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人教版九年级初中数学上册第二十二章二次函数-二次函数与一元二次方程PPT课件
新知探究
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的
根有什么关系?
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)
一元二次方程ax2+bx+c=0
与x轴的公共点的个数
(a≠0)的根的情况
b2-4ac>0
有两个
有两个不相等的实数根
b2-4ac=0
有一个
有两个相等的实数根
P(2,-2)
重复上述过程，不断缩小根的范围，根所在两端的值就越来越
接近根的值.因而可以作为根的近似值。
尝试求出方程y = 2 − 2 − 2两个根的近似值？
课堂练习
1. 抛物线 = 2 + 2 − 3与轴的交点个数有(
. 0个
. 1个
Ｃ．2个
C ).
Ｄ．3个
【分析】解二次函数 = 2 + 2 − 3得1 =
第二十二章 二次函数
2 2 . 2 二次函数与一元二次方程
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
前 言
学习目标
1.二次函数与一元二次方程之间的联系。
2.二次函数的图象与x轴交点的三种位置关系。
3.利用二次函数图象求它的实数根。
重点难点
重点：让学生理解二次函数与一元二次方程之间的联系。
难点：让学生理解函数图象交点问题与对应方程间的相互转化，及用图象求方程
x1=x2 =-
x
2
与x轴没有
交点
一元二次方程
ax2+bx+c=0
（a≠0）的根
x
没有实数根
新知探究
一次函数与方程、不等式(共15张PPT)
04 综合练习与提高
综合练习题一
总结词
理解一次函数与方程、不等式之间的 关系
详细描述
通过解决一系列的练习题，理解一次 函数与方程、不等式之间的关系，掌 握将实际问题转化为数学模型的方法 。
综合练习题二
总结词
掌握一次函数的图像和性质
详细描述
通过绘制一次函数的图像，理解函数的增减性、截距等性质，掌握利用图像解决实际问题的技巧。
一次函数与不等式的实际应用
一次函数与不等式在实际生活中有着 广泛的应用。例如，在购物时，我们 可以通过比较商品的价格和折扣率来 选择最划算的购买方案，这需要用到 一元一次不等式的知识。
另外，在生产活动中，我们可以通过 控制生产成本和产量之间的关系来制 定最优的生产计划，这也需要用到一 元一次不等式R。
02 一次函数与方程
一次函数与一元一次方程的关系
一次函数是形如$y = kx + b$的函数，其中$k$和$b$是常数， 且$k neq 0$。一元一次方程是只含有一个变量的方程，其形式 为$ax + b = 0$，其中$a$和$b$是常数，且$a neq 0$。
一次函数与方程、不等式(共15张 ppt)
目录
• 一次函数的基本概念 • 一次函数与方程 • 一次函数与不等式 • 综合练习与提高 • 总结与回顾
01 一次函数的基本概念
一次函数的定义
一次函数
一般形式为y=kx+b（k≠0），其 中x为自变量，y为因变量，b为截 距，k为斜率。
线性函数
特殊的一次函数，形式为y=kx+b （k≠0，b=0）。
一次函数在实际问题中的应用
一次函数可以用于解决实际问题，如路程、速度和时间问题、价格和销售问题等。
新教材人教版B版必修一 函数与方程 课件(10张)
x m, 其中m>0.若
x m,
存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是
. 解题导引
解析 f(x)的大致图象如图所示:
若存在b∈R,使得方程f(x)=b有三个不同的根,只需A点在B点的下 方,即4m-m2<m,又m>0,所以m>3. 答案 (3,+∞)
2
∴f(1)·f(2)<0,
根据零点存在性定理知f(x)=ln
x-
2 x2
的零点所在的区间为(1,2).故选B.
答案 B
考向二 函数零点的应用
例2 (2017江西赣州一模,11)已知函数f(x)=|2x-2|+b的两个零点分别为x
1,x2(x1>x2),则下列结论正确的是 ( )
A.1<x1<2,x1+x2<2
第三步,计算f(x1): (i)若f(x1)=0,则x1就是函数的零点; (ii)若f(a)·f(x1)<0,则令b=x1(此时零点x0∈(a,x1)); (iii)若f(x1)·f(b)<0,则令a=x1(此时零点x0∈(x1,b)); 第四步,判断是否达到精确度ε,即若|a-b|<ε,则得到零点近似值a(或b);否 则,重复第二、三、四步.
