柯西不等式应用的五种技巧探研

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柯西不等式各种形式地证明及其应用

柯西不等式各种形式的证明及其应用柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。

但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。

柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。

柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。

一、柯西不等式的各种形式及其证明二维形式在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式()()()22222bd ac d c b a+≥++等号成立条件：()d c b a bc ad //== 扩展：()()()222222222123123112233nn n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==⎛⎫==⋅⋅⋅=⎪=⋅⋅⋅⎝⎭当或时，和都等于，不考虑二维形式的证明：()()()()()()22222222222222222222222,,,220=ab c d a b c d R a c b d a d b c a c abcd b d a d abcd b c ac bd ad bc ac bd ad bc ad bc ++∈=+++=+++-+=++-≥+-=等号在且仅在即时成立三角形式ad bc≥=等号成立条件：三角形式的证明：222111nn n k k k k k k k a b a b ===⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑∑()()22222222222222222-2a b c d a b c d ac bd a ac c b bd d a c b d =++++≥+++++≥-+++=-+-≥注：表示绝对值向量形式()()()()123123=,,,,,,,,2=n n a a a a b b b b n N n R αβαβαββαλβλ≥⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∈≥∈，等号成立条件：为零向量，或向量形式的证明：()()1231231122332222212322222222112233123123=,,,,,,,,,cos ,cos ,cos ,1n n n n n n n n n nm a a a a n b b b b m n a b a b a b a b m n m na b b b b m nm n a b a b a b a b a a a a b b b b =⋅=++++==++++++≤∴++++≤++++++++令一般形式211212⎪⎭⎫ ⎝⎛≥∑∑∑===n k k k nk k nk k b a b a 1122:::n n i i a b a b a b a b ==⋅⋅⋅=等号成立条件：，或、均为零。

浅谈柯西不等式在高中数学证明中的巧用

证明：由柯西不等式得（ａ、／
一
浅谈柯西不等式在高中数学证明中的巧用
何玉霞
（甘肃省民勤县第四中学甘肃民勤７３３３９９）【摘要】柯西不等式是高中数学新课程标准下的新增内容，随着课改的不断深入，柯西不等式已经成为我们分析和解决问题不可
缺少岛重要工具。利用柯西不等式证明不等式是新课标下高考中出现的一个基本题型，这种题目能充分考查一个学生分析问题和解
教学・信息
课程教育研究
ＣｏｕｒｓｅＥｄｕｃａｔｉｏｎＲｅｓｅａｒｃｈ
２０１５年９月中旬刊
题的关键是要抓住事关全局的相等关系。许多图形的求值问题。可借助方程来解决．包括解直角三角形和用相似三角形求边长。这是方程思想意识运用的一种具体化表现
柯西不等式是高中数学中非常重要的一个不等式．其形式简洁。应用广泛。并极具解题魅力。近年来．无论是高考试卷还是数学竞赛题目中都越来越多地出现了与柯西不等式相关的题目，在解决这些题目时，常常需要柯西不等式来架设条件与结论间的桥梁。因此．如果能灵活并巧妙地应用柯西不等式．往往可使一些难题迎刃而解，甚至收到出奇制胜、事半功倍的效果。在柯西不等式中涉及到三个因式，
决问题的能力．越来越受到高考出题人的喜欢，在全国的数学联赛中也有适当应用。【关键词１高中数学柯西不等式证明
【中图分类号｜Ｇ６３３．６
Hale Waihona Puke 【文献标识码】Ａ【文章￣］２０９５ — ３０８９（２０１５）０９ — ０１３２～０２

归纳柯西不等式的典型应用

归纳柯西不等式的典型应用【摘要】：柯西不等式是一个非常重要的不等式，本文用五种不同的方法证明了柯西不等式，介绍了如何利用柯西不等式技巧性解题，在证明不等式或等式，解方程，解三角形相关问题，求函数最值等问题的应用方面给出几个典型例子。

最后用其证明了点到直线的距离公式，更好的解释了柯西不等式。

【关键词】：柯西不等式；证明；应用【引言】：本人通过老师在中教法课上学习柯西不等式时，老师给出了一些有关的例题并讲解，由于柯西不等式是一个非常重要的不等式，如果巧妙利用它，在高考可以节省很多宝贵时间，而且得分率高。

