2017年江苏省南京市、盐城市高考数学二模试卷(解析版)
【江苏省南京市、盐城市】2017届高三年级第二次模拟考试数学(理)试卷-答案
江苏省南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试数学(理)试卷(2)设, 在ABD ∆中,π,6,34ABC AD BD ∠===.由=πsin sin 4AD BD a ,解得sin a 8分 因为BD AD <，所以π(0,)4a ∈，所以cos 4a =. 10分因此πππsin sin()sin coscos sin =)444244ADC a a a ∠=+=++= 12分 所以ADC ∆的面积113sin 62(1222S AD DC ADC =⨯⨯⋅∠=⨯⨯=+ 14分 16.(本小题满分14分)证明：(1)因为AD ⊥平面,PAB AP ⊂平面PAB ,所以AD AP ⊥ 2分 又因为,,AP AB AB AD A AB ⊥=⊂I 平面ABCD ,AD ⊂平面ABCD ,所以AP ⊥平面ABCD . 4分 因为CD ⊂平面ABCD ,所以CD AP ⊥. 6分 (2)因为,CD AP CD PD ⊥⊥,且,PD AP P PD =⊂I 平面,PAD AP ⊂平面PAD ,所以CD ⊥平面PAD .① 8分 因为AD ⊥平面PAB ,AB ⊂平面PAB , 所以AB AD ⊥.又因为,,AP AB AP AD A AP ⊥=⊂I 平面PAD ,AD ⊂平面PAD .所以AB ⊥平面PAD .② 10分 由①②得CD AB ∥, 12分 因为CD ⊄平面PAB ,AB ⊂平面PAB ,所以CD ∥平面PAB . 14分 17.(本小题满分14分)解：(1)因为矩形纸板ABCD 的面积为3600,故当90a =时，40b =, 从而包装盒的侧面积22(902)2(402)=8260,(0,20)S x x x x x x x =⨯-+⨯--+∈, 3分 因为226542258260=8()42S x x x =-+--+, 故当654x =时，侧面积最大，最大值为42252平方厘米. 6分 (2)包装盒的体积2(2)(2)[2()4],(0,)2bV a x b x x x ab a b x x x =--=-++∈, 8分22222[2()4](4)(36002404)=42403600V x ab a b x x x ab x x x x x x x =-++≤-+=++-+当且仅当60a b ==时等号成立. 10分 设32()42403600,(0,30)f x x x x =-+∈. 则()12(10)(30)f x x x '=--.于是当010x <<时,()0f x '>,所以()f x 在(0,10)上单调递增；当1030x <<时,()0f x '<,所以()f x 在(10,30)上单调递减.因此当=10x 时,()f x 由最大值(10)=16000f . 12分 此时60,10a b x ===.答：当60,10a b x ===时纸盒的体积最大，最大值为16000立方厘米. 14分 18.(本小题满分16分)解：(1)因为椭圆222=18x y b +经过点(,2)b c ,所以2224=18b c b +. 因为22228c c e a ==,所以2228182b b b -+=. 因为222a b c =+,所以2228182b b b-+=. 2分 整理得2212320b b -+=,解得2=4b 或2=8b （舍）.所以椭圆C 的方程为22184x y +=. 4分 (2)设1122(,),(,)A x y B x y ,因为(1,0)T ,则直线l 的方程为(1)y k x =-.联立直线l 与椭圆方程22(1),184y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ,得2222(21)4280k x k x k +-+-=,所以212221224,212821k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩6分 因为MN l ∥,所以直线MN 方程为y kx =,联立直线MN 与椭圆方程22,184y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ,得22(21)=8k x +,解得22821x k =+.因为MN l ∥,所以1222(1)(1)()M N x x AM BT MN x x --=-g g . 8分因为12121227(1)(1)=[()1]21x x x x x x k ----++=+g ,所以212222(1)(1)7217()213232M N x x AM BT k MN x x k --+===-+g g g . 10分 (3)在(1)y k x =-中,令0x =,则y k =-,所以(0,)P k -. 从而25AP TB =u u u ru u r ,所以22(1)5x x -=-,即122255x x +=. 12分 由(2)知,212221224,212821k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩由2122124,2122,55k x x k x x ⎧+=⎪⎪+⎨⎪+=⎪⎩解得22122242162,3(21)3(21)k k x x k k -+-==++. 14分 因为21222821k x x k -=+,所以2222224216228=3(21)3(21)21k k k k k k -+--⨯+++, 整理得42508334=0k k --,解得2=2k 或21750k =-（舍）. 又因为0k >,所以k 16分 19.(本小题满分16分)解：(1)当a e =时,()1x f x e ex =--,①()()()21,()2x x h x f x g x e x h x e '=-=--=-. 由()0h x '>得ln 2x >,由()0h x '<得ln 2x <.所以函数()h x 的单调递增区间为(ln 2,)+∞,单调递减区间为(,ln 2)-∞. 3分 ②()x f x e e '=-.当1x <时,()0f x '<,所以()f x 在区间(,1)-∞上单调递减； 当1x >时,()0f x '>,所以()f x 在区间(1,)+∞上单调递增.1*当1m ≤时,()f x 在(,]m -∞上单调递减,值域为[1,]m e em --+∞,()(2)g x e x =-在(,)m +∞上单调递减,值域为[,(2)]e m -∞-, 因为()F x 的值域为R ,所以1(2)m e em e m --≤-, 即10m e em --≤.(*)由①可知当0m <时,()21(0)0m h m e m h =-->=,故(*)不成立.因为()h m 在(0,ln 2)上单调递减,在(ln 2,1)上单调递增,且(0)0,(1)30h h e ==-<,所以01m <≤时,()0h m ≤恒成立,因此01m <≤. 6分 2*当1m >时,()f x 在(,1)-∞上单调递减,在(1,]m 上单调递增, 所以函数()=1x f x e ex --在(,]m -∞上的值域为[(1),]f +∞,即[1,)-+∞. ()(2)g x e x =-在(,)m +∞上单调递减,值域为[,(2)]e m -∞-,因为()F x 的值域为R ,所以1(2)e m -≤-,即112m e <≤-. 综上1*,2*可知,实数m 的取值范围是1[0,]2e -. 9分 (1)()xf x e a '=-.若0a ≤时,()0f x '>,此时()f x 在在R 上单调递增. 由12()=()f x f x 可得12=x x 与12||1x x -≥相矛盾,所以0a >,且()f x 在(,ln ]a -∞上单调递减,在[ln ,)a -∞上单调递增. 11分 若12,(,ln ]x x a ∈-∞,则由12()=()f x f x 可得12=x x ,与12||1x x -≥相矛盾, 同样不能有12,[ln ,)x x a ∈+∞,不妨设1202x x ≤≤≤,则有120ln 2x a x ≤<<≤.因为()f x 在1(,ln )x a 上单调递减,在2(ln ,)a x 上单调递增,且12()=()f x f x , 所以当12x x x ≤≤时,12()()=()f x f x f x ≤. 由1202x x ≤≤≤,且12||1x x -≥,可得121[,]x x ∈,故12(1)()=()f f x f x ≤. 14分 又()f x 在(,ln ]a -∞上单调递减,且10ln x a ≤≤,所以1()=(0)f x f , 所以(1)(0)f f ≤,同理(1)(2)f f ≤.即210,122,e a e a e a --≤⎧⎨--≤--⎩解得211e a e e -≤≤--,所以211e a e e -≤≤--. 16分 20.(本小题满分16分)(1)因为{}n a 是公差为2的等差数列.所以11=2(1),1n n S a a n a n n+-=+-. 2分从而11122(1)(2)(1)22nc a n a n n a n n +++++=-+-=+,即1n c =. 4分(2)由1(1)n n n S n b a n++=-,得1(1)n n n n n b na S ++=-,121(1)(2)(1)n n n n n b n a S +++++=+-,两式相减,并化简得211=(2)n n n n a a n b nb +++-+-. 6分 从而12121(2)[(1)]22n n n n n n n n a a S a a n c a n b n++++++++=-=--+21(1)2n n n a a n b +++=++1(2)(1)2n n n n b nb n b ++-=++11(2)()2n n n b b +=++因此11()2n n n c b b +=+. 9分因为对一切*n ∈N ,有n n b c λ≤≤,所以11=()2n n n n c b b λλ+≤+≤,故==n n b c λλ,. 11分 所以1(1)=n n S n a nλ++-,①121(2)=()2n n n S n a a nλ++++-②②-①,得211()=2n n a a λ++-,即21=2n n a a λ++-故1=2(2)n n a a λλ+-≥. 14分 又2212=1n S a a a λ-=-,则1=2(1)n n a a λλ+-≥,所以数列{}n a 是等差数列. 16分 21.【选做题】在A B C D 、、、四小题中只能选做2题,每小题10分,共20分.A .选修41-：几何证明选讲解：(1)因为BC 是圆O 的切线,故由切割线定理得2=BC BM BA ⋅. 2分 设AM t =,因为8,4AB BC ==,所以24=8(8)t -,解得=6t ,即线段AM 的长度为6.. 4分 (2)因为四边形AMNC 为圆的内接四边形,所以A MNB ∠=∠. 6分 又B B ∠=∠,所以MNB BCA ∆∆:. 8分 所以=BN MNBA CA.因为2AB AC =,所以2BN MN =. 10分 B .选修42-：矩阵与变换 解：（方法一）在直线:70l ax y +-=取点(0,7),(1,7)A B a -. 因为30003003,17717(7)1b b b a a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 4分 所以(0,7),(1,7)A B a -在矩阵A 对应的变换作用下分别得到点(0,7),(3,(7)1)A b B b a ''--. 由题意知,A B ''在直线:9910l x y '+-=上,所以7910,27(7)1910b b a -=⎧⎨+---=⎩. 8分解得2,13a b ==. 10分 （方法二）设在直线l 上任意一点取点(,)P x y ,点P 在矩阵A 对应的变换作用下分别得到点(,)Q x y '''.因为30017x b y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'-⎣⎦⎣⎦⎣⎦,所以=3,.x x y x by '⎧⎨'=-+⎩4分 又因为点(,)Q x y '''在直线l '上,所以9910x y ''+-=即27()910x x by +-+-=,也即26910x by +-=,又点(,)P x y 在直线l 上,所以有70ax y +-=. 8分所以269117b a -==-,解得2,13a b ==. 10分 C .选修44-：坐标系于参数方程 解：（方法一）在直线l 的参数方程式为普通方程得434x y -=.将曲线C 的参数方程式为普通方程得24y x =. 4分联立方程组2434,4,x y y x -=⎧⎨=⎩解得4,4,x y =⎧⎨=⎩或1,41,x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩所以1(4,4),(,1)4A B -. 8分所以254AB . 10分（方法二）设将曲线C 的参数方程式为普通方程得24y x =. 2分 直线l 的参数方程代入抛物线C 的方程得243()4(1)55t t =+,即2415250t t --=, 所以12121515,44t t t t +==-. 6分所以221212121525||()4()2544AB t t t t t t =-=+-=+=. 10分D .选修45-：不等式选讲证明：4224222222222222464()()4()4=(2)()a a b b ab a b a b ab a b a b a b ab a b ++-+=+-+++-=-. 5分 因为a b ≠,所以4()0a b ->,所以42242264()a a b b ab a b ++>+. 10分 【必做题】第22题、第22题,每小题10分,共20分.22.（本小题满10分）解：因为1111ABCD A B C D -为直四棱柱,所以1AA ⊥平面ABCD . 又AE ⊂平面ABCD ,AD ⊂平面ABCD ,所以11,AA AE AA AD ⊥⊥.在菱形ABCD 中π=3ABC ∠,则ABC ∆是等边三角形. 因为E 是BC 中点,所以BC AE ⊥. 因为BC AD ∥,所以AE AD ⊥. 以1,,AE AD AA u u u r u u u r u u u r为正交基底建立空间执教坐标系,则131(0,0,0),(3,1,0),(0,2,0),(0,0,2),(3,0,0),(,,1)2A C D A E F(1)31(0,2,0),(,,1)2AD EF ==-u u u r u u u r 所以1AD EF ⋅=u u u r u u u r .从而2cos ,||||AD EF AD EF AD EF <>==u u u r u u u ru u u r u u u r g u u u r u u u r g .故异面直线,EF AD 所成的余弦值为2. 4分 (2)设(,,)M x y z ,由于点M 在线段1A D 上,且11A MA Dλ=, 则11A M A D λ=u u u u r u u u u r,即(,,2)2(0,2,2)x y z -=-.则(0,2,22),(3,21,22)M CM λλλλ-=---u u u u r. 6分设平面AEF 的法向量为000(,,)n x y z =.因为31(3,0,0),(1)22AE AF ==u u u r u u u r g ,由0,0n AE n AF ==u u u r u u u r g g 得0001=0,02x y z +=.取02y =,则01z =-,则平面AEF 的一个法向量为(0,2,1)n =-. 8分由于CM ∥平面AEF ,则0n CM =u u u u r g ,即2(21)(22)0λλ---=,解得2=3λ. 10分23.（本小题满10分）解：(1)由题意知22223223A p A ==,即2p 的值为23. 3分(2)先排第n 行,则最大数在第n 行的概率为2(1)12n n n n =++； 5分 去掉第n 行已经排好的n 个数, 则余下的(1)(1)22n n n n n +--=个数中最大数在第1n -行的概率为11(1)2n n n n -=-； 故1212222213(1)3(1)n nn p n n n n n -+=⨯⨯⋅⋅⋅⨯==++⨯⨯⋅⋅⋅⨯+. 7分 由于0121212212(11)nnnn n n n n n n n n n C C C C C C C C C C +=+=+++⋅⋅⋅+≥++>+=,故21112(1)(1)nn n n C n n +++>++,即211(1)n n n C p n ++>+. 10分。
