浙大概率统计试卷(含答案)
2010–2011学年 秋冬 学期
《 概率论与数理统计》试卷
注：
~(0,1),(){}:(1)0.84,(1.645)0.95,(1.96)0.975,(2)0.98
X N x P X x Φ=≤Φ=Φ=Φ=Φ=212(),(),(,)t n n F n n αααχ分别表示服从具有相应自由度的t 分布，2χ分布和F 分布的上α分位点： 2
2
2
2
0.9750.950.050.025(9) 2.70,(9) 3.32,(9)16.92,(9)19.02χχχχ====，
==0.050.025(9) 1.83,(9) 2.26t t ，0.050.05(2,9) 4.26,(9,2)19.4F F ==。
一、填空题 (每小格3分，共42分，每个分布均要写出参数)
1．设,A B 为两随机事件，已知()0.6,()0.5,()0.3P A P B P AB === ，则()P A B ?= _(1)__，()P A A B ?=_(2)_。
2．一批产品的寿命X (小时)具有概率密度2,800()0,800
a x f x x x ?≥?=??
随机取一件产品，其寿命大于1000小时的概率为_(4)_；若随机独立抽取6件产品，则至少有两件寿命大于1000小时的概率为_(5)_；若随机独立抽取100件产品，则多于76件产品的寿命大于1000小时的概率近似值为_(6)_。
3．设随机变量221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ，已知~(0,1),~(1,4)X N Y N ，
0.5ρ=-。设123,74Z X Y Z X Y =-=+，则1Z 服从_(7)__分布,12Z Z 与的相关系数12Z Z ρ=__(8)___，12Z Z 与独立吗？为什么？答： (9) 。
4．设总体2~(,),,(0)X N μσμσ>是未知参数，110,,X X 为来自X 的简单随机样本，记2X S 与为样本均值和样本方差，则22X μ是的无偏估计吗？答：__(10)__；若22{}0.95P S b σ≤=，则b =_(11)__； 22{}P S σ==_(12)__；μ的置信度为95％的单侧置信下限为_(13)__；对于假设2201:1,:1H H σσ≥<的显著性水平为5％的拒绝域为_(14)__。
二．（12分）某路段在长度为t （以分计）的时间段内，在天气好时发生交通事故数1~()480t X π(泊松分布)，天气不好时事故数2~()120
t X π。设在不重叠时间段发生交通事故的次数相互独立。（1）若6:00-10:00天气是好的，求这一时段该路段没有发生交通事故的概率；（2）设明天6:00-10:00天气好的概率为 70％，求这一时段该路段至少发生一次交通事故的概率；（3）若6:00-10:00天气是好的，求该路段在6:00-10:00至少发生一次交通事故的条件下，6:00-8:00没有发生交通事故的概率。
三．（12分）设二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度
,01,03(,)0,x x y x f x y <<<
其它 （1）问X Y 与是否独立？说明理由；（2）求条件概率密度()Y X f y x ；（3）设
Z X Y =+，求Z 的概率密度()Z f z 。
概率论与数理统计及其应用第二版课后答案浙江大学
第1章 随机变量及其概率 1，写出下列试验的样本空间： （1） 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果出现两次，记录 投掷的次数。 （2） 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果接连出现两次， 记录投掷的次数。 （3） 连续投掷一枚硬币直至正面出现，观察正反面出现的情况。 （4） 抛一枚硬币，若出现H 则再抛一次；若出现T ，则再抛一颗骰 子，观察出现的各种结果。 解：（1）}7,6,5,4,3,2{=S ；（2）},4,3,2{ =S ；（3）},,,,{ TTTH TTH TH H S =； （4）}6,5,4,3,2,1,,{T T T T T T HT HH S =。 2，设B A ,是两个事件，已知,125.0)(,5.0)(,25.0)(===AB P B P A P ，求)])([(),(),(),(___ ___AB B A P AB P B A P B A P ??。 解：625.0)()()()(=-+=?AB P B P A P B A P ， 375.0)()(])[()(=-=-=AB P B P B A S P B A P ， 875.0)(1)(___ --=AB P AB P ， 5.0)(625.0)])([()()])([()])([(___=-=?-?=-?=?AB P AB B A P B A P AB S B A P AB B A P 3，在100，101，…，999这900个3位数中，任取一个3位数，求不包含数字1个概率。
解：在100，101，…，999这900个3位数中不包含数字1的3位数的个数为648998=??，所以所求得概率为 72.0900 648= 4，在仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数中，任取一个三位数。（1）求该数是奇数的概率；（2）求该数大于330的概率。 解：仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数的个数有100455=??个。（1）该数是奇数的可能个数为48344=??个，所以出现奇数的概率为 48.0100 48= （2）该数大于330的可能个数为48454542=?+?+?，所以该数大于330的概率为 48.0100 48= 5，袋中有5只白球，4只红球，3只黑球，在其中任取4只，求下列事件的概率。 （1）4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球。 （2）4只中至少有2只红球。 （3）4只中没有白球。 解: （1）所求概率为338412 131425=C C C C ；