因此，本文介绍归纳了柯西不等式的典型应用，经过收集及整理资料，得到四类的典型题。

【正文】：1.柯西不等式的一般形式为：对任意的实数 n n b b b a a a ,,,,,,2121⋅⋅⋅⋅⋅⋅()()222112222122221)(n n n n b a b a b a b b b a a a⋅⋅⋅⋅⋅⋅++≥+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++其中等号当且仅当λ===nnb a b a b a 2211时成立,其中R ∈λ 变式：()()222112121)(n n n n y x y x y x y y y x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅++≥+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++2. 柯西不等式的证明：证明柯西不等式的方法总共有6 种，下面我们将给出常用的2种证明柯西不等式的方法： 1）配方法：作差：因为222111()()()nnniji i i j i a b a b ===-∑∑∑221111()()()()n nn niji i j j i j i j a b a b a b =====-∑∑∑∑221111n n n ni ji i j j i j i j a b a b a b =====-∑∑∑∑22221111111(2)2n n n n n ni j j i i j j i i j i j i j a b a b a b a b =======+-∑∑∑∑∑∑ 2222111(2)2n n i j i j j i j i i j a b a b a b a b ===-+∑∑ 2111()02n ni j j i i j a b a b ===-≥∑∑所以222111()()()n n n iji i i j i a b a b ===-∑∑∑0≥，即222111()()()n n niji i i j i a b a b ===≥∑∑∑即222222*********()()()n n n n a b a b a b a a a b b b +++≤++++++……………… 当且仅当0(,1,2,,)i j j i a b a b i j n -==……即(1,2,,;1,2,,;0)ji j i ja a i n j nb b b ===≠…………时等号成立。

柯西不等式在解析几何方面的几个应用

柯西不等式在解析几何方面的几个应用柯西不等式，又称Busemann-Petty猜想，是一系列非常重要的几何学不等式的综合，它以柯西名字作为号称，首次由Henri Busemann和C. M. Petty于1956年提出。

