2008年数学周报试题及答案
初中数学一元二次方程与二次函数的关系
一元二次方程与二次函数的关系方程与函数有着密切的联系，我们可以利用方程（组）解决函数问题，也可以利用函数解决方程（组）问题.我们知道，二次函数的一般形式是，而一元二次方程的一般形式是.显然当二次函数中时就能得到一元二次方程，所以一元二次方程与二次函数是特殊与一般的关系.一、知识链接透彻理解数学概念，提升你的数学内涵！1.利用一元二次方程解决二次函数问题：（1）对于二次函数来说，当时，就得一元二次方程，因此我们可以利用一元二次方程求二次函数图像与轴的交点坐标.进一步我们还可以探讨一元二次方程的取值与二次函数图像与轴的交点坐标的情况之间的关系：①当时，一元二次方程有两个不相等的实数根，抛物线与轴有两个交点；②当时，一元二次方程有两个相等的实数根，抛物线与轴有唯一交点（这个唯一交点就是抛物线的顶点）；③当时，一元二次方程没有实数根，抛物线与轴没有交点（抛物线要不全部在轴上方，要不全部在轴下方）.c bx ax y ++=2)0(≠a 02=++c bx ax )0(≠a c bx ax y ++=2)0(≠a 0=y 02=++c bx ax )0(≠a c bx ax y ++=2)0(≠a 0=y 02=++c bx ax )0(≠a x ac b 42-=∆x 042>-=∆ac b 02=++c bx ax c bx ax y ++=2x 042=-=∆ac b 02=++c bx ax c bx ax y ++=2x 042<-=∆ac b 02=++c bx ax c bx ax y ++=2x x x(2)我们还可以利用一元二次方程根与系数的关系解决有关二次函数图像与轴交点横坐标的有关求值问题：当一元二次方程有两个不相等的实数根、时，抛物线与轴交于两点A(,0)、B(,0)，此时有，·.此时抛物线与轴两交点的距离为： AB==（公式①）. （3）推广：我们可以利用一元二次方程来研究抛物线与与直线（当时为一次函数的图像，当时为平行于轴或与轴重合的一条直线）的交点情况.2.利用二次函数解决一元二次方程问题一方面，反过来，我们可以根据抛物线与x 轴的交点情况去判断一元二次方程的根的情况.另一方面，我们还可以利用二次函数图像比较直观地去解决有关一元二次方程的解的问题以及有关系数的值的问题.二、典例精讲参与数学解题过程，品味数学内在魅力！ 例1（福州市中考题）已知二次函数的图象如图10-1所示，则下列结论正确的是()A ．a ＞0B ．c ＜0C ．b 2－4ac ＜0D ．a ＋b ＋c ＞0 x 02=++c bx ax 1x 2x c bx ax y ++=2x 1x 2x a bx x -=+211x ac x =2x 21x x -221)(x x -212214)(x x x x -+=224a ac b -=a ∆=c bx ax y ++=2b kx y +=0≠k 0=k x x b y =c bx ax y ++=202=++c bx ax c bx ax y ++=2分析：a决定抛物线的开口方向，c决定抛物线与y轴的交点情况，抛物线的对称轴由a、b共同决定，b2－4ac决定抛物线与x轴的交点情况．本题中，由于抛物线开口方向向下，因此a＜0；抛物线与y轴的交点（0，c）在x轴上方，因此c＞0；由于抛物线对称轴在y轴右侧，所以x=－b2a＞0，所以b＞0；由于抛物线与x轴有两个交点，所以b2－4ac＞0．a＋b＋c是x＝1时的函数值，而图像上点（1，a＋b＋c）在x轴上方，所以a＋b＋c＞0．答案：D．技巧提升：本题是二次函数图像信息探究问题．解决这类问题就应熟练掌握a、b、c、x＝－b2a、a＋b＋c、b2－4ac等与抛物线的位置特征之间的关系．例2（徐州市中考题）平面直角坐标系中，若平移二次函数y=(x-2009)(x-2008)+4的图象，使其与x轴交于两点，且此两点的距离为1个单位，则平移方式为（）A．向上平移4个单位B．向下平移4个单位C．向左平移4个单位D．向右平移4个单位分析：因为二次函数y=(x-2009)(x-2008)的图象与x轴交于点（2008，0）和（2009，0），这两点间的距离为1，而二次函数y=(x-2009)(x-2008)的图象可由二次函数y=(x-2009)(x-2008)+4的图象向下平移4个单位得到． 答案：B ．技巧提升：本题也可以倒过来想，容易知道抛物线y=(x-2009)(x-2008)+4经过点（2009，4）、（2008，4），这两点的距离围为1，要将这两点平移到x 轴上，应将图像向下平移4个单位．研究抛物线平移问题，一般我们要抓住特征对应点来分析．例3（镇江市中考题）已知实数x ，y 满足x 2＋3x ＋y －3＝0，则x ＋y 的最大值为.分析：可以利用二次函数最值方法来求，由x 2＋3x ＋y －3＝0得，x ＋y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，所以当x ＝－1时，x ＋y 最大值为4；也可以尝试用换元法解决，设，则原方程可化为，因为这个关于必有实数根，所以，解得，所以（即x ＋y ）的最大值为4.答案：4.技巧提升：第一种分析方法，由等式是一个关于x 的二次方程，也是关于y 的一次方程，所以可以联想到把式子转化为“x ＋y ”关于x 的二次函数，利用函数知识求解；第二种分析方法将问题转化为求关于x 的一元二次方程的参数的取k y x =+0322=-++k x x x 0)3(44≥--=∆k 4≤k k k值范围问题来解决，有异曲同工之效．例4（日照市中考题）如图10-2，是二次函数y ＝ax 2+bx+c 图象的一部分，其对称轴为直线x ＝1，若其与x 轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax 2＋bx＋c ＜0的解集是.分析：由于已知了抛物线与x 轴的一交点为A （3，0），且与对称轴x ＝1的距离为2，所以根据抛物线的轴对称性可知抛物线与x 轴的另一交点应在对称轴左侧，且与直线x ＝1的距离也为2，其坐标应为（－1，0）.观察图像可知，当－1＜x ＜3时，抛物线在x 轴下方，所以不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集是－1＜x ＜3答案:－1＜x ＜3.技巧提升：不等式ax 2＋bx ＋c ＞0（或＜0）的解集就是二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象在x 轴上（下）方的点所对应的x 的取值范围，因此不等式ax 2＋bx ＋c ＞0（或＜0）的解集与抛物线与x 轴的交点的横坐标有关，所以解决一般这类问题要先利用一元二次方程求出抛物线与x 轴的交点坐标． 例5（咸宁市中考题）已知二次函数的图象与轴两交点的坐标分别为（，0），（，0）（）．（1）证明；（2）若该函数图象的对称轴为直线，试求二次函数的最小值． 分析：本题是二次函数问题，可借助一元二次方程与二次函2y x bx c =+-x m 3m -0m ≠243c b =1x =数的关系来解决．解：（1）证明：法一：依题意，，是一元二次方程的两根． 根据一元二次方程根与系数的关系，得，． ∴，，∴．法二：由题意得，①—②得，因为，所以．代入①得，所以，所以，，所以．法三：由抛物线的轴对称性可知其对称轴为，可得（下同法二）．（2）解：法一：依题意，，∴． 由（1）得． ∴．∴二次函数的最小值为．法二：因为函数图象与轴两交点的坐标分别为（，0），（，0），所以由抛物线的轴对称性可知抛物线的对称轴是直线， 所以，所以，故抛物线与x 轴的两交点为、，所以抛物线的解析式为，当时，，∴二次函数的最小值为．技巧提升：本题两小题都给出了不同的解法，应注意体会不同解法的异同．一题多解，多中选优，平时解题的思考会带来解题能力的提升．例6（杭州市中考题）定义[]为函数的特征数,m 3m -20x bx c +-=(3)m m b +-=-(3)m m c ⨯-=-2b m =23c m =224312c b m ==⎩⎨⎧=--=-+039022c bm m c bm m 0482=+-bm m 0m ≠m b 2=0222=-+c m m 23m c =2124m c =22123m b =243b c =2)3(2m m b x -+=-=m b 2=12b -=2b =-2233(2)344c b ==⨯-=2223(1)4y x x x =--=--4-x m 3m -m x -=1=-m 1-=m )0,1(-)0,3(32)3)(1(2--=-+=x x x x y 1=x 4321-=--=最小y 4-,,a b c 2y ax bx c =++下面给出特征数为[2m,1-m,-1–m]的函数的一些结论：①当m ＝-3时，函数图象的顶点坐标是(，)；②当m>0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于；③当m<0时，函数在x>时，y 随x 的增大而减小；④当m ≠0时，函数图象经过同一个点．其中正确的结论有（）A ．①②③④B ．①②④C ．①③④D ．②④分析：把m ＝－3代入[2m ，1–m,–1–m]，得a ＝－6，b ＝4，c ＝2，函数解析式为y ＝－6x 2+4x+2，易求出其图像顶点为(，)，故①正确；当a=2m 、b=1-m 、c=-1-m 时，△=b 2－4ac ＝(1－m)2－4×2m ×(－1－m)＝(3m+1)2，根据公式①可知函数图象截x 轴所得的线段长度为=，当m ＞0时，=＞，故②正确；∵m ＜0，∴抛物线开口向下.∵抛物线对称轴为x ＝－＝＝，∴在对称轴左侧，即当时，y 随x 的增大而增大，对称轴右侧，即当时，y 随x 的增大而减小.在∵<,所以当x>时，图像有可能一部分在对称轴左侧，一部分在对称轴右侧，故③不正确；对于抛物线31382341313821x x -a ∆=m m 2)13(2+=m m 213+21x x -m m m 2123213+=+322b a 122m m--⨯1144m -m x 4141-<m x 4141->141144m -41y=2mx 2+(1-m)x-1-m 时，当x=1时，y=2m+1－m+(－1－m)＝0，∴当m ≠0时，抛物线一定经过(1，0)这个点，故④正确． 答案：B.技巧提升：本题综合考查了二次函数的各个方面的知识，比如二次函数图像顶点公式、二次函数的增减性、函数图像上的顶点问题、抛物线与x 轴交点之间的距离等.其中第③个问题体现了一元二次方程与二次函数关系的核心知识，应引起重视.例7（2008年扬州市中考题改编）若关于x 的一元二次方程的两根在1与2之间（不含1和2），则a 的取值范围是．分析：这是一个一元二次方程问题，如果直接用一元二次方程的根来列不等式组，需要列5个不等式，也就是：、、、 、，这样将会很麻烦．那么如何解才能比较简单呢？如果我们利用二次函数图像来帮助分析，0522=++ax x 0402>-=∆a 04402>-+-a a 14402<-+-a a 04402>---a a 14402<---a a解法将简单得多．令，如图10-3我们可以画出这个函数的大致图像．根据图像对称轴在y 轴右侧，可知，解得．再根据可得．根据图像特征可知图像上横坐标为1和2的两个点的纵坐标都是正数，所以可得，可解得．这样就能得到a 的取值范围是．答案：．技巧提升：利用一元二次方程解决二次函数问题，这种题型比较多，也容易想到.而反过来，利用二次函数解决一元二次方程问题，这种题型就比较少了，遇到的时候也不容易想到.以后遇到一元二次方程问题，用方程知识不好解决时，可以尝试用用二次函数．例8（潍坊市中考题）已知函数y 1＝x 2与函数y 2＝－12x ＋3的图象大致如图10-4，若y 1＜y 2，则自变量x 的取值范围是（）A ．－12 ＜x ＜2B ．x ＞2或x ＜－32C ．－2＜x ＜32D ．x ＜－2或x ＞32分析：当y 1＜y 2时，在图象中反映的是直线在抛物线的上方，522++=ax x y 04>-a 0<a 0402>-=∆a 102-<a ⎩⎨⎧>+⋅+⨯>+⋅+⨯052220511222a a 213->a 102213-<<-a 102213-<<-a也就是两函数图像两个交点之间的部分，所以我们要求出这两个函数图像的交点．由解得、，因此满足要求的自变量x 的取值范围应该是－2＜x ＜32． 答案：C ．技巧提升：作为选择题，解答本题时，也可以不解方程组．先根据直线在抛物线的上方排除答案B 、D ，再根据两函数图像的右交点更靠近对称轴（y 轴）可排除答案A ．例9（2007年“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题）已知点A ，B 的坐标分别为（1，0），（2，0）．若二次函数的图象与线段AB 恰有一个交点，则的取值范围是．分析：要注意抛物线与线段AB 恰有一个交点应包含两种情况：⑴抛物线与x 轴只有一个交点，这个交点恰好在线段AB 上．由判别式解得．当时，，不合题意；当时，，符合题意．⑵抛物线与x 轴有两个交点，其中只有一个在线段AB上．设抛物线与x 轴的两个交点为C （）、D （），则．若只有点D 在线段AB 上，则，，显然，不合题意；若只有点C 在线段AB 上，则⎪⎩⎪⎨⎧+-==3212x y x y ⎩⎨⎧=-=4211y x ⎪⎩⎪⎨⎧==492322y x ()233y x a x =+-+a ()233y x a x =+-+()233y x a x =+-+012)3(2=--=∆a 0∆=323a =±323a =+123x x ==-323a =-123x x ==()233y x a x =+-+0,1x )0,(2x 21x x <321=x x 101<<x 212≤≤x 321<x x，．