福建省连江县尚德中学2016届高三3月模拟检测数学(理)试卷

连江尚德中学2016届高三3月模拟检测（理科）数学试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1) 已知集合{{}2,log 1A x y B x x ===…，则A B =（A ）[]3,1- （B ）(]0,1（C ）[]3,2-（D ）(],2-∞(2) 复数z 满足i 34i z ⋅=+，则z 在复平面内对应的点在（A ）第一象限 （B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限(3) 一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是 （A ）1 （B ）2 （C ）3（D ）4(4) 设0,0a b >>．若3是9a 与27b 的等比中项，则32a b+的最小值为 （A ）12 （B ）24（C ）25 （D ）36(5)设,a b ∈R ，则“a b >”是“a a b b >的 （A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件(6)从集合{}3,2,1,2A =---中随机选取一个数记为k ，从集合{}2,1,2B =-中随机选取一个数记为b ，则直线y kx b =+不经过第四象限的概率为 （A ）12（B ）14 （C ）16（D ）112(7) 如图程序框图的功能是（A ）求111124620++++的值 （B ）求11113519++++ 的值（C ）求11112418++++ 的值 （D ）求231011112222++++ 的值 (8) 函数()()sin f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的对称轴为（A ）1π,4x k k =-+∈Z （B ）12π,4x k k =-+∈Z （C ）1,4x k k =-+∈Z（D ）12,4x k k =-+∈Z (9)，四个顶点在同一球面上，则该球的表面积为（A ）3π （B ）4π（C）（D ）6π(10) 设,x y 满足约束条件30,0,20,x y a x y x y --⎧⎪-⎨⎪+⎩………若z x y =+的最大值为2，则实数a 的值为（A ）2 （B ）1 （C ）1- （D ）2-(11) 双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，渐近线分别为12,l l ，点P 在第一象限内且在1l 上，若2122,l PF l PF ⊥∥，则该双曲线的离心率为 （A（B ）2 （C（D(12) 函数()2ln f x x ax x =-+有两个零点，则实数a 的取值范围是（A ）(),1-∞（B ）21e ,e +⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ （C ）21e 0,e +⎛⎫⎪⎝⎭（D ）()0,1第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题 第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．(13) 已知()()1,3,1,t -a =b =，若()2-⊥a b a ，则实数t = ．(14)93x ⎛ ⎝的展开式中的常数项为 ． (15) 已知抛物线24y x =上一点P 到焦点F 的距离为5，则PFO ∆的面积为 ． (16) 已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S，且1n a a -=（2n …），若11n nn n n a a b a a ++=+，则数列的通项公式n b = ． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (17) （本小题满分12分）ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知274sin cos 222A B C +-=． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若c =，求a b -的取值范围． (18) （本小题满分12分）2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策。

为了解适龄民众对放开生育二胎政策的态度，某市选取70后和80后作为调查对象，随机调查了100位，得到数据如下表：（Ⅰ）以这100个人的样本数据估计该市的总体数据,且以频率估计概率，若从该市70后公民中随机抽取3位,记其中生二胎的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望； （Ⅱ）根据调查数据，是否有90%以上的把握认为“生二胎与年龄有关”，并说明理由。

参考数据：（参考公式：2()()()()K a b c d a c b d =++++，其中n a b c d =+++）(19) （本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC AB C -中，点1A在平面ABC 内的射影D 为棱AC 的中点，侧面11A ACC 是边长为2的菱形，,1AC CB BC ⊥=．（Ⅰ）证明：1AC ⊥平面1A BC ； （Ⅱ）求二面角11B A C B --的大小．(20) （本小题满分12分）设椭圆2222:1x y E a b+=（0a b >>）过(),M N两点，O 为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点,A B ，且OA OB ⊥？若存在，求出该圆的方程；若不存在，说明理由。

(21)（本小题满分12分）导数1已知函数2)1()(2+-=x e x f x，x e x x g -++=)1ln(2)(．（Ⅰ）当),1(+∞-∈x 时，证明：0)(>x f ；（Ⅱ）若0>a ，且 ()1g x ax +…，求a 的取值范围。