它可以被用来描述几何结构的内部细节，相应的应用引出了一大批的重要的结果，包括几何图像处理，拓扑几何理论，研究几何图像等。

柯西不等式最初是由另一个等式得到的，这个等式称为Minkowski空间，它是研究几何形状与几何位置定义的空间。

通过Minkowski空间，柯西不等式可以用来分析几何图像的内部细节，计算最大、最小等拐角，以及图像的对称性等参数。

例如，如果一个图像的两个顶点在图像中有相同的距离，那么用柯西不等式可以得出一个相应的结论：这两个顶点的空间距离必须小于某个阈值。

从而，柯西不等式可以有效地帮助我们检测图像的位置，以便进行图像处理。

此外，柯西不等式还被用来研究几何图像形状的性质。

它可以提供精确的描述如何改变图像形状，有助于更好地描述几何图像。

例如，当增加图像的大小时，柯西不等式可以提供信息，帮助我们计算图像内部的曲率，从而更好地描述图像的形状。

此外，柯西不等式还可用来研究几何图像的对称性，帮助我们更接近图像真实的形状。

在拓扑几何理论中，柯西不等式也具有重要意义。

拓扑几何理论研究物体的本质性质，其中也包括物体的形状。

当物体的形状发生变化时，柯西不等式可以提供信息，帮助我们探究物体形状变化的机理。

此外，柯西不等式在拓扑几何理论中还有以下应用：用柯西不等式可以计算一个形状的直径，可以研究多边形曲率等，从而更好地研究拓扑几何理论中的概念。

总之，柯西不等式非常重要，它在解析几何方面有着重要的应用：包括几何图像处理，研究几何图像形状和对称性，以及拓扑几何理论中的用途等。

在这些应用中，柯西不等式可以有效地帮助几何图像，为我们更好地理解几何结构提供了有价值的参考。

微专题10 柯西不等式及其应用

【解析】由柯西不等式得(x2+y2+z2)(22+32+42)≥(2x+3y+4z)2=100, 所以 u=x2+y2+z2≥12090, 当且仅当��2��=��3��=��4�� ,即 x=2209,y=3209,z=4209时,等号成立,所以(x2+y2+z2)min=12090.
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微专题10 柯西不等式及其应用
柯西不等式在中学阶段,虽然只是选讲内容,但在高考中经常出现,应引起教师教学的重视.柯西不等式不仅应用于证明代数不等式,它在实数大小比较、解方程、确定参数的取值范围、求最值及几何不等式的证明等方面都有广泛的应用.
运用柯西不等式的过程中,要求我们要以敏锐的思维,细致的观察,构造出适合柯西不等式的两组数,以便可以使用柯西不等式.这是学生拓宽知识,打开思维的钥匙,是解决一系列问题的法宝.
3
当且仅当 x=43-��,y=13-��,z=2��3��-2时等号成立.
因此(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2 的最小值为(2+3��)2.
由题设知(2+��
3
)2≥13,解得
a≤-3
或
a≥-1.
2.利用柯西不等式求某些函数的最值【例 2】已知 2x+3y+4z=10,求 u=x2+y2+z2 的最小值.
【解析】(1)由于[(x-1)+(y+1)+(z+1)]2
=(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2+2[(x-1)(y+1)+(y+1)(z+1)+(z+1)(x-1)]

柯西不等式各种形式的证明及其应用

柯西不等式各种形式的证明及其应用柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。

柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。

柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。

一、柯西不等式的各种形式及其证明二维形式在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式()()()22222bd ac d c b a+≥++等号成立条件：()d c b a bc ad //== 扩展：()()()222222222123123112233nn n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==⎛⎫==⋅⋅⋅= ⎪=⋅⋅⋅⎝⎭当或时，和都等于，不考虑二维形式的证明：()()()()()()22222222222222222222222,,,220=ab c d a b c d R a c b d a d b c a c abcd b d a d abcd b c ac bd ad bc ac bd ad bc ad bc ++∈=+++=+++-+=++-≥+-=等号在且仅在即时成立三角形式ad bc=等号成立条件：三角形式的证明：222111nn n k k k k k k k a b a b ===⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑∑()()22222222222222222-2a b c d a b c d ac bd a ac c b bd d a c b d =++++≥+++++≥-+++=-+-≥注：表示绝对值向量形式()()()()123123=,,,,,,,,2=n n a a a a b b b b n N n R αβαβαββαλβλ≥⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∈≥∈，等号成立条件：为零向量，或向量形式的证明：()()123123112233222222312322222222112233123123=,,,,,,,,,cos ,cos ,cos ,1n n n n n n n n n nm a a a a n b b b b m n a b a b a b a b m n m na a ab b b b m nm n a b a b a b a b a a a a b b b b =⋅=++++==++++++++≤∴++++≤++++++++令一般形式211212⎪⎭⎫ ⎝⎛≥∑∑∑===n k k k nk k nk k b a b a 1122:::n n i i a b a b a b a b ==⋅⋅⋅=等号成立条件：，或、均为零。

(完整版)柯西不等式各种形式的证明及其应用(最新整理)

柯西不等式各种形式的证明及其应用柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。

柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。

柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。

一、柯西不等式的各种形式及其证明二维形式在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式()()()22222bd ac d c b a+≥++等号成立条件：()d c b a bc ad //==扩展：()()()222222222123123112233nn n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==⎛⎫==⋅⋅⋅= ⎪=⋅⋅⋅⎝⎭当或时，和都等于，不考虑二维形式的证明：()()()()()()22222222222222222222222,,,220=ab c d a b c d R a c b d a d b c a c abcd b d a d abcd b c ac bd ad bc ac bd ad bc ad bc ++∈=+++=+++-+=++-≥+-=等号在且仅在即时成立三角形式ad bc≥=等号成立条件：三角形式的证明：222111nn n k k k k k k k a b a b ===⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑∑()()22222222222222222-2a b c d a b c d ac bd a ac c b bd d a c b d =++++≥+++++≥-+++=-+-≥注：表示绝对值向量形式()()()()123123=,,,,,,,,2=n n a a a a b b b b n N n R αβαβαββαλβλ≥⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∈≥∈，等号成立条件：为零向量，或向量形式的证明：()()123123112233112233=,,,,,,,,,cos ,,cos ,1n n n n n n m a a a a n b b b b m n a b a b a b a b m n m nm nm n a b a b a b a b =⋅=++++==≤∴++++≤令一般形式211212⎪⎭⎫ ⎝⎛≥∑∑∑===n k k k nk k n k k b a b a 1122:::n n i i a b a b a b a b ==⋅⋅⋅=等号成立条件：，或、均为零。