概率论与数理统计与其应用第二版课后答案浙江大学
概率论与数理统计及其应用习题解答 第 1 章随机变量及其概率 1，写出下列试验的样本空间： （1）连续投掷一颗骰子直至 6 个结果中有一个结果出现两次，记录 投掷的次数。 （2）连续投掷一颗骰子直至 6 个结果中有一个结果接连出现两次， 记录投掷的次数。 （3）连续投掷一枚硬币直至正面出现，观察正反面出现的情况。 （4）抛一枚硬币，若出现 H 则再抛一次；若出现 T，则再抛一颗骰 子，观察出现的各种结果。 解：（1）S{ 2,3,4,5,6,7} ；（2）S { 2,3,4, } ；（3）S { H ,TH ,TTH ,TTTH , } ； （4）S { HH , HT ,T1, T2, T3,T 4,T 5,T 6}。 2，设A, B是两个事件，已知P(A) 0.25, P(B) 0.5, P( AB) 0.125, ，求 ______ P( A B), P( AB), P( AB), P[( A B)( AB)] 。 解： P( A B) P( A) P(B) P( AB)0.625 ， P( A B) P[( S A) B] P( B) P( AB)0.375 ， ___ P( AB) 1 P( AB)0.875 ， ___ P[( A B)( AB)] P[( A B)(S AB )] P( A B) P[( A B)( AB)] 0.625 P( AB )0.5 3，在 100，101，?，999 这 900 个 3 位数中，任取一个 3 位数，求 不包含数字 1 个概率。
解：在 100，101，?，999 这 900 个 3 位数中不包含数字 1 的 3 位数 的个数为 8 9 9648 ，所以所求得概率为 648 0.72 900 4，在仅由数字 0，1，2，3，4，5 组成且每个数字之多出现一次的全 体三位数中，任取一个三位数。（1）求该数是奇数的概率；（2）求该数大于 330 的概率。 解：仅由数字 0，1，2，3，4，5 组成且每个数字之多出现一次的全 体三位数的个数有 5 5 4100 个。（1）该数是奇数的可能个数为 4 4 348 个，所以出现奇数的概率为 48 0.48 100 （2）该数大于 330 的可能个数为2 4 5 4 5 4 48，所以该数大于330的概率为 48 0.48 100 5，袋中有 5 只白球， 4 只红球， 3 只黑球，在其中任取 4 只，求下列事件的概率。 （1）4 只中恰有 2 只白球， 1 只红球， 1 只黑球。 （2）4 只中至少有 2 只红球。 （3）4 只中没有白球。 解:（1）所求概率为C52C41C318 ； C12433
浙大《概率论》习题
习题 第一讲 1. 由盛有号码为N ,,2,1 的球的箱子中有放回的摸了n 次, 依次记其号码, 求这些号码按严格上升次序排列的概率. 2. 对任意凑在一起的40人, 求他们中没有两人生日相同的概率. 3. 从n 双不同的鞋子中任取)2(2n r r 只, 求下列事件的概率: (1) (1)没有成双的鞋子; (2)只有一双鞋子; (3) 恰有二双鞋子; (4) 有r 双鞋子. 4. 从52张的一副扑克牌中, 任取5张, 求下列事件的概率: (1) (1)取得以A 为打头的顺次同花色5张; (2) (2)有4张同花色; (3) (3)5张同花色; (4) (4)3张同点数且另2张也同点数. 思考题: 1.（分房、占位问题）把n 个球随机地放入N 个不同的格子中，每个球落入各格子内的概率相同（设格子足够大，可以容纳任意多个球）。 I. I.若这n 个球是可以区分的，求（1）指定的n 个格子各有一球的概率；（2）有n 个格子各有一球的概率； 若这n 个球是不可以区分的，求（1）某一指定的盒子中恰有k 个球的概率；（2）恰好有m 个空盒的概率。 2.取数问题）从1-9这九个数中有放回地依次取出五个数，求下列各事件的概率： （1） （1）五个数全不同；（2）1恰好出现二次；（3）总和为10. 第二讲 1. 在一张打方格的纸上投一枚直径为1的硬币, 问方格要多小时才能使硬币与线不相交的概率小于 2. 在某城市中共发行三种报纸：甲、乙、丙。在这个城市的居民中，订甲报(记为A)的有45%，订乙报(记为B)的有35%，订丙报(记为C)的有30%，同时订甲、乙两报(记为D)的有10%，同时订甲、丙两报(记为E)的有8%，同时订乙、丙两报(记为F)的有5%，同时订三中报纸(记为G)的有3%. 试表示下列事件, 并求下述百分比：(1)只订甲报的；（2）只订甲、乙两报的；（3）只订一种报纸的；(4)正好订两种报纸的；（5）至少订一种报纸的；（6）不
概率论浙大第四版答案
