特殊的平行四边形知识梳理+典型例题
(完整)平行四边形的判定典型例题及练习
平行四边形一、知识点复习1、平行四边形的判定平行四边形的判定方法①两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
③两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
④对角线相互平分的四边形是平行四边形。
2、平行线等分线段和三角形中位线定理（1）平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等.（2）平行线等分线段定理的推论:经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边.（3）三角形的中位线:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
（4）三角形中位线定理：三角形两边中点的连线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
3、三角形的重心(1）重心的定义：三角形的三条中线交于一点，这点就是三角形的重心.（2)重心的性质：三角形的三条中线相交于一点，这点和各边中点的距离等于相应各边上中线的三分之一。
二、典型例题讲解模块1:平行四边形的判定题型1：平行四边形的判定例题1：如图所示，在平行四边形ABCD 中,CF AE ,分别是DAB ∠，BCD ∠的平分线,求证：四边形AFCE 是平行四边形.例题2：如图，在等边三角形ABC 中，D 是BC 的中点，以AD 为边向左侧作等边三角形ADE 。
（1）求CAE ∠的度数.（2）取AB 的中点F ,连接CF 、EF 。
试证明四边形CDEF 是平行四边形.例题3：如图，在平行四边形ABCD 中，BD 为对角线，F E ,是BD 上的点，且DF BE =. 求证：四边形AECF 是平行四边形。
变式练习:1。
如图，在ABC ∆中，中线BD ，CE 相交于点O ,F 、G 分别是OB 、OC 的中点,连接DE GD FG EF ,,,，求证：四边形DEFG 是平行四边形。
2。
如图，已知DE AB //,DE AB =，DC AF =，求证：四边形BCEF 是平行四边形.3.如图,四边形ABCD 中,BC AD //，作DC AE //交BC 于E 。
特殊平行四边形专题含答案
特殊平行四边形专题一．解答题（共20小题）1．如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，BD上，且DE＝CF，AF，BE相交于点G，求证：BE⊥AF．2．如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点F，∠E＝90°，ED＝EC．求证：四边形DFCE是正方形．3．已知，如图，在▱ABCD中，分别在边BC、AD上取两点，使得CE＝DF，连接EF，AE、BF相交于点O，若AE⊥BF．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若菱形ABEF的周长为16，∠BEF＝120°，求AE的长．4．如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，∠ADB＝90°，E是AB的中点，F是BD的中点，连接EF并延长交DC于点G，连接BG．（1）求证：△BEF≌△DGF；（2）证明四边形DEBG是菱形．5．如图，在正方形ABCD中，点E，F在AC上，且AF＝CE．求证：四边形BEDF是菱形．6．如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与矩形的边AD，BC交于M，N两点，连接CM，AN．（1）求证：四边形ANCM为平行四边形；（2）若AD＝4，AB＝2，且MN⊥AC，求DM的长．7．如图，正方形ABCD，G是BC边上任意一点（不与B、C重合），DE⊥AG于点E，BF ∥DE，且交AG于点F．（1）求证：AF﹣BF＝EF；（2）四边形BFDE是否可能是平行四边形，如果可能，请指出此时点G的位置，如不可能，请说明理由．8．如图，四边形ABCD中，已知AB⊥BC，CD⊥BC，且AB＝CD．（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）对角线AC，BD相交于O，AE⊥BD，垂足为E，已知AB＝3，AD＝4，求△AEO的面积．9．如图，矩形ABCD的对角线交于点O，点E是矩形外的一点，其中AE∥BD，BE∥AC．求证：四边形AEBO是菱形．10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC，对角线AC、BD交于点O，AO ＝BO，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若AB＝1，求△OEC的面积．11．如图，在矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F．（1）求证：△DOE≌△BOF；（2）若AB＝6，AD＝8，连接BE，DF，求四边形BFDE的周长．12．如图，矩形ABCD中，AB＝BC，在边AB上截取BE，使得BE＝BC，连接CE，作DF⊥EC于点F，连接BF并延长交AD于点G，连接DE．（1）求证：DE平分∠AEC；（2）若AD＝，求出DG的长．13．在边长为5的正方形ABCD中，点E在边CD所在直线上，连接BE，以BE为边，在BE的下方作正方形BEFG，并连接AG．（1）如图1，当点E与点D重合时，AG＝______；（2）如图2，当点E在线段CD上时，DE＝2，求AG的长；（3）若AG＝，请直接写出此时DE的长．14．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE．（1）求证：△BAE≌△CDE；（2）求∠AEB的度数．15．如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且BE＝DF．求证：∠BAE＝∠DAF．16．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CD到E，使DE＝CD，连接AE，OE．