函数与方程.ppt
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《一次函数与二元一次方程》PPT课件
(2)画出一次函数
y=
3 2
x-
5 2
的图像
y
(2)你能找出方程的几组解吗？
4
y=
3 2
x-
5 2
x 0
x 5x 1 x 3x 5x 1
3
y
5 2y
03y
1y
2
y
5
y
4
2 1
-4 -3 -2 -1 o 1 2 3
y
-1
-2
-3 -4
(3)把以这几组解为坐标的点在坐标系上描出来，你发现了
y
-1 C(1，-1)
-2
-3
B（0，- 5） 2
A(-3,5) -4
5、也就是说，二元一次方程3x 2 y 5可以看作是一个函数y 3 x 5 . 22
二元一次方程3x 2 y 5的任意一个解，都满足一次函数y 3 x 5 ，因此 22
这个解对应的点在直线y 3 x 5 上。反之，直线y 3 x 5 上每个点的坐标
什么?
（0，- 5）（5 ,0）（1，-1）（3,2）（5，5）（-1，- 4） 23
(4)以二元一次方程3x-2y=5的所有解为坐标的点都在一
次函数 y 3 x 5 的图像上吗？
22
y
4
F(5,5)
y=
3 2
x-
5 2
3
2
E(-3,5)
1
D（5 ,0）
-4 -3 -2 -1 o 1 2 3 3
3、远眺开始，双眼看整个图表，产生向前深进 的感觉，然后由外向内逐步辨认每一层的绿白线 条。
4、如果视力不良，只能进到某一层时，不要立 即停止远眺，应多看一会儿，将此层看清楚后， 再向内看一层，如此耐心努力争取尽量向内看， 才能使眼的睫状肌放松。
二次函数与一元二次方程之间的关系PPT课件
人教版 九年级上
第22章 二次函数
22.2 二次函数与一元二次方程 第1课时 二次函数与一元二次方程之
间的关系
提示：点击 进入习题
1
ax2＋bx＋c＝0；y＝0； 横
6
B
2A
7C
3C
8C
4A
9C
5 没有；有一个；有两个 10 见习题
答案显示
11 见习题 12 见习题 13 见习题
答案显示
1．求二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点横坐标， 就是求一元二次方程_a_x_2_＋__b_x_＋__c_＝__0___的两个根；一元
1．家庭电路是最常见、最基本的实用电路，它由两根 _进__户__线___、_电__能__表___、_总__开__关___、_保__险__装__置_、用电器 和导线等组成。家庭电路中的各用电器之间是 ___并___联的；控制用电器的开关与用电器____串____联 ，接在____火____线和用电器之间。
∴方程 2ax2＋3x＋1＝0 有实数解． ∴Δ＝9－8a≥0，解得 a≤98. 又∵a≠0，∴a≤98且 a≠0.
(2)当a＝－1，二次函数y＝ax2＋2x－1的自变量x满足 m≤x≤m＋2时，函数y的最大值为－4，求m的值；
解：根据题意可得抛物线C：y＝－x2＋2x－1， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1. ∵a＜0，∴抛物线开口向下． 当y＝－4时，有－x2＋2x－1＝－4，解得x＝－1或x＝3. ①在直线x＝1左侧，y随x的增大而增大， ∴x＝m＋2＝－1时，y有最大值－4，则m＝－3；
(2)对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当x___≥__－__1___时，y 的值随x值的增大而增大；
(3)若关于x的方程ax2＋bx＋c＝k(a≠0)有两个不相等的实数 根，求k的取值范围．
第22章 二次函数
22.2 二次函数与一元二次方程 第1课时 二次函数与一元二次方程之
间的关系
提示：点击 进入习题
1
ax2＋bx＋c＝0；y＝0； 横
6
B
2A
7C
3C
8C
4A
9C
5 没有；有一个；有两个 10 见习题
答案显示
11 见习题 12 见习题 13 见习题
答案显示
1．求二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点横坐标， 就是求一元二次方程_a_x_2_＋__b_x_＋__c_＝__0___的两个根；一元
1．家庭电路是最常见、最基本的实用电路，它由两根 _进__户__线___、_电__能__表___、_总__开__关___、_保__险__装__置_、用电器 和导线等组成。家庭电路中的各用电器之间是 ___并___联的；控制用电器的开关与用电器____串____联 ，接在____火____线和用电器之间。
∴方程 2ax2＋3x＋1＝0 有实数解． ∴Δ＝9－8a≥0，解得 a≤98. 又∵a≠0，∴a≤98且 a≠0.