当点D 与点A 、B 都不重合时，函数如图10-5所示，从图像可以看出，图像上横坐标为1的点在x 轴上方，横坐标为2的点在x 轴下方，所以，解得．当当点D 与点A 重合时，由，得，此时，，符合题意；当点D 与点B 都重合时，由，得，此时，，不符合题意．综上所述，的取值范围是≤，或者．答案：≤，或者技巧提升：本题中要注意对不同情况进行分类讨论，既要考虑到一般情况，还要考虑到特殊情况．例10（全国初中数学联合竞赛试题）设是大于2的质数，k 为正整数．若函数的图象与x 轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k 的值．分析：函数图象与x 轴两交点的横坐标就是方程的两根，可考虑利用一元二次方程根与系数的关系来解决．解：由题意知，方程的两根中至少有一个为整数．由根与系数的关系可得，从而有①211≤≤x 22>x ⎩⎨⎧<+-+>+-+03)3(2403)3(1a a 112a -<<-031)3(12=+⨯-+a 1a =-11=x 32=x 032)3(22=+⨯-+a 12a =-21=x 232=x a 1-12a <-3a =-1-12a <-3a =-p 4)1(2-+++=p k px x y 04)1(2=-+++p k px x 04)1(2=-+++p k px x 21,x x 4)1(,2121-+=-=+p k x x p x x p k x x x x x x )1(4)(2)2)(2(212121-=+++=++（1）若，则方程为，它有两个整数根和．（2）若，则.因为为整数，如果中至少有一个为整数，则都是整数.又因为为质数，由①式知或．不妨设，则可设（其中m 为非零整数），则由①式可得，故，即．又，所以，即② 如果m 为正整数，则，，从而，与②式矛盾. 如果m 为负整数，则，，从而，与②式矛盾.因此，时，方程不可能有整数根． 综上所述，．技巧提升：由于方程两根之和为质数，所以只要有一个根是整数，则另一个根也必然是整数.我们也可以从方程根的1k =0)2(22=-++p px x 2-2p -1k >01>-k 12x x p +=-21,x x 21,x x p 2|1+x p 2|2+x p 2|1+x p 12x mp +=212k x m-+=121(2)(2)k x x mp m-+++=+1214k x x mp m-++=+12x x p +=-14k p mp m--+=+41)1(=-++mk p m (1)(11)36m p +≥+⨯=10k m->1(1)6k m p m-++>(1)0m p +<10k m-<1(1)0k m p m-++<1>k 04)1(2=-+++p k px x 1=k p特征来分析．根据一元二次方程求根公式可知方程的根应为，要使得其根为整数，根的判别式的值必须是完全平方数．由于是质数，因此当的值是完全平方数时，关于的二次三项式必然等于（为非负整数），也就是说应成为关于的一个完全平方式，因此可得其，可解得，（舍去）．三．学力训练检测自己能力，体验成功乐趣！ 1．选择题：（1）（天津市中考题）已知二次函数()的图象如图10-6所示，有下列结论：①；②；③；④．其中，正确结论的个数是（） A ．1B ．2C ．3D ．4（图10-6）（图10-7）（图10-8）（2）(百色市中考题)二次函数ｙ＝－ｘ2＋bx ＋ｃ的图象如图10-7所示，下列几个结论：①对称轴为ｘ＝2；②当ｙ≤0时，x ＜0或x ＞4；③函数解析式为y ＝－ｘ(x －４)；④当04)1(2=-+++p k pxx216)1(42++-±-=p k p p x 16)1(42++-p k p p 16)1(42++-p k p p 16)1(42++-p k p 2)(n p ±n 16)1(42++-p k p p 064)1(162=-+=∆k 11=k 32-=k 2y ax bx c =++0a ≠240bac ->0abc >80a c +>930a b c ++<x ≤0时，y 随x 的增大而增大.其中正确的结论有（） A ．①②③④ B ．①②③ C ．①③④ D ．①③（3）（“《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛试题）把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m ，n ，则二次函数的图象与x 轴有两个不同交点的概率是（）A ．B ．C ．D ．（4）(2008年全国初中数学竞赛浙江赛区初赛试题)在平面直角坐标系中，如果横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点，将二次函数y ＝－x2＋6x －274的图象与x 轴所围成的封闭图形染成红色，则在此红色区域内部及其边界上的整点的个数是（ ） A ．5B ．6 C ．7 D ．82．填空题：（1）（新疆维吾尔自治区中考题）抛物线y ＝-x 2+bx+c 的部分图象如图所示，若y ＞0，则x 的取值范围是_______．（2）（玉溪市中考题）如图10-9是二次函数在平面直角坐标系中的图象，根据图形判断①＞0；②++＜0；③2-＜0；④2+8＞4中正确的是（填写序号）．（3）（2006年全国初中数学联合竞赛辽宁卷）函数y =x 2-2006|x |+2008的图象与x 轴交点的横坐标之和等于2y x mx n =++51249173612)0(2≠++=a c bx ax y c a b c a b b a a c__________．(4)（全国初中数学联合竞赛题）二次函数的图象与轴正方向交于A ，B 两点，与轴正方向交于点C ．已知，，则．3.（佛山市中考题）（1）请在坐标系中画出二次函数的大致图象；（2）根据方程的根与函数图象的关系，将方程的根在图上近似的表示出来（描点）； （3）观察图象，直接写出方程的根．（精确到0.1）（图10-10）4.（长沙市中考题）已知：二次函数的图象过点（1，0），一次函数图象经过原点和点（1，－b ），其中a>b>0且a 、b 为实数．（1）求一次函数的表达式（用含b 的式子表示）； （2）试说明：这两个函数的图象交于不同的两点； （3）设（2）中的两个交点的横坐标分别为、，求的范围．c bx x y ++=2x y AC AB 3=︒=∠30CAO c =xx y 22-=122=-x x 122=-x x22y ax bx =+-1x 2x 12||x x -5.（肇庆市中考题）已知二次函数的图象过点（2，1）．（1）求证：； （2）求的最大值；（3）若二次函数的图象与轴交于点，，，，的面积是，求．6．(2007年全国初中数学联合竞赛试题)设为正整数，且，二次函数的图象与轴的两个交点间的距离为，二次函数的图象与轴的两个交点间的距离为.如果对一切实数恒成立，求的值.7.（2009年“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题）已知抛物线与动直线有公共点，，且.（1）求实数t 的取值范围；（2）当t 为何值时，c 取到最小值，并求出c 的最小值. 8．（全国初中数学联合竞赛试题）已知二次函数的图象经过两点P ，Q .（1）如果都是整数，且，求的值. （2）设二次函数的图象与轴的交点为A 、B ，与轴的交点为C.如果关于的方程的两个根都是整12+++=c bx x y P 42--=b c bc x 1(x A )02(x B )0ABP ∆43b n m ,2≠m mt x mt x y 3)3(2--+=x 1d nt x n t x y 2)2(2+-+-=x 2d 21d d ≥t n m ,2y x =c x t y --=)12(),(11y x ),(22y x 3222221-+=+t t x x 2y x bx c =+-(1,)a (2,10)a ,,a b c 8c b a <<,,a b c 2y x bx c =+-x y x 20x bx c +-=数，求△ABC 的面积.第10讲．一元二次方程与二次函数的关系参考答案 1．选择题：（1）D ；（2）C ；（3）C ；（4）C ；2．填空题：（1）－3＜x ＜1；(2)②、④；（3）0；(4)．3.解：（1）如图所示；（2）如图所示，抛物线与直线y=1的两个交点的横坐标就是方程的两根，也就是x 轴上点C 、点D 所表示的数； （3）方程的根为-0.4、 2.4.4.解：（1）设一次函数的表达式为y ＝kx(k 为常数，k ≠0)．∵一次函数图象经过原点和点（1，－b ），∴把点（1，－b ），代入y ＝kx ，得－b ＝k,即k ＝－b ． ∴一次函数的表达式为y ＝－bx ． （2）∵y=ax 2+bx －2过（1，0）即a+b=2 由得①∵△＝19x x y 22-=122=-x x 122=-x x≈1x ≈2x 2(2)2y bxy b x bx =-⎧⎨=-+-⎩22(2)20ax a x +--=224(2)84(1)120a a a -+=-+>∴方程①有两个不相等的实数根，∴方程组有两组不同的解， ∴两函数有两个不同的交点．（3）∵两交点的横坐标x 1、x 2分别是方程①的解 ∴ ∴或由求根公式得出∵a>b>0，a+b=2，∴2>a>1 令函数，∵在1<a<2时y 随a 增大而减小， ∴，∴． 5.解：（1）∵的图象过点（2，1） ∴ ∴（2） 当时，此时， ∴当时，有最大值，最大值为2。
数学周报_杯_2008年全国初中数学竞赛试题及解答
购物原价超过３００元；则第一次购物原价为９４．５÷０．９＝１０５（元）．所以小丽应付（３１６＋１０５－３００）×０．８＋３００×０．９＝３６２．８（元）．２０．（１）证明：如图，延长ＣＢ至点Ｇ，使得ＢＧ＝ＤＦ，连结ＡＧ．因为ＡＢＣＤ是正方形，所以在Ｒｔ△ＡＤＦ和Ｒｔ△ＡＢＧ中，ＡＤ＝ＡＢ，∠ＡＤＦ＝∠ＡＢＧ＝９０°，ＤＦ＝ＢＧ．∴Ｒｔ△ＡＤＦ≌Ｒｔ△ＡＢＧ（ＳＡＳ），∴ＡＦ＝ＡＧ，∠ＤＡＦ＝∠ＢＡＧ．又∵ＡＥ是∠ＢＡＦ的平分线，∴∠ＥＡＦ＝∠ＢＡＥ，∴∠ＤＡＦ＋∠ＥＡＦ＝∠ＢＡＧ＋∠ＢＡＥ．即∠ＥＡＤ＝∠ＧＡＥ． ∵ＡＤ∥ＢＣ，∴∠ＧＥＡ＝∠ＥＡＤ，∴∠ＧＥＡ＝∠ＧＡＥ，∴ＡＧ＝ＧＥ．即ＡＧ＝ＢＧ＋ＢＥ．∴ＡＦ＝ＤＦ＋ＢＥ，得证．（２）Ｓ＝Ｓ△ＡＤＦ＋Ｓ△ＡＢＥ＝１２ＤＦ·ＡＤ＋１２ＢＥ·ＡＢ．∵ＡＤ＝ＡＢ＝１，∴Ｓ＝１２（ＤＦ＋ＢＥ）．由（１）知，ＡＦ＝ＤＦ＋ＢＥ，所以Ｓ＝１２ＡＦ．在Ｒｔ△ＡＤＦ中，ＡＤ＝１，ＤＦ＝ｘ，∴ＡＦ＝ｘ２槡＋１，∴Ｓ＝１２ｘ２槡＋１．由上式可知，当ｘ２达到最大值时，Ｓ最大．而０≤ｘ≤１，所以，当ｘ＝１时，Ｓ最大值为１２ｘ２槡＋１＝１２槡２櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕毇毇毇毇．“《数学周报》杯”２００８年全国初中数学竞赛试题及解答 一、选择题（共５小题，每小题６分，满分３０分．以下每道小题均给出了代号为Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填都得０分）１．已知实数ｘ，ｙ满足４ｘ４－２ｘ２＝３，ｙ４＋ｙ２＝３，则４ｘ４＋ｙ４的值为（ ）．Ａ．７ Ｂ．槡１＋１３２ Ｃ．槡７＋１３２ Ｄ．５【答】（Ａ）解：因为ｘ２＞０，ｙ２≥０，由已知条件得１ｘ２＝槡２＋４＋４×４×３８＝槡１＋１３４，ｙ２＝槡－１＋１＋４×３２＝槡－１＋３２，所以４ｘ４＋ｙ４＝２ｘ２＋３＋３－ｙ２＝２ｘ２－ｙ２＋６＝７．另解：由已知得（－２ｘ２）２＋（－２ｘ２）－３＝０，（ｙ２）２＋ｙ２－３＝０烅烄烆．显然－２ｘ２≠ｙ２，以－２ｘ２，ｙ２为根的一元二次方程为ｔ２＋ｔ－３＝０，所以（－２ｘ２）＋ｙ２＝－１，（－２ｘ２）×ｙ２＝－３．故４ｘ＋ｙ３＝［（－２ｘ２＋ｙ２）］２－２×（－２ｘ２）×ｙ２＝（－１）２－２×（－３）＝７．２．把一枚六个面编号分别为１，２，３，４，５，６的质地均匀的正方体骰子先后投掷２次，若两个正面朝上的编号分别为ｍ，ｎ，则二次函数ｙ＝ｘ２＋ｍｘ＋ｎ的图象与ｘ轴有两个不同交点的概率是（ ）．Ａ．５１２ Ｂ．４９ Ｃ．１７３６ Ｄ．１２【答】（Ｃ）解：基本事件总数有６×６＝３６，即可以得到３６个二次函数．由题意知Δ＝ｍ２－４ｎ＞０，即ｍ２＞４ｎ．通过枚举知，满足条件的ｍ，ｎ有１７对．故Ｐ＝１７３６．３．有两个同心圆，大圆周上有４个不同的点，小圆周上有２个不同的点，则这６个点可以确定的不同直线最少有（ ）．Ａ．６条 Ｂ．８条 Ｃ．１０条 Ｄ．１２条（第３题）【答】（Ｂ）解：如图，大圆周上有４个不同的点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，两两连线可以确定６条不同的直线；小圆周上的两个点Ｅ，Ｆ中，至少有一个不是四边形ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ与ＢＤ３４的交点，则它与Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ的连线中，至少有两条不同于Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ的两两连线．从而这６个点可以确定的直线不少于８条．当这６个点如图所示放置时，恰好可以确定８条直线．所以，满足条件的６个点可以确定的直线最少有８条．（第４题）４．已知ＡＢ是半径为１的圆Ｏ的一条弦，且ＡＢ＝ａ＜１．以ＡＢ为一边在圆Ｏ内作正△ＡＢＣ，点Ｄ为圆Ｏ上不同于点Ａ的一点，且ＤＢ＝ＡＢ＝ａ，ＤＣ的延长线交圆Ｏ于点Ｅ，则ＡＥ的长为（ ）．Ａ．槡５２ａ Ｂ．１ Ｃ．槡３２ Ｄ．ａ【答】（Ｂ）解：如图，连接ＯＥ，ＯＡ，ＯＢ．设∠Ｄ＝α，则∠ＥＣＡ＝１２０°－α＝∠ＥＡＣ．又因为∠ＡＢＯ＝１２∠ＡＢＤ＝１２（６０°＋１８０°－２α）＝１２０°－α，所以△ＡＣＥ≌△ＡＢＯ，于是ＡＥ＝ＯＡ＝１．另解：如图，作直径ＥＦ，连结ＡＦ，以点Ｂ为圆心，ＡＢ为半径作⊙Ｂ．