二次函数与一元二次方程、不等式优质课
画出二次函数y= 2x2-3x -2的
图像， 结合图像得不等式的解集为
例题讲解
题型一 不含参数的一元二次不等式的解法 【典例 1】 解下列不等式： (1)2x2－3x－2>0； (2)－4x32x－2＋46xx+－12≤>00； (3)4－x2－x24+x2＋x 1－≤02；<0 (4)x2－2x＋2>0. 解：对[思于路方导程引4]x2－先4求x出＋对1=应0，一因元为二Δ次=方0,程的解，再结合对应的 所二以次它函有数的两图个象相写等出的不实等数式根的，解集．
，则 a＋b
的值为( )
A．14
B．－10
C．10
D．－14
课堂小结
不含参的一元二次不等式的解法
变形-求根-画图-求解
三个“二次” 之间的关系
巩固训练
1.解下列不等式.
（1） (x－2) (x－3)>0 （2） x2－3x+4<0 （3） －x2 +4x－4< 0 （4） x2+6x+10≥ 0
画出二次函数y= 4x2－4x +1的图像，
结合图像得不等式的解集为
例题讲解
题型一 不含参数的一元二次不等式的解法
【典例 1】 解下列不等式：
(1)2x2－3x－2>0；
(2)－4x32x－2＋46xx+－12≤>00； (3)4－x2－x24+x2＋x 1－≤02；<0 (4)x2－2x＋2>0. 解：不等式可化为x2-2x+ 2>0 对于[方思程路x导2－引2] x＋先2求=0出，对因应为一Δ元<0二,所次方程的解，再结合对应的 二以次无函实数数的根图. 象写出不等式的解集． 画出二次函数y= x2－2x＋2的图像， 结合图像得不等式的解集为R.
二次函数与一元二次方程、一元二次不等式 田家炳中学 李洁
1．一元二次不等式 一般地，我们把只含有 一个 未知数，并且未知数的最高 次数是 2 的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式 的一般形式是 ax2＋bx＋c>0 或 ax2＋bx＋c<0，其中 a，b，c 均为常数，a≠0.
互动探究
解方程x2－12x＋20=0
答案：（1） 2<x<3 （2） ∅ （3） {x|x≠2} （4）R
巩固训练
42．. 已知不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集为{x|2<x<3}，求不等式
cx2－bx＋a>0 的解集．
思考
课后作业
请做：随堂2,0) B(10,0)
注意：函数y=0时的实数根，也叫函数的零点,同时也 是函数图像与x轴交点的横坐标。 例如函数y=（x+5）（x－1）的零点是-5,1.
互动探究
求不等式x2－12x＋20>0的解集
求不等式x2－12x＋20<0的解集
A(2,0) B(10,0)
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
函数y=ax2＋bx＋c （a>0）的图像
函数y=ax2＋bx＋c （a ≠0 ）
的图像与x轴交点的横坐标， 也是函数的零点
方程ax2＋bx＋c=0（a ≠0 ）
的根
ax2＋bx＋c>0（或<0）（a ≠0 ）
的解集的端点
题型[巩二固训练三]个“二次”关系的应用
【典例23】．若不等式 ax2＋bx＋2>0 的解集是x－21<x<13
解不含参数的一元二次不等式的步骤
例题讲解
题型一 不含参数的一元二次不等式的解法
【典例 1】 解下列不等式：
(1)2x2－3x－2>0；
(2)－4x32x－2＋46xx+－12≤>00； (3)4－x2－x24+x2＋x 1－≤02；<0
(4)x2－2x＋2>0.
因解为[：Δ思对>路0于,导所方引以]程它2先x有2求－两出3个x对根－应，一2分=元0，二次方程的解，再结合对应的
《二次函数与一元二次方程、不等式---第一课时》名师课件
变式训练
高中数学
ZHONGSHUXUE
3.对一切实数，关于的不等式 2 − + < 0 恒成立，
求实数的取值范围.
解：要使 2 − + < 0对一切实数恒成立，
则有：
⑴当=0时，原不等式化为−<0，解得 > 0,不合题意；
成立，求的取值范围.