与方程的根
1.函数的零点
(1)函数零点的定义:对于函数y=f(x),把使① f(x)=0 的实数x叫做函数
y=f(x)的零点.
(2)三个等价关系:方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与② x轴
有交点⇔函数y=f(x)有③ 零点 .
2.函数零点存在性定理
注意 零点存在性定理只能判断函数在某区间上是否存在零点,并不能 判断零点的个数,但如果函数在区间上是单调函数,则该函数在区间上 至多有一个零点. 3.二分法 (1)对于区间[a,b]上连续不断的,且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把 函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点, 从而得到零点近似值的方法,叫做二分法. (2)用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤 第一步,确定区间[a,b],验证④ f(a)·f(b)<0 ,给定精确度ε; 第二步,求区间(a,b)的中点x1;
人教版高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式全套PPT课件
[解析] ， ，又 , ，即 .又 ， ，即 ．故 ， ．
【变式探究】
已知 且 ，求 的取值范围．
[解析] 令 ， ，则 ， ．由 解得 ,又 ， ， ， ．
方法总结 不等式具有可加性（需同向）与可乘性（需同正），但不能相减或相除，应用时要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意等价变形．
方法总结 应用基本不等式时，注意下列常见变形中等号成立的条件：
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
学习目标
1.会用不等式（组）表示实际问题中的不等关系.（数学建模）
2.会运用作差法比较两个数或式子的大小.（数学运算）
3.梳理等式的性质，掌握不等式的性质，会用不等式的性质证明不等式或解决范围问题.（逻辑推理）
自主预习·悟新知
合作探究·提素养
（2）已知 ， .求证： ．
②
[解析] （1）对于①，若 ， ， ， ，则 ，①错误；对于②，对于正数 ， ， ，若 ，则 ，所以 ，所以 ，又 ，所以 ，②正确．综上，正确结论的序号是②．（2）因为 ，所以 .所以 ．又因为 ，所以 .所以 ，即 ，所以 ．
探究2 重要不等式
设 ， ，记 ， ， 分别为 ， 的算术平均数、几何平均数、调和平均数.古希腊数学家帕波斯于公元4世纪在其名著《数学汇编》中研究过 时， ， ， 的大小关系.
问题1：.你能探究 ， ， 的大小关系吗？
[答案] 能,因为 ， ， ，所以 ，即 ； ，即 .所以 .所以 ， ， 中最大的为 ，最小的为 .
问题1：.小明的说法正确吗？用什么性质判断小明的说法是否正确？
[答案] 不正确，用等式的性质.当 时， 一定成立，反过来，当 时，不能推出 ，如当 时， 成立， 不成立.故“ 是 成立的充要条件”是错误的.
【变式探究】
已知 且 ，求 的取值范围．
[解析] 令 ， ，则 ， ．由 解得 ,又 ， ， ， ．
方法总结 不等式具有可加性（需同向）与可乘性（需同正），但不能相减或相除，应用时要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意等价变形．
方法总结 应用基本不等式时，注意下列常见变形中等号成立的条件：
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
学习目标
1.会用不等式（组）表示实际问题中的不等关系.（数学建模）
2.会运用作差法比较两个数或式子的大小.（数学运算）
3.梳理等式的性质，掌握不等式的性质，会用不等式的性质证明不等式或解决范围问题.（逻辑推理）
自主预习·悟新知
合作探究·提素养
（2）已知 ， .求证： ．
②
[解析] （1）对于①，若 ， ， ， ，则 ，①错误；对于②，对于正数 ， ， ，若 ，则 ，所以 ，所以 ，又 ，所以 ，②正确．综上，正确结论的序号是②．（2）因为 ，所以 .所以 ．又因为 ，所以 .所以 ，即 ，所以 ．
探究2 重要不等式
设 ， ，记 ， ， 分别为 ， 的算术平均数、几何平均数、调和平均数.古希腊数学家帕波斯于公元4世纪在其名著《数学汇编》中研究过 时， ， ， 的大小关系.
问题1：.你能探究 ， ， 的大小关系吗？
[答案] 能,因为 ， ， ，所以 ，即 ； ，即 .所以 .所以 ， ， 中最大的为 ，最小的为 .
