高中数学必修一《数形结合专题复习》优秀教学设计
高三数学二轮复习专题辅导(1)数形结合精品教学案
专题一】数形结合思想考情分析】在高考题中，数形结合的题目出现在高中数学知识的方方面面上，把图象作为工具、载体，以此寻求解题思路或制定解题方案，真正体现数形结合的简捷、灵活特点的多是填空小题。
从近三年新课标高考卷来看，涉及数形结合的题目略少，预测2020 年可能有所加强。
因为对数形结合等思想方法的考查，是对数学知识在更高层次的抽象和概括能力的考查，是对学生思维品质和数学技能的考查，是新课标高考明确的一个命题方向。
1．数形结合是把数或数量关系与图形对应起来，借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研究图形的性质，是一种重要的数学思想方法。
它可以使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化。
“数缺形时少直观，形少数时难入微” ，利用数形结合的思想方法可以深刻揭示数学问题的本质。
2．数形结合的思想方法在高考中占有非常重要的地位，考纲指出“数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想思想方法的考查，注重对数学能力的考查” ，灵活运用数形结合的思想方法，可以有效提升思维品质和数学技能。
3．“对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次的抽象和概括的考查，考查时要与数学知识相结合”，用好数形结合的思想方法，需要在平时学习时注意理解概念的几何意义和图形的数量表示，为用好数形结合思想打下坚实的知识基础。
4．函数的图像、方程的曲线、集合的文氏图或数轴表示等，是“以形示数” ，而解析几何的方程、斜率、距离公式，向量的坐标表示则是“以数助形” ，还有导数更是数形形结合的产物，这些都为我们提供了“数形结合”的知识平台。
5．在数学学习和解题过程中，要善于运用数形结合的方法来寻求解题途径，制定解题方案，养成数形结合的习惯，解题先想图，以图助解题。
用好数形结合的方法，能起到事半功倍的效果，“数形结合千般好，数形分离万事休” 。
纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数” 。
数学思想方法之数形结合教学设计
数学思想方法之数形结合教学设计一、教学目标：1.了解数形结合的概念和重要性；2.培养学生的数学思维能力和观察能力；3.提高学生解决问题的能力和创造力。
二、教学重难点：1.数形结合的概念和应用；2.培养学生的观察能力；3.教学过程中如何引导学生思考和解决问题。
三、教学准备：1.教学工具：数学教具、幻灯片等；2.教学素材：与数形结合相关的题目和例题。
四、教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些图形，引导学生思考图形和数字之间的关系，提出“数形结合”这一概念，并向学生解释数形结合在数学中的意义和重要性。
2.理解数形结合（10分钟）3.数形结合的应用（15分钟）通过一道应用题，引导学生运用数形结合的思想来解决问题。
例如，题目为：一条长方形的周长是20厘米，它的长比宽多2倍，求长方形的面积。
引导学生首先通过周长计算出长方形的宽，然后根据长和宽的关系得到长方形的面积。
4.拓展应用（10分钟）给学生一些拓展性的应用题，让他们运用数形结合的思想来解决问题。
例如，通过圆的直径计算圆的周长和面积，通过正方体的体积计算正方体的边长等。
5.练习（15分钟）配发练习题给学生，让他们独立完成，然后讲解答案，纠正错误，巩固所学内容。
6.展示和总结（10分钟）邀请一些学生上台展示他们解决问题的方法和思路，然后对整个课堂的学习内容进行总结，强调数形结合思想方法在解决实际问题中的重要性。
7.课后作业（5分钟）布置课后作业，要求学生运用数形结合的思想解决问题。
五、教学反思通过本节课的教学设计，学生能够了解数形结合的概念和应用，并能够运用数形结合的思想方法解决问题。
通过培养学生的观察能力和创造力，提高了学生解决问题的能力和数学思维能力，达到了教学目标。
同时，通过与学生的互动和展示，增强了学生的参与性和积极性，使学生对数形结合有了更深入的理解。
高三数学：数形结合思想辅导教案
题型三 利用数形结合求最值
例3(2014·北京)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m，0)(m>0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为()
A.7 B.6 C.5 D.4
点评利用数形结合求最值的方法步骤
第一步：分析数理特征，确定目标问题的几何意义.一般从图形结构、图形的几何意义分析代数式是否具有几何意义.