（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）若AD＝DE＝4，求OE的长．17．菱形ABCD中，AD＝6，AE⊥BC，垂足为E，F为AB边中点，DF⊥EF．（1）直接写出结果：EF＝_______；（2）求证：∠ADF＝∠EDF；（3）求DE的长．18．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC⊥AB，∠AOB＝60°．点E、点F分别是OB、OD的中点，连接AE、EC、CF、F A．（1）求证：四边形AECF为矩形；（2）若AB＝3，求矩形AECF的面积．19．如图，在△ABC中，∠A＝60°，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，F为BC边的中点，连接EF，DF．（1）求证：EF＝DF；（2）若BC＝6．求△DEF的周长；（3）在（2）的条件下，若EC＝BF，求四边形EFDA的面积．20．如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且CE＝DF，连接AE和BF相交于点M．求证：AE＝BF．特殊平行四边形专题参考答案与试题解析一．解答题（共20小题）1．如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，BD上，且DE＝CF，AF，BE相交于点G，求证：BE⊥AF．解：∵四边形形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝DC，∠BAD＝∠D＝90°，又∵DE＝CF，∴AE＝DF，∴在△BAE和△ADF中，，∴△BAE≌△ADF（SAS）．∴∠ABE＝∠DAF，∵∠DAF+∠BAG＝90°，∴∠ABE+∠BAG＝90°，∴∠AGB＝90°，∴BE⊥AF．2．如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点F，∠E＝90°，ED＝EC．求证：四边形DFCE是正方形．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠FDC＝∠DCF＝45°，∵∠E＝90°，ED＝EC，∴∠EDC＝∠ECD＝45°，∴∠FCE＝∠FDE＝∠E＝90°，∴四边形DFCE是矩形，∵DE＝CE，∴四边形DFCE是正方形．3．已知，如图，在▱ABCD中，分别在边BC、AD上取两点，使得CE＝DF，连接EF，AE、BF相交于点O，若AE⊥BF．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若菱形ABEF的周长为16，∠BEF＝120°，求AE的长．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵CE＝DF，∴AF＝BE，∴四边形ABEF是平行四边形，又∵AE⊥BF，∴四边形ABEF是菱形；（2）解：∵菱形ABEF的周长为16，∴AB＝BE＝4，AB∥EF，∴∠ABE＝180°﹣∠BEF＝180°﹣120°＝60°，∴△ABE是等边三角形，∴AE＝AB＝4．4．如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，∠ADB＝90°，E是AB的中点，F是BD的中点，连接EF并延长交DC于点G，连接BG．（1）求证：△BEF≌△DGF；（2）证明四边形DEBG是菱形．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠FEB＝∠FGD，∠FBE＝∠FDG，∵F是BD的中点，∴BF＝DF，在△BEF和△DGF中，，∴△BEF≌△DGF（AAS）；（2）由（1）得：△BEF≌△DGF，∴BE＝DG，∵BE∥DG，∴四边形DEBG是平行四边形，∵∠ADB＝90°，E是AB的中点，∴DE＝AB＝BE，∴四边形DEBG是菱形．5．如图，在正方形ABCD中，点E，F在AC上，且AF＝CE．求证：四边形BEDF是菱形．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝CD＝BC，∠DAE＝∠BAE＝∠BCF＝∠DCF＝45°，在△ABE和△ADE中，，∴△ABE≌△ADE（SAS），∴BE＝DE，同理可得△BFC≌△DFC，可得BF＝DF，在△ABE和△CBF中，，∴△ABE≌△CBF（SAS），∴BE＝BF，∴BE＝BF＝DE＝DF，∴四边形BEDF是菱形．6．如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与矩形的边AD，BC交于M，N两点，连接CM，AN．（1）求证：四边形ANCM为平行四边形；（2）若AD＝4，AB＝2，且MN⊥AC，求DM的长．解：（1）证明：∵在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，∴AD∥BC，AO＝CO，∴∠OAM＝∠OCN，∠OMA＝∠ONC，在△AOM和△CON中，，∴△AOM≌△CON（AAS），∴AM＝CN，∵AM∥CN，∴四边形ANCM为平行四边形；（2）∵在矩形ABCD中，AD＝BC，由（1）知：AM＝CN，∴DM＝BN，∵四边形ANCM为平行四边形，MN⊥AC，∴平行四边形ANCM为菱形，∴AM＝AN＝NC＝AD﹣DM，∴在Rt△ABN中，根据勾股定理，得AN2＝AB2+BN2，∴（4﹣DM）2＝22+DM2，解得DM＝．7．如图，正方形ABCD，G是BC边上任意一点（不与B、C重合），DE⊥AG于点E，BF ∥DE，且交AG于点F．（1）求证：AF﹣BF＝EF；（2）四边形BFDE是否可能是平行四边形，如果可能，请指出此时点G的位置，如不可能，请说明理由．解：（1）证明：∵正方形，∴AB＝AD，∠BAF+∠DAE＝90°，∵DE⊥AG，∴∠DAE+∠ADE＝90°，∴∠ADE＝∠BAF，又∵BF∥DE，∴∠BF A＝90°＝∠AED，∴△ABF≌△DAE（AAS），∴AF＝DE，AE＝BF，∴AF﹣BF＝AF﹣AE＝EF；（2）不可能，理由是：如图，若要四边形是平行四边形，已知DE∥BF，则当DE＝BF时，四边形BFDE为平行四边形，∵DE＝AF，∴BF＝AF，即此时∠BAF＝45°，而点G不与B和C重合，∴∠BAF≠45°，矛盾，∴四边形不能是平行四边形．