问题1：.小明的说法正确吗？用什么性质判断小明的说法是否正确？
[答案] 不正确，用等式的性质.当 时， 一定成立，反过来，当 时，不能推出 ，如当 时， 成立， 不成立.故“ 是 成立的充要条件”是错误的.
沪科版数学九年级上册21.3二次函数与一元二次方程 课件(共24张PPT)
第21章 二次函数与反比例函数
21.3 二次函数与一元二次方程
学习目标
学习重难点
重点
难点
1.理解二次函数与一元二次方程(不等式)的关系.2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解.3.了解用图象法求一元二次方程的近似根的方法.
二次函数图象、性质确定方程的解.
二次函数与一元二次方程(不等式)的关系.
D
C
3.已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，求k的取值范围．解：当k＝3时，函数y＝2x＋1是一次函数．∵一次函数y＝2x＋1与x轴有一个交点，∴k＝3;当k≠3时，y＝(k－3)x2＋2x＋1是二次函数．∵二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，∴Δ＝b2－4ac≥0.∵b2－4ac＝22－4(k－3)＝－4k＋16，∴－4k＋16≥0. ∴k≤4且k≠3.综上所述，k的取值范围是k≤4.
归纳小结
1.二次函数与一元二次方程的关系： 一般地，关于x的一元二次方程 的根，就是二次函数 的值为0时自变量x的值，也就是函数 的图像与x轴交点的横坐标.2.二次函数 与x轴交点个数的确定. 可有一元二次方程的根的判别式来表示判定二次函数图象与x轴的交点的情况，由根与系数的关系来解决相关问题.在函数问题中，往往需要解方程：反过来也可以利用函数图象解方程.
思 考： 如何利用二次函数求一元二次方程的近似解.例：求一元二次方程x2+2x-1=0的根的近似值（精确到 0.1）. 分析：一元二次方程x²+2x-1=0的根就是抛物线y=x²+2x-1与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法.
想一想：观察下列二次函数，图象与x轴有公共点吗? 如果有，公共点的横坐标是多少?当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少?由此你能得出相应的一元二次方程的根吗?(1) y＝x2＋x－2.(2)y＝x2－6x＋9.(3)y＝x2－x＋1.
21.3 二次函数与一元二次方程
学习目标
学习重难点
重点
难点
1.理解二次函数与一元二次方程(不等式)的关系.2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解.3.了解用图象法求一元二次方程的近似根的方法.
二次函数图象、性质确定方程的解.
二次函数与一元二次方程(不等式)的关系.
D
C
3.已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，求k的取值范围．解：当k＝3时，函数y＝2x＋1是一次函数．∵一次函数y＝2x＋1与x轴有一个交点，∴k＝3;当k≠3时，y＝(k－3)x2＋2x＋1是二次函数．∵二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，∴Δ＝b2－4ac≥0.∵b2－4ac＝22－4(k－3)＝－4k＋16，∴－4k＋16≥0. ∴k≤4且k≠3.综上所述，k的取值范围是k≤4.
归纳小结
1.二次函数与一元二次方程的关系： 一般地，关于x的一元二次方程 的根，就是二次函数 的值为0时自变量x的值，也就是函数 的图像与x轴交点的横坐标.2.二次函数 与x轴交点个数的确定. 可有一元二次方程的根的判别式来表示判定二次函数图象与x轴的交点的情况，由根与系数的关系来解决相关问题.在函数问题中，往往需要解方程：反过来也可以利用函数图象解方程.
思 考： 如何利用二次函数求一元二次方程的近似解.例：求一元二次方程x2+2x-1=0的根的近似值（精确到 0.1）. 分析：一元二次方程x²+2x-1=0的根就是抛物线y=x²+2x-1与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法.
想一想：观察下列二次函数，图象与x轴有公共点吗? 如果有，公共点的横坐标是多少?当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少?由此你能得出相应的一元二次方程的根吗?(1) y＝x2＋x－2.(2)y＝x2－6x＋9.(3)y＝x2－x＋1.
第07讲函数与方程(课件)-2024年高考数学一轮复习(新教材新高考)
范围是________．
【答案】 −∞, −1
2
当 < 0时，令′ = 0，解得 = 0或 = − ，
【解析】因为 = 3 + 3 2 − 4，所以′ = 3 2 + 6 = 3 + 2
当 = 0时，有 = 3 2 − 4 = 0，解得 = ± 2 3，
公共点.
