第六章 变量的统计描述与..
随机过程(1)
6
例3：设X (t) Vcost t , 其中是常数；
V在[0,1]上服从均匀分布,则X (t)是一个随机过程。 对每一固定的t，X (t) Vcost是随机变量V 乘以常 数cost，故也是随机变量,对[0,1]上随机变量取一v值, 就得到相应的一个样本函数x(t) vcost.
P(Y2 2) P(X1 1, X 2 1) P(X1 1)P(X 2 1) q2，
依次类推，当移动n 次时，质点的位置为 Yn n, n 2 , n 4,... (n 4), (n 2), n。
19
若在n 次移动中有m 次质点正向移动，即有m 次Xi 1， 则有n m 次质点作反向移动，即有n m 次Xi 1。
(2) 设Yn是前n次抛掷中出现的最大点数,Yn , n 1也是
一随机过程，它的状态空间仍是1, 2,3, 4,5, 6。
下面分别给出它们的一条样本函数：
xn
6
(1)
5
4
3 2
1
yn
6
xn
5
4
3 2
1
(2)
yn
1 2 3 45 678
n
1 2 3 45 678
n
随机过程的分类： 随机过程可根据参数集T和任一时刻的状态分为四类，
x2
1 x1 1且x2 1
x 13 1
例2：设随机过程X (t) Vcost,t , ，V在[0,1]上均匀分布
求在t
0,
4
,
3 4
,
,
2
时X
(t)的密度函数。
解：对给定的t,若cost 0,记a cost，则X (t) aV的密度函数为：
第六章 统计量及其抽样分布
样本均值的抽样分布
样本均值的抽样分布
1. 容量相同的所有可能样本的样本均值的概率分 布
2. 一种理论概率分布 3. 进行推断总体总体均值的理论基础
样本均值的抽样分布
(例题分析)
【例】设一个总体，含有4个元素(个体) ，即总体单位 数N=4。4 个个体分别为x1=1、x2=2、x3=3 、x4=4 。 总体的均值、方差及分布如下
第 一
16个样本的均值（x）
个
第二个观察值
观 察值1 2
3
4
11
1.
20.
52. 0.
5
21
2.
25.
03. 5.
0
23
2.
30.
53. 0.
5
24
3.
35.
04. 5.
0
.3 P (X ) .2 .1 0
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 X
第六章 统计量及其抽样分布
抽样理论依据： 1、大数定律 （1）独立同分布大数定律：证明当N足够大时，平均数据有稳定性，为用样本平 均数估计总体平均数提供了理论依据。 （2）贝努力大数定律：证明当n足够大时，频率具有稳定性，为用频率代替概率 提供了理论依据 2、中心极限定律 （1）独立同分布中心极限定律：设从均值为u、方差为s2（有限）的任意一个总体 中抽取样本量为n的样本，但n充分大时，样本均值X的抽样分布近似服从均值为u， 方差为s2/n的正态分布。 （2）德莫佛-拉普拉斯中心极限定律：证明属性总体的样本数和样本方差，在n足 够大时，同样趋于正态分布。
(central limit theorem)
描述性统计分析
第六章 描述性统计分析－－ Descriptive Statistics 菜单详解6.1 Frequencies 过程 6.1.1 界面说明 6.1.2 分析实例 6.1.3 结果解释 6.2 Descriptives 过程 6.2.1 界面说明 6.2.2 结果解释 6.3 Explore 过程 6.3.1 界面说明 6.3.2 结果解释6.4 Crosstabs 过程 6.4.1 界面说明 6.4.2 分析实例 6.4.3 结果解释描述性统计分析是统计分析的第一步，做好这第一步是下面进行正确统计推断的先决条件。
先决条件。
SPSS SPSS 的许多模块均可完成描述性分析，但专门为该目的而设计的几个模块则集中在Descriptive Statistics 菜单中，最常用的是列在最前面的四个过程：Frequencies 过程的特色是产生频数表；Descriptives 过程则进行一般性的统计描述；性的统计描述；Explore Explore 过程用于对数据概况不清时的探索性分析；过程用于对数据概况不清时的探索性分析；Crosstabs Crosstabs过程则完成计数资料和等级资料的统计描述和一般的统计检验，我们常用的X 2检验也在其中完成。
检验也在其中完成。
§6.1 Frequencies 过程频数分布表是描述性统计中最常用的方法之一，频数分布表是描述性统计中最常用的方法之一，Frequencies Frequencies 过程就是专门为产生频数表而设计的。
它不仅可以产生详细的频数表，它不仅可以产生详细的频数表，还可以按要求给出某百分位还可以按要求给出某百分位点的数值，以及常用的条图，圆图等统计图。
点的数值，以及常用的条图，圆图等统计图。
和国内常用的频数表不同，几乎所有统计软件给出的均是详细频数表，即并不按某种要求确定组段数和组距，而是按照数值精确列表。
如果想用Frequencies 过程得到我们所熟悉的频数表，请先用第二章学过的Recode 过程产生一个新变量来代表所需的各组段。
