实数 知识点题型归纳
实数知识点及典型例题
实数知识点及典型例题一、实数知识点。
（一）实数的分类。
1. 有理数。
- 整数：正整数、0、负整数统称为整数。
例如：5，0，-3。
- 分数：正分数、负分数统称为分数。
分数都可以表示为有限小数或无限循环小数。
例如：(1)/(2)=0.5，(1)/(3)=0.333·s。
- 有理数：整数和分数统称为有理数。
2. 无理数。
- 无理数是无限不循环小数。
例如：√(2)，π，0.1010010001·s（每两个1之间依次多一个0）。
3. 实数。
- 有理数和无理数统称为实数。
（二）实数的相关概念。
1. 数轴。
- 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
- 实数与数轴上的点是一一对应的关系。
2. 相反数。
- 只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
a的相反数是-a，0的相反数是0。
例如：3与-3互为相反数。
- 若a、b互为相反数，则a + b=0。
3. 绝对值。
- 数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作| a|。
- 当a≥slant0时，| a|=a；当a < 0时，| a|=-a。
例如：| 5| = 5，| -3|=3。
4. 倒数。
- 乘积为1的两个数互为倒数。
a(a≠0)的倒数是(1)/(a)。
例如：2的倒数是(1)/(2)。
（三）实数的运算。
1. 运算法则。
- 加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时和为0，绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同0相加，仍得这个数。
- 减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。
- 乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同0相乘都得0。
- 除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数（除数不为0）。
2. 运算律。
- 加法交换律：a + b=b + a。
- 加法结合律：(a + b)+c=a+(b + c)。
- 乘法交换律：ab = ba。
(完整版)实数知识点及例题
实数习题集【知识要点】1．实数分类：2．相反数：互为相反数b a ,0=+b a 4．倒数：互为倒数没有倒数.b a ,0;1=ab 5．平方根，立方根：±.==x ，a x a x 记作的平方根叫做数则数若,2a 若a x ，a x a x 33,==记作的立方根叫做数则数6．数轴的概念与画法.实数与数轴上的点一一对应；利用数形结合的思想及数轴比较实数大小的方法.【课前热身】1、36的平方根是 ；的算术平方根是 ；162、8的立方根是 ；＝ ；327-3、的相反数是 ；绝对值等于的数是37-34、的倒数的平方是 ，2的立方根的倒数的立方是。
5、的绝对值是 ，的绝对值是 。
211-6、9的平方根的绝对值的相反数是 。
7的相反数是 ，的相反数的绝对值是。
+-8的相反数之和的倒数的平方为 。
--+【典型例题】例1、把下列各数分别填入相应的集合里：2,3.0,10,1010010001.0,125,722,0,1223π---∙- 有理数集合：｛ ｝；无理数集合：｛ ｝；负实数集合：｛ ｝；例2、比较数的大小（1）（2）2332与6756--与例3．化简：实数有理数无理数整数（包括正整数，零，负整数）分数（包括正分数，负整数）正无理数负无理数)0(>a 3．绝对值：=a a0a -)0(=a )0(<a（1）233221-+-+-（2+例4．已知是实数，且有，求的值.b a ,0)2(132=+++-b a b a ,例5 若|2x+1|与互为相反数，则－xy 的平方根的值是多少？x y 481+总结：若几个非负数的和为零，则每个非负数都为零，这个性质在代数式求值中经常被使用．例6．已知为有理数，且，求的平方根b a ,3)323(2b a +=-b a +例7. 已知实数x 、y 、z 在数轴上的对应点如图试化简：。
x zx y y z x z x z ---++++-【课堂练习】1．无限小数包括无限循环小数和 ，其中 是有理数， 是无理数.2．如果，则是一个 数，的整数部分是 .102=x x x 3．的平方根是 ，立方根是 .644．的相反数是 ，绝对值是 .51-5．若 .==x x 则66．当时，有意义；_______x 32-x 7．当时，有意义；_______x x -118．若一个正数的平方根是和，则，这个正数是 ；12-a 2+-a ____=a 9．当时，化简;10≤≤x __________12=-+x x 10．的位置如图所示，则下列各式中有意义的是（ ）.b a , A 、B 、C 、D 、b a +b a -ab ab -11．全体小数所在的集合是（ ）.A 、分数集合B 、有理数集合C 、无理数集合D 、实数集合12．等式成立的条件是（ ）.1112-=+⋅-x x x A 、B 、C 、D 、1≥x 1-≥x 11≤≤-x 11≥-≤或x 13．若，则等于（ ）.64611)23(3=-+x x A 、B 、C、D 、214141-49-14．计算：（1） （221--4-（3（4） 24+-+-++81214150232-+-ab15．若，求的值.054=-++-y x x xy16．设a 、b 是有理数，且满足，求的值(21a +=-b a17．若，求的值。
专题3.1 实数重难点题型分类(八大题型)(解析版)