点评利用数形结合解不等式或求参数的方法
求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决问题，往往可以避免烦琐的运算，获得简捷的解答.
变式训练2若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则a的取值范围是()
A.(－∞，＋∞)B.(－2，＋∞)
第二步：转化为几何问题.
第三步：解决几何问题.
第四步：回归代数问题.
第五步：回顾反思.应用几何意义数形结合法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：(1)比值——可考虑直线的斜率；(2)二元一次式——可考虑直线的截距；(3)根式分式——可考虑点到直线的距离；(4)根式——可考虑两点间的距离.
数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关系的精确刻画与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决.数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.
数形结合 教案
数形结合教案教案标题：数形结合教学目标：1. 通过数形结合的学习，培养学生的数学思维和几何思维能力。
2. 使学生能够理解数学与几何的联系，掌握数形结合的基本概念和方法。
3. 提高学生解决实际问题的能力，培养学生的创新思维和合作意识。
教学内容：1. 数形结合的概念：介绍数学与几何的联系，引导学生理解数形结合的概念及其重要性。
2. 数形结合的方法：讲解数形结合的基本方法，包括数学问题的几何解法和几何问题的数学解法。
3. 数形结合的应用：通过实例演示，让学生了解数形结合在实际问题中的应用，并进行相关练习。
教学步骤：1. 导入：通过展示一些几何图形和数学问题，引起学生对数形结合的兴趣和思考。
2. 概念讲解：简要介绍数形结合的概念和意义，引导学生理解数学与几何的联系。
3. 方法讲解：详细讲解数形结合的基本方法，包括数学问题的几何解法和几何问题的数学解法。
4. 应用演示：通过实例演示，让学生了解数形结合在实际问题中的应用，并进行相关练习。
5. 拓展练习：提供一些拓展练习，让学生运用数形结合的方法解决更复杂的问题。
6. 总结归纳：对本节课的内容进行总结归纳，强调数形结合的重要性和实际应用价值。
7. 作业布置：布置相关作业，巩固学生对数形结合的理解和应用能力。
8. 反馈评价：对学生的作业进行评价和反馈，及时纠正错误，鼓励正确的解题思路和方法。
教学资源：1. 教学课件：包括数形结合的概念、方法和应用演示等内容。
2. 实例图片：提供一些实际问题的几何图形和数学问题，供学生观察和分析。
3. 练习题集：包括基础练习和拓展练习，供学生巩固和拓展数形结合的能力。
教学评估：1. 课堂参与：观察学生在课堂上的积极参与程度，包括思考问题、回答问题和与他人合作解决问题的能力。
2. 练习成绩：评估学生在课后练习中的表现，包括对数形结合的理解和应用能力的掌握情况。
3. 作业评价：对学生的作业进行评价和反馈，及时纠正错误，鼓励正确的解题思路和方法。
数形结合一等奖教学设计
数形结合一等奖教学设计一、教学目标1、知识与技能目标（1）学习数形结合的内容和基本原理；（2）理解数形结合中的内容，并能用数形结合的方法解决实际道题；（3）掌握表格类、图表类、网状类等数形结合的形式，并根据数形结合的内容进行正确的数据分析；（4）学习数形结合的运用，掌握数形结合的解题技巧，并能应用到实际的练习中去。
2、情感与价值观目标（1）培养学生的分析推理能力，增强学生的解题思维能力；（2）让学生懂得重视数据分析，理解数据分析的重要性；（3）认识和尊重科学技术，培养学生的科技素养，提高学生的数学素质。
二、教学内容1、数形结合的内容数形结合的内容包括表格类、图表类和网状类：（1）表格类：表格类是以信息的集合的形式展示给人们，它可以巧妙的利用行和列的分类，分析同一类事物的不同方面，进而形成表格，比如柱形图、饼图、折线图等；（2）图表类：图表类由一些实心圆组成，通过它们的形状、颜色和大小比较来表达信息，比如条形图、面积图和点图等；（3）网状类：网状类是指以网状的形式展示信息。
通过不同的线段表示相关联的各个信息，从而形成多边形结构，比如堆积图、树状图等。
2、数形结合的基本原理数形结合的基本原理是把数据和图形进行结合，更加直观的展示出数据，从而可以更快速的分析和推理出相关结论。
三、教学方法1、讲授教学法本节课采用讲授教学法，先对数形结合的内容、原理进行讲解，接着给出一些例子来详细介绍各种数形结合的形式及其特点，最后指导学生结合例题进行训练，加强学生掌握数形结合的能力。