(2)当a＝－1，二次函数y＝ax2＋2x－1的自变量x满足 m≤x≤m＋2时，函数y的最大值为－4，求m的值；
解：根据题意可得抛物线C：y＝－x2＋2x－1， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1. ∵a＜0，∴抛物线开口向下． 当y＝－4时，有－x2＋2x－1＝－4，解得x＝－1或x＝3. ①在直线x＝1左侧，y随x的增大而增大， ∴x＝m＋2＝－1时，y有最大值－4，则m＝－3；
(2)对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当x___≥__－__1___时，y 的值随x值的增大而增大；
(3)若关于x的方程ax2＋bx＋c＝k(a≠0)有两个不相等的实数 根，求k的取值范围．
函数与方程_PPT课件
对于在[a，b]上连续不断，且 f(a)·f(b)<0 的函数 y＝f(x)，通 过不断地把函数 f(x)的 零点 所在的区间 一分为二 ，使区间的两 端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
课前自助餐
授人以渔
自助餐
5．用二分法求函数 f(x)零点近似值 (1)确定区间[a，b]，验证 f(a)·f(b)<0 ，给定精确度 ε； (2)求区间(a，b)的中点 x1； (3)计算 f(x1)； ①若 f(x1)＝0 ，则 x1 就是函数的零点； ②若 f(a)·f(x1)<0 ，则令 b＝x1，(此时零点 x0∈(a，x1))； ③若 f(x1)·f(b)<0 ，则令 a＝x1，(此时零点 x0∈(x1，b))． (4)判断是否达到精确度 ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值 a(或 b)；否则重复(2)－(4)．
答案 C
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授人以渔
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3．函数 f(x)＝ex＋3x 的零点个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
答案 B
解析 由已知得 f′(x)＝ex＋3>0，所以 f(x)在 R 上单调递增， 又 f(－1)＝e－1－3<0，f(1)＝e＋3>0，因此 f(x)的零点个数是 1， 故选 B.
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4．二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c 中，a·c<0，则函数的零点个数 是________．
答案 2 解析 ∵c＝f(0)，∴a·c＝af(0)<0，即 a 和 f(0)异号． ∴a>0， f0<0 或a<0， f0>0.
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5．用二分法求函数 f(x)零点近似值 (1)确定区间[a，b]，验证 f(a)·f(b)<0 ，给定精确度 ε； (2)求区间(a，b)的中点 x1； (3)计算 f(x1)； ①若 f(x1)＝0 ，则 x1 就是函数的零点； ②若 f(a)·f(x1)<0 ，则令 b＝x1，(此时零点 x0∈(a，x1))； ③若 f(x1)·f(b)<0 ，则令 a＝x1，(此时零点 x0∈(x1，b))． (4)判断是否达到精确度 ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值 a(或 b)；否则重复(2)－(4)．
答案 C
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3．函数 f(x)＝ex＋3x 的零点个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
答案 B
解析 由已知得 f′(x)＝ex＋3>0，所以 f(x)在 R 上单调递增， 又 f(－1)＝e－1－3<0，f(1)＝e＋3>0，因此 f(x)的零点个数是 1， 故选 B.
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授人以渔
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4．二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c 中，a·c<0，则函数的零点个数 是________．
答案 2 解析 ∵c＝f(0)，∴a·c＝af(0)<0，即 a 和 f(0)异号． ∴a>0， f0<0 或a<0， f0>0.