N
Q
Z
R
N
(3)函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有
f(a)f(b)<0
(a，b) 内至少有一个零点，即存
__________，那么，函数y＝f(x)在区间
在c∈(a，b)，使得 f(c)＝0 ，这个c也就是方程f(x)＝0的解.
2.二分法
2
−∞, −
=
2
2
2
−∞, −
2
当 ∈ 0, − ，′ > 0， 在区间 0, − 上单调递增；
当 > 0时，由′ = 0，解得 = 0或 = − ，
2
且有 0 = −4， −
> 0，
， 存在一个正数零点，所以不符合题意；
2 3
,0
3
2
2 3
3
2024
高考一轮复习
第07讲 函数与方程
导师：稻壳儿
目录
C
O
N
T
E
01
考情分析
N
T
S
02
03
04
网络构建
知识梳理
题型归纳
真题感悟
01
考情分析
考点要求
考题统计
考情分析
【答案】 −∞, −1
2
当 < 0时，令′ = 0，解得 = 0或 = − ，
【解析】因为 = 3 + 3 2 − 4，所以′ = 3 2 + 6 = 3 + 2
当 = 0时，有 = 3 2 − 4 = 0，解得 = ± 2 3，
公共点.
N
Q
Z
R
N
(3)函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有
f(a)f(b)<0
(a，b) 内至少有一个零点，即存
__________，那么，函数y＝f(x)在区间
在c∈(a，b)，使得 f(c)＝0 ，这个c也就是方程f(x)＝0的解.
2.二分法
2
−∞, −
=
2
2
2
−∞, −
2
当 ∈ 0, − ，′ > 0， 在区间 0, − 上单调递增；
当 > 0时，由′ = 0，解得 = 0或 = − ，
2
且有 0 = −4， −
> 0，
， 存在一个正数零点，所以不符合题意；
2 3
,0
3
2
2 3
3
2024
高考一轮复习
第07讲 函数与方程
导师：稻壳儿
目录
C
O
N
T
E
01
考情分析
N
T
S
02
03
04
网络构建
知识梳理
题型归纳
真题感悟
01
考情分析
考点要求
考题统计
考情分析
人教版数学九年级上册22.2 二次函数和一元二次方程课件(共55张PPT)
当已知二次函数 y 值，求自变量 x值时，可以看作是解对应的一 元二次方程.相反地，由解一元二次方程，又可看作是二次函数值 为0时，求自变量x的值
例如，已知二次函数 y = －x2＋4x 的值为3，求自变量 x 的值， 可以解一元二次方程－x2＋4x=3 ( 即x2－4x+3=0 ). 反过来，解方程 x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自 变量x的值，还可以看做y = －x2＋4x 和y=3的交点
x
-1
-2
-3
-4 -5
当x1=x2=-3时，函数值为0.
二、利用一元二次方程讨论二次函数与x轴的交点
思考
问题1 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况. (1)x2+x-2=0； ∵∆ = b2-4ac=9>0，∴方程有两个不相等的实数根. (2)x2-6x+9=0； ∵∆ = b2-4ac=0，∴方程有两个相等的实数根. (3)x2-x+1=0. ∵∆ = b2-4ac=-3<0，∴方程有没有实数根.
公共点的坐标.
(1)y=x2+x-2；
y
两个（-2,0），（1,0）
2 1
-2 -1 O 1 2 x
-1
-2
(2)y=x2-6x+9；
y 4
一个（3,0）
3
2
1
-1 O 1 2 3 4
x
(3)y=x2-x+1
y 4
没有公共点
3
2 1
-1 O 1 2
x
二次函数图象与x轴的公共点我们也可以通过平移来观察，发现最多有两 个公共点，最少没有公共点.
O
例如，已知二次函数 y = －x2＋4x 的值为3，求自变量 x 的值， 可以解一元二次方程－x2＋4x=3 ( 即x2－4x+3=0 ). 反过来，解方程 x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自 变量x的值，还可以看做y = －x2＋4x 和y=3的交点
x
-1
-2
-3
-4 -5
当x1=x2=-3时，函数值为0.