解析
要使 2 − − 1 < 0对一切实数恒成立，
则有：
⑴当=0时， < 0 化为-1<0，恒成立,符合题意；
< 0,
⑵当≠0时，则有ቊ
, 解得−4 < < 0.
2
△=(−) + 4 < 0
综合两种情况可得的取值范围为 | − 4 < ≤ 0 .
对a是否为
①当a＝0时，b＝0，c<0；
零要进行
②当a≠0时， ቊ
> 0,
△ < 0.
讨论．
当堂练习
高中数学
ZHONGSHUXUE
1．不等式(3x－2)(2－x)≥0的解集是( A )
A.
2
，2
3
C.
3
，2
2
2
B.ቀ−∞， ቃ∪[2，＋∞)
3
D.
2
− ，2
3
2
3
2
3
解析：原不等式等价于(x－ )(x－2) ≤0，解得 ≤x≤2，故选A.
y = 2 + +
(>0)的图象
方程 2 + + = 0
（>0）的根
《二次函数与一元二次方程、不等式(第二课时)》示范公开课教学设计【高中数学人教版】
《二次函数与一元二次方程、不等式（第二课时）》教学设计◆教学目标1．通过从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程，体会一元二次不等式的现实意义，提升数学建模的核心素养．2．能利用一元二次不等式解决一些实际问题，提升数学运算素养．◆教学重难点◆教学重点：实际问题中的一元二次不等式解法．教学难点：从实际问题所蕴含的不等关系中抽象出一元二次不等式．◆课前准备PPT课件◆教学过程一、知识回顾★资源名称：【知识点解析】一元二次不等式的解法★使用说明：本资源为一元二次不等式的解法讲解视频，通过具体例子，引导学生理解并归纳出一元二次不等式求解的一般步骤．注：此图片为微课截图，如需使用资源，请于资源库调用．问题1：二次函数与一元二次方程、一元二次不等式解集的对应关系是怎样的？请你完成下面的表格。
师生活动：学生默写，完成之后教师展示，学生互相检查纠错．预设的答案：Δ＞0Δ＝0Δ＜0y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|x＜x1，或x＞x2}{x|x≠－b2a}Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅（1）函数的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0表示二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值大于0，图象在x轴的上方；一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集即二次函数图象在x 轴上方部分的自变量的取值范围．（2）方程的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．设计意图：复习旧知识，并通过默写的形式让师生都了解是否掌握了，为本节课的学习扫清知识障碍。
问题2：求解一元二次不等式的步骤是怎样的？师生活动：学生写出步骤，教师用如下的程序框图呈现．预设的答案：设计意图：本节课重点依然是一元二次不等式的解法，学生需要借助三个“二次”的联系，获得一元二次不等式的一般性解法，从整体上把握所学内容，让学生明确不等式解法，有助于学生良好认知结构的建立和完善，并为后面知识的学习提供帮助．二、新知探究 利用一元二次不等式解决实际问题例1 一家车辆制造厂引进一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x （单位：辆）与创造的价值y （单位：元）之间有如下的关系：x x y 2200202+-=．若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60000元以上，则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？问题3：这个实际问题中蕴含的不等关系是什么？求解不等式的步骤是什么？对于实际问题还需要注意什么？师生活动：学生分析题目，得出一元二次不等式，并求解。
二次函数与一元二次方程不等式一元二次函数方程和不等式课件市公开课一等奖省优质课获奖课件
{x|10≤x≤30} [设矩形高为y，
锐角三角形空地中，欲 建一个面积不小于
由三角形相似得：4x0＝404－0 y，且
300m2 的内接矩形花园(阴影部分)， x>0，y>0，x<40，y<40，xy≥300，
则其边长 x(单位：m)的取值范围是 整理得y＋x＝40，将y＝40－x代入
________．
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1．解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为 一元二次不等式(组)求解．当不等式含有等号时，分母不为零．
2．对于某些恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．这是因 为将参数分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当然， 这必须以参数容易分离作为前提．分离参数时，经常要用到以下简单结论：
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法三：由 x2＋2x＋a2－3>0，得 a2>－x2－2x＋3， 即 a2>－(x＋1)2＋4，要使该不等式在 R 上恒成立，必须使 a2 大于－ (x＋1)2＋4 的最大值，即 a2>4，故 a>2 或 a<－2.