一次函数与方程、不等式(共15张PPT)
04 综合练习与提高
综合练习题一
总结词
理解一次函数与方程、不等式之间的 关系
详细描述
通过解决一系列的练习题，理解一次 函数与方程、不等式之间的关系，掌 握将实际问题转化为数学模型的方法 。
综合练习题二
总结词
掌握一次函数的图像和性质
详细描述
通过绘制一次函数的图像，理解函数的增减性、截距等性质，掌握利用图像解决实际问题的技巧。
一次函数与不等式的实际应用
一次函数与不等式在实际生活中有着 广泛的应用。例如，在购物时，我们 可以通过比较商品的价格和折扣率来 选择最划算的购买方案，这需要用到 一元一次不等式的知识。
另外，在生产活动中，我们可以通过 控制生产成本和产量之间的关系来制 定最优的生产计划，这也需要用到一 元一次不等式R。
02 一次函数与方程
一次函数与一元一次方程的关系
一次函数是形如$y = kx + b$的函数，其中$k$和$b$是常数， 且$k neq 0$。一元一次方程是只含有一个变量的方程，其形式 为$ax + b = 0$，其中$a$和$b$是常数，且$a neq 0$。
一次函数与方程、不等式(共15张 ppt)
目录
• 一次函数的基本概念 • 一次函数与方程 • 一次函数与不等式 • 综合练习与提高 • 总结与回顾
01 一次函数的基本概念
一次函数的定义
一次函数
一般形式为y=kx+b（k≠0），其 中x为自变量，y为因变量，b为截 距，k为斜率。
线性函数
特殊的一次函数，形式为y=kx+b （k≠0，b=0）。
一次函数在实际问题中的应用
一次函数可以用于解决实际问题，如路程、速度和时间问题、价格和销售问题等。
《二次函数与一元二次方程》二次函数PPT教学课件
情境引入
下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共的
横坐标是多少？当x轴取公共点的横坐标，函数值是多少？
由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？
（1）y=x2+x-2
（2）y=x2-6x+9
（3）y=x2-x+1
两
（1）抛物线y=x2+x-2与x轴有___个公共点，
-2,1
它们的横坐标是_____。当x取公共点的横坐
第二十二章 二次函数
二次函数与一元二次方程
情境引入
如图所示，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出
时，小球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，
球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有
关系h=20t-5t2.考虑以下问题：
（1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？
关系h=20t-5t2.考虑以下问题：
（2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？
解：（2）解方程20=20t-5t2。t2-4t+4=0。
t1=t2=2。当球飞行2s时，它的高度为20m。
情境引入
如图所示，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出
时，小球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，
时，小球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，
球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有
关系h=20t-5t2.考虑以下问题：
（4）球从飞出到落地要用多少时间？
解：（1）解方程0=20t-5t2。t2-4t=0。t1=0，
t2=4。当球飞行0s和4s时，它的高度为0m，
沪科版数学九年级上册21.3二次函数与一元二次方程 课件(共24张PPT)
第21章 二次函数与反比例函数
21.3 二次函数与一元二次方程
学习目标
学习重难点
重点
难点
1.理解二次函数与一元二次方程(不等式)的关系.2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解.3.了解用图象法求一元二次方程的近似根的方法.
二次函数图象、性质确定方程的解.
二次函数与一元二次方程(不等式)的关系.
D
C
3.已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，求k的取值范围．解：当k＝3时，函数y＝2x＋1是一次函数．∵一次函数y＝2x＋1与x轴有一个交点，∴k＝3;当k≠3时，y＝(k－3)x2＋2x＋1是二次函数．∵二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，∴Δ＝b2－4ac≥0.∵b2－4ac＝22－4(k－3)＝－4k＋16，∴－4k＋16≥0. ∴k≤4且k≠3.综上所述，k的取值范围是k≤4.