柯西不等式应用

柯西不等式应用柯西不等式在数学中是一个非常基础的不等式，它具有广泛的应用，涵盖了各种各样的领域。

在此，我们简单介绍一些柯西不等式的应用。

一、向量的内积柯西不等式最早是被用于向量的内积，其表述为：（a·b）² ≤ (a·a)(b·b)其中，a和b为任意两个向量，a·b表示向量a和b的内积。

由此可知，当两个向量的内积等于其模的乘积时，也就是a·b = |a||b|时，等号成立。

换言之，当两个向量的方向一致时，它们的内积达到最大值；当两个向量相互垂直时，它们的内积为0，达到最小值。

在实际应用中，向量的内积经常作为一种衡量相似度的方式，比如文本相似度算法中，可以将每个文本表示为一个向量，再通过计算每个文本向量的内积来判断它们之间的相似度。

二、积分的上界柯西不等式不仅在向量的内积中有应用，在积分学中也有着重要的地位。

考虑如下的积分：∫abf(x)g(x)dx其中，a和b是积分区间的端点，f(x)和g(x)是可积函数。

柯西不等式表示为：(∫abf(x)g(x)dx)² ≤ ∫abf(x)²dx ∫abg(x)²dx其中，等号成立当且仅当f(x)和g(x)线性相关，并且至少其中一个函数不等于0。

由此可知，柯西不等式提供了一个计算积分上界的方法，其取决于函数f(x)和g(x)的平方和。

在数学分析、微积分等领域，柯西不等式被广泛地应用于计算积分上界。

三、概率论与统计学柯西不等式在概率论和统计学中也具有广泛的应用。

例如在统计学中，柯西不等式可用于证明均方误差最小的估计量为最优估计量。

具体而言，对于一个随机变量x和估计量y(x)，它们的均方误差可表示为：E[(x-y(x))²]其中，E[...]表示期望。

通过应用柯西不等式，可得到均方误差的下界：E[(x-y(x))²] ≥ (E[(x-y(x))])²其中，等号成立当且仅当y(x)是x的线性函数。

柯西不等式在解析几何中的应用

．
阴影部分），求这ｉ个了角形的面积和的最小值以及达到最小值时尸的位置．点
图１
ＩｘｏＢｙ＋ＣＩＡ＋ｏ
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教论
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柯西不等式在解析几何中的应用
⑩ 湖北省襄阳市第一中学黄涛王勇（级教师）特
柯西不等式具有对称和谐的结构，应用的关键在于抓住问题
Ｐ、２点间距离Ｉ。的最小值就是点Ｐ到直线ｚ。两ＰＰ『．的距离，下
的结构特征，找准解题的正确方向，合理地变形、巧妙地构造．作
一
、
研究最值问题
Ｙ』
例１如图１所示，在平面直角坐标系ｘｙ，等腰直角三角形ＡＯＯ中Ｂ的
一
、Ａ＋／口
直角边为ｌ，在此角形内任取点围成以Ｐ顶点的三个ｊ角形（中为罔
当且仅当（。Ｂ）即Ｐｊ时，Ａｙ）（厂，，＿ ③式取等号．＝ｆ
因为（一）（一）６所以６ｋ＋）３３）即￣ｋｌ，３ｙ３，＋＝（２１≥（＿，２５＋ ≤０
南柯西不等式．有［，ｙ（－Ｐ］（。ｌｌ）？，１ｘ）・１ ≥［＋＋＋
即２ × ＝Ｓ≥ １Ｓ３６．
・
、／
≥ＩｘＸ）曰ｙＹ）Ａ＋（０，Ｉ）－一

