2015年清华自主选拔数学试题及答案
）
A．奇函数 C．减函数
B．偶函数 D．有界函数
5、如图，已知直线 y kx m 与曲线 y f x 相切于两点，则 F x f x kx 有（
）
A．2 个极大值点 C．2 个极小值点
B．3 个极大值点 D．3 个极小值点
6、ABC 的三边分别为 a,b, c ．若 c 2 ，C ，且 sin C sinB A 2sin 2A 0 ,
D．若方程
f
x
b 恰有三个不同实根，则
0
b
6 e3
8 、 已 知 A x, y| x2 y2 r 2 ， B x, y| x a2 y b2 r 2 , 已 知
A B x1, y1, x2, y2 ，则（
A． 0 a2 b2 2r 2
）
B． ax1 x2 by1 y2 0
3
则（
）
A． b 2a
B． ABC 的周长为 2 2 3
C． ABC 的面积为 2 3 3
7、设函数 f x x2 3 ex ，则（
D． ABC 的外接圆半径为 2 3 3
）
A． f x 有极小值，但无最小值
B． f x 有极大值，但无最大值
C．若方程
f
x
b 恰有一个实根，则 b
6 e3
4
21、设数列 an满足：
a1
6
，
an1
n
n
3
an
，则（
）
A． n N , an n 13
B． n N , an 2015
C． n N ， an 为完全平方数
D． n N ， an 为完全立方数
22、在极坐标系中，下列方程表示的图形是椭圆的有（
）
A．
1
cos sin
C． 1 2 cos
C． x1 x2 a , y1 y2 b
D． a2 b2 2ax1 2by1
9、已知非负实数 x, y, z 满足 4x2 4 y2 z2 2z 3 ，则 5x 4 y 3z 的最小值为（ ）
A．1 C．3
B．2 D．4
10、设数列 an的前 n 项和为 Sn ，若对任意正整数 n ，总存在正整数 m ，使得 Sn am ，
3
D．
2
2、设 an为等差数列， p, q, k, l 为正整数，则“ p q k l ”是“ ap aq ak al ”的
（
）
A．充分不必要条件
C．充分必要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3、设 A, B 是抛物线 y x2 上的两点， O 是坐标原点．若 OA OB ，则（ ）
23、设函数 f x sin x ，则（
x2 x 1
A． f x 4
3
B． 1 2 sin
D． 1 2 2sin
）
B． f x 5 x
C．曲线 y f x 存在对称轴
D．曲线 y f x 存在对称中心
24、 ABC 的三边分别为 a, b, c ，若 ABC 为锐角三角形，则（
B． L 是中心对称图形
C． L x, y| x2 y2 1
D．
L
x,
y|
1 2
y
1
2
题号
1
答案
B
题号 11
答案
D
题号 21
答案 AB
参考答案
2
3
4
5
6
7
8
9
10
D
ABD
AC
BC
BCD
BD
BCD
C
AC
12
13
14
15
16
17
18
19
20
B
ABD
D
ABC
BD
C
ACD ACD BCD
22
23
则（
）
A． an可能为等差数列
B． an可能为等比数列
C． an的任意一项均可写成 an的两项之差
D．对任意正整数 n ，总存在正整数 m ，使得 an Sm
11、运动会上，有 6 名选手参加 100 米比赛，观众甲猜测：4 道或 5 道的选手得第一名；观 众乙猜测：3 道的选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6 道选手中的一位获得第一名；
）
A． sin A cos B
B． tan A cot B
C． a2 b2 c2
D． a3 b3 c3
25、设函数 f x 的定义域是 1,1 ，若 f 0 f '0 1 ，则存在实数 0,1 ，使得（ ）
A． f x 0, x ,
B． f x 在 , 上单调递增
C． f x 1, x 0,
）
3
A．最小值为
4
4
B．最小值为
5
4
C．最大值为
3
5
D．最大值为
4
17、从正十五边形的顶点中选出 3 个构成钝角三角形，则不同的选法有（
）
A．105 种
B．225 种
C．315 种
D．420 种
18、已知存在实数 r ，使得圆周 x2 y2 r 2 上恰好有 n 个整点，则 n 可以等于（ ）
A．4
2015 年清华大学自主选拔数学试题
说明：本试卷共 30 小题，共 100 分．在每小题给出的四个选项中，有一个或多个选项是符
合题目要求的．全部选对的，得满分；选对但不全的，得部分分；有选错的，得 0 分．
1、设复数 z
cos
2 3
i sin
2 3
1
，则
1 z
1 1 z2
（
）
A．0
B．1
1
C．
2
观众丁猜测：4,5,6 道的选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、
丙、丁中只有 1 人猜对比赛结果，此人是（
）
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
12、长方体 ABCD A1B1C1D1 中， AB 2 ， AD AA1 1，则 A 到平面 A1BD 的距离为
（）
1
A．
3
2
B．
3
2
C．
2
6
D．
3
x y 2,
13、设不等式组
y
2
k
x
1,
所表示的区域为ຫໍສະໝຸດ D，其面积为S
，则（
）
A．若 S 4 ，则 k 的值唯一 B．若 S 12 ，则 k 的值有 2 个 C．若 D 为三角形，则 0 k 2
3 D．若 D 为五边形，则 k 4
14、 ABC 的三边长是 2,3,4，其外心为 O ，则 OA AB OB BC OC CA （ ）
29、从 1,2,3,4,5 中挑出三个不同数字组成五位数，其中有两个数字各用两次，例如 12231，
则能得到的不同的五位数有（
）
A．300 个
B．450 个
C．900 个
D．1800 个
30、设曲线 L 的方程为 y4 2x2 2 y2 x4 2x2 0 ，则（
）
A． L 是轴对称图形
A．0
B．−15
C． 21
D． 29
2
2
15、设随机事件 A 与 B 互相独立，且 PB 0.5 ， PA B 0.2 ，则（ ）
A． PA 0.4 B． PB A 0.3 C． PAB 0.2 D． PA B 0.9
16、过 ABC 的重心作直线将 ABC 分成两部分，则这两部分的面积之比的（
B．6
C．8
D．12
19、设复数 z 满足 2 z z 1 ，则（
）
A． z 的最大值为 1 2
C． z 的虚部的最大值为 3
1 B． z 的最小值为
3 1
D． z 的实部的最大值为 3
20、设 m, n 是大于零的实数，向量 a m cos , m sin ， b n cos , n sin ，其中
）
4
A．最小值为
5
2
B．最小值为
5
C．最大值为 1
1 2
D．最大值为
3
28、对于 50 个黑球和 49 个白球的任意排列（从左到右排成一行），则（
）
A．存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多
B．存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多
C．存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个
D．存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个
24
25
26
27
28
29
30
BC
ABC ABC
AC
B
AC
A
C
ABD
,
1
0,2 ．定义向量 a 2
m cos ,
m sin
1
，b 2
n cos ,
n sin ，记
2
2
2
2
，则（
）
11
A． a 2 a 2 a
11
B． a 2 b 2
mn cos
2
1
12
C． a 2 b 2 4
mn sin2
4
1
12
D． a 2 b 2 4
mn cos2
A． OA OB 2
B． OA OB 2 2
C．直线 AB 过抛物线 y x2 的焦点 D． O 到直线 AB 的距离小于等于 1
4、设函数 f x 的定义域为 1,1 ，且满足：
① f x 0 ， x 1,0 ；② f x f y f 1xxyy , x, y 1,1.