归纳小结
1.二次函数与一元二次方程的关系： 一般地，关于x的一元二次方程 的根，就是二次函数 的值为0时自变量x的值，也就是函数 的图像与x轴交点的横坐标.2.二次函数 与x轴交点个数的确定. 可有一元二次方程的根的判别式来表示判定二次函数图象与x轴的交点的情况，由根与系数的关系来解决相关问题.在函数问题中，往往需要解方程：反过来也可以利用函数图象解方程.
思 考： 如何利用二次函数求一元二次方程的近似解.例：求一元二次方程x2+2x-1=0的根的近似值（精确到 0.1）. 分析：一元二次方程x²+2x-1=0的根就是抛物线y=x²+2x-1与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法.
想一想：观察下列二次函数，图象与x轴有公共点吗? 如果有，公共点的横坐标是多少?当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少?由此你能得出相应的一元二次方程的根吗?(1) y＝x2＋x－2.(2)y＝x2－6x＋9.(3)y＝x2－x＋1.
21.3 二次函数与一元二次方程
学习目标
学习重难点
重点
难点
1.理解二次函数与一元二次方程(不等式)的关系.2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解.3.了解用图象法求一元二次方程的近似根的方法.
二次函数图象、性质确定方程的解.
二次函数与一元二次方程(不等式)的关系.
D
C
3.已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，求k的取值范围．解：当k＝3时，函数y＝2x＋1是一次函数．∵一次函数y＝2x＋1与x轴有一个交点，∴k＝3;当k≠3时，y＝(k－3)x2＋2x＋1是二次函数．∵二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，∴Δ＝b2－4ac≥0.∵b2－4ac＝22－4(k－3)＝－4k＋16，∴－4k＋16≥0. ∴k≤4且k≠3.综上所述，k的取值范围是k≤4.
归纳小结
1.二次函数与一元二次方程的关系： 一般地，关于x的一元二次方程 的根，就是二次函数 的值为0时自变量x的值，也就是函数 的图像与x轴交点的横坐标.2.二次函数 与x轴交点个数的确定. 可有一元二次方程的根的判别式来表示判定二次函数图象与x轴的交点的情况，由根与系数的关系来解决相关问题.在函数问题中，往往需要解方程：反过来也可以利用函数图象解方程.
思 考： 如何利用二次函数求一元二次方程的近似解.例：求一元二次方程x2+2x-1=0的根的近似值（精确到 0.1）. 分析：一元二次方程x²+2x-1=0的根就是抛物线y=x²+2x-1与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法.
想一想：观察下列二次函数，图象与x轴有公共点吗? 如果有，公共点的横坐标是多少?当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少?由此你能得出相应的一元二次方程的根吗?(1) y＝x2＋x－2.(2)y＝x2－6x＋9.(3)y＝x2－x＋1.
第07讲函数与方程(课件)-2024年高考数学一轮复习(新教材新高考)
范围是________．
【答案】 −∞, −1
2
当 < 0时，令′ = 0，解得 = 0或 = − ，
【解析】因为 = 3 + 3 2 − 4，所以′ = 3 2 + 6 = 3 + 2
当 = 0时，有 = 3 2 − 4 = 0，解得 = ± 2 3，
公共点.
N
Q
Z
R
N
(3)函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有
f(a)f(b)<0
(a，b) 内至少有一个零点，即存
__________，那么，函数y＝f(x)在区间
在c∈(a，b)，使得 f(c)＝0 ，这个c也就是方程f(x)＝0的解.
2.二分法
2
−∞, −
=
2
2
2
−∞, −
2
当 ∈ 0, − ，′ > 0， 在区间 0, − 上单调递增；
当 > 0时，由′ = 0，解得 = 0或 = − ，
2
且有 0 = −4， −
> 0，
， 存在一个正数零点，所以不符合题意；
2 3
,0
3
2
2 3
3
2024
高考一轮复习
第07讲 函数与方程
导师：稻壳儿
目录
C
O
N
T
E
01
考情分析
N
T
S
02
03
04
网络构建
知识梳理
题型归纳
真题感悟
01
考情分析
考点要求
考题统计
考情分析
【答案】 −∞, −1
2
当 < 0时，令′ = 0，解得 = 0或 = − ，
【解析】因为 = 3 + 3 2 − 4，所以′ = 3 2 + 6 = 3 + 2
当 = 0时，有 = 3 2 − 4 = 0，解得 = ± 2 3，
公共点.
