不等式选讲专题(文科)

不等式选讲专题（文科） 已知函数()23f x x x =-++．
（1）求不等式()15f x ≤的解集；
（2）若()2x a f x -+≤对x ∈R 恒成立，求a 的取值范围．
【答案】(1)[]87-，；(2)(]5-∞，．
【解析】（1）因为()213532 212x x f x x x x --<-⎧⎪=-⎨⎪+>⎩
≤≤，
所以当3x <-时，由()15f x ≤得83x -<-≤；
当32x -≤≤时，由()15f x ≤得32x -≤≤；
当2x >时，由()15f x ≤得27x <≤，
综上，()15f x ≤的解集为[]87-，；
（2）【方法一】由()2x a f x -+≤得()2a x f x +≤，
因为()()()235f x x x --+=≥，当且仅当32x -≤≤取等号，
所以当32x -≤≤时，()f x 取得最小值5．
所以，当0x =时，()2x f x +取得最小值5，
故5a ≤，即a 的取值范围为(]5-∞，．
【方法二】设()2g x x a =-+，则()()0max g x g a ==，
当32x -≤≤时，()f x 的取得最小值5，
所以当0x =时，()2x f x +取得最小值5，
故5a ≤，即a 的取值范围为(]5-∞，．
一、（优质试题广西高三下学期第二次模拟
已知函数()22f x x =-，()g x x a =-．
（1）若1a =，解不等式()()3f x g x +≥；
（2）若不等式()()f x g x >至少有一个负数解，求实数a 的取值范围．
【答案】（1）{}1|0x x -≤≤．（2）9,24⎛⎫- ⎪⎝⎭
． 【解析】（1）若1a =，则不等式()()3f x g x +≥化为2213x x +--≥．
当1x ≥时，2213x x +--≥，即220x x -+≤，2
17024x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤不成立； 当1x <时，2213x x -+-≥，即20x x +≤，解得10x -≤≤．
综上，不等式()()3f x g x +≥的解集为{}1|0x x -≤≤．
（2）作出()y f x =的图象如图所示，当0a <时，()g x 的图象如折线①所示， 由2 2y x a
y x =-=-⎧⎨⎩得220x a x +--=，若相切，则()1420a ∆=++=，得94a =-， 数形结合知，当94a ≤-时，不等式无负数解，则904
a -＜＜． 当0a =时，满足()()f x g x ＞至少有一个负数解．
当0a >时，()g x 的图象如折线②所示，
此时当2a =时恰好无负数解，数形结合知，
当2a ≥时，不等式无负数解，则02a <<．
综上所述，若不等式()()f x g x ＞至少有一个负数解，
则实数a 的取值范围是9,24⎛⎫- ⎪⎝⎭
． 二、(优质试题四川广元高三下学期第二次统
已知()211f x x x =++-．
（1）求()f x 在[]1,1-上的最大值m 及最小值n ；
（2）a ，b ∈R ，设1am bn +=，求22a b +的最小值．
【答案】（1）3，32；（2）445
． 【解析】（1）∵()3112 1 2132x x f x x x x x ⎧⎪≥⎪⎪=+-≤<⎨⎪⎪-<-⎪⎩
， ∴[]1,1x ∈-时，()max 3f x =，()min 32
f x =． （2）3312
am bn a b +=+=， ()222222223321494539342a b a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴+==⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥；22a b +的最小值为445．
三、(优质试题湖北八校高三第一次。