8．如图，四边形ABCD中，已知AB⊥BC，CD⊥BC，且AB＝CD．（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）对角线AC，BD相交于O，AE⊥BD，垂足为E，已知AB＝3，AD＝4，求△AEO 的面积．（1）证明：∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴AB∥CD，∵AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴四边形ABCD为矩形；（2）解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAC＝90°，∵AB＝3，AD＝4，∴BD＝5，∵S△ABD＝AB•AD＝BD•AE，∴3×4＝5AE，∴AE＝，∵AC＝BD＝5，∴AO＝AC＝，∵AE⊥BD，∴OE＝＝＝，∴△AEO的面积＝＝．9．如图，矩形ABCD的对角线交于点O，点E是矩形外的一点，其中AE∥BD，BE∥AC．求证：四边形AEBO是菱形．证明：∵AE∥BD，BE∥AC，∴四边形AEBO是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，∴OA＝OB，∴四边形AEBO是菱形．10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC，对角线AC、BD交于点O，AO ＝BO，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若AB＝1，求△OEC的面积．（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∠ADC+∠BCD＝180°，∵∠ABC＝∠ADC，∴∠BAD＝∠BCD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∵OA＝OB，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形．（2）解：作OF⊥BC于F，如图所示．∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝1，∠BCD＝90°，AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD，∴AO＝BO＝CO＝DO，∴BF＝FC，∴OF＝CD＝，∵DE平分∠ADC，∠ADC＝90°，∴∠EDC＝45°，在Rt△EDC中，EC＝CD＝1，∴△OEC的面积＝•EC•OF＝．11．如图，在矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F．（1）求证：△DOE≌△BOF；（2）若AB＝6，AD＝8，连接BE，DF，求四边形BFDE的周长．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，DO＝BO，∴∠EDO＝∠FBO，又∵EF⊥BD，∴∠EOD＝∠FOB＝90°，在△DOE和△BOF中，，∴△DOE≌△BOF（ASA）；（2）解：∵由（1）可得，ED∥BF，ED＝BF，∴四边形BFDE是平行四边形，∵BO＝DO，EF⊥BD，∴ED＝EB，∴四边形BFDE是菱形，根据AB＝6，AD＝8，设AE＝x，可得BE＝ED＝8﹣x，在Rt△ABE中，根据勾股定理可得：BE2＝AB2+AE2，即（8﹣x）2＝x2+62，解得：，∴，∴四边形BFDE的周长＝．12．如图，矩形ABCD中，AB＝BC，在边AB上截取BE，使得BE＝BC，连接CE，作DF⊥EC于点F，连接BF并延长交AD于点G，连接DE．（1）求证：DE平分∠AEC；（2）若AD＝，求出DG的长．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AB∥DC，∠ABC＝90°，∵BC＝BE，∴CE＝BC，∵AB＝BC，∴CD＝CE，∴∠CDE＝∠CED，∵AB∥CD，∴∠CDE＝∠AED，∴∠AED＝∠DEC，∴DE平分∠AEC；（2）∵BC＝BE，∠CBE＝90°，∴∠BCE＝∠BEC＝45°，∵CD∥AB，∴∠DCE＝∠BEC＝45°，∵DF⊥CE，∴∠CDF＝45°，∴DF＝CF，∴CD＝DF，∵AB＝CD，AB＝，BC＝BE，∴BE＝DF＝CF＝BC，∵∠ADC＝90°，∴∠FDG＝45°，∴∠BEF＝∠EDF，∵BC＝CF，∠BCF＝45°，∴∠CBF＝∠CFB＝67.5°，∴∠EBF＝90°﹣67.5°＝22.5°，∠DFG＝180°﹣67.5°﹣90°＝22.5°，∴∠EBF＝∠DFG，在△DFG和△EBF中，∴△DFG≌△EBF（ASA），∴DG＝EF，∵EF＝CE﹣CF＝AB﹣BC＝，∴DG＝2．13．在边长为5的正方形ABCD中，点E在边CD所在直线上，连接BE，以BE为边，在BE的下方作正方形BEFG，并连接AG．（1）如图1，当点E与点D重合时，AG＝5；（2）如图2，当点E在线段CD上时，DE＝2，求AG的长；（3）若AG＝，请直接写出此时DE的长．解：（1）如图1，连接CG，∵四边形ABCD和四边形EBGF是正方形，∴∠CDB＝∠CBD＝45°，∠DBG＝90°，BD＝BG，∴∠CBG＝45°，∴∠CBG＝∠CBD，∵BC＝BC，∴△CBD≌△CBG（SAS），∴∠DCB＝∠BCG＝90°，DC＝CG＝5，∴G，C，D三点共线，∴AG＝＝＝5；故答案为：5；（2）如图2，过点G作GK⊥AB，交AB的延长线于K，∵DE＝2，DC＝5，∴CE＝3，∵∠EBG＝∠EBC+∠CBG＝90°，∠CBG+∠GBK＝90°，∴∠EBC＝∠GBK，∵BE＝BG，∠K＝∠BCE＝90°，∴△BCE≌△BKG（AAS），∴CE＝KG＝3，BC＝BK＝5，∴AK＝10，由勾股定理得：AG＝＝；（3）分三种情况：①当点E在CD的延长线上时，如图3，同理知△BCE≌△BKG（AAS），∴BC＝BK＝5，∵AG＝，由勾股定理得：KG＝＝，∴CE＝KG＝，此种情况不成立；②当点E在边CD上时，如图4，同理得：DE＝；③当点E在DC的延长线上时，如图5，同理得CE＝GK＝，∴DE＝5+＝，综上，DE的长是或．