2017年江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模试卷(解析版)
2017年江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．已知集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={x|x＜2}，则A∩B=．2．已知i是虚数单位，复数z1=3+yi（y∈R），z2=2﹣i，且，则y=．3．表是一个容量为10的样本数据分组后的频率分布，若利用组中中近似计算本组数据的平均数，则的值为4．已知直线2x﹣y=0为双曲线的一条渐近线，则该双曲线的离心率为．5．据记载，在公元前3世纪，阿基米德已经得出了前n个自然数平方和的一般公式．如图是一个求前n个自然数平方和的算法流程图，若输入x的值为1，则输出的S的值为．6．已知Ω1是集合{（x，y）|x2+y2≤1}所表示的区域，Ω2是集合{（x，y）|y≤|x|}所表示的区域，向区域Ω1内随机的投一个点，则该点落在区域Ω2内的概率为．7．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，公比q=3，S3+S4=，则a3=．8．已知直四棱柱底面是边长为2的菱形，侧面对角线的长为，则该直四棱柱的侧面积为．9．已知α是第二象限角，且sinα=，则tanβ=．10．已知直线l：mx+y﹣2m﹣1=0，圆C：x2+y2﹣2x﹣4y=0，当直线l被圆C所截得的弦长最短时，实数m=．11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足2bcosA=2c﹣a，则角B的大小为．12．在△ABC中，AB⊥AC，AB=，AC=t，P是△ABC所在平面内一点，若=，则△PBC面积的最小值为．13．已知函数f（x）=，若函数g（x）=|f（x）|﹣3x+b有三个零点，则实数b的取值范围为．14．已知a，b均为正数，且ab﹣a﹣2b=0，则的最小值为．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15．已知向量．（1）当x=时，求的值；（2）若，且，求cos2x的值．16．如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，E，F，G分别为AB，AD，AC的中点，AC=BC，∠ACD=90°．（1）求证：AB⊥平面EDC；（2）若P为FG上任一点，证明：EP∥平面BCD．17．某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量ω（单位：千克）与肥料费用x（单位：百元）满足如下关系：ω=4﹣，且投入的肥料费用不超过5百元．此外，还需要投入其他成本2x（如是非的人工费用等）百元．已知这种水蜜桃的市场价格为16元/千克（即16百元/百千克），且市场需求始终供不应求．记该棵水蜜桃树获得的利润为L（x）（单位：百元）．（1）求利润函数L（x）的关系式，并写出定义域；（2）当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？18．已知函数f（x）=alnx﹣bx3，a，b为实数，b≠0，e为自然对数的底数，e=2.71828．（1）当a＜0，b=﹣1时，设函数f（x）的最小值为g（a），求g（a）的最大值；（2）若关于x的方程f（x）=0在区间（1，e]上有两个不同的实数解，求的取值范围．19．已知椭圆C：的左焦点为F（﹣1，0），左准线为x=﹣2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知直线l交椭圆C于A，B两点．①若直线l经过椭圆C的左焦点F，交y轴于点P，且满足，求证：λ+μ为常数；②若OA⊥OB（O为原点），求△AOB的面积的取值范围．=，其中n∈N*，λ，μ为非零常20．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1数．（1）若λ=3，μ=8，求证：{a n+1}为等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}是公差不等于零的等差数列．①求实数λ，μ的值；②数列{a n}的前n项和S n构成数列{S n}，从{S n}中取不同的四项按从小到大的顺序组成四项子数列．试问：是否存在首项为S1的四项子数列，使得该子数列中点所有项之和恰好为2017？若存在，求出所有满足条件的四项子数列；若不存在，请说明理由．[选修4-1：几何证明选讲]21．如图，直线DE切圆O于点D，直线EO交圆O于A，B两点，DC⊥OB于点C，且DE=2BE，求证：2OC=3BC．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知矩阵的一个特征值λ1=﹣1，及对应的特征向量，求矩阵M的逆矩阵．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度，建立极坐标系．已知曲线C1的参数方程为，（α∈[0，2π]，α为参数），曲线C2的极坐标方程为，若曲线C1与曲线C2有且仅有一个公共点，求实数a的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a，b，c为正实数，求证：．七、解答题（共2小题，满分20分）25．已知袋中装有大小相同的2个白球，2个红球和1个黄球．一项游戏规定：每个白球、红球和黄球的分值分别是0分、1分和2分，每一局从袋中一次性取出三个球，将3个球对应的分值相加后称为该局的得分，计算完得分后将球放回袋中．当出现第n局得n（n∈N*）分的情况就算游戏过关，同时游戏结束，若四局过后仍未过关，游戏也结束．（1）求在一局游戏中得3分的概率；（2）求游戏结束时局数X的分布列和数学期望E（X）．26．已知f n（x）=C n0x n﹣C n1（x﹣1）n+…+（﹣1）k C n k（x﹣k）n+…+（﹣1）n C n n （x﹣n）n，其中x∈R，n∈N*，k∈N，k≤n．（1）试求f1（x），f2（x），f3（x）的值；（2）试猜测f n（x）关于n的表达式，并证明你的结论．2017年江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．已知集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={x|x＜2}，则A∩B={x|﹣1＜x＜2} ．【考点】1E：交集及其运算．【分析】根据交集的定义和运算法则进行计算．【解答】解集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={x|x＜2}，则A∩B={x|﹣1＜x＜2}，故答案为：{x|﹣1＜x＜2}．2．已知i是虚数单位，复数z1=3+yi（y∈R），z2=2﹣i，且，则y=1．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、复数相等即可得出．【解答】解：∵复数z1=3+yi（y∈R），z2=2﹣i，且，∴=1+i，化为：3+yi=（2﹣i）（1+i）=3+i，∴y=1．故答案为：1．3．表是一个容量为10的样本数据分组后的频率分布，若利用组中中近似计算本组数据的平均数，则的值为19.7【考点】BB：众数、中位数、平均数．【分析】根据加权平均数的定义计算即可．【解答】解：根据题意，样本容量为10，利用组中中近似计算本组数据的平均数，则=×（14×2+17×1+20×3+23×4）=19.7．故答案为：19.7．4．已知直线2x﹣y=0为双曲线的一条渐近线，则该双曲线的离心率为．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线的方程可得其渐近线方程为y=±x，结合题意可得=，又由双曲线离心率公式e2===1+，计算可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：，其渐近线方程为：y=±x，又由其一条渐近线的方程为：2x﹣y=0，即y=，则有=，则其离心率e2===1+=，则有e=；故答案为：．5．据记载，在公元前3世纪，阿基米德已经得出了前n个自然数平方和的一般公式．如图是一个求前n个自然数平方和的算法流程图，若输入x的值为1，则输出的S的值为14．【考点】EF：程序框图．【分析】执行算法流程，写出每次循环得到的x，s的值，当s=14时满足条件s ＞5，输出S的值14即可．【解答】解：输入x=1，s=0，s=1≤5，x=2，s=1+4=5≤5，x=3，s=5+9=14＞5，输出s=14，故答案为：14．6．已知Ω1是集合{（x，y）|x2+y2≤1}所表示的区域，Ω2是集合{（x，y）|y≤|x|}所表示的区域，向区域Ω1内随机的投一个点，则该点落在区域Ω2内的概率为．【考点】CF：几何概型．【分析】以面积为测度，求出相应区域的面积，可得结论．【解答】解：不等式x2+y2≤1表示的平面区域为Ω1，面积为π；Ω2是集合{（x，y）|y≤|x|}所表示的区域，对应的面积为π，∴所求概率为，故答案为．7．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，公比q=3，S3+S4=，则a3=3．【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，公比q=3，S3+S4=，∴+=，解得a1=．则a3==3．故答案为：3．8．已知直四棱柱底面是边长为2的菱形，侧面对角线的长为，则该直四棱柱的侧面积为16．【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】根据题意画出图形，结合图形求出侧棱长，再计算四棱柱的侧面积．【解答】解：如图所示，直四棱柱底面ABCD是边长为2的菱形，侧面对角线的长为，∴侧棱长为CC1==2；∴该直四棱柱的侧面积为S=4×2×2=16．故答案为：16．9．已知α是第二象限角，且sinα=，则tanβ=．【考点】GR：两角和与差的正切函数．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα，tanα的值，进而利用两角和的正切函数公式即可计算得解．【解答】解：∵α是第二象限角，且sinα=，∴cosα=﹣=﹣，tanα=﹣3，==﹣2，∴tanβ=．故答案为：．10．已知直线l：mx+y﹣2m﹣1=0，圆C：x2+y2﹣2x﹣4y=0，当直线l被圆C所截得的弦长最短时，实数m=﹣1．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】利用配方法将圆的方程化为标准式，求出圆心坐标和半径，判断出直线l过定点且在圆内，可得当l⊥PC时直线l被圆x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长最短，即可得出结论．【解答】解：由C：x2+y2﹣2x﹣4y=0得（x﹣1）2+（y﹣2）2=5，∴圆心坐标是C（1，2），半径是，∵直线l：mx+y﹣2m﹣1=0过定点P（2，1），且在圆内，∴当l⊥PC时，直线l被圆x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长最短，∴﹣m=﹣1，∴m=﹣1．故答案为﹣1．11．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若满足2bcosA=2c ﹣a ，则角B 的大小为．【考点】HP ：正弦定理．【分析】由已知及余弦定理可得c 2+a 2﹣b 2=，进而利用余弦定理可求cosB=，结合范围B ∈（0，π），即可得解B 的值．【解答】解：∵2bcosA=2c ﹣a ，∴cosA==，整理可得：c 2+a 2﹣b 2=，∴cosB===，∵B ∈（0，π），∴B=．故答案为：．12．在△ABC 中，AB ⊥AC ，AB=，AC=t ，P 是△ABC 所在平面内一点，若=，则△PBC 面积的最小值为．【考点】9H ：平面向量的基本定理及其意义．【分析】建立直角坐标系，由向量的坐标运算得出P 的坐标， 利用基本不等式求得△PBC 面积的最小值． 【解答】解：由题意建立如图所示的坐标系，可得A （0，0），B （，0），C （0，t ），∵=+=（4，0）+（0，1）=（4，1），∴P （4，1）；又|BC |=，BC 的方程为tx +=1，∴点P到直线BC的距离为d=，∴△PBC的面积为S=•|BC|•d=••=|4t+﹣1|≥•|2﹣1|=，当且仅当4t=，即t=时取等号，∴△PBC面积的最小值为．故答案为：．13．已知函数f（x）=，若函数g（x）=|f（x）|﹣3x+b有三个零点，则实数b的取值范围为．【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】求出函数|f（x）﹣3x的解析式，画出函数的图象，利用函数的极值，转化求解即可．|【解答】解：函数f（x）=，若函数g（x）=|f（x）|﹣3x+b有三个零点，就是h（x）=|f（x）|﹣3x与y=﹣b有3个交点，h（x）=，画出两个函数的图象如图：，当x＜0时，﹣≥6，当且仅当x=﹣1时取等号，此时﹣b＞6，可得b＜﹣6；当0≤x≤4时，x﹣x2≤，当x=时取得最大值，满足条件的b∈（﹣，0]．综上，b∈．给答案为：．14．已知a，b均为正数，且ab﹣a﹣2b=0，则的最小值为7．【考点】7F：基本不等式．【分析】a，b均为正数，且ab﹣a﹣2b=0，可得=1．于是=+b2﹣1. +b==+2≥4，再利用柯西不等式（+b2）（1+1）≥即可得出．【解答】解：∵a，b均为正数，且ab﹣a﹣2b=0，∴=1．则=+b2﹣1．+b==+2≥2+2=4，当且仅当a=4，b=2时取等号．∴（+b2）（1+1）≥≥16，当且仅当a=4，b=2时取等号．∴+b2≥8，∴=+b2﹣1≥7．故答案为：7．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15．已知向量．（1）当x=时，求的值；（2）若，且，求cos2x的值．【考点】9R：平面向量数量积的运算；GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）求出向量的坐标，再计算数量积；（2）化简，得出cos（2x﹣）=，再利用和角公式计算cos2x．【解答】解：（1）当x=时，=（，﹣1），=（，），∴=﹣=．（2）=sinxcosx﹣cos2x=sin2x﹣cos2x﹣=sin（2x﹣）﹣，若=﹣，则sin（2x﹣）=，∵，∴2x﹣∈[﹣，]，∴cos（2x﹣）=．∴cos2x=cos（2x﹣+）=cos（2x﹣）cos﹣sin（2x﹣）sin=﹣=．