对称，∴直接 EF 必过原点 O.
曲线的交点问题(师生共研)
例 2 (2015 年南京模拟)设 0<θ<π2，曲线 x2sin θ＋y2cos θ＝1 和 x2cos θ－y2sin θ＝1 有 4 个不同的交点．
(1)求θ的取值范围； (2)证明：这4个点共圆，并求圆的半径的取值范围．
解 析 (1) 两 曲 线 的 交 点 坐 标 (x ， y) 满 足 方 程 组 x2sin θ＋y2cos θ＝1， x2＝sin θ＋cos θ， x2cos θ－y2sin θ＝1， 即y2＝cos θ－sin θ.
D．以上答案都不对
(2)(2015年广州模拟)下列说法正确的是( )
A．△ABC中，已知A(1,1)，B(4,1)，C(2,3)，则AB边上的高的方
2013文科高考圆锥曲线和真题
圆锥曲线方程一、椭圆方程.1. 椭圆方程的第一定义：⑴①椭圆的标准方程：i.中心在原点，焦点在x 轴上：.ii.ii. 中心在原点，焦点在轴上：.②一般方程：.⑵①顶点：或.②轴：对称轴：x 轴，轴；长轴长，短轴长.③焦点：或.④焦距：.⑤准线：或.⑥离心率：. ⑧通径：垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：和二、双曲线方程. 1. 双曲线的第一定义：⑴①双曲线标准方程：.一般方程：.⑵①i. 焦点在x 轴上：顶点：焦点：准线方程渐近线方程：或②轴为对称轴，实轴长为2a , 虚轴长为2b ，焦距2c.③离心率.④通径.⑤参数关系.⑥焦点半径公式：对于双曲线方程（分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）⑶等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率.为端点的线段以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2,2,2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+ )0(12222b a by a x =+y )0(12222 b a bx a y =+)0,0(122 B A By Ax =+),0)(0,(b a ±±)0,)(,0(b a ±±y a 2b 2)0,)(0,(c c -),0)(,0(c c -2221,2b a c c F F -==c a x 2±=c a y 2±=)10( e ac e =),(2222a b c a b d -=),(2ab c 的一个端点的一条射线以无轨迹方程为双曲线21212121212121,222F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==-=-=- )0,(1),0,(122222222 b a bx ay b a by ax =-=-)0(122 AC Cy Ax =+)0,(),0,(a a -)0,(),0,(c c -c a x 2±=0=±b ya x 02222=-b y a x y x ,ace =a b 22a ce b a c =+=,22212222=-by a x 21,F F 222a y x ±=-x y ±=2=e三、抛物线方程.3. 设，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：四、圆锥曲线的统一定义..：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质0 p（2013年高考湖北卷（文））已知π04θ<<,则双曲线1C :22221sin cos x y θθ-=与2C :22221cos sin y x θθ-=的（ ） A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等【答案】D1．（2013年高考四川卷（文））从椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点P 向x 轴作垂线,垂足恰为左焦点1F ,A 是椭圆与x 轴正半轴的交点,B 是椭圆与y 轴正半轴的交点,且//AB OP (O 是坐标原点),则该椭圆的离心率是（ ）A ．4B ．12C ．2D 【答案】C2．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））设抛物线C:y 2=4x 的焦点为F,直线L 过F 且与C 交于A, B 两点.若|AF|=3|BF|,则L 的方程为（ ）A ．y=x-1或y=-x+1B ．y= (X-1)或y=-(x-1)C ．y= (x-1)或y=- (x-1)D ．y=(x-1)或y=-(x-1)【答案】C3．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））O 为坐标原点,F 为抛物线2:C y =的焦点,P为C 上一点,若||PF =,则POF ∆的面积为（ ）A ．2B ．C ．．4【答案】C4．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的离心率为,则C 的渐近线方程为（ ） A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =±D ．y x =± 【答案】C5．（2013年高考福建卷（文））双曲线122=-y x的顶点到其渐近线的距离等于（ ） A ．21B ．22C ．1D ．2【答案】B6．（2013年高考广东卷（文））已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ,离心率等于21,则C 的方程是（ ） A ．14322=+y x B ．13422=+y x C ．12422=+y x D ．13422=+y x 【答案】D7．（2013年高考四川卷（文））抛物线28y x =的焦点到直线0x =的距离是（ ）A ．．2C ．1【答案】D8．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,,F F P 是C 上的点21212,30PF F F PF F ⊥∠=︒,则C 的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D9．（2013年高考大纲卷（文））已知()()1221,0,1,0,F F C F x -是椭圆的两个焦点过且垂直于轴的直线交于A B 、两点，且3AB =，则C 的方程为（ ）A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y += 【答案】C10．（2013年高考辽宁卷（文））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F,F C 与过原点的直线相交于,A B 两点,连接了,AF BF ,若410,8,cos ABF 5AB B F ==∠=,则C 的离心率为（ ）A ．35B ．57C ．45D ．67【答案】B11．（2013年高考重庆卷（文））设双曲线C 的中心为点O ,若有且只有一对相较于点O 、所成的角为060的直线11A B 和22A B ,使1122A B A B =,其中1A 、1B 和2A 、2B 分别是这对直线与双曲线C 的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）A ．2]B ．2)C ．)+∞D ．)+∞ 【答案】A12．（2013年高考大纲卷（文））已知抛物线2:8C y x =与点()2,2M-,过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点,若0MA MB =,则k =（ ）A ．12B ．2CD ．2【答案】D13．（2013年高考北京卷（文））双曲线221y x m-=的充分必要条件是（ ） A ．12m >B ．1m ≥C ．1m >D ．2m > 【答案】C14．（2013年上海高考数学试题（文科））记椭圆221441x ny n +=+围成的区域(含边界)为()1,2,n n Ω=,当点(),x y 分别在12,,ΩΩ上时,x y +的最大值分别是12,,M M ,则lim n n M →∞=（ ）A ．0B ．41C ．2D ．【答案】D15．（2013年高考安徽（文））直线250x y +-+=被圆22240x y x y +--=截得的弦长为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．46【答案】C16．（2013年高考江西卷（文））已知点A(2,0),抛物线C:x 2=4y 的焦点为F,射线FA 与抛物线C 相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM|:|MN|=（ ）A ．2:B ．1:2C ．1:D ．1:3【答案】C17．（2013年高考山东卷（文））抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线交于第一象限的点M,若在点M 处的切线平行于的一条渐近线,则=（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D18．（2013年高考浙江卷（文））如图F 1.F 2是椭圆C1:x 24+y 2=1与双曲线C2的公共焦点（ ）A ．B 分别是C 1.C 2在第二.四象限的公共点,若四边形AF 1BF 2为矩形,则C 2的离心率是）A ．2B ．3C ．32D ． 62【答案】D ． 二、填空题19．（2013年高考湖南（文））设F 1,F 2是双曲线C,22221a x y b-= (a>0,b>0)的两个焦点.若在C 上存在一点P.使PF 1⊥PF 2,且∠PF 1F 2=30°,则C 的离心率为____13+_______.【答案】13+（第9题图）20．（2013年高考陕西卷（文））双曲线的离心率为________.【答案】21．（2013年高考辽宁卷（文））已知F 为双曲线22:1916x y C -=的左焦点,,P Q 为C 上的点,若PQ 的长等于虚轴长的2倍,点()5,0A 在线段PQ 上,则PQF ∆的周长为____________.【答案】4422．（2013年上海高考数学试题（文科））设AB 是椭圆Γ的长轴,点C 在Γ上,且π4CBA ∠=.若4AB =,BC =则Γ的两个焦点之间的距离为_______. 【答案】323．（2013年高考北京卷（文））若抛物线22y px =的焦点坐标为(1,0)则p =____;准线方程为_____.【答案】2,1x =-24．（2013年高考福建卷（文））椭圆)0(1:2222>>=+Γb a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ,焦距为c 2.若直线y=与椭圆Γ的一个交点M 满足12212F MF F MF ∠=∠,则该椭圆的离心率等于__________【答案】13-25．（2013年高考天津卷（文））已知抛物线28y x =的准线过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一个焦点, 且双曲线的离心率为2, 则该双曲线的方程为______.【答案】2213y x -= 三、解答题26．（2013年高考浙江卷（文））已知抛物线C 的顶点为O(0,0),焦点F(0,1)(Ⅰ)求抛物线C 的方程;221169x y -=45(Ⅱ) 过点F 作直线交抛物线C 于A.B 两点.若直线AO.BO 分别交直线l :y=x-2于M.N 两点,求|MN|的最小值.27．（2013年高考山东卷（文））在平面直角坐标系中,已知椭圆C 的中心在原点O,焦点在轴上,短轴长为2,离心率为(I)求椭圆C 的方程 (II)A,B 为椭圆C 上满足的面积为的任意两点,E 为线段AB 的中点,射线OE 交椭圆C 与点P,设,求实数的值.28．