第十五章 含参变量积分 - 复旦大学数学科学学院
∂2u = a2 ∂2u ，
∂t 2
∂x 2
以及初始条件 u(x,0) = f (x), ∂u (x,0) = F (x) 。
∂t
证 直接计算，可得
∂u = 1 [− af ′(x − at) + af ′(x + at)]+ 1 [aF (x + at) + aF (x − at)]，
∂t 2
2a
1
f (x, y) − φ(x) ≥ ε 0 。 依次取δ1 = 1， ∃y1 ∈(y0 −δ1, y0) ， ∃x1 ∈[a,b] ： f (x1, y1) −φ (x1) ≥ ε0 ；
δ2
=
min
⎧1
⎨ ⎩
2
,
y0
−
y1
⎫ ⎬ ⎭
，
∃y2
∈(
y0
−δ2,
y0) ，
∃x2
∈[a, b]
，
f (x2, y2 ) −φ (x2 )
y
f (x)dx −
b f (x)dx ， F ′′( y) = 2 f ( y) 。
a
y
7. 设函数 f (x) 具有二阶导数， F (x) 是可导的，证明函数
∫ u(x,t) = 1 [ f (x − at) + f (x + at)]+ 1
x + at
F ( y)dy
2
2a x−at
满足弦振动方程
<
ε0 2
，
f (xn , yK ) −φ(xn ) < ε0 。 但是对固定的 xn ，当 y → y0 − 时， f (xn , y) 关于 y 单调递增地趋于
φ(xn ) ，所以当 n > max{N, K}时，成立
f (xn , yn ) −φ(xn ) ≤ f (xn , yK ) −φ(xn ) < ε0 ， 这与 f (xn , yn ) − φ(xn ) ≥ ε 0 ， (n = 1,2,") 矛盾。 3. 用交换积分顺序的方法计算下列积分：
解
I ′( y)
=
2 yf
( y)
+
∫y 0
f
( x)dx
，
I ′′( y) = 3 f ( y) + 2 yf ′( y) 。
6.
∫ 设 F( y) =
b
f (x) | y − x | dx
a
(a < b) ，其中 f (x) 为可微函数，求 F ′′( y) 。
解
当
y
≤
a
时，
F
(
y)
=
∫b a
f
∂ 2u = a2 [ f ′′(x − at) + f ′′(x + at)]+ a [F ′(x + at) − F ′(x − at)]，
∂t 2 2
2
∂u = 1 [ f ′(x − at) + f ′(x + at)]+ 1 [F (x + at) − F (x − at)]，
∂x 2
2a
1 ⎟⎞dx x⎠
=
1 1 + ( y + 1)2
，
∫ ∫ 1sin⎜⎛ ln 1 ⎟⎞ xb − xa dx =
0 ⎝ x ⎠ ln x
b dy = arctan(1 + b) − arctan(1 + a) 。
a 1 + ( y + 1)2
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ （2）
π 2
ln
1
+
a
sin
x
dx
=2
1sin⎜⎛ ln 1 ⎟⎞dx
b
x
y
dy
=
b
dy
1 x y sin⎜⎛ ln 1 ⎟⎞dx ，
0 ⎝ x ⎠ ln x
0 ⎝ x⎠ a
a0
⎝ x⎠
∫ ∫ 1 x y sin⎜⎛ ln 1 ⎟⎞dx = 1 x y+1 sin⎜⎛ ln 1 ⎟⎞ 1 + 1 1 x y cos⎜⎛ ln 1 ⎟⎞dx
lim
y→ y0 −
∫ab
f
(x,
y)dx
=
∫abφ (x)dx
。
证 若能证明 lim f (x, y) = φ (x) 关于 x ∈[a,b] 是一致的，即 ∀ε > 0 ， y→ y0 −
∃δ > 0 ， ∀y ∈ ( y0 − δ , y0 ) ， ∀x ∈[a,b] ： f (x, y) − φ(x) < ε ，则
α −1 + (α + 1)t 2
dt
0 [(1 − α )2 + (1 + α )2 t 2 ](1 + t 2 )
∫ ∫ = 2
α
+∞ dt 0 1+t2
+
2⎜⎛α ⎝
−1 α
⎟⎞ ⎠
+∞ 0
(1 − α )2
dt + (1 + α )2 t 2
∫ ∫ = 2 +∞
dt
− 2 +∞
d
⎜⎛ ⎝
1 1
2
,t)
∫ ∫ ∫ = −2t
t2
dx
x+t
cos(
x
2
+
y2
−
t2
)dy
+
2
t2 sin 2x2 cos 2xtdx
0
x−t
0
3
+ ∫2t tt22−+ttsin(t 4 − t 2 + y 2 )dy 。
5.