因为ＡＢ＝ＢＣ＝ＢＤ，则点Ａ，Ｃ，Ｄ都在⊙Ｂ上，由∠Ｆ＝∠ＥＤＡ＝１２∠ＣＢＡ＝１２×６０°＝３０°，所以ＡＥ＝ＥＦ×ｓｉｎ∠Ｆ＝２×ｓｉｎ３０°＝１．５．将１，２，３，４，５这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（ ）．Ａ．２种 Ｂ．３种 Ｃ．４种 Ｄ．５种【答】（Ｄ）解：设ａ１，ａ２，ａ３，ａ４，ａ５是１，２，３，４，５的一个满足要求的排列．首先，对于ａ１，ａ２，ａ３，ａ４，不能有连续的两个都是偶数，否则，这两个之后都是偶数，与已知条件矛盾．又如果ａｉ（１≤ｉ≤３）是偶数，ａｉ＋１是奇数，则ａｉ＋２是奇数，这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数．所以ａ１，ａ２，ａ３，ａ４，ａ５只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下５种情形满足条件：２，１，３，４，５； ２，３，５，４，１； ２，５，１，４，３；４，３，１，２，５； ４，５，３，２，１．二、填空题（共５小题，每小题６分，满分３０分）６．对于实数ｕ，ｖ，定义一种运算“＊”为：ｕ＊ｖ＝ｕｖ＋ｖ．若关于ｘ的方程ｘ＊（ａ＊ｘ）＝－１４有两个不同的实数根，则满足条件的实数ａ的取值范围是．【答】ａ＞０，或ａ＜－１．解：由ｘ＊（ａ＊ｘ）＝－１４，得（ａ＋１）ｘ２＋（ａ＋１）ｘ＋１４＝０．依题意有ａ＋１≠０，Δ＝（ａ＋１）２－（ａ＋１）＞０｛．解得 ａ＞０，或ａ＜－１．７．小王沿街匀速行走，发现每隔６分钟从背后驶过一辆１８路公交车，每隔３分钟从迎面驶来一辆１８路公交车．假设每辆１８路公交车行驶速度相同，而且１８路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是分钟．【答】４．解：设１８路公交车的速度是ｘ米／分，小王行走的速度是ｙ米／分，同向行驶的相邻两车的间距为ｓ米．每隔６分钟从背后开过一辆１８路公交车，则６ｘ－６ｙ＝ｓ．①每隔３分钟从迎面驶来一辆１８路公交车，则３ｘ＋３ｙ＝ｓ．②由①，②可得ｓ＝４ｘ，所以ｓｘ＝４．即１８路公交车总站发车间隔的时间是４分钟．（第８题）８．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝７，ＡＣ＝１１，点Ｍ是ＢＣ的中点，ＡＤ是∠ＢＡＣ的平分线，ＭＦ∥ＡＤ，则ＦＣ的长为．（第９题）【答】９．解：如图，设点Ｎ是ＡＣ的中点，连接ＭＮ，则ＭＮ∥ＡＢ．又ＭＦ∥ＡＤ，所以４４∠ＦＭＮ＝∠ＢＡＤ＝∠ＤＡＣ＝∠ＭＦＮ，所以ＦＮ＝ＭＮ＝１２ＡＢ．因此ＦＣ＝ＦＮ＋ＮＣ＝１２ＡＢ＋１２ＡＣ＝９．另解：如图，过点Ｃ作ＡＤ的平行线交ＢＡ的延长线为Ｅ，延长ＭＦ交ＡＥ于点Ｎ．则∠Ｅ＝∠ＢＡＤ＝∠ＤＡＣ＝∠ＡＣＥ．所以ＡＥ＝ＡＣ＝１１．又ＦＮ∥ＣＥ，所以四边形ＣＥＮＦ是等腰梯形，即ＣＦ＝ＥＮ＝１２ＢＥ＝１２×（７＋１１）＝９．９．△ＡＢＣ中，ＡＢ＝７，ＢＣ＝８，ＣＡ＝９，过△ＡＢＣ的内切圆圆心Ｉ作ＤＥ∥ＢＣ，分别与ＡＢ，ＡＣ相交于点Ｄ，Ｅ，则ＤＥ的长为．【答】１６３．（第９题）解：如图，设△ＡＢＣ的三边长为ａ，ｂ，ｃ，内切圆Ｉ的半径为ｒ，ＢＣ边上的高为ｈａ，则１２ａｈａ＝Ｓ△ＡＢＣ＝１２（ａ＋ｂ＋ｃ）ｒ，所以ｒｈａ＝ａａ＋ｂ＋ｃ．因为△ＡＤＥ∽△ＡＢＣ，所以它们对应线段成比例，因此ｈａ－ｒｈａ＝ＤＥＢＣ，所以ＤＥ＝ｈａ－ｒｈａ·ａ＝（１－ｒｈａ）ａ＝（１－ａａ＋ｂ＋ｃ）ａ＝ａ（ｂ＋ｃ）ａ＋ｂ＋ｃ，故ＤＥ＝８×（７＋９）８＋７＋９＝１６３．另解：∵Ｓ△ＡＢＣ＝ｒｐ＝ｐ（ｐ－ａ）（ｐ－ｂ）（ｐ－ｃ槡）槡槡＝１２×４×３×５＝１２ ５，（这里ｐ＝ａ＋ｂ＋ｃ２）所以ｒ１２ ＝槡５１２槡＝５，ｈａ＝２Ｓ△ＡＢＣａ２×１２ ５８槡２ ＝槡５．由△ＡＤＥ∽△ＡＢＣ，得ＤＥＢＣ＝ｈａ－ｒｈａ３ ５－５槡３ ＝槡槡５＝２３，即ＤＥ＝２３ＢＣ＝１６３．１０．关于ｘ，ｙ的方程ｘ２＋ｙ２＝２０８（ｘ－ｙ）的所有正整数解为．【答】ｘ＝４８，ｙ＝３２｛， ｘ＝１６０，ｙ＝３２｛．解：因为２０８是４的倍数，偶数的平方数除以４所得的余数为０，奇数的平方数除以４所得的余数为１，所以ｘ，ｙ都是偶数．设ｘ＝２ａ，ｙ＝２ｂ，则ａ２＋ｂ２＝１０４（ａ－ｂ）．同上可知，ａ，ｂ都是偶数．设ａ＝２ｃ，ｂ＝２ｄ，则ｃ２＋ｄ２＝５２（ｃ－ｄ），所以，ｃ，ｄ都是偶数．设ｃ＝２ｓ，ｄ＝２ｔ，则ｓ２＋ｔ２＝２６（ｓ－ｔ），于是（ｓ－１３）２＋（ｔ＋１３）２＝２×１３２，其中ｓ，ｔ都是偶数．所以（ｓ－１３）２＝２×１３２－（ｔ＋１３）２≤２×１３２－１５２＜１１２．所以｜ｓ－１３｜可能为１，３，５，７，９，进而（ｔ＋１３）２为３３７，３２９，３１３，２８９，２５７，故只能是（ｔ＋１３）２＝２８９，从而｜ｓ－１３｜＝７．于是ｓ＝６，ｔ＝４｛；ｓ＝２０，ｔ＝４｛．因此ｘ＝４８，ｙ＝３２｛，ｘ＝１６０，ｔ＝３２｛．另解：因为（ｘ－１０４）２＋（ｙ＋１０４）２＝２×１０４２＝２１６３２，则有（ｙ＋１０４）２≤２１６３２．又ｙ正整数，所以１≤ｙ≤４３．令ａ＝｜ｘ－１０４｜，ｂ＝｜ｙ＋１０４｜，则ａ２＋ｂ２＝２１６３２．因为任何完全平方数的个位数为：１，４，５，６，９，由ａ２＋ｂ２＝２１６３２知ａ２，ｂ２的个位数只能是１和１或６和６．当ａ２，ｂ２的个位数是１和１时，则ａ，ｂ的个位数字可以为１或９．但个位数为１和９的数的平方数的十位数字为偶数，与ａ２＋ｂ２的十位数字为３矛盾．当ａ２，ｂ２的个位数是６和６时，则ａ，ｂ的个位数字可以为４或６．由１０５≤ｂ≤１４７，取ｂ＝１０６，１１４，１１６，１２４，１２６，１３４，１３６，１４４，１４６代入ａ２＋ｂ２＝２１６３２得，只有当ｂ＝５４１３６时，ａ＝５６，即｜ｘ－１０４｜＝５６，｜ｙ＋１０４｜＝１３６｛．解得ｘ＝４８，ｙ＝３２｛； ｘ＝１６０，ｙ＝３２｛．三、解答题（共４题，每题１５分，满分６０分）１１．在直角坐标系ｘＯｙ中，一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）的图象与ｘ轴，ｙ轴的正半轴分别交于Ａ，Ｂ两点，且使得△ＯＡＢ的面积值等于｜ＯＡ｜＋｜ＯＢ｜＋３．（１）用ｂ表示ｋ；（２）求△ＯＡＢ面积的最小值．解：（１）令ｘ＝０，得ｙ＝ｂ，ｂ＞０；令ｙ＝０，得ｘ＝－ｂｋ＞０，ｋ＜０．所以Ａ，Ｂ两点的坐标分别为Ａ（－ｂｋ，０），Ｂ（０，ｂ），于是，△ＯＡＢ的面积为Ｓ＝１２ｂ·（－ｂｋ）．由题意，有１２ｂ·（－ｂｋ）＝－ｂｋ＋ｂ＋３．解得 ｋ＝２ｂ－ｂ２２（ｂ＋３），ｂ＞２．（２）由（１）知Ｓ＝１２ｂ·（－ｂｋ）＝ｂ（ｂ＋３）ｂ－２＝（ｂ－２）２＋７（ｂ－２）＋１０ｂ－２＝ｂ－２＋１０ｂ－２＋７＝（ｂ槡－２－１０ｂ槡－２）２槡＋７＋２ １０≥槡７＋２ １０．当且仅当ｂ－２＝１０ｂ－２时，有Ｓ槡＝７＋２ １０，即当ｂ槡＝２＋１０，ｋ＝－１时，不等式中的等号成立．所以，△ＡＢＣ面积的最小值为槡７＋２ １０．１２．是否存在质数ｐ，ｑ，使得关于ｘ的一元二次方程ｐｘ２－ｑｘ＋ｐ＝０有有理数根？解：设方程有有理数根，则判别式为平方数．令Δ＝ｑ２－４ｐ２＝ｎ２，其中ｎ是一个非负整数．则（ｑ－ｎ）（ｑ＋ｎ）＝４ｐ２．由于１≤ｑ－ｎ≤ｑ＋ｎ，且ｑ－ｎ与ｑ＋ｎ同奇偶，故同为偶数．因此，有如下几种可能情形：ｑ－ｎ＝２，ｑ＋ｎ＝２ｐ２｛， ｑ－ｎ＝４，ｑ＋ｎ＝ｐ２｛， ｑ－ｎ＝ｐ，ｑ＋ｎ＝４ｐ｛．ｑ－ｎ＝２ｐ，ｑ＋ｎ＝２ｐ｛， ｑ－ｎ＝ｐ２，ｑ＋ｎ｛＝４消去ｎ，解得ｑ＝ｑ２＋１，ｑ＝２＋ｐ２２，ｑ＝５ｐ２，ｑ＝２ｐ，ｑ＝２＋ｐ２２．对于第１，３种情形，ｐ＝２，从而ｑ＝５；对于第２，５种情形，ｐ＝２，从而ｑ＝４（不合题意，舍去）；对于第４种情形，ｑ是合数（不合题意，舍去）．又当ｐ＝２，ｑ＝５时，方程为２ｘ２－５ｘ＋２＝０，它的根为ｘ１＝１２，ｘ２＝２它们都是有理数．综上所述，存在满足题设的质数．★１２．已知ａ，ｂ为正整数，关于ｘ的方程ｘ２－２ａｘ＋ｂ＝０的两个实数根为ｘ１，ｘ２，关于ｙ的方程ｙ２＋２ａｙ＋ｂ＝０的两个实数根为ｙ１，ｙ２，且满足ｘ１·ｙ１－ｘ２·ｙ２＝２００８．求ｂ的最小值．解：由韦达定理，得ｘ１＋ｘ２＝２ａ，ｘ１·ｘ２＝ｂ；ｙ１＋ｙ２＝－２ａ，ｙ１·ｙ２＝ｂ，即ｙ１＋ｙ２＝－２ａ＝－（ｘ１＋ｘ２）＝（－ｘ１）＋（－ｘ２），ｙ１·ｙ２＝ｂ＝（－ｘ１）·（－ｘ２）｛．解得 ｙ１＝－ｘ１，ｙ２＝－ｘ２｛； 或ｙ１＝－ｘ２，ｙ２＝－ｘ１｛．把ｙ１，ｙ２的值分别代入ｘ１·ｙ１－ｘ２·ｙ２＝２００８得ｘ１·（－ｘ１）－ｘ２·（－ｘ２）＝２００．或ｘ１·（－ｘ２）－ｘ２·（－ｘ１）＝２００８（不成立）．即ｘ２２－ｘ２１＝２００８，（ｘ２＋ｘ１）（ｘ２－ｘ１）＝２００８．因为ｘ１＋ｘ２＝２ａ＞０，ｘ１·ｘ２＝ｂ＞０，所以ｘ１＞０，ｘ２＞０．于是有２ａ·４ａ２－４槡ｂ＝２００８．即ａ·ａ２ －槡ｂ＝５０２＝１×５０２＝２×２５１．因为ａ，ｂ都是正整数，所以ａ＝１，ａ２－ｂ＝５０２｛２或ａ＝５０５，ａ２－ｂ｛＝１或ａ＝２，ａ２－ｂ＝２５１｛２或ａ＝２５１，ａ２－ｂ＝４｛．分别解得：ａ＝１，ｂ＝１－５０２｛２或ａ＝５０２，ｂ＝５０２２｛－１或ａ＝２，ｂ＝２－２５１｛２或ａ＝２５１，ｂ＝２５１２－４｛．经检验只有：ａ＝５０２ｂ＝５０２２｛－１，ａ＝２５１ｂ＝２５１２｛－４符合题意．所以ｂ的最小值为：ｂ最小值＝２５１２－４＝６２９９７．６４１３．是否存在一个三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一个内角２倍的△ＡＢＣ？证明你的结论．解：存在满足条件的三角形．当△ＡＢＣ的三边长分别为ａ＝６，ｂ＝４，ｃ＝５时，∠Ａ＝２∠Ｂ．（第１３（Ａ）题答案）如图，当∠Ａ＝２∠Ｂ时，延长ＢＡ至点Ｄ，使ＡＤ＝ＡＣ＝ｂ．连接ＣＤ，则△ＡＣＤ为等腰三角形．因为∠ＢＡＣ为△ＡＣＤ的一个外角，所以∠ＢＡＣ＝２∠Ｄ．由已知，∠ＢＡＣ＝２∠Ｂ，所以∠Ｂ＝∠Ｄ．所以△ＣＢＤ为等腰三角形．又∠Ｄ为△ＡＣＤ与△ＣＢＤ的一个公共角，有△ＡＣＤ∽△ＣＢＤ，于是ＡＤＣＤ＝ＣＤＢＤ， 即ｂａ＝ａｂ＋ｃ，所以 ａ２＝ｂ（ｂ＋ｃ）．而６２＝４×（４＋５），所以此三角形满足题设条件，故存在满足条件的三角形．说明：满足条件的三角形是唯一的．若∠Ａ＝２∠Ｂ，可得ａ２＝ｂ（ｂ＋ｃ）．有如下三种情形：（ⅰ）当ａ＞ｃ＞ｂ时，设ａ＝ｎ＋１，ｃ＝ｎ，ｂ＝ｎ－１（ｎ为大于１的正整数），代入ａ２＝ｂ（ｂ＋ｃ），得（ｎ＋１）２＝（ｎ－１）（２ｎ－１）．解得ｎ＝５，有ａ＝６，ｂ＝４，ｃ＝５；（ⅱ）当ｃ＞ａ＞ｂ时，设ｃ＝ｎ＋１，ａ＝ｎ，ｂ＝ｎ－１（ｎ为大于１的正整数），代入ａ２＝ｂ（ｂ＋ｃ），得ｎ２＝（ｎ－１）·２ｎ．解得ｎ＝２，有ａ＝２，ｂ＝１，ｃ＝３，此时不能构成三角形；（ⅲ）当ａ＞ｂ＞ｃ时，设ａ＝ｎ＋１，ｂ＝ｎ，ｃ＝ｎ－１（ｎ为大于１的正整数），代入ａ２＝ｂ（ｂ＋ｃ），得（ｎ＋１）２＝ｎ（２ｎ－１），即ｎ２－３ｎ－１＝０，此方程无整数解．所以，三边长恰为三个连续的正整数，且其中一个内角等于另一个内角的２倍的三角形存在，而且只有三边长分别为４，５，６构成的三角形满足条件．★１３．如图，△ＡＢＣ的三边长ＢＣ＝ａ，ＡＣ＝ｂ，ＡＢ＝ｃ，ａ，ｂ，ｃ都是整数，且ａ，ｂ的最大公约数是２．点Ｇ和点Ｉ分别为△ＡＢＣ的重心和内心，且∠ＧＩＣ＝９０°，求△ＡＢＣ的周长．解：如图，连结ＧＡ，ＧＢ．过Ｇ，Ｉ作直线交ＢＣ，ＡＣ于点Ｅ，Ｆ，作△ＡＢＣ的内切圆Ｉ，切ＢＣ边于点Ｄ．记△ＡＢＣ的半周长为Ｐ，内切圆半径为ｒ，ＢＣ，ＡＣ边上的高线长为ｈａ，ｈｂ．∵Ｓ△ＡＢＣ＝ｒｐ＝ｐ（ｐ－ｑ）（ｐ－ｂ）（ｐ－ｃ槡），∴ｒ＝（ｐ－ａ）（ｐ－ｂ）（ｐ－ｃ）槡ｐ．易知：ＣＤ＝ｐ－ｃ，在Ｒｔ△ＣＩＥ中，ＤＥ＝ｒ２ｐ－ｃ，即ＤＥ＝（ｐ－ａ）（ｐ－ｂ）ｐ．∴ＣＥ＝ＣＤ＋ＤＥ＝（ｐ－ｃ）＋（ｐ－ａ）（ｐ－ｂ）ｐ＝ａｂｐ．又∵ＣＩ⊥ＥＦ，ＣＩ平分∠ＡＣＢ，所以ＣＥ＝ＣＦ．由Ｓ△ＡＢＣ＝Ｓ△ＡＢＧ＋Ｓ△ＢＥＧ＋Ｓ△ＡＦＧ＋Ｓ△ＦＥＣ，Ｓ△ＡＢＣ＝Ｓ△ＡＢＣ３＋１２×（ａ－ａｂｐ）×ｈａ３＋１２×（ｂ－ａｂｐ）×ｈｂ３＋２×１２×ａｂｐ×ｒ，即 Ｓ△ＡＢＣ＝Ｓ△ＡＢＣ３＋（１２×ａ×ｈａ）×ｐ－ｂ３ｐ＋（１２×ｂ×ｈｂ）×ｐ－ａ３ｐ＋ａｂｐ２×ｒｐ．整理得２ｐ２－ｃｐ＝３ａｂ，即３ａｂ＝２ｐ２－ｃｐ＝ｐ（２ｐ－ｃ）＝ｐ（ａ＋ｂ）．设△ＡＢＣ的周长为ｍ，则ｍ＝２ｐ＝６ａｂａ＋ｂ为整数．由已知（ａ，ｂ）＝２，设ａ＝２ｓ，ｂ＝２ｔ，且（ｓ，ｔ）＝１，ｓ，ｔ都是正整数，代入上式，得ｍ＝１２ｓｔｓ＋ｔ．∵（ｓ，ｓ＋ｔ）＝１，（ｔ，ｓ＋１）－１，∴ｓ＋ｔ是１２的约数，即ｓ＋ｔ＝１，２，３，４，６，１２．不妨设ｓ≥１，则（ｓ，ｔ）＝１，得ｓ＝１，ｔ＝１，ｍ＝６烅烄烆； ｓ＝２，ｔ＝１，ｍ＝８烅烄烆； ｓ＝３，ｔ＝１，ｍ＝９烅烄烆；ｓ＝５，ｔ＝１，ｍ＝１０烅烄烆； ｓ＝１１，ｔ＝１，ｍ＝１１烅烄烆； ｓ＝７，ｔ＝５，ｍ＝３５烅烄烆．经检验，只有 ｓ＝７，ｔ＝５，ｍ＝３５烅烄烆． 符合题意，所以 ａ＝１４，ｂ＝１０，ｃ＝１０或ａ＝１０，ｂ＝１４，ｃ＝１１，即所求△ＡＢＣ的周长为３５．７４１４．从１，２，…，９中任取ｎ个数，其中一定可以找到若干个数（至少一个，也可以是全部），它们的和能被１０整除，求ｎ的最小值．解：当ｎ＝４时，数１，３，５，８中没有若干个数的和能被１０整除．当ｎ＝５时，设ａ１，ａ２，…，ａ５是１，２，…，９中的５个不同的数．若其中任意若干个数，它们的和都不能被１０整除，则ａ１，ａ２，…，ａ５中不可能同时出现１和９；２和８；３和７；４和６．于是ａ１，ａ２，…，ａ５中必定有一个数是５．若ａ１，ａ２，…，ａ５中含１，则不含９．于是不含４（４＋１＋５＝１０），故含６；于是不含３（３＋６＋１＝１０），故含７；于是不含２（２＋１＋７＝１０），故含８．但是５＋７＋８＝２０是１０的倍数，矛盾．若ａ１，ａ２，…，ａ５中含９，则不含１．于是不含６（６＋９＋５＝２０），故含４；于是不含７（７＋４＋９＝２０），故含３；于是不含８（８＋９＋３＝１０），故含２．但是５＋３＋２＝１０是１０的倍数，矛盾．综上所述，ｎ的最小值为５．★★１４．已知有６个互不相同的正整数ａ１，ａ２，…，ａ６，且ａ１＜ａ２＜…＜ａ６，从这６个数中任意取出３个数，分别设为ａｉ，ａｊ，ａｋ，其中ｉ＜ｊ＜ｋ．记ｆ（ｉ，ｊ，ｋ）＝１ａｉ＋２ａｊ＋３ａｋ．证明：一定存在３个不同的数组（ｉ，ｊ，ｋ），其中１≤ｉ＜ｊ＜ｋ≤６，使得对应着的３个ｆ（ｉ，ｊ，ｋ）两两之差的绝对值都小于０．５．（征求答案獉獉獉獉）。