概率论浙大第四版答案 【篇一：概率论(浙大第四版)课后答案】 p> 浙大第四版（高等教育出版社） 第一章概率论的基本概念 1.[一] 写出下列随机试验的样本空间 （1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（充以百分制记分）（[一] 1） o1n?100?s???,???，n表小班人数 n??nn （3）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。（[一] 2） s={10，11，12，???，n，???} （4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的 盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就 停止检查，记录检查的结果。 查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，连续出现两个“0”就停止检查，或查满4次才停止检查。（[一] (3)） s={00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，} 2.[二] 设a，b，c为三事件，用a，b，c的运算关系表示下列事件。（1）a发生，b与c不发生。 表示为： a或a－ (ab+ac)或a－ (b∪c) （2）a，b都发生，而c不发生。 表示为： ab或ab－abc或ab－c 表示为：a+b+c （3）a，b，c中至少有一个发生 （4）a，b，c都发生，表示为：abc （5）a，b，c都不发生，表示为：或s－ (a+b+c)或a?b?c （6）a，b，c中不多于一个发生，即a，b，c中至少有两个同时 不发生相当于,,中至少有一个发生。故表示为：??。 （7）a，b，c中不多于二个发生。相当于：,,中至少有一个发生。 故表示为：??abc （8）a，b，c中至少有二个发生。 相当于：ab，bc，ac中至少有一个发生。故表示为：ab+bc+ac
概率论与数理统计浙大四版习题答案第七章
第七章参数估计 1.［ 一］ 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以 求总体均值卩及方差b 2的矩估计，并求样本方差 S 2。 n 2 6 (X i x) 6 10 i 1 S 2 6.86 10 6。 ln L(e ) nln(e ) n e inc (1 e ) In d 寫⑹ (1) f (x) e c e x (e 1},x c 0,其它 其中c >0为已知， e >1, e 为未知参数。 (2) f(x) 、e x e 1,0 x 1 0,其它. 其中e >0, e 为未知参数。 (5) P(X x) m p x (1 p)m x ,x 0,1,2, ,m,0 p 1, p 为未知参数。 解： （ 1) E(X) xf(x)dx c e c e x e dx e c e c e 1 e 1 e c 令 e c X e 1, 令 e 1 X X c (2) E(X) xf (x)dx e x e dx - 丄匚,令- '-e X ,We ( X )2 2.［二］设X , X ,…，X n 为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布律 中的未知参数的矩估计量。 得e 1 e (5) -e 1 解：（1）似然函数 n L (e ) f (人)e n c n e (x 1 x 2 i 1 X n ) mm 计) 解：U,b 2的矩估计是 X 74.002 E （X ） = mp 令 mp = X ,解得?莖 m 3.［三］求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计 量。 ln x i 0
（解唯一故为极大似然估计 量） In X i nln c i 1 ⑵ L(B ) n n _ f (X i ) e 2(X 1X 2 X n ) 0 1 ,ln L(B ) n 2~ n ln( 0) (0 1) In X i i 1 dI nL(0) n d 0 2 1 0 1 n In X i 0, i 1 ? （n In x i ）2 0 （解唯一）故为极大似然 估 2.一 0 计量。 n m m n X i n mn 召 (5) L(p) P{X X i } p i1 (1 p) i1 , i - 1 X 1 X n n n n In L(p) In m X i x i In p (mn X i )l n(1 p), i 1 i 1 i 1 i 1 n mn x i i 1 0 1 p n X i d In L(p) i 1_ dp p n Xi - 解得 p q — —,（解唯一）故为极大似然估计量。 mn m 4.［四（2）］设X , X,…，X.是来自参数为入的泊松分布总体的一个样本，试求入 的极大似然估计量及矩估计量。 解：（1）矩估计 X ~ n 入）,E （ X ）=入，故*= X 为矩估计量。 （2）极大似然估计L （入） n P(X i ；入) 1 n X i *1 X 1 !X 2! X e n *, In L(入) i X i In In X i ! d In L(入) d 入 n X i i 1 入 0 ,解得* X 为极大似然估计 量。
浙江大学概率论与数理统计试题连答案
《概率论》试题 一、填空题（每空5%） 1、设为A ，B 为随机变量，(|)0.48,(|)0.4,()0.86P A B P B A P A B ==?=。则 ()P A B ?=_________，()P AB =________。 2、设某电话交换台等候一个呼叫来到的时间为X ，它的概率密度函数为 0.5()0 {x ke f x θ=0 0x x >≤ 第一次呼叫在5分钟到10分钟之间来到的概率为1 4 ，那么它在15分钟以后来的概率为________。 3、已知随机向量(,)X Y 的联合分布律如下表所示 则(02)P X Y <-≤=________，()E XY =________。 4、投一枚硬币直到正反面都出现为止，投掷次数的数学期望是________。 5、设随机变量,X Y ，已知X 服从正态分布，2(,)X N μσ，Y 服从θ的指数分布， Z aX bY c =+-，则()E Z =________，()Var Z =________。 二、（15%）妈妈给儿子小明做了4张饼，她想知道这回做得是好极了还是一般般。以她的手艺1/3的概率是好极了。此时，小明有点饿或者非常饿的可能性各占一半。如果饼味道好极了，若小明有点饿，他吃掉1、2、3、4张饼的概率分别为0、0、0.6、0.4；若他非常饿，上述概率为0、0、0、1。如果味道仅一般般，若小明有点饿时，概率为0、0.2、0.4、0.4；若他非常饿，上述概率为0、0.1、0.3、0.6。 （1）小明吃掉4张饼的概率是多少？ （2）妈妈看见小明吃掉4张饼，则他非常饿而饼仅一般般的概率是多少？ （3）妈妈看见小明吃掉4张饼，则饼味道好极了的概率是多少？ 三、（12%）(,)X Y 的联合密度函数为 John Nash 2(,)0 {x f x y = 01,01 x y else <<<< 22Z X Y =+， （1）求()X f x 和()Y f y ；