（2013年高考广东卷（文））已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0Fc c >到直线:20l x y --=的距离为2.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点. (1) 求抛物线C 的方程;(2) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程; (3) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ⋅的最小值.29．（2013年上海高考数学试题（文科））本题共有3个小题.第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分9分.如图,已知双曲线1C :2212x y -=,曲线2C :||||1y x =+.P 是平面内一点,若存在过点P 的直线与1C 、2C 都有公共点,则称P 为“1C -2C 型点”.(1)在正确证明1C 的左焦点是“1C -2C 型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证);(2)设直线y kx =与2C 有公共点,求证||1k >,进而证明原点不是“1C -2C 型点; (3)求证:圆2212x y +=内的点都不是“1C -2C 型点”. 30．（2013年高考福建卷（文））如图,在抛物线2:4E y x =的焦点为F ,准线l 与x 轴的交点为A .点C 在抛物线E 上,以C 为圆心OC 为半径作圆,设圆C 与准线l 的交于不同的两点,M N .(1)若点C 的纵坐标为2,求MN ; (2)若2AF AM AN =⋅,求圆C 的半径.31．（2013年高考北京卷（文））直线y kx m =+(0m ≠)W :2214x y +=相交于A ,C 两点,O 是坐标原点(1)当点B 的坐标为(0,1),且四边形OABC 为菱形时,求AC 的长. (2)当点B 在W 上且不是W 的顶点时,证明四边形OABC 不可能为菱形.32．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））已知圆22:(1)1Mx y ++=,圆22:(1)9N x y -+=,动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切,圆心P 的轨迹为曲线C .(Ⅰ)求C 的方程;(Ⅱ)l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线,l 与曲线C 交于A ,B 两点,当圆P 的半径最长是,求||AB .33．（2013年高考陕西卷（文））已知动点M (x ,y )到直线l :x = 4的距离是它到点N (1,0)的距离的2倍.(Ⅰ) 求动点M 的轨迹C 的方程;(Ⅱ) 过点P (0,3)的直线m 与轨迹C 交于A , B 两点. 若A 是PB 的中点, 求直线m 的斜率.34．（2013年高考大纲卷（文））已知双曲线()221222:10,0x y C a b F F a b-=>>的左、右焦点分别为，，离心率为3，直线2y C =与(I)求,;a b ;(II)2F l C A B 设过的直线与的左、右两支分别相交于、两点，且11,AF BF -35．（2013年高考天津卷（文））设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F , 离心率为, 过点F 且与x (Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8AC DB AD CB +=, 求k 的值.36．（2013年高考辽宁卷（文））如图,抛物线()2212:4,:20C x y C x py p ==->,点()00,M x y 在抛物线2C 上,过M 作1C 的切线,切点为,A B (M 为原点O 时,,A B 重合于O )01x =,切线.MA 的斜率为12-. (I)求p 的值;(II)当M 在2C 上运动时,求线段AB 中点N 的轨迹方程.(),,.A B O O 重合于时中点为37．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））在平面直角坐标系xOy 中,己知圆P 在x 轴上截得线段长为2 ,在Y 轴上截得线段长为2 .(Ⅰ)求圆心P 的轨迹方程;(Ⅱ)若P 点到直线y=x 的距离为,求圆P 的方程.38．（2013年高考湖北卷（文））如图,已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ,长轴均为MN 且在x 轴上,短轴长分别为2m ,2()n m n >,过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ,2C 的四个交点按纵坐标从大到小依次为A ,B ,C ,D .记m nλ=,△BDM 和△ABN 的面积分别为1S 和2S . (Ⅰ)当直线l 与y 轴重合时,若12S S λ=,求λ的值;(Ⅱ)当λ变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l ,使得12S S λ=?并说明理由.39．（2013年高考重庆卷（文））(本小题满分12分,(Ⅰ)小问4分,(Ⅱ)小问8分)如题(21)图,椭圆的中心为原点O ,长轴在x 轴上,离心率e =,过左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于A 、A '两点,4AA '=.第22题图(Ⅰ)求该椭圆的标准方程;(Ⅱ)取平行于y 轴的直线与椭圆相较于不同的两点P 、P ',过P 、P '作圆心为Q 的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q 外.求PP Q '∆的面积S 的最大值,并写出对应的圆Q 的标准方程.40．（2013年高考湖南（文））已知1F ,2F 分别是椭圆15:22=+y x E 的左、右焦点1F ,2F 关于直线02=-+y x 的对称点是圆C 的一条直径的两个端点.(Ⅰ)求圆C 的方程;(Ⅱ)设过点2F 的直线l 被椭圆E 和圆C 所截得的弦长分别为a ,b .当ab 最大时,求直线l 的方程.。
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第十章 圆锥曲线第五节 直线与圆锥曲线题型126 直线与圆锥曲线的位置关系2013年1. (2013天津文18）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，离心率为3，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3． (1) 求椭圆的方程； (2) 设A ，B 分别为椭圆的左右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点．若··8AC DB AD CB +=，求k 的值．2.（2013山东文22）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，离心率为2．（1）求椭圆C 的方程；（2）A ，B 为椭圆C 上满足AOB △的面积为4E 为线段AB 的中点，射线OE 交椭圆C 于点P ，设OP tOE =，求实数t 的值．3. (2013安徽文21）已知椭圆()2222:1>>0x y C a b a b+=的焦距为4，且过点p .（1）求椭圆C 的方程； （2）设()()0a a a a Qx y x y ≠，，为椭圆C 上一点，过点Q 作x 轴的垂线，垂足为E .取点(A Q ，连接AE ，过点A 作AE 的垂线交x 轴于点D .点C 是点D 关于y 轴的对称点，作直线QC ，问这样作出的直线QC 是否与椭圆C 一定有唯一的公共点？并说明理由.2014年1.（2014湖北文8）设是关于t 的方程2cos sin 0t t θθ+=的两个不等实根，则过()2,A a a ，()2,B b b 两点的直线与双曲线22221cos sin x yθθ-=的公共点的个数为（ ）. A ． 0B ．1C ．2D ．32.（2014大纲文22）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，直线y =4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且54QF PQ =. （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l '与C 相交于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程.2015年1.（2015安徽文20）设椭圆E 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，点O 为坐标原点，点A的坐标为(),0a ，点B 的坐标为()0,b ，点M 在线段AB 上，满足2BM MA =，直线OM（1）求E 的离心率e ； （2）设点C 的坐标为()0,b -，N 为线段AC 的中点，求证：MN AB ⊥.1. 分析（1）由2BM MA =且(),0A a ，()0,B b ，可得2,33a b M ⎛⎫⎪⎝⎭.又因为OM的斜率为10，所以32103ba =，根据椭圆的性质，即可求出离心率；（2）由题意可知N 点的坐标为,22a b ⎛⎫-⎪⎝⎭，所以5MN b k a =，AB b k a =-，推出1MN AB k k =- ，即可证明结果.,a b解析 （1）由2BM MA =，且(),0A a ，()0,B b ，可得2,33a b M ⎛⎫⎪⎝⎭. 又因为OM的斜率为10，所以32103ba =，则2215b a =，即22215a c a -=，亦即2245c a =，得5e =. （2）由题意可知N 点的坐标为,22a b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以532232MNb b b k a a a +==-，AB b k a =-， 所以2215515MNAB b k k a =-=-⨯=-，所以MN AB ⊥.2. (2015北京文20)已知椭圆22:33C x y +=，过点()1,0D且不过点()2,1E 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，直线AE 与直线3x =交于两点M .（1）求椭圆C 的离心率；（2）若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；（3）试判断直线BM 与直线DE 的位置关系，并说明理由.2. 解析（1）椭圆22:33C xy +=即2213xy+=，离心率3c e a ===. （2）若AB 垂直于x 轴，则AB 所在的直线方程为1x =，不妨设3A ⎛ ⎝⎭，1,3B⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.又()2,1E ，13113AE k -==--，直线AE 所在的方程为：()1123y x ⎛-=--⎝⎭，联立直线AE 与直线3x =的方程，得3,23M ⎛- ⎝⎭，233131BM k -+==-，故直线BM 的斜率是1. （3）由（2）知，当AB 垂直于x 轴时，直线BM 的斜率为1，且1DE k =，得B M D Ek k =，故直线BM 与直线DE 平行.若直线AB 不垂直于x 轴时，直线BM 与直线DE 也保持平行的位置关系. 下面进行验证，即验证1BM k =. 