2008年《数学周报》试题及答案
中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛试题参考答案答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答.2．解答书写时不要超过装订线.3．草稿纸不上交.一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得0分）1．已知实数满足，则的值为（）．（A）7 （B）（C）（D）5【答】（A）解：因为，≥0，由已知条件得，，所以 7．另解：由已知得：，显然，以为根的一元二次方程为，所以故＝2．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m，n，则二次函数的图象与x轴有两个不同交点的概率是（）．（A）（B）（C）（D）【答】（C）解：基本事件总数有6×6＝36，即可以得到36个二次函数. 由题意知＝＞0，即＞4.通过枚举知，满足条件的有17对. 故.3．有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可以确定的不同直线最少有( )．（A）6条（B）8条（C）10条（D）12条【答】（B）解：如图，大圆周上有4个不同的点A，B，C，D，两两连线可以确定6条不同的直线；小圆周上的两个点E，F中，至少有一个不是四边形ABCD的对角线AC与BD的交点，则它与A，B，C，D的连线中，至少有两条不同于A，B，C，D的两两连线．从而这6个点可以确定的直线不少于8条．当这6个点如图所示放置时，恰好可以确定8条直线．所以，满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条．4．已知是半径为1的圆的一条弦，且．以为一边在圆内作正△，点为圆上不同于点A 的一点，且，的延长线交圆于点，则的长为（）．（A）（B）1 （C）（D）a【答】（B）解：如图，连接OE，OA，OB．设，则．又因为，所以≌，于是．另解：如图，作直径EF，连结AF，以点B为圆心，AB为半径作⊙B，因为AB＝BC＝BD，则点A，C，D都在⊙B 上，由所以5．将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（）．（A）2种（B）3种（C）4种（D）5种【答】（D）解：设是1，2，3，4，5的一个满足要求的排列．首先，对于，不能有连续的两个都是偶数，否则，这两个之后都是偶数，与已知条件矛盾．又如果（1≤i≤3）是偶数，是奇数，则是奇数，这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数．所以只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5种情形满足条件：2，1，3，4，5；2，3，5，4，1；2，5，1，4，3；4，3，1，2，5；4，5，3，2，1．二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6．对于实数u，v，定义一种运算“*”为：．若关于x的方程有两个不同的实数根，则满足条件的实数a的取值范围是．【答】，或．解：由，得，依题意有解得，，或．7．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是分钟．【答】4．解：设18路公交车的速度是米/分，小王行走的速度是米/分，同向行驶的相邻两车的间距为米．每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车，则．①每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，则．②由①，②可得，所以．即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟．8．如图，在△中，AB=7，AC=11，点M是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，MF∥AD，则FC的长为．【答】9．解：如图，设点N是AC的中点，连接MN，则MN∥AB．又，所以，所以．因此9．另解：如图，过点C作AD的平行线交BA的延长线为E，延长MF交AE于点N.则所以.又，所以四边形是等腰梯形，即9．△ABC中，AB＝7，BC＝8，CA＝9，过△ABC的内切圆圆心I作DE∥BC，分别与AB，AC相交于点D，E，则DE的长为．【答】．解：如图，设△ABC的三边长为a，b，c，内切圆I的半径为r，BC边上的高为，则，所以．因为△ADE∽△ABC，所以它们对应线段成比例，因此，所以，故．另解：＝（这里）所以，由△ADE∽△ABC，得，即10．关于x，y的方程的所有正整数解为．【答】解：因为208是4的倍数，偶数的平方数除以4所得的余数为0，奇数的平方数除以4所得的余数为1，所以x，y都是偶数．设，则，同上可知，a，b都是偶数．设，则，所以，c，d都是偶数．设，则，于是＝，其中s，t都是偶数．所以≤．所以可能为1，3，5，7，9，进而为337，329，313，289，257，故只能是＝289，从而＝7．于是因此另解：因为则有又y正整数，所以令因为任何完全平方数的个位数为：1，4，5，6，9由知的个位数只能是1和1或6和6；当的个位数是1和1时，则的个位数字可以为1或9但个位数为1和9的数的平方数的十位数字为偶数，与的十位数字为3矛盾。
2008年《数学周报》试题及答案
中国教育学会中学数学教学 业委员会数学周报 杯 2008年全国初中数学竞赛试题参考答案题 号 一 二 三 总 分1～5 6～10 11 1213 14 得 分 评卷人复查人答题时注意 1．用圆珠笔或钢笔作答.2．解答书写时 要超过装订线. 3．草稿纸 交.一、选择题 共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有 只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得0分1．已知实数x y 满足 42424233y y x x −=+= 则444y x+的值为 ．A 7BCD 5 答 A解 因为20x > 2y 代 由已知条件得21x == 2y == 所444y x +=22233y x ++− 2226y x=−+=7． 另解 由已知得 2222222()()30()30x xy y −+−−= +−= 显然222y x −≠ 222,y x −为根的一元 次方程为230t t +−= 所 222222()1,()3y y x x−+=−−×=− 故444y x + 22222222[()]2()(1)2(3)7y y x x−+−×−×=−−×−= 2．把一枚 个面编号 别为1 2 3 4 5 6的质地均匀的 方体骰子先后投掷2次 若两个 面朝 的编号 别为m n 则 次函数2y x mx n =++的图象 x 轴有两个 同交点的概率是．第3题A512 B 49 C 1736 D 12答 C解 基本 件总数有6×6 36 即可 得到36个 次函数. 由题意知∆ 24m n − 代 即2m 4n .通过枚举知 满足条件的m n 有17对. 故1736P =. 3．有两个同心圆 大圆周 有4个 同的点 小圆周 有2个 同的点 则这6个点可 确定的 同直线最少有( )．A 6条B 8条C 10条D 12条答 B解 如图 大圆周 有4个 同的点A B C D 两两连线可 确定6条 同的直线 小圆周 的两个点E F 中 至少有一个 是四边形ABCD 的对角线AC BD 的交点 则它 A B CD 的连线中 至少有两条 同于A B C D 的两两连线．从而这6个点可 确定的直线 少于8条．当这6个点如图所示放置时 恰好可 确定8条直线． 所 满足条件的6个点可 确定的直线最少有8条．4．已知AB 是半径为1的圆O 的一条弦 且1AB a =<． AB 为一边在圆O 内作 △ABC 点D 为圆O 同于点A 的一点 且DB AB a == DC 的延长线交圆O于点E 则AE 的长为 ．AB 令CD a 答 B解 如图 连接OE OA OB ． 设D α∠= 则 120ECA EAC α∠=°−=∠．又因为()1160180222ABO ABD α∠=∠=°+°−120α=°−所 ACE △≌ABO △ 于是1AE OA ==． 另解 如图 作直径EF 连结AF 点B 为圆心 AB 作⊙B 因为AB BC BD 则点A C D 都在⊙B由11603022F EDA CBA ∠=∠=∠=×°=°所2301AE EF sim F sim =×∠=×°=第4题5．将1 2 3 4 5这五个数 排成一排 最后一个数是奇数 且使得其中任意连续 个数之和都能被这 个数中的第一个数整除 那 满足要求的排法有 ．A 2种B 3种C 4种D 5种 答 D解 设12345a a a a a 是1 2 3 4 5的一个满足要求的排列．首先 对于1234a a a a 能有连续的两个都是偶数 否则 这两个之后都是偶数 已知条件矛盾．又如果i a 1 i 3 是偶数 1i a +是奇数 则2i a +是奇数 这说明一个偶数后面一定要接两个或两个 的奇数 除非接的这个奇数是最后一个数．所 12345a a a a a 只能是 偶 奇 奇 偶 奇 有如 5种情形满足条件2 1345 2 3 5 4 1 2 5 1 4 3 4 3 1 2 5 4 5 3 2 1．二、填空题 共5小题，每小题6分，满分30分6．对于实数u v 定 一种运算 * 为 u v uv v ∗=+．若关于x 的方程1()4x a x ∗∗=−有两个 同的实数根 则满足条件的实数a 的取值范围是 ．答 0a > 或1a <−．解 由1()4x a x ∗∗=− 得21(1)(1)04a x a x ++++=依题意有 210(1)(1)0a a a +≠ ∆=+−+>解得 0a > 或1a <−．7．小王沿街匀速行走 发现 隔6 钟从背后驶过一辆18路 交车 隔3 钟从迎面驶来一辆18路 交车．假设 辆18路 交车行驶速度相同 而且18路 交车总站 隔固定时间发一辆车 那 发车间隔的时间是 钟．答 4．解 设18路 交车的速度是x 米/ 小王行走的速度是y 米/ 同向行驶的相邻两车的间距为s 米．隔6 钟从背后开过一辆18路 交车 则 s y x =−66． 隔3 钟从迎面驶来一辆18路 交车 则s y x =+33．第8题第9题答案由 可得 x s 4= 所4=xs． 即18路 交车总站发车间隔的时间是4 钟．8．如图 在△ABC 中 AB =7 AC =11 点M 是BC 的中点AD 是∠BAC 的 线 MF ∥AD 则FC 的长为 ． 答 9．解 如图 设点N 是AC 的中点 连接MN 则MN ∥AB ． 又//MF AD 所 FMN BAD DAC MFN ∠=∠=∠=∠ 所 12FN MN AB ==． 因 1122FC FN NC AB AC =+=+=9．另解 如图 过点C 作AD 的 行线交BA 的延长线为E 延长MF AE 于点N.则E BAD DAC ACE ∠=∠=∠=∠所 11AE AC ==. 又//FN CE 所 四边形CENF 是等腰梯形 即11(711)922CF EN BE ===×+=9．△ABC 中 AB 7 BC 8 CA 9 过△ABC 的内 圆圆心I 作DE ∥BC 别 AB AC 相交于点D E 则DE 的长为 ．答163． 解 如图 设△ABC 的 边长为a b c 内 圆I 的半径为r BC 边 的高为a h 则11()22a ABC ah S a b c r ==++△ 所a r ah a b c=++． 因为△ADE ∽△ABC 所 它们对应线段成比例 因a a h r DEh BC−= 所 (1)(1)a a a h r r a DE a a a h h a b c −=⋅=−=−++()a b c a b c+=++ 故 879168793DE ×+==++ ．第8题答案另解=这2a b cp ++=所 r ==2ABC a S h a ===△ 由△ADE ∽△ABC得23a a h r DE BC h −=== 即21633DE BC === 10．关于x y 的方程22208()x y x y +=−的所有 整数解为 ． 答 481603232.x x y y ====解 因为208是4的倍数 偶数的 方数除 4所得的余数为0 奇数的 方数除 4所得的余数为1 所 x y 都是偶数．设2,2x a y b == 则22104()a b a b +=−同 可知 a b 都是偶数．设2,2a c b d == 则2252()c d c d +=−所 c d 都是偶数．设2,2c s d t == 则2226()s t s t +=−于是 22(13)(13)s t −++ 2213× 其中s t 都是偶数．所222(13)213(13)s t −=×−+ 2222131511×−<．所 13s −可能为1 3 5 7 9 进而2(13)t +为337 329 313 289 257 故只能是2(13)t + 289 从而13s − 7．