不定积分

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不定积分公式大全

不定积分公式大全1.幂函数的不定积分公式- ∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C （n≠-1）- ∫x^(-1) dx = ln，x， + C- ∫e^x dx = e^x + C- ∫a^x dx = (a^x)/(ln(a)) + C2.三角函数的不定积分公式- ∫sinx dx = -cosx + C- ∫cosx dx = sinx + C- ∫sec^2x dx = tanx + C- ∫csc^2x dx = -cotx + C- ∫secx tanx dx = secx + C- ∫cscx cotx dx = -cscx + C3.反三角函数的不定积分公式- ∫1/(√(1-x^2)) dx = arcsin(x) + C- ∫1/(1+x^2) dx = arctan(x) + C- ∫1/，x，(√(x^2-1)) dx = arccosh(x) + C - ∫1/，x，(√(1-x^2)) dx = arcsech(x) + C 4.指数函数和对数函数的不定积分公式- ∫e^x dx = e^x + C- ∫ln(x) d x = xln(x) - x + C- ∫1/x dx = ln，x， + C5.双曲函数的不定积分公式- ∫sinh(x) dx = cosh(x) + C- ∫cosh(x) dx = sinh(x) + C- ∫sech^2(x) dx = tanh(x) + C- ∫csch^2(x) dx = -coth(x) + C- ∫sech(x) tanh(x) dx = sech(x) + C- ∫csch(x) coth(x) dx = -csch(x) + C6.分部积分法的不定积分公式- ∫u dv = uv - ∫v du7.代换法的不定积分公式- ∫f(u) du = ∫f(g(x))g'(x) dx8.积分换元法的不定积分公式- ∫f(x) dx = ∫f(g(t)) g'(t) dt9.坐标系中的不定积分公式- ∫f(x) dx = ∫f(y(x)) y'(x) dx （极坐标系）- ∫f(x, y) dx = ∫f(r cosθ, r sinθ) r dr dθ （极坐标系）10.特殊函数的不定积分公式- ∫e^(-x^2) dx = √π * erf(x) + C （误差函数）这些不定积分公式是数学中常用的公式，通过熟练掌握和灵活运用，可以帮助我们解决各类数学问题。

不定积分公式大全

1）∫0dx=c 不定积分的定义2）∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c3）∫1/xdx=ln|x|+c4)∫a^xdx=(a^x)/lna+c5）∫e^xdx=e^x+c6）∫sinxdx=-cosx+c7）∫cosxdx=sinx+c8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c10）∫1/√（1-x^2) dx=arcsinx+c11）∫1/(1+x^2)dx=arctanx+c12）∫1/(a^2-x^2)dx=(1/2a)ln|(a+x)/(a-x)|+c13）∫secxdx=ln|secx+tanx|+c 基本积分公式14）∫1/(a^2+x^2)dx=1/a*arctan(x/a)+c15）∫1/√(a^2-x^2) dx=(1/a)*arcsin(x/a)+c16) ∫sec^2 x dx=tanx+c;17) ∫shx dx=chx+c;18) ∫chx dx=shx+c;19) ∫thx dx=ln(chx)+c;When you are old and grey and full of sleep, And nodding by the fire, take down this book,And slowly read, and dream of the soft lookYour eyes had once, and of their shadows deep; How many loved your moments of glad grace, And loved your beauty with love false or true,But one man loved the pilgrim soul in you,And loved the sorrows of your changing face; And bending down beside the glowing bars, Murmur, a little sadly, how love fledAnd paced upon the mountains overheadAnd hid his face amid a crowd of stars.The furthest distance in the worldIs not between life and deathBut when I stand in front of youYet you don't know thatI love you.The furthest distance in the worldIs not when I stand in front of youYet you can't see my loveBut when undoubtedly knowing the love from both Yet cannot be together.The furthest distance in the worldIs not being apart while being in loveBut when I plainly cannot resist the yearningYet pretending you have never been in my heart. The furthest distance in the worldIs not struggling against the tidesBut using one's indifferent heartTo dig an uncrossable riverFor the one who loves you.When you are old and grey and full of sleep, And nodding by the fire, take down this book, And slowly read, and dream of the soft look Your eyes had once, and of their shadows deep; How many loved your moments of glad grace, And loved your beauty with love false or true, But one man loved the pilgrim soul in you,And loved the sorrows of your changing face; And bending down beside the glowing bars,Murmur, a little sadly, how love fledAnd paced upon the mountains overheadAnd hid his face amid a crowd of stars.The furthest distance in the worldIs not between life and deathBut when I stand in front of youYet you don't know thatI love you.The furthest distance in the worldIs not when I stand in front of youYet you can't see my loveBut when undoubtedly knowing the love from both Yet cannot be together.The furthest distance in the worldIs not being apart while being in loveBut when I plainly cannot resist the yearningYet pretending you have never been in my heart. The furthest distance in the worldIs not struggling against the tidesBut using one's indifferent heartTo dig an uncrossable riverFor the one who loves you.倚窗远眺，目光目光尽处必有一座山，那影影绰绰的黛绿色的影，是春天的颜色。