N
Q
Z
R
N
(3)函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有
f(a)f(b)<0
(a，b) 内至少有一个零点，即存
__________，那么，函数y＝f(x)在区间
在c∈(a，b)，使得 f(c)＝0 ，这个c也就是方程f(x)＝0的解.
2.二分法
2
−∞, −
=
2
2
2
−∞, −
2
当 ∈ 0, − ，′ > 0， 在区间 0, − 上单调递增；
当 > 0时，由′ = 0，解得 = 0或 = − ，
2
且有 0 = −4， −
> 0，
， 存在一个正数零点，所以不符合题意；
2 3
,0
3
2
2 3
3
2024
高考一轮复习
第07讲 函数与方程
导师：稻壳儿
目录
C
O
N
T
E
01
考情分析
N
T
S
02
03
04
网络构建
知识梳理
题型归纳
真题感悟
01
考情分析
考点要求
考题统计
考情分析
《课堂新坐标》高考数学一轮总复习课件：第二章 第八节 函数与方程(共33张PPT)
2＋4 确度 ε＝0.01，取区间(2，4)的中点 x1＝ 2 ＝3，计算
得 f(2)·f(x1)＜0，则此时零点 x0 所在的区间为( )
A．(2，4)
B．(3，4)
探究·提知能
C．(2，3)
D．(2.5，3)
课后作
【解析】 由零点存在性定理知x0∈(2，3)，故选C.
【答案】 C
菜单
新课标 ·文科数学（广东专用）
菜单
新课标 ·文科数学（广东专用）
Δ＝b2－4ac
落实·固基础
Δ>0
二次函数 y＝ax2＋bx＋c
(a>0)的图象
Δ＝0
Δ<0
高考体验·明
探究·提知能与x轴的交点 零点个数
_(_x_1，___0_)，___(x_2_，__0__) __(_x_1，___0_)_
2
1
无交点 课后作 0
菜单
新课标 ·文科数学（广东专用）
菜单
新课标 ·文科数学（广东专用）
落实·固基础
1．解答本题一要从图表中寻找数量信息，二要注 高考体验·明 意“精确度”的含义，切不可与“精确到”混淆．
2．(1)用二分法求函数零点的近似解必须满足①y
＝f(x)的图象在[a，b]内连续不间断，②f(a)·f(b)＜0.(2)
在第一步中，尽量使区间长度缩短，以减少计算量及计
落实·固基础
新课标 ·文科数学（广东专用）
第八节 函数与方程
高考体验·明
探究·提知能 菜单
课后作
新课标 ·文科数学（广东专用）
落实·固基础 1．函数零点
高考体验·明
(1)定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使____f_(x_)_＝_0___成
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f(e)＝e3－1<0，
∴y＝f(x)在区间(1，e)内有零点． 又在区间(0,1)上，ln x<0，∴f(x)＝13x－ln x>0，
∴y＝f(x)在区间1e，1内无零点．
答案：D
9
跟踪训练
1．函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点一定位于区间( ) A．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) D．(4,5)
点评：解本题的关键是把函数零点转化为方程的根， 针对函数的最高次项系数进行分类讨论．
11
跟踪训练
2．若函数f(x)＝x2－2x＋a没有零点，则实数a的 取值范围是( B )
A．a<1B．a>1C源自a≤1D．a≥112
数．
讨论曲线的公共点 求函数f(x)＝ln x与g(x)＝6－2x的公共点的个
解析：法一：利用信息技 术直接画出函数F(x)＝f(x)－g(x) ＝ln x＋2x－6的图象
解析：易知函数f(x)在定义域(0，＋ )内是增函数， f(1)＝ln 1＋2－6＝－4＜0，f(2)＝ln 2＋4－6＝ln 2－2＜ 0，f(3)＝ln 3＞0， f(2)·f(3)＜0，即函数f(x)零点所在区间是 (2,3)． 答案：B 点评：求零点所在区间判断是否有f(2)·f(3)＜0，需注意的 是f(a)·f(3)＞0并不能说明该函数没有零点．
2．函数f(x)＝ln(2－x)的零点是唯一的，从函数图 象的变化趋势来看，这是因为： ____函__数__f_(x_)_＝__l_n_(2_－__x_)_是__区__间__上__的__减__函__数_______.