16．如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，E，F，G分别为AB，AD，AC的中点，AC=BC，∠ACD=90°．（1）求证：AB⊥平面EDC；（2）若P为FG上任一点，证明：EP∥平面BCD．【考点】LS：直线与平面平行的判定；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（1）推导出CD⊥AC，从而CD⊥平面ABC，进而CD⊥AB，再求出CE⊥AB，CE⊥AB，由此能证明AB⊥平面EDC．（2）连结EF、EG，推导出EF∥平面BCD，EG∥平面BCD，从而平面EFG∥平面BCD，由此能证明EP∥平面BCD．【解答】证明：（1）∵平面ABC⊥平面ACD，∠ACD=90°，∴CD⊥AC，∵平面ABC∩平面ACD=AC，CD⊂平面ACD，∴CD⊥平面ABC，又AB⊂平面ABC，∴CD⊥AB，∵AC=BC，E为AB的中点，∴CE⊥AB，又CE∩CD=C，CD⊂平面EDC，CE⊂平面EDC，∴AB⊥平面EDC．（2）连结EF、EG，∵E、F分别为AB、AD的中点，∴EF∥BD，又BD⊂平面BCD，EF⊄平面BCD，∴EF∥平面BCD，同理可EG∥平面BCD，且EF∩EG=E，EF、EG⊂平面BCD，∴平面EFG∥平面BCD，∵P是FG上任一点，∴EP⊂平面EFG，∴EP∥平面BCD．17．某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量ω（单位：千克）与肥料费用x（单位：百元）满足如下关系：ω=4﹣，且投入的肥料费用不超过5百元．此外，还需要投入其他成本2x（如是非的人工费用等）百元．已知这种水蜜桃的市场价格为16元/千克（即16百元/百千克），且市场需求始终供不应求．记该棵水蜜桃树获得的利润为L（x）（单位：百元）．（1）求利润函数L（x）的关系式，并写出定义域；（2）当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）L（x）=16﹣x﹣2x=64﹣﹣3x（0≤x≤5）．（单位百元）．（2）法一：L（x）=67﹣利用基本不等式的性质即可得出最大值．法二：L′（x）=﹣3=，令：L′（x）=0，解得x=3．利用对数研究函数的单调性即可得出极大值与最大值【解答】解：（1）L（x）=16﹣x﹣2x=64﹣﹣3x（0≤x≤5）．（单位百元）．（2）法一：L（x）=67﹣≤67﹣=43，当且仅当x=3时取等号．∴当投入的肥料费用为300元时，该水蜜桃树获得的利润最大，最大利润是4300元．法二：L′（x）=﹣3=，令：L′（x）=0，解得x=3．可得x ∈（0，3）时，L′（x ）＞0，函数L （x ）单调递增；x ∈（3，5]时，L′（x ）＜0，函数L （x ）单调递减．∴当x=3时，函数L （x ）取得极大值即最大值．∴当投入的肥料费用为300元时，该水蜜桃树获得的利润最大，最大利润是4300元．18．已知函数f （x ）=alnx ﹣bx 3，a ，b 为实数，b ≠0，e 为自然对数的底数，e=2.71828． （1）当a ＜0，b=﹣1时，设函数f （x ）的最小值为g （a ），求g （a ）的最大值；（2）若关于x 的方程f （x ）=0在区间（1，e ]上有两个不同的实数解，求的取值范围．【考点】6E ：利用导数求闭区间上函数的最值；6B ：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出g （a ）的最大值即可；（2）问题转化为函数y 1=的图象与函数m （x ）=的图象有2个不同的交点，根据函数的单调性求出的范围即可．【解答】解：（1）b=﹣1时，f （x ）=alnx +x 3，则f′（x ）=，令f′（x ）=0，解得：x=，∵a ＜0，∴＞0，x ，f′（x ），f （x ）的变化如下：故g（a）=f （）=ln （﹣）﹣，令t （x ）=﹣xlnx +x ，则t′（x ）=﹣lnx ，令t′（x ）=0，解得：x=1， 且x=1时，t （x ）有最大值1， 故g （a ）的最大值是1，此时a=﹣3；（2）由题意得：方程alnx ﹣bx 3=0在区间（1，e ]上有2个不同的实数根，故=在区间（1，e ]上有2个不同是实数根，即函数y 1=的图象与函数m （x ）=的图象有2个不同的交点，∵m′（x ）=，令m′（x ）=0，得：x=，x ，m′（x ），m （x ）的变化如下：），∴x ∈（1，）时，m （x ）∈（3e ，+∞），x ∈（，e ]时，m （x ）∈（3e ，e 3]，故a ，b 满足的关系式是3e＜≤e 3，即的范围是（3e ，e 3]．19．已知椭圆C ：的左焦点为F （﹣1，0），左准线为x=﹣2．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知直线l 交椭圆C 于A ，B 两点．①若直线l 经过椭圆C 的左焦点F ，交y 轴于点P ，且满足，求证：λ+μ为常数；②若OA ⊥OB （O 为原点），求△AOB 的面积的取值范围．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由椭圆的左焦点为F（﹣1，0），左准线为x=﹣2，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C的标准方程．（2）①设直线l的方程为y=k（x+1），则P（0，k），代入椭圆得（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2=0，由此利用韦达定理、向量知识，结合已知条件能证明λ+μ为常数﹣4．②当直线OA，OB分别与坐标轴重合时，△AOB的面积，当直线OA，OB的斜率均存在且不为零时，设OA：y=kx，OB：y=﹣，将y=kx代入椭圆C，得到x2+2k2x2=2，由此利用换元法结合已知条件能求出△AOB的面积的取值范围．【解答】解：（1）∵椭圆C：的左焦点为F（﹣1，0），左准线为x=﹣2，∴由题设知c=1，=2，a2=2c，∴a2=2，b2=a2﹣c2=1，∴椭圆C的标准方程为=1．证明：（2）①由题设知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x+1），则P（0，k），设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l代入椭圆得x2+2k2（x+1）2=2，整理，得（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2=0，∴，，由，，知，，∴λ+μ=﹣=﹣=﹣（定值）．∴λ+μ为常数﹣4．解：②当直线OA，OB分别与坐标轴重合时，△AOB的面积，当直线OA，OB的斜率均存在且不为零时，设OA：y=kx，OB：y=﹣，设A（x1，y1），B（x2，y2），将y=kx代入椭圆C，得到x2+2k2x2=2，∴，，同理，，，==，△AOB的面积S△AOB==，令t=k2+1∈[1，+∞），则S△AOB令μ=∈（0，1），则=∈[，）．综上所述，△AOB的面积的取值范围是[，]．=，其中n∈N*，λ，μ为非零常20．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1数．（1）若λ=3，μ=8，求证：{a n+1}为等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}是公差不等于零的等差数列．①求实数λ，μ的值；②数列{a n}的前n项和S n构成数列{S n}，从{S n}中取不同的四项按从小到大的顺序组成四项子数列．试问：是否存在首项为S 1的四项子数列，使得该子数列中点所有项之和恰好为2017？若存在，求出所有满足条件的四项子数列；若不存在，请说明理由．【考点】8H ：数列递推式．【分析】（1）λ=3，μ=8时，a n +1==3a n +2，化为：a n +1+1=3（a n +1），即可证明．（2）①设a n =a 1+（n ﹣1）d=dn ﹣d +1．由a n +1=，可得：a n +1（a n +2）=+4，（dn ﹣d +3）（dn +1）=λ（dn ﹣d +1）2+μ（dn ﹣d +1）+4，令n=1，2，3，解出即可得出．．②由①可得：S n ==n 2．设存在首项为S 1的四项子数列，使得该子数列中点所有项之和恰好为2017．则这四项为：三个奇数一个偶数，或者三个偶数一个奇数．1°三个奇数一个偶数：设S 1，S 2x +1，S 2y +1，S 2z 是满足条件的四项，则1+（2x +1）2+（2y +1）2+（2z ）2=2017，化为2（x 2+x +y 2+y +z 2）=1007，矛盾，舍去．2°三个偶数一个奇数，设S 1，S 2x ，S 2y ，S 2z 是满足条件的四项，则1+（2x ）2+（2y ）2+（2z ）2=2017，化为x 2+y 2+z 2=504．由504为偶数，x ，y ，z 中一个偶数两个奇数或者三个偶数．（i ）若x ，y ，z 中一个偶数两个奇数，不妨设x=2x 1，y=2y 1+1，z=2z 1+1，则2=251，矛盾．（ii ）若x ，y ，z 均为偶数，不妨设x=2x 1，y=2y 1，z=2z 1，则++=126，则x 1，y 1，z 1中有两个奇数一个偶数．不妨设x 1=2x 2，y 1=2y 2+1，z 1=2z 2+1，则=31．依此类推分类讨论即可得出．【解答】（1）证明：λ=3，μ=8时，a n +1==3a n +2，化为：a n +1+1=3（a n +1），∴：{a n +1}为等比数列，首项为2，公比为3．∴a n+1=2×3n﹣1，可得：a n=2×3n﹣1﹣1．（2）解：①设a n=a1+（n﹣1）d=dn﹣d+1．由a n+1=，可得：a n+1（a n+2）=+4，∴（dn﹣d+3）（dn+1）=λ（dn﹣d+1）2+μ（dn﹣d+1）+4，令n=1，2，3，解得：λ=1，μ=4，d=2．经过检验满足题意，可得：λ=1，μ=4，a n=2n﹣1．②由①可得：S n==n2．设存在首项为S1的四项子数列，使得该子数列中点所有项之和恰好为2017．则这四项为：三个奇数一个偶数，或者三个偶数一个奇数．1°三个奇数一个偶数：设S1，S2x+1，S2y+1，S2z是满足条件的四项，则1+（2x+1）2+（2y+1）2+（2z）2=2017，化为2（x2+x+y2+y+z2）=1007，矛盾，舍去．2°三个偶数一个奇数，设S1，S2x，S2y，S2z是满足条件的四项，则1+（2x）2+（2y）2+（2z）2=2017，化为x2+y2+z2=504．由504为偶数，x，y，z中一个偶数两个奇数或者三个偶数．（i）若x，y，z中一个偶数两个奇数，不妨设x=2x1，y=2y1+1，z=2z1+1，则2=251，矛盾．（ii）若x，y，z均为偶数，不妨设x=2x1，y=2y1，z=2z1，则++=126，则x1，y1，z1中有两个奇数一个偶数．不妨设x1=2x2，y1=2y2+1，z1=2z2+1，则=31．∵y2（y2+1），z2（z2+1）均为偶数，∴x2为奇数．不妨设0≤y2≤z2．当x2=1时，则+y2++z2=30， +y2≤14，检验可得：y2=0，z2=5，x2=1．当x2=3时，则+y2++z2=22， +y2≤10，检验可得：y2=1，z2=4，x2=3．当x2=5时，则+y2++z2=6， +y2≤2，检验可得：y2=0，z2=2，x2=5．即{S1，S4，S8，S44}，{S1，S12，S24，S36}，{S1，S4，S20，S40}为全部满足条件的四元子列．[选修4-1：几何证明选讲]21．如图，直线DE切圆O于点D，直线EO交圆O于A，B两点，DC⊥OB于点C，且DE=2BE，求证：2OC=3BC．【考点】NC：与圆有关的比例线段．【分析】连接OD，计算OC，BC，即可证明结论．【解答】证明：连接OD，设圆的半径为R，BE=x，则OD=R，DE=2BE=2x，Rt△ODE中，∵DC⊥OB，∴OD2=OC•OE，∴R2=OC（R+x），①∵直线DE切圆O于点D，∴DE2=BE•OE，∴4x2=x（R+x），②，∴x=，代入①，解的OC=，∴BC=OB﹣OC=，∴2OC=3BC．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知矩阵的一个特征值λ1=﹣1，及对应的特征向量，求矩阵M的逆矩阵．【考点】OV：特征值与特征向量的计算．【分析】利用特征值、特征向量的定义，建立方程，求出M，再求矩阵M的逆矩阵．【解答】解：由题意，=﹣1•，∴，∴a=2，b=2，∴M=，∴|M|=1×2﹣2×3=﹣4，∴M﹣1=．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度，建立极坐标系．已知曲线C1的参数方程为，（α∈[0，2π]，α为参数），曲线C2的极坐标方程为，若曲线C1与曲线C2有且仅有一个公共点，求实数a的值．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】求出两曲线的普通方程，根据直线与圆相切列方程解出a．【解答】解：曲线C1的方程为（x﹣）2+（y﹣3）2=4，圆心坐标为（，3），半径为2．∵曲线C2的极坐标方程为，∴+=a，∴曲线C2的直角坐标方程为，∵曲线C1与曲线C2有且仅有一个公共点，∴=2，解得a=1或a=5．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a，b，c为正实数，求证：．【考点】R6：不等式的证明．【分析】不等式两边同时加上a+b+c，分组使用基本不等式即可得出结论．【解答】证明：∵a，b，c为正实数，∴a+≥2b，b+≥2c，c+≥2a，将上面三个式子相加得：a+b+c+≥2a+2b+2c，∴≥a+b+c．七、解答题（共2小题，满分20分）25．已知袋中装有大小相同的2个白球，2个红球和1个黄球．一项游戏规定：每个白球、红球和黄球的分值分别是0分、1分和2分，每一局从袋中一次性取出三个球，将3个球对应的分值相加后称为该局的得分，计算完得分后将球放回袋中．当出现第n局得n（n∈N*）分的情况就算游戏过关，同时游戏结束，若四局过后仍未过关，游戏也结束．（1）求在一局游戏中得3分的概率；（2）求游戏结束时局数X的分布列和数学期望E（X）．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）根据相互独立事件的概率公式求出对应的概率值；（Ⅱ）由题意知随机变量X的可能取值，计算在一局游戏中得2分的概率值，求出对应的概率值，写出分布列，计算数学期望．【解答】解：（Ⅰ）设在一局游戏中得3分为事件A，则P（A）==；（Ⅱ）由题意随机变量X的可能取值为1，2，3，4；且在一局游戏中得2分的概率为=；则P（X=1）==，P（X=2）=×=，P（X=3）=×（1﹣）×=，P（X=4）=×（1﹣）×=，∴X的分布列为：EX=1×+2×+3×+4×=．26．已知f n（x）=C n0x n﹣C n1（x﹣1）n+…+（﹣1）k C n k（x﹣k）n+…+（﹣1）n C n n （x﹣n）n，其中x∈R，n∈N*，k∈N，k≤n．（1）试求f1（x），f2（x），f3（x）的值；（2）试猜测f n（x）关于n的表达式，并证明你的结论．【考点】RG：数学归纳法；DC：二项式定理的应用．【分析】（1）利用组合数公式直接计算；（2）根据（1）的计算猜想公式，根据组合数的性质进行化简，将条件向假设式配凑得出．【解答】解：（1）f1（x）=x﹣（x﹣1）=x﹣x+1=1，f2（x）=﹣+=x2﹣2（x2﹣2x+1）+（x2﹣4x+4）=2，f3（x）=x3﹣（x﹣1）3+（x﹣2）2﹣（x﹣3）3=x3﹣3（x﹣1）3+3（x ﹣2）3﹣（x﹣3）3=6，（2）猜想：f n（x）=n!．证明：①当n=1时，猜想显然成立；②假设n=k时猜想成立，即f k（x）=C k0x k﹣C k1（x﹣1）k+（x﹣2）k+…+（﹣1）k Ck（x﹣k）k=k!，k则n=k+1时，f k（x）=C x k+1﹣（x﹣1）k+1+C（x﹣2）k+1+…+（﹣1）k+1C（x﹣k﹣1）k+1=xC x k﹣（x﹣1）（x﹣1）k+（x﹣2）C（x﹣2）k+…+（﹣1）k（x﹣k）（x﹣k）k+（﹣1）k+1C（x﹣k﹣1）k+1=x[C x k﹣（x﹣1）k+C（x﹣2）k+…+（﹣1）k（x﹣k）（x﹣k）k]+[（x﹣1）k﹣2C（x﹣2）k+…+（﹣1）k k（x﹣k）k]+（﹣1）k+1C（x﹣k﹣1）k+1=x[C x k﹣（+）（x﹣1）k+（）（x﹣2）k+…+（﹣1）k（+）（x ﹣k）k]+（k+1）[（x﹣1）k﹣（x﹣2）k…+（﹣1）k+1（x﹣k）k]+（﹣1）k+1C（x﹣k﹣1）k+1=x[x k﹣C k1（x﹣1）k+（x﹣2）k+…+（﹣1）k C k k（x﹣k）k]﹣x[（x﹣1）k+（x﹣2）k+…+（﹣1）k﹣1C k k﹣1（x﹣k）k+（﹣1）k C（x﹣k﹣1）k]+（k+1）[（x﹣1）k﹣（x﹣2）k…+（﹣1）k+1（x﹣k）k+（﹣1）k（x﹣k ﹣1）k]=xk!﹣xk!+（k+1）k!=（k+1）!．∴当n=k+1时，猜想成立．2017年5月31日。