二、利用一元二次方程讨论二次函数与x轴的交点
思考
问题1 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况. (1)x2+x-2=0； ∵∆ = b2-4ac=9>0，∴方程有两个不相等的实数根. (2)x2-6x+9=0； ∵∆ = b2-4ac=0，∴方程有两个相等的实数根. (3)x2-x+1=0. ∵∆ = b2-4ac=-3<0，∴方程有没有实数根.
公共点的坐标.
(1)y=x2+x-2；
y
两个（-2,0），（1,0）
2 1
-2 -1 O 1 2 x
-1
-2
(2)y=x2-6x+9；
y 4
一个（3,0）
3
2
1
-1 O 1 2 3 4
x
(3)y=x2-x+1
y 4
没有公共点
3
2 1
-1 O 1 2
x
二次函数图象与x轴的公共点我们也可以通过平移来观察，发现最多有两 个公共点，最少没有公共点.
O
第八节 函数与方程 课件(共31张PPT)
答案：C
2．函数 f(x)＝4cos2 x2·cosπ2－x－2sin x－|ln(x＋1)| 的零点个数为________．
解析：f(x)＝2(1＋cos x)sin x－ 2sin x－|ln(x＋1)|＝sin 2x－|ln(x＋ 1)|，x>－1，函数 f(x)的零点个数即为 函数 y1＝sin 2x(x>－1)与 y2＝|ln(x＋1)|(x>－1)的图象的 交点个数．分别作出两个函数的图象如图所示，可知有两 个交点，则 f(x)有两个零点．
x2－2x，x≤0， 1．已知函数 f(x)＝1＋1x，x>0， 则函数 y＝f(x)＋
3x 的零点个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：令 f(x)＋3x＝0，
则xx≤2－02，x＋3x＝0或x1>＋01x，＋3x＝0，
解得 x＝0 或 x＝－1，
所以函数 y＝f(x)＋3x 的零点个数是 2.
的取值范围是( )
A．a<－1
B．a>1
C．－1<a<1 D．0≤a<1 解析：令 f(x)＝2ax2－x－1， ①当 a＝0 时，－x－1＝0，x＝－1 不合适． ②a≠0 时，f(0)·f(1)<0，a>1.验证若 f(0)＝0，此式不成立； 当 f(1)＝0 时，2a－1－1＝0.
a＝1，方程另一根为－12(不合题意)，故 a>1，选 B. 答案：B
考点 2 判断函数零点个数
[例 1] (1)函数 f(x)＝x－2＋1＋x－ln2x，，xx≤>00，的零点个数
为( )
A．3
B．2
C．7
D．0
(2)已知函数 y＝f(x)是周期为 2 的周期函数，且当 x∈
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3.1.1方程的根与函数的零点
等价关系 判断函数零点或相 应方程的根的存在性 例题分析 课堂练习 小结 布置作业
思考：一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有什么关系？
观察函数与x轴的交点与对应方程根的关系:
方程
函数
函 数 的 图 象
x2－2x－3=0 x2－2x+1=0 y= x2－2x－3 y= x2－2x+1
x2－2x+3=0 y= x2－2x+3
y
.
2
..yLeabharlann ..1.－1 0 1 2 3
－1
－2 －3
. －4
2
x 1. . . －1 0 1 2 x
y
.5 .4
. .
3 2
.
1
－1 0 1 2 3 x
方程的实数根
函数的图象 与x轴的交点
x1=－1,x2=3 (－1,0)、(3,0)
x1=x2=1 (1,0)
（1）－x2＋3x＋5＝0； （2）2x(x－2)＝－3； （3）x2 ＝4x-4；
1(1) －x2＋3x＋5＝0
对了，你真棒！
1(1)解：令f(x)=－x2＋3x＋5, 作出函数f(x)的图象，如下：
它与x轴有两个交点，所以
y
8.
6.
.
4
方程－x2＋3x＋5＝0有两个不
2
相等的实数根。
.
.
－2 －1 0 1 2 3 4 x
因为f(1)=1>0,f(1.5)=－2.875<0, 所以f(x)= －x3－3x+5在区间(1, 1.5) 上有零点。又因为f(x)是(－∞,＋∞） 上的减函数，所以在区间(1, 1.5)上有 且只有一个零点。
.y .