专题3.1 实数重难点题型分类（八大题型）【题型1 无理数的概念】【题型2 平方根、算术平方根与立方根的概念】【题型3 实数大小比较、无理数的估算】【题型4 最简二次根式及同类二次根式】【题型5 无理数在数轴上的表示】【题型6 绝对值的非负性】【题型7 算术平方根的非负性】【题型8 算术平方根钰绝对值的非负性综合】类型一：绝对值的非负性任何一个实数的绝对值是非负数类型二：算术平方根的非负性a≥a（≥1.二次根式具有双重非负性，即）2.几个非负数的和为0，这几个非负数都为0.【题型1 无理数的概念】1．（2023春•中山市期末）下列四个数中，属于无理数的是（ ）A．0B．C．πD．﹣1.5【答案】C【解答】解：0是整数，它是有理数，则A不符合题意；，﹣1.5是分数，它们均为有理数，则B，D均不符合题意；π是无限不循环小数，它是无理数，则C符合题意；故选：C．2．（2023春•黄山期末）在实数，，π，，3.1212212221…，中，无理数的个数有（ ）A．5个B．4个C．3个D．2个【答案】B【解答】解：，3.是分数，它们是有理数；，π，3.1212212221...，2+均为无限不循环小数，它们是无理数；综上，无理数共4个，故选：B．3．（2023春•鹤峰县期末）有下列说法：（1）无理数就是开方开不尽的数；（2）无理数是无限不循环小数；（3）无理数包括正无理数、零、负无理数；（4）无理数都可以用数轴上的点来表示．其中正确的说法的个数是（ ）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解答】解：（1）π是无理数，而不是开方开不尽的数，则命题错误；（2）无理数就是无限不循环小数，则命题正确；（3）0是有理数，不是无理数，则命题错误；（4）正确；故选：B．【题型2 平方根、算术平方根与立方根的概念】4．（2023春•西岗区期末）下列说法正确的是（ ）A．正数的平方根是它本身B．100的平方根是10C．﹣10是100的一个平方根D．﹣1的平方根是﹣1【答案】C【解答】解：A、正数的平方根是它本身，错误；B、100的平方根是10，错误，应为±10；C、﹣10是100的一个平方根，正确；D、﹣1没有平方根，故此选项错误；故选：C．5．（2023•灞桥区校级三模）64的平方根是（ ）A．±4B．4C．±8D．8【解答】解：∵±8的平方都等于64；∴64的平方根是±8．故选：C．6．（2023春•绥棱县期末）下列各式中，正确的是（ ）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：＝．故选：A．7．（2022秋•新邵县期末）若x是的算术平方根，则x＝（ ）A．3B．±3C．9D．±9【答案】A【解答】解：∵x是的算术平方根，∴x＝3，故选：A．8．（2023春•邕宁区期末）如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（ ）A．3B．4C．5D．6【答案】B【解答】解：∵用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，∴大正方形的面积为：9+9＝18，则大正方形的边长为：，∵＜＜，∴4＜＜4.5，∴大正方形的边长最接近的整数是4．9．（2023•路北区二模）设a＝，则（ ）A．1.5＜a＜2B．2＜a＜2.5C．2.5＜a＜3D．a＝3【答案】B【解答】解：∵23＝8，2.53＝15.625，且8＜9＜15.625，∴，∴2＜＜2.5，∴，∵a＝．∴2＜a＜2.5．故选：B．10．（2023春•平泉市期末）表示的意义是（ ）A．3的立方根B．3的平方根C．3的算术平方根D．3的平方【答案】C【解答】解：表示3的算术平方根．故选：C．11．（2023春•南沙区期末）立方根等于2的数是（ ）A．8B．4C．±4D．±8【答案】A【解答】解：∵23＝8，∴立方根等于2的数是8，故选：A．12．（2023春•青海月考）下列说法中正确的是（ ）A．﹣9的平方根是±3B．﹣a2一定没有平方根C．16的平方根是±4D．﹣2是8的一个立方根【答案】C【解答】解：∵负数没有平方根，∴A选项的说法不正确，不符合题意；∵当a＝0时，﹣a2有平方根0，∴B选项的说法不正确，不符合题意；∵16的平方根是±4，∴C选项的说法正确，符合题意；∵﹣2是﹣8的立方根，∴D选项的说法不正确，不符合题意．故选：C．13．（2023•灞桥区校级模拟）计算的结果是（ ）A．﹣8B．﹣4C．±8D．±4【答案】B【解答】解：＝﹣4．故选：B．14．（2023•大连模拟）下列计算正确的是（ ）A．＝2B．C．D．【答案】C【解答】解：A．根据立方根的定义，，那么A错误，故A不符合题意．B．根据算术平方根的定义，，那么B错误，故B不符合题意．C．根据二次根式的减法法则，，那么C正确，故C符合题意．D．根据完全平方公式，，那么D错误，故D不符合题意．故选：C．15．（2023春•梁山县期中）立方根和算术平方根都等于它本身的数是（ ）A．0B．1，0C．0，1，﹣1D．0，﹣1【答案】B【解答】解：设这个数为x，根据题意可知，，解得x＝1或0，故选：B．16．（2023春•晋安区期末）﹣64的立方根与3之和是（ ）A．﹣5B．11C．1D．﹣1【答案】D【解答】解：∵（﹣4）3＝﹣64，∴﹣64的立方根为﹣4，则﹣4+3＝﹣1，故选：D．17．（2023春•惠城区校级期中）若a2＝4，b3＝27，则a﹣b的值为（ ）A．﹣1B．5C．﹣1或﹣5D．﹣1或5【答案】C【解答】解：∵a2＝4，b3＝27，∴a＝±2，b＝3，当a＝2时，a﹣b＝2﹣3＝﹣1，当a＝﹣2时，a﹣b＝﹣2﹣3＝﹣5，故选：C．18．（2023春•无棣县期中）下列说法；（1）4的算术平方根是2；（2）±5是125的立方根；（3）立方根等于它本身的数是0和1；（4）（﹣1）2的平方根是1．其中正确的是（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【解答】解：4的算术平方根是2，故（1）正确；5是125的立方根，故（2）错误；立方根等于它本身的数是0和±1，故（3）错误；（﹣1）2的平方根是±1，故（4）错误，∴正确的是1个，故选：A．19．（2023春•鄂城区期中）的平方根是（ ）A．±2B．﹣2C．2D．±8【答案】A【解答】解：∵＝4，4的平方根为±2，∴±2．故选：A．【题型3 实数大小比较、无理数的估算】20．（2023春•滨海新区期末）估计的值在（ ）A．3与4之间B．4与5之间C．5与6之间D．6与7之间【答案】B【解答】解：∵9＜15＜16，∴3＜＜4，∴4＜+1＜5，即+1在4与5之间，故选：B．21．（2023•和平区模拟）实数﹣π，﹣3.14，0，四个数中，最小的是（ ）A．﹣πB．