于是62044s s t t ====因 481603232.x x y y ====另解 因为222(104)(104)210421632x y −++=×= 则有2(104)21632,y +≤ 又y 整数 所 143y ≤≤22|104|,|104|,21632a x b y a b =−=++= 则 因为任何完全 方数的个位数为 1 4 5 6 9由2221632a b +=知22,a b 的个位数只能是1和1或6和6 当22,a b 的个位数是1和1时 则,a b 的个位数 可 为1或9但个位数为1和9的数的 方数的十位数 为偶数 22a b +的十位数 为3矛盾 当22,a b 的个位数是6和6时 则,a b 的个位数 可 为4或6由105147b ≤≤ 取b 106 114 116 124 126 134 136 144 146 入2221632a b +=得 只有当b 136时 a =56 即|104|56|104|136x y −= += 解得48160,3232x x y y == ==三、解答题 共4题，每题15分，满分60分11．在直角坐标系xOy 中 一次函数b kx y +=0k ≠ 的图象 x 轴 y 轴的 半轴 别交于A B 两点 且使得△OAB 的面积值等于3OA OB ++．令 用b 表示k2 求△OAB 面积的最小值．解令 0=x 得0y b b => 0=y 得00bx k k=−>< ． 所 A B 两点的坐标 别为0)(0)bA B b k − 于是 △OAB 的面积为)(21kbb S −⋅=．由题意 有 3(21++−=−⋅b kbk b b解得 )3(222+−=b b b k 2b >． (5)以 由 令 知 21(3)(2)7(2)10()222b b b b b S b k b b +−+−+=⋅−==−−21027)72b b =−++=++− 1027+当且仅当1022b b −=−时有S =即当102+=b 1−=k 时 等式中的等号成立． 所 △ABC 面积的最小值为1027+． ……………… 令512．是否 在质数p q 使得关于x 的一元 次方程20px qx p −+=有有理数根解 设方程有有理数根 则判别式为 方数． 2224q p n ∆=−=其中n 是一个非负整数．则2()()4q n q n p −+=． (5)由于1 q n − q +n 且q n − q n +同奇偶 故同为偶数．因 有如 几种可能情形222q n q n p −= +=24q n q n p −= +=4q n p q n p −=+=22q n p q n p −=+=24.q n p q n −=+=消去n 解得22251222222p p p q p q q q p q =+=+===+ ．……………… 令代对于第1 3种情形 2p = 从而q 5 对于第2 5种情形 2p = 从而q 4 合题意 舍去 对于第4种情形 q 是合数 合题意 舍去 ．又当2p = q 5时 方程为22520x x −+= 它的根为12122x x == 它们都是有理数．综 所述 在满足题设的质数……………… 令5★12 已知,a b 为 整数 关于x 的方程220x ax b −+=的两个实数根为12x x关于y 的方程220y ay b ++=的两个实数根为12y y 且满足11222008x y x y −= . 求b 的最小值.另解 由韦达定理 得 12122,x x a x x b +== 12122,y y a y y b +=−=即12121212122()()(),()()y y a x x x x y y b x x +=−=−+=−+− ==−− 解得 11122221y x y x y x y x =−=− =−=− 或把12,y y 的值 别 入11222008x y x y −= 得1122()()2008x x x x −−−= 或1221()()2008x x x x −−−= 成立 即22212008x x −= 2121()()2008x x x x +−=因为121220,0x x a x x b +=>=> 所 120,0x x >>于是有 22008a =即50215022251a ==×=×因为a,b 都是 整数 所 2222221505225150212514a a a a ab a b a b a b ==== −=−=−=−= 或或或 别解得 2222150222511502502122512514a a a a b b b b ==== =−=−=−=− 或或或 检验只有 2250225150212514a ab b == =−=− 符合题意. 所 b 的最小值为 2251462997b =−最小值13．是否 在一个 边长恰是 个连续 整数 且其中一个内角等于另一个内角2倍的△ABC 证明你的结论．解 在满足条件的 角形．当△ABC 的 边长 别为6=a 4=b 5=c 时 B A ∠=∠2．……………… 5 如图 当B A ∠=∠2时 延长BA 至点D 使b AC AD ==．连接CD 则△ACD 为等腰 角形．因为BAC ∠为△ACD 的一个外角 所 2BAC D ∠=∠．由已知 2BAC B ∠=∠ 所 D B ∠=∠．所 △CBD 为等腰 角形．又D ∠为△ACD △CBD 的一个 共角 有△ACD ∽△CBD 于是BD CD CD AD =即 cb aa b += 所 ()c b b a +=2．而264(45)=×+ 所 角形满足题设条件故 在满足条件的 角形． ……………… 令5说明 满足条件的 角形是唯一的．若B A ∠=∠2 可得()c b b a +=2．有如 种情形i 当b c a >>时 设1+=n a n c = 1−=n b n 为大于1的 整数 入()c b b a +=2 得()()()21121n n n +=−− 解得5=n 有6=a 4=b 5=c当b a c >>时 设1+=n c n a = 1−=n b n 为大于1的 整数入()c b b a +=2 得()n n n 212⋅−= 解得 2=n 有2=a 1=b 3=c 时 能构成 角形当c b a >>时 设1+=n a n b = 1−=n c n 为大于1的 整数 入()c b b a +=2 得()()1212−=+n n n 即 0132=−−n n 方程无整数解．所 边长恰为 个连续的 整数 且其中一个内角等于另一个内角的2倍的 角形 在 而且只有 边长 别为4 5 6构成的 角形满足条件．第13 A 题答案aC★13 如图 △ABC 的 边长,,,,,BC a AC b AB c a b c === 都是整数 且,a b 的最大 约数是2 点G 和点I 别为△ABC 的 心和内心 且90GIC ∠=° 求△ABC 的周长.另解 如图 连结GA GB 过G I 作直线交BC AC 于点EF 作△ABC 的内 圆I BC 边于点D 记△ABC 的半周长为P 内 圆半径为r BC AC 边 的高线长为,a b h hABC S rp ∆==Qr ∴=易知 CD p c =−,在Rt CIE ∆中 2r DE p c=− 即()()p a p b DE p−−=()()()p a p b abCE CD DE p c p p−−=+=−+=又 ,CI EF CI ACB ⊥∠ 所 CE CF由G EG FG FE ABC AB B A C S S S S S ∆∆∆∆∆=+++得 ABC S 111)2323232a b ABC h h ab ab abS r p p p∆∆+×−×+×−×+××× a b即ABC 2S 11()()32323ABC a b p b p a ab S h h rp p pp ∆∆−−+×××+×××+×a b整理得 223p cp ab −= 即232(2)()ab p cp p p c P a b =−=−=+ 设△ABC 的周长为m 则62abm p a b==+为整数 由已知(,)2a b = 设2,2,(,)1,,a s b t s t s t ===且都是 整数 入 式 得12stm s t=+ (,)1,(,)1s s t t s t +=+= s t +是12的约数 即s t + 1 2 3 4 6 12妨设s t ≥ 则1s t 得12351171,1,1,1,1,5689101135s s s s s s t t t t t t m m m m m m ============ ======检验 只有7535s t m == =符合题意所 14,10,11a b c ===或10,14,11a b c === 即所求△ABC 的周长为3514．从1 2 … 9中任取n 个数 其中一定可 找到若 个数 至少一个 也可 是全部 它们的和能被10整除 求n 的最小值．解 当n 4时 数1 3 5 8中没有若 个数的和能被10整除．…………… 5 当n 5时 设125a a a L 是1 2 … 9中的5个 同的数．若其中任意若 个数它们的和都 能被10整除 则125a a a L 中 可能同时出现1和9 2和8 3和7 4和6．于是125a a a L 中必定有一个数是5．若125a a a L中含1 则 含9．于是 含4 4 1 5 10 故含6 于是 含3 3 6 1 10 故含7 于是 含2 2 1 7 10 故含8．但是5 7 8 20是10的倍数 矛盾．若125a a a L 中含9 则 含1．于是 含6 6 9 5 20 故含4 于是 含7 7 4 9 20 故含3 于是 含8 8 9 3 10 故含2．但是5 3 2 10是10的倍数 矛盾．综 所述 n 的最小值为5．……………… 令5★★ 14 已知有6个互 相同的 整数126,,a a a K 且126a a a <<<K 从这6个数中任意取出3个数 别设为,i j k a a a 其中i j k << 记123(,,)i j kf i j k a a a =++ 证明 一定 在3个 同的数组(,,)i j k 其中16i j k ≤<<≤ 使得对应着的3个(,,)f i j k 两两之差的绝对值都小于0.5. 征求答案。
2008AMC8试题答案
This Solutions Pamphlet gives at least one solution for each problem on this year’s exam and shows that all the problems can be solved using material normally as-sociated with the mathematics curriculum for students in eighth grade or below. These solutions are by no means the only ones possible, nor are they necessarily superior to others the reader may devise.We hope that teachers will share these solutions with their students. However, the publication, reproduction, or communication of the problems or solutions of the AMC 8 during the period when students are eligible to participate seriously jeopardizes the integrity of the results. Dissemination at any time via copier, telephone, e-mail, World Wide Web or media of any type is a violation of the competition rules.Correspondence about the problems and solutions should be addressed to:Ms. Bonnie Leitch , AMC 8 Chair / bleitch@548 Hill Avenue, New Braunfels, TX 78130Orders for prior year Exam questions and solutions Pamphlets should be addressed to:Attn: Publications American Mathematics Competitions University of Nebraska-Lincoln P .O. Box 81606Lincoln, NE 68501-1606Copyright © 2008, The Mathematical Association of AmericaT he M aTheMaTical a ssociaTion of a MericaAmerican Mathematics Competitions 24th AnnualAMC 8(American Mathematics Contest 8)Solutions PamphletT uesday, NOvEMBER 18, 20081.Answer(B):Susan spent2×12=$24on rides,so she had50−12−24=$14to spend.2.Answer(A):Because the key to the code starts with zero,all the lettersrepresent numbers that are one less than their ing the key,C is 9−1=8,and similarly L is6,U is7,and E is1.BEST OF