北师大版-数学-八年级上册-八年级数学下册5.4 分式方程(三)—分式方程应用题 教案
八年级数学下册5.4.3分式方程课件新版北师大版
总结与提高
1
完成课文总结
在这个部分，我们将回顾整个课程并总结一些重要的观点和知识点。
2
引领下一步学习任务
除了本门课程，您应该了解更多关于数学的内容，我们将为您提供一些资源和建 议。
参考资料
相关练习题
我们为您准备了相关的练习题，以帮助您加深对分式方程的了解并提高您的数学技能。
网上资源推荐
在您学习的过程中，我们为您提供了一些网上资源，以供您参考和学习。
应用题
利用分式方程解决实际问题
分式方程解决了许多实际问题，例如科学、医学 和工程中的问题等。
举例分析
我们将讨论一些实际应用的案例，调查研究它们 在工作中的用途，并推荐一些可用的资源供练习
在课程中，我们将习惯于讲解许多例子，让学生熟悉这个概念。现在，我们将给出若干实例进行练 习，以帮助学生更好地掌握知识。
解分式方程
1
解一元一次分式方程
一元一次分式方程是指其中未知数的幂次数最高不能超过1，并且方程中含有分式。此 类方程可以用类似代数全等的方法来解。
2
解带分式系数的一元一次方程
带分式系数的一元一次方程，是指其中系数是分式，在这种情况下，需要通过乘除数 的公共因子来实现方程的解决。
3
解二元一次分式方程
一个二元一次分式方程通常是两个未知数中的每一个都含有一个分式的方程。可以采 用类似于线性方程组的方法解决。
引出目标与课程
研究分式方程的基本概念，学会解决分式方程， 并通过实际问题学会运用所学知识。帮助学生提 高在数学中的整体能力。
基础知识回顾
分式的定义与性质
分式由两个整数或者多项式相除所得到的有理数或者多项式。
分式化简
通过约分来简化分式，以得到更简单的表达式。
北师大版(新)八年级下册数学5.4分式方程 (3)
2.解方程
x 1 4 2 1 x 1 x 1
3.列一元一次方程解应用题的一般步骤分哪几步？ 第二环节 探究新知 活动内容：
例 1.某单位将沿街的一部分房屋出租.每间房屋的租金第二年比第一年多 500 元， 所有房屋出租的租金第一年为 9.6 万元，第二年为 10.2 万元. （1）你能找出这一情境的等量 关系吗？ （2）根 据这一情境，你能提出哪些问题？ （3）你能利用方程求出这两年每间房屋的租金各是多少吗？
第三环节
小试牛刀
活动内容：
例 2. 某市从今年 1 月 1 日起调整居民用水价格， 每立方米水费上涨
1 ．小丽家 3
去年 12 月份的水费是 15 元，而今 7 月份的水费则是 30 元．已知小丽家今年 7 月份 的用水量比去年 12 月份的用水量多 5 m
3
，求该市今年居民用水的价格．
八年级数学导学案第 9 课时
第四环节 感悟升华 活动内容：
主备人：王文锦 审核人：王文锦 审批人：王文锦
列分式方程解应用题的一般步骤是什么？
第五环节 活动内容： 1.
巩固练习
小明和同学一起去书店买书，他们先用15元买了一种科普书，又用15元买了一 种文学书．科普书的价格比文学书高出一半，他们所买的科普书比所买的文学 书少1 本．这种科普书和这种文学书的价格各是多少？
八年级数学导学案第 9 课时
主备人：王文锦 审核人：王文锦 审批人：王文锦 分式方程（3） 教师个性化设计、学 法指导或学生笔记
课题：第 9 课时
教学目标：1.通过日常生活中的情境创设，经历探索分式方程应用的过程，会检验根 的合理性；2．经历“实际问题情境——建立分式方程模型——求解——解释解的合理 性”的过程，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力，增强学生学数学、用数学 的意识．3．通过创设贴近学生生活实际的现实情境，增强学生的应用意识，培养学生 对生活的热爱． 第一环节 复习回顾 活动内容：1.解分式方程的一般步骤：
八年级数学北师大版初二下册--第五单元5.4《分式方程：第二课时--解分式方程》课件
知1－讲
解分式方程的一般步骤：
1、 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母， 化成整式方程. （转化思想）
2、解这个整式方程. 3、检验 . 4、写出原方程的根.
例1 解方程
1 = 3. x- 2 x
解：方程两边都乘x(x－2)，得x＝3(x－2).
解这个方程，得x＝3.