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1．不等式 ax2＋bx＋c>0 的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当 a ＝0 时，b＝0，c>0；
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8
思考 2：解一元二次不等式应用题的关键是什么？ 提示：解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模 型，选择其中起关键作用的未知量为 x，用 x 来表示其他未知量，根据题 意，列出不等关系再求解．
第栏9页目导航
9
1．若集合 A＝{x|－1≤2x＋
B [∵A＝{ x|－1≤x≤1} ，B＝ { x|0< x≤2} ，∴A∩B＝{ x|0< x≤
第04课二次函数与一元二次方程不等式(课件)
| 综上，当 a>2 或 a<－2 时，原不等式的解集为 x
a－ a2－4≤x≤a＋ a2－4
2
2
；当 a＝2 时，原不等式的解集为{1}；当
a＝－2 时，原不等式的解集为{－1}；当－2<a<2 时，原不等式的解集为∅. 【反思】对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．(2)根据判别式Δ与 0 的关系判断根的个数．
＝－1－t2. 4
③当 t ≤－1，即 2
t≤－2
时，f(x)在[－1，2]上单调递增，所以
f(x)min＝f(－1)＝t.
t，t≤－2，
综上，g(t)＝ －1－t2，－2＜t＜4， 4 3－2t，t≥4.
【反思】闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指
解得－2<a<2.综上可得，a 的取值范围为(－2,2]．
【反思】恒成立问题求参数的范围的解题策略 (1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数． (2)一元二次不等式在 R 上恒成立，可用判别式Δ，一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分 离参数求最值或分类讨论．
一、【考点逐点突破】
故选 C.
【反思】注意二次项的系数是正还是负.
一、【考点逐点突破】
【考点 7】含参数的一元二次不等式解法
【典例】解关于 x 的不等式 x2－ax＋1≤0.
一、【考点逐点突破】
【考点 7】含参数的一元二次不等式解法 【解析】由题意知，Δ＝a2－4，①当 a2－4>0，即 a>2 或 a<－2 时，方程 x2－ax＋1＝0 的两根为 x＝a± a2－4，
高中数学人教A版必修第一册二次函数与一元二次方程、不等式优秀课件
高中数学人教A版（2019）必修第一册 第二章 二次函 数与一 元二次 方程、 不等式 课件
3．已知全集 U＝{x|x2＞1}，集合 A＝{x|x2－4x＋3＜0}，则∁UA＝ ( )
A．{x|1＜x＜3}
B.{x|x＜1 或 x≥3}
C．{x|x＜－1 或 x≥3}
D.{x|x＜－1 或 x＞3}
2．[含参的一元二次不等式的解法]解关于 x 的不等式－x2＋ax＋(a＋1)
＞0(a∈R )． 解：原不等式可化为 x2－ax－(a＋1)＜0， 即[x－(a＋1)](x＋1)＜0. 当 a＋1＝－1，即 a＝－2 时，原不等式的解集为∅； 当 a＋1＜－1，即 a＜－2 时，原不等式的解集为{x|a＋1＜x＜－1}； 当 a＋1＞－1，即 a＞－2 时，原不等式的解集为{x|－1＜x＜a＋1}． 综上所述：当 a＝－2 时，原不等式的解集为∅； a＜－2 时，原不等式的解集为{x|a＋1＜x＜－1}； a＞－2 时，原不等式的解集为{x|－1＜x＜a＋1}．
高中数学人教A版（ 必2修01第9）一必册修二第次一函册 数 第 与二 一章 元 二次函 方 数 程与 、一 不 元 等二 式次 优 方 秀程pp、t 课不件等式 课件 高中数学人教A版（ 必2修01第9）一必册修二第次一函册 数 第 与二 一章 元 二次函 方 数 程与 、一 不 元 等二 式次 优 方 秀程pp、t 课不件等式 课件
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二次函数与一元二次方程、不等式_课件
对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先 移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为 零，然后再用上述方法求解.