则 f x 为（
D． f x 1, x ,0
清华大学自主招生数学试题解析
清华大学自主招生数学试题解析一、引言近年来，自主招生考试逐渐成为高等教育选拔的重要方式之一。
作为中国顶尖的学府之一，清华大学在自主招生中具有极高的影响力和标准制定地位。
数学作为基础学科，是清华大学自主招生考试的重要科目。
本文将对清华大学自主招生数学试题进行解析，探讨其考察内容、特点及应对策略。
二、考察内容1、基础知识：清华大学自主招生数学试题中，基础知识考察占据较大比例。
包括但不限于高中数学中的函数、数列、三角函数、概率与统计等。
2、知识运用：除了基础知识外，试题还注重考察考生对数学知识的运用能力。
例如，通过实际应用题或几何题的形式，要求考生运用数学知识解决实际问题。
3、思维能力：清华大学自主招生数学试题注重考察考生的思维能力，包括逻辑推理、归纳分类、化归等能力。
这类题目通常需要考生灵活运用数学知识，通过猜想、归纳、推理等方式寻找解题思路。
4、创新精神：自主招生数学试题还注重考察考生的创新精神和实践能力。
这类题目通常以开放式问题的形式出现，要求考生从不同角度思考问题，寻找独特的解题方法。
三、特点分析1、覆盖面广：清华大学自主招生数学试题涉及的知识面较广，要求考生具备扎实的数学基础和广泛的知识储备。
2、难度适中：试题难度适中，既考察了考生的基础知识，又对其思维能力、创新能力进行了充分挑战。
3、突出重点：试题突出对重点知识的考察，如函数与方程、数列与不等式、平面几何等，要求考生对重点知识有深入理解和掌握。
4、强调应用：试题强调对数学知识的应用能力，通过设置实际应用题等方式，引导考生数学在实际生活中的应用价值。
四、应对策略1、巩固基础知识：针对清华大学自主招生数学试题中基础知识的考察，考生应注重巩固高中阶段的基础知识，尤其是函数、数列、三角函数等重点内容。
2、提高运用能力：在掌握基础知识的前提下，考生应注重提高对数学知识的运用能力。
通过练习实际应用题、几何题等类型，提高解决实际问题的能力。
3、培养思维能力：考生应在平时的学习中注重培养逻辑推理、归纳分类、化归等思维能力。
2015清华大学金秋营数学试题及其解答(2)
2015清华大学金秋营数学试题及其解答 (2)(2)" title="2015清华大学金秋营数学试题及其解答(2)" action-data="http%3A%2F%%2Fmw690 %2F001omMDwzy6WiczvzFdbf%26690"action-type="show-slide">(2)" title="2015清华大学金秋营数学试题及其解答(2)">(2)" title="2015清华大学金秋营数学试题及其解答(2)" style="max-width: 650px;">2015年华中科技大学理科实验班选拔数学试题(2)" title="2015清华大学金秋营数学试题及其解答(2)" style="max-width: 650px;">(2)" title="2015清华大学金秋营数学试题及其解答(2)" style="max-width: 650px;">(2)" title="2015清华大学金秋营数学试题及其解答(2)"style="max-width: 650px;">(2)" title="2015清华大学金秋营数学试题及其解答(2)" style="max-width: 650px;">2014年华中科技大学理科实验班选拔试题—数学(2)" title="2015清华大学金秋营数学试题及其解答(2)"style="max-width: 650px;">(2)" title="2015清华大学金秋营数学试题及其解答(2)" style="max-width: 650px;">(2)"title="2015清华大学金秋营数学试题及其解答(2)"style="max-width: 650px;">(2)" title="2015清华大学金秋营数学试题及其解答(2)" style="max-width: 650px;">(2)"title="2015清华大学金秋营数学试题及其解答(2)">2015清华大学金秋营试题第1题的解">熊昌进2015清华大学金秋营试题第1题的解2015清华大学金秋营试题第1题的解" title="[转载]熊昌进2015清华大学金秋营试题第1题的解"action-data="/DownloadImg/20 16/08/2419/78630869_13" action-type="show-slide"style="margin: 0px; padding: 0px; list-style: none; text-align: center; display: block;">参考文献:宋庆(2)"href="/s/blog_4c1131020102vvk7.ht ml" target="_blank">2015清华大学金秋营数学试题及其解答(2)作者：sqing55熊昌进2015清华大学金秋营试题第5题的证明(2)" title="2015清华大学金秋营数学试题及其解答(2)">参考文献:宋庆(2)"href="/s/blog_4c1131020102vvk7.ht ml" target="_blank">2015清华大学金秋营数学试题及其解答(2)作者：sqing55熊昌进2015清华大学金秋营试题第4题的解(2)" title="2015清华大学金秋营数学试题及其解答(2)"> (2)" title="2015清华大学金秋营数学试题及其解答(2)">参考文献:宋庆(2)"href="/s/blog_4c1131020102vvk7.ht ml" target="_blank">2015清华大学金秋营数学试题及其解答(2)作者：sqing55(2)" title="2015清华大学金秋营数学试题及其解答(2)" style="max-width: 650px;">(2)"action-data="http%3A%2F%%2Fmw690 %2F001omMDwzy6WfcIpXWP63%26690"action-type="show-slide">。
清华大学高考自主招生领军计划历年面试真题(2015年—2018年)
清华大学高考自主招生领军计划历年面试真题(2015年—2018年)同样，小北也为大家准备了清华近4年的综合评价招生面试真题。
清华也是从2015年才开始在全国范围开展综合评价招生！清华大学2018年领军计划面试题学科面试：1.建筑系：7位考官面试一个学生，不仅考查学生的综合素质，还考查他们对于各省市建筑的理解和表达。