设
I ( y)
=
y
∫0 (x
+
y)
f
(x)dx ，其中
f
为可微函数，求
I ′′( y) 。
∫b
(
a
f
(x,
y)
− φ(x))dx
≤
∫b
a
f
(x,
y)
− φ(x) dx
<
(b
−
a)ε
，
就有
lim
y→ y0 −
∫ab
f
(x,
y)dx
=
∫abφ (x)dx
。
以下用反证法证明 lim f (x, y) = φ(x) 关于 x ∈[a,b] 是一致的。 y→ y0 −
若不然，则 ∃ε 0 > 0 ， ∀δ > 0 ， ∃y ∈(y0 −δ , y0 ) ， ∃x ∈[a,b]：
子列为 {xn }, {yn } ，其中 {yn }是递增的，
lim
n→∞
yn
=
y0
。设
lim
n→∞
xn
=ξ
。
由 f (ξ , y) → φ(ξ ) ( y → y0 −) ，可知 ∃δ > 0, ∀y(−δ < y − y0 < 0) ：
f (ξ , y) − φ(ξ ) < ε 0 ，
2
注意 lim n→∞
∫ （1） 1sin⎜⎛ln 1 ⎟⎞ xb − xa dx (b > a > 0) ； 0 ⎝ x ⎠ ln x
∫ （2）
π 2
ln
1
+
a
sin
x
dx
(1 > a > 0) 。
0 1 − a sin x sin x
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 解（1）
1sin⎜⎛ ln 1 ⎟⎞ xb − x a dx =
d cot x
0 a 2 − sin 2 x
0 a 2 cot 2 x + a 2 − 1
=−
2
arctan
a cot x
π
2=
π
，
a2 −1
a2 −1 0 a2 −1
于是
令 a → 1+ ，则 所以
I (a) = ln(a + a 2 −1) + C 。
π
∫ C = I (1) = 2 2 ln cos xdx = −π ln 2 ， 0
0
⎝ x⎠ y +1
⎝ x⎠0 y +1 0
⎝ x⎠
2
∫ = 1
1
x
y
cos⎜⎛
ln
1
⎟⎞dx
y +1 0
⎝ x⎠
于是
∫ =
(y
1 + 1)2
x y+1
cos⎜⎛ ln ⎝
1 ⎟⎞ 1 x⎠0
−
(y
1 + 1)2
1x y sin⎜⎛ ln 1 ⎟⎞dx ，
0
⎝ x⎠
所以
∫1x y 0
sin⎜⎛ ln ⎝
∂2u ∂x 2
=
1[f
2
′′( x
−
at)
+
f
′′(x
+
at )] +
1 2a
[F ′(x
+
at)
−
F ′(x
−
at)]，
所以
∂2u ∂t 2
=
a2
∂2u ∂x 2
，
且显然成立 u(x,0) = f (x), ∂u (x,0) = F (x) 。
∂t
8．利用积分号下求导法计算下列积分：
4
π
∫ （1） 2 ln(a 2 − sin 2 x)dx (a > 1) ； 0
【2019年整理】复旦大学数学分析
第八章 反常积分
§1 反常积分的概念和计算 §2 反常积分的收敛判别法
目 录 （下册）
第九章 数项级数
§1 数项级数的收敛性 §2 上极限与下极限 §3 正项级数 §4 任意项级数 §5 无穷乘积
§1 微分中值定理 §2 L’Hospital法则 §3 Taylor公式和插值多项式 §4 函数的Taylor公式及其应用 §5 应用举例 §6 方程的近似求解
第六章 不定积分
§1 不定积分的概念和运算法则 §2 换元积分法和分部积分法 §3 有理函数的不定积分及其应用
目 录 （上册）
第七章 定积分
学好数学分析，必须做到：
➢通 过 系 统 的 学 习 ， 全 面 掌 握 微 积 分 的 思 想 与 原 理、微积分的核心内容与精髓；
➢加强逻辑思维能力的训练与培养，提高数学推理 与论证的能力；
➢通过严格的训练，具备熟练的运算能力与技巧；