柯西不等式的推广及其应用

柯西不等式的推广及其应用1 柯西不等式的定义定义1[1](1)P 如果1212,,,,,,n n a a a b b b 为两组实数，则21122()n n a b a b a b +++ ≤ 2222221212()()n n a a a b b b ++++++并且仅当1221133111n n n n a b a b a b a b a b a b ---=-==-时，等式成立．2 柯西不等式的证明证法一 (利用均值不等式)[2](12)P P -A=21ni i a =∑，B=21ni i b =∑，C=1ni i i a b =∑，只需证明A ≥2C B由均值不等式有222111122C C a b a b B B +≥， 222222222C C a b a b B B+≥22222n n n n C C a b a b B B+≥n 个式子相加得222C CA B C B B+≥，即2C A B≥．当且仅当(1,2,,)i i a kb i n ==，等号成立．证法二（比值证明法）[2](12)P P -要证222111()n n ni i i i i i i a b a b ===≤∑∑∑只需证明2ni i a b ⎛⎫⎪∑1≤ （2.1）2ni ia b⎛⎫⎪∑=21ni=⎛⎫⎪⎝2222211112ni in nii ii ia ba b===⎡⎤⎛⎫⎢⎥⎪⎢⎥⎪≤+⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑∑∑=21(11)2⎡⎤+⎢⎥⎣⎦=1(2.1)式得证，故结论成立．证法三（差值法）[2](12)P P-222111()n n ni i i ii i ia b a b===-∑∑∑221111n n n ni j i j j ii j i ja b a b a b=====-∑∑∑∑22221111111(2)2n n n n n ni j j i i j j ii j i j i ja b a b a b a b=======+-∑∑∑∑∑∑2222111(2)2n ni j i j j i j ii ja b a b a b a b===-+∑∑2111()2n ni j j ii ja b a b===-∑∑≥．当且仅当i j j ia b a b=，即(1,2,)jii jaai nb b==时等式成立．证法四（利用Cauchy-schwarz不等式）[2](12)P P-在nR里，对任意两个向量1212(,,,),(,,,)n nx x x y y yξη==,ξη1122n nx y x y x y+++，因而n R对于上述定义的内积来说作成一个欧氏空间，则有不等式2,,,ηξηη≤令1212(,,),(,,)n na a ab b bξη==从而就有222222*********()()()n n n n a b a b a b a a a b b b +++≤++++++当且仅当ξ与η线性相关时等式成立．即(1,2,,)i i a kb i n ==等号成立．3 柯西不等式的几种变形变形一[3](1)P设,0(1,2,,)i i a R b i n ∈>=，则22111n i ni i ni iii a a b b===⎛⎫⎪⎝⎭≥∑∑∑，当且仅当i i b a λ=时取等号．变形二[3](1)P设,i i a b ，同号且不为零（1,2,,i n =），则2111ni n i i ni ii ii a a b a b===⎛⎫⎪⎝⎭≥∑∑∑，当且仅当12n b b b ===时取等号．变形三[3](1)P对任意数12,(1,2,,)i i a a R i n ∈=，有不等式2221212111n n n i i i i i i i a a a a ===⎡⎤⎡⎤⎡⎤≤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑∑∑成立，当且仅当12(1,2,)i i a a i n λ==时等号成立．变形四[3](1)P对任意1212,,,;,,,n n a a a R b b b R ∈∈，则有112222111nnn i i i i i i i a b a b ===⎡⎤⎡⎤≥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑∑．变形五[4](2)P对于任意两个正实数组i a ，(1,2,,)i b i n =，有不等式1122111()()nn ni i i i i i i a b a b ===≤∑∑∑成立，当且仅当i a 与i b 成比例时等号成立．4 柯西不等式的推广推广一[4](2)P设对于由任意正实数构成的m 个数组，12,,(1,2,,)i i mi a a a i n =，有不等式1112121111()()nnnnmmii mi i i mi i i i i aa a a a a ====⋅⋅⋅≤⋅⋅⋅∑∑∑∑ (4.1)成立，当且仅当1i a :2i a ::mi a =1i b :2i b ::mi b 时等号成立．