拓展练习 变式训练2：解下列不等式 ：
∴原不等式的解集 为
拓展练习 变式训练2：解下列不等式 ：
(3){x|x≠2}
2.当自变量x在什么范围取值时，下列函数的值等于0?大于0?小于 0? （1）y=3x²-6x+2;（2）y=25-x²; （3）y=x²＋6x+10;（4）y=-3x²＋12x-12.
(2) 令25-x²=0，则z=±5，又由y=25-x²图象的开口方向朝下，故z=±5 时 ，函数的值等于0，当-5 (3)令x²＋6z＋10=0，则方程无解，又由y=x²＋6x＋10 图象的开口方向上， 故无论x须何值，函数值均大于0; (4)x=2时，函数的值等于0；当x≠2时，函数值小于 0.
∴原不等式的解集 为
知识拓展
简单高次不等式的解 法
知识拓展 [解析]原不等式等价于x(x+2)(x3)<0. 结合数轴穿针法（如图）可知
[答案]A
拓展练习 变式训练3：解不等式：x(x-1)²(x+1)³(x-2)>0.
∴原不等式的解集 为
1.求下列不等式的解集∶ (1)(x+2)(x-3)>0;(2)3x²-7x≤10; (3)-x²+4x-4<0;(4)x²-x+<0; (5)-2x²+x≤-3;(6)x²-3x+4>0; 答案（1）{x|x<-2,或x>3} (4)不等式的解集为
程
《二次函数与一元二次方程、不等式》一元二次函数、方程和不等式PPT优质教学课件
因为
方程=0的解为
则二次函数草图为
不等式的解集为
不等式的解集为
不等式的解集为R
不等式的解集为
不等式的解集为
不等式的解集为
不等式的解集为R
不等式的解集为
不等式的解集为
不等式的解集为
方法指导
SCQ NO.1 MIDDLE SCHOOL
解一元二次不等式的一般方法化标准：不等式右侧化为0，二次项系数化为正整数.判别式：确定对应一元二次方程有无实根.求实根：若有根，求根. 作草图：作出对应二次函数的草图.写解集：结合图像写一元二次不等式的解集.
实数
特别提醒：（1）二次函数的零点不是点，是二次函数图象与轴交点的横坐标. （2）一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点.
A
3.二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的对应关系
设 ，方程 的判别式
判别式
解不等式 或 的步骤
求方程 的根
SCQ NO.1 MIDDLE SCHOOL
课堂小结
SCQ NO.1 MIDDLE SCHOOL
图像法解一元二次不等式
利用“三个二次的关系”求参数
一元二次不等式
三个基本知识
二次函数的零点
“三个二次”之间的关系
两个题型
教材认知
SCQ NO.1 MIDDLE SCHOOL
1.一元二次不等式一般地，我们把只含有_______未知数，并且未知数的最高次数是2的整式不等式，称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是__________________或 ，其中 、 、 均为常数， .
一个
C
2.二次函数的零点一般地，对于二次函数 ，我们把使 成立的_________的值叫作二次函数 的零点.