﹣3.14C．D．0【答案】A【解答】解：∵|﹣π|＝π，|﹣3.14|＝3.14，∴﹣π＜﹣3.14，∴﹣π，﹣3.14，0，这四个数的大小关系为﹣π＜﹣3.14＜0＜．故选：A．22．（2023春•巴南区期末）估计的值在（ ）A．3到4之间B．4到5之间C．5到6之间D．6到7之间【答案】B【解答】解：由于3＝，而6＜＜7，∴4＜﹣2＜5，即4＜3﹣2＜5，故选：B．23．（2023春•丰都县期末）比较大小： ＞ ．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵＝48，＝45，∵48＞45，∴4＞3，故答案为：＞．24．（2022秋•慈溪市期末）比较大小： ＞ 1．（填“＞”，“＝”或“＜”）【答案】见试题解答内容【解答】解：∵2＜＜3，∴+1＞3，∴＞1．故答案为：＞．25．（2023•鄞州区校级一模）比较大小：﹣ ＜ ﹣2．（填“＞”、“＝”或“＜”）【答案】＜．【解答】解：∵2＝，∴﹣＜﹣2，故答案为：＜．【题型4 最简二次根式及同类二次根式】26．（2023春•巴南区期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：A．＝3，的被开方数中含有能开方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；B．是最简二次根式，故本选项符合题意；C．＝，的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；D．＝＝，的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；故选：B．27．（2023春•花都区期末）下列根式是最简二次根式的是（ ）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：A．＝，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；B．是最简二次根式，故本选项符合题意；C．＝3，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；D．＝2，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；故选：B．28．（2023春•武昌区期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：A．＝3，即与是同类二次根式，故本选项符合题意；B．＝2，即与不是同类二次根式，故本选项不符合题意；C．＝，即与不是同类二次根式，故本选项不符合题意；D．＝2，即与不是同类二次根式，故本选项不符合题意；故选：A．29．（2023春•大观区校级期末）下列根式中，与为同类二次根式的是（ ）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：∵＝2，∴与为同类二次根式的是，故选：A．30．（2023春•蒙城县校级期中）若最简二次根式与是同类二次根式，则a＝（ ）A．﹣1B．1C．3D．﹣3【答案】A【解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，∴﹣2a+1＝7+4a，∴a＝﹣1，故选：A．31．（2023春•凤台县期末）如果最简二次根式与是同类根式，那么a 的值是（ ）A．a＝5B．a＝3C．a＝﹣5D．a＝﹣3【答案】B【解答】解：由题意可知：＝2，3a﹣7＝2a＝3故选：B．32．（2023春•大连期末）若最简二次根式与可以合并，则a＝ ﹣1 ．【答案】﹣1．【解答】解：由题意可知：1﹣a＝2．a＝﹣1．故答案为：﹣1．【题型5 无理数在数轴上的表示】33．（2023春•嵩明县期末）数轴上点A所表示的实数可能是（ ）A．B．C．﹣1.5D．π【答案】B【解答】解：∵1＜2＜4，4＜5＜9，∴1＜＜2，2＜＜3，则A不符合题意，B符合题意；∵﹣2＜﹣1.5＜﹣1，∴C不符合题意；∵3＜π＜4，∴D不符合题意；故选：B．34．（2023春•海淀区期末）如图，一条数轴被污渍覆盖了一部分，把下列各数表示在数轴上，则被覆盖的数可能为（ ）A．﹣πB．C．D．【答案】C【解答】解：根据图示，可得：被覆盖的数比3大且比4小，∵﹣π＜0，2＜＜3，3＜＜4，4＜＜5，∴被覆盖的数可能为．故选：C．35．（2023春•路北区期中）如图，两个边长为1的正方形并排放在数轴上，且OA＝OB，则数轴上点A所表示的数是（ ）A．B．C．﹣2.5D．﹣2【答案】A【解答】解：由勾股定理可得：，∴，∴数轴上点A所表示的数是，故选：A．36．（2023春•历城区期末）如图，在数轴上点A表示的实数是（ ）A．B．2.2C．2.3D．【答案】D【解答】解：如图，根据勾股定理得：，∴，∴点A表示的实数是，故选：D．37．（2023春•西吉县期中）如图，OA＝OB，BD＝1，则数轴上点A所表示的数为（ ）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：∵，∴点A所表示的数为．故选：B．38．（2023•浠水县二模）如图，数轴上点A表示的实数是（ ）A．﹣1B．C．+1D．﹣1【答案】A【解答】解：∵＝，所以点A表示的数为：﹣1+，故选：A．【题型6 绝对值的非负性】39．（2023•都昌县校级模拟）已知实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简|a﹣b|﹣|1﹣a|+|b﹣2|的结果是 1 ．【答案】1．【解答】解：由题图可得﹣3＜a＜﹣2，1＜b＜2，∴a﹣b＜0，1﹣a＞0，b﹣2＜0，∴|a﹣b|﹣|1﹣a|+|b﹣2|＝﹣（a﹣b）﹣（1﹣a）﹣（b﹣2）＝﹣a+b﹣1+a﹣b+2＝1．故答案为：1．40．（2023春•防城区期中）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则|b﹣a|﹣|a+b|＝ 2b ．【答案】2b．【解答】解：根据实数a、b在数轴上的位置可以确定a＜0＜b，|a|＞|b|∴b﹣a＞0，a+b＜0．∴|b﹣a|﹣|a+b|＝b﹣a+a+b＝2b，故答案为：2b．