微积分中的不定积分

微积分中的不定积分微积分是数学中非常基础而重要的学科，它研究的是变量的变化，包括极限、微分、积分等。

其中不定积分是微积分中的重要概念之一。

一、不定积分是什么？不定积分是指求导的反运算，也就是对函数进行积分。

对于函数f(x)，其不定积分可以用∫f(x)dx表示。

其含义为求解f(x)的一个原函数。

通俗来说，原函数指的是导数为f(x)的函数。

二、不定积分的基本公式不定积分包括基本不定积分和常用不定积分两类。

基本不定积分是指简单的函数积分，常用不定积分是指需用到一些公式的函数积分。

下面来介绍一下基本不定积分和常用不定积分。

1. 基本不定积分(1) ∫kdx=kx+C其中，k为常数，C为任意常数。

运算时需要注意的一些事项如下：1. 常数项的处理：不定积分中的常数项可以被省略，即∫f(x)dx 和∫f(x)dx+C的计算结果是一样的。

常见的不定积分(公式大全)

常见的不定积分(公式大全)一、基本积分公式1. $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $，其中 $ n \neq 1 $。

2. $ \int dx = x + C $。

3. $ \int a dx = ax + C $，其中 $ a $ 为常数。

4. $ \int e^x dx = e^x + C $。

5. $ \int \ln x dx = x \ln x x + C $。

6. $ \int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C $。

7. $ \int \sin x dx = \cos x + C $。

8. $ \int \cos x dx = \sin x + C $。

9. $ \int \tan x dx = \ln |\cos x| + C $。

10. $ \int \cot x dx = \ln |\sin x| + C $。

二、换元积分法1. $ \int f(ax + b) dx = \frac{1}{a} \int f(ax + b) d(ax + b) $。

2. $ \int f(x^n) dx = \frac{1}{n} \int f(x^n) d(x^n) $。

3. $ \int f(\sqrt{ax^2 + bx + c}) dx = \frac{1}{a} \int f(\sqrt{ax^2 + bx + c}) d(\sqrt{ax^2 + bx + c}) $。

4. $ \int f(\sqrt{a^2 x^2}) dx = \frac{1}{a} \intf(\sqrt{a^2 x^2}) d(\sqrt{a^2 x^2}) $。

5. $ \int f(\sqrt{x^2 a^2}) dx = \frac{1}{a} \intf(\sqrt{x^2 a^2}) d(\sqrt{x^2 a^2}) $。

三、分部积分法1. $ \int u dv = uv \int v du $。

不定积分的几种形式及求解技巧

不定积分的几种形式及求解技巧不定积分是微积分中的重要概念，通常用来求解函数的原函数。

在求解不定积分时，我们有几种不同的形式和求解技巧。

1. 一般形式不定积分：一般形式的不定积分表示为∫f(x)dx，其中f(x)是要求积分的函数。

求解一般形式的不定积分的方法主要有以下几种：- 直接积分法：根据不同函数的性质，应用相关的积分求法，例如多项式函数、三角函数、指数函数等。

例如，对于多项式函数f(x)=x^n，不定积分为∫x^n dx=(1/(n+1))x^(n+1)+C，其中C是常数。

- 分部积分法：分部积分法可以将一个复杂的函数积分转化为两个简单函数的乘积积分。

公式表达为：∫u dv = uv - ∫v du。

通过选取适当的u和dv，进行分部积分求解不定积分。

例如，对于函数f(x)=x*sin(x)，可以令u=x，dv=sin(x)dx，然后进行分部积分求解。

- 代换法：代换法是通过选择一个新的变量来简化不定积分的求解过程。

通过选择适当的代换变量可以将复杂的函数转化为一个简单的函数。

例如，对于函数f(x)=e^x，我们可以令u=e^x，然后进行代换求解。

- 部分分式分解法：当不定积分的被积函数可以使用部分分式分解时，就可以将其转化为一组简单的分式的和的形式，然后依次求解。

例如，对于函数f(x)=1/(x^2+1)，可以将其分解为1/((x+1)(x-1))的形式，然后再分别进行不定积分求解。

2. 特殊形式不定积分：特殊形式的不定积分是指一些常见的函数在积分过程中的特殊形式。

这些特殊形式的不定积分可以通过特定的方法进行求解。

常见的特殊形式不定积分有以下几种：- 三角函数不定积分：对于一些常见的三角函数，例如sin(x)、cos(x)、tan(x)等，其不定积分可以通过特定的恒等变换和公式进行求解。