证明根据算术－几何平均不等式，有下述几个不等式成立1112112111m nnniimii i i a a a aaa===+++∑∑∑11112112111mm n n ni imi i i i a a a m aa a ===⎛⎫⎪⎪≥⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑； 2122212111m nnniimii i i a a a aaa===+++∑∑∑12122212111mm n n ni imi i i i a a a m aa a ===⎛⎫ ⎪⎪≥⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑；1212111nnmnnnniimii i i a a a aaa===+++∑∑∑11212111mn n mn n n ni imi i i i a a a m aa a ===⎛⎫⎪⎪≥⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑．将上述n 个不等式相加，整理后即得(4.1)式．当上述n 个不等式等号成立时，(4.1)式等号才成立．当且仅当各组数对应成比例时，(4.1)式等号成立．推广二[5](2)P 柯西不等式另一个很好的推广，即著名的Hölder 不等式设110,0(1,2,,),0,0,1,i i a b i n p q p q>>=>>+=则 11111nnnpqpq i i ii i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑，当且仅当p qi i a b λ=时等号成立．证明令11npp i i a M =⎛⎫= ⎪⎝⎭∑，11nqq i i b N =⎛⎫= ⎪⎝⎭∑则有11,nnppq q ii i i aM b N ====∑∑．由于函数()ln (0)f x x x =>为凹函数因此有1111ln ln ln ,(1,2,,)p qp q i i i i a b a b i n p M q N p M q N ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+≤+=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦．从而有11ln ln p q i ii i a b a b MN p M q N ⎡⎤⎛⎫⎛⎫≤+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦因此11p qi i i i a b a b MN p M q N ⎛⎫⎛⎫≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(1,2,,)i n =所以11111p qnn n i i i i i i i a b a b MNp M q N ===⎛⎫⎛⎫≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑ =1111nnp qiii i Pqab p Mq N ==+∑∑=11p q+ =1．即1ni i i a b MN =≤∑当且仅当p i a 与qi b 成比例时等号成立．推广三[4](3)P已知,(1,2,,,1,2,,)ji j a R i n j m α+∈==，且11mj j α==∑则有12121mni i mi i a a a ααα=⋅⋅⋅∑1212111mn n n i i mi i i i a a a ααα===⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑．证明对m 用数学归纳法 1）当2m =时，命题成立． 2）假设当m k =时，命题成立．则当1m k =+时，因111k jj α+==∑，记12k j j s α+==∑，则11s α+=注意()23111k sααα++++=，有112121,1k ni i k i i a a a ααα++=⋅⋅⋅∑121121,1k sns si i k ii a a a ααα++=⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭∑ 121121,111sk n nns si i k ii i i a a a αα++===⎛⎫⎛⎫≤⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑ 121121,111k snn n s si i k i i i i a a a ααα++===⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥≤⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑∑ 121121,111k n n n i i k i i i i a a a ααα++===⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑综上所述命题得证．5 柯西不等式的应用应用柯西不等式解一般题目的关键是将原问题变形使之适合柯西不等式的形式，而能否成功运用柯西不等式的关键在于可否根据问题自身固有的特点对照柯西不等式的标准形式，构造出两组适当的数据演12,,,n a a a ；12,,,n b b b 的角色．例1 已知,x y R +∈，且44sin cos 1x y x y αα+=+，证明88333sin cos 1()x yx y αα+=+ 证明由柯西不等式可得4422sin cos ()()1x y x y αα⎫++≥= 即44sin cos 1x y x yαα+≥+且当且仅当2α=时等号成立，即22sin cos x yαα= （5.1）由已知44sin cos 1x y x yαα+=+ （5.2）由（5.1）和（5.2）式解得22sin ,cos x yx y x yαα==++ 所以有8833sin cos x yαα+443311()()x y x x y y x y =+++ 31()x y =+．