第六章 数理统计的基本概念
1 n 2 S S ( X X ) i n 1 i 1
2
(4) 样本k阶(原点)矩
1 n k Ak X i n i 1
k 1, 2,
k 2,3,
(5) 样本k阶中心矩
1 n Bk ( X i X )k n i 1
§2
常用统计量的分布
统计量的分布称为抽样分布.下面介绍三种由 正态总体演化而来的统计量的分布：
• 从二战后到现在，是统计学发展的第三个时期，这是一个在 前一段发展的基础上，随着生产和科技的普遍进步，而使这 个学科得到飞速发展的一个时期，同时，也出现了不少有待 解决的大问题．
学科奠基者
数理统计作为一个进一步完善的数学学科的奠基者是英国人费歇尔。他1909 年入剑桥大学，攻读数学物理专业，三年后毕业。毕业后，他曾去投资办工 厂，又到加拿大农场管过杂务，也当过中学教员。1919年，他开始对生物统 计学产生了浓厚的兴趣，参加罗萨姆斯泰德试验站的工作，致力于数理统计 在农业科学和遗传学中（费歇尔1890—1962）的应用研究。 年轻的费歇尔主要的研究工作是用数学将样本的分布给以严格的确定。 在一般人看来枯燥乏味的数学，常能带给研究者极大的慰藉，费歇尔热衷于 数理统计的研究工作，后来的理论研究成果有：数据信息的测量、压缩数据 而不减少信息、对一个模型的参数估计等。 最使科学家称赞的工作则是试验设计，它将一切科学试验从某一个侧面 “科学化”了，不知节省了多少人力和物力，提高了若干倍的工效。 费歇尔培养了一个学派，其中有专长纯数学的，有专长应用数学的。在30－ 50年代费歇尔是统计学的中心人物。1959年费歇尔退休后在澳大利亚度过了 最后三年。
若 x1 , x2 , , xn 是样本的观察值, 则 g ( x1 , x2 , xn ) 是 g ( X 1 , X 2 , X n )
概率论与数理统计-第六章
这200人的年龄数据。
总体：北京市民的年龄 随机变量：年龄X
个体：张三28岁；李四5岁；
样本：{ 28；5；14；56；23；2；39；…；69} 样本容量：200
抽样：随机抽取200人进行调查的过程
6
例2：为了确定工厂生产的电池电量分布情况，在
产品中随机抽取500个，测量其电量。记录了
x
0
F n1 , n2
F分布的分位数
x
F分布的上α分位点
对于给定的 , 0 1, 称满足条件
F n1 , n2
f x; n1 , n2 dx 的点F n1 , n2
为F n1 , n2 分布的上 分位数。F n1 , n2 的值可查F 分布表
17
不易计算！
18
抽样分布 —— 任意统计量 Q = g (X1, X2, …, Xn ) 的分布函数 抽样分布的计算： 多维随机变量（独立、同分布）的函数的分布 函数的计算问题。
得到统计量 Q 的抽样分布，就可以用来解决
关于总体 X 的统计推断问题。
19
关于随机变量独立性的两个定理
解：(1)作变换 Yi
显然Y1 , Y2 ,
2 n i 1
Xi
, Yn相互独立，且Yi N 0,1 i 1, 2,
Xi
i 1, 2,
,n
,n
于是 (
) Yi 2 2 n
2 i 1
28
n
(2)
2 ( X X ) X1 X 2 ~ N (0, 2 2 ), 1 2 2 ~ 2 (1) 2
2-数值变量与分类变量的统计描述分析
实习二统计描述第164～180页实习二统计描述医学统计资料类型¾数值变量资料：又称为计量资料。
变量值是定量的，有单位的，表示为数值的大小。
¾无序分类资料：又称为计数资料。
变量值是定性的，没有单位，表示为相互独立的类别。
¾有序分类资料：又称为等级资料。
变量值是定性的，没有单位，各类别具有程度上的差异。
注：不同类型的资料，统计方法不同；各种类型的资料之间是可以相互转化的。
一、数值变量资料的统计描述统计描述包括两个方面：集中趋势的描述和离散趋势的描述一、数值变量资料的统计描述（一）数值变量资料的频数表频数表（frequency table）：当变量值或者观测值较多时，将变量值分为适当的组段，统计各组段中相应的频数（或者人数），以描述数值变量资料的分布特征和分布类型。
一、数值变量资料的统计描述（一）数值变量资料的频数表频数表的用途1.描述数值变量资料的分布特征集中趋势（central tendency）：频数最多的组段代表了中心位置（平均水平），从两侧到中心，频数分布是逐渐增加的。
离散趋势（tendency of dispersion）：从中心到两侧，频数分布是逐渐减少的。
反映了数据的离散程度或者变异程度。
一、数值变量资料的统计描述（一）数值变量资料的频数表频数表的用途2.描述数值变量资料的分布类型正态分布：集中位置居中，左右两侧频数基本对称。
常见近似正态分布。
偏态分布：集中位置偏向一侧，频数分布不对称。
正偏态分布：集中位置偏向数值小的一侧或者左侧，有较长的右尾部。
负偏态分布：集中位置偏向数值大的一侧或者右侧，有较长的左尾部。