浙大《概率论》习题
第一讲 1. 由盛有号码为N ,,2,1 的球的箱子中有放回的摸了n 次, 依次记其号码, 求这些号码按严格上升次序排列的概率. 2. 对任意凑在一起的40人, 求他们中没有两人生日相同的概率. 3. 从n 双不同的鞋子中任取)2(2n r r ≤只, 求下列事件的概率: (1) (1) 没有成双的鞋子; (2)只有一双鞋子; (3) 恰有二双鞋子; (4) 有r 双鞋子. 4. 从52张的一副扑克牌中, 任取5张, 求下列事件的概率: (1) (1) 取得以A 为打头的顺次同花色5张; (2) (2) 有4张同花色; (3) (3) 5张同花色; (4) (4) 3张同点数且另2张也同点数. 思考题: 1.（分房、占位问题）把n 个球随机地放入N 个不同的格子中，每个球落入各格子内的概率相同（设格子足够大，可以容纳任意多个球）。 I. I. 若这n 个球是可以区分的，求（1）指定的n 个格子各有 一球的概率；（2）有n 个格子各有一球的概率； 若这n 个球是不可以区分的，求（1）某一指定的盒子中恰有k 个球的概率；（2）恰好有m 个空盒的概率。 2.取数问题）从1-9这九个数中有放回地依次取出五个数，求下列各事件的概率： （1） （1） 五个数全不同；（2）1恰好出现二次；（3）总和为10. 第二讲 1. 在一张打方格的纸上投一枚直径为1的硬币, 问方格要多小时才能使硬币与线不相交的概率小于 2. 在某城市中共发行三种报纸：甲、乙、丙。在这个城市的居民中，订甲报(记为A)的有45%，订乙报(记为B)的有35%，订丙报(记为C)的有30%，同时订甲、乙两报(记为D)的有10%，同时订甲、丙两报(记为E)的有8%，同时订乙、丙两报(记为F)的有5%，同时订三中报纸(记为G)的有3%. 试表示下列事件, 并求下述百分比：(1)只订甲报的；（2）只订甲、乙两报的；（3）只订一种报纸的；(4)正好订两种报纸的；（5）至少订一种报纸的；（6）不订任何报纸的. 3. 在线段[0,1]上任意投三个点, 求0到这三点的三条线段能构成三角形的概率. 4. 设A, B, C, D 是四个事件, 似用它们表示下列事件: (1) (1) 四个事件至少发生一个; (2) (2) 四个事件恰好发生两个; (3) (3) A,B 都发生而C, D 不发生; (4) (4) 这四个事件都不发生; (5) (5) 这四个事件至多发生一个; (6) (6) 这四个事件至少发生两个; (7) (7) 这四个事件至多发生两个. 5. 考试时共有n 张考签, 有)(n m m ≥个同学参加考试. 若被抽过的考签立即放回, 求在考试结束后, 至少有一张考签没有被抽到的概率. 6. 在§3例5中, 求恰好有)(n k k ≤个人拿到自己的枪的概率. 7. 给定)(),(),(B A P r B P q A P p ?===, 求)(B A P 及)(B A P . 思考题 1.（蒲丰投针问题续）向画满间隔为a 的平行线的桌面上任投一直径)(a l l <为的半圆形纸片,求事件“纸片与某直线相交”的概率；
浙大版概率论与数理统计答案---第五章
第五章 大数定律及中心极限定理 注意： 这是第一稿（存在一些错误） 1、 解（1）由于{0}1P X ≥=，且()36E X =，利用马尔科夫不等式，得 () {50}0.7250 E X P X ≥≤ = （2）2 ()2D X =，()36E X =，利用切比雪夫不等式，所求的概率为： 223 {3240}1(364)10.75164 P X P X <<=--≥≥-== 2、解：()500,0.1i X B :， 500500121 1500111610%5%192.8%5000.05125i i i i D X P X ==?? ???? ?-<≥-==???? ∑∑ 3、 解 ξ服从参数为的几何分布，1 1(),(2,3,4)2n P n n ξ-?? === ? ?? L 可求出2 ()()3,()2n E nP n D ξξξ∞ == ===∑ 于是令 ()2 a b E ξ+=，2b a ε-=，利用切比雪夫不等式，得 有2 () ()1(())175%D P a b P E ξξξξεε <<=--≥≥-= 从而可以求出()3()3a E b E εξεξε==-=-=+=+4、解：()()()() ()() () 1,,n n n X n n n x F x P X x P X x X x F x a =≤=≤≤==L ，()0,x a ∈。 则() ()()() ()1 1 n n n X n nx p x n F x p x a --==，()0,x a ∈。 ()()10 1 n n a X n nx n E x x dx a a n -=?=+? ， ()()()() 2 12 22 121n n a X n nx n n D x x dx a a a n n n -??=?-= ?+??++? 。
(浙大第四版)概率论与数理统计知识点总结
第1章
n Pm ?