2、演示教学法本节课采用演示教学法，先由教师使用软件或其他工具对数形结合的原理进行演示，具体说明其中的各种方法和步骤，实现数据分析的目标，然后给学生提供一些数形结合的例题，通过演示指导学生掌握其中的解题技巧。
四、教学步骤1、学习准备（1）准备教学课件：教学课件包括数形结合的内容介绍、相关图形演示、解题技巧等；（2）准备教学用具：由于本课程要求教师使用相关软件来演示数形结合的原理，所以要准备相应的教学用具，包括计算机、投影仪等；（3）准备教学实物：教师要准备一些相关的教学实物来帮助学生更好的理解数形结合，如画图工具、图表等。
高考数学复习数形结合教案
数形结合思想教学设计一、考情分析在高考题中，数形结合的题目出现在高中数学知识的方方面面上，把图象作为工具、载体，以此寻求解题思路或制定解题方案，真正体现数形结合的简捷、灵活特点的多是填空小题。
从近三年新课标高考卷来看，涉及数形结合的题目略少，预测2013年可能有所加强。
因为对数形结合等思想方法的考查，是对数学知识在更高层次的抽象和概括能力的考查，是对学生思维品质和数学技能的考查，是新课标高考明确的一个命题方向。
1．数形结合是把数或数量关系与图形对应起来，借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研究图形的性质，是一种重要的数学思想方法。
它可以使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化。
“数缺形时少直观，形少数时难入微”，利用数形结合的思想方法可以深刻揭示数学问题的本质。
2．数形结合的思想方法在高考中占有非常重要的地位，考纲指出“数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想思想方法的考查，注重对数学能力的考查”，灵活运用数形结合的思想方法，可以有效提升思维品质和数学技能。
3．“对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次的抽象和概括的考查，考查时要与数学知识相结合”，用好数形结合的思想方法，需要在平时学习时注意理解概念的几何意义和图形的数量表示，为用好数形结合思想打下坚实的知识基础。
4．函数的图像、方程的曲线、集合的文氏图或数轴表示等，是“以形示数”，而解析几何的方程、斜率、距离公式，向量的坐标表示则是“以数助形”，还有导数更是数形形结合的产物，这些都为我们提供了“数形结合”的知识平台。
5．在数学学习和解题过程中，要善于运用数形结合的方法来寻求解题途径，制定解题方案，养成数形结合的习惯，解题先想图，以图助解题。
用好数形结合的方法，能起到事半功倍的效果，“数形结合千般好，数形分离万事休”。
纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。
高中数学新北师大版精品教案《高考专题数形结合思想》
高考第一轮复习 专题二数形结合思想教学设计教材分析： “数形结合思想”是数学高考重要的几个数学思想之一，，数是指数量关系，形是指几何图形。
数形结合就是根据数与形之间的对应关系进行数与形的相互转化，将反应问题的抽象数量关系与直观的几何图形结合起来，也是将抽象思维和形象思维有机结合起来的一种解决问题的重要思想方法。
数形结合思想就是通过"以形助数"或"以数解形”达到化繁为简的解题效果。
学情分析：初次接触数形结合类型题目学生无从下手，在这方面比较薄弱，所以本节课从两个角度“利用数形结合思想研究函数的零点、方程的根、图像的交点问题”和“利用数形结合思想解决最值问题”下手，从简单问题入手，让学生更好的将数与形结合起来，并通过变式训练让学生思考巩固掌握。
学习目标1、了解“数形结合思想”在高中解题中的重要性，通过领会“数形结合思想”方法使学生具备运用“数形结合思想”握解问题的能力。
2、能利用“数形结合思想”研究函数的零点、方程的根、图像的交点问题，能利用“数形结合思想”解决最值问题。
3、培养学生主动运用“数形结合思想”解题的意识，掌握将代数问题转化为几何问题，几何问题转化为代数问题的技巧，并在解题过程中进一步培养学生观察分析能力。
教学重点：“数形结合思想”的实质，培养运用“数形结合思想”解题的能力。
教学难点：解题过程中如何将数与形相互结合，达到"以形助数"和"以数解形"的目的。