14．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE．（1）求证：△BAE≌△CDE；（2）求∠AEB的度数．（1）证明：∵△ADE为等边三角形，∴AD＝AE＝DE，∠EAD＝∠EDA＝60°，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA＝90°，∴∠EAB＝∠EDC＝150°，在△BAE和△CDE中，∴△BAE≌△CDE（SAS）；（2）∵AB＝AD，AD＝AE，∴AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∵∠EAB＝150°，∴∠AEB＝（180°﹣150°）＝15°．15．如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且BE＝DF．求证：∠BAE＝∠DAF．证明：四边形ABCD是菱形，∴∠B＝∠D，AB＝AD，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴∠BAE＝∠DAF．16．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CD到E，使DE＝CD，连接AE，OE．（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）若AD＝DE＝4，求OE的长．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵DE＝CD，∴DE＝AB，∴四边形ABDE是平行四边形．（2）∵AD＝DE＝4，∠ADE＝90°，∴AE＝4，∴BD＝AE＝4．在Rt△BAD中，O为BD中点，∴AO＝BD＝2．∵AD＝CD，∴矩形ABCD是正方形，∴∠EAO＝∠OAD+∠DAE＝45°+45°＝90°，∴OE＝2．17．菱形ABCD中，AD＝6，AE⊥BC，垂足为E，F为AB边中点，DF⊥EF．（1）直接写出结果：EF＝3；（2）求证：∠ADF＝∠EDF；（3）求DE的长．解：（1）∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°，∵AD＝6，F为AB边中点，∴EF＝AB＝AD＝3．故答案为：3；（2）延长EF交DA于G，∵AD∥BC，∴∠G＝∠FEB，∠GAB＝∠B，∵AF＝BF，∴△AGF≌△BEF（AAS），∴GF＝EF，∵DF⊥EF，∴DG＝DE，∴∠ADF＝∠EDF；（3）设BE＝x，则AG＝x，则DE＝DG＝6+x，∵AE2＝AB2﹣BE2＝62﹣x2，AE2＝DE2﹣AD2＝（x+6）2﹣62，∴62﹣x2＝（x+6）2﹣62，解得x＝﹣3±3，∴BE＝﹣3+3，∴DE═﹣3+3+6═3+3．18．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC⊥AB，∠AOB＝60°．点E、点F分别是OB、OD的中点，连接AE、EC、CF、F A．（1）求证：四边形AECF为矩形；（2）若AB＝3，求矩形AECF的面积．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵点E、点F分别是OB、OD的中点，∴OE＝OB，OF＝OD，∴OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC⊥AB，∠AOB＝60°，∴∠ABO＝30°，∴OA＝OB＝OE，∴AC＝EF，∴四边形AECF为矩形；（2）解：由（1）得：OA＝OE＝OC＝OF，∠AOB＝60°，∠ABO＝30°，∴△OAE是等边三角形，∠OF A＝∠OAF＝30°＝∠ABO，∴AE＝OA，AF＝AB＝3，∵AC⊥AB，∴∠OAB＝90°，∴AE＝OA＝AB＝，∴矩形AECF的面积＝AF×AE＝3．19．如图，在△ABC中，∠A＝60°，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，F为BC边的中点，连接EF，DF．（1）求证：EF＝DF；（2）若BC＝6．求△DEF的周长；（3）在（2）的条件下，若EC＝BF，求四边形EFDA的面积．（1）证明：∵BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，∴∠BDC＝∠BEC＝90°，∵BF＝CF，∴DF＝EF＝BC．（2）解：∵FE＝FB＝FC＝FD，∴∠FBE＝∠FEB，∠FCD＝∠FDC，∵∠A＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝120°，∴∠BFE+∠DFC＝180°﹣2∠ABC+180°﹣2∠ACB＝120°，∴∠EFD＝60°，∵EF＝DF，∴△EFD是等边三角形，∵EF＝BC＝3，∴△DEF使得周长为9．（3）∵EC＝BF，BF＝CF，∴EC＝BC，∴cos∠BCE＝，∴∠ECB＝45°，∵BC＝6，∴EB＝EC＝3，∵∠A＝60°，∠AEC＝90°，∴AE＝×3＝，∴AB＝BE+AE＝3+，在Rt△ADB中，∵∠ABD＝30°，∴AD＝AB＝，∴S四边形EFDA＝S△EDF+S△ADE＝×32+×××＝3+．20．如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且CE＝DF，连接AE和BF相交于点M．求证：AE＝BF．解：在正方形ABCD中，AB＝CD＝CD＝AD，∵CE＝DF，∴BE＝CF，在△AEB与△BFC中，，∴△AEB≌△BFC（SAS），∴AE＝BF．。
完整word平行四边形知识点及典型例题
一、知识点讲解： 1．平行四边形的性质：1（）两组对边分别平行；??DC）两组对边分别相等；（2??O是平行四边形?四边形ABCD）两组对角分别相等；（3??（）对角线互相平分；4?AB?.）邻角互补（5?2.平行四边形的判定：DCOAB . 矩形的性质：3.1;（）具有平行四边形的所有通性?CDCD??ABCD因为四边形是矩形;（）四个角都是直角2??O （3）对角线相等.?ABAB是轴对称图形，它有两条对称轴． (4) 矩形的判定：4 有一个角是直角的平行四边形；(1) (2)有三个角是直角的四边形；对角线相等的平行四边形；(3)是矩形. ?四边形ABCD(4)对角线相等且互相平分的四边形．两对角线相交成60°时得等边三角形。