41．（2022秋•高新区期末）实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简|a+3b|+|a﹣b|的结果为 4b ．【答案】4b．【解答】解：由题意得，a＜0＜b，且|a|＜|b|，∴a﹣b＜0，|a|＜|3b|，∴a+3b＞0，∴|a+3b|+|a﹣b|＝a+3b+b﹣a＝4b，故答案为：4b．42．（2022秋•成县期中）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简代数式|b﹣a|﹣|a﹣2|+|b+1|的结果是 2a﹣1 ．【答案】2a﹣1．【解答】解：由数轴知，﹣1＜b＜0＜1＜a＜2，故a﹣b＞0，a﹣2＜0，b+1＞0，|b﹣a|﹣|a﹣2|+|b+1|＝a﹣b+（a﹣2）+b+1＝a﹣b+a﹣2+b+1＝2a﹣1故答案为：2a﹣1．【题型7 算术平方根的非负性】43．（2022秋•青神县期末）若，则x的取值范围是（ ）A．x＝2B．x≤﹣2C．x≤2D．x≥2【答案】C【解答】解：∵，∴2﹣x≥0，∴x≤2，故选：C．44．（2023春•上城区校级期中）若，则x的取值范围是（ ）A．x＞3B．x≥3C．x＜3D．x≤3【答案】B【解答】解：∵，即x﹣3≥0，解得x≥3，故选：B．45．（2022秋•广饶县校级期末）若，|b|＝5，且ab＜0，则a+b的算术平方根为（ ）A．4B．2C．±2D．3【答案】B【解答】解：∵，∴a＝9，∵|b|＝5，∴b＝±5，∵ab＜0，∴a＝9，b＝﹣5，∴a+b＝9﹣5＝4，∴a+b的算术平方根为，故选：B．【题型8 算术平方根和绝对值的非负性综合】46．（2023春•无棣县期中）已知实数x、y满足，则的值是（ ）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解答】解：∵，，|3x+y﹣1|≥0，∴，|3x+y﹣1|＝0，∴x﹣1＝0，3x+y﹣1＝0，∴x＝1，3+y﹣1＝0，∴y＝﹣2，∴，故选：C．47．（2023春•繁峙县期中）若a，b为实数，且，则（a+b）2023＝（ ）A．1B．﹣1C．﹣2023D．2023【答案】B【解答】解：∵，且，∴a﹣1＝0，b+2＝0，∴a＝1，b＝﹣2，∴（a+b）2023＝（1﹣2）2023＝﹣1，故选：B．48．（2023春•八步区期中）已知，则a+b＝（ ）A．8B．﹣8C．6D．﹣6【答案】D【解答】解：∵，∴a﹣1＝0，7+b＝0，∴a＝1，b＝﹣7，∴a+b＝1+（﹣7）＝﹣6．故选：D．49．（2023春•江城区期中）若，则5x+y2的平方根是（ ）A．3B．2C．±2D．±3【答案】D【解答】解：∵，，∴＝0，（y﹣2）2＝0，∴x﹣1＝0，y﹣2＝0，∴x＝1，y＝2，∴5x+y2＝5+22＝9，∵9的平方根是±3，∴5x+y2的平方根是±3，故选：D．50．（2023•巧家县校级三模）若，则a b的值为 ﹣8 ．【答案】﹣8．【解答】解：根据题意得，a+2＝0，b﹣3＝0，解得a＝﹣2，b＝3，所以，a b＝（﹣2）3＝﹣8．故答案为：﹣8．。
实数知识点及例题
实数知识点及例题一、实数的概念实数是有理数和无理数的总称。
有理数包括整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）；无理数是无限不循环小数。
例如，π（圆周率）、根号 2 等都是无理数。
而像 3、－5、025 等则是有理数。
二、实数的分类1、按定义分类：有理数：整数和分数。
无理数：无限不循环小数。
2、按性质分类：正实数：大于 0 的实数，包括正有理数和正无理数。
负实数：小于 0 的实数，包括负有理数和负无理数。
三、实数的基本性质1、实数的有序性：任意两个实数 a 和 b，必定有 a ＞ b、a ＝ b 或a ＜b 三种关系之一成立。
2、实数的稠密性：两个不相等的实数之间总有另一个实数存在。
3、实数的四则运算：实数的加、减、乘、除（除数不为 0）运算满足相应的运算律。
四、数轴数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线。
实数与数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。
例如，在数轴上表示 2 的点在原点右侧距离原点 2 个单位长度。
五、绝对值实数 a 的绝对值记作｜a|，定义为：当a ≥ 0 时，｜a| ＝ a；当 a ＜ 0 时，｜a| ＝ a。
绝对值的性质：1、｜a| ≥ 0，即绝对值是非负的。
2、若｜a| ＝｜b|，则 a ＝ ±b。
例如，｜3| ＝ 3，｜－5| ＝ 5。
六、相反数实数 a 的相反数是 a，它们的和为 0，即 a ＋（a) ＝ 0。
例如，5 的相反数是－5，它们的和为 0。
若两个实数的乘积为 1，则这两个数互为倒数。
非零实数 a 的倒数是 1/a。
例如，2 的倒数是 1/2，－3 的倒数是－1/3。
八、实数的运算1、加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
2、减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
3、乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
七年级下册人教版数学第六章实数知识要点及经典题型
七年级下册人教版数学第六章实数知识要点及经典题型
实数知识要点：
1. 整数与有理数的关系：整数包含了有理数的全部内容，即整数是有理数的一种特殊形式。
2. 无理数：不能表示为两个整数的比的数，无理数是一类不是有理数的实数。
3. 实数的分类：实数可以分为有理数和无理数两种。
4. 实数的四则运算法则：实数的加减、乘除运算满足相应的运算法则。
5. 整式的运算：根据四则运算法则，对整式进行加减乘除运算。
6. 实数的比较：对于任意两个实数a和b，有以下三种情况：
a>b，a=b，a<b。
7. 绝对值的定义：实数a的绝对值表示为|a|，定义为a的值和
0的距离，即|a|=a（a≥0），|a|=-a（a<0）。
经典题型：
例1：计算下列各式的值：a) -3+5; b) 4-(-7); c) -2×3.