2.数学系：给出4道题目让考生现场在黑板上作答，考官根据考生的解答思路或提问或追问。
清华大学2017年领军计划面试题1.材料阅读：影响你选择大学以及专业志愿的有哪些因素？请列举出来并说明理由。
可以借鉴但不局限于所给三则材料：第一则选择大学更重要还是选择专业更重要，第二则选择专业有哪些影响因素，第三则大学排名，包括US NEWS、泰晤士、QS、软科世界大学排名、毕业生就业力排名等等。
2.对人才培养的看法3.对清华理念的理解清华大学2016年领军计划面试题1.时政题是南京一个母亲盗窃超市为给自己的女儿过儿童节，警察赶到后宽大处理并帮助筹集善款，你怎么看？反映了什么社会问题？2.如果你在清华创立社团，你会创建什么社团？怎样让它发展得更好？3.大学应该无微不至地照顾学生，宽容对待他们的小错误还是应该训练学生适应社会？4.关于考生个人，被问到为什么选择这个专业清华大学2015年领军计划面试题1.你对“中国式过马路”怎么看?2.你对“中国梦”怎么理解?3.2012年度的五大新闻是什么，如果你是新闻评论员，请对这些新闻事件作出评论。
4.你对“钓鱼岛事件”怎么看?清华大学与北大相似，题目涉及范围较广，与经济、社会的各个方面相关。
童鞋们在做好充分准备的同时也要大方主动的展示自己的想法，不要太过于谨慎，甚至羞于表达。
清华大学2015年自主招生数学试题及答案解析
绝密★启用前清华大学2015年自主招生考试数学试题一、选择题1.设复数z=cos 23π+isin 23π,则2111-1z z +-=（ ） (A)0 (B)1 (C)12 (D)32 2.设数列{}n a 为等差数列,p,q,k,l 为正整数,则“p+q>k+l ”是“p q k l a a a a +>+”的( )条件(A)充分不必要 (B)必要不充分 (C)充要 (D)既不充分也不必要3.设A 、B 是抛物线y=2x 上两点,O 是坐标原点,若OA ⊥OB,则( )(A)|OA|·|OB|≥2 (B)|OA|+|OB|≥(C)直线AB 过抛物线y=2x 的焦点 (D)O 到直线AB 的距离小于等于1 4.设函数()f x 的定义域为(-1,1),且满足：①()f x >0,x ∈(-1,0)；②()f x +()f y =()1x y f xy++,x 、y ∈(-1,1),则()f x 为 (A)奇函数 (B)偶函数 (C)减函数 (D)有界函数5.如图,已知直线y=kx+m 与曲线y=f (x)相切于两点,则F(x)=f (x)−kx 有（ ）(A)2个极大值点 (B)3个极大值点 (C)2个极小值点 (D)3个极小值点6.△ABC 的三边分别为a 、b 、c ．若c=2,∠C=3π,且sinC+sin(B −A)−2sin2A=0,则有（ ）(A)b=2a (B)△ABC 的周长为 (C)△ABC (D)△ABC 的外接圆半径为7.设函数2()(3)x f x x e =-,则（ ）(A)()f x 有极小值,但无最小值 (B) ()f x 有极大值,但无最大值(C)若方程()f x =b 恰有一个实根,则b>36e (D)若方程()f x =b 恰有三个不同实根,则0<b<36e 8.已知A={(x,y)∣222x y r +=},B={(x,y)∣222()()x a y b r -+-=,已知A∩B={(11,x y ),(22,x y )},则（ ）(A)0<22a b +<22r (B)1212()(y )0a x x b y -+-=(C)12x x +=a ,12y y +=b (D)22a b +=1122ax by +9.已知非负实数x,y,z 满足22244x y z +++2z=3,则5x+4y+3z 的最小值为（ ）(A)1 (B)2 (C)3 (D)410.设数列{n a }的前n 项和为n S ,若对任意正整数n,总存在正整数m,使得n S =m a ,则（ ）（A ）{n a }可能为等差数列 （B ）{n a }可能为等比数列（C ）{n a }的任意一项均可写成{n a }的两项之差(D)对任意正整数n,总存在正整数m,使得n a =m S11.运动会上,有6名选手参加100米比赛,观众甲猜测：4道或5道的选手得第一名；观众乙猜测：3道的选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6道选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6道的选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次,且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果,此人是（ ）(A)甲 (B)乙 (C)丙 (D)丁12.长方体ABCD −1111A B C D 中,AB=2,AD=A 1A =1,则A 到平面1A BD 的距离为（ ）。
2015年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之9、排列、组合与二项式定理
专题之9、排列、组合与二项式定理一、选择题。
1．(2009年复旦大学)设X是含n(n>2)个元素的集合,A,B是X中的两个互不相交的子集,分别含有m,k(m,k≥1,m+k≤n)个元素,则X中既不包含A也不包含B的子集的个数是A.2n−m+2n−k−2n−m−kB.2n−m−kC.2n−2n−m−2n−k+2n−m−kD.2n+1−2n−m−2n−k+2n−m−k 2．(2009年复旦大学)设有n+1个不同颜色的球,放入n个不同的盒子中,要求每个盒子中至少有一个球,则不同的放法有A.(n+1)!种B.n(n+1)!种C.(n+1)!种D.n(n+1)!种3．(2011年复旦大学)用字母a、b、c组成字长为5个字母的码字,要求每码字中a至多出现2次,b至多出现1次,c至多出现3次,则这种码字的个数是A.50B.52C.60D.62 4．(2011年复旦大学)设平面上有100条直线,其中无两条直线相互平行,无三条直线相交于一点,则这些直线将平面分成块互异的区域.A.5 050B.5 051C.5 052D.5 053 5．(2011年复旦大学)小于1 000的正整数中不能被3和5所整除的整数的个数是A.530B.531C.532D.5336．