5. 菱形的性质：D1有通性；（）具有平行四边形的所??是菱形ABCD?因为）四个边都相等；2（?OCA?（角.3）对角线垂直且平分对?6. 菱形的判定：BD?一组邻边等?（1）平行四边形??四边形ABCD是菱形.）四个边都相等2（?O?CA边形3）对角线垂直的平行四（?菱形中有一个角等于60°时，较短对角线等于边长；菱形中，若较短对角线等于边长，则有等边三角形；B菱形中，两对角线把菱形分成4个全等的直角三角形，每个直角三角形的斜边是菱形的边，两直角边分别是两对角线的一半。
菱形的面积等于两对角线长积的一半。
正方形的性质：7.CDCD1）具有平行四边形的所有通性；（???四边形ABCD是正方形O角都是直角；2）四个边都相等，四个（??（.3）对角线相等垂直且平分对角?BABA正方形的判定：8.一个直角?1（）平行四边形?一组邻边等??一个直角?（2）菱形??对角线相等）菱形?（3?. ABCD是正方形?四边形?一组邻边等矩形?（4）??对角线互相垂直?（5）矩形?．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三9. 1 遍的一半。
直角三角形斜边上的中线等于由矩形的性质得到直角三角形的一个性质：2．斜边的一半。
人教八年级数学特殊平行四边形相关知识归纳总结与例题精讲
菱形的性质
性质 1 菱形的四条边都相等； 性质 2 菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；
菱形的判定
菱形判定方法 1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
注意此方法包括两个条件： （1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂 直．
菱形判定方法 2:四边都相等的四边形是菱形．
例 1 已知：如图，四边形 ABCD 是菱形， F 是 AB 上一点， DF 交 AC 于 E． 求证：∠ AFD= ∠CBE ．
例 2 已知：如图 ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边 AD 、 BC 分别交于 E、 F． 求证：四边形 AFCE 是菱形．
然后再加上相
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例 1 已知：如图，正方形 ABCD 中，对角线的交点为 OB 上的一点， DG ⊥ AE 于 G，DG 交 OA 于 F． 求证： OE=OF ．
O， E 是
例 2 已知：如图，四边形 ABCD 是正方形，分别过点 A 、 C 两点作 l 1∥ l2，作 BM ⊥ l 1 于 M ， DN ⊥ l1 于 N ，直线 MB 、DN 分别交 l 2 于 Q、P 点．
求证：四边形 PQMN 是正方形．
例 3、（ 2008 海南） 如图， P 是边长为 1 的正方形 ABCD 对角线 AC 上一动点（ P 与 A、C 不重合），点 E 在射线 BC 上，且 PE=PB .
（ 1）求证：① PE=PD ； ② PE⊥ PD ； （ 2）设 AP=x, △PBE 的面积为 y.
A
B
E
D
C
图5
例题讲解 例一 .分析：（ 1）因为矩形四个角都是直角，因此矩形中的计算经常要用到直角三角形
第1章特殊平行四边形《特殊四边形》典型题型1 特殊四边形中的多结论题型-北师大版九年级数学上册
《特殊四边形》典型题型1 特殊四边形中的多结论题型【知识梳理】 总体解题思路和方法：①直接证明：不一定按顺序，哪个结论最好证就先证哪个； ②已证明的结论可以作为题目的已知条件；③假设法：遇到不好证的，可以假设它成立，倒过去反推，若推出的结论与题目已知条件相符，说明假设成立，即结论也成立，反之，结论错误；④涉及几何计算时，常用解题技巧是：特殊值法或字母参数法【典型例题】例1.如图，在平行四边形ABCD 中，CD=2AD ，BE ⊥AD 于点E ，F 为DC 的中点，连接EF 、BF ，下列结论：①∠ABC=2∠ABF ；②EF=BF ；③；④∠CFE=3∠DEF ；其中正确结论的个数有（ D ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4解析：多结论题型，几何综合题型，压轴题（1）数学典型模型：“等腰△+平行线=角平分线”，∵FC=BC ，FC//AB ， ∴∠CFB=∠ABF=∠CBF ，∴∠ABC=2∠ABF ，①正确；（2）数学典型模型：“中线倍长”；延长BC 交EF 的延长线于点G ，由AAS 易证△DEF ≌△CGF ，则EF=FG ，∵AD//BC ，∴∠AEB=∠EBC=90°，则BF 是Rt △EBG 斜边上的中线，∴BF=EF=FG ，②正确； （3）由△DEF ≌△CGF 可得，由BF 是中线，可得， ∴，③正确；CBADEFGFEDABC（4）依几何图形的审题技巧：想办法拉近∠CFE与∠DEF的位置距离，由AD//BG，可得∠DEF=∠G，由BF=FG可得∠G=∠FBG，由CF=CB可得∠FBG=∠CFB，∴∠DEF=∠CFB，由外角定理可得∠EFB=∠G+∠FBC=2∠FBC=2∠CFB，∴∠CFE=3∠CFB=3∠DEF，④正确，故选D.例2.已知如图，四边形ABCD为矩形，点O是AC的中点，过点O的一直线分别与AB、CD交于点E、F，连接BF交AC于点M,连接DE、BO，若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①FB⊥OC,OM=CM；②△EOB≌△CMB；③四边形EBFD 是菱形；④MB:OE=3:2，其中正确结论是___________解析：多结论题型，压轴题。
特殊平行四边形典型例题解析题