随机事件及其概率
（1）排列 组合公式
n Cm ?
m! (m ? n)! m! n!(m ? n)!
从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数
从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数
（2）加法 和乘法原 理
（3）一些 常见排列 （4）随机 试验和随 机事件
（5）基本 事件、样 本空间和 事件
（6）事件 的关系与 运算
加法原理（两种方法均能完成此事） ：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m 种方法完成，第二种 方法可由 n 种方法来完成，则这件事可由 m+n 种方法来完成。 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事） ：m×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由 m 种方法完成，第二个 步骤可由 n 种方法来完成，则这件事可由 m×n 种方法来完成。 重复排列和非重复排列（有序） 对立事件（至少有一个） 顺序问题 如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果 不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则 称这种试验为随机试验。 试验的可能结果称为随机事件。 在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事 件，它具有如下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用 ? 来表示。 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 ? 表示。 一个事件就是由 ? 中的部分点（基本事件 ? ）组成的集合。通常用 大写字母 A，B，C，…表示事件，它们是 ? 的子集。 ? 为必然事件，? 为不可能事件。 不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事 件；同理，必然事件（Ω ）的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一定 是必然事件。 ①关系： 如果事件 A 的组成部分也是事件 B 的组成部分， （A 发生必有事件 B 发生） ：A? B 如果同时有 A ? B ， B ? A ，则称事件 A 与事件 B 等价，或称 A 等于 B：A=B。
A、B 中至少有一个发生的事件：A ? B，或者 A+B。
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概率论与数理统计浙大四版习题答案
第七章 参数估计 1．[一] 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm 计） 求总体均值μ及方差σ2的矩估计，并求样本方差S 2。 解： μ ， σ 2 的矩估计是 61 22 106)(1?,002.74?-=?=-===∑n i i x X n X σ μ 621086.6-?=S 。 2．[二]设X 1，X 1，…，X n 为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。 （1）? ??>=+-其它,0,)()1(c x x c θx f θθ 其中c >0为已知，θ>1，θ为未 知参数。 （2）?? ???≤≤=-.,01 0,)(1其它x x θx f θ 其中θ>0，θ为未知参数。 （5）()p p m x p p x X P x m x m x ,10,,,2,1,0,) 1()(<<=-==- 为未知参数。 解：（1）X θc θθc θc θc θdx x c θdx x xf X E θθc θ θ =--=-===+-∞+-∞+∞ -? ?1 ,11)()(1令， 得c X X θ-= （ 2 ） ,1)()(10 += = = ? ? ∞+∞ -θθdx x θdx x xf X E θ 2 )1(,1 X X θX θθ-==+得令 （5）E (X ) = mp 令mp = X ， 解得m X p =? 3．[三]求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。
解：（1）似然函数 1211 )()()(+-===∏θn θn n n i i x x x c θx f θL 0ln ln )(ln ,ln )1(ln )ln()(ln 1 1 =- +=-++=∑∑ ==n i i n i i x c n n θθ d θL d x θc θn θn θL ∑=-= n i i c n x n θ1 ln ln ? （解唯一故为极大似然估计量） （ 2 ） ∑ ∏=-- =-+-=== n i i θn n n i i x θθn θL x x x θ x f θL 1 1 212 1 ln )1()ln(2)(ln ,) ()()( ∑∑====+?-=n i i n i i x n θx θ θn θd θL d 1 2 1 ) ln (?,0ln 21 12)(ln 。(解唯一)故为极大似 然估计量。 （5）∑∑==- =-??? ? ?????? ??===∏ n i n i i i x mn x n n i i p p x m x m x X P p L 1 1 )1(}{)(11 ， ()),1ln()(ln ln )(ln 1 1 1 p x mn p x p L n i i n i i n i m x i -- ++= ∑∑∑=== 01) (ln 1 1 =--- =∑∑==p x mn p x dp p L d n i i n i i 解得 m X mn x p n i i = = ∑=2 ，（解唯一）故为极大似然估计量。 4．[四(2)] 设X 1，X 1，…，X n 是来自参数为λ的泊松分布总体的一个样本，试求λ的极大似然估计量及矩估计量。 解：（1）矩估计 X ~ π (λ )，E (X )= λ，故λ?=X 为矩估计
概率论与数理统计浙大第四版习题答案全