LUCK0123456789CLUE=86713.Answer(A):A week before the13th is the6th,which is thefirst Friday of themonth.Counting back from that,the5th is a Thursday,the4th is a Wednesday, the3rd is a Tuesday,the2nd is a Monday,and the1st is a Sunday.ORCounting forward by sevens,February1occurs on the same day of the week as February8and February15.Because February13is a Friday,February15is a Sunday,and so is February1.4.Answer(C):The area of the outer triangle with the inner triangle removedis16−1=15,the total area of the three congruent trapezoids.Each trapezoid =5.has area1535.Answer(E):Barney rides1661−1441=220miles in10hours,so his average=22miles per hour.speed is220106.Answer(D):After subdividing the central gray square as shown,6of the16congruent squares are gray and10are white.Therefore,the ratio of the area of the gray squares to the area of the white squares is6:10or3:5.7.Answer (E):Note that M45=35=3·95·9=2745,so M =27.Similarly,60N =35=3·205·20=60100,so N =100.The sum M +N =27+100=127.ORNote that M45=35,so M =35·45=27.Also 60N =35,so N60=53,andN =53·60=100.The sum M +N =27+100=127.8.Answer (D):The sales in the 4months were $100,$60,$40and $120.The average sales were 100+60+40+1204=3204=$80.ORIn terms of the $20intervals,the sales were 5,3,2and 6on the chart.Their sum is 5+3+2+6=16and the average is 164=4.The average sales were4·$20=$80.9.Answer (D):At the end of the first year,Tammy’s investment was 85%of the original amount,or $85.At the end of the second year,she had 120%of her first year’s final amount,or 120%of $85=1.2($85)=$102.Over the two-year period,Tammy’s investment changed from $100to $102,so she gained 2%.10.Answer (D):The sum of the ages of the 6people in Room A is 6×40=240.The sum of the ages of the 4people in Room B is 4×25=100.The sum of the ages of the 10people in the combined group is 100+240=340,so the average age of all the people is 34010=34.11.Answer (A):The number of cat owners plus the number of dog owners is20+26=46.Because there are only 39students in the class,there are 46−39=7students who have both.ORBecause each student has at least a cat or a dog,there are 39−20=19students with a cat but no dog,and 39−26=13students with a dog but no cat.So there are 39−13−19=7students with both a cat and a dog.13197DogCat12.Answer (C):The table gives the height of each bounce.Bounce 12345Height 23·2=23·43=23·89=23·1627=in Meters 2438916273281Because 1627>1632=12and 3281<3264=12,the ball first rises to less than 0.5meters on the fifth bounce.Note:Because all the fractions have odd denominators,it is easier to doublethe numerators than to halve the denominators.So compare 1627and 3281to their numerators’fractional equivalents of 12,1632and 3264.13.Answer (C):Because each box is weighed two times,once with each ofthe other two boxes,the total 122+125+127=374poundsis twice the combined weight of thethree boxes.The combined weight is 3742=187pounds.14.Answer (C):There are only two possible spaces for the B in row 1and onlytwo possible spaces for the A in row 2.Once these are placed,the entries in theremaining spaces are determined.The four arrangementsare:ORThe As can be placed eitheror In each case,the letter next to the top A can be B or C.At that point the rest of the grid is completely determined.So there are 2+2=4possible arrangements.15.Answer(B):The sum of the points Theresa scored in thefirst8games is37.After the ninth game,her point total must be a multiple of9between37and 37+9=46,inclusive.The only such point total is45=37+8,so in the ninth game she scored8points.Similarly,the next point total must be a multiple of 10between45and45+9=54.The only such point total is50=45+5,so in the tenth game she scored5points.The product of the number of points scored in Theresa’s ninth and tenth games is8·5=40.16.Answer(D):The volume is7×1=7cubic units.Six of the cubes have5square faces exposed.The middle cube has no face exposed.So the total surface area of thefigure is5×6=30square units.The ratio of the volume to the surface area is7:30.ORThe volume is7×1=7cubic units.There arefive unit squares facing each of six directions:front,back,top,bottom,left and right,for a total of30square units of surface area.The ratio of the volume to the surface area is7:30. 17.Answer(D):The formula for the perimeter of a rectangle is2l+2w,so2l+2w=50,and l+w=25.Make a chart of the possible widths,lengths,and areas,assuming all the widths are shorter than all the lengths.Width123456789101112Length242322212019181716151413Area24466684100114126136144150154156 The largest possible area is13×12=156and the smallest is1×24=24,for a difference of156−24=132square units.Note:The product of two numbers with afixed sum increases as the numbers get closer together.That means,given the same perimeter,the square has a larger area than any rectangle,and a rectangle with a shape closest to a square will have a larger area than other rectangles with equal perimeters.18.Answer(E):The length offirst leg of the aardvark’s trip is14(2π×20)=10πmeters.The third andfifth legs are each14(2π×10)=5πmeters long.Thesecond and sixth legs are each10meters long,and the length of the fourth leg is 20meters.The length of the total trip is10π+5π+5π+10+10+20=20π+40 meters.19.Answer(B):Choose two points.Any of the8points can be thefirst choice,and any of the7other points can be the second choice.So there are8×7=56ways of choosing the points in order.But each pair of points is counted twice,so there are 562=28possible pairs.A B CDEF G H Label the eight points as shown.Only segments AB ,BC ,CD ,DE ,EF ,F G ,GH and HA are 1unit long.So 8of the 28possible segments are 1unit long,and the probability that the points are one unit apart is 828=27.ORPick the two points,one at a time.No matter how the first point is chosen,exactly 2of the remaining 7points are 1unit from this point.So the probabilityof the second point being 1unit from the first is 27.20.Answer (B):Because 23of the boys passed,the number of boys