一、参考例题［例1］如下图，△ABC 中，点O 是AC 边上的一个动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F .(1)求证：EO =FO(2)当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？并说明你的结论.分析：(1)要证明OE =OF ，可借助第三条线段OC ，即证：OE =OC ，OF =OC ，这两对线段又分别在两个三角形中，所以只需证△OEC 、△OCF 是等腰三角形，由已知条件即可证明.(2)假设四边形AECF 是矩形，则对角线互相平分且相等，四个角都是直角. 由已知可得到：∠ECF =90°，由(1)可证得OE =OF ，所以要使四边形AECF 是矩形,只需OA =OC .证明：(1)∵CE 、CF 分别是∠ACB 、∠ACD 的平分线. ∴∠ACE =∠BCE ，∠ACF =∠DCF∵MN ∥BC ∴∠OEC =∠ECB ，∠OFC =∠FCD ∴∠ACE =∠OEC ，∠ACF =∠OFC ∴OE =OC ，OF =OC ∴OE =OF(2)当点O 运动到AC 的中点时，即OA =OC 又由(1)证得OE =OF∴四边形AECF 是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形) 由(1)知：∠ECA +∠ACF =21∠ACB +21∠ACD =21 (∠ACB +∠ACD )=90° 即∠ECF =90° ∴四边形AECF 是矩形.因此：当点O 运动到AC 的中点时，四边形AECF 是矩形.［例2］如下图，已知矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于O ，OF ⊥AD 于F ，OF =3 cm ，AE ⊥BD 于E ，且BE ∶ED =1∶3，求AC 的长.分析：本题主要利用矩形的有关性质，进行计算.即：由矩形的对角线互相平分且相等；可导出BE=OE，进而得出AB=AO，即得出BE=OF=3 cm，求出BD 的长，即AC的长.解：∵四边形ABCD是矩形. ∴AC=BD,OB=OD=OA=OC又∵BE∶ED=1∶3 ∴BE∶BO=1∶2 ∴BE=EO又∵AE⊥BO∴△ABE≌△ADE∴AB=OA即AB=AO=OB∴∠BAE=∠EAO=30°，∠F AO=30°∴△ABE≌△AOF∴BE=OF=3 cm,∴BD=12 cm ∴AC=BD=12 cm二、参考练习1.如图，有一矩形纸片ABCD，AB=6 cm,BC=8 cm，将纸片沿EF折叠，使点B与D重合，求折痕EF的长.解：连结BD、BE、DF由折叠的意义可知：EF⊥BD，EF平分BD.∴BE=ED,BF=FD∵四边形ABCD为矩形∴AB=CD，AD=BC，∠C=90°，AD∥BC∴∠EDO=∠FBO∵点B和D重合∴BO=DO，∠BOF=∠DOE∴△BOF≌△DOE∴ED=BF，∴ED=BF=FD=BE∴四边形BFDE是菱形S菱形=21×BD×EF=BF×CD∵BF=DF，∴可设BF=DF=x则FC=8－x在Rt△FCD中，根据勾股定理得：x2=(8－x)2+62x =425 ∴6425682122⨯=⨯+⨯EF EF =7.5因此，折痕EF 的长为7.5 cm.2.当平行四边形ABCD 满足条件_________时，它成为矩形(填上你认为正确的一个条件即可).答案：∠BAC =90°或AC =BD 或OA =OB 或∠ABC +∠ADC =180°或∠BAD +∠BCD = 180°等条件中的任一个即可.典型例题例1 如图，在菱形ABCD 中，E 是AB 的中点，且，求：（1）的度数；（2）对角线AC 的长；（3）菱形ABCD 的面积．分析 （1）由E 为AB 的中点，，可知DE 是AB 的垂直平分线，从而，且，则是等边三角形，从而菱形中各角都可以求出．（2）而，利用勾股定理可以求出AC ．（3）由菱形的对角线互相垂直，可知解 （1）连结BD ，∵四边形ABCD 是菱形，∴是AB 的中点，且，∴∴是等边三角形，∴也是等边三角形．∴（2）∵四边形ABCD 是菱形，∴AC 与BD 互相垂直平分，∴∴，∴（3）菱形ABCD的面积说明：本题中的菱形有一个内角是60°的特殊的菱形，这个菱形有许多特点，通过解题应该逐步认识这些特点．例2 已知：如图，在菱形ABCD中，于于F．求证：分析要证明，可以先证明，而根据菱形的有关性质不难证明，从而可以证得本题的结论．证明∵四边形ABCD是菱形，∴，且，∴，∴，，∴，∴例3 已知：如图，菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的一点，，，求的度数.解答：连结AC. ∵四边形ABCD为菱形，∴，.∴与为等边三角形. ∴∵，∴∴∴∵，∴为等边三角形. ∴∵，∴∴说明本题综合考查菱形和等边三角形的性质，解题关键是连AC，证.例4 如图，已知四边形和四边形都是矩形，且．求证：垂直平分．分析由已知条件可证明四边形是菱形，再根据菱形的对角线平分对角以及等腰三角形的“三线合一”可证明垂直平分．证明：∵四边形、都是矩形∴，，，∴四边形是平行四边形∵，∴在△和△中∴△≌△∴，∵四边形是平行四边形∴四边形是菱形∴平分∴平分∵∴垂直平分．例5 如图，中，，、在直线上，且．求证：．分析要证，关键是要证明四边形是菱形，然后利用菱形的性质证明结论．证明∵四边形是平行四边形∴，，，∴∵，∴在△和△中∴△≌△∴∵∴同理：∴∵∴四边形是平行四边形∵∴四边形是菱形∴．典型例题例1 一个平行四边形的一个内角是它邻角的3倍，那么这个平行四边形的四个内角各是多少度？分析根据平行四边形的对角相等，邻角互补可以求出四个内角的度数．解设平行四边形的一个内角的度数为x，则它的邻角的度数为3x，根据题意，得，解得，∴∴这个平行四边形的四个内角的度数分别为45°，135°，45°，135°．例2 已知：如图，的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，的周长比的周长多8cm，求这个平行四边形各边的长．分析由平行四边形对边相等，可知平行四边形周长的一半＝30cm，又由的周长比的周长多8cm，可知cm，由此两式，可求得各边的长．解∵四边形为平行四边形，∴，∴，∴∴答：这个平行四边形各边长分别为19cm，11cm，19cm，11cm．说明：学习本题可以得出两个结论：（1）平行四边形两邻边之和等于平行四边形周长的一半．（2）平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形周长之差等于邻边之差．例 3 已知：如图，在中，交于点O，过O点作EF交AB、CD于E、F，那么OE、OF是否相等，说明理由．分析观察图形，，从而可说明证明在中，交于O，∴，∴，∴，∴例4 已知：如图，点E在矩形ABCD的边BC上，且，垂足为F。
