高中扇形面积公式和弧长公式
24.4.1弧长和扇形面积公式应用
一、弧长的计算公式
n nr l 2r 360 180
二、扇形面积计算公式
n 1 2 s r 或s lr 360 2
练一练
从 练习 中 悟 方 法
nR l 180
1.有一段弯道是圆弧形的，道长是12m，弧所对的圆心角 是81°，求这段圆弧的半径R（精确到0.1m）.
交弧 AB 于点C．
A
O
D B
C
例题讲解
∵OC＝0.6，DC＝0.3, ∴OD＝OC－DC＝0.3.
在Rt△OAD中，OA＝0.6，利用勾股定理可得，
A
1 OD OA 2
O D C
AD 0.3 3
在Rt△AOD中， ∴∠OAD＝30° ∴ ∠AOD＝60 °，∠AOB＝120°
B
S S扇形OAB S
有水部分的面积
1 0.12 0.6 3 0.3 0.22 m 2 . 2
120 1 2 OAB 360 0.6 2 AB OD
变式：如图、水平放置的圆柱形排水管道的 截面半径是0面积 = S扇+ S △
A D E 0
B
C
规律提升
0
0
S弓形=S扇形-S三角形 S弓形=S扇形+S三角形
弓形的面积是扇形的面积与三角形 面积的和或差
练一练
2.如图，正三角形ABC的边长为a，分别以A、B、 C 为
a 圆心，以 为半径的圆相切于点D、E、F，求图中阴 2
影部分的面积．
A F
E
解：连接AD，则
AD BC
垂足为D
2
B
D
C
根据勾股定理，得
弧长与扇形面积公式
弧长与扇形面积公式一、弧长公式1.弧长的定义弧长是指一个圆弧所对应的圆心角所对应的圆的一部分的长度。
在圆形轨迹上，圆心角的度数与弧长成一定的比例关系。
2.弧长公式的推导首先，我们知道，在一个完整的圆中，圆心角为360度或2π弧度。
因此，一个占满整个圆周四分之一的圆弧所对应的圆心角为90度或π/2弧度。
假设一个圆的半径为r，其中一个圆弧所对应的圆心角为θ度或θ弧度，由此可得圆弧的长度为圆周的四分之一长度：长度=θ/360×2πr或长度=θ/2π×2πr通过简化上述公式，我们可以得到弧长的常用公式：长度=θ×πr/180或长度=θ×r其中，θ以度数表示时，圆弧长度使用第一个公式。
θ以弧度表示时，圆弧长度使用第二个公式。
这是弧长与圆心角的常用关系公式。
3.弧长公式的应用弧长公式是在解决圆弧上的问题时常用到的。
例如，在射击运动中，构成射击靶心边界的圆可能会被划分成不同的区域，每个区域都具有不同的分值。
当子弹击中圆的其中一点时，子弹沿弧线的走过弧长可以换算成对应的分数。
另一个应用实例是在机械制造过程中。
当需要切割或加工一个圆弧时，工人可以使用弧长公式确定刀具运动的距离。
这样，他们就能够更准确地进行切割和加工。
1.扇形面积的定义扇形是圆周上两个半径所夹的圆弧以及这两个半径所对应的圆心角组成的图形。
扇形面积是指由圆心、半径、圆弧组成的图形所围成的面积。
2.扇形面积公式的推导事实上，一个扇形可以想象成是一个半径为r的圆被一个圆心角为θ度或θ弧度的扇形切割下来而得到的。
那么，这个扇形的面积就可以看作是底边长为r，高为r的一个三角形（底边就是圆弧的长度）与这个扇形之间的差值。
通过计算底边长为r，高为r的三角形的面积，我们可以得到扇形的面积。
三角形的面积= 1/2 × r × r × sin(θ) = (r^2 × sin(θ))/2所以，扇形的面积= (r^2 × θ × sin(θ))/2其中，θ以度数表示时，扇形面积使用第一个公式。
高中数学一轮复习三角函数的图像与性质：第3节扇形的弧长及面积公式
第3节扇形的弧长及面积公式【基础知识】弧长公式：l＝|α|r，扇形面积公式：S扇形＝12lr＝12|α|r2.【规律技巧】(1)弧度制下l＝|α|·r，S＝12lr，此时α为弧度．在角度制下，弧长l＝nπr180，扇形面积S＝nπr2360，此时n为角度，它们之间有着必然的联系．(2)在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形．【典例讲解】【例1】已知一扇形的圆心角为α(α>0)，所在圆的半径为R.(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；(2)若扇形的周长是一定值C(C>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？【解析】(1)设弧长为l，弓形面积为S弓，则α＝60°＝π3，R＝10，l＝π3×10＝10π3(cm)，S弓＝S扇－S△＝12×10π3×10－12×102×sinπ3＝503π－5032＝50π3－32(cm2)．【规律方法】涉及弧长和扇形面积的计算时，可用的公式有角度表示和弧度表示两种，其中弧度表示的公式结构简单，易记好用，在使用前，应将圆心角用弧度表示．弧长和扇形面积公式：l＝|α|R，S＝12|α|R2＝12lR.【变式探究】已知扇形的周长为 4 cm，当它的半径为______ cm和圆心角为________弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是________ cm2.