一、数值变量资料的统计描述（二）数值变量资料的频数分布图及正态曲线直方图及近似正态分布直方图及正偏态分布（二）数值变量资料的频数分布图及正态曲线一、数值变量资料的统计描述（三）集中趋势指标描述1.算数均数（均数mean ）适用于正态分布或者近似正态分布总体均数：µ；样本均数：一、数值变量资料的统计描述一、数值变量资料的统计描述（三）集中趋势指标描述2.几何均数（geometric mean，G）适用于一种特殊的偏态分布资料：等比资料（常见于抗体滴度）。
《概率论与数理统计》第六章
既然总体是随机变量X，自然就有其概率分布。
我们把X的分布称为总体分布。
总体的特性是由总体分布来刻画的。因此，常 把总体和总体分布视为同义语。
第六章 样本及抽样分布 ‹#›
例2
在例1中，假定物体真实长度为(未知)。一般 说来，测量值X就是总体，取 附近值的概率要大一 些，而离 越远的值被取到的概率就越小。
k=1,2,…
第六章 样本及抽样分布 ‹#›
它反映了总体k 阶矩的信息
样本k阶中心矩
Bk
1 n
n i 1
(Xi
X )k
它反映了总体k 阶 中心矩的信息
第六章 样本及抽样分布 ‹#›
统计量的观察值
1 n
x n i1 xi;
s2
1 n 1
n i1
(xi
x )2
s
1 n 1
n i1
(xi
x
)2
第六章 样本及抽样分布 ‹#›
实际上，我们真正关心的并不一定是总体或个
体本身，而真正关心的是总体或个体的某项数量指 标。
如：某电子产品的使用寿命，某天的最高气温， 加工出来的某零件的长度等数量指标。因此，有时也
将总体理解为那些研究对象的某项数量指标的全
体。
第六章 样本及抽样分布 ‹#›
为评价某种产品质量的好坏，通常的做法是： 从全部产品中随机(任意)地抽取一些样品进行观测(检
样本X1,X2,…,Xn 既被看成数值，又被看成随机变量， 这就是所谓的样本的二重性。
随机样本
例 4 (例2续） 在前面测量物体长度的例子中，如果我们 在完全相同的条件下，独立地测量了n 次，把这 n 次测 量结果，即样本记为
X1,X2,…,Xn .
分类变量的描述性统计讲解
因 过去
病人 非病人 合计
有吸烟史 a
c a+c
无吸烟史 b
d b+d
合计 a+b
c+d N
Odds1=(a/a+b)/(b/(a+b)=p(E1)/(1-p(E1)) Odds2=(c/c+d)/(d/(c+d)=p(E2)/(1-p(E2))
OR=odds1/odds2=ad/bc
病人
表3-2 COPD病人与非病人的吸烟情况资料
二、优势比（odds ratio ，OR）： 1. 常用于流行病学的病例对照研究 2. 病例组某危险因素的优势与非病例组某危险因素的优势之比。
一、相对危险度
危险度（ risk）是医学研究中常用的一个统计指标， 常用概率（或频率）表示。如发病、患病或死亡的危险 度是指发病、患病或死亡的危险性，这种危险性用发病 率（ incidence of a disease ）。患病率（ prevalence rate）、死亡率（ death rate）表示。如吸烟者肺癌、 COPD的患病率高，也可以说吸烟是肺癌、 COPD的高 危因素，吸烟者患肺癌、 COPD的危险度大。
事物内部各部分的观察 单位数总和 特 点 ： 1. 各 部 分 构 成 比 的 合 计 等 于 1 0 0 % 或 1 。
2. 事 物 内 部 某 一 部 分 的 构 成 比 发 生 变 化 时，其它部分的构成比也相应地发生变化。
表3-1 吸毒与非吸毒人群职业构成对比分析
职业 学生 无业 个体 工人 司机 其它
二、比： 1. 构成比（constituent ratio ）：部分与全部之比 2. 相对比（relative ratio ）：两指标之比
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（2）上学期 间谈恋爱可以 节约开支
……
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2
3
4
5
1
2
3
4
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4、定比尺度
4、定比尺度不仅可以测量量表中 点与点之间的差距，也能评估差异 之间的比重。
如年龄、收入、体重、身高等
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（三）变量的测量尺度
变量是可以观察和量度（测量）的。 概念转换为变量形式之后就可以进入科学研 究的领域。
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测量尺度
根据不同的测量尺度（量尺）：
定类尺度 定序尺度 定距尺度 定比尺度
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（二）变量的数学类型
四种（变量在运算中的作用） （一）因变量 （二）自变量 （三）中介变量 （四）插入变量
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1、因变量