(2011年复旦大学)从1到100这100个正整数中任取两个不同的整数,要求其和大于100,则取法总数为A.2 450B.2 500C.2 525D.5 050 7．(2012年复旦大学)记2 012!=1×2×3×…×2 012,则2 012!的值的尾部连续的0(从个位往前计数)的个数是A.504B.503C.502D.5018．(2011年同济大学等九校联考)数列{a n}共有11项,a1=0,a11=4,且|a k+1−a k|=1,k=1,2,…,10,满足这种条件的不同数列的个数为A.100B.120C.140D.1609．(2010年清华大学等五校联考)欲将正六边形的各边和各条对角线都染成n 种颜色之一,使得以正六边形的任何3 个顶点作为顶点的三角形有3 种不同颜色的边,并且不同的三角形使用不同的3 色组合,则n 的最小值为A.6B.7C.8D.910．(2012年清华大学等七校联考)红蓝两色车、马、炮棋子各一枚,将这6枚棋子排成一列,其中每对同字的棋子中,均为红棋子在前,蓝棋子在后,满足这个条件的不同排列方式共有A.36种B.60种C.90种D.120种二、解答题。
2015年清华大学数理体验营数学考试试题
n12n i 对于A=(a1,a2,⋯,an)∈Sn,B=(b1,b2,⋯,bn)∈Sn,定义A与B的差为A−B=(|a1−b1|,|a2−b2|,⋯,|an−bn|),且A与B之间的距离为(,)ni id A B a b=∑-2015清华大学数理体验营数学试题解答即可，解得综上所述，若不等式f(x)>0对∀x∈[1,+∞)恒成立，则a的取值范围是(−∞,（2）根据二项分布的计算方式，可得分布列为4、（1）椭圆L 的方程为2212x y +=（2）设A 点坐标为(x 1,y 1)，B 点坐标为(x 2,y 2)，C 点坐标为(x 3,y 3)．由可得由椭圆的焦准性质可知，112+2=2x x λ+，将1211=1x x λ+--代入上式，可得λ1=2x 1+3；同理，1232=2x x λ--，将1321=1x x λ-+代入上式，可得λ2=−2x 1+3． 所以λ1+λ2=6．（3）当直线AC 的方程为x=1时，△F 1AC 的面积S 取到最大值2．5、（1）若∃k ∈N+，使得0<a k ⩽a k+1，则矛盾．所以a n >a n+1(n=1,2,⋯)． （2）显然0<an<1(n=1,2,⋯)，故有所以a n >1/3．由于数列{a n }单调递减有下界，所以n →∞时，数列{a n }的极限存在．设则所以对于任意给定的0<ε<1，总存在正整数m，当n>m时，0<an −13<ϵ．6、(1)d(A−C,B−C)=d(A,B)显然成立．因为(ai−bi)+(bi−ci)+(ci−ai)=0，而(ai−bi)+(bi−ci)+(ci−ai)与|ai−bi|+|bi −ci|+|ci−ai|的奇偶性相同，故d(A,B)+d(A,C)+d(B,C))是偶数．所以d(A,B),d(A,C),d(B,C)三个数中至少有一个是偶数．（2）其中表示P中所有两个元素间距离的总和．设P中所有元素的第i个位置的数字中共有ti 个1，m−ti个0，则（3）S3中含有8个元素，可将其看成正方体的8个顶点．易知集合M中的元素所对应的点，应该两两位于该正方体面对角线的两个端点处．所以集合M={(0,0,0),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}，或M={(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(1,1,1)}．。
2015年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之7、解析几何
专题之7、解析几何一、选择题。
1．(2009年复旦大学)设△ABC三条边之比AB∶BC∶CA=3∶2∶4,已知顶点A的坐标是(0,0),B的坐标是(a,b),则C的坐标一定是2．(2009年复旦大学)平面上三条直线x−2y+2=0,x−2=0,x+ky=0,如果这三条直线将平面划分成六个部分,则k可能的取值情况是A.只有唯一值B.可取二个不同值C.可取三个不同值D.可取无穷多个值3．(2010年复旦大学)已知常数k1,k2满足0<k1<k2,k1k2=1.设C1和C2分别是以y=±k1(x−1)+1和y=±k2(x−1)+1为渐近线且通过原点的双曲线,则C1和C2的离心率之比等于5．(2011年复旦大学)A.ρsin θ=1B.ρcos θ=−1C.ρcos θ=1D.ρsin θ=−1 6．(2011年复旦大学)设直线L过点M(2,1),且与抛物线y2=2x相交于A,B两点,满足|MA|=|MB|,即点M(2,1)是A,B的连接线段的中点,则直线L的方程是A.y=x−1B.y=−x+3C.2y=3x−4D.3y=−x+5 7．(2011年复旦大学)设有直线族和椭圆族分别为x=t,y=mt+b(m,b为实数,t为参数)和(a是非零实数),若对于所有的m,直线都与椭圆相交,则a,b应满足A.a2(1−b2)≥1B.a2(1−b2)>1C.a2(1−b2)<1D.a2(1−b2)≤1 8．(2011年复旦大学)极坐标表示的下列曲线中不是圆的是A.ρ2+2ρ(cos θ+sin θ)=5B.ρ2−6ρcos θ−4ρsin θ=0C.ρ2−ρcos θ=1D.ρ2cos 2θ+2ρ(cos θ+sin θ)=19.10.(2012年复旦大学)B.抛物线或双曲C.双曲线或椭圆D.抛物线或椭圆A.圆或直线线11．(2011年同济大学等九校联考)已知抛物线的顶点在原点,焦点在x轴上,△ABC的三个顶点都在抛物线上,且△ABC的重心为抛物线的焦点,若BC边所在直线的方程为4x+y−20=0,则抛物线方程为A.y2=16xB.y2=8xC.y2=−16xD.y2=−8xA.2B.2C.4D.413．(2011年清华大学等七校联考)AB为过抛物线y2=4x焦点F的弦,O为坐标原点,且∠OFA=135°,C为抛物线准线与x轴的交点,则∠ACB的正切值为14．(2012年清华大学等七校联考)椭圆长轴长为4,左顶点在圆(x−4)2+(y−1)2=4上,左准线为y 轴,则此椭圆离心率的取值范围是二、解答题。
《北大清华自主招生数学试题的分析与解》试读本
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2015北大自主招生数学试题文件.doc