南京市,盐城市2017年度届高三年级第二次模拟考试数学试卷(含标准答案)
南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试数 学 2017．03注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1．函数f (x )＝ln 11－x的定义域为 ▲ ．2．若复数z 满足z (1－i)＝2i （i 是虚数单位），－z 是z 的共轭复数，则z ·－z ＝ ▲ ． 3．某校有三个兴趣小组，甲、乙两名学生每人选择其中一个参加，且每人参加每个兴趣小组的可能性相同，则甲、乙不在同一兴趣小组的概率为 ▲ ．4．下表是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据，人数如表所示：现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n 个人做进一步的调研，若在“不喜欢戏剧的男性青年观众”的人中抽取了8人，则n 的值为 ▲ ． 5．根据如图所示的伪代码，输出S 的值为 ▲ ．6．记公比为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ．若a 1＝1，S 4－5S 2＝0， 则S 5的值为 ▲ ．7．将函数f (x )＝sin x 的图象向右平移π3个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，则函数y ＝f (x )＋g (x )的最大值为 ▲．8．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝6x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足．若直线AF 的斜率k ＝－3，则线段PF 的长为 ▲ ．（第5题图）9．若sin(α－π6)＝35，α∈(0，π2)，则cos α的值为 ▲ ．10．α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，下列命题中正确的是 ▲ （填上所有正确命题的序号）．①若α∥β，m ⊂α，则m ∥β； ②若m ∥α，n ⊂α，则m ∥n ； ③若α⊥β，α∩β＝n ，m ⊥n ，则m ⊥β； ④若n ⊥α，n ⊥β，m ⊥α，则m ⊥β．11．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1：kx －y ＋2＝0与直线l 2：x ＋ky －2＝0相交于点P ，则当实数k 变化时，点P 到直线x －y －4＝0的距离的最大值为 ▲ ．12．若函数f (x )＝x 2－m cos x ＋m 2＋3m －8有唯一零点，则满足条件的实数m 组成的集合为 ▲ ． 13．已知平面向量→AC ＝(1，2)，→BD ＝(－2，2)，则→AB •→CD 的最小值为 ▲ ．14．已知函数f (x )＝ln x ＋(e －a )x －b ，其中e 为自然对数的底数．若不等式f (x )≤0恒成立，则ba的最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在△ABC 中，D 为边BC 上一点，AD ＝6，BD ＝3，DC ＝2． （1）若AD ⊥BC ，求∠BAC 的大小； （2）若∠ABC ＝π4，求△ADC 的面积．ABCD（第15题图2）（第15题图1）DC BA如图，四棱锥P －ABCD 中，AD ⊥平面P AB ，AP ⊥AB ． （1）求证：CD ⊥AP ；（2）若CD ⊥PD ，求证：CD ∥平面P AB ；17．（本小题满分14分）在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD ，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒（如图）．设小正方形边长为x 厘米，矩形纸板的两边AB ，BC 的长分别为a 厘米和b 厘米，其中a ≥b ．（1）当a ＝90时，求纸盒侧面积的最大值；（2）试确定a ，b ，x 的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．（第17题图）DCBA（第16题图）PDCBA如图，在平面直角坐标系xOy 中，焦点在x 轴上的椭圆C ：x 28＋y 2b 2＝1经过点(b ，2e )，其中e为椭圆C 的离心率．过点T (1，0)作斜率为k (k ＞0)的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点(A 在x 轴下方)．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点O 且平行于l 的直线交椭圆C 于点M ，N ，求AT ·BTMN 2的值； （3）记直线l 与y 轴的交点为P ．若AP →＝25TB →，求直线l19．（本小题满分16分）已知函数f (x )＝e x －ax －1，其中e 为自然对数的底数，a ∈R ． （1）若a ＝e ，函数g (x )＝(2－e)x ．①求函数h (x )＝f (x )－g (x )的单调区间；②若函数F (x )＝⎩⎨⎧f (x )，x ≤m ，g (x )，x ＞m的值域为R ，求实数m 的取值范围；（2）若存在实数x 1，x 2∈[0，2]，使得f (x 1)＝f (x 2)，且|x 1－x 2|≥1，求证：e －1≤a ≤e 2－e ．20．（本小题满分16分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }，{c n }满足 (n ＋1) b n ＝a n ＋1－S nn ，(n ＋2) c n ＝ a n ＋1＋a n ＋22－S nn，其中n ∈N*．（1）若数列{a n }是公差为2的等差数列，求数列{c n }的通项公式；（2）若存在实数λ，使得对一切n ∈N*，有b n ≤λ≤c n ，求证：数列{a n }是等差数列．（第18题图）南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试数学附加题 2017．03注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷卡指．．．定区域内．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，△ABC 的顶点A ，C 在圆O 上，B 在圆外，线段AB 与圆O 交于点M ． （1）若BC 是圆O 的切线，且AB ＝8，BC ＝4，求线段AM 的长度； （2）若线段BC 与圆O 交于另一点N ，且AB ＝2AC ，求证：BN ＝2MN ．B ．选修4—2：矩阵与变换设a ，b ∈R ．若直线l ：ax ＋y －7＝0在矩阵A = ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 0－1 b 对应的变换作用下，得到的直线为l ′：9x ＋y －91＝0．求实数a ，b 的值．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：⎩⎨⎧x ＝1＋35t ，y ＝45t(t 为参数)，与曲线C ：⎩⎨⎧x ＝4k 2，y ＝4k(k 为参数)交于A ，B 两点，求线段AB 的长．（第21(A)图）D ．选修4—5：不等式选讲设a ≠b ，求证：a 4＋6a 2b 2＋b 4＞4ab (a 2＋b 2)．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面四边形ABCD 为菱形，A 1A ＝AB ＝2， ∠ABC ＝π3，E ，F 分别是BC ，A 1C 的中点．（1）求异面直线EF ，AD 所成角的余弦值； （2）点M 在线段A 1D 上，A 1MA 1D＝λ ．若CM ∥平面AEF ，求实数λ的值．23．（本小题满分10分）现有n (n ＋1)2（n ≥2，n ∈N*）个给定的不同的数随机排成一个下图所示的三角形数阵：* ………………… 第1行 * * ………………… 第2行 * * * ………………… 第3行 …………… …………………* * ………… * * ………………… 第n 行设M k 是第k 行中的最大数，其中1≤k ≤n ，k ∈N*．记M 1＜M 2＜…＜M n 的概率为p n ． （1）求p 2的值；（2）证明：p n ＞C 2n ＋1(n ＋1)!．D 1C 1 B 1MFED C BAA 1（第22题图）南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试数学参考答案及评分标准一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.）1．(－∞，1) 2．2 3．23 4．30 5．17 6．317． 3 8． 6 9．43－310 10．①④ 11．3 2 12．{2}13．－94 14．－1e二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分）解：（1）设∠BAD ＝α，∠DAC ＝β． 因为AD ⊥BC ，AD ＝6，BD ＝3，DC ＝2，所以tan α＝12，tan β＝13， ………………… 2分所以tan ∠BAC ＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝12＋131－12×13＝1． ………………… 4分又∠BAC ∈(0，π)，所以∠BAC ＝π4． ………………… 6分（2）设∠BAD ＝α．在△ABD 中，∠ABC ＝π4，AD ＝6，BD ＝3．由正弦定理得 AD sin π4＝BD sin α， 解得sin α＝24． ………………… 8分因为AD ＞BD ，所以α为锐角，从而cos α＝1－sin 2α＝144． ………………… 10分 因此sin ∠ADC ＝sin(α＋π4)＝sin αcos π4＋cos αsin π4＝22(24＋144)＝1＋74． ………………… 12分 △ADC 的面积S ＝12×AD ×DC ·sin ∠ADC＝12×6×2×1＋74＝32(1＋7)． ………………… 14分16．（本小题满分14分）证明：（1）因为AD ⊥平面P AB ，AP ⊂平面P AB ，所以AD ⊥AP ． ………………… 2分 又因为AP ⊥AB ，AB ∩AD ＝A ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以AP ⊥平面ABCD ． ………………… 4分 因为CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥AP ． ………………… 6分 （2）因为CD ⊥AP ，CD ⊥PD ，且PD ∩AP ＝P ，PD ⊂平面P AD ，AP ⊂平面P AD ， 所以CD ⊥平面P AD ． ① ………………… 8分 因为AD ⊥平面P AB ，AB ⊂平面P AB ， 所以AB ⊥AD ．又因为AP ⊥AB ，AP ∩AD ＝A ，AP ⊂平面P AD ，AD ⊂平面P AD ，所以AB ⊥平面P AD ． ② ………………… 10分 由①②得CD ∥AB ， ………………… 12分 因为CD / 平面P AB ，AB ⊂平面P AB ，所以CD ∥平面P AB ． ………………… 14分 17．（本小题满分14分）解：（1）因为矩形纸板ABCD 的面积为3600，故当a ＝90时，b ＝40， 从而包装盒子的侧面积S ＝2×x (90－2x )＋2×x (40－2x )＝－8x 2＋260x ，x ∈(0，20) ． ………………… 3分因为S ＝－8x 2＋260x ＝－8(x －654)2＋42252，故当x ＝654 时，侧面积最大，最大值为 42252平方厘米．答：当x ＝654 时，纸盒的侧面积的最大值为42252平方厘米． ………………… 6分（2）包装盒子的体积V ＝(a －2x )(b －2x ) x ＝x [ab －2(a ＋b )x ＋4x 2]，x ∈(0，b2)，b ≤60．…………… 8分V ＝x [ab －2(a ＋b )x ＋4x 2]≤x (ab －4abx ＋4x 2)＝x (3600－240x ＋4x 2)＝4x 3－240x 2＋3600x ． ………………… 10分当且仅当a ＝b ＝60时等号成立． 设f (x )＝4x 3－240x 2＋3600x ，x ∈(0，30)． 则f ′ (x )＝12(x －10)(x －30)．于是当0＜x ＜10时，f ′ (x )＞0，所以f (x )在(0，10)上单调递增；当10＜x ＜30时，f ′ (x )＜0，所以f (x )在(10，30)上单调递减．因此当x ＝10时，f (x )有最大值f (10)＝16000， ……………… 12分 此时a ＝b ＝60，x ＝10．答：当a ＝b ＝60，x ＝10时纸盒的体积最大，最大值为16000立方厘米．……………… 14分18．（本小题满分16分）解：（1）因为椭圆 x 28＋y 2b 2＝1经过点(b ，2e )，所以b 28＋4e 2b2＝1．因为e 2＝c 2a 2＝c 28，所以b 28＋c 22b2＝1． 因为a 2＝b 2＋c 2，所以b 28＋8－b 22b2＝1． …………………… 2分 整理得 b 4－12b 2＋32＝0，解得b 2＝4或b 2＝8(舍) ．所以椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1． …………………… 4分（2）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．因为T (1，0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －1)．