例如，∫sin(x)dx=-cos(x)+C，∫cos(x)dx=sin(x)+C，∫tan(x)dx=-ln|cos(x)|+C。

不定积分公式大全24个

不定积分公式大全24个不定积分，是微积分中的一个重要概念，它是定积分的逆运算。

在求不定积分的过程中，需要利用到一些常见的不定积分公式。

下面，我们将介绍24个常见的不定积分公式，希望能对大家的学习和工作有所帮助。

1. $\int k\,dx = kx + C$，其中$k$为常数，$C$为积分常数。

2. $\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$，其中$n$为常数，$C$为积分常数。

3. $\int e^x\,dx = e^x + C$。

4. $\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$，其中$a$为常数且$a>0$，$a\neq 1$，$C$为积分常数。

5. $\int \sin x\,dx = -\cos x + C$。

6. $\int \cos x\,dx = \sin x + C$。

7. $\int \sec^2 x\,dx = \tan x + C$。

8. $\int \csc^2 x\,dx = -\cot x + C$。

9. $\int \sec x\tan x\,dx = \sec x + C$。

10. $\int \csc x\cot x\,dx = -\csc x + C$。

11. $\int \frac{1}{1+x^2}\,dx = \arctan x + C$。

12. $\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = \arcsin x + C$。

13. $\int \frac{1}{x\ln x}\,dx = \ln|\ln x| + C$。

14. $\int \frac{1}{x}\,dx = \ln |x| + C$。

15. $\int \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx = 2\sqrt{x} + C$。

16. $\int \frac{1}{1-x^2}\,dx = \frac{1}{2}\ln\frac{1+x}{1-x} + C$。

不定积分概念

不定积分概念一、不定积分概念不定积分（indefinite integral）是指求某个函数的积分，而不是某个特定值。

对于定积分（definite integral）来说，求积分时已经明确求积分的范围，而不定积分时，积分范围是不确定的，只有拉格朗日积分常数可以确定函数的值。

它可以表示为：∫f(x)dx=F(x)+C其中，C 为拉格朗日积分常数，F(x) 为原函数的积分。

二、不定积分的应用不定积分在微积分中有重要的作用，主要用来表示某物的变化率。

例如：求物体的加速度时，可以使用不定积分来计算。

速度是物体的位移量在单位时间的变化率，因此加速度可以通过不定积分来计算，可以表示为：a=∫∫v(t)dt其中，t 为时间，v(t)为速度，a 为加速度。

不定积分在运筹学中也有重要作用，用来表示最优解中的某个函数值的变化率。

例如在著名的求任务资源最大利用率的问题中，可以用不定积分来表示任务资源的利用率：∫∫R(t)dt其中，t 为时间，R(t) 为任务资源的利用率。

同样，不定积分还可以应用在经济学中用来表示物价的变化率： P=∫∫p(t)dt其中，t 为时间，p(t) 为物价，P 为物价变化率。

三、不定积分的计算方法不定积分的计算主要是根据特定函数的积分公式来求解的，例如：∫x^2dx=1/3x^3+C。

但是，有时候也会用到“积分变换法”来计算不定积分。

具体的做法是，首先根据函数的形式进行积分变换，然后再根据积分变换的结果来计算不定积分。

举例来说，求解∫xdx，可以采用如下变换：x=u+1dx=du则：∫xdx=∫(u+1)du=1/2u^2+u+C再将u 替换为 x 的值，即∫xdx=1/2x^2+x+C。

四、不定积分的特殊情况1、当函数为可积函数时，不定积分可以简化为定积分，即：∫f(x)dx=F(x2)-F(x1)其中，x1,x2 为积分的下、上限，F(x) 为原函数的积分。

2、当函数在某一区间内有多个极值点时，可以将函数分段：∫f(x)dx=∫f1(x)dx+∫f2(x)dx+....+∫fn(x)dx其中，f1(x),f2(x),...fn(x) 为函数分段的函数。