学好数学分析，必须做到：
➢通 过 系 统 的 学 习 ， 全 面 掌 握 微 积 分 的 思 想 与 原 理、微积分的核心内容与精髓；
学好的 学 习 ， 全 面 掌 握 微 积 分 的 思 想 与 原 理、微积分的核心内容与精髓；
学好数学分析，必须做到：
➢通 过 系 统 的 学 习 ， 全 面 掌 握 微 积 分 的 思 想 与 原 理、微积分的核心内容与精髓；
➢加强逻辑思维能力的训练与培养，提高数学推理 与论证的能力；
牛顿的最大贡献在于发现了微分与积分之间的深刻 联系，从而使微积分成为一门学科。
参变量积分
由复合函数的连续性
f (a( y ) t (b( y ) a( y )), y )(b( y ) a( y ))
在[0,1][c,d]上连续,由定理1,
F ( y)
在[c,d]上连续.
b( y )
a( y )
f ( x, y)dx
数学分析选讲
多媒体教学课件
定理4设f(x,y), fy(x,y)在矩形[a,b,c,d]上连续, a(y), b (y) 存在,且当y[c,d]时,
0
sin t dt 收敛,故对任意>0,存在M>0,使对任意 t
数学分析选讲
A >M>0,有
多媒体教学课件
sin t | dt | . A t 因此当Aa>M时,对任意x[a,+),有
Ax aA M ,
从而
|
Ax sin xy sin t dt || dy | . A t y
b( y )
a( y )
f ( x, y)dx
数学分析选讲
多媒体教学课件
证明：作积分变换 x a( y ) t (b( y ) a( y )), 则
F ( y)
b( y )
a( y )
1
f ( x, y)dx
f (a( y ) t (b( y ) a( y )), y )(b( y ) a( y ))dt ,
多媒体教学课件
定理5设函数f(x,y)在矩形[a,b,c,d]上连续,,是
d
c
dy f ( x, y )dx dx f ( x, y )dy
b b d a a c
国家精品课程 《数学分析》陈纪修
第十二章 第一节 偏导数与全微分（1）（2）（3）（4）（5）（6）
第十二章 第二节 多元复合函数的求导法则（1）（2）
第十二章 第三节 中值定理与Taylor公式（1）（2）
第十二章 第四节 隐函数（1）（2）（3）（4）
第十二章 第五节 偏导数在几何中的应用（1）（2）（3）
我们立足于培养数学基础扎实，知识面宽广，具有创新意识、开拓精神和应用能力，符合新世纪要求的优秀人才。从人才培养的角度来讲，一个学生能否学好数学，很大程度上决定于他进大学伊始能否将《数学分析》这门课真正学到手。
本课程的目标是通过系统的学习与严格的训练，全面掌握数学分析的基本理论知识；培养严格的逻辑思维能力与推理论证能力；具备熟练的运算能力与技巧；提高建立数学模型，并应用微积分这一工具解决实际应用问题的能力。
第七章 第二节 定积分的基本性质（1）（2）
第七章 第三节 微积分基本定理（1）（2）（3）（4）
第七章 第四节 定积分在几何计算中的应用（1）（2）（3）（4）（5）
第七章 第五节 微积分实际应用举例（1）（2）
第七章 第六节 定积分的数值计算（1）
第八章 反常积分
数学分析录象目录
第一章 集合与映射
第一章 第一节 集合（1）（2）（3）
第一章 第二节 映射与函数（1）（2）（3）
第二章 数列极限
第二章 第一节 实数系的连续性（1）（2）
第二章 第二节 数列极限（1）（2）（3）（4）
第二章 第三节 无穷大量（1）（2）
第五章 第一节 微分中值定理（1）（2）（3）（4）
第五章 第二节 L’Hospital 法则（1）（2）
第五章 第三节 Taylor 公式和插值多项式（1）（2）（3）
含参变量积分(课件+例题+论文)
含参量反常积分
0
cos 1
xy x2
dx
在 (,) 上一致收敛.