解答：
a) -3+5 = 5-3 = 2
b) 4-(-7) = 4+7 = 11
c) -2×3 = -6
例2：比较大小：a) -5和-3；b) -3和4-7.
解答：
a) -5<-3
b) -3<4-7，即-3<-3，两个数比较大小结果相同。
例3：计算下列各式的绝对值：a) |5|; b) |-7|; c) |-3+4|.
解答：
a) |5| = 5
b) |-7| = 7
c) |-3+4| = |1| = 1。
实数重难点题型分类(八大题型)(原卷版)
专题03 实数重难点题型分类（八大题型）【题型1 无理数的概念】【题型2 平方根、算术平方根与立方根的概念】 【题型3 实数大小比较、无理数的估算】 【题型4 最简二次根式及同类二次根式】 【题型5 无理数在数轴上的表示】 【题型6 绝对值的非负性】 【题型7 算术平方根的非负性】【题型8 算术平方根钰绝对值的非负性综合】类型一： 绝对值的非负性任何一个实数的绝对值是非负数类型二：算术平方根的非负性1. 二次根式具有双重非负性，即）（≥≥a 0a2. 几个非负数的和为0，这几个非负数都为0.【题型1 无理数的概念】 1．（2023春•庄河市期末）实数，0.6，0，﹣2中，无理数是（ ）A ．B ．0.6C ．0D ．﹣22．（2023春•福田区校级期末）在，3.1415926，（π﹣2）0，﹣3，，﹣，0这些数中，无理数有（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个3．（2023春•肇源县期末）下列各数中，无理数是（ ） A ．﹣2B ．3.14C ．D ．4．（2023春•徐汇区校级期中）若a 、b 是不相等的无理数，则（ ）A．a+b一定是无理数B．a﹣b一定是无理数C．a•b一定是无理数D．不一定是无理数5．（2022•福建）如图，数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（）A．B．C．D．π6．（2022•包头自主招生）下列说法中正确的是（）A．带根号的数是无理数B．无理数不能在数轴上表示出来C．无理数是无限小数D．无限小数是无理数【题型2 平方根、算术平方根与立方根的概念】7．（2023•荔湾区校级二模）实数4的算术平方根是（）A．B．±C．2D．±2 8．（2023•东营区校级三模）的算术平方根是（）A．4B．2C．±4D．±2 9．（2023春•榆树市期末）若x2＝4，则x的值是（）A．2B．±2C．16D．±16 10．（2023春•长宁区期末）下列等式中，正确的是（）A．（）²＝5B．（﹣）²＝5C．D．11．（2023春•和平区校级期末）若在实数范围内有意义，则m的取值范围是（）A．m≥0B．m≥﹣2C．m D．m 12．（2023春•邕宁区期末）如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（）A．3B．4C．5D．6 13．（2023•碑林区校级一模）8的立方根为（）A．2B．4C．﹣4．D．﹣2 14．（2023•灞桥区校级模拟）计算的结果是（）A．﹣8B．﹣4C．±8D．±4 15．（2023春•长沙期末）下列运算正确的是（）A．B．C．＝﹣3D．16．（2023春•梁山县期中）立方根和算术平方根都等于它本身的数是（）A．0B．1，0C．0，1，﹣1D．0，﹣1 17．（2023春•惠城区校级期中）若a2＝4，b3＝27，则a﹣b的值为（）A．﹣1B．5C．﹣1或﹣5D．﹣1或5 18．（2023春•龙江县期中）﹣的立方根与36的平方根的和为（）A．4B．6C．4或﹣6D．4或﹣8【题型3 实数大小比较、无理数的估算】20．（2023春•滨海新区期末）估计的值在（）A．3与4之间B．4与5之间C．5与6之间D．6与7之间21．（2023•和平区模拟）实数﹣π，﹣3.14，0，四个数中，最小的是（）A．﹣πB．﹣3.14C．D．0 22．（2023春•巴南区期末）估计的值在（）A．3到4之间B．4到5之间C．5到6之间D．6到7之间23．（2023春•丰都县期末）比较大小：．24．（2022秋•慈溪市期末）比较大小：1．（填“＞”，“＝”或“＜”）25．（2023•鄞州区校级一模）比较大小：﹣﹣2．（填“＞”、“＝”或“＜”）【题型4 最简二次根式及同类二次根式】26．（2023春•巴南区期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A．B．C．D．27．（2023春•花都区期末）下列根式是最简二次根式的是（）A．B．C．D．28．（2023春•武昌区期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．29．（2023春•大观区校级期末）下列根式中，与为同类二次根式的是（）A．B．C．D．30．（2023春•蒙城县校级期中）若最简二次根式与是同类二次根式，则a＝（）A．﹣1B．1C．3D．﹣3 31．（2023春•凤台县期末）如果最简二次根式与是同类根式，那么a 的值是（）A．a＝5B．a＝3C．a＝﹣5D．a＝﹣3 32．（2023春•大连期末）若最简二次根式与可以合并，则a＝﹣．【题型5 无理数在数轴上的表示】33．（2023春•嵩明县期末）数轴上点A所表示的实数可能是（）A．B．C．﹣1.5D．π34．（2023春•海淀区期末）如图，一条数轴被污渍覆盖了一部分，把下列各数表示在数轴上，则被覆盖的数可能为（）A．﹣πB．C．D．35．（2023春•路北区期中）如图，两个边长为1的正方形并排放在数轴上，且OA＝OB，则数轴上点A所表示的数是（）A．