设()11,A x y ，()22,B x y ，1112AE y k x -=-，直线AE 的方程为()111122y y x x --=--， 令3x =，得1113,12y M x ⎛⎫-+⎪-⎝⎭，12121123BM y y x k x -+--=-，要证明1BM k =，只需证明1221122y y x x --=--，即()()()112211222y x y x x ---=--，1122112222230y x y y x x x x -+-+-+=()*联立直线():1AB y k x =-与椭圆方程()22133y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩， 消y 建立关于x 的一元二次方程得()2222316330k x k x k +-+-=，212221226313331k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩. 将()*式整理得()()()1122112211212230k x x k x k x x x x x --⋅-+--+-+=()()()()1212211310k x x k x x k -++---=将12x x +，12x x 代入上式的左边得：()()()()2222336211313131k k k k k k k --⋅+-⋅--=++ ()()()()2221213113131k k k k k k -+----=+()32299333131k k k k k -+---=+ ()()()22233133131031k k k k k +-+--==+右边.因此，直线BM 的斜率为1，说明直线BM 与直线DE 的位置关系是平行.3.（2015江苏18）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221x ya b+=()0a b >>的离心率为2，且右焦点F到直线2:a l x c=-（其中c 3．（1）求椭圆的标准方程；（2）过F 的直线与椭圆交于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点,P C ，若2PC AB =，求直线AB 的方程．3. 解析 （1）由题意得232ac cc e a ⎧+=⎪⎪⎨⎪==⎪⎩，故a =，即222a c =，从而1c =，a =1b =，故椭圆的标准方程为2212x y +=． （2）解法一（正设斜率）：若AB 的斜率不存在时，则AB 方程为1x =，此时AB =，易知此时32CP AB =≠，不满足题意； 当AB 的斜率为0时，此时亦不满足题意；因此AB 斜率存在且不为0，不妨设AB 斜率为k ，则AB 方程()1y k x =-， 不妨设()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线AB 与椭圆，即()22221x y y k x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩⇒()()2222124220k x k x k +-+-=， 因为点()1,0F 在椭圆内，故0∆>恒成立，所以212221224122212k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，故12A B x =-==)22112kk +=+， 又1PCk k=-，21222212C x x k x k +==+，故C P x PC -=222212k k ⎫=+⎪+⎭= 因为2PC AB =)22112k k +=+，2=()(22231k +=，整理得424296188k k k k ++=+，即42210k k -+=，即()2210k -=， 解得1k =±，从而直线AB 方程为10x y --=或10x y +-=．解法二（反设）：由题意，直线AB 的斜率必不为0，故设直线方程为1x my =+， 不妨设()11,A x y ，()22,B x y ，与椭圆联立22122x my x y =+⎧+=⎨⎩，整理得()222210m y my ++-=，因为点()1,0F 在椭圆内，故0∆>恒成立，故1221222212m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，因此12AB y =-==)2212m m +=+， 则C 点的纵坐标为12222y y mm +=-+， 于是C 点的横坐标为222122m m m m ⎛⎫-+= ⎪++⎝⎭， 又CP AB ⊥，故CP k m =-， 所以2CP=+= 因为2PC AB =)2212m m +=+， 化简得()()222381m m +=+，即42210m m -+=，化简得21m =，计算得1m =±，从而直线AB 方程为10x y --=或10x y +-=.2016年1.（2016浙江文19）如图所示，设抛物线()220y px p =>的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于1AF -.（1）求p 的值；（2）若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x 轴交于点M .求M 的横坐标的取值范围.1.解析 （1）因为抛物线上点到焦点的距离等于点到准线的距离，由已知条件得，即.（2）由（1）知抛物线的方程为，，可设，，.由题知不垂直于轴，可设直线，，由消去得，故，所以.又直线的斜率为，故直线的斜率为，从而直线，直线，所以.设，由，，三点共线得：，整理得，(，)，此函数为偶函数，且和上单调递减，分析知或.所以点的横坐标的取值范围是.2.（2016全国乙文20）在直角坐标系xOy 中，直线:(0)l y t t =≠交y 轴于点M ，交抛物A F A 2px =-12p=2p =24y x =()1,0F ()2,2A t t 0t ≠1t ≠±AF y :1AF x sy =+()0s ≠241y x x sy ⎧=⎨=+⎩x 2440y sy --=124y y =-212,B t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭AB 221t t -FN 212t t --()21:12t FN y x t -=--2:BN y t =-2232,1t N t t ⎛⎫+- ⎪-⎝⎭(),0M m A M N 222222231t t t t t m t t +=+---22222211t m t t ==+--0t ≠1t ≠±()0,1()1+∞，0m <2m >M ()(),02-∞+∞线2:2(0)C ypx p =>于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，联结ON 并延长交C 于点H .（1）求OH ON；（2）除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？请说明理由. 2.解析 （1）如图所示，由题意不妨设，可知点的坐标分别为，，， 从而可得直线的方程为，联立方程，解得，.即点的坐标为，从而由三角形相似可知. （2）由于，，可得直线的方程为， 整理得，联立方程，整理得，则，从而可知和只有一个公共点.2017年1.（2017全国1文20）设A ，B 为曲线2:4x C y =上两点，A 与B 的横坐标之和为4.（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM BM ⊥，求直线AB 的方程.1.解析 （1）不妨设211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则22121244ABx x k x x -=-()()12121214x x x x x x -+=-()121=14x x +=，即直线AB 的斜率为1．0t >,,M P N ()0,M t 2,2t P t p ⎛⎫ ⎪⎝⎭2,N t t p ⎛⎫⎪⎝⎭ON y x p t =22p x t y pxy ⎧==⎪⎨⎪⎩22x tp =2y t =H 22,2t t p ⎛⎫⎪⎝⎭22H N OH y tON y t ===()0,M t 22,2t H t p ⎛⎫⎪⎝⎭MH 22ty t x t p-=2220ty px t --=222202ty y px t px--==⎧⎪⎨⎪⎩22440ty y t -+=2216160t t ∆=-=MH C H（2）设200,4x M x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由24x y =的导函数2x y '=知C 在M 处的切线斜率为012x k ==，所以02x =，故()2,1M ．因为AMBM ⊥，易知,AM BM 的斜率存在且不为0，因此1AM BMk k ⋅=-，即()()2212121211144222216x x x x x x --⋅=++--()1212124116x x x x =+++=-⎡⎤⎣⎦ ①设直线AB 的方程为y x b =+，与抛物线联立得2140x x b --=， 所以10b ∆=+>，故1b >-，由根与系数的关系知121244x x x x b +=⎧⎨=-⎩，代入①式得()1461211b -+=-，解得7b =，符合题意，因此直线AB 的方程为7y x =+．评注 此题AMBM ⊥这一条件，也可以转化成向量数量积为0，利用坐标的解决，但用向量法计算得到1b =-或7，注意联立后保证10b ∆=+>．2.（2017江苏卷17）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1x y E a b+=()0a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为12，两准线之间的距离为8．点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作直线1PF 的垂线1l ，过点2F 作直线2PF 的垂线2l ． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线12,l l 的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标．2.解析 （1）设椭圆的半焦距为c ，由题意21228c e a a c⎧==⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得21a c =⎧⎨=⎩，因此b ==，所以椭圆E 的标准方程为22143x y +=． （2）由（1）知()11,0F -，()21,0F ．设()00,P x y ，因为点P 为第一象限的点，故000,0x y >>．当01x =时，2l 与1l 相交于1F ，与题设不符． 当01x ≠时，直线1PF 的斜率为001y x +，直线2PF 的斜率为001y x -． 因为11l PF ⊥，22l PF ⊥，所以直线1l 的斜率为001x y --，直线2l 的斜率为001x y --，从而直线1l 的方程为()0011x yx y +=-+ ① 直线2l 的方程为()0011x y x y -=-- ② 联立①②，解得20001,x x x y y =-=-，所以20001,x Q x y ⎛⎫- ⎝-⎪⎭．因为点Q 在椭圆上，由对称性得20001x y y =±-，即22001x y -=或22001x y +=．又点P 在椭圆E 上，故2200143x y +=． 由220022001143x y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得00,77x y ==；由220022001143x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，无解． 因此点P的坐标为,77⎛ ⎝⎭．。
十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学(文) 专题12 圆锥曲线 Word版含解析