一.选择题1.整数x,y,z满足xy+yz+zx=1 ，则(1+ 2x )(1+2y )(1+2z )可能取到的值为（）A．16900 B．17900 C．18900 D．前三个答案都不对2.在不超过99 的正整数中选出50 个不同的正整数，已知这50 个数中任两个的和都不等于99，也不等于100．这50 个数的和可能等于（）A．3524 B．3624 C．3724 D．前三个答案都不对3.已知x∈[0,2 ]，对任意实数a，函数y= 2cos x - 2 a cosx+1 的最小值记为g(a)，则当 a 取遍所有实数时，g( a)的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．前三个答案都不对4.已知2010 -20n 的整数倍，则正整数n 的最大值为（）2 是2A．21 B．22 C．23 D．前三个答案都不对5.在凸四边形ABCD 中，BC=4 ，∠ADC=60 °，∠BAD=90 °，四边形ABCD 的面积等于则C D 的长（精确到小数点后 1 位）为（）A B CD BC AD2，A．6.9 B．7.1 C．7.3 D．前三个答案都不对二.填空题1 1x 1 20156.满足等式（1+ ) (1 ) 的整数x 的个数是_______ ．x 20152( ab cd)7.已知a,b,c,d ∈[2,4] ，则2 2 2 2(a d )(b c ) 的最大值与最小值的和为___________8.对于任意实数x∈[1,5],| 2x +px+q| ≤2,不超过2 2p q 的最大整数是__________9.设x=2 2 2b c a2bc,y=2 2 2a c b2ac,z=2 2 2b a c2ba2015 2015 2015x y z 的值为___,且x+y+z=1 ，则10.设A1 ,A2,..., A n 都是9 元集合{1,2,3, ⋯,9} 的子集，已知| A i |为奇数，1≤i≤n,| A i A j |为偶数，1≤i ≠j≤n ，则n的最大值为____________三．解答题11.已知数列{ a}为正项等比数列，且a3 a4 a1 a2 =5,求n a a 的最小值5 612.已知f(x)为二次函数，且a,f(a),f (f(a)), f(f (f(a)))成正项等比数列，求证：f( a)= a13.称四个顶点都在三角形边上的正方形为此三角形的内接正方形。
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案(全word可编辑版,全解全析)
2015年普通高等学校招生全国统一考试课标全国Ⅰ理科数学注意事项:1.本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至5页.2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效.4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2015课标全国Ⅰ,理1)设复数z满足1+z=i,则|z|=()A.1B.2C.3D.2答案:A解析:∵1+z=i,∴z=i−1=(i−1)(−i+1)=i,∴|z|=1.2.(2015课标全国Ⅰ,理2)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=()A.-32B.32C.-12D.12答案:D解析:sin20°cos10°-cos160°sin10°=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin(10°+20°)=sin30°=12.3.(2015课标全国Ⅰ,理3)设命题p:∃n∈N,n2>2n,则p为()A.∀n∈N,n2>2nB.∃n∈N,n2≤2nC.∀n∈N,n2≤2nD.∃n∈N,n2=2n答案:C解析:∵p:∃n∈N,n2>2n,∴p:∀n∈N,n2≤2n.故选C.4.(2015课标全国Ⅰ,理4)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为()A.0.648B.0.432C.0.36D.0.312答案:A解析:由条件知该同学通过测试,即3次投篮投中2次或投中3次.故P=C320.62(1-0.6)+C330.63=0.648.5.(2015课标全国Ⅰ,理5)已知M(x0,y0)是双曲线C:x 22-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.若MF1·MF2<0,则y0的取值范围是()A. −3,3B. −3,3C. −22,22D. −23,23答案:A解析:由条件知F1(-3,0),F2(3,0),∴MF1=(-3-x0,-y0),MF2=(3-x0,-y0),∴MF1·MF2=x02+y02-3<0.①又∵x022−y02=1,∴x02=2y02+2.代入①得y02<13,∴-3<y0<3. 6.(2015课标全国Ⅰ,理6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有( ) A .14斛 B .22斛 C .36斛 D .66斛 答案:B解析:设底面圆半径为R ,米堆高为h.∵米堆底部弧长为8尺,∴14·2πR=8,∴R=16π.∴体积V=1×1·πR 2h=1×π× 16 2×5.∵π≈3,∴V ≈3209(尺3). ∴堆放的米约为3209×1.62≈22(斛).7.(2015课标全国Ⅰ,理7)设D 为△ABC 所在平面内一点,BC =3CD ,则( )A .AD =-1AB +4AC B .AD =1AB −4AC C .AD =43AB +13AC D .AD=43AB −13AC 答案:A解析:如图:∵AD =AB +BD,BC =3CD , ∴AD =AB +43BC =AB +43(AC −AB )=-13AB +43AC. 8.(2015课标全国Ⅰ,理8)函数f (x )=cos(ωx+φ)的部分图像如图所示,则f (x )的单调递减区间为( ) A . kπ−1,kπ+3 ,k ∈Z B . 2kπ−1,2kπ+3 ,k ∈Z C . k −14,k +34 ,k ∈Z D . 