B．C．﹣2.5D．﹣2 36．（2023春•历城区期末）如图，在数轴上点A表示的实数是（）A．B．2.2C．2.3D．37．（2023春•西吉县期中）如图，OA＝OB，BD＝1，则数轴上点A所表示的数为（）A．B．C．D．38．（2023•浠水县二模）如图，数轴上点A表示的实数是（）A．﹣1B．C．+1D．﹣1【题型6 绝对值的非负性】39．（2023•都昌县校级模拟）已知实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简|a﹣b|﹣|1﹣a|+|b﹣2|的结果是．40．（2023春•防城区期中）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则|b﹣a|﹣|a+b|＝．41．（2022秋•高新区期末）实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简|a+3b|+|a ﹣b|的结果为．42．（2022秋•成县期中）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简代数式|b ﹣a|﹣|a﹣2|+|b+1|的结果是．【题型7 算术平方根的非负性】43．（2022秋•青神县期末）若，则x的取值范围是（）A．x＝2B．x≤﹣2C．x≤2D．x≥2 44．（2023春•上城区校级期中）若，则x的取值范围是（）A．x＞3B．x≥3C．x＜3D．x≤3 45．（2022秋•广饶县校级期末）若，|b|＝5，且ab＜0，则a+b的算术平方根为（）A．4B．2C．±2D．3【题型8 算术平方根和绝对值的非负性综合】46．（2023春•无棣县期中）已知实数x、y满足，则的值是（）A．1B．2C．3D．4 47．（2023春•繁峙县期中）若a，b为实数，且，则（a+b）2023＝（）A．1B．﹣1C．﹣2023D．2023 48．（2023春•八步区期中）已知，则a+b＝（）A．8B．﹣8C．6D．﹣6 49．（2023春•江城区期中）若，则5x+y2的平方根是（）A．3B．2C．±2D．±3 50．（2023•巧家县校级三模）若，则a b的值为．。
实数知识点总结及练习题
复习：实数知识点总结一、平方根：如果a x =2，那么x 叫做a 的平方根（或二次方根）。
记作a x ±=性质：（1）平方根号里的数是非负数，即0≥a（2）正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
例 1、36的平方根是 ；16的算术平方根是 .2、如果102=x ，则x 是一个 数，x 的整数部分是 .3、=22 ，()23-= ，213= ，()=-225 ，20= ， 综上所述，=2a .4、()=29 ，()=236 ，()=⎪⎭⎫ ⎝⎛-227 ，()=20 ， 综上所述，()=2a .二、立方根：如果a x =3，那么x 叫做a 的立方根（或三次方根）。
记作3a x =性质：（1）立方根号里的数是任意实数（2）任意实数的立方根只有一个，且符号相同例 1、8的立方根是 ；327-＝ .2、=-3343 ，=-3343 ，则33433a3、37-的相反数是 .4、=33a ，()=33a .三、实数分类⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧ 0无限不循环小数负无理数正无理数无理数无限不循环小数有限小数或负分数正分数分数负整数正整数整数有理数实数说明：（1）实数与数轴上的点一一对应。
（2）相反数：a ，b 是实数且互为相反数b a b a -==+⇔,0（3）绝对值：设a 表示一个实数，则⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=时当时当时当0 000 a a a a a a例 1、把下列各数分别填入相应的集合里：()2,2,3.0,1010010001.0,125,722,0,123-----•π 有理数集合：｛ ｝；无理数集合：｛ ｝；负实数集合：｛ ｝；2、2-的绝对值是，11-的绝对值是 .3+的相反数是，-的相反数的绝对值是 .4、计算：22322+-测试题：一、选择题：1、实数38 2π 34 310 25 其中无理数有（）A 、 1个B 、 2个C 、 3个D 、 4个2、如果162=x ，则的值是（）A 、 4B 、 -4C 、 4±D 、 2±3、下列说法正确的是（）A 、 25的平方根是5B 、22-的算术平方根是2C 、 8.0的立方根是2.0D 、65是3625的一个平方根 4、下列说法其中错误的有（ ）个⑴无限小数都是无理数 ⑵无理数都是无限小数 ⑶带根号的数都是无理数⑷两个无理数的和还是无理数 （5）两个无理数的积还是无理数A 、 3B 、 1C 、 4D 、 25、如果x x -=2成立的条件是（）A 、0≥xB 、0≤xC 、0>xD 、0<x6、下列说法错误的是（）A 、2a 与2)(a -相等 B 、a 与a -互为相反数C 、3a 与3a -是互为相反数D 、a 与a -相等 7、b a ,的位置如图所示，则下列各式中有意义的是（ ）.A 、b a +B 、b a -C 、abD 、a b - 8、16的平方根是（ ） A. 4 B. -4 C. 4± D. 2±9、下列说法：① 任意一个数都有两个平方根； ② 3的平方根是3的算术平方根 ； ③ -125的立方根是5±； ④23是一个分数； ⑤ 32-无意义。
七年级下册实数知识点概括及常见题目