概率论与数理统计习题答案 完全版 浙大第四版（高等教育出版社） 第一章 概率论的基本概念 1.[一] 写出下列随机试验的样本空间 （1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（充以百分制记分）（[一] 1） ? ??????=n n n n o S 1001 , ，n 表小班人数 （3）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。（[一] 2） S={10，11，12，………，n ，………} （4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，连续出现两个“0”就停止检查，或查满4次才停止检查。 （[一] (3)） S={00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，} 2.[二] 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。 （1）A 发生，B 与C 不发生。 表示为： C B A 或A － (AB+AC )或A － (B ∪C ) （2）A ，B 都发生，而C 不发生。 表示为： C AB 或AB －ABC 或AB －C （3）A ，B ，C 中至少有一个发生 表示为：A+B+C
（4）A ，B ，C 都发生， 表示为：ABC （5）A ，B ，C 都不发生， 表示为：C B A 或S － (A+B+C)或C B A ?? （6）A ，B ，C 中不多于一个发生，即A ，B ，C 中至少有两个同时不发生 相当于C A C B B A ,,中至少有一个发生。故 表示为：C A C B B A ++。 （7）A ，B ，C 中不多于二个发生。 相当于：C B A ,,中至少有一个发生。故 表示为：ABC C B A 或++ （8）A ，B ，C 中至少有二个发生。 相当于：AB ，BC ，AC 中至少有一个发生。故 表示为：AB +BC +AC 6.[三] 设A ，B 是两事件且P (A )=0.6，P (B )=0. 7. 问(1)在什么条件下P (AB )取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少？ 解：由P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.7即知AB ≠φ，（否则AB = φ依互斥事件加法定理， P (A ∪B )=P (A )+P (B )=0.6+0.7=1.3>1与P (A ∪B )≤1矛盾）. 从而由加法定理得 P (AB )=P (A )+P (B )－P (A ∪B ) (*) （1）从0≤P (AB )≤P (A )知，当AB =A ，即A ∩B 时P (AB )取到最大值，最大值为 P (AB )=P (A )=0.6， （2）从(*)式知，当A ∪B=S 时，P (AB )取最小值，最小值为 P (AB )=0.6+0.7－1=0.3 。 7.[四] 设A ，B ，C 是三事件，且0)()(,4 1 )()()(=== ==BC P AB P C P B P A P ，8 1 )(= AC P . 求A ，B ，C 至少有一个发生的概率。 解：P (A ，B ，C 至少有一个发生)=P (A +B +C )= P (A )+ P (B )+ P (C )－P (AB )－P (BC )－P (AC )+ P (ABC )= 8 508143=+- 8.[五] 在一标准英语字典中具有55个由二个不相同的字母新组成的单词，若从26
浙大版概率论与数理统计答案---第六章
第六章 统计量与抽样分布 注意： 这是第一稿（存在一些错误） 1、解：易知的X 期望为μ，方差为2n σ ，则()0,1X N μσ-:近似地 ， 所以，( ) (0.10.10.909X P X P μσ μσσ σ? ? - ? -<=<≈Φ= ? ? ??? 。 2、解 （1）由题意得： 2 2 2 2211111 ()()()()n n i i i i E X D X E X D X E X n n n σμ==??=+=+=+ ???∑∑ ()2211111111 ()()n n i i i i E X X E X X E X X n n n σμ==?=?==+∑∑ （2）1X X -服从正态分布，其中： 1()0E X X -=，22 1122111()( )()()n n n D X X D X D X n n n σ----=+= 从而 2 11~(0,)n X X N n σ-- 由于 ~(0,1)i X N μ σ -，1,2,i n =L ，且相互独立，因此： () ()2 22 1 ~n i i X n μχσ =-∑ ~(0,1)X N μ-，所以()()2 22 ~1n X μχσ - 由于 ()2 22 (1)~1n S n χσ --，所以 () () ()2 2 2 2 22 (1)/~1,1(1)n X n X n S F n n S μ μσσ---=-- （3）由于 () 2 /2 2 1 ~(/2)n i i X n μχσ=-∑ ，以及 () 2 2 1/2 ~(/2)n i i n X n μχσ=+-∑ ，因此有：
概率论与数理统计浙大四版习题答案第三章
第三章 多维随机变量及其分布 1.[一] 在一箱子里装有12只开关，其中2只是次品，在其中随机地取两次，每次取一只。考虑两种试验：（1）放回抽样，（2）不放回抽样。我们定义随机变量X ，Y 如下： ???? ?=ο若第一次取出的是次品若第一次取出的是正品,1, ,0X ???? ?=ο 若第二次取出的是次品若第二次取出的是正品,1, ,0Y 试分别就（1）（2）两种情况，写出X 和Y 的联合分布律。 解：（1）放回抽样情况 由于每次取物是独立的。由独立性定义知。 P (X=i , Y=j )=P (X=i )P (Y=j ) P (X=0, Y=0 )=3625 12101210=? P (X=0, Y=1 )=3651221210=? P (X=1, Y=0 )=3651210122=? P (X=1, Y=1 )= 36 1122122=? 或写成 （2）不放回抽样的情况 P {X=0, Y=0 }=66451191210=? P {X=0, Y=1 }= 66 101121210=?