十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题12圆锥曲线1.(2019·全国·理T 10文T 12)已知椭圆C 的焦点为F 1(-1，0)，F 2(1，0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若|AF 2|=2|F 2B|，|AB|=|BF 1|，则C 的方程为( )A.x 22+y 2=1B.x 23+y 22=1 C.x 24+y 23=1 D.x 25+y 24=1【答案】B【解析】如图，由已知可设|F 2B|=n ，|BF 1|=m. 由|AB|=|BF 1|，则|AF 2|=m-n ，|AB|=m. 又|AF 1|+|AF 2|=|BF 1|+|BF 2|，故|AF 1|=2n. 由椭圆的定义及|AF 2|=2|F 2B|， 得{m -n =2n ,m +n =2a ,解得{m =3a2,n =a 2.∴|AF 1|=a ，|AF 2|=a.∴点A 为(0，-b). ∴k AF 2=b1=b.过点B 作x 轴的垂线，垂足为点P.由题意可知△OAF 2∽△PBF 2. 又|AF 2|=2|F 2B|，∴|OF 2|=2|F 2P|. ∴|F 2P|=12. 又k AF 2=|BP ||F 2P |=|BP |12=b ，∴|BP|=12b.∴点B (32,12b).把点B 坐标代入椭圆方程x 2a 2+y 2b2=1中，得a 2=3.又c=1，故b2=2.所以椭圆方程为x 23+y 22=1. 2.(2019·全国1·文T 10)双曲线C: x 2a 2−y 2b2=1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为( ) A.2sin 40° B.2cos 40° C.1sin50° D.1cos50°【答案】D【解析】由已知可得-b a=tan 130°=-tan 50°， 则e=c a=√1+(ba )2=√1+tan 250° =√1+sin 250°cos 250°=√sin 250°+cos 250°cos 250°=1cos50°. 故选D.3.(2019·北京·文T 5)已知双曲线x 2a 2-y 2=1(a>0)的离心率是√5，则a=( )A.√6B.4C.2D.12【答案】D【解析】∵双曲线的离心率e=ca =√5，c=√a 2+1， ∴√a 2+1a=√5，【解析】得a=12，故选D.4.(2019·天津·理T 5文T 6)已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l.若l 与双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且|AB|=4|OF|(O 为原点)，则双曲线的离心率为( ) A.√2 B.√3 C.2 D.√5【答案】D【解析】由抛物线方程可得l 的方程为x=-1.由{y =ba x ,x =-1,得y 1=-b a .由{y =-ba x ,x =-1,得y 2=b a . ∴AB=2ba .由|AB|=4|OF|得2b a =4，故ba =2.c a2=a 2+b2a 2=5a 2a 2.∴e=√5，故选D.5.(2018·全国1·理T 11)已知双曲线C:x 23-y 2=1，O 为坐标原点，F为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N.若△OMN 为直角三角形，则|MN|=( ) A.32B.3C.2√3D.4【答案】B【解析】由条件知F(2，0)，渐近线方程为y=±√33x ，所以∠NOF=∠MOF=30°，∠MON=60°≠90°. 不妨设∠OMN=90°，则|MN|=√3|OM|.又|OF|=2，在Rt △OMF 中，|OM|=2cos 30°=√3， 所以|MN|=3.6.(2018·全国2·理T 5文T 6)双曲线x 2a2−y 2b2=1(a>0，b>0)的离心率为√3，则其渐近线方程为()A.y=±√2xB.y=±√3xC.y=±√22x D.y=±√32x【答案】A 【解析】∵e 2=c 2a 2=b 2+a 2a 2=(b a )2+1=3，∴ba =√2.∵双曲线焦点在x 轴上， ∴渐近线方程为y=±b ax ， ∴渐近线方程为y=±√2x.7.(2018·全国3·理T 11)设F 1，F 2是双曲线C:x 2a 2−y 2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦点，O是坐标原点，过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF 1|=√6|OP|，则C 的离心率为( ) A.√5 B.2C.√3D.√2【答案】C【解析】如图，过点F 1作OP 的反向延长线的垂线，垂足为P'，连接P'F 2，由题意可知，四边形PF 1P'F 2为平行四边形，且△PP'F 2是直角三角形. 因为|F 2P|=b ，|F 2O|=c ，所以|OP|=a. 又|PF 1|=√6a=|F 2P'|，|PP'|=2a ， 所以|F 2P|=√2a=b ，所以c=√a 2+b 2=√3a ，所以e=ca =√3.8.(2018·浙江·T2)双曲线x 23-y 2=1的焦点坐标是( ) A.(-√2，0)，(√2，0) B.(-2，0)，(2，0)C.(0，-√2)，(0，√2)D.(0，-2)，(0，2) 【答案】B【解析】∵c 2=a 2+b 2=3+1=4，∴c=2. 又焦点在x 轴上，∴焦点坐标为(-2，0)，(2，0).9.(2018·全国2·理T12)已知F 1，F 2是椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，A是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为√36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P=120°，则C 的离心率为( )A.23 B.12 C.13D.14【答案】D【解析】∵A(-a ，0)，△PF 1F 2为等腰三角形， ∴|PF 2|=|F 1F 2|=2c. 过点P 作PE ⊥x 轴，∵∠F 1F 2P=120°，∴∠PF 2E=60°. ∴F 2E=c ，PE=√3c ，∴P(2c ，√3c). ∵k PA =√36，∴PA 所在直线方程为y=√36(x+a). ∴√3c=√36(2c+a).∴e=c a =14.10.(2018·全国2·文T11)已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1=60°，则C 的离心率为( ) A.1-√32B.2-√3C.√3-12 D.√3-1【答案】D【解析】不妨设椭圆方程为x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)，∵∠F 2PF 1=90°，∠PF 2F 1=60°，∴|PF 2|=c ，|PF 1|=√3c ， ∴√3c+c=2a ，即(√3+1)c=2a. ∴e=ca =√3+1=√3-(√3-1)(√3+1)=√3-1.11.(2018·上海·T13)设P 是椭圆x 25+y 23=1上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为( ) A.2√2 B.2√3 C.2√5 D.4√2【答案】C【解析】由椭圆的定义可知，椭圆上的任意点P 到两个焦点的距离之和为2a=2√5，故选C. 12.(2018·天津·理T 7文T 7)已知双曲线x 2a2−y 2b2=1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点.设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1+d 2=6，则双曲线的方程为( ) A.x 24−y 212=1 B.x 212−y 24=1 C.x 23−y 29=1 D.x 29−y 23=1【答案】C【解析】由双曲线的对称性，不妨取渐近线y=ba x.如图所示，|AD|=d 1，|BC|=d 2，过点F 作EF ⊥CD 于点E. 由题易知EF 为梯形ABCD 的中位线， 所以|EF|=12(d 1+d 2)=3. 又因为点F(c ，0)到y=b ax 的距离为√a 2+b =b ，所以b=3，b 2=9.因为e=c a =2，c 2=a 2+b 2，所以a2=3，所以双曲线的方程为x 23−y 29=1.故选C.13.(2018·全国1·理T8)设抛物线C:y 2=4x 的焦点为F ，过点(-2，0)且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·FN ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.5 B.6 C.7 D.8【答案】D【解析】易知F(1，0)，过点(-2，0)且斜率为23的直线方程为y=23(x+2).联立抛物线方程y 2=4x ，得{y 2=4x ,y =23(x +2),解得{x =1,y =2,或{x =4,y =4.不妨设M(1，2)，N(4，4)，所以FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，2)，FN ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3，4)，所以FM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·FN ⃗⃗⃗⃗⃗ =8. 14.(2017·全国1·理T10)已知F 为抛物线C:y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB|+|DE|的最小值为( ) A.16 B.14 C.12 D.10【答案】A【解析】由题意，易知直线l 1，l 2斜率不存在时，不合题意. 设直线l 1方程为y=k 1(x-1)， 联立抛物线方程，得{y 2=4x ,y =k 1(x -1),消去y ，得k 12x 2-2k 12x-4x+k 12=0，所以x 1+x 2=2k 12+4k 12.同理，直线l 2与抛物线的交点满足x 3+x 4=2k 22+4k 22.由抛物线定义可知|AB|+|DE|=x 1+x 2+x 3+x 4+2p=2k 12+4k 12+2k 22+4k 22+4=4k 12+4k 22+8≥2√16k 12k 22+8=16，当且仅当k 1=-k 2=1(或-1)时，取得等号.15.(2017·全国3·理T 5)已知双曲线C:x 2a 2−y 2b2=1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y=√52x ，且与椭圆x 212+y 23=1有公共焦点，则C 的方程为( )A.x 28−y 210=1 B.x 24−y 25=1C.x 25−y 24=1 D.x 24−y 23=1 【答案】B【解析】由题意得b a =√52，c=3. 又a 2+b 2=c 2，所以a 2=4，b 2=5， 故C的方程为x 24−y 25=1.16.(2017·全国1·文T 5)已知F 是双曲线C:x 2-y 23=1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则△APF 的面积为( ) A.13 B.12C.23D.32【答案】D【解析】由c 2=a 2+b 2=4，得c=2，所以点F 的坐标为(2，0).将x=2代入x 2-y 23=1，得y=±3，所以PF=3.又点A 的坐标是(1，3)，故△APF 的面积为12×3×(2-1)=32.故选D. 17.(2017·天津·理T5)已知双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a>0，b>0)的左焦点为F ，离心率为√2，若经过F 和P(0，4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为( )A.x 24−y 24=1 B.x 28−y 28=1 C.x 24−y 28=1 D.x 28−y 24=1【答案】B 【解析】∵e2=1+b 2a 2=2，∴ba=1，a=b. ∵F(-c ，0)，P(0，4)，∴k PF =4c =ba =1. ∴c=4.