联立直线l 与椭圆方程 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 28＋y 24＝1，消去y ，得 (2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－8＝0，所以⎩⎨⎧x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－8 2k 2＋1．……………… 6分因为MN ∥l ，所以直线MN 方程为y ＝kx ， 联立直线MN 与椭圆方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 28＋y 24＝1，消去y 得 (2k 2＋1)x 2＝8，解得x 2＝82k 2＋1．因为MN ∥l ，所以AT ·BT MN 2＝(1－x 1)·(x 2－1)(x M －x N )2． …………………… 8分因为 (1－x 1)·(x 2－1)＝－[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝72k 2＋1，(x M －x N )2＝4x 2＝322k 2＋1，所以 AT ·BT MN 2＝(1－x 1)·(x 2－1)(x M －x N )2＝72k 2＋1·2k 2＋132＝732． ………………… 10分（3）在y ＝k (x －1)中，令x ＝0，则y ＝－k ，所以P (0，－k )，从而 AP →＝(－x 1,－k －y 1)， TB →＝(x 2－1，y 2)．因为 AP →＝25TB →，所以－x 1＝25(x 2－1)，即x 1＋25x 2＝25．…………………… 12分由(2)知， ⎩⎨⎧x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－8 2k 2＋1．由⎩⎨⎧x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1＋25x 2＝25，解得 x 1＝－4k 2＋23(2k 2＋1)，x 2＝16k 2－23(2k 2＋1)． ……………… 14分因为x 1x 2＝2k 2－8 2k 2＋1， 所以 －4k 2＋23(2k 2＋1)×16k 2－23(2k 2＋1)＝2k 2－82k 2＋1，整理得 50k 4－83k 2－34＝0，解得k 2＝2或k 2＝－1750(舍) ．又因为k ＞0，所以k ＝2． …………………… 16分 19．（本小题满分16分）解：（1）当a ＝e 时，f (x )＝e x －e x －1．① h (x )＝f (x )－g (x )＝e x －2x －1，h ′ (x )＝e x －2． 由h ′ (x )＞0得x ＞ln2，由h ′ (x )＜0得x ＜ln2．所以函数h (x )的单调增区间为 (ln2，＋∞)，单调减区间为 (－∞，ln2)．………………… 3分② f ′ (x )＝e x －e ．当x ＜1时，f ′ (x )＜0，所以f (x )在区间(－∞，1)上单调递减； 当x ＞1时，f ′ (x )＞0，所以f (x )在区间(1，＋∞)上单调递增．1° 当m ≤1时，f (x )在(－∞，m ]上单调递减，值域为[e m －e m －1，＋∞)，g (x )＝(2－e)x 在(m ，＋∞)上单调递减，值域为(－∞，(2－e)m )，因为F (x )的值域为R ，所以e m －e m －1≤(2－e)m ， 即e m －2m －1≤0． （*）由①可知当m ＜0时，h (m )＝e m －2m －1＞h (0)＝0，故（*）不成立．因为h (m )在(0，ln2)上单调递减，在(ln2，1)上单调递增，且h (0)＝0，h (1)＝e －3＜0， 所以当0≤m ≤1时，h (m )≤0恒成立，因此0≤m ≤1． ………………… 6分 2° 当m ＞1时，f (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，m ]上单调递增，所以函数f (x )＝e x －e x －1在(－∞，m ]上的值域为[f (1)，＋∞)，即[－1，＋∞)． g (x )＝(2－e)x 在(m ，＋∞)上单调递减，值域为(－∞，(2－e)m )． 因为F (x )的值域为R ，所以－1≤(2－e)m ，即1＜m ≤1e －2． 综合1°，2°可知，实数m 的取值范围是[0，1e －2]． ………………… 9分 （2）f ′ (x )＝e x －a ．若a ≤0时，f ′ (x )＞0，此时f (x )在R 上单调递增． 由f (x 1)＝f (x 2)可得x 1＝x 2，与|x 1－x 2|≥1相矛盾，所以a ＞0，且f (x )在(－∞，ln a ]单调递减，在[ln a ，＋∞)上单调递增．…………………… 11分 若x 1，x 2∈(－∞，ln a ]，则由f (x 1)＝f (x 2)可得x 1＝x 2，与|x 1－x 2|≥1相矛盾， 同样不能有x 1，x 2∈[ln a ，＋∞)．不妨设0≤x 1＜x 2≤2，则有0≤x 1＜ln a ＜x 2≤2．因为f (x )在(x 1，ln a )上单调递减，在(ln a ，x 2)上单调递增，且f (x 1)＝f (x 2)， 所以当x 1≤x ≤x 2时，f (x )≤f (x 1)＝f (x 2)． 由0≤x 1＜x 2≤2，且|x 1－x 2|≥1，可得1∈[x 1，x 2]，故f (1)≤f (x 1)＝f (x 2)． …………………… 14分 又f (x )在(－∞，ln a ]单调递减，且0≤x 1＜ln a ，所以f (x 1)≤f (0)， 所以f (1)≤f (0)，同理f (1)≤f (2)．即⎩⎨⎧e －a －1≤0，e －a －1≤e 2－2a －2，解得e －1≤a ≤e 2－e －1， 所以 e －1≤a ≤e 2－e ． …………………… 16分 20．（本小题满分16分）解：（1）因为{a n }是公差为2的等差数列，所以a n ＝a 1＋2(n －1)，S nn ＝a 1＋n －1， …………………… 2分从而 (n ＋2) c n ＝a 1＋2n ＋a 1＋2(n ＋1)2－(a 1＋n －1)＝n ＋2，即c n ＝1． ……… 4分（2）由(n ＋1)b n ＝a n ＋1－S nn，得n (n ＋1) b n ＝na n ＋1－S n ，(n ＋1)(n ＋2) b n ＋1＝(n ＋1)a n ＋2－S n ＋1，两式相减，并化简得a n ＋2－a n ＋1＝(n ＋2) b n ＋1－nb n ． ……………………… 6分 从而 (n ＋2) c n ＝ a n ＋1＋a n ＋22－S n n ＝ a n ＋1＋a n ＋22－[a n ＋1－(n ＋1) b n ]＝a n ＋2－a n ＋12＋(n ＋1) b n ＝(n ＋2) b n ＋1－nb n2＋(n ＋1) b n＝12(n ＋2)( b n ＋b n ＋1)． 因此c n ＝12( b n ＋b n ＋1)． ……………………… 9分因为对一切n ∈N*，有b n ≤λ≤c n ，所以λ≤c n ＝12(b n ＋b n ＋1)≤λ，故b n ＝λ，c n ＝λ． ……………………… 11分 所以 (n ＋1)λ＝a n ＋1－S nn， 错误!未找到引用源。
优质金卷：江苏省南京市、盐城市2017届高三第二次模拟考试数学试题(考试版)
绝密★启用前江苏省南京市、盐城市2017届高三第二次模拟考试考试范围：函数、复数、概率、统计、算法、平面向量、三角函数、解三角形、数列、不等式、立体几何、解析几何、导数；附加：几何证明、矩阵、参数方程与极坐标、不等式、空间向量与立体几何、概率与二项式定理；考试时间：120+30分钟； 【名师解读】本卷难度中等，符合高考大纲命题要求，梯度设置合理．本卷试题常规，无偏难、怪出现，填空题重点内容重点考查：如第1-10题等，第11-14题注重知识交汇性的考查，既考思想又考方法，有一定难度；解答题重视数学思想方法的考查，如第16题考查了空间想象能力、逻辑论证能力，第17题考查实际应用能力，第15，18,19题考查了等价转化的思想、方程的思想，第20题考查分类讨论思想，难度较大．本卷二轮复习使用．附加常规：四选二，第22题注重考查运算，第23题理解与运用都较难. 一、填空题 1．函数f (x )＝1ln1x-的定义域为_______． 2．若复数z 满足z (1－i)＝2i （i 是虚数单位），z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝________． 3．某校有三个兴趣小组，甲、乙两名学生每人选择其中一个参加，且每人参加每个兴趣小组的可能性相同，则甲、乙不在同一兴趣小组的概率为________． 4．下表是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据，人数如表所示：现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n 个人做进一步的调研，若在“不喜欢戏剧的男性青年观众”的人中抽取了8人，则n 的值为________． 5．根据如图所示的伪代码，输出S 的值为________． 6．记公比为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ．若 a 1＝1，S 4－5S 2＝0，则S 5的值为_________． 7．将函数f (x )＝sin x 的图象向右平移3π个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，则函数y ＝f (x )＋g (x )的最大值为________．8．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝6x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足．若直线AF 的斜率k ，则线段PF 的长为________． 9．若sin(α－6π)＝35，α∈(0， 2π)，则cos α的值为________． 10．α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，下列命题中正确的是________（填上所有正确命题的序号）．①若α∥β，m α，则m ∥β； ②若m ∥α，nα，则m ∥n ；③若α⊥β，α∩β＝n ，m ⊥n ，则m ⊥β； ④若n ⊥α，n ⊥β，m ⊥α，则m ⊥β． 11．在平面直角坐标系xOy 中，直线1:20l kx y -+=与直线2:k 20l x y +-=相交于点P ，则当实数k 变化时，点P 到直线40x y --=的距离的最大值为______. 12．若函数f (x )＝x 2－m cos x ＋m 2＋3m －8有唯一零点，则满足条件的实数m 组成的集合为_______．13．已知平面向量AC ＝(1，2)， BD ＝(－2，2)，则·AB CD 的最小值为________． 14．已知函数f (x )＝ln x ＋(e －a )x －b ，其中e 为自然对数的底数．若不等式f (x )≤0恒成立，则ba的最小值为________． 二、解答题15．如图，在△ABC 中，D 为边BC 上一点，AD ＝6，BD ＝3，DC ＝2． （1）若AD ⊥BC ，求∠BAC 的大小； （2）若∠ABC ＝，求△ADC 的面积．16．如图，四棱锥P－ABCD中，AD⊥平面P AB，AP⊥AB．（1）求证：CD⊥AP；（2）若CD⊥PD，求证：CD∥平面P AB；17．在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒（如图）．设小正方形边长为x厘米，矩形纸板的两边AB，BC的长分别为a厘米和b厘米，其中a≥b．（1）当a＝90时，求纸盒侧面积的最大值；（2）试确定a，b，x的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，焦点在x轴上的椭圆C：22218x yb+=经过点(b，2e)，其中e为椭圆C的离心率．过点T(1，0)作斜率为k(k＞0)的直线l交椭圆C 于A，B两点(A在x轴下方)．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点O且平行于l的直线交椭圆C于点M，N，求2·AT BTMN的值；（3）记直线l与y轴的交点为P．若25AP TB=，求直线l的斜率k．19．已知函数f (x)＝e x－ax－1，其中e为自然对数的底数，a∈R．（1）若a＝e，函数g (x)＝(2－e)x．①求函数h(x)＝f (x)－g (x)的单调区间；②若函数()()(),{,f x x mF xg x x m≤=>的值域为R，求实数m的取值范围；（2）若存在实数x1，x2∈[0，2]，使得f(x1)＝f(x2)，且|x1－x2|≥1，求证：e－1≤a≤e2－e．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}，{c n}满足(n＋1) b n＝a n＋1nSn-，(n＋2)c n＝122n n na a Sn+++-，其中n∈N*．（1）若数列{a n}是公差为2的等差数列，求数列{c n}的通项公式；（2）若存在实数λ，使得对一切n∈N*，有b n≤λ≤c n，求证：数列{a n}是等差数列．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内．．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，△ABC 的顶点A ，C 在圆O 上，B 在圆外，线段AB 与圆O 交于点M ． （1）若BC 是圆O 的切线，且AB ＝8，BC ＝4，求线段AM 的长度； （2）若线段BC 与圆O 交于另一点N ，且AB ＝2AC ，求证：BN ＝2MN ．B ．选修4—2：矩阵与变换设a ，b ∈R ．若直线l ：ax ＋y －7＝0在矩阵A = 301b -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下，得到的直线为l ′：9x ＋y －91＝0．求实数a ，b 的值．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l ： 31545x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，与曲线C ：244x k y k⎧=⎨=⎩ (k 为参数)交于A ，B 两点，求线段AB 的长．D ．选修4—5：不等式选讲设a ≠b ，求证：a 4＋6a 2b 2＋b 4＞4ab (a 2＋b 2)．22．如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面四边形ABCD 为菱形，A 1A ＝AB ＝2，∠ABC ＝3π，E ，F 分别是BC ，A 1C 的中点．（1）求异面直线EF ，AD 所成角的余弦值； （2）点M 在线段A 1D 上， 11A MA Dλ= ．若CM ∥平面AEF ，求实数λ的值．23．现有()12n n +（n ≥2，n ∈N*）个给定的不同的数随机排成一个下图所示的三角形数阵：设M k 是第k 行中的最大数，其中1≤k ≤n ，k ∈N*．记M 1＜M 2＜..＜M n 的概率为p n ． （1）求p 2的值；（2）证明：p n ＞()211!n C n ++．。
南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试数学评分标准和参考答案(第四稿)
由正弦定理得＝，解得sinα＝．…………………8分
因为AD＞BD，所以α为锐角，从而cosα＝＝．…………………10分
因此sin∠ADC＝sin(α＋)＝sinαcos＋cosαsin
＝(＋)＝．…………………12分