教学方法：多媒体教学过程一、利用“数形结合思想”研究函数的零点、方程的根、图像的交点问题例题讲解1、函数()4sin x x x f -=π的零点个数为 （ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8例题讲解2、（2021贵州八校联考）若关于x 的方程312=+x ax 的正实数解有且仅有一个，则实数a 的取 值范围是 ( )A. ()0,∞-B. {}2]0,(⋃-∞C. ),0[+∞D. {}2,0[-⋃+∞变式1：把一个正实数改成两个正实数解会怎样？思考：若构造成函数 3=y 和 21x ax y += ，怎么解答？二、利用“数形结合思想”解决最值问题例题讲解3、(2021·开封二模)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ y ≤3x －2x －2y ＋1≤02x ＋y ≤8，则y x －1的最小值是( ) A.12B ．1C ．2D ．4注;易知1-x y 表示可行域内的点与点(1,0)连线的斜率变式1：已知条件不变，求目标函数y x z -=2最大值。
《数形结合》教学设计
《数形结合》教学设计教学设计：一、谈话导入师：这节课咱们一起研究（齐读课题）——数形转化（课前板书）转化策略我们非常熟悉，请看，研究分数加减法时，通常把异分母分数转化成同分母分数再计算。
这是数与数之间的转化。
师：研究圆的面积时，是将圆转化成近似长方形，从而得出圆面积计算公式。
这是形与形之间的转化。
师：“数”和“形”是数学中最主要的研究对象。
（板书：数形）那么，数和形之间有没有关系呢？这节课咱们就重点来研究研究。
请看二、初步感知出示例题1/2+1/4……师：观察这个算式，他有什么特点？生：后一个分数是前一个分数的一半（1/2）（分子都是1；分母依次乘2……）师：一起看看，1/4是1/2的一半，……师：你想怎么算？生：通分（可能有同学会找规律）师：这里是四个分数相加，如果再继续加上前一个数的一半，（是多少）再加呢，再加呢，再加呢，出示……，省略号是什么意思？生：后面还有很多数，无数个师：“无数个”就是没有尽头的意思，按照这样的规律没有尽头的加下去，它的和等于多少呢？师：看到数，咱们还可以想想形！请，大家借助图形找找感觉。
打开练习纸（出示练习纸）请你从这三个图形中任意找一个，然后在你选择的图形中找到它的1/2，在1/2的基础上再加上它的1/4，再加上它的……，按算式要求一直加下去，看看能不能找到和是多少。
生：操作，师巡视师：我们来看几个同学的作品，出示圆的，如果继续加下去，下一个数在哪里生：加在空白部分。
师：算式的意思就是在空白处不停地加下去。
再看这个同学的出示线段图，算式中的省略号在哪里生：空白处师：感受一下，这样加下去，和应该是多少？生：有人说1，有人说无限接近1师：老师用正方形再来演示一下加的过程。
【演示】按这样的规律加下去，和是多少？生：有人说1，有人说无限接近1师：意见不统一了，我们不急着得到最终答案，先来看看同学们画图的收获。
刚开始大家看到这个算式一点感觉都没有，不知道和是多少。
通过画图，现在同学们知道它的和与谁有关系？生：1师：无论觉得等于1，还是接近1，比1差一点，起码我们有了一个方向。
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y
1 1
y c y c
y x c y c
y c
应用三 三角函数、平面向量问题
1.解不等式 sin x 1 2
借助三角函数图形解决此类问题。
第一小题是主 要是复习三角 函数的图像性 质，借助图形 可以非常直观 的解决该题。 对于第二小 题，主要是引 导学生如何将 题目转化为熟 悉的三角函数 模型。
,)的最
小值是
.
借助图形，分析问题。
形让学生体会 到数形结合的 魅力。
幕上，让学 生去思考。
y
-1
2
x
给出“数形结合”思想的要义： 数形结合思想是高中四大数学思想方法之一， 它就是将抽象的数学语言和直观的图像结合 起来，通过“以形助数”和“以数解形”，使复 杂 问题简单化、抽象问题具体化，从而起到优化 解题途径的目的。 二、统筹归类，优化解题： 应用一 集合与常用逻辑用语问题 1. (2011 年广东)已知集合 A {(x, y) | x, y 为实
2. （2011 浙江卷）若平面向量, 满足 a 1, 1， 引导学生归纳
且以向量, 为邻边的平行四边形的面积为 1 ，则 与 数形结合在高
2
考中的适用范
的夹角 的取值范围是
。
围与常用方
法，掌握数形
二、 课堂小结，归纳方法 1．数形结合在高考中的适用范围 主要是高考的客观题，借助图形，可以很 快速的解决问题。 2．数形结合的常用方法
让学生自 己做题并 进行自我 的查漏补 缺。
11.（2010
年湖南卷）
min|a,b|=
a , b,a a源自b b若函数 f (x)
min||x| |x+t||(x ,)的图象关于 x 1 对称，则 t 的值 2
是
.