解得x＝2.
检验：当x＝2时，( x＋2)( x－2)＝0，
所以x＝2是原方程的增根，即原方程无解．
易错总结：
分式方程转化为整式方程后，由于去分母使未 知数的取值范围发生了变化，有可能产生增根， 因此在解分式方程时一定要验根，如果不验根， 有可能误将x＝2当成原分式方程的根．
2 易错小结
2．当k为何值时，关于x的方程
综上可知，当k＜3且k≠－12时，原分式方程的
解为负数．
易错总结：
在解分式方程时，要注意出现未知数的取值使 原分式方程中的分式的分母为零，即产生增根 的情况．因此本题中要使方程的解为负数，除 了k＜3外，还必须考虑原分式方程的分母不等 于0.
请完成《典中点》 Ⅱ 、 Ⅲ板块 对应习题！
2＋ x－1
a 1－x
＝4
的解为正数，且使关于y的不等式组
ìïïïíïïïî
y＋2－ y 32
2( y－a) £
> 0
1，
的解集为y<－2，则符合条件的所有整数a的和为
( A) A．10
B．12
C．14
D．16
知识点 3 分式方程的增根
议一议
在解方程
1x-
x= 2
12- x
2 时，小亮的解法如下:
方程两边都乘 x－2,得 1－x＝－1－2(x－2 ).
北师大版八年级下册数学习题课件5.4分式方程第3课时分式方程的应用
知识点
4．【2020·孝感】某电商积极响应市政府号召，在线销售甲、乙、 丙三种农产品，已知 1 kg 乙产品的售价比 1 kg 甲产品的售价 多 5 元，1 kg 丙产品的售价是 1 kg 甲产品售价的 3 倍，用 270 元购买丙产品的数量是用 60 元购买乙产品数量的 3 倍． (1)求甲、乙、丙三种农产品每千克的售价分别是多少元．
BS版八年级下
第五章 分式与分式方程
5.4 分式方程 第3课时 分式方程的应用
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13 见习题
解：设乙店的利润为 w 元． 由题意得 w＝(180－130)a＋(180×0.9－130)b＋(180×0.7－ 130)(150－a－b)＝54a＋36b－600＝54a＋36×1502－a－600＝36a ＋2 100.∵乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量，
知识点
∴a≤b，即 a≤1502－a，解得 a≤50. ∵w 随 a 的增大而增大， ∴当 a＝50 时，w 取得最大值，此时 w＝36×50＋2 100＝3 900. 答：乙店利润的最大值是 3 900 元．
知识点
解：设甲种货车每辆车可装 x 件帐篷，乙种货车每辆车可装 y 件 帐篷，依题意有x1＝0x0y0＋＝2800y，0，解得xy＝＝8100.0，
经检验，xy＝＝81000，是原方程组的解，且符合题意． 答：甲种货车每辆车可装 100 件帐篷，乙种货车每辆车可装 80
件帐篷．
北师大版数学八年级下册《分式方程的应用》教案
北师大版数学八年级下册《分式方程的应用》教案一. 教材分析北师大版数学八年级下册《分式方程的应用》这一章节主要让学生掌握分式方程的解法及其应用。
在此之前，学生已经学习了分式的基本概念、性质和运算，为本节课的学习打下了基础。
本节课的内容分为两个部分：一是分式方程的解法，二是分式方程在实际问题中的应用。
通过学习，学生能够掌握解分式方程的方法，并能够将分式方程应用于解决实际问题。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对分式的概念和性质有一定的了解。
但是，学生在解分式方程方面可能还存在一定的困难，特别是对于如何正确地去分母、化简方程等方面。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，及时进行引导和解答。
三. 教学目标1.理解分式方程的概念，掌握解分式方程的方法。
2.能够将分式方程应用于解决实际问题，提高解决问题的能力。
3.培养学生的逻辑思维能力和团队合作能力。
四. 教学重难点1.掌握解分式方程的方法，特别是如何正确地去分母、化简方程。
2.将分式方程应用于实际问题，提高解决问题的能力。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究分式方程的解法。
2.通过小组合作，让学生在讨论中解决问题，提高团队合作能力。
3.利用多媒体辅助教学，直观地展示分式方程的解法过程。
六. 教学准备1.准备相关的教学课件和教案。