in the class is a multiple of 3.Because 34of the girls passed,the number of girls in the classis a multiple of 4.Set up a chart and compare the number of boys who passed with the number of girls who passed to find when they are equal.Total boysBoys passed 326496Total girls Girls passed 4386The first time the number of boys who passed equals the number of girls who passed is when they are both 6.The minimum possible number of students is 9+8=17.ORBecause 23of the boys passed,the number of boys who passed must be a multiple of 2.Because 34of the girls passed,the number of girls who passed must be a multiple of 3.Because the same number of boys and girls passed,the smallestpossible number is 6,the least common multiple of 2and 3.If 6of 9boys and 6of 8girls passed,there are 17students in the class,and that is the minimum number possible.ORLet G =the number of girls and B =the number of boys.Then 23B =34G ,so 8B =9G .Because 8and 9are relatively prime,the minimum number of boysand girls is 9boys and 8girls,for a total of 9+8=17students.21.Answer (C):Using the formula for the volume of a cylinder,the bologna hasvolume πr 2h =π×42×6=96π.The cut divides the bologna in half.Thehalf-cylinder will have volume 96π2=48π≈151cm 3.Note:The value of πis slightly greater than 3,so to estimate the volume multiply 48(3)=144cm 3.The product is slightly less than and closer to answer C than any other answer.22.Answer (A):Because n3is at least 100and is an integer,n is at least 300andis a multiple of 3.Because 3n is at most 999,n is at most 333.The possible values of n are 300,303,306,...,333=3·100,3·101,3·102,...,3·111,so the number of possible values is 111−100+1=12.E F 323.Answer (C):Because the answer is a ratio,it doesnot depend on the side length of the square.Let AF =2and F E =1.That means square ABCE has side length 3and area 32=9square units.The area of BAF is equal to the area of BCD =12·3·2=3square units.Triangle DEF is an isosceles right triangle with leg lengths DE =F E =1.The area of DEF is 12·1·1=12square units.The area of BF D is equal to the area of the square minusthe areas of the three right triangles:9−(3+3+12)=52.So the ratio of the area of BF D to the area of square ABCE is 529=518.24.Answer (C):There are 10×6=60possible pairs.The squares less than60are 1,4,9,16,25,36and 49.The possible pairs with products equal to the given squares are (1,1),(2,2),(1,4),(4,1),(3,3),(9,1),(4,4),(8,2),(5,5),(6,6)and (9,4).So the probability is 1160.。
2008年《数学周报》杯全国初中数学竞赛试题及简要答案
中国教育学会中学数学教学专业委员会数学周报 杯 2008年全国初中数学竞赛试题班级__________学号__________姓 ______________得 ______________一、选择题 共5小题 小题6 满 30 以 道小题均给出了代号为A B C D 的四个选项 其中有且只有一个选项是正确的 请将正确选项的代号填入题 的括号里 填、多填或错填都得01 已知实数x y 满足 4x 4 2x23 y4 y 2 3 则4x4 y 4的值为A 7B 1 132C 7 132D 5 2 把一枚 个面编号 别为1 2 3 4 5 6的质地均匀的正方体骰子先 投掷2次 若两个正面朝 的编号 别为m n 则二次函数y x 2 mx n 的图象 x 轴有两个 交点的概率是A 512B 49C 1736D 123 有两个 心圆 大圆周 有4个 的点 小圆周 有2个 的点 则这6个点可确定的 直线最少有A 6条B 8条C 10条D 124 已知AB 是半径为1的圆O 的一条弦 且AB a 1 以AB 为一边在圆O 内作正△ABC 点D 为圆O 于点A 的一点 且DB AB a DC 的延长线交圆O 于点E 则AE 的长为A52a B 1C32D a5 将1 2 3 4 5这五个数 排成一排 最 一个数是奇数 且使得其中任意连续 个数之和都能被这 个数中的第一个数整除 那 满足要求的排法有A 2种B 3种C 4种D 5种二、填空题 共5小题 小题6 满 306 对于实数u v 定 一种运算 * 为 u *v uv v 若关于x 的方程x * a *x14有两个 的实数根 则满足条件的实数a 的取值范围是_______ 7 小王沿街匀速行走 发现 隔6 钟从背 驶过一辆18路 交车 隔3 钟从迎面驶来一辆18路 交车 假设 辆18路 交车行驶速度相 而且18路 交车总站 隔固定时间发一辆车 那 发车间隔的时间是_____ 钟 8 如图 在△ABC 中 AB 7 AC 11 点M 是BC 的中点 AD 是∠BAC 的 线 MF ∥AD 则FC 的长为______ 9 △ABC 中 AB 7 BC 8 CA 9 过△ABC 的内 圆圆心I 作DE ∥BC 别 AB AC 相交于点D E 则DE 的长为______10 关于x y 的方程x 2 y 2 208(x y )的所有正整数解为________FMCBA三、解答题 共4题 题15 满 6011 在直角坐标系xOy中 一次函数y kx b k≠0 的图象 x轴、y轴的正半轴 别交于A B两点 且使得△OAB的面积值等于｜OA｜ ｜OB｜ 3 1 用b表示k 2 求△OAB面积的最小值12 是否 在质数p q 使得关于x的一元二次方程px2 qx p 0有有理数根13 是否 在一个 边长恰是 个连续正整数 且其中一个内角等于另一个内角2倍的△ABC 证明你的结论14 从1 2 … 9中任取n个数 其中一定可以找到若 个数 至少一个 也可以是全部它们的和能被10整除 求n的最小值简答一 选择题 ACBBD二 填空题 6. a 0 或 a 1 7. 4 8. 9 9.16310. x 48 x 160 32 y 32 解答题 11. 1 k 2b b 22(b 3) b 2 2 当 b 2 10 k 1时 △OAB 面积的最小值为7 210 12. 在满足题设条件的质数p q . 当p 2 q 5时 方程2x 2 5x 2 0 的两根为 x 1 12 x 2 2. 它们都是有理数 13. 在满足条件的角形. △ABC 的边 a 6 b 4 c 5 且∠A 2∠B 证明略. 14. n 的最小值是5 证明略。
《数学周报》杯2008年韶关市八年级数学竞赛
“《数学周报》杯”2008年韶关市八年级数学竞赛初赛试题2008年6月1日（星期日），上午9：00—10：00说明：1、竞赛时间为60分钟，共30小题，每小题4分，满分120分；2、每小题有且只有一个选项是正确的，请将正确选项的代号填入答题栏里，不填、多填或错填都得0分。
1．20082007(1)(1)---的值是（ ）。
（A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）﹣2 2．对于实数a ，下列运算正确的是（ ）．（A ）)2(121a a ÷=- （B ）3232a a a =+（C ）623)(a a a -=⋅- （D ）422)()(a a a -=-⨯-3．已知7，4，3，m 四个数的平均数是5，又18，9，7，m ，n 这五个数的平均数是10，那么n 等于（ ）。
（A ）8 （B ）9 （C ）10 （D ）11 4．已知235a b -=，则1046a b -+的值等于（ ） （A ）25 （B ）20 （C ）15 （D ）05．若y 是x 的正比例函数，z 是y 的反比例函数，那么z 与x 成（ ）。
（A ）正比例 （B ）反比例（C ）平方的正比例 （D ）既不是正比例，又不是反比例6．若一个三角形的一个外角的平分线平行于三角形的一条边，则此三角形肯定是（ ）。
（A ）直角三角形 （B ）等边三角形 （C ）等腰三角形 （D ）等腰直角三角形 7．若ABCD 是平行四边形，且O 为两条对角线的交点，则下列说法中，错误的是（ ）。
（A ）∠A=∠C ，AB=CD （B ）AC 与BD 互相平分 （C ）若AC=BD ，则ABCD 为菱形 （D ）△AOB 的面积=14ABCD 的面积 8．如图1，在△ABC 中，DE ∥BC 且AD ︰DB=2︰1，则:ADE ABC S S 等于（ ）。
（A ）2︰1 （B ）4︰1 （C ）2︰3 （D ）4︰99．某学校开展“节约每一滴水”的活动，从八年级的240名同学中，任选出20名同学汇报了各自家庭一个月的节水情况，将有关数据整理如下表：用所学的统计知识估计这240名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是（ ）。
7-2008年江苏卷参考答案数学
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１６．证明：（１）在△ＡＢＤ
中，因为Ｅ、Ｆ分别是
ＡＢ、ＢＤ的中点，所以 ， ＥＦ／／ＡＤ．又ＡＤＣ平 面ＡＣＤ，ＥＦ正平面
（第１６题）
ＡＣＤ，所以直线ＥＦ／／平面ＡＣＤ． （２）在△ＡＢＤ中，因为ＡＤｊ＿ＢＤ。ＥＦ／／ＡＤ，所
以ＥＦ上ＢＤ．在△ｔＫ２Ｄ中，因为ＣＤ—ＣＢ，Ｆ为 ＢＤ的中点，所以ＣＦ上ＢＤ．因为ＥＦ ｃ平面 ＥＦＣ，ＣＦ ｃ平面ＥＦＣ，ＥＦ与ＣＦ交于点Ｆ，所
ｒ
一１
得极小值，这个极小值就是函数Ｙ在ｌ ０，÷Ｉ上
的最小值．当０一睾时，ＡＯ＝／３０一—生一
Ｕ
了【
。０５百
型＃（ｋｍ）．因此，当污水处理厂建在矩形区域内
＾．ｆ
且到Ａ、Ｂ两点的距离均为型掣ｋｍ时，铺设的排
。
污管道的总长度最短．
１８．解：（１）显然ｂ≠０．否则，二次函数，（ｚ）＝工２＋ ２ｚ＋ｂ的图像与两坐标轴只有两个交点（ｏ，ｏ）， （一２，０），这与题设不符．由ｂ≠０知，二次函数
数 剜渤列．．上综口上Ｊ可细知弱， ｊ 押ｉ碰只为能鬣为々 ４．ｉ
（；２＃）ｉ假设设盟对于于呆某食个正正整整数数 篱∞ ｎ，ｊ在存季在一一羹个差公为差蠹为霪ｄ’ ‘