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。

(22) （本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，在直角ABC ∆中，AB BC ⊥，D 为BC 边上异于,B C 的一点，以AB 为直径作O ，分别交,AC AD 于点,E F ． （Ⅰ）证明：,,,C D E F 四点共圆；（Ⅱ）若D 为BC 中点，且3,1AF FD ==，求AE 的长．(23) （本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系x y O 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆锥曲线C 的极坐标方程为22123sin ρθ=+，定点(0,A ，12,F F 是圆锥曲线C 的左、右焦点．直线l 经过点1F 且平行于直线2AF ．（Ⅰ）求圆锥曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程；（Ⅱ）若直线l 与圆锥曲线C 交于,M N 两点，求11F M F N ⋅．(24) （本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数()3f x x a x =++-（a ∈R ）． （Ⅰ）当1a =时，求不等式()8f x x +…的解集；（Ⅱ）若函数()f x 的最小值为5，求a 的值．参考答案 第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知集合{{}2,log 1A x y B x x ===…，则A B =（A ）[]3,1- （B ）(]0,1（C ）[]3,2-（D ）(],2-∞【答案】B ．【解析】由()()130x x -+…，得[]3,1A =-，由22log 1log 2x =…，得(]0,2B =，所以A B = (]0,1．应选B ．（2）复数z 满足i 34i z ⋅=+，则z 在复平面内对应的点在 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限【答案】D ． 【解析】因为34i43i iz +==-，所以z 在复平面内对应的点为()4,3-，在第四象限．应选D ． （3）一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4【答案】B ．=3=，所以这个四棱锥的体积21323V =⨯⨯=．应选B ．（4）设0,0a b >>．若3是9a 与27b 的等比中项，则32a b+的最小值为 （A ）12 （B ）24（C ）25（D ）36【答案】A ．【解析】依题意得，29273a b ⨯=，即23233a b +=，所以232a b +=，所以2…，即16ab …，所以32a b +32212b a ab ab+==…，当且仅当2a b =时取等号．应选A ． （5）设,a b ∈R ，则“a b >”是“a a b b >的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】C ．【解析】因为函数()22,0,,0x x f x x x x x ⎧==⎨-<⎩…在(),-∞+∞上为增函数，所以()()a b f a f b >⇔>a a b b ⇔>，即a b >为a a b b >的充要条件．应选C ．（6）从集合{}3,2,1,2A =---中随机选取一个数记为k ，从集合{}2,1,2B =-中随机选取一个数记为b ，则直线y kx b =+不经过第四象限的概率为（A ）12（B ）14（C ）16（D ）112【答案】C ．【解析】记基本事件为(),k b ，则事件“直线y kx b =+不经过第四象限”包含基本事件()()2,1,2,2，共2个．因为所有的基本事件共有4312⨯=个，所以所求概率21126P ==．应选C ． （7）如图程序框图的功能是（A ）求111124620++++的值 （B ）求11113519++++ 的值 （C ）求11112418++++ 的值（D ）求231011112222++++ 的值 【答案】A ．【解析】该程序运行情况如下表所示：由上表可知，该程序的功能是求24620++++的值．应选A ． （8）函数()()sin f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的对称轴为 （A ）1π,4x k k =-+∈Z （B）12π,4x k k =-+∈Z（C ）1,4x kk =-+∈Z （D ）12,4x k k =-+∈Z 【答案】C ． 【解析】由图可知，511244T =-=，故1142x =-，即14x =-是()f x 的一条对称轴．又因为()f x 每两相邻的对称轴距离均为2T ，所以()f x 的对称轴为1,4x k k =-+∈Z ．应选C ．（9，四个顶点在同一球面上，则该球的表面积为 （A ）3π （B ）4π（C ）（D ）6π【答案】A ．的正四面体，将其放置到正方体中考虑（如图所示），其外接球与正方体的外接球相同．易得正方体的棱长为1，其体对角线长即为外接球的直径，则2R =，所以该球的表面积为24π3πR =．应选A ．（10）设,x y 满足约束条件30,0,20,x y a x y x y --⎧⎪-⎨⎪+⎩………z x y =+若的最大值为2，则实数a 的值为（A ）2 （B ）1 （C ）1-（D ）2-【答案】A ．【解析】通过作图可知，当且仅当0a ≥时，可行域非空．如图所示，当目标函数z x y =+经过点,22a a A ⎛⎫⎪⎝⎭时，max 222a a z =+=，所以2a =．应选A ．（11）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，渐近线分别为12,l l ，点P 在第一象限内且在1l 上，若2122,l PF l PF ⊥∥，则该双曲线的离心率为 （A（B ）2（C（D【答案】B ．【解析】双曲线的渐近线方程为b y x a =±，不妨12,l l 的方程分别为,b by x y x a a==-． 因为22l PF ∥，所以直线2PF 的方程为()b y x c a =--．由(),b y x c a b y xa ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得点P 坐标为,22c bc a ⎛⎫⎪⎝⎭．由21l PF ⊥，得210212l PF bc b a k k c a c -⋅=-⋅=-+，整理得，23b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以2214b e a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以该双曲线的离心率为2．应选B ．（12）函数()2ln f x x ax x =-+有两个零点，则实数a 的取值范围是 （A ）(),1-∞ （B ）21e ,e +⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭（C ）21e 0,e +⎛⎫⎪⎝⎭（D ）()0,1【答案】D ．【解析】当0a =时，()ln f x x x =+为增函数，至多只有一个零点，不满足题意，淘汰A ，B ；当01a <<时，函数()2g x ax x =-的图象是开口向上的抛物线，两个零点分别为10,a，其中11a>，此时函数()g x 与()ln h x x =有两个交点，故方程2ln 0x ax x -+=有两个解，即函数()2ln f x x x x =-+有两个零点，淘汰C ．应选D ．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题 第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．（13）已知()()1,3,1,t -a =b =，若()2-⊥a b a ，则实数t = ． 【答案】2．【解析】由已知，()23,32t -=--a b ．因为()2-⊥a b a，所以()2-⋅a b a ()33320t =+-=，解得2t =．应填2．（14）93x ⎛+ ⎝的展开式中的常数项为 ． 【答案】84。