2k −1,2k +3 ,k ∈Z 答案:D解析:不妨设ω>0,由函数图像可知,其周期为T=2× 54−14=2,所以2πω=2,解得ω=π. 所以f (x )=cos(πx+φ).由图像可知,当x=12 14+54=34时,f (x )取得最小值,即f 3 =cos3π+φ =-1,解得3π4+φ=2k π+π(k ∈Z ),解得φ=2k π+π4(k ∈Z ).令k=0,得φ=π,所以f (x )=cos πx +π.令2k π≤πx+π≤2k π+π(k ∈Z ),解得2k-14≤x ≤2k+34(k ∈Z ).所以函数f (x )=cos πx +π4的单调递减区间为 2k−14,2k +34(k ∈Z ).结合选项知应选D .9.(2015课标全国Ⅰ,理9)执行下面的程序框图,如果输入的t=0.01,则输出的n=( )A .5B .6C .7D .8答案:C解析:∵S=1,n=0,m=1,t=0.01,∴S=S-m=12,m=m 2=14,n=n+1=1,S>0.01,∴S=14,m=18,n=2,S>0.01,∴S=1,m=1,n=3,S>0.01,∴S=1,m=1,n=4,S>0.01,∴S=132,m=164,n=5,S>0.01,∴S=1,m=1,n=6,S>0.01,∴S=1,m=1,n=7,S<0.01,∴n=7.10.(2015课标全国Ⅰ,理10)(x 2+x+y )5的展开式中,x 5y 2的系数为( ) A .10 B .20 C .30 D .60 答案:C解析:由于(x 2+x+y )5=[(x 2+x )+y ]5,其展开式的通项为T r+1=C 5r (x 2+x )5-r y r (r=0,1,2,…,5),因此只有当r=2,即T 3=C 52(x 2+x )3y 2中才能含有x 5y 2项.设(x 2+x )3的展开式的通项为S i+1=C 3i (x 2)3-i ·x i =C 3i x 6-i(i=0,1,2,3),令6-i=5,得i=1,则(x 2+x )3的展开式中x 5项的系数是C 31=3,故(x 2+x+y )5的展开式中,x 5y 2的系数是C 52·3=10×3=30. 11.(2015课标全国Ⅰ,理11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=( ) A .1 B .2 C .4 D .8 答案:B解析:由条件知,该几何体是由一个圆柱被过圆柱底面圆直径的平面所截剩下的半个圆柱及一个半球拼接而成,其表面积是一个矩形面积、两个半圆面积、圆柱侧面积的一半、球表面积的一半相加所得,所以表面积为S 表=2r×2r+2×12πr 2+πr×2r+12×4πr 2=5πr 2+4r 2=16+20π,解得r=2.12.(2015课标全国Ⅰ,理12)设函数f (x )=e x (2x-1)-ax+a ,其中a<1,若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0,则a 的取值范围是( )A. −32e ,1B. −32e,34C.32e ,34D.32e,1答案:D解析:设g(x)=e x(2x-1),h(x)=a(x-1),则不等式f(x)<0即为g(x)<h(x).因为g'(x)=e x(2x-1)+2e x=e x(2x+1),当x<-12时,g'(x)<0,函数g(x)单调递减;当x>-12时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增.所以g(x)的最小值为g −1.而函数h(x)=a(x-1)表示经过点P(1,0),斜率为a的直线.如图,分别作出函数g(x)=e x(2x-1)与h(x)=a(x-1)的大致图像.显然,当a≤0时,满足不等式g(x)<h(x)的整数有无数多个.函数g(x)=e x(2x-1)的图像与y轴的交点为A(0,-1),与x轴的交点为D1,0.取点C −1,−3e.由图可知,不等式g(x)<h(x)只有一个整数解时,须满足k PC≤a<k PA.而k PC=0−−3e=3,k PA=0−(−1)=1,所以32e ≤a<1.故选D.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(2015课标全国Ⅰ,理13)若函数f(x)=x ln(x+ a+x2)为偶函数,则a=.答案:1解析:∵f(x)是偶函数,∴f(-1)=f(1).又f(-1)=-ln(-1+a+1)=ln a+1+1a,f(1)=ln(1+a+1),因此ln(a+1+1)-ln a=ln(a+1+1),于是ln a=0,∴a=1.14.(2015课标全国Ⅰ,理14)一个圆经过椭圆x 2+y2=1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准方程为.答案: x−32+y2=25解析:由条件知圆经过椭圆的三个顶点分别为(4,0),(0,2),(0,-2),设圆心为(a,0)(a>0),所以(a−0)2+(0−2)2=4-a,解得a=32,故圆心为32,0,此时半径r=4-32=52,因此该圆的标准方程是 x−322+y2=254.15.(2015课标全国Ⅰ,理15)若x,y满足约束条件x−1≥0,x−y≤0,x+y−4≤0,则yx的最大值为.答案:3解析:画出约束条件对应的平面区域(如图),点A为(1,3),要使y最大,则y−0最大,即过点(x,y),(0,0)两点的直线斜率最大,由图形知当该直线过点A时,yx max =3−01−0=3.16.(2015课标全国Ⅰ,理16)在平面四边形ABCD 中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则AB 的取值范围是 . 答案:( 6− 2, 6+ 2) 解析:如图.作CE ∥AD 交AB 于E ,则∠CEB=75°,∠ECB=30°. 在△CBE 中,由正弦定理得,EB= − 延长CD 交BA 的延长线于F ,则∠F=30°. 在△BCF 中,由正弦定理得,BF= 6+ 2, 所以AB 的取值范围为( 6− 2, 6+ 2).三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅰ,理17)S n 为数列{a n }的前n 项和.已知a n >0,a n 2+2a n =4S n +3. (1)求{a n }的通项公式; (2)设b n =1a n a n +1,求数列{b n }的前n 项和.