例2 已知正数,,x y z 满足1x y z ++=，证明2223333x y z x y z ++++≥．证明利用柯西不等式2222()x y z ++3131312222222()x x y y z z =++()333222222()()()x y z x y z ⎡⎤≤++++⎢⎥⎣⎦=3332()()x y z x y z ++++(1x y z ++=)，又因为222x y z xy yz zx ++≥++在此不等式两边同乘以2，再加上222x y z ++得2222()3()x y z x y z ++≤++，因为2222333()()x y z x y z ++≤++⨯2223()x y z ++故2223333x y z x y z ++++≥．例3 求函数11sin cos (,0,,(0,)2n ny a b a b n N πααα=+>∈∈的最大值．解由[6](2)12121122()()()()n n n n n n n P n n n n a a a b b b a b a b a b +≤+++可得112(sin cos )nnna b αα+111111112212121212121(sin cos )n n n n nn n n naaabbbαα------=+（21n -）个（21n -）个2221222121()(sin cos )n nn n n abαα---≤++=22212121()n nn n n ab---+所以11222121212sin cos ()n n n n n n n na b abαα---+≤+当且仅当11112121:sin :cos n n n na bαα--=，即21arc ()n n a tg bα-=时等号成立．所以222121212max ()n n n n n ny ab---=+．例4 已知2221,,,x y z x y z ++=是实数，求证：112xy yz zx -≤++≤．证明因为22()(111)x y z x y z ++=⨯+⨯+⨯所以由柯西不等式2222222()(111)()3x y z x y z ++≤++++=又由于22220()2()12()3x y z x y z xy yz zx xy yz zx ≤++=+++++=+++≤所以012()3xy yz zx ≤+++≤即112xy yz zx -≤++≤．例5 求证三角形三边上正方形的面积之和不小于该三角形面积的222a b c ++≥，其中,,,a b c 为三角形三边的长，∆为三角形的面积．证明由三角形面积公式可得2()()()s s a s b s c ∆=---其中2a b cs ++=，于是 216()()()()a b c b c a c a b a b c ∆=+++-+-+-2222224442()b c c a a b a b c =++---由柯西不等式，有22222224444444442()()()()b c c a a b b c a c a b a b c ++≤++++=++即222222444b c c a a b a b c ++≤++当且仅当222222b c a c a b==，即a b c ==时等号成立．于是4442222224()4()a b c b c c a a b ++≥++变形为444222222222a b c b c c a a b +++++2222224443(222)b c c a a b a b c ≥++---即22222()316a b c ++≥⨯∆所以222a b c ++≥，当且仅当a b c ==时等式成立．例6 设P 为ABC ∆内的一点，M ，N ，H ，分别为P 到各边所引垂线的垂足，求所有BC CA AB PM PN PH++为最小值的点P ． AB MC图1解如图1，设ABC ∆的面积为S ，则S 111222BC PM CA PN AB PH =⨯+⨯+⨯（5.3）由柯西不等式可知222222⎡⎤⎡⎤++++⎢⎥⎣⎦⎣⎦2≥ (5.4) 将（5.3）代入（5.4）得2()2BC CA AB BC CA AB PM PN PH S++++≥== 时等号成立，即PM PN PH ==又S 和()AB BC CA ++分别是ABC ∆的面积和周长，故为定值，即P 为ABC ∆内心时BC CA ABPM PN PH++为最小值．参考文献：[1] 鞠建恩．柯西不等式在初等数学中的应用[J]．南平师专学报，2002，02[2] 赵朋军．柯西不等式的多种证法推广及其应用[J]．商洛师范专科学校学报，2004，03 [3] 王晓凤．对柯西不等式探讨[J]．通化师范学院学报，2006，03 [4] 黄毅．柯西不等式的一个变形及其推广[J]．数学教学通讯，2003，1 [5] 林银河．关于Minkowshi 不等式的讨论[J]．丽水师范专科学校学报，2003，10 [6] 徐幼明．柯西不等式的推广及其应用[J]．数学通讯，1996，12[7] T ．Damm ．A unified version of Cauchy-Schwarz and Wielandt inequality [J] ．School of Information and Mathematics ，2007，1111。