又a 2+b 2=c 2=16，∴a 2=b 2=8.∴所求双曲线的方程为x 28−y 28=1.18.(2017·全国3·理T10文T11)已知椭圆C: x 2a2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切，则C 的离心率为( ) A.√63 B.√33C.√23D.13【答案】A【解析】以线段A 1A 2为直径的圆的方程是x 2+y 2=a 2. 因为直线bx-ay+2ab=0与圆x 2+y 2=a 2相切， 所以圆心到该直线的距离d=√b +a 2=a ，整理，得a 2=3b 2，即a 2=3(a 2-c 2)，所以c 2a 2=23，从而e=c a =√63.故选A.19.(2017·全国1·文T12)设A ，B 是椭圆C:x 23+y 2m=1长轴的两个端点.若C 上存在点M 满足∠AMB=120°，则m 的取值范围是( )A.(0，1]∪[9，+∞)B.(0， ]∪[9，+∞)C.(0，1]∪[4，+∞)D.(0， ]∪[4，+∞)【答案】A【解析】由题意，可知当点M 为短轴的端点时，∠AMB 最大.当0<m<3时，椭圆C 的焦点在x 轴上，要使椭圆C 上存在点M 满足∠AMB=120°，则a b ≥tan 60°=√3，即√3√m ≥√3，解得0<m≤1;当m>3时，椭圆C 的焦点在y 轴上，要使椭圆C 上存在点M 满足∠AMB=120°，则ab ≥tan 60°=√3，即√m√3≥√3，解得m≥9.综上m的取值范围为(0，1]∪[9，+∞).故选A. 20.(2017·浙江·理T2文T2)椭圆x 29+y 24=1的离心率是( )A.√133 B.√53C.23 D.59【答案】B【解析】e=√9-43=√53，故选B. 21.(2017·全国2·理T9)若双曲线C: x 2a 2−y 2b2=1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y 2=4所截得的弦长为2，则C 的离心率为( ) A.2 B.√3 C.√2 D.2√33【答案】A【解析】可知双曲线C 的渐近线方程为bx±ay=0，取其中的一条渐近线方程为bx+ay=0，则圆心(2，0)到这条渐近线的距离为√a 2+b =√22-12=√3，即2b c=√3，所以c=2a ，所以e=2.故选A.22.(2017·全国2·文T5)若a>1，则双曲线x 2a2-y 2=1的离心率的取值范围是( ) A.(√2，+∞) B.(√2，2) C.(1，√2) D.(1，2)【答案】C【解析】由题意得e 2=c 2a 2=a 2+1a 2=1+1a2.因为a>1，所以1<1+1a 2<2. 所以1<e<√2.故选C.23.(2016·全国1·理T10)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点.已知|AB|=4√2 ，|DE|=2√5，则C 的焦点到准线的距离为( )A.2B.4C.6D.8【答案】B【解析】不妨设抛物线C的方程为y2=2px(p>0)，圆的方程为x2+y2=R2. 因为|AB|=4√2，所以可设A(m，2√2).又因为|DE|=2√5，所以{R2=5+p24,m2+8=R2,8=2pm,【解析】得p2=16.故p=4，即C的焦点到准线的距离是4.24.(2016·全国2·文T5)设F为抛物线C:y2=4x的焦点，曲线y=kx(k>0)与C交于点P，PF⊥x轴，则k=( )A.12B.1 C.32D.2【答案】D【解析】因为F为抛物线y2=4x的焦点，所以F(1，0).又因为曲线y=kx(k>0)与抛物线交于点P，PF⊥x轴，如图所示，可知P(1，2)，故k1=2，解得k=2，故选D.25.(2016·全国1·理T 5)已知方程x 2m2+n −y23m2-n=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是()A.(-1，3)B.(-1，√3)C.(0，3)D.(0，√3)【答案】A【解析】因为双曲线的焦距为4，所以c=2，即m2+n+3m2-n=4，解得m2=1.又由方程表示双曲线得(1+n)(3-n)>0，解得-1<n<3，故选A.26.(2016·天津·理T 6)已知双曲线x 24−y2b2=1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为( )A.x 24−3y24=1 B.x24−4y23=1 C.x24−y24=1 D.x24−y212=1【答案】D 【解析】{x 2+y 2=4y =b2x ⇒{x =4√b 2+4y =√b 2+4b 2, 则xy=16b 2+4·b 2=b2⇒b 2=12.故所求双曲线的方程为x 24−y 212=1.故选D.27.(2016·全国2·理T11)已知F 1，F 2是双曲线E:x 2a 2−y 2b2=1的左、右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1=13，则E 的离心率为( ) A.√2 B.32 C.√3 D.2【答案】A【解析】如图，因为MF 1与x 轴垂直，所以|MF 1|=b2a .又sin ∠MF 2F 1=13，所以|MF 1||MF 2|=13，即|MF 2|=3|MF 1|.由双曲线的定义得2a=|MF 2|-|MF 1|=2|MF 1|=2b2a，所以b 2=a 2，则c 2=b 2+a 2=2a 2，得离心率e=ca =√2.28.(2016·全国3·理T11文T12)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E.若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( ) A.13B.12C.23D.34【答案】A【解析】由题意，不妨设直线l 的方程为y=k(x+a)，k>0，分别令x=-c 与x=0，得|FM|=k(a-c)，|OE|=ka. 设OE 的中点为G ， 由△OBG ∽△FBM ，得12|OE ||FM |=|OB ||BF |， 即ka2k (a -c )=aa+c ，整理，得ca =13， 故椭圆的离心率e=13，故选A.29.(2016·全国1·文T5)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( ) A.13 B.12C.23D.34【答案】B【解析】设椭圆的一个顶点坐标为(0，b)，一个焦点坐标为(c ，0)，则直线l 的方程为x c +yb =1，即bx+cy-bc=0， 短轴长为2b ，由题意得√b +c 2=14×2b，与b 2+c 2=a 2联立得a=2c ，故e=12.30.(2015·福建·文T11)已知椭圆E:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l:3x-4y=0交椭圆E 于A ，B 两点.若|AF|+|BF|=4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( ) A.(0,√32] B.(0,34] C.[√32,1) D.[34,1)【答案】A【解析】如图，取椭圆的左焦点F 1，连接AF 1，BF 1. 由椭圆的对称性知四边形AF 1BF 是平行四边形， ∴|AF|+|BF|=|AF 1|+|AF|=2a=4.∴a=2. 不妨设M(0，b)，则√3+4≥45，∴b≥1.∴e=c a=√1-(b a)2≤√1-(12)2=√32.又0<e<1，∴0<e≤√32.故选A.31.（2015·安徽高考·文T8）直线3x +4y =b 与圆222210x y x y +--+=相切，则b =（ ） （A ）-2或12 （B ）2或-12 （C ）-2或-12 （D ）2或12 【答案】D【解析】∵直线b y x =+43与圆心为（1，1），半径为1的圆相切，∴224343+-+b ＝1⇒2=b 或12，故选D .32.（2015·福建高考·理T3）若双曲线22:1916x y E -= 的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PF 等于（ ）A ．11B ．9C ．5D ．3 【答案】B【解析】由双曲线定义得1226PF PF a -==，即236PF -=，解得29PF =，故选B ．33.（2015·四川高考·理T5）过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则AB =（ ）(C)6 （D ）【答案】D【解析】双曲线的右焦点为(2,0)F ，过F 与x 轴垂直的直线为2x =，渐近线方程为2203y x -=，将2x =代入2203y x -=得：212,||y y AB ==±∴=.选D.34.(2015·广东高考·理T7)已知双曲线C ：12222=-b y a x 的离心率54e =，且其右焦点()25,0F ，则双曲线C 的方程为（ ）A ．13422=-y x B. 191622=-y x C. 116922=-y x D. 14322=-y x【答案】B【解析】因为所求双曲线的右焦点为()25,0F 且离心率为54c e a ==，所以5c =，4a =，2229b c a =-=所以所求双曲线方程为221169x y -=，故选B ．35.(2015·新课标全国卷I ·理T5)已知M （00,x y ）是双曲线C ：2212x y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若120MF MF •<，则0y 的取值范围是( )（A ）（ （B ）（）（C ）（） （D ）（） 【答案】A36.（2015·湖北高考·理T8）将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（ ） A ．对任意的,a b ，12e e >B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e <C ．对任意的,a b ，12e e <D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e > 【答案】D【解析】依题意，2221)(1ab a b a e +=+=，2222)(1)()(m a m b m a m b m a e +++=++++=， 因为)()()(m a a a b m m a a am ab bm ab m a m b a b +-=+--+=++-，由于0>m ，0>a ，0>b ， 所以当b a >时，10<<a b ，10<++<m a m b ，m a m b a b ++<，22)()(ma mb a b ++<，所以12e e <；当b a <时，1>a b ，1>++m a m b ，而m a m b a b ++>，所以22)()(ma mb a b ++>，所以12e e >.所以当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >.37.（2015·四川高考·理T10）设直线l 与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，与圆()()22250x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（ ）（A ）()13，（B ）()14， （C ）()23， （D ）()24， 【答案】D【解析】显然当直线l 的斜率不存在时，必有两条直线满足题设.当直线l 的斜率存在时，设斜率为k .设11221200(,),(,),,(,)A x y B x y x x M x y ≠，则21122244y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，相减得121212()()4()y y y y x x +-=-.由于12x x ≠，所以12121222y y y y x x +-⋅=-，即02ky =.