△ADC的面积S＝×AD×DC·s，单调减区间为(－∞，ln2)．
…………………3分
②f′(x)＝ex－e．
当x＜1时，f′(x)＜0，所以f(x)在区间(－∞，1)上单调递减；
当x＞1时，f′(x)＞0，所以f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增．
1°当m≤1时，f(x)在(－∞，m]上单调递减，值域为[em－em－1，＋∞)，
消去y，得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－8＝0，
所以………………6分
因为MN∥l，所以直线MN方程为y＝kx，
联立直线MN与椭圆方程
消去y得(2k2＋1)x2＝8，解得x2＝．
因为MN∥l，所以＝．……………………8分
因为(1－x1)·(x2－1)＝－[x1x2－(x1＋x2)＋1]＝，
(xM－xN)2＝4x2＝，
所以当0≤m≤1时，h(m)≤0恒成立，因此0≤m≤1．…………………6分
2°当m＞1时，f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，m]上单调递增，
所以函数f(x)＝ex－ex－1在(－∞，m]上的值域为[f(1)，＋∞)，即[－1，＋∞)．
由①②得CD∥AB，…………………12分
因为CD平面PAB，AB⊂平面PAB，
所以CD∥平面PAB．…………………14分
17．（本小题满分14分）
解：（1）因为矩形纸板ABCD的面积为3600，故当a＝90时，b＝40，
江苏省2017届普通高等学校高考模拟试卷(2)(解析版)
江苏省2017届普通高等学校高考数学模拟试卷（2）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．（5分）设集合M={﹣1，0，1}，N={x|x2+x≤0}，则M∩N=．2．（5分）命题“∃x＞1，使得x2≥2”的否定是．3．（5分）已知i是虚数单位，复数z的共轭复数为，若2z=+2﹣3i，则z=．4．（5分）有4名学生A、B、C、D平均分乘两辆车，则“A，B两人恰好在同一辆车”的概率为．5．（5分）曲线f（x）=e x在x=0处的切线方程为．6．（5分）如图是一个输出一列数的算法流程图，则这列数的第三项是．7．（5分）定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=2x﹣x2，则f（0）+f（﹣1）=．8．（5分）已知等差数列{a n}的公差为d，若a1，a2，a3，a4，a5的方差为8，则d的值为．9．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=3cm，AA1=2cm，则三棱锥A﹣B1D1D 的体积为cm3．10．（5分）已知α∈（0，），β∈（，π），cosα=，sin（α+β）=﹣，则cosβ=．11．（5分）已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=k（x+1）有两个不同的实根，则实数k的取值范围是．12．（5分）圆心在抛物线y=x2上，并且和该抛物线的准线及y轴都相切的圆的标准方程为．13．（5分）已知点P是△ABC内一点（不包括边界），且，m，n∈R，则（m ﹣2）2+（n﹣2）2的取值范围是．14．（5分）已知a+b=2，b＞0，当+取最小值时，实数a的值是．二、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b cos C+c cos B=2a cos A．（1）求角A的大小；（2）若•=，求△ABC的面积．16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是正方形，侧面P AD⊥底面ABCD，且P A=PD=AD，若E、F分别为PC、BD的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面P AD；（Ⅱ）求证：EF⊥平面PDC．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P（3，1）在椭圆上，△PF1F2的面积为2，点Q是PF2的延长线与椭圆的交点．（1）①求椭圆C的标准方程；②若∠PQF1=，求QF1•QF2的值；（2）直线y=x+k与椭圆C相交于A，B两点．若以AB为直径的圆经过坐标原点，求实数k 的值．18．（16分）如图，某城市小区有一个矩形休闲广场，AB=20米，广场的一角是半径为16米的扇形BCE绿化区域，为了使小区居民能够更好的在广场休闲放松，现决定在广场上安置两排休闲椅，其中一排是穿越广场的双人靠背直排椅MN（宽度不计），点M在线段AD 上，并且与曲线CE相切；另一排为单人弧形椅沿曲线CN（宽度不计）摆放．已知双人靠背直排椅的造价每米为2a元，单人弧形椅的造价每米为a元，记锐角∠NBE=θ，总造价为W元．（1）试将W表示为θ的函数W（θ），并写出cosθ的取值范围；（2）如何选取点M的位置，能使总造价W最小．19．（16分）在数列{a n}中，已知a1=2，a n+1=3a n+2n﹣1．（1）求证：数列{a n+n}为等比数列；（2）记b n=a n+（1﹣λ）n，且数列{b n}的前n项和为T n，若T3为数列{T n}中的最小项，求λ的取值范围．20．（16分）已知函数f（x）=x﹣ln x，g（x）=x2﹣ax．（1）求函数f（x）在区间[t，t+1]（t＞0）上的最小值m（t）；（2）令h（x）=g（x）﹣f（x），A（x1，h（x1）），B（x2，h（x2））（x1≠x2）是函数h（x）图象上任意两点，且满足＞1，求实数a的取值范围；（3）若∃x∈（0，1]，使f（x）≥成立，求实数a的最大值．【选做题】在21，22，23，24四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4—1：几何证明选讲]21．（10分）如图，△ABC是圆O的内接三角形，P A是圆O的切线，A为切点，PB交AC 于点E，交圆O于点D，若PE=P A，∠ABC=60°，且PD=1，PB=9，求EC．[选修4—2：矩阵与变换]22．（10分）已知=为矩阵A=属于λ的一个特征向量，求实数a，λ的值及A2．[选修4—4：坐标系与参数方程]23．自极点O任意作一条射线与直线ρcosθ=3相交于点M，在射线OM上取点P，使得OM•OP=12，求动点P的极坐标方程，并把它化为直角坐标方程．[选修4—5：不等式选讲]24．已知：a≥2，x∈R．求证：|x﹣1+a|+|x﹣a|≥3．【必做题】第25，26题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．25．（10分）在公园游园活动中有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球和2个黑球，乙箱子里装有1个白球和2个黑球，这些球除颜色外完全相同；每次游戏都从这两个箱子里各随机地摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）（1）在一次游戏中：①求摸出3个白球的概率；②求获奖的概率；（2）在两次游戏中，记获奖次数为X：①求X的分布列；②求X的数学期望．26．（10分）已知抛物线C的方程为y2=2px（p＞0），点R（1，2）在抛物线C上．（1）求抛物线C的方程；（2）过点Q（1，1）作直线交抛物线C于不同于R的两点A，B．若直线AR，BR分别交直线l：y=2x+2于M，N两点，求线段MN最小时直线AB的方程．参考答案1．{﹣1，0}【解析】由N中不等式变形得：x（x+1）≤0，解得：﹣1≤x≤0，即N=[﹣1，0]，∵M={﹣1，0，1}，∴M∩N={﹣1，0}．故答案为：{﹣1，0}．2．∀x＞1，使得x2＜2【解析】命题是特称命题，则命题的否定是“∀x＞1，使得x2＜2”，故答案为：x＞1，使得x2＜2.3．2﹣i【解析】设z=a+b i（a，b∈R），则，∵2z=+2﹣3i，∴2（a+b i）=a﹣b i+2﹣3i，化为a﹣2+（3b+3）i=0，∴，解得，∴z=2﹣i．故答案为2﹣i．4．【解析】4名学生A、B、C、D平均分乘两辆车，用（XY，MN）表示X与Y同乘一车，MN同乘一车则共有（AB，CD），（AC，BD），（AD，BC），（BC，AD），（BD，AC），（CD，AB）6种情况其中（AB，CD），（CD，AB）两种情况满足“A，B两人恰好在同一辆车”故“A，B两人恰好在同一辆车”的概率P==故答案为：.5．x﹣y+1=0【解析】由f（x）=e x，得f′（x）=e x，∴f′（0）=e0=1，即曲线f（x）=e x在x=0处的切线的斜率等于1，又f（0）=1，∴曲线f（x）=e x在x=0处的切线方程为y=x+1，即x﹣y+1=0．故答案为：x﹣y+1=0．6．30【解析】模拟执行程序框图，可得a=3，n=1输出a的第一个值为3，n=2，满足条件n≤10，执行循环体，a=6，输出a的第二个值为6，n=3满足条件n≤10，执行循环体，a=6，输出a的第三个值为30，n=4…故这列数的第三项是30．故答案为：30．7．﹣1【解析】∵f（x）是定义在R上的奇函数，f（﹣x）=﹣f（x）∴f（0）=0，f（﹣1）=﹣f（1），又∵当x＞0时，f（x）=2x﹣x2，∴f（0）+f（﹣1）=f（0）﹣f（1）=0﹣2+1=﹣1．故答案为：﹣1．8．±2【解析】∵等差数列{a n}的公差为d，a1，a2，a3，a4，a5的方差为8，∴这组数据的平均数是a3，∴（4d2+d2+0+d2+4d2）=2d2=8∴d2=4，∴d=±2，故答案为：±2．9．3【解析】长方体ABCD﹣A1B1C1D1中的底面ABCD是正方形．连接AC交BD于O，则AC⊥BD，又D1D⊥BD，所以AC⊥面B1D1D，AO 为A 到面B 1D 1D 的垂线段，且AO =． 又11B D D S =所以所求的体积V =cm 3． 故答案为：3.10．【解析】∵α∈（0，），β∈（，π）， ∴sin α＞0．cos β＜0，sin β＞0．∴sin α===．∴sin （α+β）=sin αcos β+cos αsin β=cos β+×=﹣， 解得cos β=． 故答案是：． 11．（0，）∪（，+∞）【解析】做出f （x ）的函数图象如图所示：过P（﹣1，0）做直线y=k1（x+1），使得该直线过点（1，1），则k1=，∴当0＜k＜时，直线y=k（x+1）与y=f（x）有两个交点，设y=k2（x+1）与y=f（x）相切，切点为（x0，y0），则，解得k2=．∴当k＞时，直线y=k（x+1）与y=f（x）有两个交点．综上，k的取值范围是（0，）∪（，+∞）．12．（x±1）2+（y﹣）2=1【解析】由题意知，设P（t，t2）为圆心，且准线方程为y=﹣，∵与抛物线的准线及y轴相切，∴|t|=t2+，∴t=±1．∴圆的标准方程为（x±1）2+（y﹣）2=1．故答案为：（x±1）2+（y﹣）2=1．13．【解析】由题意得：m＞0，n＞0，m+n＜1，可行域为一个直角三角形OAB内部，其中A（1，0），B（0，1），而（m﹣2）2+（n﹣2）2表示点C（2，2）到可行域内点（m，n）距离平方，则C（2，2）到直线m+n=1距离为d=，因此取值范围是（d，丨OC丨2），∴（m﹣2）2+（n﹣2）2的取值范围，故答案为：．14．﹣2或【解析】由题意可得：，当且仅当时等号成立，结合a+b=2可得：或，即实数a的值为﹣2或．故答案为﹣2或．15．解：（1）由正弦定理得sin B cos C+sin C cos B=2sin A cos A，即sin（B+C）=2sin A cos A，则sin A=2sin A cos A，在三角形中，sin A≠0，∴cos A=，即A=；（2）若•=，则AB•AC cos A=AB•AC=，即AB•AC=2，则△ABC的面积S=AB•AC sin A==．16．证明：（Ⅰ）连接AC，则F是AC的中点，在△CP A中，EF∥P A（3分）且P A⊂平面P AD，EF⊊平面P AD，∴EF∥平面P AD（6分）（Ⅱ）因为平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD=AD，又CD⊥AD，所以CD⊥平面P AD，∴CD⊥P A（9分）又P A=PD=AD，所以△P AD是等腰直角三角形，且∠APD=，即P A⊥PD（12分）而CD∩PD=D，∴P A⊥平面PDC，又EF∥P A，所以EF⊥平面PDC（14分）17．解：（1）①由条件，可设椭圆的标准方程，把点P（3，1）代入椭圆方程，∴，由S=•2c•1=2，即c=2…（2分）又a2=b2+c2，∴a2=12，b2=4，∴椭圆的标准方程为：；…（4分）②当θ=时，由，=F 1F22可得QF1•QF2=.（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得4x2+6kx+3k2﹣12=0．由韦达定理及直线方程可知：x1+x2=﹣，x1x2=，y1y2．∵以AB为直径的圆经过坐标原点，则=k2﹣6=0解得：k=，此时△=120＞0，满足条件，因此k=…（14分）18．解：（1）过N作AB的垂线，垂足为F；过M作NF的垂线，垂足为G．在Rt△BNF中，BF=16cosθ，则MG=20﹣16cosθ在Rt△MNG中，，由题意易得，因此，，；（2）令W′（θ）=0，，因为，所以．设锐角θ1满足，当时，W，（θ）＜0，W（θ）单调递减；当时，W，（θ）＞0，W（θ）单调递增．所以当，总造价W最小，最小值为，此时，，，因此当米时，能使总造价最小．19．解：（1）证明：∵a n+1=3a n+2n﹣1，∴a n+1+n+1=3（a n+n）．又a1=2，∴a n＞0，a n+n＞0，故，∴{a n+n}是以3为首项，公比为3的等比数列…（4分）（2）由（1）知道，b n=a n+（1﹣λ）n，∴．…（6分）∴．…（8分）若T3为数列{T n}中的最小项，则对∀n∈N*有恒成立，即3n+1﹣81≥（n2+n﹣12）λ对∀n∈N*恒成立…（10分）1°当n=1时，有；2°当n=2时，有T2≥T3⇒λ≥9；…（12分）3°当n≥4时，n2+n﹣12=（n+4）（n﹣3）＞0恒成立，∴对∀n≥4恒成立．令，则对∀n≥4恒成立，∴在n≥4时为单调递增数列．∴λ≤f（4），即．…（15分）综上，．…（16分）20．解：（1），令f'（x）=0，则x=1，当t≥1时，f（x）在[t，t+1]上单调递增，f（x）的最小值为f（t）=t﹣ln t；…（1分）当0＜t＜1时，f（x）在区间（t，1）上为减函数，在区间（1，t+1）上为增函数，f（x）的最小值为f（1）=1．综上，当0＜t＜1时，m（t）=1；当t≥1时，m（t）=t﹣ln t．…（3分）（2）h（x）=x2﹣（a+1）x+ln x，对于任意的x1，x2∈（0，+∞），不妨取x1＜x2，则x1﹣x2＜0，则由，可得h（x1）﹣h（x2）＜x1﹣x2，变形得h（x1）﹣x1＜h（x2）﹣x2恒成立，…（5分）令F（x）=h（x）﹣x=x2﹣（a+2）x+ln x，则F（x）=x2﹣（a+2）x+ln x在（0，+∞）上单调递增，故在（0，+∞）恒成立，…（7分）∴在（0，+∞）恒成立．∵，当且仅当时取“=”，∴；…（10分）（3）∵，∴a（x+1）≤2x2﹣x ln x．∵x∈（0，1]，∴x+1∈（1，2]，∴∃x∈（0，1]使得成立．令，则，…（12分）令y=2x2+3x﹣ln x﹣1，则由，可得或x=﹣1（舍）．当时，y'＜0，则y=2x2+3x﹣ln x﹣1在上单调递减；当时，y'＞0，则y=2x2+3x﹣ln x﹣1在上单调递增．∴，∴t'（x）＞0在x∈（0，1]上恒成立．∴t（x）在（0，1]上单调递增．则a≤t（1），即a≤1．…（15分）∴实数a的最大值为1．…（16分）21．解：弦切角∠P AE=∠ABC=60°，又P A=PE，∴△P AE为等边三角形，由切割线定理有P A2=PD•PB=9，…（5分）∴AE=EP=P A=3，ED=EP﹣PD=2，EB=PB﹣PE=6，由相交弦定理有：EC•EA=EB•ED=12，∴EC=12÷3=4，EC=4．．…（10分）22．解：由条件可知，∴，解得a=λ=2．…（5分）因此，所以．…（10分）23．解：设P（ρ，θ），M（ρ'，θ），∵OM•OP=12，∴ρρ'=12．∵ρ'cosθ=3，∴．则动点P的极坐标方程为ρ=4cosθ．∵极点在此曲线上，得ρ2=4ρcosθ．∴x2+y2﹣4x=0．24．证明：∵|m|+|n|≥|m﹣n|，∴|x﹣1+a|+|x﹣a|≥|x﹣1+a﹣（x﹣a）|=|2a﹣1|．又a≥2，故|2a﹣1|≥3．∴|x﹣1+a|+|x﹣a|≥3（证毕）．25．解：（1）记“在一次游戏中摸出k个白球”为事件A k（k=0，1，2，3）．①．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）②．﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（2）．①X的分布列为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）②X的数学期望．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）26．解：（1）∵点R（1，2）在抛物线C：y2=2px（p＞0）上，∴4=2p，解得p=2，∴抛物线C的方程为y2=4x．（2）设A（x1，y1），B（x2y2），直线AB的方程为x=m（y﹣1）+1，m≠0，由，消去x，并整理，得：y2﹣4my+4（m﹣1）=0，∴y1+y2=4m，y1•y2=4（m﹣1），设直线AR的方程为y=k1（x﹣1）+2，由，解得点M的横坐标x M=，又k1==，∴x M==﹣，同理点N的横坐标x N=﹣，|y2﹣y1|==4，∴|MN|=|x M﹣x N|=|﹣+|=2||=8=2，令m﹣1=t，t≠0，则m=t=1，∴|MN|=2≥，即当t=﹣2，m=﹣1时，|MN|取最小值为，此时直线AB的方程为x+y﹣2=0.。