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中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛试题参考答案答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答.2．解答书写时不要超过装订线.3．草稿纸不上交.一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得0分）424424的值为（满足），则．1．已知实数y?3?y，y???3y，x424xxx 1?137?13（C）（D）5 （A）7 （B）22 A）【答】（22y，，由已知条件得因为0≥解：0?x13?3?1???3113?1?1?4412??4?42???y?，，2284x24224227．所以??y6?3?3?y???y?422xxx22?2(?)?(?)?3?022?2222为根的一元二次方另解：由已知得：，以，显然y,?y??xx?22xx?22?3y?(y0)??222220??t?3t程为，所以3?y? (??)?)?y??1,(22xx42242222y?＝故?2?][(??(?1)2??(?3)?7)?yy?()?422xxx2．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先2?mx?ny?x的图象与m后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为，n，则二次函数x轴有两个不同交点的概率是（）．54171 （A）（B）（C）（D）923612．C）【答】（ . 由题意知，即可以得到36个二次函数解：基本事件总数有6×6＝3622.＞0，即＝4＞mn?4mn?17. 对. 故17通过枚举知，满足条件的有?Pnm，36个点6个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这3．有两个同心圆，大圆周上有4 ．)可以确定的不同直线最少有(条）12 （D （C）10条 6 （A）条（B）8条）（B【答】，两两连线DC，个不同的点A，B，解：如图，大圆周上有4中，至少有一FE，可以确定6条不同的直线；小圆周上的两个点，CB，BD的交点，则它与A，个不是四边形ABCD的对角线AC与的两两连线．从而这DC，A，B，D的连线中，至少有两条不同于条．个点可以确定的直线不少于86 3题）（第条直线．个点如图所示放置时，恰好可以确定8当这6 8条．所以，满足条件的6个点可以确定的直线最少有内作正△．以为一边在圆4．已知是半径为1的圆的一条弦，且O?1OAB?aABAB，则的延长线交圆于点A的一点，且，，点为圆上不同于点ODCDB?ABABC?OaED）．的长为（AE35a D）a1 （C（A））（（B）22（B）【答】?设，则OA，OB．解：如图，连接OE，?D??．EAC?120????ECA?4题）（第11????又因为，2180?????ABO?ABD??60???12022≌所以，于是．1?AE?ACE△OA△ABO AFAB为半径，以点B为圆心，另解：如图，作直径EF，连结FO上，，则点＝BC＝BDA，C，D都在⊙B ，因为作⊙BAB ECD11??60?30??EDA??CBA???F由22AB1??30??AE?EFsim?F2?sim所以3，4，，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续，．将512 ．）三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（．5种（D）种（C）4种（A）2种（B）3 D）【答】（5的一个满足要求的排列．，4，是1，2，3解：设aa，，a，a，a51432，不能有连续的两个都是偶数，否则，这两个之后都是偶数，首先，对于a，a，a，a4123与已知条件矛盾．是奇数，这说明一个偶数后面一定要是奇数，则≤3）是偶数，又如果（1≤i aaa2ii?1i?接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数．种情形满足条件：所以只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5a，a，a，a，a54213；1，4，3；2，5，，，，1，34，5；2，3，5，41 2 ．，1，3，25；4，54，3，1，2，30分）6二、填空题（共5小题，每小题分，满分1的方程x*”为：．若关于．对于实数u，v，定义一种运算“6??a?x)x?(vu?v?uv?4．有两个不同的实数根，则满足条件的实数a的取值范围是【答】，或．1a?0?a?112，解：由，得0?1)x??(a?1)x??(a?x?(a?x)44，01?a??依题意有?2，?0(?a?1)??(a?1)?，或．解得，1a??a?0分钟从迎路公交车，每隔36分钟从背后驶过一辆187．小王沿街匀速行走，发现每隔路公交车总站每隔路公交车行驶速度相同，而且1818路公交车．假设每辆18面驶来一辆分钟．固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是．【答】4y x分，同向行驶的相邻两车/路公交车的速度是米米/分，小王行走的速度是解：设18s的间距为米．①．每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车，则s6xy??6②．分钟从迎面驶来一辆18路公交车，则3每隔sy3x?3?s4?，所以由①，②可得．xs?4x分钟．418即路公交车总站发车间隔的时间是题）8（第BC的中点，，点M是．如图，在△中，AB=7，AC=118ABC FC的长为AD是∠BAC 的平分线，MF∥AD，则．9．【答】AB，则MN∥如图，设点N是AC的中点，连接MN解：．又，所以MFN????BAD?MF//AD?DAC?FMN，1．所以?FNAB?MN2 8题答案）（第119．因此?NC?AB?AC?FC?FN E22交BA的延长线为E，延长MF另解：如图，过点C作AD的平行线交N.于点AE N则ACE??DAC???E??BAD A F CENF//CEAE?AC?11FN是等腰梯形，，所以四边形所以.又11B911)??BE?(7CF?EN??C即MD22，分别与DE∥BC的内切圆圆心CA＝9，过△ABCI作．△9ABC中，AB＝7，BC＝8，．，则AB，AC相交于点D，EDE的长为16【答】．3 r，b，c，内切圆I的半径为解：如图，设△ABC的三边长为a，h，则BC边上的高为a11，r?c)?ahS?(a?b ABCa△22（第9题答案）ar?．所以cah?b?a r?hDE a?，，所以它们对应线段成比例，因此因为△ADE∽△ABC BCh a rh?)?ca(bar a)a?(?1??a?DE?(1a)?，所以c?b?ahhc?b?a aa619?（7?）8?DE?．故37?9?812?4?3?5?125另解：＝cb?a?125S25?122?p5?r?△ABC???35h所以（这里，）a2128a r?h25DE35?a，得ADE∽△ABC，由△???3BCh a216即?DE??BC3322的所有正整数解为．关于x，y的方程．10)?y?208(xx?y x?48，x?160，??【答】??y?32，y?32.??解：因为208是4的倍数，偶数的平方数除以4所得的余数为0，奇数的平方数除以4所得的余数为1，所以x，y都是偶数．设，则b?2?2a,yx22，)?b?104(aa?b同上可知，a，b都是偶数．设，则d?22c,ba?22，)d?52(cc??d所以，c，d都是偶数．设，则t2s,d?c?222?26(st?ts)?，22213)??((s?13)t，＝于是132?其中s，t都是偶数．所以22222213)13??(s(?13)t?2?．≤11?1315?2?213?s13)?(t为337，329，进而，313，289，257所以，故只能，可能为1，3，57，9s?6，s?20，??2s?1313)t?(＝7．于是，从而＝289是??t?4；t?4，??，x?16，0x?48??因此??，y?32.y?32?? 2222?104)21632,y?210421632?(?104)y104)x(??(??则有因为另解：又y正整数，所以43?y?1．22令21632by?104|,则a???a|x?104|,b?|95，6，因为任何完全平方数的个位数为：1，4，2222 6和6；的个位数只能是1和由1或知ba,21632a??b229的个位数字可以为1当或和的个位数是11时，则ba,ba,22的十位数字为但个位数为1和9的数的平方数的十位数字为偶数，与3矛盾。
ba?22或6。
的个位数是6和6时，则当的个位数字可以为4ba,ba,22代入，136，144，146134取＝106，114，116，124，126，，由21632a??b b105?b?147160x?|?56x?48|x?104???解得得，只有当＝136时，=56，即a b,???32y??136y?32|y?104|???分）题，每题三、解答题（共415分，满分60轴的正半轴分别轴、在直角坐标系xOy中，一次函数的图象与11．y xb?y?kx）0（k?3?OA?OB OAB，B两点，且使得△的面积值等于．交于A；用b表示k（1）求△OAB面积的最小值．（2）b．；令，得解：（1）令，得0kx????0，0?b?0yy?b，0?x kb，于是，△OAB的面积为所以A，B两点的坐标分别为)，b0)，B(0A（?，kb1．)?S?b(?k2b1b，由题意，有3???b?b?(?)k2k2b2b??k 分，．……………… 5解得2b?)32(b?210b?2)(?3)b?2)??7(1bb(b?(?)S??b?）知）由（（212b?2kb?21010210?)?72(?7?b?2?2?b??107?2≥，22b?b?10102?7+210b??S?b?2不等式中的等号成立．，时，有即当当且仅当时，，1?k?2?b7?210分15………………．面积的最小值为ABC所以，△2有有理数根？q，使得关于x的一元二次方程12．是否存在质数p，0?qx?pxp?222，解：设方程有有理数根，则判别式为平方数．令n4p??q??2分其中n是一个非负整数．则．……………… 5p?4(q?n)(q?n)与同奇偶，故同为偶数．因此，有如下几种可能情形：q+n，且1由于≤≤n?qq?nnq?，?4，q?nq?n?22，2q?nppq?n?，????，?pq?n???????22，4，2q?n?ppq?n?4.nq?n?p，?q?qn?2p，??????22p5pp2?2q?，q?2p，q?p?1，q?2?，q?分．………………消去n，解得 10 222（不4，从而q＝5；对于第2，5种情形，种情形，对于第1，3，从而q＝2p?p?2．种情形，q是合数（不合题意，舍去）合题意，舍去）；对于第412它的根为，＝5时，方程为它们都是有理数．，，又当q0?x?2x2?52x?，x?2?px0b?x?2ax?xx，ba, 212综上所述，存在满足题设的质数……………… 15分2为正整数，关于，的方程★12、已知的两个实数根为2122008?xy?xyy，y y0??2ay?by.且满足的两个实数根为，关于的方程212121b.的最小值求b?,yy2?by?y??a,x?x?2a xx；：由韦达定理，得另解21212211)x?(?(?x) ??x)yy???2a??(x?211221,即?)x)(??b?(?xyy?2211xy??y??x??2111或解得：??xy??y??x??12222008?(?x)?y?2008x(?x)xxyy,xy?的值分别代入得把21221211122008??x)?x(x)?x(或（不成立）1212222008)?x?)(x?x(x2008?x?x即，1221120x?0x?b?x?0,xaxx??2?0,因为所以22111222?b?502?1?a20084aa24?b?a502?2?251于是有即251?2aa?505a?a?1????或或或因为a,b都是正整数，所以????2222224??bb?251a502b?a?b?1a?a?????251?2a?502a?a?1a????或或或分别解得：????22224251??2251b?502b?502?1b?b?1?????251a?a?502??，.符合题意经检验只有：??224251??1b?b?502??262997＝?251?4b的最小值为：所以b最小值倍的213．是否存在一个三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一个内角？证明你的结论．△ABC 存在满足条件的三角形．解：5??6ca4?b 分，时，当△ABC的三边长分别为．……………… 5，B?A?2?ACD 为等腰三角．连接CD，则△如图，当时，延长BA至点D，使bAC?AD?B2??A?ACDBAC?，所以形．因为的一个外角，所以．由已知，为△B2?D??BAC??BAC?2CBD ．所以△为等腰三角形．D?B??CBDACDCBDACD 与△∽△为△的一个公共角，有△，于是又D?aADCDb，，即??cab?CDBD??2．所以cb?ba?（A）题答案）（第1325)6?4?(4?而，所以此三角形满足题设条件，……………… 15分故存在满足条件的三角形．满足条件的三角形是唯一的．说明：??2cab?b?．有如下三种情形：若，可得B?A?2?n?nc1n??a?c?ba1?b?n ，时，设，（）当（i为大于1，的正整数）??2??????25c?a?64b?n?5cb?a?b代入，，得；，有，解得，12n?1??n1?nnna?bc?a?1?n?b1c?n?，，（ⅱ）当1（，的正整数）时，设为大于????223c?2b?1a?cb?ab?，此时不能构成，，有，解得，得代入，2?n n?n12n??三角形；n1?a?na?b?cn?b1?n?c ，为大于，时，设1（，（ⅲ）当的正整数）??????222c?b?ba0?n?n1?3代入，即，得，此方程无整数解．1n?1n?2?n倍的三角形2所以，三边长恰为三个连续的正整数，且其中一个内角等于另一个内角的构成的三角形满足条件．，6存在，而且只有三边长分别为4，5b,cba,?bAC,?BCa ?,ABc,,a且都是整数，的三边长ABC△如图，、13★．?GIC?90?，求△ABCABC的重心和内心，且的最大公约数是2。