《2.3 二次函数与一元二次方程、不等式》公开课优秀教案教学设计(高中必修第一册)
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式教学设计三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是高中数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法。
课程目标1. 通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系。
2. 使学生能够运用二次函数及其图像，性质解决实际问题．3. 渗透数形结合思想，进一步培养学生综合解题能力。
数学学科素养1.数学抽象：一元二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系；2.逻辑推理：一元二次不等式恒成立问题；3.数学运算：解一元二次不等式；4.数据分析：一元二次不等式解决实际问题；5.数学建模：运用数形结合的思想，逐步渗透一元二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系。
重点：一元二次函数与一元二次方程的关系，利用二次函数图像求一元二次方程的实数根和不等式的解集; 难点：一元二次方程根的情况与二次函数图像与x轴位置关系的联系，数形结合思想的运用．教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
一、情景导入在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程、一元一次不等式，发现了三者之间的内在联系，利用这种联系可以更好地解决相关问题.类似地，能否从二次函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探. 二、 预习课本，引入新课阅读课本50-52页，思考并完成以下问题1. 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系.2.解一元二次不等方的步骤？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1.一元二次不等式与相应的一元二次函数及一元二 次方程的关系如下表：判别式Δ=b 2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0二次函数y=ax 2+bx+c (a>0)的图象一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a>0)的根 有两相异 实根x 1,x 2 (x 1<x 2)有两相等实根 x 1=x 2没有实数根ax 2+bx+c>0 (a>0)的解集{x|x >x 2或x <x 1}{x|x ≠−2b a} Rax 2+bx+c<0 (a>0)的解集{x|x 1<x <x 2}∅∅ab 2-=2.一元二次不等式ax 2+bx+c>0 (a>0)的求解的算法.(1)解ax 2+bx+c=0；(2)判断开口方向；(3)根据开口方向和两根画草图；(4)不等式>0，看草图上方，写对应x的结果；不等式<0，看草图下方，写对应x的结果.四、典例分析、举一反三题型一解不等式例1求下列不等式的解集（1）x2−5x+6>0（2）9x2−6x+1>0（3）−x2+2x−3>0【答案】（1）{x|x<2,或x>3}（2）{x|x≠13}（3）∅解题方法（解不等式）(1)解ax 2+bx+c=0；(2)判断开口方向；(3)根据开口方向和两根画草图；(4)不等式>0，看草图上方，写对应x的结果；不等式<0，看草图下方，写对应x的结果；跟踪训练一1、求下列不等式的解集（1）(x+2)(x−3)>0；（2）3x2−7x≤10；（3）−x2+4x−4<0（4）x2−x+14≤0【答案】（1）{x|x<−2,或x>3}（2）{x|x≤−3,或x≥103}（3） {x|x ≠2} （4） {x|x =12}题型二 一元二次不等式恒成立问题 例2 (1). 如果方程20ax bx c ++=的两根为2-和3且0a <，那么不等式20ax bx c ++>的解集为____________．(2).已知关于x 的不等式2680kx kx k -++≥对任意x ∈R 恒成立，则k 的取值范围是（ ） A ．01k ≤≤ B ．01k <≤C ．k 0<或1k >D ．0k ≤或1k >【答案】（1）{}|23x x -<< （2）A【解析】（1）由韦达定理得231236bac a⎧-=-+=⎪⎪⎨⎪=-⨯=-⎪⎩，6b a c a =-⎧∴⎨=-⎩，代入不等式20ax bx c ++>，得260ax ax a -->，0a <，消去a 得260x x --<，解该不等式得23x -<<，因此，不等式20ax bx c ++>的解集为{}|23x x -<<，故答案为：{}|23x x -<<.（2）当0k =时，不等式为80≥恒成立，符合题意；当0k >时，若不等式2680kx kx k -++≥对任意x ∈R 恒成立， 则2364(8)0k k k ∆=-+≤，解得01k <≤；当k 0<时，不等式2680kx kx k -++≥不能对任意x ∈R 恒成立。
二次函数与一元二次方程、不等式(第一课时)-2024-2025学年高一数学教材课件
发现了三者之间的内在联系，利用这种联系可以让我们更简便的解决问题：
方程 + 1 = 0的解为 = −1
=+
−
⇒
不等式 + 1 > 0的解为 > −1
不等式 + 1 > 1的解为 > 0
对于二次函数、一元二次方程和一元二次不等式，
人教A版2019必修第一册
第 2 章 一元二次函数、方程和不等式
2.3
二次函数与一元二次方程、不等式（第一课时）
教学目标
1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数之间的关系。
2.掌握一元二次不等式，含参数的一元二次不等式的解法。
3.能够运用二次函数及其图像、性质解决实际问题。
01
温故知新
情景导入
= + +
+ + =
他们的联系又是怎样的呢？
+ + >
02
一元二次不等式
概念讲解
问题：园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉．若栅栏的长度是24
ｍ，围成的矩形区域的面积要大于20m2，则这个矩形的边长为多少米？
概念讲解
在上题中我们得到这样一个不等式：
时，对应的的取值范围的集合；
③ + + < 的解集⇔ = + + 的图像上的点 , 处于轴 下方
时，对应的的取值范围的集合；
概念讲解
例1.求不等式 − + > 的解集.
解：对于方程 − + = ，因为 > ，所以它有两个实数根.