解:(1)由a n 2+2a n =4S n +3,可知a n +12+2a n+1=4S n+1+3.可得a n +12−a n 2+2(a n+1-a n )=4a n+1,即2(a n+1+a n )=a n +12−a n 2=(a n+1+a n )(a n+1-a n ). 由于a n >0,可得a n+1-a n =2.又a 12+2a 1=4a 1+3,解得a 1=-1(舍去),a 1=3.所以{a n }是首项为3,公差为2的等差数列,通项公式为a n =2n+1. 6分(2)由a n =2n+1可知b n =1n n +1=1=11−1.设数列{b n }的前n 项和为T n ,则 T n =b 1+b 2+…+b n=12 13−15 + 15−17 +⋯+12n +1−12n +3=n . 12分18.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅰ,理18)如图,四边形ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E ,F 是平面ABCD 同一侧的两点,BE ⊥平面ABCD ,DF ⊥平面ABCD ,BE=2DF ,AE ⊥EC.(1)证明:平面AEC ⊥平面AFC ;(2)求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值. 解:(1)连结BD ,设BD ∩AC=G ,连结EG ,FG ,EF.在菱形ABCD 中,不妨设GB=1. 由∠ABC=120°,可得AG=GC=由BE ⊥平面ABCD ,AB=BC ,可知AE=EC. 又AE ⊥EC ,所以EG= 3,且EG ⊥AC. 在Rt △EBG 中,可得BE= 2,故DF= 2. 在Rt △FDG 中,可得FG= 62.在直角梯形BDFE 中,由BD=2,BE= 2,DF= 22,可得EF=3 22. 从而EG 2+FG 2=EF 2,所以EG ⊥FG. 又AC ∩FG=G ,可得EG ⊥平面AFC.因为EG ⊂平面AEC ,所以平面AEC ⊥平面AFC. 6分(2)如图,以G 为坐标原点,分别以GB ,GC 的方向为x 轴、y 轴正方向,|GB |为单位长,建立空间直角坐标系G-xyz.由(1)可得A (0,- E (1,0, F −1,0,2,C (0, 3,0),所以AE =(1, 3, 2),CF= −1,− 3, 2 . 10分故cos <AE ,CF >=AE ·CF|AE ||CF|=- 33. 所以直线AE 与直线CF 所成角的余弦值为 3.12分19.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅰ,理19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x (单位:千元)对年销售量y (单位:t)和年利润z (单位:千元)的影响.对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i=1,2,…,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.表中w i = x i ,w =18∑i =18w i. (1)根据散点图判断,y=a+bx 与y=c+d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立y 关于x 的回归方程;(3)已知这种产品的年利润z 与x ,y 的关系为z=0.2y-x.根据(2)的结果回答下列问题: ①年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少? ②年宣传费x 为何值时,年利润的预报值最大?附:对于一组数据(u 1,v 1),(u 2,v 2),…,(u n ,v n ),其回归直线v=α+βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^=∑i =1n(u i −u )(v i −v )∑i =1n(u i −u )2,α^=v −β^u .解:(1)由散点图可以判断,y=c+d x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型.2分(2)令w= x ,先建立y 关于w 的线性回归方程.由于d ^=∑i =18(w i −w )(y i −y )∑i =18(w i −w )2=108.81.6=68, c ^=y −d ^w =563-68×6.8=100.6,所以y 关于w 的线性回归方程为y ^=100.6+68w ,因此y 关于x 的回归方程为y ^=100.6+68 x . 6分(3)①由(2)知,当x=49时,年销售量y 的预报值y ^=100.6+68 49=576.6,年利润z 的预报值z ^=576.6×0.2-49=66.32. 9分②根据(2)的结果知,年利润z 的预报值z ^=0.2(100.6+68 x )-x=-x+13.6 x +20.12.所以当 x =13.6=6.8,即x=46.24时,z ^取得最大值.故年宣传费为46.24千元时,年利润的预报值最大.12分20.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅰ,理20)在直角坐标系xOy 中,曲线C :y=x 24与直线l :y=kx+a (a>0)交于M ,N两点.(1)当k=0时,分别求C 在点M 和N 处的切线方程;(2)y 轴上是否存在点P ,使得当k 变动时,总有∠OPM=∠OPN ?说明理由. 解:(1)由题设可得M (2 a ,a ),N (-2 a ,a ),或M (-2 a ,a ),N (2 a ,a ).又y'=x 2,故y=x 24在x=2 a 处的导数值为 a ,C 在点(2 a ,a )处的切线方程为y-a= a (x-2 a ),即 a x-y-a=0. y=x 2在x=-2 a 处的导数值为- a ,C 在点(-2 a ,a )处的切线方程为y-a=- a (x+2 a ),即 a x+y+a=0. 故所求切线方程为 a x-y-a=0和 a x+y+a=0. 