不定积分基本概念

不定积分基本概念数学中的积分是微积分的重要概念之一。

在求解函数的不定积分时，我们会遇到一些基本概念，本文将对这些概念进行详细介绍。

1. 不定积分的定义不定积分是求解一个函数的原函数的过程。

若函数F(x)在区间[a, b]上可导，且对于该区间上任意一点x，都有F'(x) = f(x)，则F(x)就是函数f(x)在区间[a, b]上的一个原函数。

我们将F(x)称为原函数，而f(x)称为被积函数。

不定积分表示为∫f(x)dx，其中∫表示积分运算。

2. 不定积分的性质不定积分具有如下几个重要的性质：- 线性性质：对于任意的常数a和b，有∫(af(x)+bg(x))dx = a∫f(x)dx +b∫g(x)dx。

即不定积分具有可分配律。

- 求导与积分的关系：若F(x)是f(x)的一个原函数，则F'(x) = f(x)，同时也可以推出f(x)是F(x)的一个原函数。

- 积分的逆运算：对于连续函数f(x)，如果它在区间[a, b]上的一个原函数存在，那么∫(f'(x))dx = f(x) + C，其中C表示常数项。

3. 常见的不定积分公式在求解不定积分时，我们常常会用到一些常见的不定积分公式，下面列举一些常见的例子：- 常数函数的不定积分：∫kdx = kx + C，其中k为常数，C为常数项。

- 幂函数的不定积分：∫x^ndx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中n不等于-1，C为常数项。

- 正弦函数的不定积分：∫sinxdx = -cosx + C，其中C为常数项。

- 余弦函数的不定积分：∫cosxdx = sinx + C，其中C为常数项。

4. 换元积分法换元积分法是求解复杂函数不定积分的一种常用方法。

它通过引入一个新的变量，将原函数转化为更容易求解的形式。

换元积分法的基本步骤是：- 选择适当的变量代换，将不定积分转化为新变量的积分表达式。

- 对新变量进行积分运算，得到结果。

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x dx . 例2 求 3 (1 x ) x x 11 dx dx 解 3 3 (1 x ) (1 x ) 1 1 [ ]d (1 x ) 2 3 (1 x ) (1 x ) 1 1 C1 C2 2 1 x 2(1 x ) 1 1 C. 2 1 x 2(1 x )

sin x C cos x
（ C为任意常数）

定理8.2 设Ｆ是f在区间Ｉ上的一个原函数，则
（1）若 F ( x ) f ( x ) ，则对于任意常数 C ，
F ( x ) C 都是 f ( x ) 的原函数.
（2）若 F ( x ) 和 G ( x ) 都是 f ( x ) 的原函数，
1 1 u 1 1 cos x ln C ln C. 2 1 u 2 1 cos x
n n
( ki f ( x))dx (ki f i ( x)dx)
i 1 i 1
例1 求
p( x)dx.
其中 p( x) a0 x a1x an1x an
n n1
4 1 x 例2 求 dx. 2 1 x
例３求
cos3x sin xdx
x
1 x
1 (1 2 )e x e
x 1 x
x
1 x
dx
x 1 x
1 d(x ) e x
C.
例6 求解
1 x 2 a 2 dx.(a 0)

1 1 1 1 dx ( )dx 2 2 x a 2a x a x a
1 d ( x a) d ( x a) [ ] 2a xa xa 1 [ln | x a | ln | x a |] C 2a 1 xa ln | | C . 2a xa
被积表达式积分变量
任意常数
函数 f ( x ) 的原函数的图形称为 f ( x ) 的积分曲线.
显然，求不定积分得到一积分曲线族.
由不定积分的定义，可知
d dx
f ( x)dx f ( x),
d [ f ( x )dx ] f ( x )dx ,
F ( x )dx F ( x ) C , dF ( x ) F ( x ) C .
第八章
不定积分
•第一节不定积分概念与基本积分公式 •第二节 •第三节分换元积分法与分部积分法有理函数和可化为有理函数的不定积
第一节
不定积分概念与基本积分式
一、原函数与不定积分
二、基本积分表
三、小结
一、原函数与不定积分的概念
定义：如果在区间I 内，可导函数F ( x ) 的
导函数为 f ( x ) ，即x I ，都有 F ( x ) f ( x )
基 (1) 本 ( 2) 积分 ( 3) 表
x x dx 1 C ( 1); dx x ln x C; dx ln x C , 说明： x 0, x 1 1 ( x ) , x 0, [ln( x )] x x dx dx ln( x ) C , ln | x | C , x x dx ln x C . 简写为 x
或dF ( x ) f ( x )dx ，那么函数 F ( x ) 就称为 f ( x )
I 内原函数. 或 f ( x )dx 在区间
例
sin x cos x