2.准备一些实际问题，用于引导学生应用分式方程解决问题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些实际问题，引导学生思考如何用数学方法解决这些问题。
从而引出本节课的主题——分式方程的应用。
2.呈现（10分钟）教师通过讲解和示例，向学生介绍分式方程的概念和解法。
讲解过程中，重点强调如何去分母、化简方程。
同时，让学生跟随教师一起动手解题，加深对解题方法的理解。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，共同解决一些分式方程问题。
教师在旁边进行指导，解答学生的疑问。
此环节旨在让学生在实际操作中掌握解分式方程的方法。
北师大版数学八年级下册5.4《分式方程的概念及列分式方程》(第1课时)教案
北师大版数学八年级下册5.4《分式方程的概念及列分式方程》（第1课时）教案一. 教材分析《分式方程的概念及列分式方程》是北师大版数学八年级下册第5.4节的内容。
本节课主要让学生掌握分式方程的概念，学会如何列分式方程，并能够解简单的分式方程。
这一内容是学生学习了分式运算和一元一次方程的基础上进行的，为后续解决实际问题打下基础。
二. 学情分析学生在八年级上学期已经学习了分式的概念、分式的运算以及一元一次方程的解法，对于分式的基本概念和运算规则有一定的了解。
但部分学生在分式运算中还存在一定的困难，对于分式方程的理解和应用还需要加强。
此外，学生对于实际问题的解决能力有待提高。
三. 教学目标1.了解分式方程的概念，理解分式方程与一元一次方程的联系和区别。
2.学会列分式方程，并能解简单的分式方程。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：分式方程的概念，列分式方程的方法，解分式方程的步骤。
2.难点：理解分式方程与一元一次方程的联系和区别，解决实际问题中的分式方程。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等多种教学方法，引导学生主动探究、合作交流，培养学生的动手操作能力和思维能力。
六. 教学准备1.教学PPT2.教学素材（实际问题）七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一些实际问题，引导学生思考如何用数学模型来解决这些问题。
通过分析，引入分式方程的概念。
2.呈现（10分钟）讲解分式方程的概念，解释分式方程与一元一次方程的联系和区别。
通过示例，展示如何列分式方程。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，尝试解决一些简单的实际问题，引导学生运用分式方程来解决问题。
每组选择一个问题，列出分式方程，并求解。
4.巩固（10分钟）选取部分学生的解题过程和答案，进行讲解和分析。
针对学生解题中出现的问题，进行讲解和指导。
5.拓展（10分钟）让学生尝试解决一些稍复杂的实际问题，引导学生运用所学的分式方程知识来解决问题。
北师大版八年级数学下册：分式方程课件
所以，该市今年居民用水的价格为2元/m3.
四、随堂练习
1.勤洗手，戴口罩.小明第一次用120元买了若干包口罩,第二次用240元 在同一商家买同样的口罩,这次商家每包优惠4元,结果比上次多买了20包, 求第一次买了多少包口罩?若设第一次买了x包口罩,列方程正确的是( D.).
A. 240 120 4 x 20 x
3
x
11x 3
15
30 15 5. 11x x
3
30
三、典例分析
解：设该市去年居民用水的价格为x元/m3， 则今年居民
用水的价格为
1
1 3
x 元/m3.
30
根据题意，得：
1
1
x
15 x
5.
3
解得：
x3 2
经检验， x 3 是原方程的根.
2
整理
45 15 5.
2x x
3 1 1 2 元 / m3 23
所有房屋出租的租金第一年为9.6万元， 第二年为10.2万元.
第一年所有房屋出租的租金=9.6万元 第二年所有房屋出租的租金=10.2万元
1.你能找出这一情境中的等量关系吗?
找等量 关系
第二年每间房屋的租金 = 第一年每间房屋的租金+ 500.
第一年出租的房屋间数 = 第二年出租的房屋间数.
发掘隐含条件！
在“火神山”医院的建造过程中，有两个工程队共同参其中一项搬运工程，
甲队单独施工1天完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工 作了半天天，总工程全部完成. 乙单独干这项工程需要多长时间？
解:设小亮每小时各加工x个，则小明每小时各加工(x+10)个.