【答案】12 1【针对训练】1、已知扇形的周长是 6 cm，面积是 2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是()A．1或4 B．1C．4 D．8【答案】A2、已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？【答案】当r＝10，θ＝2时，扇形面积最大3.一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为()A.π3B.2π3C. 3D.2【答案】C【解析】设圆的半径为R，则其内接正三角形的边长为3R，即该圆弧的弧长为3R，于是其圆心角的弧度数为 3.故选C.4.一扇形的圆心角为120°，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为________．【答案】(7＋43)∶9【练习巩固】1．(1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角；(2)一个扇形OAB的面积是 1 cm2，它的周长是 4 cm，求圆心角的弧度数和弦长AB.【解析】(1)设圆心角是θ，半径是r，则2r＋rθ＝10，1 2θ·r2＝4，解得r＝4，θ＝12或r＝1，θ＝8(舍去)．∴扇形的圆心角为1 2 .(2)设圆的半径为r cm，弧长为l cm，则12lr＝1，l＋2r＝4，解得r＝1，l＝2.∴圆心角α＝lr＝2.如图，过O作OH⊥AB于H，则∠AOH＝1 rad.∴AH＝1·sin 1＝sin 1 (cm)，∴AB＝2sin 1 (cm)．2．如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P的位置在(0，0)，圆在x轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于(2，1)时，OP→的坐标为________．【答案】(2－sin 2，1－cos 2) 3．已知扇形的半径是2，面积为8，则此扇形的圆心角的弧度数是（）A ．4B ．2 C．8 D．1【答案】A 【解析】试题分析：记扇形的圆心角为,42,.2rS 扇，故选A ．考点：1、扇形面积公式．4．（2015秋?友谊县校级期末）一个扇形的面积为3π，弧长为2π，则这个扇形中心角为（）A ．B．C ．D ．【答案】D 【解析】试题分析：由扇形面积公式得θr=2π，θｒ2=3π，先解出r 值，即可得到θ值．解：设这个扇形中心角的弧度数是θ，半径等于r ，则由题意得θr=2π，θｒ2=3π，解得 r=3，θ＝．故选：D ．考点：扇形面积公式．5．已知扇形的圆心角为060，所在圆的半径为10cm ，则扇形的面积是________2cm ．【答案】503【解析】试题分析：由扇形的面积公式，得该扇形的面积为350100321212RS；故填503．考点：扇形的面积公式．6．在半径为2的圆中，一扇形的弧所对的圆心角为60°，则该扇形的弧长等于．【答案】32【解析】试题分析：圆心角为60°即32233l r考点：弧长公式7．已知扇形的圆心角为0120，半径为3，则扇形的面积为______．【答案】3【解析】试题分析：21203oQ ，扇形所对的弧长2323l，扇形面积为12332S ．考点：扇形面积．8．已知扇形的周长等于它所在圆的周长的一半，则这个扇形的圆心角是______．【答案】2【解析】试题分析：设扇形的半径R ，弧长，根据题意R l R 2，解得2Rl ，而圆心角2Rl 考点：圆心角公式9．（2015秋?溧阳市期末）已知扇形的半径为1cm ，圆心角为2rad ，则该扇形的面积为cm 2．【答案】1【解析】试题分析：直接求出扇形的弧长，然后求出扇形的面积即可．解：扇形的圆心角为2，半径为1，扇形的弧长为：2，所以扇形的面积为：=1．故答案为：1．考点：扇形面积公式．10．圆锥的轴截面是正三角，则它的侧面展开扇形圆心角为弧度．【答案】【解析】试题分析：设圆锥的底面半径为r ，母线为l ，则l=2r ，于是侧面展开图的扇形半径为l ，弧长为2πr ，∴圆心角α＝=π．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台），圆锥的侧面展开图．【名师点睛】旋转体的侧面展开图问题：1．圆柱的侧面展开图是矩形，矩形的高是圆柱的高（母线），矩形的底是圆柱的底面周长．2．圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，侧面展开图扇形的中心角是，则2r l．3．圆台的上、下底面半径分别为r,R ，母线长为l ，侧面展开图圆环的中心角为，则2R r l．11．如图，点P 从（1,0）出发，沿单位圆按顺时针方向运动3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为．【答案】13,22【解析】试题分析：由三角函数定义知：13cos(),sin(),3232xy ，因此Q 点的坐标为13,22考点：三角函数定义【名师点睛】定义法求三角函数值的两种情况（1）已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后利用三角函数的定义求解．（2）已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义求解相关的问题．若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角α的三角函数值．。