例2 : 证明含参量反常积分 e xy sin x dx
0
x
在 [0,d] 上一致收敛.
证 : 由于反常积分 sin xdx 收敛
0x
(当然，对于参量y,它在[0, d ]上一致收敛)
函数g(x, y) exy对每个x [0, d ]单调且对任何
u 一致收敛的柯西准则:
含参量反常积分 f (x, y)dy 在 [a,b]上一致收敛的充要 c
条件是 0, M c,A1, A2 M ,x [a,b],都有
A2 f (x, y)dy . A1
u 一致收敛的充要条件;
含参量反常积分 f (x, y)dy 在 [a,b]上一致收敛的充要 c
解 :
记I ( )
1
1
dx x2
2
.
由于
,1
,
1
1 x2
2
都是和x的连续函数，
所以I( )在 0处连续，从而
lim
0
1
dx
1 x2 2
I(0)
1 dx 0 1 x2
. 4
例2 : 解:
求 I 1 xb x a dx (b a 0).
c
f
( x,
y)g( x,
y)dy
在[a , b]上一致收敛 .
例1 :
证明反常积分
0
cos 1
xy x2
dx
在 (,)上一致收敛.
证:
由于y R有
复旦大学数学系《数学分析》(第3版)(下册)章节题库-多变量微积分学-含参变量的积分和反常积分【圣才
时
从而
于是不等式 p≤α＜p＋1，蕴含 I（p）≥I（α）＞I（p＋1），I（p＋1）≥I（α＋1）＞I（p＋2），
由此推出
因为
所以由上式可得
在此式中用 α＋n 代 α（因而 p＋n≤α＋n＜p＋n＋1，亦即相应地用 p＋n 代 p），即 得
由此可知当 n→∞时，数列 f（α＋n）（n＝1，2，…）有极限 π/2．但上面已证 f（x）以 1 为周期，所以
（2）证明如下： 因为在上面步骤②中已证 I（α）是 α 的减函数，所以 I（α）＞I（α＋1）＞I（α＋2），
由此可知
（最后一步用到上面步骤①中的结果），即 I（α＋1）/I（a）介于 l 和（α＋2）
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/（α＋1）之间，从而
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这蕴含 f（α＋1）＝（α＋2）I（α＋1）I（α＋2）＝（α＋1）I（α）I（α＋1）＝f（α）．
因此 f 是周期函数（周期为 1），从而若 p 为一个整数，则
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台
②因为当 0＜x＜π/2 时 0＜sinx＜1，所以当
由 分
F（y）= 而，更有
易知 f（x，y）是 0≤x≤1，0≤y≤1 上的连续函数．从而，积
是 0≤y≤1 上的连续函数，因此，
．从
9．设：
其中 a<b 及 f（y）为可微分的函数，
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求 F''（x）．
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解：当 x∈（a，b）时，由于
于是，得
（3）利用对称性知，所求的体积为
含参变量积分的性质
目录1引言 ................................................... 1 2含参变量积分 . (1)2.1一元含参变量的有限积分函数()()⎰=badx u x f u ,ϕ的定义及其分析性质 (1)2.2含参变量的有限()2≥n n 重积分函数的定义及其分析性质 ............................................ 4 2．2.1含参变量的有限二重积分函数定义及其分析性质 .. (4)2.2.2含参变量的有限n 重积分函数的分析性质 (10)3例题 .................................................. 11 4结束语 ................................................ 14 参考文献 ............................................... 15 致谢 (16)含参变量积分的性质数学系0803班 陈璐指导教师 王芳摘 要：含参变量积分是一类比较特殊的积分，由于它是函数但又是以积分形式给出的,所以它在积分计算中起着桥梁作用，本文通过对一元含参变量的有限积分函数:A ()()⎰=ba dx u x f u ,ϕ的定义及其在区间[]b a ,上的分析性质(连续性、可微性与可积性)出发，阐述了含参变量的有限()2≥n n 重积分函数的定义及其分析性质，分别推导出含参变量的有限二重积分函数及含参变量的有限n 重积分函数的连续性、可微性与可积性定理与公式，最后给出了一些应用实例。
关键词：含参变量，积分函数，分析性质。