根据题意，得：
150 120 . x 10 x
北师大版八年级数学下册 第五章 5.4 分式方程 第2课时 分式方程的解法【名师教案+集体备课】
4 分式方程第2课时分式方程的解法【教学目标】【知识与技能】1.理解分式方程的概念;2.会通过设适当的未知数并根据等量关系列出分式方程；3.学生掌握解分式方程的基本方法和步骤.【过程与方法】通过列出的方程归纳出它们的共同特点，得出分式方程的概念.了解分式的概念，明确分式和整式的区别；经历和体会解分式方程的必要步骤；使学生进一步了解数学思想中的“转化”思想.【情感态度】在建立分式方程的数学模型的过程中培养能力和克服困难的勇气，并从中获得成就感，提高解决问题的能力.【教学重点】1、掌握分式方程的解法、解，分式方程要验根.2、在进一步理解分式方程意义的基础上，掌握分式方程的一般解法；【教学难点】1、掌握分式方程的解法、解，分式方程要验根.2、了解解分式方程可能会产生增根，掌握解分式方程一定要验根及验根方法．【教学过程】一、情境导入问题1：填空：(1)分母中不含未知数的方程叫做整式方程；(2)分母中含有未知数的方程叫做分式方程．问题2：判断下列说法是否正确： ①2x ＋32＝5是分式方程； ②34－4x ＝4x ＋3是分式方程； ③x 2x ＝1是分式方程； ④1x ＋1＝1y －1是分式方程． 解：①不是分式方程，因为分母中不含有未知数．②是分式方程．因为分母中含有未知数．③是分式方程．因为分母中含有未知数．④是分式方程．因为分母中含有未知数．问题3：方程5x －2＝3x与以前学习的方程有什么不同？怎样解这样的方程？ 二、合作探究探究点一：分式方程的解法【类型一】 解分式方程解方程：(1)5x ＝7x －2；(2)1x －2＝1－x 2－x－3. 解析：分式方程两边同乘以最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解，注意验根．解：(1)方程两边同乘x (x －2)，得5(x －2)＝7x ，5x －10＝7x ，2x ＝－10，解得x ＝－5，检验：把x ＝－5代入最简公分母，得x (x －2)≠0，∴x ＝－5是原方程的解；(2)方程两边同乘最简公分母(x －2)，得1＝x －1－3(x －2)，解得x ＝2，检验：把x ＝2代入最简公分母，得x －2＝0，∴原方程无解．方法总结：解分式方程的步骤：①去分母；②解整式方程；③检验；④写出方程的解．注意检验有两种方法，一是代入原方程，二是代入去分母时乘的最简公分母，一般是代入公分母检验．【类型二】由分式方程的解确定字母的取值范围关于x的方程2x＋ax－1＝1的解是正数，则a的取值范围是____________．解析：去分母得2x＋a＝x－1，解得x＝－a－1，∵关于x的方程2x＋ax－1＝1的解是正数，∴x＞0且x≠1，∴－a－1＞0且－a－1≠1，解得a＜－1且a≠－2，∴a的取值范围是a＜－1且a≠－2.方法总结：求出方程的解(用未知字母表示)，然后根据解的正负性，列关于未知字母的不等式求解，特别注意分母不能为0.探究点二：分式方程的增根【类型一】求分式方程的增根若方程3x－2＝ax＋4x（x－2）有增根，则增根为( )A．0 B．2 C．0或2 D．1解析：∵最简公分母是x(x－2)，方程有增根，则x(x－2)＝0，∴x＝0或x＝2.去分母得3x＝a(x －2)＋4，当x＝0时，2a＝4，a＝2；当x＝2时，6＝4不成立，∴增根只能为x＝0，故选A.方法总结：增根是使分式方程的分母为0的根，所以判断增根只需让分式方程的最简公分母为0，注意应舍去不合题意的解．【类型二】分式方程有增根，求字母的值如果关于x的分式方程2x－3＝1－mx－3有增根，则m的值为( )A．－3 B．－2C．－1 D．3解析：方程两边同乘以x－3，得2＝x－3－m①.∵原方程有增根，∴x－3＝0，即x＝3.把x＝3代入①，得m＝－2.故选B.方法总结：增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．【类型三】分式方程无解，求字母的值若关于x的分式方程2x－2＋mxx2－4＝3x＋2无解，求m的值．解析：先把分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论求解：一元一次方程无解与分式方程有增根．解：方程两边都乘以(x＋2)(x－2)，得2(x＋2)＋mx＝3(x－2)，即(m－1)x＝－10.①当m－1＝0时，此方程无解，此时m＝1；②方程有增根，则x＝2或x＝－2，当x＝2时，代入(m－1)x＝－10得(m－1)×2＝－10，m＝－4；当x＝－2时，代入(m－1)x＝－10得(m－1)×(－2)＝－10，解得m＝6，∴m的值是1，－4或6.