5分(2)存在符合题意的点,证明如下:设P (0,b )为符合题意的点,M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),直线PM ,PN 的斜率分别为k 1,k 2. 将y=kx+a 代入C 的方程得x 2-4kx-4a=0. 故x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-4a.从而k 1+k 2=y 1−b x 1+y 2−bx 2=2kx 1x 2+(a−b )(x 1+x 2)x 1x 2=k (a +b )a.当b=-a 时,有k 1+k 2=0,则直线PM 的倾角与直线PN 的倾角互补,故∠OPM=∠OPN ,所以点P (0,-a )符合题意. 12分21.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅰ,理21)已知函数f (x )=x 3+ax+1,g (x )=-ln x.(1)当a 为何值时,x 轴为曲线y=f (x )的切线;(2)用min{m ,n }表示m ,n 中的最小值,设函数h (x )=min{f (x ),g (x )}(x>0),讨论h (x )零点的个数. 解:(1)设曲线y=f (x )与x 轴相切于点(x 0,0),则f (x 0)=0,f'(x 0)=0,即 x 03+ax 0+1=0,3x 02+a =0.解得x 0=1,a=-3.因此,当a=-34时,x 轴为曲线y=f (x )的切线. 5分(2)当x ∈(1,+∞)时,g (x )=-ln x<0,从而h (x )=min{f (x ),g (x )}≤g (x )<0,故h (x )在(1,+∞)无零点. 当x=1时,若a ≥-54,则f (1)=a+54≥0,h (1)=min{f (1),g (1)}=g (1)=0,故x=1是h (x )的零点;若a<-54,则f (1)<0,h (1)=min{f (1),g (1)}=f (1)<0,故x=1不是h (x )的零点.当x ∈(0,1)时,g (x )=-ln x>0.所以只需考虑f (x )在(0,1)的零点个数.(ⅰ)若a ≤-3或a ≥0,则f'(x )=3x 2+a 在(0,1)无零点,故f (x )在(0,1)单调.而f (0)=14,f (1)=a+54,所以当a ≤-3时,f (x )在(0,1)有一个零点;当a ≥0时,f (x )在(0,1)没有零点.(ⅱ)若-3<a<0,则f (x )在 0, −3单调递减,在 −3,1 单调递增,故在(0,1)中,当x= −3时,f (x )取得最小值,最小值为f −a =2a −a +1. ①若f −a >0,即-3<a<0,f (x )在(0,1)无零点; ②若f −a =0,即a=-3,则f (x )在(0,1)有唯一零点;③若f −3 <0,即-3<a<-34,由于f (0)=14,f (1)=a+54,所以当-54<a<-34时,f (x )在(0,1)有两个零点;当-3<a ≤-54时,f (x )在(0,1)有一个零点.10分综上,当a>-3或a<-5时,h (x )有一个零点;当a=-3或a=-5时,h (x )有两个零点;当-5<a<-3时,h (x )有三个零点. 12分请考生在第22、23、24三题中任选一题做答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分,做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.(本小题满分10分)(2015课标全国Ⅰ,理22)选修4—1:几何证明选讲如图,AB是☉O的直径,AC是☉O的切线,BC交☉O于点E.(1)若D为AC的中点,证明:DE是☉O的切线;(2)若OA=3CE,求∠ACB的大小.解:(1)连结AE,由已知得,AE⊥BC,AC⊥AB.在Rt△AEC中,由已知得,DE=DC,故∠DEC=∠DCE.连结OE,则∠OBE=∠OEB.又∠ACB+∠ABC=90°,所以∠DEC+∠OEB=90°,故∠OED=90°,DE是☉O的切线.5分(2)设CE=1,AE=x,由已知得AB=2,BE=2.由射影定理可得,AE2=CE·BE,所以x2=12−x2,即x4+x2-12=0.可得x=3,所以∠ACB=60°.10分23.(本小题满分10分)(2015课标全国Ⅰ,理23)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C1,C2的极坐标方程;(2)若直线C3的极坐标方程为θ=π4(ρ∈R),设C2与C3的交点为M,N,求△C2MN的面积.解:(1)因为x=ρcosθ,y=ρsinθ,所以C1的极坐标方程为ρcosθ=-2,C2的极坐标方程为ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0.5分(2)将θ=π4代入ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0,得ρ2-32ρ+4=0,解得ρ1=22,ρ2= 2.故ρ1-ρ2=2,即|MN|= 2.由于C2的半径为1,所以△C2MN的面积为1.10分24.(本小题满分10分)(2015课标全国Ⅰ,理24)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0.(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(2)若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.解:(1)当a=1时,f(x)>1化为|x+1|-2|x-1|-1>0.当x≤-1时,不等式化为x-4>0,无解;当-1<x<1时,不等式化为3x-2>0,解得2<x<1;当x≥1时,不等式化为-x+2>0,解得1≤x<2.所以f(x)>1的解集为 x2<x<2.5分(2)由题设可得,f(x)=x−1−2a,x<−1,3x+1−2a,−1≤x≤a,−x+1+2a,x>a.所以函数f(x)的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A2a−13,0,B(2a+1,0),C(a,a+1),△ABC的面积为2(a+1)2.由题设得23(a+1)2>6,故a>2.所以a的取值范围为(2,+∞).10分。