七年级下册实数知识点概括及常见题目
一、知识点概括
1.实数的概念
实数是包括有理数和无理数的数的集合，它们可以表示在数轴
上的位置。
实数具有加法、减法、乘法和除法等运算规则。
2.有理数
有理数是可以表示为两个整数之比的数，包括正整数、负整数、零、正分数和负分数。
有理数之间可以进行加减乘除运算，还可以
比较大小。
3.无理数
无理数是不能表示为两个整数之比的数，它们的十进制表示是
无限不循环的小数。
无理数包括根号2、根号3等。
4.实数的分布
实数可以在数轴上表示出来，正数在右侧，负数在左侧。
实数
之间可以进行大小比较。
二、常见题目
以下是七年级下册实数部分常见的题目类型：
1.判断题：给出一个数，判断它是有理数还是无理数。
2.计算运算结果：计算两个实数的和、差、积、商。
3.比较大小：给出两个实数，判断它们的大小关系。
4.补全数轴：给出数轴上的几个点，补全数轴上其它的实数点。
5.排序实数：给出几个实数，按大小顺序排列它们。
6.选择题：根据题目描述选择符合条件的实数。
以上是七年级下册实数知识点的概括及常见题目类型。
通过熟
练掌握这些知识点和题目类型，可以提高对实数的理解和应用能力。
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特性：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，零的平方根还是零。
实数第六章负数没有平方根。
知识讲解+题型归纳 a 的算术平方根，零的算术平方根还是零。
正数a的正的平方根也叫做:求一个数的平方根的运算，叫做开平方。
开平方知识讲解的a 。
数2.立方根：如果一个数的立方等于a，则称这个数为a立方根实数的组成一、立方根用表示。
任何数都有立方根，一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的1、实数又可分为正实数，零，负实数立方根，零的立方根是零。
数轴：数轴的三要素——原点、正方向和单位长度。
数轴上的点与实2. 开立方：求一个数的立方根（三次方根）的运算，叫做开立方。
数一一对应四、实数的运算二、相反数、绝对值、倒数有理数的加法法则：。
正a的相反数是-a相反数：只有符号不同的两个数互为相反数。
数1.a）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；性质：互数的相反数是负数，负数的相反数是正数，零的相反数是零.b)异号两数相加。
绝对值相等时和为0；绝对值不相等时，取绝对值较。
为相反数的两个数之和为0大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.任何数与零相的绝对值为 a2.绝对值：表示点到原点的距离，数| a|1加等于原数。
没有实数倒数：乘积为3.1的两个数互为倒数。
非0a的倒数为 . 0a2.有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。
倒数。
3.乘法法则：和正04.相反数是它本身的数只有；绝对值是它本身的数是非负数（0a）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；零乘以任何数都数）；倒数是它本身的数是±1.得零．三、平方根与立方根b）几个不为0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的，这个数叫做平方根：如果一个数的平方等于1.aa的平方根。
数a的个数为奇数时，积为负，为偶数，积为正a?）a>=0（平方根记作题型归纳，积就为0c）几个数相乘，只要有一个因数为04.有理数除法法则：经典例题）同号得正，异号得负，并把绝对值相0a）两个有理数相除（除数不为类型一．有关概念的识别。
0除以任何非0实数都得0除。
）π，，，其中，无理数的个数有（．下面几个数：，…，，3 1）除以一个数等于乘以这个数的倒数。
b4D、、3 B1 、2 C A、:有理数的乘方5.π，是解析：本题主要考察对无理数概念的理解和应用，其中，…，3n n叫指数中，a叫底数，在a无理数0a）正数的任何次幂都是正数；负数的偶次幂是正数，奇次幂是负数；故选C 的任何次幂都是0举一反三：00b）a）=1（a不等于【变式1】下列说法中正确的是（）6.有理数的运算顺序： A、的平方根是±3 B、1的立方根是±1 C、=±1 D、是5的平）同级运算，先左后右a方根的相反数开方，接着算乘除，最后是加减。
混合运算，b）先算括号内的，再乘方、【答案】本题主要考察平方根、算术平方根、立方根的概念，五·实数大小比较的方法正确．，∴A3∵=9，9的平方根是±1）数轴法：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点表示的数 D都不正确．B、C、=1∵1的立方根是1，，是5的平方根，∴则；若则；若则a-b>0a>ba-b<0a<ba-b=0a=b）比差法：若2；则两个数均为正数时，）比商法：3A.a/b>1a>ba/b<1a<b 则】如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的2 【变式；则两个数均为负数时，B.a/b>1a<ba/b<1a>b则A原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点>负数一正一负时，正数C.表示的数是（）22ba）平方法：4、均为正数时，若a>b；均为负数时相反，则有a>b5)倒数法：两个实数，倒数大的反而小（不论正负）、D 、 C 、 B 1 、A 类型三．