3．若方程2x＝a的解是唯一的，则实数a的取值范
围是：_(_0_，__＋__∞_)_；若方程2x＝a无解，则实数a的取值 范围是：(_－__∞_，__0_]_.
函数与方程
学习目标
1．正确理解函数零点与方程根及函数图象与x轴 交点横坐标的关系．
2．正确应用函数零点判定定理判定函数零点所在 区间．
3．综合应用二分法与数形结合法与求根公式等方 法研究与方程的根相关问题．
2
基础梳理 1．设点(m,n)是两曲线C1：y＝f(x)，C2：y＝g(x)的
一个公共点，则方程f(x)＝g(x)的一个解是：_x_＝__m____； 函数y＝f(x)－g(x)的一个零点是：__m____.
这个方程的解，我们可以看作是函数y＝ln x与y＝－2x ＋6图象交点的横坐标．
2．解析：f(1)＝ －1, f(2)＝2, f(1)·f(2)<0， 函数f (x)在区间(1,2)上必有零点． 答案：B 3．解析：函数f(x)在区间(0,1)上有零点等价于f(0)·f(1)<0.f(1)＝ －1<0，f(0) ＝ 2a－4>0， 解得：a >2. 答案：(2，＋ )
7
判断零点所在的区间
解析：若a>0，则f(x0)<0，结合图象可知， 二次函数f(x)有两个零点，分 别在区间 (－∞，x0) 和(x0，＋∞) 上. a<0时有相同的结论．
5
自测自评
1．若 f(x)＝x－x 1，则方程 f(4x)＝x 的根是(
)
1 A.2
B．－12
C．2
D．－2
解析：f(4x)＝x 即：4x4－x 1＝x， 即 4x2－4x＋1＝0，解得：x＝12.
13
法二：利用函数零点存在性定理 因为函数f(x)的图象在(0，＋∞)是连续的，f(2)＝－ 1.3069<0，f(3)＝1.0986>0则f(2)f(3)<0， 这说明函数f(x)在区间(2,3)内有零点， 由于函数f(x)在定义域内是增函数， 所以它仅有一个公共点． 法三：图象法
14
f(x)＝ln x＋2x－6的零点，就是方程ln x＋2x－6＝0的解， 即是ln x＝－2x＋6的解．
答案：A
6
2．已知a是实数，函数f(x)＝ax2＋(3－3a)x＋2a－4.在下列所给区间中，函数f (x)必有零 点的一个区间是( )
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 3．已知a是实数，函数 f(x)＝ax2＋(3－3a)x＋2a－4.如果函数f(x)在区间(0,1)上有零点， 则a的取值范围是：_________.
10
根据零点个数求参数范围
值．
若函数y＝mx2－2x－1只有1个零点，求实数m的
解析：当m＝0时，函数只有一个零点等价于－2x－1 ＝0只有1个实数解，解方程得：x＝－ 1 满足题意，当
2
m≠0时，函数只有1个零点等价于方程mx2－2x－1＝0有两 个相等实根，所以Δ＝4＋4m＝0解得m＝－1.
综合所述，m的值为0或-1.