5
.4
3
2.
1
0 1 23 x
－1
.
2(2) f(x)=2x ·ln(x－2)－3
2(2)解：作出函数的图象，如下：
因为f(3)＝－3<0,f(4)≈2.545>0,所以f(x)=
2x ·ln(x－2)－3在区间(3,4)上有零点。又因为
f(x) =2x ·ln(x－2)－3是(2，＋∞）上的增函数，
所以在区间(3,4)上有且只有一个零点。
.
y
.
2
1
0 1 2 34 5 x
－1
-2 -3
无实数根 无交点
判别式△ = b2－4ac
△＞0
△=0
方程ax2 +bx+c=0 两个不相等
有两个相等的
(a≠0)的根
的实数根x1 、x2 实数根x1 = x2
△＜0 没有实数根
函数y= ax2 +bx +c(a≠0)的图象
y
x1 0
x2 x
y 0 x1 x
y
0
x
函数的图象 与 x 轴的交点
(x1,0) , (x2,0)
如 y x2 2x 3 的零点有－１，３．
y x2 2x 1 的零点有１． y x2 2x 3 没有零点． y 2x 5 的零点有 5 ．
2
y ln x 的零点有１．
函数零点的定义： 对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数
y=f(x)的零点。 等价关系
不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函
数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点，即存在c∈(a,b)，
使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。
注:只要满足上述两个条件,就能判断函数在指定 区间内存在零点。
y
..
y
. .
a0 b x
a0 b x
练习：
1.利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：
方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点
观察二次函数f(x)=x2－2x－3的图象:
y
.
.
2
我们发现：
.1
.
函数 f (x) x2 2x 3在区间[2,0]上有零点，
－2 －1 0 1 －1
2
34
x
在区间 [2,4] 上有零点．
－2 －3
. －4
对了，你真棒！
1(3)解：x2 ＝4x－4可化为x2－4x
y
＋4＝0，令f(x)= x2－4x＋4，作出 . 6
.
函数f(x)的图象，如下：
5
.4
.
它与x轴只有一个交点，所以 方程x2 ＝4x－4有两个相等的实 数根。
3 2
1
. －1 0 1 2 3 4 x
2(1) f(x)= －x3－3x+5
2(1)解：作出函数的图象，如下：
1(2) 2x(x－2)＝－3
对了，你真棒！
1(2)解：2x(x－2)＝－3可化为 2x2－4x＋3＝0，令f(x)= 2x2－4x
y
.. 5
＋3 , 作出函数f(x)的图象,如下： 3 . 4 .
它与x轴没有交点，所以方程
2 1
.
2x(x－2)＝－3无实数根。
－1 0 1 2 3 x
1(3) x2 ＝4x－4
请计算：f (2) f (0), f (2) f (4)
即：f (2) f (0) 0 ，函数在(2,0)上有零点；
f (2) f (4) 0 ，函数在(2,4)上有零点．
思考： 任意画几个函数图象，观察图象看是否有同样的结果？
y
.
0 a.
bx
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续
.
.
小结与思考
函数零点的定义
等价关系 函数的零点或相应方程的 根的存在性以及个数的判断
布置作业：
本节课后习题 第1,2题
(x1,0)
没有交点
二次函数的图象与x轴的交点与相应的一元二次方程的 根的关系，即
y ax2 bx c(a 0)与x轴的交点的横坐标即为方程 ax2 bx c 0(a 1)的根．可以推广到一般情形，为此先 给出函数零点的概念．
函数的零点：
对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x) 的零点．
等价关系 判断函数零点或相 应方程的根的存在性 例题分析 课堂练习 小结 布置作业
思考：一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有什么关系？
观察函数与x轴的交点与对应方程根的关系:
方程
函数
函 数 的 图 象
x2－2x－3=0 x2－2x+1=0 y= x2－2x－3 y= x2－2x+1
x2－2x+3=0 y= x2－2x+3
y
.
2
..yLeabharlann ..1.－1 0 1 2 3
－1
－2 －3
. －4
2
x 1. . . －1 0 1 2 x
y
.5 .4
. .
3 2
.