2.（2012 年浙江卷）设函数 f (x) 是定义在 R 上的周期为
能力。思考题 3 为下节课做 准备。
教学设计
课题
数形结合专题复习
知识目标：掌握数形结合的思想方法，特别是在高考的问题中，能借助图形，
教学 目标
优化解题途径，提高学习效率。 能力目标：借助图形，通过直观感知，增强学生的抽象思维能力，灵活运用 数学的知识进行独立思考和探索。 情感目标：通过几类问题，让学生从图形中寻找解题的乐趣，并激发学生学
应用二 函数与方程、不等式问题
1.1.当 k 取何值时，方程 3x 1 k 有一个解？有两
个解？没有解？
2.函数 f (x) ex x 2 的零点个数为 （ ）
A．0 B．1
C．2 D．3
3.已知函数 y x 3 3x c 的图象与 x 轴恰有两个公
共点，则 c _____
给出数形结合 思想的要义， 让学生了解数 形结合思想在 高中数学中的 地位与作用。
2 的偶函数，当 x 0,1时， f( x ) x 1，则 f ( 3)
2
______
3.(2012 年天津卷) 函数 f (x)=2x +x3 2 在区间 (0,1) 内
的零点个数是（ ）
A．0 B．1
C．2
D．3
思考题 1. (2011 年上海卷)在正三角形 ABC 中，D 是 BC
上的点，若 AB=3，BD=1，则 AB AD =___
数,且 x2 y2 1 , B {(x, y) | x, y 为实数,且
y x ,则 A B 的元素个数为 ( )
A．0 B．1
C．2
D．3
1. 利用解析几何中圆与直线的内容解决集合中的关
系问题。
2.
3. 2.若集合 A= x x 2或x 1 ,B=x a x a 1,且
B A ,则实数 a 的取值范围为______ 利用数轴解决集合的有关运算和集合的关系问 题。
一、 导入：
从实际的高考 教 师 在 课
用 2006 年浙江省的高考题作为课前练习，让学生先思考 如何快速又准确地去解决这道题。
题中慢慢引入 课题，通过图
前先将此 题放在屏
（2006 年浙江卷）对 a,b , 记 max|a,b|=
a, a b b, a＜b
函数
f（x）＝max||x+1|
|x-2||(x
结合的数学思 想，培养学习 数学的兴趣， 享受获得成功 的喜悦。
借助于数轴，直角坐标系，函数图形，复平面等，
将代数问题转化为几何问题。
四、随堂练习
及时练习巩 固，提高实践
三角与平 面向量学 生比较熟 悉，给学生 足够的时 间去思考， 教师引导 学生利用 三角图像 和直角坐 标系去解 决此类问 题，但不可 操之过急。
从最常用的、 简单的数形结 合题型开始， 让学生体会数 形结合思想在 数学中的广泛 应用。
通过本类型（1 至 3 小题）的 问题，复习函 数的图形变 换，在图形中 非常直观的把 方程的根（函 数的零点）的 问题转化为两 个函数的交点 问题。
让学生自 己做题，教 师从学生 的解题过 程中寻找 学生存在 的问题，并 查漏补缺。
2. (2011 年湖北卷)已知函数 f (x) 3 sinx cos x ，若 f (x) 1，则 x 的取值范围为___
3.已知 (x 2)2 (y 2)2 2 ，（1）求 x2 y 2 的最值；
（2）求 y 的最值；（3）求 y 1 的最值；
x
x3
习数学的兴趣，提高学习数学的积极性
重点 难点
利用“数形结合”的数学思想，解决高考中的几类常见的数学问题。
教具 准备
多媒体课件及媒体展示平台；
学法 指导
通过对高考中几类常见问题的探索研究，引导学生自己做图，自己归 纳总结图象在这几类问题中的作用及需注意的问题，培养“数形结合” 的数学思想。
教学过程
设 计 意 图 师生活动