Including the nature of the integral depending on a parameterChen LuClass 0803, Mathematics DepartmentTutor: Wang FangAbstract : Contain integral depending on a parameter is a kind of a special points, because it is an integral form and function are given, so it plays in the integral calculation bridge. This paper, with a yuan of parameter of the integral function limited definition A and in the analysis of the interval nature (continuity, the differentiability and integrality) article, expatiates the heavy integral depending on a parameter with limited definition and nature of the function analysis, were deduced with the double integral depending on a parameter, function and the parameter with limited heavy continuity of integral function, can the sex and integrable theorems and formula. Finally gives some practical examples.Key words: including parameter, integral function, analysis of the interval nature.1引言目前，许多学者对含参变量积分的性质的研究已经达到了一定的深度，主要研究了许多运用含参变量积分的性质解决实际问题的方法。
数学分析教材和参考书
教材和参考书教材：《数学分析》（第二版），陈纪修，於崇华，金路编高等教育出版社, 上册：2004年6月，下册：2004年10月参考书：（1）《数学分析习题全解指南》，陈纪修，徐惠平，周渊，金路，邱维元高等教育出版社, 上册：2005年7月，下册：2005年11月（2）《高等数学引论》（第一卷），华罗庚著科学出版社（1964）（3）《微积分学教程》，菲赫金哥尔兹编，北京大学高等数学教研室译，人民教育出版社（1954）（4）《数学分析习题集》，吉米多维奇编，李荣译高等教育出版社（1958）（5）《数学分析原理》，卢丁著，赵慈庚，蒋铎译高等教育出版社（1979）（6）《数学分析》，陈传璋等编高等教育出版社（1978）（7）《数学分析》（上、下册），欧阳光中，朱学炎，秦曾复编，上海科学技术出版社（1983）（8）《数学分析》（第一、二、三卷），秦曾复，朱学炎编，高等教育出版社（1991）（9）《数学分析新讲》（第一、二、三册），张竹生编，北京大学出版社（1990）（10）《数学分析简明教程》（上、下册），邓东皋等编高等教育出版社（1999）（11）《数学分析》（第三版，上、下册），华东师范大学数学系，高等教育出版社（2002）（12）《数学分析教程》常庚哲，史济怀编，江苏教育出版社（1998）（13）《数学分析解题指南》林源渠，方企勤编，北京大学出版社（2003）（14）《数学分析中的典型问题与方法》裴礼文编，高等教育出版社（1993）复旦大学数学分析全套视频教程全程录像,ASF播放格式，国家级精品课程，三学期视频全程教师简介:陈纪修-基本信息博士生导师教授姓名：陈纪修任教专业：理学-数学类在职情况：在性别：男所在院系：数学科学学院陈纪修-本人简介姓名：陈纪修性别：男学位：博士职称：教授（博士生导师）高校教龄22年，曾获2001年上海市教学成果一等奖、获2001年国家级教学成果二等奖、获2002年全国普通高等学校优秀教材一等奖、2002年获政府特殊津贴；获宝钢教育奖（优秀教师奖）；被评为“九五”国家基础科学人才培养基金实施和基地建设先进工作者。
含参变量的积分
ξ12.3 含参变量的积分一、含参变量的有限积分设二元函数f （x,u)在矩形域R （βα≤≤≤≤u b x a ,）有定义，],,[βα∈∀u 一元函数f(x,u)在[a,b]可积，即积分dxu x f a b),(⎰存在 ],[βα∈∀u 都对应唯一一个确定的积分（值)),(u x f a b⎰dx .于是，积分dx u x f a b),(⎰是定义在区间],[βα的函数，记为],[,),()(βαϕ∈=⎰u dx u x f ab u ,称为含参变量的有限积分，u 称为参变量。
下面讨论函数)(u ϕ在区间 ],[βα的分析性质，即连续性、可微性与可积性定理 1 若函数),(u x f 在矩形域R ),(βα≤≤≤≤u b x a 连续，则函数dx u x f abu ),()(⎰=ϕ在区间也连续。