（1）什么是因变量（dependent variable） 是研究者主要关心的变量。是主要变量。 举例： 一位管理者担心已经过市场测试的销售量不如预期。 最近国家关心北京市房屋的空置率。 学生关心学习成绩。 一位总裁担心员工的忠诚度。 试问： 银行总裁希望提高银行职员的绩效表现。因变量？
当以个题项来测量一个变量时，便可采用五点尺度，然后可将各项目的评分 加总。如下面的李克特量表。
请依据下面的量尺，回答每一项叙述，并圈选最能表述您感觉的数字
非常不 同意 1 不同意 2 一般 3 同意 4 非常同意 5
（1）上学时 期谈恋爱有助 于学习
1
2
3
4
变量及数据描述
几个概念：
个体：搜集数据的实体。 变量:统计学中因观测所得数据具有变异性的 特点而称为变量。简言之，变量是具有变异性 的数据。 观测值：对某一特定个体得到的测量值集合为 一个观测值。
个体
26家公司的财务状况
变量
24家饭馆的状况
个体 变量
观测值
1、定类尺度
定类尺度是一种研究者可将对象或时间分派到 确定种类或全体的量尺。如性别 、国籍 举例：您的性别 您的国别 您的血型 您的专业等 编码：man(1),women(2)
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2、定序尺度
定序尺度不仅具有分类功能，而且可以标注出 不同类别的差异，可以将这些类别加以排序。 （划分等级）
请将下列五种工作特性依据您所认为的重要性加以排序。最重要的项 目威，此重要的为2，依次类推，将重要性按1-5加以排列
工作特性 重要等级
1.与他人交流
2.使用不同技术 3.从头到尾完成任务 4.服务他人 5.工作独立性
——
—— —— —— ——
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再举例： 您选择学校的指标进行排序： （1）学校名气 （2）专业设置 （3）学校的位置 （4）学校所在城市 （5）学费的高低 （6）就业率等
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3、定距尺度
定距尺度（间隔尺度）能够衡量尺度中两点之 间的距离。
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举例
你的年龄 收入 家庭人口 学历 业余读书时间 是否考研等
公司规模 工资水平 产品质量 销售收入 职工满意度 广告投放成本 等
血压 体温 身高 体重 血色素水平
世界上任何事物都是可以测量的，只要你能找到合适的量尺。
性别、血型
学历
温度
销售额
频数、百分比、众数、排序、中位数、加减、乘除、 平均数、标准差、相关系数、参数统计
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2、自变量
（1）什么是自变量（independent variable） 以正向或负向方式影响因变量的变量。 举例 自变量和因变量同时存在，自变量每增加一个 单位，因变量也会随之增加或者减少。 新产品成功 公司股价 广告投放量 利润
（四）变量的类型 与 数学运算类型
类型 实例 适用的运算类型 频数、百分比、众数 频数、百分比、众数 排序、中位数 频数、百分比、众数、排序、中位数、加减、平均数、 标准差、相关系数、参数统计
定类 Category Scale
定序 Ordinal Scale 定距 Interval Scale 定比 Ratio Scale
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旷课率 今天可能有三位同学没来上课，下次可能就有 六位，再下次可能一位也没有，因此，理论上 旷课率变量的范围为0-1
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动机 学生在课堂上的学习动机不同，有高有低。等 级如何测量，可能从高到底的不同程度。这也 是变量。
如产量、矿工率、动机、性别、年龄等
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产量 生产部门的某一位工人，每分钟生产一个小机 械，而另一个工人每分钟做出两个，第三位工 人每分钟生产三个，另外，也有可能同意个工 人，这一分钟生产三个，下一分钟就生产四个， 因此小机械的产量会有不同的数值，因此称为 变量。
一、变 量
理解变量的意义和作用 变量是形成理论框架的基础。
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www.themegallHale Waihona Puke
（一）什么是变量
变量是指任何具有不同数值的事物。 变量是概念的一种类型，是通过对概念的具体 化而转换来的。 变量在不同的情况下有不同的状态或者属性， 这反映了概念的可变动性，说明了现象在规模、 重量、密度、速度等方面的变化情况，或者现 象在程度差异上的变化方式。