圆心为(5,0)C ，由CM AB ⊥得000001,55y k ky x x -⋅=-=--，所以0025,3x x =-=，即点M 必在直线3x =上.将3x =代入24y x =得2012,y y =∴-<<.因为点M 在圆()()22250x y rr -+=>上，所以22222000(5),412416x y r r y -+==+<+=.又2044y +>（由于斜率不存在，故00y ≠，所以不取等号），所以204416,24y r <+<∴<<.选D.38.（2015·天津高考·理T6）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>> 的一条渐近线过点( ，且双曲线的一个焦点在抛物线2y = 的准线上，则双曲线的方程为( )（A ）2212128x y -= （B ）2212821x y -=（C ）22134x y -=（D ）22143x y -=【答案】D【解析】双曲线()222210,0x y a b a b-=>> 的渐近线方程为by x a =±，由点(在渐近线上，所以b a =，双曲线的一个焦点在抛物线2y =准线方程x =上，所以c =，由此可解得2,a b ==22143x y -=，故选D. 39.（2015·安徽高考·理T4）下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是（ ）（A ）2214y x -= （B ）2214x y -= （C ）2214y x -= （D ）2214x y -= 【答案】C【解析】由题意，选项,A B 的焦点在x 轴，故排除,A B ，C 项的渐近线方程为2204y x -=，即2y x =±，故选C.40.（2015·浙江高考·理T5）如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比是（ ）A. 11BF AF --B. 2211BF AF --C. 11BF AF ++ D. 2211BF AF ++ 【答案】A.【解析】S ∆BCF S ∆ACF＝BC AC ＝X B X A＝BF−１AF−１，故选A41.（2015·新课标全国卷II ·理T11）已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（ ）A ．2 C D 【答案】D【解析】设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，如图所示，AB BM =，0120ABM ∠=，过点M 作MN x ⊥轴，垂足为N ，在Rt BMN ∆中，BN a =，MN =，故点M 的坐标为(2)M a ，代入双曲线方程得2222a b a c ==-，即222c a =，所以e =D ．42.(2015·新课标全国卷I ·文T5)已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线2:8C y x =的焦点重合，,A B 是C 的准线与E 的两个交点，则AB =( )（A ）3（B ）6（C ）9（D ）12 【答案】B【解析】∵抛物线2:8C y x =的焦点为（2，0），准线方程为2x =-，∴椭圆E 的右焦点为（2，0），∴椭圆E 的焦点在x 轴上，设方程为22221(0)x y a b a b+=>>，c=2，∵12c e a ==，∴4a =，∴22212b a c =-=，∴椭圆E 方程为2211612x y +=，将2x =-代入椭圆E 的方程解得A （-2，3），B （-2，-3），∴|AB|=6，故选B.43.（2015·重庆高考·文T9）设双曲线22221(a 0,b 0)x y a b 的右焦点是F ，左、右顶点分别是12A ,A ，过F 做12A A 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若12A B A C ⊥，则双曲线的渐近线的斜率为（ ）(A)12 (B) 22(C) 1 (D) 2【答案】C【解析】由已知得右焦点(,0)F c (其中)0,222>+=c b a c ，)0,(),0,(21a A a A -，),(),,(22ab c C a b c B -，从而),(),,(2221a b a c C A a b a c B A -=-+=，又因为12A B A C ⊥，所以021=•C A B A ，即0)()()()(22=⋅-++⋅-a b a b a c a c ，化简得到1122±=⇒=a bab ，即双曲线的渐近线的斜率为1±，故选C.44.（2015·四川高考·文T7）过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A 、B 两点，则|AB |＝( )(A B C )6 (D 【答案】D【解析】由题意，a ＝1，b c ＝2，渐近线方程为y x将x ＝2代入渐近线方程，得y 1，2＝±，故|AB |＝，选D45.（2015·陕西高考·文T3）已知抛物线22(0)y px p =>的准线经过点(1,1)-，则抛物线焦点坐标为（ ）A ．(1,0)-B ．(1,0)C ．(0,1)-D ．(0,1)【答案】B【解析】 由抛物线22(0)y px p =>得准线2px =-，因为准线经过点(1,1)-，所以2p =，所以抛物线焦点坐标为(1,0)，故答案选B46.（2015·广东高考·文T8）已知椭圆222125x y m +=（0m >）的左焦点为()1F 4,0-，则m =（ ）A ．9B ．4C ．3D ．2 【答案】C【解析】 由题意得：222549m =-=，因为0m >，所以3m =，故选C ．47.(2015·天津高考·文T5)已知双曲线22221(0,0)x y a b ab 的一个焦点为(2,0)F ，且双曲线的渐近线与圆222y 3x 相切，则双曲线的方程为（ ）(A)221913x y (B) 221139x y (C)2213x y(D) 2213y x【答案】D【解析】由双曲线的渐近线0bx ay -=与圆222y 3x =，由2c ==，解得1,a b == D.48.（2015·湖南高考·文T6）若双曲线22221x y a b-=的一条渐近线经过点（3，-4），则此双曲线的离心率为( )A B 、54 C 、43 D 、53【答案】D【解析】因为双曲线22221x y a b-=的一条渐近线经过点（3，-4），2225349163c b a c a a e a ∴=∴-=∴=，（），=．故选D. 49.(2015·安徽高考·文T6)下列双曲线中，渐近线方程为2y x =±的是（ ）（A ）2214y x -= （B ）2214x y -=（C ）2212y x -= （D ）2212x y -=【答案】A【解析】由双曲线的渐进线的公式可行选项A 的渐进线方程为x y 2±=，故选A .50.（2015·湖北高考·文T9）将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（ ） A ．对任意的,a b ，12e e > B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e < C ．对任意的,a b ，12e e < D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >【答案】D【解析】不妨设双曲线1C 的焦点在x 轴上，即其方程为：22221x y a b-=，则双曲线2C 的方程为：22221()()x y a m b m -=++，所以1e ==，2e ==，当a b >时， ()()()0()()b m b b m a b a m a b m a m a a m a a m a ++-+--==>+++，所以b m b a m a +>+，所以22b m b a m a +⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，所以21e e >；当a b <时，()()()0()()b m b b m a b a m a b m a m a a m a a m a ++-+--==<+++，所以b m b a m a +<+，所以22b m b a m a +⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，所以21e e <；故应选D.51.（2015·福建高考·文T11）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ）A ．B ．3(0,]4C ．D ．3[,1)4【答案】A【解析】设左焦点为F ，连接1AF ，1BF ．则四边形1BF AF 是平行四边形，故1AF BF =，所以142AF AF a +==，所以2a =，设(0,)M b ，则4455b ≥，故1b ≥，从而221ac -≥，203c <≤，0c <≤，所以椭圆E 的离心率的取值范围是，故选A ． 52.(2015·安徽·理T 4)下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y=±2x 的是( ) A.x 2-y 24=1 B.x 24-y 2=1 C.y 24-x 2=1 D.y 2-x 24=1【答案】C【解析】A ，B 选项中双曲线的焦点在x 轴上，不符合要求.C ，D 选项中双曲线的焦点在y 轴上，且双曲线y 24-x 2=1的渐近线方程为y=±2x;双曲线y 2-x 24=1的渐近线方程为y=±12x.故选C.53.(2015·浙江·理T5)如图，设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A.|BF |-1|AF |-1B.|BF |2-1|AF |2-1C.|BF |+1|AF |+1D.|BF |2+1|AF |2+1【答案】A【解析】设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由抛物线定义，得|AF|=x 1+1，|BF|=x 2+1，则S △BCF S △ACF=BC AC=x 2x 1=|BF |-1|AF |-1，故选A.54.(2014·全国1·理T10)已知抛物线C:y 2=8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点.若FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =4FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|QF|=( ) A.72 B.3C.52D.2【答案】B【解析】如图，由抛物线的定义知焦点到准线的距离p=|FM|=4. 过Q 作QH ⊥l 于H ，则|QH|=|QF|.由题意，得△PHQ ∽△PMF ， 则有|HQ ||MF |=|PQ ||PF |=34，∴|HQ|=3.∴|QF|=3.55.(2014·全国1·文T10)已知抛物线C:y 2=x 的焦点为F ，A(x 0，y 0)是C 上一点，|AF|=54x 0，则x 0=( ) A.1 B.2 C.4 D.8 【答案】A【解析】由抛物线方程y 2=x 知，2p=1，p2=14，即其准线方程为x=-14.因为点A 在抛物线上，由抛物线的定义知|AF|=x 0+p2=x 0+14，于是54x 0=x 0+14，解得x 0=1，故选A. 56.(2014·天津·理T 5)已知双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( ) A.x 25−y 220=1B.x 220−y 25=1C.3x 225−3y 2100=1 D.3x 2100−3y 225=1 【答案】A【解析】由于双曲线焦点在x 轴上，且其中一个焦点在直线y=2x+10上，所以c=5. 又因为一条渐近线与l 平行，因此b a=2，可解得a 2=5，b 2=20，故双曲线方程为x 25−y 220=1.故选A.57.