sin x 是cos x 的原函数.
1 ln x ( x 0) x 1 ln x 是在区间(0, )内的原函数. x
第二类积分换元公式其中 ( x )是 x ( t ) 的反函数.
1 dx. 例1 求 3 2x 1 1 1 ( 3 2 x ), 解 3 2x 2 3 2x 1 1 1 3 2 xdx 2 3 2 x (3 2 x )dx 1 1 1 1 du ln u C ln(3 2 x ) C . 2 u 2 2 1 一般地 f (ax b)dx [ f ( u)du]uax b a
（使用了三角函数恒等变形）
csc xdx .
1 sin x 解（二） csc xdx dx 2 dx sin x sin x 1 d (cos x ) u cos x 2 1 cos x 1 1 1 1 du du 2 2 1 u 1 u 1 u
g( x )dx
化为 f [( x )]( x )dx .

观察重点不同，所得结论不同.
问题2
5 2 x 1 x dx ?
解决方法
过程
改变中间变量的设置方法.
令 x sin t dx cos tdt ,
5 2 (sin t ) 1 sin t cos tdt
(12)
(15) cosh xdx sinh x C ;
定理3 若函数与在区间上都存在原函数，为两个任意常数，则在上也存在原函数，且
[ k f ( x ) k g ( x )] dx k f ( x ) dx k g ( x ) dx 1 2 1 2
（其中k1,k2不全为零）注：线性法则的一般形式：
1 例3 求 2 dx. 2 a x
解
1 1 a 2 x 2 dx a 2
1 a
1 2 dx x 1 2 a
1 x 1 x d arctan C . 2 a x a a 1 a
1 dx. 例4 求 x 1 e 1 1 ex ex dx dx 解 x x 1 e 1 e
结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的.
二、基本积分表
1 x x 实例 x x dx C. 1 1 ( 1)
1

启示能否根据求导公式得出积分公式？结论既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.
则 F ( x ) G ( x ) C （Ｃ为任意常数）
不定积分的定义：
在区间I 内，函数 f ( x ) 的带有任意
常数项的原函数称为 f ( x ) 在区间 I 内的
不定积分，记为 f ( x )dx .
积被分积号函数
f ( x )dx F ( x ) C
5 2 x 1 x dx
5 2
sin t cos tdt
（应用“凑微分”即可求出结果）
设 x ( t ) 是单调的、可导的函数， ( t ) 具有原函数，又设 f [ ( t )] 并且 ( t ) 0，
定理8.4(2）
则有换元公式
f ( x )dx f [ ( t )] ( t )dt t ( x )

C kdx kx 1
( k是常数);
1 arctan x C ; ( 4) dx 1 x2 1 ( 5) dx arcsin x C ; 2 1 x (6) cos xdx sin x C ;
(7)
( 8)
sin xdx cos x C ; dx 2 sec xdx tan x C ; cos2 x
在一般情况下：
设 F ( u) f ( u), 则
f (u)du F (u) C .
如果 u ( x )（可微）
dF [ ( x )] f [ ( x )] ( x )dx

f [ ( x )] ( x )dx F [ ( x )] C
dx (9) 2 csc2 xdx cot x C ; sin x
(10) sec x tan xdx sec x C ; (11) csc x cot xdx csc x C ;
x x e dx e C; x a x C; (13) a dx ln a (14) sinh xdx cosh x C ;
例7 求解
sin
2
2
x cos xdx .
5
2 5 2 4 sin x cos xdx sin x cos xd (sin x ) 2 2
sin x (1 sin x ) d (sin x ) (sin x 2 sin x sin x )d (sin x )
e e dx dx dx 1 x x 1 e 1 e 1 x dx d ( 1 e ) x 1 e
x
x
x ln(1 e x ) C .
1 例5 求 (1 2 )e dx . x 1 1 解 x 1 2 , x x
定理8.1（原函数存在定理）：
那么在区间如果函数 f ( x ) 在区间 I 内连续，使 I 内存在可导函数 F ( x ) ， F’ ( x) f ( x) . 问题：(1) 原函数是否唯一？ (2) 若不唯一它们之间有什么联系？例
xI
，都有
简言之：连续函数一定有原函数.
sin x cos x
三、小结
原函数的概念： F ( x ) f ( x ) 不定积分的概念： f ( x )dx F ( x ) C 基本积分表(1) 求微分与求积分的互逆关系
思考题
1, x 0 符号函数 f ( x ) sgn x 0, x 0 1, x 0
2 4 6
1 3 2 5 1 7 sin x sin x sin x C . 3 5 7
说明当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.