1
－1 0 1 2 3 x
方程的实数根
函数的图象 与x轴的交点
x1=－1,x2=3 (－1,0)、(3,0)
x1=x2=1 (1,0)
（1）－x2＋3x＋5＝0； （2）2x(x－2)＝－3； （3）x2 ＝4x-4；
1(1) －x2＋3x＋5＝0
对了，你真棒！
1(1)解：令f(x)=－x2＋3x＋5, 作出函数f(x)的图象，如下：
它与x轴有两个交点，所以
y
8.
6.
.
4
方程－x2＋3x＋5＝0有两个不
2
相等的实数根。
.
.
－2 －1 0 1 2 3 4 x
因为f(1)=1>0,f(1.5)=－2.875<0, 所以f(x)= －x3－3x+5在区间(1, 1.5) 上有零点。又因为f(x)是(－∞,＋∞） 上的减函数，所以在区间(1, 1.5)上有 且只有一个零点。
.y .
5
.4
3
2.
1
0 1 23 x
－1
.
2(2) f(x)=2x ·ln(x－2)－3
2(2)解：作出函数的图象，如下：
因为f(3)＝－3<0,f(4)≈2.545>0,所以f(x)=
2x ·ln(x－2)－3在区间(3,4)上有零点。又因为
f(x) =2x ·ln(x－2)－3是(2，＋∞）上的增函数，
所以在区间(3,4)上有且只有一个零点。
.
y
.
2
1
0 1 2 34 5 x
－1
-2 -3
无实数根 无交点
判别式△ = b2－4ac
△＞0
△=0
方程ax2 +bx+c=0 两个不相等
有两个相等的
(a≠0)的根
的实数根x1 、x2 实数根x1 = x2
△＜0 没有实数根
函数y= ax2 +bx +c(a≠0)的图象
y
x1 0
x2 x
y 0 x1 x
y
0
x
函数的图象 与 x 轴的交点
(x1,0) , (x2,0)
如 y x2 2x 3 的零点有－１，３．
y x2 2x 1 的零点有１． y x2 2x 3 没有零点． y 2x 5 的零点有 5 ．
2
y ln x 的零点有１．
函数零点的定义： 对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数
y=f(x)的零点。 等价关系
不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函
数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点，即存在c∈(a,b)，
使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。
注:只要满足上述两个条件,就能判断函数在指定 区间内存在零点。
y
..
y
. .
a0 b x
a0 b x
练习：
1.利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：
方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点
观察二次函数f(x)=x2－2x－3的图象:
y
.
.
2
我们发现：
.1
.
函数 f (x) x2 2x 3在区间[2,0]上有零点，
－2 －1 0 1 －1
2
34
x
在区间 [2,4] 上有零点．
－2 －3
. －4
对了，你真棒！
1(3)解：x2 ＝4x－4可化为x2－4x
y
＋4＝0，令f(x)= x2－4x＋4，作出 . 6
.
函数f(x)的图象，如下：
5
.4
.
它与x轴只有一个交点，所以 方程x2 ＝4x－4有两个相等的实 数根。
3 2
1
. －1 0 1 2 3 4 x
2(1) f(x)= －x3－3x+5
2(1)解：作出函数的图象，如下：
1(2) 2x(x－2)＝－3
对了，你真棒！
1(2)解：2x(x－2)＝－3可化为 2x2－4x＋3＝0，令f(x)= 2x2－4x
y
.. 5
＋3 , 作出函数f(x)的图象,如下： 3 . 4 .
它与x轴没有交点，所以方程
2 1
.
2x(x－2)＝－3无实数根。
－1 0 1 2 3 x
1(3) x2 ＝4x－4
请计算：f (2) f (0), f (2) f (4)
即：f (2) f (0) 0 ，函数在(2,0)上有零点；
f (2) f (4) 0 ，函数在(2,4)上有零点．
思考： 任意画几个函数图象，观察图象看是否有同样的结果？
y
.
0 a.
bx
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续
.
.
小结与思考
函数零点的定义
等价关系 函数的零点或相应方程的 根的存在性以及个数的判断
布置作业：
本节课后习题 第1,2题
(x1,0)
没有交点
二次函数的图象与x轴的交点与相应的一元二次方程的 根的关系，即
y ax2 bx c(a 0)与x轴的交点的横坐标即为方程 ax2 bx c 0(a 1)的根．可以推广到一般情形，为此先 给出函数零点的概念．
函数的零点：
对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x) 的零点．