(完整版)南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试数学试卷(含答案),推荐文档
．
（1）求椭圆 C 的标准方程；
AT·BT
（2）过点 O 且平行于 l 的直线交椭圆 C 于点 M，N，求 MN 2 的值；
（3）记直线 l 与 y 轴的交点为 P．若A→P＝25T→B，求直线 l 的斜率 k．
y
M B
19．（本小题满分 16 分）
O
T
x
P
NA
（第 18 题图）
已知函数 f (x)＝ex－ax－1，其中 e 为自然对数的底数，a∈R．
S←S＋I I←I＋2 End While Print S
（第 5 题图）
8．在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y2＝6x 的焦点为 F，准线为 l，P 为抛物线上一点，
PA⊥l，A 为垂足．若直线 AF 的斜率 k＝－ 3，则线段 PF 的长为 ▲ ．
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π3
π
四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒（如图） ．设小正方形边长为 x 厘米，矩形纸板的两边 AB，BC 的长分别为 a 厘米和 b 厘米，其中 a≥b．
（1）当 a＝90 时，求纸盒侧面积的最大值； （2）试确定 a，b，x 的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．
9．若 sin(α－6)＝5，α∈(0，2)，则 cosα 的值为 ▲ ．
10．α，β 为两个不同的平面，m，n 为两条不同的直线，下列命题中正确的是 ▲ （填上所
有正确命题的序号）．
①若 α∥β，mα，则 m∥β；
②若 m∥α，nα，则 m∥n；
③若 α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则 m⊥β；
④若 n⊥α，n⊥β，m⊥α，则 m⊥β．
→BD
→AB →CD
南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试数学评分标准和参考答案
南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试数学参考答案及评分标准一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.）1．(－∞，1) 2．2 3．23 4．30 5．17 6．317． 3 8． 6 9．43－310 10．①④ 11．3 2 12．{2}13．－94 14．－1e二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分）解：（1）设∠BAD ＝α，∠DAC ＝β． 因为AD ⊥BC ，AD ＝6，BD ＝3，DC ＝2，所以tan α＝12，tan β＝13， ………………… 2分所以tan ∠BAC ＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝12＋131－12×13＝1． ………………… 4分又∠BAC ∈(0，π)，所以∠BAC ＝π4． ………………… 6分（2）设∠BAD ＝α．在△ABD 中，∠ABC ＝π4，AD ＝6，BD ＝3．由正弦定理得 AD sin π4＝BD sin α， 解得sin α＝24． ………………… 8分因为AD ＞BD ，所以α为锐角，从而cos α＝1－sin 2α＝144． ………………… 10分 因此sin ∠ADC ＝sin(α＋π4)＝sin αcos π4＋cos αsin π4＝22(24＋144)＝1＋74． ………………… 12分 △ADC 的面积S ＝12×AD ×DC ·sin ∠ADC＝12×6×2×1＋74＝32(1＋7)． ………………… 14分16．（本小题满分14分）证明：（1）因为AD ⊥平面P AB ，AP ⊂平面P AB ，所以AD ⊥AP ． ………………… 2分 又因为AP ⊥AB ，AB ∩AD ＝A ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以AP ⊥平面ABCD ． ………………… 4分 因为CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥AP ． ………………… 6分 （2）因为CD ⊥AP ，CD ⊥PD ，且PD ∩AP ＝P ，PD ⊂平面P AD ，AP ⊂平面P AD ， 所以CD ⊥平面P AD ． ① ………………… 8分 因为AD ⊥平面P AB ，AB ⊂平面P AB ， 所以AB ⊥AD ．又因为AP ⊥AB ，AP ∩AD ＝A ，AP ⊂平面P AD ，AD ⊂平面P AD ，所以AB ⊥平面P AD ． ② ………………… 10分 由①②得CD ∥AB ， ………………… 12分 因为CD / 平面P AB ，AB ⊂平面P AB ，所以CD ∥平面P AB ． ………………… 14分 17．（本小题满分14分）解：（1）因为矩形纸板ABCD 的面积为3600，故当a ＝90时，b ＝40， 从而包装盒子的侧面积S ＝2×x (90－2x )＋2×x (40－2x )＝－8x 2＋260x ，x ∈(0，20) ． ………………… 3分因为S ＝－8x 2＋260x ＝－8(x －654)2＋42252，故当x ＝654 时，侧面积最大，最大值为 42252平方厘米．答：当x ＝654 时，纸盒的侧面积的最大值为42252平方厘米． ………………… 6分（2）包装盒子的体积V ＝(a －2x )(b －2x ) x ＝x [ab －2(a ＋b )x ＋4x 2]，x ∈(0，b2)，b ≤60．…………… 8分V ＝x [ab －2(a ＋b )x ＋4x 2]≤x (ab －4abx ＋4x 2)＝x (3600－240x ＋4x 2)＝4x 3－240x 2＋3600x ． ………………… 10分当且仅当a ＝b ＝60时等号成立． 设f (x )＝4x 3－240x 2＋3600x ，x ∈(0，30)． 则f ′ (x )＝12(x －10)(x －30)．于是当0＜x ＜10时，f ′ (x )＞0，所以f (x )在(0，10)上单调递增；当10＜x ＜30时，f ′ (x )＜0，所以f (x )在(10，30)上单调递减．因此当x ＝10时，f (x )有最大值f (10)＝16000， ……………… 12分 此时a ＝b ＝60，x ＝10．答：当a ＝b ＝60，x ＝10时纸盒的体积最大，最大值为16000立方厘米．……………… 14分18．（本小题满分16分）解：（1）因为椭圆 x 28＋y 2b 2＝1经过点(b ，2e )，所以b 28＋4e 2b2＝1．因为e 2＝c 2a 2＝c 28，所以b 28＋c 22b2＝1． 因为a 2＝b 2＋c 2，所以b 28＋8－b 22b2＝1． …………………… 2分 整理得 b 4－12b 2＋32＝0，解得b 2＝4或b 2＝8(舍) ．所以椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1． …………………… 4分（2）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．因为T (1，0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －1)．联立直线l 与椭圆方程 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 28＋y 24＝1，消去y ，得 (2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－8＝0，所以⎩⎨⎧x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－8 2k 2＋1．……………… 6分因为MN ∥l ，所以直线MN 方程为y ＝kx ， 联立直线MN 与椭圆方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 28＋y 24＝1，消去y 得 (2k 2＋1)x 2＝8，解得x 2＝82k 2＋1．因为MN ∥l ，所以AT ·BT MN 2＝(1－x 1)·(x 2－1)(x M －x N )2． …………………… 8分因为 (1－x 1)·(x 2－1)＝－[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝72k 2＋1，(x M －x N )2＝4x 2＝322k 2＋1，所以 AT ·BT MN 2＝(1－x 1)·(x 2－1)(x M －x N )2＝72k 2＋1·2k 2＋132＝732． ………………… 10分（3）在y ＝k (x －1)中，令x ＝0，则y ＝－k ，所以P (0，－k )，从而 AP →＝(－x 1,－k －y 1)， TB →＝(x 2－1，y 2)．因为 AP →＝25TB →，所以－x 1＝25(x 2－1)，即x 1＋25x 2＝25．…………………… 12分由(2)知， ⎩⎨⎧x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－8 2k 2＋1．由⎩⎨⎧x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1＋25x 2＝25，解得 x 1＝－4k 2＋23(2k 2＋1)，x 2＝16k 2－23(2k 2＋1)． ……………… 14分因为x 1x 2＝2k 2－8 2k 2＋1， 所以 －4k 2＋23(2k 2＋1)×16k 2－23(2k 2＋1)＝2k 2－82k 2＋1，整理得 50k 4－83k 2－34＝0，解得k 2＝2或k 2＝－1750(舍) ．又因为k ＞0，所以k ＝2． …………………… 16分 19．（本小题满分16分）解：（1）当a ＝e 时，f (x )＝e x －e x －1．① h (x )＝f (x )－g (x )＝e x －2x －1，h ′ (x )＝e x －2． 由h ′ (x )＞0得x ＞ln2，由h ′ (x )＜0得x ＜ln2．所以函数h (x )的单调增区间为 (ln2，＋∞)，单调减区间为 (－∞，ln2)．………………… 3分② f ′ (x )＝e x －e ．当x ＜1时，f ′ (x )＜0，所以f (x )在区间(－∞，1)上单调递减； 当x ＞1时，f ′ (x )＞0，所以f (x )在区间(1，＋∞)上单调递增．1° 当m ≤1时，f (x )在(－∞，m ]上单调递减，值域为[e m －e m －1，＋∞)，g (x )＝(2－e)x 在(m ，＋∞)上单调递减，值域为(－∞，(2－e)m )，因为F (x )的值域为R ，所以e m －e m －1≤(2－e)m ， 即e m －2m －1≤0． （*）由①可知当m ＜0时，h (m )＝e m －2m －1＞h (0)＝0，故（*）不成立．因为h (m )在(0，ln2)上单调递减，在(ln2，1)上单调递增，且h (0)＝0，h (1)＝e －3＜0， 所以当0≤m ≤1时，h (m )≤0恒成立，因此0≤m ≤1． ………………… 6分 2° 当m ＞1时，f (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，m ]上单调递增，所以函数f (x )＝e x －e x －1在(－∞，m ]上的值域为[f (1)，＋∞)，即[－1，＋∞)． g (x )＝(2－e)x 在(m ，＋∞)上单调递减，值域为(－∞，(2－e)m )． 因为F (x )的值域为R ，所以－1≤(2－e)m ，即1＜m ≤1e －2． 综合1°，2°可知，实数m 的取值范围是[0，1e －2]． ………………… 9分 （2）f ′ (x )＝e x －a ．若a ≤0时，f ′ (x )＞0，此时f (x )在R 上单调递增． 由f (x 1)＝f (x 2)可得x 1＝x 2，与|x 1－x 2|≥1相矛盾，所以a ＞0，且f (x )在(－∞，ln a ]单调递减，在[ln a ，＋∞)上单调递增．…………………… 11分 若x 1，x 2∈(－∞，ln a ]，则由f (x 1)＝f (x 2)可得x 1＝x 2，与|x 1－x 2|≥1相矛盾， 同样不能有x 1，x 2∈[ln a ，＋∞)．不妨设0≤x 1＜x 2≤2，则有0≤x 1＜ln a ＜x 2≤2．因为f (x )在(x 1，ln a )上单调递减，在(ln a ，x 2)上单调递增，且f (x 1)＝f (x 2)， 所以当x 1≤x ≤x 2时，f (x )≤f (x 1)＝f (x 2)． 由0≤x 1＜x 2≤2，且|x 1－x 2|≥1，可得1∈[x 1，x 2]，故f (1)≤f (x 1)＝f (x 2)． …………………… 14分 又f (x )在(－∞，ln a ]单调递减，且0≤x 1＜ln a ，所以f (x 1)≤f (0)， 所以f (1)≤f (0)，同理f (1)≤f (2)．