证明有，使取],,[u ],,[βαβα∈∆+∆∈∀u u u.),(),()()(.)],(),([)()dx u x f u u x f abu u u dx u x f u u x f abu u u -∆+≤-∆+-∆+=-∆+⎰⎰ϕϕϕϕ（根据ξ10.2定理8，函数),(u x f 在闭矩形域R 一致连续，即,,:),(),(,0,02121221,1δδδε<-<-∈∀>∃>∀y y x x R y x y x 有ε<-),(),(2211y x f y x f .特别地，.:),(),,(δ<∆∈∆+∀u R u u x u x 有 .),(),(ε<-∆+u x f u u x f 于是，,δ<∆u 有)(),(),()()(a b dx u x f u u x f ab u u u -<-∆+≤-∆+⎰εϕϕ 即函数在区间连续.设[]βα,0∈u ，由连续定义，有)()(lim ),(limu u dx u x f a bu u u u ϕϕ==→→⎰=dx u x f a b dx u x f a b u u ),(lim ),(00→⎰⎰=. 由此可见，当函数),(u x f 满足定理1的条件时，积分与极限可以交换次序. 定理2 若函数),(u x f 与uf∂∂在矩形域R(βα≤≤≤≤u b x a ,)连续，则函数在区间[βα,]可导，且[]βα,∈∀u ，有dxu u x f a b u du d∂∂=⎰),()(ϕ 或dx u u x f a b dx u x f abdu d ∂∂=⎰⎰),(),(. 简称积分号下可微分.证明 [][],,u,,,βαβα∈∆+∆∈∀u u u 使取有[].),(),()()(dx u x f u u x f abu u u -∆+=-∆+⎰ϕϕ （1） 已知uf∂∂在R 存在，根据微分中值定理，有 .10,),(),(),('<<∆∆+=-∆+θθu u u x f u x f u u x f u 将它代入（1）式，等号两端除以u ∆，有.10,),()()('<<∆+=∆-∆+⎰θθϕϕdx u u x f ab u u u u u 在上面等式等号两端减去dx u x f abu ),('⎰，有d x u x f abu u u u u ),()()('⎰-∆-∆+ϕϕ dx u x f u u x f ab u u ),(),(''-∆+≤⎰θ. 根据 ξ10.2定理8，函数),('u x f u 在闭矩形域R 一致连续，即,0,0>∃>∀δε,:),(),,(δ<∆∈∆+∀u R u u x u x 有.),(),(''εθ<-∆+u x f u u x f u u 从而，有),(),()()('a b dx u x f abu u u u u -≤-∆-∆+⎰εϕϕ即 dx u x f abuu u u u u ),()()(lim '0⎰=∆-∆+→∆ϕϕ 或.),()(dx u u x f a b u dud∂∂=⎰ϕ 定理2指出，当函数),(u x f 满足定理2的条件时，导数与积分可以交换次序. 定理 3 若函数),(u x f 在矩形域R （βα≤≤≤≤u b x a ,）连续，则函数dx u x f abu ),()(⎰=ϕ在区间[]βα,可积，且.).(),(dx du u x f a b du dx u x f a b ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰⎰⎰αβαβ （2） 简称积分号下可积分.证明 根据定理1，函数)(u ϕ在[]βα,连续，则函数)(u ϕ在区间[]βα,可积.下面证明等式（2）成立.[]βα,∈∀t ，设.),()(,),()(21dx du u x f t a b t L du dx u x f a b t t L ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰⎰⎰⎰αα根据4.8ξ定理1，有.),()('1dx t x f abt L ⎰=已知du u x f t ),(⎰α与du u x f tt ),(⎰∂∂α都在R 连续，根据定理2，有dx du u x f ta b dt d t L ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰⎰),()('2α =dx du u x f t t a b ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂⎰⎰),(α =dx t x f ab),(⎰.于是，[]βα,∈∀t ，有()().'2'1t L t L =.由1.6ξ例1，()(),21C t L t L =-其中C 是常数.特别地,当α=t 时，()(),021==ααL L 则C=0,即()()β==t t L t L 当.21时，有()(),21ββL L =即.),(),(dx du u x f a b du dx u x f a b ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰⎰⎰αβαβ定理3指出，当函数),(u x f 满足定理3的条件时，关于不同变量的积分可以交换次序。
第十五章 含参变量积分
f (α ( y), y)α ′( y) .