(2014·大纲全国·理T6文T9)已知椭圆C:x 2a2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为√33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点.若△AF 1B 的周长为4√3，则C 的方程为( ) A.x 23+y 22=1B.x 23+y 2=1C.x 212+y 28=1 D.x 212+y 24=1【答案】A【解析】∵x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的离心率为√33，∴e2=1-b 2a2=13.∴b 2=23a 2.又∵过F 2的直线l 交椭圆于A ，B 两点， △AF 1B 的周长为4√3， ∴4a=4√3，∴a=√3.∴b=√2，∴椭圆方程为x 23+y 22=1，选A.58.（2014·福建高考理科·T9）．设Q P ,分别为圆()2622=-+y x 和椭圆11022=+y x 上的点，则Q P ,两点间的最大距离是（）A.25B.246+C.27+D.26 【答案】D【解析】圆心M (0,6)，设椭圆上的点为(,)Q x y ，则MQ ===当2[1,1]3y =-∈-时，max MQ =．所以max PQ ==． 59.（2014·重庆高考文科·T8）设12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得()22123,PF PF b ab -=-则该双曲线的离心率为（ ）4 【答案】D【解析】由双曲线的定义知，()22124,PF PF a -=又()22123,PF PF b ab -=-所以2243a b ab =-等号两边同除2a ，化简得2340b b a a ⎛⎫-•-= ⎪⎝⎭，解得4,b a =或1b a =-（舍去）故离心率c e a =====60.（2014·天津文·T6理T5））已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线平行于直线,102:+=x y l 双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（）A.120522=-y x B.152022=-y x C.1100325322=-y x D.1253100322=-y x 【答案】A【解析】因为双曲线的一个焦点在直线l 上，所以0210,c =+即5,c =又因为渐近线平行于直线,102:+=x y l 故有2,ba=结合222,c a b =+得225,20,a b ==所以双曲线的标准方程为120522=-y x 61.（2014·湖北高考理科·T9）已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）A.3B.3C.3D.2 【答案】A【解析】设椭圆的长半轴长为a ，双曲线的实半轴长为1a （1a a >），半焦距为c ，由椭圆、双曲线的定义得a PF PF 2||||21=+，121||||2PF PF a -=，所以11||a a PF +=，12||a a PF -=， 因为123F PF π∠=，由余弦定理得22211114()()2()()cos3c a a a a a a a a π=++--+-，所以212234a a c +=，即2122122221)(2124ca c a c a c a c a +≥+=-，所以212148)11(e e e-≤+，. 62.(2014·广东高考理科·T10)若实数k 满足0<k<9，则曲线225x -29y k-=1与曲线225x k --29y =1的 ( )A.焦距相等B.实半轴长相等C.虚半轴长相等D.离心率相等 【答案】A【解析】因为0<k<9，所以曲线225x -29y k-=1与曲线225x k --29y =1都表示焦点在x 轴上的双曲线，且25≠25-k ，9-k ≠9，但a 2+b 2=34-k ，故两双曲线的焦距相等.63.（2014·山东高考理科·T10）已知a b >，椭圆1C 的方程为22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b -=，1C 与2C ，则2C 的渐近线方程为（ ）A 、0x =B 0y ±=C 、20x y ±=D 、20x y ±= 【答案】A【解析】椭圆的离心率为2222221a b a a c e -==，双曲线的离心率为2222222ab a ac e +==，所以()43444221=+=a b a e e ，所以444b a =. 所以22±=a b .双曲线的渐近线方程为x y 22±=，即02=±y x ，故选A.64.(2014·江西高考文科·T9)过双曲线12222=-by a x C ：的右顶点作x 轴的垂线与C 的一条渐近线相交于点A.若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为 ( )A.112422=-y x B.19722=-y x C.18822=-y x D.141222=-y x 【答案】A【解析】设右焦点为F ，由题意得|OF|=|AF|=4，即a 2+b 2=16，又A(a ，b)，F(4，0)可得(a-4)2+b 2=16，故a=2，b 2=12，所以方程为112422=-y x . 65.（2014·安徽高考文科·T3）抛物线214yx 的准线方程是（ ） A. 1-=y B. 2-=y C. 1-=x D. 2-=x 【答案】A 【解析】22144yx x y ，所以抛物线的准线方程是y=-1.66. (2014·新课标全国卷Ⅱ高考文科数学·T10) (2014·新课标全国卷Ⅱ高考文科数学·T10)设F 为抛物线C:y 2=3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则AB = ( )A.3B.6C.12D.【答案】C【解析】设AF=2m ，BF=2n ，F 2≠a .则由抛物线的定义和直角三角形知识可得，2m=2·34，2n=2·34，解得m=32)，n=32)，所以m+n=6. AB=AF+BF=2m+2n=12.故选C.67. (2014·新课标全国卷Ⅱ高考理科数学·T10)设F 为抛物线C:y 2=3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )C.6332D.94【答案】D【解析】选D.设点A ，B 分别在第一和第四象限，AF=2m ，BF=2n ，则由抛物线的定义和直角三角形知识可得，2m=2·34，2n=2·34，解得m=32)，n=32)，所以m+n=6.所以 S △OAB =1324⋅·(m+n)=94.故选D.68. （2014·四川高考理科·T10）已知F 为抛物线x y =2的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是（ ）A.2B.3C.8【答案】 B【解析】选B. 可设直线AB 的方程为：x ty m =+，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，又1(,0)4F ，则直线AB 与x轴的交点(,0)M m ，由220x ty my ty m y x=+⎧⇒--=⎨=⎩，所以12y y m =-，又21212121222()20OA OB x x y y y y y y ⋅=⇒+=⇒+-=，因为点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，所以122y y =-，故2m =，于是122111211111112224224ABO AFO S S x y x y y y y y ∆∆+=-+⨯⨯=⨯⨯-+⨯⨯=111218y y y ++119238y y =+≥=，当且仅当11192483y y y =⇔=时取“=”， 所以ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是3.69. （2014·四川文·T10理T10）已知F 为抛物线x y =2的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是（ ）【答案】 B【解析】选B.可设直线AB 的方程为：x ty m =+，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，又1(,0)4F ，则直线AB 与x 轴的交点(,0)M m ，由220x ty my ty m y x=+⎧⇒--=⎨=⎩，所以12y y m =-，又21212121222()20OA OB x x y y y y y y ⋅=⇒+=⇒+-=，因为点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，所以122y y =-，故2m =，于是122111211111112224224ABO AFO S S x y x y y y y y ∆∆+=-+⨯⨯=⨯⨯-+⨯⨯=111218y y y ++119238y y =+≥=，当且仅当11192483y y y =⇔=时取“=”， 所以ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是3.70. （2014·辽宁高考理科·T10）已知点(2,3)A -在抛物线2:2C y px =的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为1134()()()()2343A B C D【答案】D【解析】根据已知条件得22p-=-，所以 4.p =从而抛物线方程为28y x =，其焦点(2,0)F ． 设切点00(,)B x y，由题意，在第一象限内28y x y =⇒=．由导数的几何意义可知切线的斜率为AB x x k y ='==003(2)AB y k x -=--又因为切点00(,)B x y 在曲线上，所以2008y x =．由上述条件解得008x y ==．即(8,8)B ．从而直线BF 的斜率为804823-=-． 71. (2014·湖北高考文科·T8)设a ，b 是关于t 的方程t 2cos θ+tsin θ=0的两个不等实根，则过A(a ，a 2)，B(b ，b 2)两点的直线与双曲线22cos x θ-22sin y θ=1的公共点的个数为 ( )A.0B.1C.2D.3 【答案】A【解析】由于a ，b 是关于t 的方程t 2cos θ+tsin θ=0的两个不等实根， 所以a+b=-sin cos θθ，ab=0， 过A(a ，a 2)，B(b ，b 2)两点的直线为y-a 2=22b a b a-- (x-a)，即y=(b+a)x-ab ，即y=-sin cos θθx ， 因为双曲线22cos x θ-22sin y θ=1的一条渐近线方程为y=-sin cos θθx ， 所以过A(a ，a 2)，B(b ，b 2)两点的直线与双曲线22cos x θ-22sin y θ=1的公共点的个数为0. 72.(2013·广东·文T9)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F(1，0)，离心率等于12，则C 的方程是( )A.x 23+y 24=1 B.x 24+2√3=1C.x 24+y 22=1 D.x 24+y 23=1【答案】D【解析】由右焦点F(1，0)知，焦点在x 轴上，且c=1. 又离心率等于12，则c a =12，得a=2. 由b 2=a 2-c 2=3，故椭圆C 的方程为x 24+y 23=1.73．（2013·福建高考理·T3）双曲线x 24－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( )A.25B.45C.255D.455 【答案】C【解析】本题考查双曲线的图象与性质，点到直线的距离等基础知识，意在考查考生的数形结合能力、转化和化归能力以及运算求解能力．双曲线x 24－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±x2，即x ±2y ＝0，所以双曲线的顶点(±2，0)到其渐近线距离为25＝255.74.