设函数f(x)＝ 1 x－ln x(x>0)，则函数y＝f(x)( ) 3
A．在区间 1e，1 ，(1，e)内均有零点 B．在区间 1e，1，(1，e)内均无零点 C．在区间 1e，1内有零点，在区间(1，e)内无零点 D．在区间 1e，1 内无零点，在区间(1，e)内有零点
8
解析：∵f1e＝31e＋1>0, f(1)＝13>0，
4．直线y＝mx＋n与抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的 公共点的个数至多有：__2_个___.
3
思考应用
1．设区间[a，b]是连续函数f(x)的零点所在的一个区间，
用二分法逐步将零点所在区间拆分，逼近得到方程的近似
解．这一方法中，体现了数学的哪些基本思想方法？
解析：第一次用二分法将零点所在区间[a，b]拆分得到两个子区间a，a＋2 b，b
2
a
这两个子区间中必有一个包含函数的零点，区间的长度是原区间长度的一半为a＋2 b，b ，
再数用的二零分点法的时区，间包的含长函度数为的b－零a点的，区当间n→长＋度∞是时b，－4 包a ，含…函，数第的零n次点用的二区分间法的时长，度包趋含向函于 2n
0.所以二分法体现了数学中无限逼近的极限思想，也融合了数形结合思想．
4
2．设区间[a，b]是连续函数f(x)的零点所在的一个区间，当f(x)在区间[a， b]上具有什么样的条件时， 连续函数f(x)的零点是唯一的？
解析：当f(x)在区间[a，b]上是增函数或减函数时， 可以确保连续函数 f(x)的零点是唯一的．
3．对于二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若存在x0∈R，使a·f(x0)<0，你 能判断它的零点个数吗？
∴y＝f(x)在区间(1，e)内有零点． 又在区间(0,1)上，ln x<0，∴f(x)＝13x－ln x>0，
∴y＝f(x)在区间1e，1内无零点．
答案：D
9
跟踪训练
1．函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点一定位于区间( ) A．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) D．(4,5)
点评：解本题的关键是把函数零点转化为方程的根， 针对函数的最高次项系数进行分类讨论．
11
跟踪训练
2．若函数f(x)＝x2－2x＋a没有零点，则实数a的 取值范围是( B )
A．a<1B．a>1C源自a≤1D．a≥112
数．
讨论曲线的公共点 求函数f(x)＝ln x与g(x)＝6－2x的公共点的个
解析：法一：利用信息技 术直接画出函数F(x)＝f(x)－g(x) ＝ln x＋2x－6的图象
解析：易知函数f(x)在定义域(0，＋ )内是增函数， f(1)＝ln 1＋2－6＝－4＜0，f(2)＝ln 2＋4－6＝ln 2－2＜ 0，f(3)＝ln 3＞0， f(2)·f(3)＜0，即函数f(x)零点所在区间是 (2,3)． 答案：B 点评：求零点所在区间判断是否有f(2)·f(3)＜0，需注意的 是f(a)·f(3)＞0并不能说明该函数没有零点．
2．函数f(x)＝ln(2－x)的零点是唯一的，从函数图 象的变化趋势来看，这是因为： ____函__数__f_(x_)_＝__l_n_(2_－__x_)_是__区__间__上__的__减__函__数_______.
3．若方程2x＝a的解是唯一的，则实数a的取值范
围是：_(_0_，__＋__∞_)_；若方程2x＝a无解，则实数a的取值 范围是：(_－__∞_，__0_]_.
函数与方程
学习目标
1．正确理解函数零点与方程根及函数图象与x轴 交点横坐标的关系．
2．正确应用函数零点判定定理判定函数零点所在 区间．
3．综合应用二分法与数形结合法与求根公式等方 法研究与方程的根相关问题．
2
基础梳理 1．设点(m,n)是两曲线C1：y＝f(x)，C2：y＝g(x)的
一个公共点，则方程f(x)＝g(x)的一个解是：_x_＝__m____； 函数y＝f(x)－g(x)的一个零点是：__m____.