P {X=1, Y=0 }=66101110122=? P {X=1, Y=1 }= 66 1111122=? 或写成 3.[二] 盒子里装有3只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取4只球，以X 表，Y 的联合分布律。 解：（X ，Y ）的可能取值为(i , j )，i =0，1，2，3， j =0，12，i + j ≥2，联合分布律为 P {X=0, Y=2 }= 35147 2 222= C C C P {X=1, Y=1 }= 3564 722 1213= C C C C P {X=1, Y=2 }=35 64 712 2213= C C C C P {X=2, Y=0 }=35347 2223= C C C P {X=2, Y=1 }= 35 124 7 12 1223= C C C C
概率论与数理统计浙江大学第四版-课后习题答案(完全版)
概率论与数理统计习题答案 第四版 盛骤 (浙江大学) 浙大第四版（高等教育出版社） 第一章 概率论的基本概念 1.[一] 写出下列随机试验的样本空间 （1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（充以百分制记分）（[一] 1） ???????=n n n n o S 1001, ，n 表小班人数 （3）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。（[一] 2） S={10，11，12，………，n ，………} （4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，连续出现两个“0”就停止检查，或查满4次才停止检查。 （[一] (3)） S={00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，} 2.[二] 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。 （1）A 发生，B 与C 不发生。
表示为： C B A 或A － (AB+AC )或A － (B ∪C ) （2）A ，B 都发生，而C 不发生。 表示为： C AB 或AB －ABC 或AB －C （3）A ，B ，C 中至少有一个发生 表示为：A+B+C （4）A ，B ，C 都发生， 表示为：ABC （5）A ，B ，C 都不发生， 表示为：C B A 或S － (A+B+C)或 C B A ?? （6）A ，B ，C 中不多于一个发生，即A ，B ，C 中至少有两个同时不发生 相当于C A C B B A ,,中至少有一个发生。故 表示为：C A C B B A ++。 （7）A ，B ，C 中不多于二个发生。 相当于：C B A ,,中至少有一个发生。故 表示为：ABC C B A 或++ （8）A ，B ，C 中至少有二个发生。 相当于：AB ，BC ，AC 中至少有一个发生。故 表示为：AB +BC +AC 6.[三] 设A ，B 是两事件且P (A )=0.6，P (B )=0. 7. 问(1)在什么条件下P (AB )取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少？
概率论与数理统计答案-浙江大学-张帼奋-主编
第一章 概率论的基本概念 注意： 这是第一稿（存在一些错误） 1解：该试验的结果有9个：（0，a ），（0，b ），（0，c ），（1，a ），（1，b ），（1，c ），（2，a ），（2，b ），（2，c ）。所以， （1）试验的样本空间共有9个样本点。 （2）事件A 包含3个结果：不吸烟的身体健康者，少量吸烟的身体健康者，吸烟较多的身体健康者。即A 所包含的样本点为（0，a ），（1，a ），（2，a ）。 （3）事件B 包含3个结果：不吸烟的身体健康者，不吸烟的身体一般者，不吸烟的身体有病者。即B 所包含的样本点为（0，a ），（0，b ），（0，c ）。 2、解 （1）AB BC AC U U 或ABC ABC ABC ABC U U U ； （2）AB BC AC U U （提示：题目等价于A ，B ，C 至少有2个发生，与（1）相似）； （3）ABC ABC ABC U U ； （4）A B C U U 或ABC ； （提示：A ，B ，C 至少有一个发生，或者A B C ，，不同时发生） ； 3（1）错。依题得()()()()0=-+=B A p B p A p AB p Y ,但空集≠B A I ，故A 、B 可能相容。 （2）错。举反例 （3）错。举反例 （4）对。证明：由()6.0=A p ,()7.0=B p 知 ()()()()()3.03.1>-=-+=B A p B A p B p A p AB p Y Y ,即A 和B 交非空，故A 和B 一定相容。 4、解 （1）因为A B ，不相容，所以A B ，至少有一发生的概率为： ()()()=0.3+0.6=0.9P A B P A P B =+U (2) A B ， 都不发生的概率为： ()1()10.90.1P A B P A B =-=-=U U ； （3）A 不发生同时B 发生可表示为：A B I ，又因为A B ，不相容，于是