∫ 证明 记 G(α, β , y) =
β (y)
f (x, y)dx = F ( y) , 利用链法则，有
α ( y)
∫ F ′( y)
=
∂G ∂y
+
∂G ∂α
⋅
dα dy
+
∂G ∂β
⋅
dβ dy
=
β ( y)
α ( y) f y (x, y)dx −
f (α ( y), y)α ′( y) +
1
《数学分析》教案----含参变量积分
华中科技大学数学系汤燕斌
∫ ∫ 明函数 F(y) =
β ( y) α( y)
f (x, y)dx在闭区间[c, d ] 上连续，并求极限 lim y→0
1+ y
1
y 1+ x2 + y2
dx .
β ( y)
β ( y)
α ( y)
∫ ∫ ∫ 证明 因为 F ( y) = f (x, y)dx = f (x, y)dx − f (x, y)dx , 由定理 1 以及复合函数的连续性，
dx
.
因为
ln(1 + αx) 1+ x2
和
∂ ∂α
(
ln(1 + αx) 1+ x2
)
=
(1 +
x2
x )(1 +
αx)
都在闭区域
D = {0 ≤ x ≤ 1;0 ≤ α ≤ 1} 上连续, 由积分号下求导定理（定理 2），有
∫ ∫ ∫ I ′(α) =
1 0
∂ ∂α
ln(1 + αx) ( 1 + x 2 )dx
含参变量积分
( x) = f ( x) 的解，并且满足条件 y (a) = y ' (a) =
n −1
= y ( n −1) (a) = 0 。
证明：设 F ( x, t ) = ( x − t )
f (t ) ，则 f ( x, t ), f x ( x, t ) 在 [a, b] × [ a, b] 上连续，因此有
2 ∂ 2u 2 ∂ u 的解。 是弦振动方程 2 = a ∂t ∂x 2
证明：由题设知
∂ 2u ∂ 2u 与 2 均存在，且有 ∂t 2 ∂x
1 ∂u 1 ' = [ f ( x − at )(−a ) + f ' ( x + at ) ⋅ a ] + [aF ( x + at ) + aF ( x − at )] 2a ∂t 2 1 a = [ f ' ( x + at ) − f ' ( x − at )] + [ F ( x + at ) − F ( x − at )] 2 2 2 a ∂u a = [af '' ( x + at ) + af '' ( x − at )] + [ F ' ( x + at ) − F ' ( x − at )] 2 2 2 ∂t
d
d
b
（4）若 f ( x, y ) 在 [ a, b] × [c, d ] 上连续，则
∫
一、 参量的常积分
b
a
dx ∫ f ( x, y )dy = ∫ dy ∫ f ( x, y )dx
c c a
d
d
b
1、 一致收敛性及其判别法 定义 1 设函数定义在无界区域 G = ( x, y ) c ( x ) ≤ x ≤ d ( x), a ≤ x ≤ b 上，若对每一固