即⎩⎨⎧e －a －1≤0，e －a －1≤e 2－2a －2，解得e －1≤a ≤e 2－e －1， 所以 e －1≤a ≤e 2－e ． …………………… 16分 20．（本小题满分16分）解：（1）因为{a n }是公差为2的等差数列，所以a n ＝a 1＋2(n －1)，S nn ＝a 1＋n －1， …………………… 2分从而 (n ＋2) c n ＝a 1＋2n ＋a 1＋2(n ＋1)2－(a 1＋n －1)＝n ＋2，即c n ＝1． ……… 4分（2）由(n ＋1)b n ＝a n ＋1－S nn，得n (n ＋1) b n ＝na n ＋1－S n ，(n ＋1)(n ＋2) b n ＋1＝(n ＋1)a n ＋2－S n ＋1，两式相减，并化简得a n ＋2－a n ＋1＝(n ＋2) b n ＋1－nb n ． ……………………… 6分 从而 (n ＋2) c n ＝ a n ＋1＋a n ＋22－S n n ＝ a n ＋1＋a n ＋22－[a n ＋1－(n ＋1) b n ]＝a n ＋2－a n ＋12＋(n ＋1) b n ＝(n ＋2) b n ＋1－nb n2＋(n ＋1) b n＝12(n ＋2)( b n ＋b n ＋1)． 因此c n ＝12( b n ＋b n ＋1)． ……………………… 9分因为对一切n ∈N*，有b n ≤λ≤c n ，所以λ≤c n ＝12(b n ＋b n ＋1)≤λ，故b n ＝λ，c n ＝λ． ……………………… 11分 所以 (n ＋1)λ＝a n ＋1－S nn， ①(n ＋2)λ＝12(a n ＋1＋a n ＋2)－S nn ， ②②－①，得12(a n ＋2－a n ＋1)＝λ，即a n ＋2－a n ＋1＝2λ．故a n ＋1－a n ＝2λ (n ≥2)． ……………………… 14分 又2λ＝a 2－S 11＝a 2－a 1，则a n ＋1－a n ＝2λ (n ≥1)．所以数列{a n }是等差数列． ……………………… 16分南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟考试数学附加参考答案及评分标准21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲解：（1）因为BC 是圆O 的切线，故由切割线定理得BC 2＝BM ·BA ． …………… 2分 设AM ＝t ，因为AB ＝8，BC ＝4，所以42＝8(8－t )，解得t ＝6 ，即线段AM 的长度为6． ………………………… 4分 （2）因为四边形AMNC 为圆内接四边形，所以∠A ＝∠MNB ． …………………… 6分 又∠B ＝∠B ，所以△BMN ∽△BCA ， ……………………… 8分 所以BN BA ＝MN CA．因为AB ＝2AC ，所以BN ＝2MN ． ……………………… 10分 B ．选修4—2：矩阵与变换解：（方法一）在直线l ：ax ＋y －7＝0取点A (0，7)，B (1，7－a )．因为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 0－1 b ⎣⎡⎦⎤ 0 7＝⎣⎡⎦⎤ 0 7b ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 0－1 b ⎣⎡⎦⎤ 1 7－a ＝⎣⎡⎦⎤3 b (7－a )－1， …………… 4分 所以A (0，7)，B (1，7－a )在矩阵A 对应的变换作用下分别得到点A ′(0，7b )，B ′(3，b (7－a )－1)．由题意，知A ′，B ′在直线l ′：9x ＋y －91＝0上，所以 ⎩⎨⎧7b －91＝0，27＋b (7－a )－1－91＝0．…………… 8分解得a ＝2，b ＝13． …………… 10分 （方法二）设直线l 上任意一点P (x ，y )，点P 在矩阵A 对应的变换作用下得到点Q (x ′，y ′)．因为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 0－1 b ⎣⎡⎦⎤ x y ＝⎣⎡⎦⎤x ′ y ′，所以⎩⎨⎧x ′＝3x ，y ′＝－x ＋by ． …………… 4分又因为点Q (x ′，y ′)在直线l ′上，所以9x ′＋y ′－91＝0． 即27x ＋(－x ＋by )－91＝0，也即26x ＋by －91＝0，又点P (x ，y )在直线l 上，所以有ax ＋y －7＝0． …………… 8分 所以26a ＝b 1＝－91－7，解得a ＝2，b ＝13． …………… 10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：（方法一）直线l 的参数方程化为普通方程得4x －3y ＝4，将曲线C 的参数方程化为普通方程得y 2＝4x ． ……………… 4分联立方程组⎩⎨⎧4x －3y ＝4，y 2＝4x ， 解得 ⎩⎨⎧x ＝4，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝－1．所以A (4，4)，B (14，－1)． ……………… 8分所以AB ＝(4－14)2＋(4＋1)2＝254． ……………… 10分（方法二）将曲线C 的参数方程化为普通方程得y 2＝4x ． ……………… 2分 直线l 的参数方程代入抛物线C 的方程得 (45t )2＝4(1＋35t )，即4t 2－15t －25＝0，所以 t 1＋t 2＝154，t 1t 2＝－254． ……………… 6分所以AB ＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2 ＝(154)2＋25＝254． ……………… 10分 D ．选修4—5：不等式选讲证明： a 4＋6a 2b 2＋b 4－4ab (a 2＋b 2)＝(a 2＋b 2)2－4ab (a 2＋b 2)＋4a 2b 2＝(a 2＋b 2－2ab )2＝(a －b )4． ……………… 5分 因为a ≠b ，所以(a －b )4＞0， 所以a 4＋6a 2b 2＋b 4＞4ab (a 2＋b 2)．…………… 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）解：因为四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1为直四棱柱，所以A 1A ⊥平面ABCD ． 又AE ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以A 1A ⊥AE ，A 1A ⊥AD ． 在菱形ABCD 中∠ABC ＝π3，则△ABC 是等边三角形．因为E 是BC 中点，所以BC ⊥AE ． 因为BC ∥AD ，所以AE ⊥AD ．以{→AE ，→AD ，→AA 1}为正交基底建立空间直角坐标系．则A (0，0，0)，C (3，1，0)，D (0，2，0)， A 1(0，0，2)，E (3，0，0)，F (32，12，1)．B (第22题图)（1）→AD ＝(0，2，0)，→EF ＝(－32，12，1)，所以→AD ·→EF ＝1．从而cos ＜→AD ，→EF ＞＝→AD ·→EF |→AD |·|→EF |＝24．故异面直线EF ，AD 所成角的余弦值为24． ……………… 4分 （2）设M (x ，y ，z )，由于点M 在线段A 1D 上，且A 1MA 1D＝λ， 则→A 1M ＝λ→A 1D ，即(x ，y ，z －2)＝λ(0，2，－2)．则M (0，2λ，2－2λ)，→CM ＝(－3，2λ－1，2－2λ)． ……………… 6分 设平面AEF 的法向量为n ＝(x 0，y 0，z 0)． 因为 →AE ＝(3，0，0)，→AF ＝(32，12，1)，由n ·→AE ＝0，n ·→AF ＝0，得x 0＝0，12y 0＋z 0＝0．取y 0＝2，则z 0＝－1，则平面AEF 的一个法向量为n ＝(0，2，－1)． ……………… 8分 由于CM ∥平面AEF ，则n ·→CM ＝0，即2(2λ－1)－(2－2λ)＝0，解得λ＝23．……………… 10分23．（本小题满分10分）解：（1）由题意知p 2＝2A 22 A 33＝23， 即p 2的值为 23． ……………… 3分（2）先排第n 行，则最大数在第n 行的概率为n n (n ＋1)2＝2n ＋1； ……………… 5分去掉第n 行已经排好的n 个数，则余下的n (n ＋1)2－n ＝n (n －1)2个数中最大数在第n －1行的概率为n n (n －1)2＝2n；……故p n ＝2n ＋1×2n×…×23＝2n －1(n ＋1)×n ×…×3＝2n(n ＋1)!． ……………… 7分由于2n ＝(1＋1)n ＝C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ≥C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＞C 1n ＋C 2n ＝C 2n ＋1，故2n (n ＋1)!＞C 2n ＋1(n ＋1)!，即p n ＞C 2n ＋1(n ＋1)!． ……………… 10分。
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数的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn．若 a1=1，S4﹣5S2=0，则 S5 的
7．将函数 f 则函数 y=f 8．在
x =sinx 的图象向右 x +g x 的最大值为
移 ．
个单位
得到函数 y=g x 的图象，
面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y2=6x 的焦点为 F，准线为 l，P 为抛物线 ，则线段 PF 的长为 ． 列命题中 确的是 ．
2017
江
省南京市、盐城市高考数学
小题 5 ，共 70
模试卷
一、填空题 卡相 位置
本大题共 14 小题， ． x =ln 的定 域为 =2i 、 ，则
．请把答案填写在答题
1．函数 f
． ．
2．若复数 z 满足 z 1﹣i 3．某校有 个 4． 个 趣小组，
i 是虚数单位 ， 是 z 的共轭复数，则 = 两 、 是否喜 喜 10 60 层抽样的方法抽取 n 个人做进一 学生 在 人选择 一 中一个参加，且
一点，PA⊥l，A 为垂足．若直线 AF 的斜率 k=﹣ 9．若 sin α﹣ = ，α ∈ 的 0，
，则 cosα 的值为 的直线，
10．α，β 为两个
面，m，n 为两条
第1 共 29
填
所有
确命题的序号 ．
若 α∥β，m⊂α，则 m∥β 若 m∥α，n⊂α，则 m∥n 若 α⊥β，α∩β=n，m⊥n，则 m⊥β 若 n⊥α，n⊥β，m⊥α，则 m⊥β． 11．在 面直角坐标系 xOy 中，直线 l1 kx﹣y+2=0 直线 l2 x+ky﹣2=0 相交于 ．
人参加 ．
趣小组的可能性相 表是 于青
趣小组的概率为
观众的性别 喜 剧 40 40
剧的调查数据，人数如表所示 剧
男性青 女性青
观众 观众
要在所有参 “ 喜
调查的人中用
的调研， 若在 ．
剧的男性青
观众”的人中抽取了 8 人，则 n 的值为 码，输出 S 的值为 ．
5．根据如图所示的伪
6．记公比为 值为 ．
面 PAB，AP⊥AB．
若 CD⊥PD，求证 CD∥
面 PAB．Leabharlann 第2共 2917． 在一张足够大的纸板 在矩形纸板的四个角 一个无盖的长方体纸盒 AB，BC 的长 1 2
截取一个面积为 3600 去边长相等的小 如图 ．设小
方厘米的矩形纸板 ABCD， 然
方形，再把它的边沿虚线折起，做
方形边长为 x 厘米，矩形纸板的两边 b．
n +1
bn=an+1﹣
，
若数列{an}是公差为 2 的等差数列，求数列{cn}的通项公式 若 在实数 λ，使得对一 n∈N*，有 bn λ cn，求证 数列{an}是等差
数列．
数学附加题后选做题成在 21、22、23、24 四小题中只能选做 2 题， 共计 20 选讲成 21．如图，△ABC 的 点 A，C 在圆 O 1 2 若 BC 是圆 O 的 若线段 BC ，B 在圆外，线段 AB ．解答 写出文 说明、证明过程或演算
数，a∈R．
若 a=e，函数 g x =f x =
求函数 h 若函数 F 2 e ﹣1 若 a
x 的单调区间 的值域为 R，求实数 m 的取值范围 x1 =f x2 ，且|x1﹣x2| 1，求证
在实数 x1，x2∈后0，2成，使得 f e 2﹣e ．
20．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，数列{bn}，{cn}满足 n +2 1 2 cn= ﹣ ， 中 n∈N*．
、解答题 时 写出文
本大题共 6 小题，共计 90 说明、证明过程或演算
．请在答题卡指定区域内作答，解答
骤． 一点，AD=6，BD=3，
15．如图，在△ABC 中，D 为边 BC DC=2． 1 2 若 AD⊥BC，求∠BAC 的大小 若∠ABC=
，求△ADC 的面积．
16．如图，四棱锥 P﹣ABCD 中，AD⊥ 1 2 求证 CD⊥AP
第4
共 29
后选修 4-4
坐标系
参数方程成
23． 在
面直角坐标系 xOy 中， 直线 l
t 为参数 ， 曲线 C
k 为参数
交于 A，B 两点，求线段 AB 的长．
后选修 4-5
等式选讲成 a2+b2
24．已知 a≠b，求证 a4+6a2b2+b4＞4ab
后必做题成第 25 题、第 26 题， 证明过程或演算 骤．
小题 0
，
骤．后选修 4-1 几何证明
圆 O 交于点 M．
线，且 AB=8，BC=4，求线段 AM 的长度 BN=2MN．
圆 O 交于另一点 N，且 AB=2AC，求证
后选修 4-2
矩阵
变换成 ax+y﹣7=0 在矩阵 A= 对 的变换作用 ，得
22．设 a，b∈R．若直线 l
到的直线为 l′ 9x+y﹣91=0．求实数 a，b 的值．
点 P，则当实数 k 变化时，点 P 到直线 x﹣y﹣4=0 的距离的最大值为 12．若函数 f 的集合为 13．已知
x =x2﹣mcosx+m2+3m﹣8 有唯一零点，则满足条件的实数 m 组 ．
面向
=
1 ，2 ，
=
﹣2，2 ，则
•
的最小值为 数．若
． 等式 f
14．已知函数 f x =lnx+ e﹣a x﹣b， 中 e 为自然对数的 x 0恒 立，则 的最小值为 ．
26． 有 角形数阵
题 10
，共计 20
．解答
写出文
说明、
25． A1A=AB=2， 如图， 在直四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中， 面四边形 ABCD 为菱形， ∠ABC= 1 2 ，E ，F 别是 BC，A1C 的中点． 角的余弦值 =λ．若 CM∥ 面 AEF，求实数 λ 的值．
求异面直线 EF，AD 所 点 M 在线段 A1D ，
别为 a 厘米和 b 厘米，
中a
当 a=90 时，求纸盒侧面积的最大值 试确定 a，b，x 的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．
18．如图，在 点 b，2e ，
面直角坐标系 xOy 中，焦点在 x 轴 中 e 为椭圆 C 的离心率．过点 T A在x轴 方 ．
的椭圆 C 1 ，0
+
=1
过 的
作斜率为 k k＞0
直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点 1 2 3 求椭圆 C 的标准方程 过点 O 且 记直线 l
行于 l 的直线交椭圆 C 于点 M，N，求 y 轴的交点为 P．若 =
的值
，求直线 l 的斜率 k．
第3
共 29
19．已知函数 f 1
x =ex﹣ax﹣1， x = x ﹣g 2 ﹣e
中 e 为自然对数的 x．