浙大版概率论与数理统计答案第八章
第八章 假设检验 注意： 这是第一稿（存在一些错误） 1 、解 由题意知： ~(0,1)/X N n μ σ- （1）对参数μ提出假设： 0: 2.3H μ≤， 1: 2.3H μ> （2）当0H 为真时，检验统计量 2.3 ~(0,1)0.29/35 X N -，又样本实测得 2.4x =，于 是 002.4 2.3( )( 2.04)1(2.04)0.0207/0.29/35/H H X X P P P n n μμ σσ----=≥=≥=-Φ= （3）由（2）知，犯第I 类错误的概率为0.0207 （4）如果0.05α=时，经查表得 1.645z α=，于是 2.3 2.3{ }{ 1.645}/0.29/35 X X W z W n ασ-->=> （5）是。 2、 14.5515x =<故将希望得到支持的假设“15μ>”作为原假设，即考虑假设问题 0H ： 15μ≥，1H ：15μ< 因2 σ未知，取检验统计量为0 /X T S n μ-= ，由样本资料10n =，14.55x =， 1.2445s =和015μ=代入得观察值0 1.2857t =-，拒绝域为 ()0 0.059/X W T t S n μ??-==≤-?? ??，查分布表得()0.059 1.8331t =，()00.059t t >- 故接受原假设0H ，即认为该广告是真实的。 3、 解（1）由题意得，检验统计量1 /X Z n σ-= ，其拒绝域为
1 {}{ 1.66}/X W Z z W X n ασ-== ≥=≥ 当2μ=时，犯第II 类错误的概率为： 0021.662 {|}{ 1.66|2}P{ }=0.198//X P H H P X n n βμσσ--==≤==≤接受是错误的 （2） 2 22 (n 1)S ~(n 1)χσ --，当2σ未知时，检验统计量224S ，其拒绝域为： 2221W {24S (24)}{S 0.577}αχ-=<=< 当21.25σ=时，检验犯第I 类错误的概率为： 22 2 0024S 240.577 {|}{S 0.577| 1.25}P{}=0.012 1.251.25 P H H P ασ?==<==<拒绝是正确的 4、 (1)提出假设0H ：3000μ=，1H ：3000μ≠ 建立检验统计量0 /X T S n μ-= ，其中03000μ= 在显著水平0.05α=下，检验的拒绝域为 ()0 0.0257 2.3646/X W T t S n μ??-==≥=?? ??，由样本资料得观察值()00.0252958.753000 2.97271348.4375/8 t t -= =>，故有显著差异。 (2)μ的95%的置信区间为()()/2/21,1S S X t n X t n n n αα??- -+- ?? ? ，由样本资料得μ的95%的置信区间为()2925.93,2991.57 (3)(){}(){} 02127 2.9720.0207P P t n t P t =-≥=≥=。 5、 解 （1） ~(1)S /X t n n μ --。由题意得，样本测得的值为167.2x =， 4.1s =，100n =，经查表得()/299 1.984t α=，于是均值μ的95%的置信区间为： ()()/2/2(99s /,99s /)(166.4,168.0)x t n x t n αα+-=
浙江大学《概率论与数理统计》配套题库【章节题库】(马尔可夫链)
第13章马尔可夫链 1．从数1，2，…，N中任取一数，记为；再从1，2，…，中任取一数，记为；如此继续，从1，2，…，中任取一数，记为，说明构成一齐次马氏链，并写出它的状态空间和一步转移概率矩阵。 解：随机序列的状态空间，在1，2，…，中均匀取值，对于任意整数1≤≤N，有 故具有无后效性，即它是一个马氏链。 按题意一步转移概率为 它们都只与有关而与起始时刻m无关，因此{，n≥1）是齐次马氏链，且它的一步转移概率矩阵为
3．设是相互独立且都以概率P（0 性知一步转移概率为 因只与i，j有关而与起始时刻m无关，因此，它是齐次马氏链。 一步转移概率矩阵为 4．（传染模型）有N个人及某种传染病，假设 （1）在每个单位时间内此N个人中恰有两人互相接触，且一切成对的接触是等可能的； （2）当健康者与患病者接触时，被传染上病的概率为a； （3）患病者康复的概率是0，健康者如果不与患病者接触，得病的概率也为0。 现以表示第n个单位时间内的患病人数，试说明这种传染过程，即{，n≥0}是一马氏链，并写出它的状态空间及一步转移概率矩阵。 解：的状态空间I＝{0，1，2，…，N}，的取值仅与的取值以及第n 个单位时间内人群的成对接触情况有关，所以{，n≥0}是一个马氏链。 由假设（3），一旦患病的人数（状态）为0或N，则患病人数不会再改变，用相应的转移概率可表示为：