（2013·浙江高考·T9）如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A.2B.3C.32D.62【答案】D【解析】本题考查椭圆、双曲线的定义，几何图形和标准方程，简单几何性质，考查转化与化归思想、数形结合思想、函数与方程思想以及运算求解能力．设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)①，点A 的坐标为(x 0，y 0)．由题意得a 2＋b 2＝3＝c 2②，则|OA |＝c ＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝3，x 20＋4y 20＝4，解得x 20＝83，y 20＝13，又点A 在双曲线上，代入①得，83b 2－13a 2＝a 2b 2③，联立②③解得a ＝2，所以e ＝c a ＝62，故选D.75.(2013·全国2·理T11)设抛物线C:y 2=2px(p>0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF|=5，若以MF 为直径的圆过点(0，2)，则C 的方程为( )A.y 2=4x 或y 2=8xB.y 2=2x 或y 2=8x C.y 2=4x 或y 2=16x D.y 2=2x 或y 2=16x 【答案】C【解析】设点M 的坐标为(x 0，y 0)，由抛物线的定义，得|MF|=x 0+p2=5，则x 0=5-p2. 又点F 的坐标为(p2,0)，所以以MF 为直径的圆的方程为(x-x 0)(x -p 2)+(y-y 0)y=0.将x=0，y=2代入得px 0+8-4y 0=0，即y 022-4y 0+8=0，所以y 0=4.由y 02=2px 0，得16=2p (5-p2)，解之得p=2，或p=8.所以C 的方程为y 2=4x 或y 2=16x.故选C.76．（2013·新课标Ⅰ高考理·T4）已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12x D ．y ＝±x【答案】C【解析】本题考查双曲线的标准方程和几何性质，意在考查考生对于双曲线的几何性质的熟练掌握和运算求解能力．解题时，先根据双曲线的标准方程判断出双曲线的焦点位置，再由双曲线的离心率的概念得到a ，c 之间的关系，再根据双曲线中a ，b ，c 之间的关系转化为a 与b 之间的关系，从而求出其渐近线方程．因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x .又离心率为e ＝c a ＝a 2＋b 2a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝52，所以b a ＝12，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，选择C. 77．（2013·新课标Ⅰ高考理·T10）已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交E于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( ) A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 【答案】D【解析】本题考查直线与椭圆的位置关系、斜率公式、焦点弦和中点弦问题，意在考查考生通过解方程组求解弦的中点的能力．运用两点式得到直线的方程，代入椭圆方程，消去y ，由根与系数的关系得到a ，b 之间的关系，并由a ，b ，c 之间的关系确定椭圆方程．因为直线AB 过点F (3，0)和点(1，－1)，所以直线AB 的方程为y ＝12(x －3)，代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1消去y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a24＋b 2x 2－32a 2x ＋94a 2－a 2b 2＝0，所以AB 的中。
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第三节 抛物线及其性质
题型122 抛物线的定义与标准方程
2013年
1.（2013四川文5）抛物线28y x =的焦点到直线0x =的距离是（ ）.
A.
B. 2
C.
D. 1
2014年
1.（2014安徽文3）抛物线2
14
y x =
的准线方程是（ ）. A.1y =- B.2y =- C.1x =- D. 2x =-
2.（2014辽宁文8）已知点(2,3)A -在抛物线C ：2
2y px =的准线上，记C 的焦点为F ，
则直线AF 的斜率为（ ） A ．43-
B ．1-
C ．34-
D ．1
2
- 3.（2014新课标Ⅰ文10）已知抛物线C ：2
y x =的焦点为F ，00(,)A x y 是C 上一点，
05
4
AF x =
，则0x =（ ） A.1 B.2 C.4 D. 8 4.（2014陕西文11）抛物线2
4y x =的准线方程为___________.
5.（2014湖南文14）平面上一机器人在行进中始终保持与点()01，
F 的距离和到直线 1-=x 的距离相等.若机器人接触不到过点()01，
-P 且斜率为k 的直线，则k 的取值范围 是 .
2015年
1.（2015陕西文3）已知抛物线()2
20y px p =>的准线经过点()11-，，则该抛物线的焦
点坐标为（ ）. A.
()10-， B. ()10， C. ()01-， D. ()01，
1. 解析 由抛物线()2
20y
px p =>得准线2
p
x =-
，因为准线经过点()11-，，
所以2p =，
所以抛物线焦点坐标为()10
，.故选B. 2.（2015福建文19）已知点F 为抛物线E ：()2
20y px p =>的焦点，点()2,A m 在抛
物线E 上，且3AF =． （1）求抛物线E 的方程；
（2）已知点()1,0G -，延长AF 交抛物线E 于点B ，求证： 以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．
2.分析 （1）利用抛物线定义，将抛物线上的点到焦点距离和到准线距离相互转化．本题 由3AF =可得232
p
+
=，可求p 的值，进而确定抛物线方程； （2）欲证明以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．可证明点F 到直线
GA 和直线GB 的距离相等
（此时需确定两条直线方程）；也可以证明AGF BGF ∠=∠， 可转化为证明两条直线的斜率互为相反数． 解析（1）由抛物线的定义得22p AF =+
．因为3AF =，即232
p
+=，解得2p =， 所以抛物线E 的方程为2
4y x =．
（2）解法一：因为点()2,A m ，在抛物线E ：2
4y x =上，
所以m =±
(2,A ．
由(2,A ，()1,0F 可得直线AF
的方程为)1y x =-．
由)214y x y x
⎧=-⎪⎨=⎪⎩，得2
2520x x -+=.
解得2x =或12x =
，从而1,2B ⎛ ⎝． 又()1,0G -
，所以(
)0213GA k =
=--，(
)12
GA k ==--， 所以0GA GB k k +=，从而AGF BGF ∠=∠，这表明点F 到直线GA ，GB 的距离相等，
故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切． 解法二：设以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r ．
因为点()2,A m 在抛物线E ：2
4y x =上，
所以m =±
(2,A ．
由(2,A ，()1,0F 可得直线AF
的方程为)1y x =-．
由)214y x y x
⎧=-⎪⎨=⎪⎩，得22520x x -+=，
解得2x =或12x =
，从而1,2B ⎛ ⎝． 又()1,0G -，故直线GA
的方程为30y -+=，
从而r =
=
又直线GB
的方程为30y ++=， 所以点F 到直线GB
的距离d r =
=
=． 这表明以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．
2016年
1.（2016四川文3）抛物线2
4y x =的焦点坐标是（ ）.
A.0,2)（
B.
0,1)（ C.20（，） D.10（，） 1. D 解析 由题意，的焦点坐标为.故选.
2.（2016江苏22（1））如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:20l x y --=，抛物线()2
:20C y px p =>.若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的
方程.
2
4y x =(1,0)
D
2. 解析 因为，所以与轴的交点坐标为，抛物线的焦点为
，
所以
，故. 3.（2016浙江文19（1））如图所示，设抛物线()2
20y px p =>的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于1AF -. 求p 的值.
3. 解析因为抛物线上点到焦点的距离等于点到准线的距离，由已知条件得，即.
2018年
1.（2018全国Ⅱ文20）设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =．
（1）求l 的方程；
（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．
解析（1）由题意得(1,0)F ，直线l 的方程为(1)(0)y k x k =->． 设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 联立2
(1)
4y k x y x
=-⎧⎨
=⎩，整理得2222(24)0k x k x k -++=．
因为2
16160k ∆=+>，故1222
24
k
x k x ++=． 由抛物线性质可得，1222
44
||||||(1)(1)x k AB AF BF k x +=+=+++=． 所以22
448k k
+=，解得1k =-（舍去），1k =． :20l x y --=l x ()2,0()2,022
p
=28y x =A F A 2
p
x =-
12
p
=2p
=
因此l 的方程为1y x =-．
（2）由（1）得AB 的中点坐标为(3,2)，
所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+． 设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ，
则0022
0005
(1)(1)162
y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=
+⎪⎩，解得0032x y =⎧⎨=⎩或00116x y =⎧⎨=-⎩， 因此所求圆的方程为2
2
(3)(2)16x y -+-=或2
2
(11)(6)144x y -++=．
2.（2018北京文10）已知直线l 过点()1,0且垂直于x 轴，若l 被抛物线24y ax =截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________. 解析 由题意可得，点
()
1,2P 在抛物线上，将
()
1,2P 代入
24y ax =中，
解得1a =，所以2
4y x =，由抛物线方程可得24,2,
12
p
p p ===， 所以焦点坐标为()1,0.
2019年
1.（2019全国II 文9）若抛物线y 2
=2p （p >0）的焦点是椭圆
22
13x y p p
+=的一个焦点，则p =
A ．2
B ．3
C ．4
D ．8
1.解析：由题意可得：2
32p p p ⎛⎫-= ⎪⎝⎭
，解得8p =．故选D ．。