平行四边形知识点总结及分类练习题
平行四边形知识点总结及分类练习题一、知识点总结平行四边形是几何学中一个重要的概念，其性质和判定方法对于理解几何学中的其他问题有着至关重要的作用。
以下是对平行四边形知识点的总结：1、定义：平行四边形是一个四边形，其中相对的两边平行且相等。
可以用符号“▭”表示。
2、性质：1)对边平行：平行四边形的对边平行且相等。
2)对角相等：平行四边形的对角相等，邻角互补。
3)平行四边形的面积等于其底乘高。
3.判定方法：1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
4)对角线互相平分的四边形是平行四边形。
5)邻角互补的四边形是平行四边形。
4.特殊平行四边形：矩形、菱形和正方形都是特殊的平行四边形，它们分别具有以下性质：1)矩形：对角线相等，四个角都是直角。
2)菱形：对角线垂直且平分，四边相等。
3)正方形：对角线垂直且相等，四个角都是直角。
二、分类练习题1、选择题：1)下列哪个条件可以判定一个四边形为平行四边形？A.一组对边相等，一组对角相等B.一组对边平行，另一组对边相等C.一组对角相等，另一组对边平行D.一组对角相等，一组邻角互补答案：(C)一组对角相等，另一组对边平行。
因为一组对角相等，另一组对边平行的四边形可以由一组对边平行，另一组对边相等的四边形经过平移得到，因此选项C正确。
其他选项都不满足平行四边形的定义或判定方法。
2)下列哪个条件可以判定一个四边形为矩形？A.三个内角都是直角B.对角线相等且互相平分C.对角线互相垂直且平分D.一组对边平行且相等，一组邻角互补答案：(B)对角线相等且互相平分的四边形是矩形。
因为矩形的定义是对角线相等的平行四边形，而对角线相等且互相平分的四边形是平行四边形，因此选项B正确。
其他选项分别是矩形的定义或判定方法的一部分，但不足以单独判定一个四边形为矩形。
特殊平行四边形知识点总结及题型一、平行四边形的性质：1、平行四边形的对边平行且相等；2、平行四边形的对角相等；3、平行四边形的对角线互相平分。
平行四边形10道经典例题
平行四边形经典例题一、已知平行四边形的性质求角度例题：在平行四边形ABCD 中，∠A 的度数比∠B 的度数小40°，求∠A 和∠B 的度数。
解析：因为平行四边形的邻角互补，即∠A + ∠B = 180°。
又已知∠A 比∠B 小40°，即∠B - ∠A = 40°。
联立这两个方程可得：∠A = 70°，∠B = 110°。
二、利用平行四边形的性质求边长例题：平行四边形ABCD 的周长为40，AB = 6，求BC 的长。
解析：平行四边形的对边相等，所以AB = CD = 6，BC = AD。
周长为40，则2(AB + BC) = 40，即2×(6 + BC) = 40，解得BC = 14。
三、判断四边形是否为平行四边形例题：已知四边形ABCD 中，AB∠CD，AB = CD，判断四边形ABCD 是否为平行四边形。
解析：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以四边形ABCD 是平行四边形。
四、根据平行四边形的性质求线段长度例题：在平行四边形ABCD 中，AC、BD 是对角线，AC = 10，BD = 8，且AC 与BD 的夹角为60°，求AB 的长度。
解析：过 A 作AE∠BD 于E。
设O 为AC 与BD 的交点，则AO = 5，BO = 4。
在直角三角形AOE 中，因为∠AOE = 60°，所以OE = AO×cos60° = 5×1/2 = 2.5，AE = AO×sin60° = 5×√3/2。
在直角三角形ABE 中，根据勾股定理可得AB = √(AE² + BE²) = √[(5×√3/2)²+(4 + 2.5)²]。
五、利用平行四边形的性质证明线段相等例题：在平行四边形ABCD 中，E、F 分别是AB、CD 的中点，连接DE、BF。
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特殊的平行四边形
知识点一：矩形
1、概念有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
2、性质定理（1）矩形的四个角是直角
（2）矩形的对角线相等且互相平分
（3）矩形既是中心对称图形又是轴对称图形
直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
特殊运用：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
3、判定定理
（1）有一个角为直角的平行四边形叫矩形
（2）对角线相等平行四边形为矩形
（3）有三个角是直角的四边形是矩形
推论：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形
归纳补充：
1、矩形是对称图形，对称中心是，矩形又是对称图形，对称轴有条
2、矩形中常见题目是对角线相交成600或1200角时，利用直角三角形、等边三角形等图形的性质解决问题
3、矩形的面积S矩形=长×宽=ab
知识点二：菱形
1、定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
2、性质定理：
（1）菱形的四条边都相等
（2）菱形的对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角
（3）菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是都是它的对称轴
菱形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心
2、判定定理：
（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形
（3）四条边都相等的四边形是菱形
※注意：对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，对角线互相垂直平分的四边形才是菱形
归纳补充:
1、菱形被对角线分成四个全等的三角形和两对全等的三角形