数形结合【答案】本题考察了数轴上的点与全体实数的一一对应的关系．∵正ABA，B两在数轴上表示的数为，点3. ，∴A表示数为，故选C．点在数轴上表示的数为，则方形的边长为1，对角线为，由圆的定义知|AO|=点的距离为______解析：在数轴上找到【变式3】 A、B两点，举一反三：3 【答案】∵π= …，∴9＜π＜10【变式1】如图，数轴上表示13 因此3π-9＞0，π-10＜0 ，的对应点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数是（）．∴类型二．计算类型题 A．－1 B．1－ C．2－ D．－2【答案】选C 2 ．设，则下列结论正确的是（）B. A.C. [变式2]D.已知实数、、在数轴上的位置如图所示：B 解析：（估算）因为，所以选举一反三：化简【答案】： -27__________11 【变式】）的算术平方根是；平方根是）立方根是， ________________________________. 3），___________.类型四．实数绝对值的应用）.21 【答案】）；， -3. 3），4 ．化简下列各式：【变式 2 (1) || 】求下列各式中的(2) |π|（（）2 (3) |-| 3） (4) |x-|x-3|| (x≤3) （）12+6x+10|（x=-2或x=42）（1【答案】（）(5) |x x=-4 ）3分析：要正确去掉绝对值符号，就要弄清绝对值符号内的数是正数、，由此得不等式组a 从-49|=0，由非负数的和的性质知：3a-b=0且负数还是零，然后根22-49=0据绝对值的定义正确去掉绝对值。
+|a而求出a, b的值。
(1) ∵=…＜解：解：由题意得∴||=∴a=±由(2)得 a(2) ∵π=…＜ 72=49π∴||=π由(3)得 a>-7，∴a=-7不合题意舍去。
|-|=- ∴∴只取a=7(3) ∵＜,把a=7代入≤≤∵x3, ∴x-30, (1)得b=3a=21 (4)∴ |x-|x-3||=|x-(3-x)| ∴a=7, b=21为所求。
举一反三： =|2x-3| =(x-y) 1】已知(x-6)-z|2x-3| 说明：这里对的结果采取了分类讨论的方法，我们对233的值。
++|y+2z|=0，求【变式2++|y+2z|=0(x-6) 解：∵这个绝对值的基本概念要有清楚的认识，并能灵活运用。
2≥0, ≥0, |y+2z| 且(x-6)≥0,几个非负数的和等于零，则必有每个加数都222+1| +6x+9+1|=|(x+3) (5) |x+6x+10|=|x为0。
220 +1(x+3)0, ∵ (x+3)≥∴＞∴解这个方程组得22+6x+10 ∴ |x+6x+10|= x3333=64+1=65 =(6-2) ∴(x-y)-(-1)-z 举一反三：】化简：1【变式【变式2】已知那么a+b-c的值为___________ =+-= 【答案】【答案】初中阶段的三个非负数：，a=2,b=-5,c=-1; a+b-c=-2 类型五．实数非负性的应用a, b，求实数=0．已知：5 的值。
类型六．实数应用题，分子＞a+70，只能有＞0分析：已知等式左边分母不能为，则要求0的矩形，要作8cm，宽为13cm的正方形和一个长为11cm．有一个边长为6一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，问边长应为多少cm。
答：中间的小正方形的面积，解：设新正方形边长为xcm，（或）根据题意得 x =11+13×822发现的规律是：∴(2) =225 大正方形的边长：，小正方形的边长：2 xx= ∴±15，即，2 cm大正方形的面积比小正方形的面积多24 又 x=-15 ∵边长为正，∴不合题意舍去，∴只取x=15(cm)所以有，化简得：答：新的正方形边长应取15cm。
将代入，得：举一反三：cmba【变式1】拼一拼，画一画：请你用4个长为，宽为的矩形拼成一个cm。
答：中间小正方形的边长 4个长方形拼大正方形，并且正中间留下的空白区域恰好是一个小正方形。
（图时不重叠）类型七．易错题（1 7．判断下列说法是否正确）计算中间的小正方形的面积，聪明的你能发现什么？cm（ 2）当拼成的这个大正方形边长比中间小正方形边长多时，大正方形（1）的算术平方根是-3；（23）的平方根是±15.2cm（3）当x=0或2时，的面积就比小正方形的面积多24 ，求中间小正方形的边长.（4）是分数解析：（1）错在对算术平方根的理解有误，算术平方根是非负数. 故1 解析：（）如图，中间小正方形的边长是：（2）表示225的算术平方根，即=15.实际上，本题是求15的平方根，= ，所以面积为，= 大正方形的面积故的平方根是.x=0 时， =，显然此式无意义，（。
=一个长方形的面积 3）注意到，当x，所0≠发生错误的原因是忽视了“负数没有平方根”，故所以，x=2时，x=0.以当 99x=23）错在对实数的概念理解不清（4. 形如分数，但不是分数，它是无∴ .(3) 设①理数.则②类型八．引申提高①，得②-. -b，小数部分为）已知的整数部分为ab 999x=107，，求a 8．（122的值. ∴ 2 （）把下列无限循环小数化成分数：①②③）分析：确定算术平方根的整数部分与小数部分，首先判断这个算术平（1方根在哪两个整数之间，那么较小的整数即为算术平方根的整数部分，算术平方根减去整数部分的差即为小数部分．得解：由a=5, 的整数部分的小数部分，∴①（2）解：(1) 设x=则②①得②-9x=6. ∴①设 (2)则②①，得-②。