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２
，
ｎ ≥２，求￣ＩＥ：ｆ（２ｘ）Ｉ２＞ｆ（ｘ）。（１９９０年高考数学理科试题）
证：考虑到ｎ＝ｌ＋Ｊ＋ …＋Ｊ。及ａ ≥ 有：ｎ＋２＋ …＋『凡一Ｊ五＋ ∞ １ ≥（１２＋ｉ２＋ …＋１２）（１＋２＋ …＋（ｎ — ｌ芦＋（甜） ≥（Ｐ＋＋ …＋（ｎ —
（蝴 ≠＋｛＝＋１）（＋ｂ２）＋（２ｔ２－２）ａｂ】＋１）＋）＋击Ｊ７ ≥ 。１ ‘ １。＋（２ｔ￣－２）ｘｙ］／ｔ２．为运用条件令睾：一，即ｔ２＝２－ｋ，￡＝ｘ／Ｓ－－ｎａ一一１ｘ／ｓ一ｍｆ ’ 于是－１）Ｓ［击ｏ — ａｌ＋击ｏ — ｔ正２４－＇＇＇４－击 — ｕＪ７亚ｋ．．・．４ＩｙＩ。 ≤ ．ＩｙＩ ≤ ｔ２＋ｌ＝
【才．思】
【教击新探】
柯西不等式应用的五种技巧探研
江西南昌 ●熊秋玲
摘
要：对不能直接应用柯西不等式求解的问题，归纳出五种常见的变换技巧，即拆项（常数项）、添项、因式嵌入、巧
设待定常数、变量代换，使之能应用柯西不等式，达到解答问题的目的。
证：（１）引进待定参数ｔ ∈ 尺＋，运用柯西不等式。４Ｉａｘ — ｂｙｌ＝
运用柯西不等式，一＋ｆ５一＋ … ＋（Ｓ－ｎａ）￣ ‘
‘ ＋
１
Ｉｆ６ — 一６ ’ ＋Ｉ。：Ｉ＋６＋一６Ｊ＋Ｉ１。 ≤ ＋６尸＋
一
击＋Ｓ。＋击≥ 鲁．（一ｓ州啬一
…＋ｒ
≥ 。ｎ－１
２＋
至
．
≥ 一寺
＋
、＿ｊ
（２）引进待定参数 ∈ ，运用柯西不等式。４ｌａｙ＋ｂｘ — ｋｂｌ＝
ｌｆ２６＋２一一Ｊｉ｝Ｉ。＝Ｉ（２ａ－ｋｂ）．ｔ ‘ ２ｘｌ。 ≤ ｆ２。一圳
根据题中的数值特征巧拆常数是常用技巧。例１：设，）＝坐
，
若Ｄ ≤。 ≤Ｊ，ｎｅＮ，且
ｂｙ＋ｃｚ）有［（、／）２＋（、／）＋（、／）２］．［（、／）＋（、／）ｚ＋（）２】 ≥ 。＋、／ ‘ ＋、／。尸：＋ｃｊ
本文初步探讨柯西不等式应用的五种技巧，供广大师生作为数学高考复习及竞赛辅导参考。
一
（第２２届国际数学ＩＭＯ竞赛试题）
解：设ＡＡＢＣ的三边ＢＣ＝ａ，ＣＡ＝６，ＡＢ＝ｃ，面积记为Ｓ，义设
、
常数的巧拆
ＰＤ＝ｘ，ＰＥ＝ｙ，ＰＦ＝ｚ，则ａｘ＋ｂｙ＋ｃｚ＝２Ｓ。由柯西不等式（嵌乘因式似＋
即ｒ＋争Ｖ＋Ｃ）（ａｘ＋ｂｙ＋ｃｚ） ≥ ６＋ｃ尸．＋｝Ｙ＋ ≥ ｚ ‘ ｄ，
＋＋ ≥ ・上式仅当
即
ｌＰ＋耐即：：： ≥
＞２培
尸
（即＿ｚ亦即肋＝阳＝）时等号成立。因此，使ＢＣ
Ｖ
几
一
亦即，ｉＪ ≥批＾
ＣＡ争为最小的点Ｐ是 △ Ａ曰ｃ内心。
四、待定常数的巧设
二、项的巧添
有时求最值或证明不等式不能直接应用柯西不等式，添加
适当常数项或和为常数的各项，就可运用柯西不等式。
为了创造条件运用柯西不等式，我们还常引进待定常数，其
关键词：柯西不等式；应用；技巧柯西不等式： ∑
…
∑ ６ ≥（ ∑
），（ ∈ Ｒ，ｉ＝ｌ，２，
边所引垂线的垂足，求所有使ＢＣＣＡＡＢ为最小的点
，
ｎ），等号当且仅当ｏ￣＝ｋｂ（ｉ＝ｌ，２， … ，ｎ）时成立。
２＋（２ｘ－ｋｙｂＴ／（Ｙ）
Ｓ－ａ２
旦Ｌ＋ …＋ — 旦一≥
ｓ－ａｎ
ｎ－１
（其中 ≥２ｏ
证： — ＿ Ⅱ Ｌ＋ｊ＝ — 一， — 旦Ｌ＋ｊ＝— 一， … ， — 旦一十＝— 一，
ｓ－ａＩｓ－ａＩｓ—ｒ上２ｓ一Ⅱ２一ａｎ－ａｎ
值由题设或由等号成立的充要条件来确定。
例２：已知。，、啦， … ，％ ∈ Ｒ，且Ｓ＝ａＩ＋ｏ，２， … ａｎ，求证：兰
—
例４：设８、ｂ、、ＹｅＲ＋，ｌｋ１＜２，且＋６。一ｋａｂ＝１，。＋ｙａ－ｋｘｙ＝ｌ，求证：］ａｘ－ｂｙＩ ≤— ，Ｉ＋６柚ｙＩ ≤ ‘