这个方程的解，我们可以看作是函数y＝ln x与y＝－2x ＋6图象交点的横坐标．
2．解析：f(1)＝ －1, f(2)＝2, f(1)·f(2)<0， 函数f (x)在区间(1,2)上必有零点． 答案：B 3．解析：函数f(x)在区间(0,1)上有零点等价于f(0)·f(1)<0.f(1)＝ －1<0，f(0) ＝ 2a－4>0， 解得：a >2. 答案：(2，＋ )
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判断零点所在的区间
解析：若a>0，则f(x0)<0，结合图象可知， 二次函数f(x)有两个零点，分 别在区间 (－∞，x0) 和(x0，＋∞) 上. a<0时有相同的结论．
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自测自评
1．若 f(x)＝x－x 1，则方程 f(4x)＝x 的根是(
)
1 A.2
B．－12
C．2
D．－2
解析：f(4x)＝x 即：4x4－x 1＝x， 即 4x2－4x＋1＝0，解得：x＝12.
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法二：利用函数零点存在性定理 因为函数f(x)的图象在(0，＋∞)是连续的，f(2)＝－ 1.3069<0，f(3)＝1.0986>0则f(2)f(3)<0， 这说明函数f(x)在区间(2,3)内有零点， 由于函数f(x)在定义域内是增函数， 所以它仅有一个公共点． 法三：图象法
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f(x)＝ln x＋2x－6的零点，就是方程ln x＋2x－6＝0的解， 即是ln x＝－2x＋6的解．
答案：A
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2．已知a是实数，函数f(x)＝ax2＋(3－3a)x＋2a－4.在下列所给区间中，函数f (x)必有零 点的一个区间是( )
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 3．已知a是实数，函数 f(x)＝ax2＋(3－3a)x＋2a－4.如果函数f(x)在区间(0,1)上有零点， 则a的取值范围是：_________.
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根据零点个数求参数范围
值．
若函数y＝mx2－2x－1只有1个零点，求实数m的
解析：当m＝0时，函数只有一个零点等价于－2x－1 ＝0只有1个实数解，解方程得：x＝－ 1 满足题意，当
2
m≠0时，函数只有1个零点等价于方程mx2－2x－1＝0有两 个相等实根，所以Δ＝4＋4m＝0解得m＝－1.
综合所述，m的值为0或-1.
设函数f(x)＝ 1 x－ln x(x>0)，则函数y＝f(x)( ) 3
A．在区间 1e，1 ，(1，e)内均有零点 B．在区间 1e，1，(1，e)内均无零点 C．在区间 1e，1内有零点，在区间(1，e)内无零点 D．在区间 1e，1 内无零点，在区间(1，e)内有零点
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解析：∵f1e＝31e＋1>0, f(1)＝13>0，
4．直线y＝mx＋n与抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的 公共点的个数至多有：__2_个___.
3
思考应用
1．设区间[a，b]是连续函数f(x)的零点所在的一个区间，
用二分法逐步将零点所在区间拆分，逼近得到方程的近似
解．这一方法中，体现了数学的哪些基本思想方法？
解析：第一次用二分法将零点所在区间[a，b]拆分得到两个子区间a，a＋2 b，b
2
a
这两个子区间中必有一个包含函数的零点，区间的长度是原区间长度的一半为a＋2 b，b ，
再数用的二零分点法的时区，间包的含长函度数为的b－零a点的，区当间n→长＋度∞是时b，－4 包a ，含…函，数第的零n次点用的二区分间法的时长，度包趋含向函于 2n
0.所以二分法体现了数学中无限逼近的极限思想，也融合了数形结合思想．
4
2．设区间[a，b]是连续函数f(x)的零点所在的一个区间，当f(x)在区间[a， b]上具有什么样的条件时， 连续函数f(x)的零点是唯一的？
解析：当f(x)在区间[a，b]上是增函数或减函数时， 可以确保连续函数 f(x)的零点是唯一的．
3．对于二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若存在x0∈R，使a·f(x0)<0，你 能判断它的零点个数吗？