扇形的弧长和面积公式高中
扇形的弧长和面积公式高中
扇形所对应的弧长公式为：L=n2πR/360。
扇形面积计算公式：S=nπR/360或S=LR/2。
扇形面积公式描述了扇形面积和圆心角（顶角）、半径、所对弧长的关系。
推导过程：由定理“等半径的两个扇形的面积之比等于它们的弧长之比”，将圆看作扇形，利用弧长公式和圆的面积公式即可。
简介：组成部分：
1、圆上A、B两点之间的的部分叫做“圆弧”简称“弧”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。
2、以圆心为中心点的角叫做“圆心角”。
3、有一种统计图就是“扇形统计图。
”
曲线的弧长也称曲线的长度，是曲线的特征之一。
不是所有的曲线都能定义长度，能够定义长度的曲线称为可求长曲线。
最早研究的曲线弧长是圆弧的长度，所以狭义上，特指圆弧的长度。
半径为R的圆中，n°的圆心角所对圆弧的弧长为n πR/180°。
弧长公式和面积公式
弧长公式和面积公式
圆弧的弧长公式和面积公式：
1、已知弧长L与半径R：S扇形＝1/2LR。
2、已知弧所对的圆心角n°与半径。
S扇形＝nπR^2/360。
弧形计算公式：S=1/2LR=nπR²/360（L是弧长，R是半径）。
弧长计算公式：L=n（圆心角度数）×π（1）×r（半径）／180（角度制），L=α（弧度）×r(半径）（弧度制）。
其中n是圆心角度数，r 是半径，L是圆心角弧长。
弧形面积的计算方法
弧长、两弧点间的距离、弧高这三个条件知道任意两个就够了。
（1）由已知弧长和已知弦长（两弧点间的距离）求得圆半径和弧所对的圆心角的度数。
（2）由半径和圆心角求得扇形面积和三角形面积。
（3）扇形面积减去三角形的面积的弧形的面积。
扇形面积公式三种
扇形面积公式三种
扇形面积公式3个有：S扇=（n/360）πR²，S扇=1/2lr（知道弧长时），S 扇=(1/2)θR²(θ为以弧度表示的圆心角)，S扇=（lR）/2 （l为扇形弧长）。
R是扇形半径，n是弧所对圆心角度数，π是圆周率，L是扇形对应的弧长。
扇形面积公式与形状关联：
1、扇形是与圆形有关的一种重要图形，其面积与圆心角、圆半径相关，圆心角为n°，半径为r的扇形面积为n/360*πr^2。
如果其顶角采用弧度单位，则可简化为1/2×弧长r。
2、扇形还与三角形有相似之处，上述简化的面积公式亦可看成：1/2×弧长r，与三角形面积：1/2×底×高相似。
弧长=n/360·2πr=nπr/180，扇形的弧相似三角形的一条边。
3、扇形还与三角形有相似之处，上述简化的面积公式亦可看成：弧长与半径乘积的一半，与三角形面积，为底和高乘积的一半相似。
4、R是扇形半径，n是弧所对圆心角度数，π是圆周率。
也可以用扇形所在圆的面积除以360再乘以扇形圆心角的角度。
S=nπR²/360。
S=LR/2。
弧长扇形面积公式
弧长扇形面积公式
弧长扇形面积公式是指一个扇形中弧的角度和长度是已知的情况下，对应的面积计算公式。
它常用于计算几何图形的面积，比如圆的面积或者椭圆的面积。
具体内容如下：
一、弧长扇形面积公式
1. 公式推导：
（1）扇形面积S=R*R*θ/2
（其中，R为扇形半径，θ为一个扇形中弧的角度）
（2）弧长公式C=R*θ
（其中，C为扇形中弧的长度）
（3）将（1）与（2）结合，可求出弧长扇形面积公式：
S=C*R/2
2.实际应用：
（1）将锁链围成的一个扇形，给定了它的半径R和弧长C，则可以通过此公式计算扇形面积。
（2）将一个圆分为几个小扇形，给定了它们的弧长C，可以利用此公式求得每一个小扇形的面积。
二、弧长扇形面积公式的特点
1. 对角度θ和半径R在一定范围内，此公式都是成立的。
2. 弧长求面积的公式不依赖于图形的形状，无论是圆形、椭圆形等，只要是扇形的面积计算，都可以使用此公式。
3.该公式求得的结果是最精确的，解决了传统方法求和的误差很大的问题。
三、弧长扇形面积公式的优势
1.公式简单易懂，容易理解。
2.对偶结构其他几何图形，也可以利用此公式，得到更加准确结果。
3.可以节约计算时间和空间，减少了计算复杂度。
弧度制下的扇形公式
弧度制下的扇形公式
弧度制下的扇形公式：弧长公式：l=儿r；面积公式：s=ar2.
扩展资料：
在数学和物理中，弧度是指平面角的一种量度单位，它是由国际单位制导出的单位，单位缩写是rad。
弧长等于半径的弧，其所对的圆心角为1弧度（即两条射线从圆心向圆周射出，形成一个夹角和夹角正对的一段弧。
当这段弧长正好等于圆的半径时，两条射线的夹角的弧度为1）。
弧度大小等于角所对的弧长被半径除的商，1弧度等于
180°/π=57.3°。
根据定义，一周的弧度数为2πr/r=2π，360°角=2π弧度，因此，1弧度约为57.3°，即57°17'44.806'，1°为π/180弧度，近似值为0.01745弧度，周角为2π弧度，平角（即180°角）为π弧度，直角为π/2弧度。