2、菱形的面积可以用平行四边形面积公式计算，也可以用两对角线积的来计算
3、菱形常见题目是内角为1200或600时，利用等边三角形或直角三角形的相关知识解决题目知识点三：正方形
1、定义：有一组邻边相等的矩形叫正方形
2、性质定理
（1）正方形的四条边都相等，四个角是直角。
（2）正方形的两条对角线相等且互相垂直平分，每一组对角线平分一组对角
（3）正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形
3、判定定理
（1）有一组邻边相等的矩形是正方形
（2）对角线相互垂直的矩形是正方形
（3）对角线相等的菱形是正方形
（4）有一个角是直角的菱形是正方形
方法总结：
（1）判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：
先证它是矩形，再证有一组邻边相等。
先证它是菱形，再证有一个角是直角。
（2）判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：
先证明它是平行四边形；再证明它是菱形（或矩形）；最后证明它是矩形（或菱形） 注意：
1、菱形、正方形具有平行四边形的所有性质，正方形具有以上特殊四边形的所有性质。
这四者之间的关系可表示为：
正
平行四边形矩形
菱形
方形
2、正方形也既是 对称图形，又是 对称图形，有 条对称轴
3、几种特殊四边形的性质和判定都是从 、 、 三个方面来看的，要注意它们的区别和联系
4、正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形
5、正方形的面积
设正方形边长为a ，对角线长为b ，则S 正方形=2
2
2
b a
知识点四、梯形
1、定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形（上底，下底，腰）
2、特殊的梯形：
直角梯形：有一个角是直角的梯形 等腰梯形：两腰相等的梯形 3、等腰梯形性质：
（1）等腰梯形同一底边上的两个底角相等 （2）等腰梯形的对角线相等 4、等腰梯形的判定：
1）证明两腰相等 2）同一底边上两个底角相等的梯形是等腰梯形 5、面积：面积=（上底+下底）高÷2
6、关注：梯形中常见的几种辅助线的画法. 对角线相等的梯形是等腰梯形,但不能作为定理.
补充：梯形的中位线定理，尤其关注其证明方法.
梯形中位线定理：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。
梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
※注：已知中位线长度和高，就能求出梯形的面积．
★中位线在关于梯形的各种题型中都是一条得天独厚的辅助线。
典型例题
题型一菱形的性质
【例1】如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC=28°，则∠OBC的度数为（）
A．28°B． 52°C．62°D． 72°
AB ．那么，菱形ABCD的面积是，【巩固1】菱形ABCD中，AE垂直平分BC，垂足为E，4cm
对角线BD的长是．
（例1图）（巩固1图）
【巩固2】如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，求证：∠DHO=∠DCO．
【例2】如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=60°，∠FAC、∠ECA是△ABC的两个外角，AD平分∠FAC，CD平分∠ECA．求证：四边形ABCD是菱形．
【巩固】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作EF⊥AC交BC于点E，交AD于点F，连接AE、CF．则四边形AECF是（）
A. 梯形B．矩形B．菱形D．正方形
题型三矩形的性质
【例3】矩形具有而菱形不具有的性质是（）
A．两组对边分别平行B．对角线相等
C．对角线互相平分D．两组对角分别相等
【巩固1】矩形的两条对角线所成的钝角是120°，若一条对角线的长为2,那么矩形的周长为（）
A、6
B、5.8
C、2（1+ 3 ）
D、5.2 【巩固2】如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1、S2的大小关系是（）
A．S1＞S2 B．S1=S2 C．S1＜S2 D．3S1=2S2
【例4】如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过A 点作BC 的平行线交CE 的 延长线于点F ，且AF=BD ，连接BF ． （1）BD 与CD 有什么数量关系，并说明理由；
（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形AFBD 是矩形？并说明理由．
题型五 直角三角形斜边中线定理
【例5】如图，O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，M 是AD 的中点，若AB=5，AD=12，则四边形 ABOM 的周长为__________ 题型六 矩形的翻折问题
【例6】 如图，将矩形纸ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH ， 若EH ＝3厘米，EF ＝4厘米，则边AD 的长是___________厘米.
F
E
D C
B
A
（例5图） （例6图） （例7图） 题型七：正方形的性质
【例7】如图，正方形ABCD 的面积为256，点F 在CD 上，点E 在CB 的延长线上，且20=⊥AF AF AE ，， 则BE 的长为____________ .
【巩固】如图，ABCD 是正方形，点G 是BC 上的任意一点，AG DE ⊥于E ，BF//DE ，交AG 于F ．
B F C
A H D
E G
求证：AF=BF+EF
题型八 正方形的判定
【例8】已知：如图，△ABC 中，∠ABC=90°，BD 是∠ABC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥BC 于点F ．求证：四边形DEBF 是正方形．
D
C B
A E
F
G。