方法总结：分式方程无解与分式方程有增根所表达的意义是不一样的．分式方程有增根仅仅针对使最简公分母为0的数，分式方程无解不但包括使最简公分母为0的数，而且还包括分式方程化为整式方程后，使整式方程无解的数．三、板书设计1．分式方程的解法方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程求解，再检验．2．分式方程的增根(1)解分式方程为什么会产生增根；(2)分式方程检验的方法．四、教学反思这节课主要是通过对比有分数系数的整式方程的解法来学习分式方程的解法，从而归纳出分式方程的基本解题步骤．在教学过程中要着重讲解分式方程为什么要检验，要让学生理解增根的由来，从而牢记分式方程在解题后要进行检验，避免解题出错．在完成解题步骤归纳之后，通过例题与练习让学生在出错中找到正确的解法，让学生自己归纳理解解题时容易出错的地方，防止犯错.。
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分式方程（三）—分式方程应用题
设计理念: 坚持“以学生为本”, 确立学生主动参与、合作学习、探究发现的主体地位；课堂教学设计把学生学习的起点作为教师教学的起点。
教师做为学生学习的组织者、引导者、合作者，课堂上努力创设学生自主探索学习的情景和机会, 发挥学生的主动性,给学生充分的时间与空间，让学生积极地思考、概括、提炼、消化知识，体验学习过程，从而培养学生自主探索问题的能力，形成有效的建构性学习。
体现“数学教学活动是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程”的教学新理念。
教学内容：《义务教育课程标准实验教科书·数学》北师大版八年级下册第92页教学目标：
1.知识与技能
⑴用分式方程的数学模型反映现实情境中的实际问题.
⑵用分式方程来解决现实情境中的问题.
2.过程与方法
⑴经历“实际问题－建立分式方程模型－求解－验根”的过程，发展抽象概括、分析问题和解决问题的能力.
⑵认识运用方程解决实际问题的关键是审清题意，寻找等量关系，建立数学模型.
3.情感、态度与价值观
⑴经历运用分式方程解决实际问题的过程，体会数学模型的应用价值，从而提高学习数学的兴趣.
⑵培养学生的创新精神，从中获得成功的体验.
教学策略：着力引导——主动参与——有效建构．
学情与教材分析：
1.学情分析
在数学教学中，发现应用题的解答对学生来说始终是一个难点。
这些问题，要么背景鲜活，学生缺少对问题的最基本的感性认识，解答时比较茫然；要么文字繁
多，学生阅读理解起来很费劲，容易造成视觉上的疲劳；要么数量关系复杂，隐蔽性较强，学生不知从哪里入手。
初中学生解答应用题困难的原因主要表现在以下三个方面：第一，生活经验匮乏。
第二，阅读文字和理解文字的能力欠缺。
第三，分析问题的方法和技巧欠缺。
2.教材分析
分式方程应用题是在学习了一元一次方程应用题、二元一次方程组应用题和一元一次不等式（组）应用题的基础上进行的。
列分式方程解决应用问题要稍复杂一些。
教科书力图使问题贴近学生的生活实际，如房屋租金、交水费、服装销售、糖果定价、购买文具等实际问题，以增进数学（分式）与现实世界的密切联系，提高学生解决实际问题的兴趣与能力，使学生在（知识与技能以外）数学思考、解决问题、情感态度价值观方面都得到发展。
教学重点：经历和体验列分式方程解决实际问题的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生的数学应用能力。
教学难点：多角度分析问题，确立等量关系，列出正确的分式方程。
教学准备：PPT多媒体课件，让学生搜集有关的报纸、网络信息。
设计思路：本课的教学策略是：着力引导——主动参与——有效建构．教学设计体现了以学生发展为本的教育理念。
选用贴近学生生活和具有时代气息的问题，以增进数学（分式）与现实世界的密切联系，激发学生解决实际问题的兴趣，注重对学生的引导启发，通过创设问题情境，利用多媒体辅助教学，给学生提供充分活动和交流的机会，引导学生主动获取知识，力图在分析问题的方法和技巧上提高学生解答应用题的能力。
在解决每个问题时，都先让学生找等量关系，再根据等量关系列方程，使学生认识到“等量关系”是列方程解实际问题的关键。
然后，通过学生归纳总结，加深了“用分式方程解决实际问题”的实质把握，既是找等量关系解决实际问题，形成用分式方程解决实际问题的一般性策略；并体会自编自解的乐趣，增强学生学习的主动性和学习数学的信心，满足不同学生的学习需要。
最后，通过学生以及老师的小结反思，使学生认识到“用分式方程解决实际问题”是“建立数学模型解决问题”的具体过程，从而培养学生建模思想。