最新初中数学中多元极值问题的常用解法
多元函数的极值及其求法
课堂思路
一 多元函数的极值
（1）定义 （2）多元函数极值的必要条件 （3）多元函数极值的充分条件
二 条件极值和无条件极值 三 拉格朗日乘数法
回顾
One. 一元函数的极值定义 Two. 一个必要条件、两个充分条件 Three. 一元函数最值问题
一、 多元函数的极值
（1）多元函数极值定义
z=2x2+3y2
z=2x2+3y2
z=y2-x2
（2）多元函数极值的必要条件
驻点 驻点与极值的关系
（3）多元函数极值的充分条件
步骤 注意点
求
的极值
讨论函数
和
是否取得ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ值
在点（0，0）
（5）多元函数最值问题
方法 例题
某厂要用铁板做一个体积为2m3的有盖长方体水 箱，问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使 用料最省?
二、条件极值和无条件极值
代入法 引出拉格朗日数乘法
三、拉格朗日乘数法
某厂要用铁板做一个体积为2m3的有盖长方体水 箱，问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使 用料最省?
小结
求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积。
谢谢观看
多元函数极值问题解决
多元函数极值问题解决在数学中，多元函数是指依赖多个自变量的函数。
研究多元函数的极值问题是数学中重要的一个方向，通过极值问题解决可以了解函数的最大值和最小值，对于优化问题等具有重要意义。
本文将介绍解决多元函数极值问题的基本方法和技巧。
1. 多元函数极值问题概述多元函数的极值包括两种情况：最大值和最小值。
要找到多元函数的极值，需要通过计算导数或二阶导数来确定。
对于多元函数f(x,y)，要找到其极值，可以通过求解以下方程组来解决：$$ \\frac{\\partial f}{\\partial x} = 0, \\quad \\frac{\\partial f}{\\partial y} = 0 $$其中 $\\frac{\\partial f}{\\partial x}$ 和 $\\frac{\\partial f}{\\partial y}$ 分别表示f(x,y)对x和y的偏导数。
2. 求解多元函数极值的步骤步骤1：计算一阶偏导数首先，对多元函数f(x,y)分别对x和y求一阶偏导数，得到 $\\frac{\\partial f}{\\partial x}$ 和 $\\frac{\\partial f}{\\partial y}$。
步骤2：解方程组然后，解方程组 $\\frac{\\partial f}{\\partial x} = 0, \\quad \\frac{\\partial f}{\\partial y} = 0$，求解出使得导数为零的x和y的值。
步骤3：判别极值类型最后，通过计算二阶导数或利用二次型判断方法，判断得到的极值是极小值、极大值还是鞍点。
3. 多元函数极值问题例题下面通过一个例题来说明如何解决多元函数极值问题：例题：求函数f(x,y)=x2+2y2−2xy−2y的极值。
解：1.求解一阶偏导数：$$ \\frac{\\partial f}{\\partial x} = 2x - 2y, \\quad \\frac{\\partial f}{\\partial y} = 4y - 2x - 2 $$2.解方程组：令 $\\frac{\\partial f}{\\partial x} = 0, \\quad \\frac{\\partial f}{\\partial y} =0$，得到：$$ \\begin{cases} 2x - 2y = 0 \\\\ 4y - 2x - 2 = 0 \\end{cases} $$求解得到x=1,y=1。
多元函数的极值与最值的求法
2.5柯西不等式法………………………………………………………………21
2.6向量法………………………………………………………………………22
2.7 利用极值求最值……………………………………………………………23
小结…………………………………………………………………………………25
1.2利用拉格朗日（Lagrange）乘数法求极值………………………………2
1.3利用几何模型法求解极值…………………………………………………3
1.4 通过雅可比(Jacobi)矩阵求条件极值…………………………………5
1.5利用参数方程求解条件极值………………………………………………11
1.6 利用方向导数判别多元函数的极值………………………………………12
1.7 用梯度法求极值……………………………………………………………15
2多元函数最值的求法……………………………………………………………17
2.1消元法………………………………………………………………………18
2.2均值不等式法………………………………………………………………18
2.3换元法………………………………………………………………………19
又方程（1）对x求偏导: ,得 ， .
方程（1）对y求偏导: ,得 .
方程（2）对y求偏导: ,得 ，
在点（1，-1,6）有 ，且A<0，所以 是极大值。
在点（1，-1,2）处有 ,且A>0，所以 是极小值。
综上所述,知由方程 在点（1，-1,6）的某邻域内确定的函数, 是极大值；在点（1，-1,2）的某邻域内确定的函数， 是极小值.
一些典型的多元函数极值问题
一些典型的多元函数极值问题多元函数极值问题是数学分析中非常重要的研究对象，它们存在于许多实际问题中。
本文将介绍一些典型的多元函数极值问题，包括拉格朗日乘数法、约束条件下的优化、非线性规划等。
一、拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是一种常用的求解约束多元函数极值的方法。
在该方法中，将约束条件加入到目标函数中，并利用等式约束条件和拉格朗日乘数，将多元函数极值转化为无约束多元函数极值问题。
下面以一个简单的例子来说明拉格朗日乘数法。
假设有一个函数 $f(x,y,z)=x^2+2y^2+3z^2$，同时满足约束条件$x+2y+3z=6$，其中 $x,y,z$ 均为实数。
现在要求 $f(x,y,z)$ 在约束条件下的最小值。
根据拉格朗日乘数法，我们将函数 $f(x,y,z)$ 加上一个等式约束条件 $g(x,y,z)=x+2y+3z-6=0$，并构造拉格朗日函数$L(x,y,z,\lambda)=f(x,y,z)+\lambda g(x,y,z)$，其中 $\lambda$ 是拉格朗日乘数。
于是，我们可以写出拉格朗日函数：$$L(x,y,z,\lambda)=x^2+2y^2+3z^2+\lambda(x+2y+3z-6)$$接下来，我们要求 $L(x,y,z,\lambda)$ 对 $x,y,z,\lambda$ 的偏导数，令其都等于零，求得极值点。
即：$$\begin{cases} \dfrac{\partial L}{\partial x}=2x+\lambda=0\\\dfrac{\partial L}{\partial y}=4y+2\lambda=0 \\\dfrac{\partialL}{\partial z}=6z+3\lambda=0 \\ \dfrac{\partial L}{\partial\lambda}=x+2y+3z-6=0 \end{cases}$$解方程组得到：$x=-\dfrac{\lambda}{2},y=-\dfrac{\lambda}{2},z=-\dfrac{\lambda}{2},\lambda=2$。
多元函数求极值
多元函数求极值摘要：本文总结了多元函数求极限的各类方法，以及证明多元函数极限不存在的取各种花式路劲的例题。
一、多元函数极限的定义存在的问题：有两种定义方式分别以聚点/去心领域去定义重极限，不同的定义方式可能导致结果不同例1.1：求极限: \lim_{{x\to0}\atop{y\to0}}\frac{\sqrt{xy+1}-1}{xy} .解：法I(聚点定义).\lim_{{x\to0}\atop{y\to0}}\frac{\sqrt{xy+1}-1}{xy}=\lim_{{x\to0}\atop{y\to0}}\frac{xy}{xy(\sqrt{xy+1}+1)}=\l im_{{x\to0}\atop{y\to0}}\frac{1}{\sqrt{xy+1}+1}=\frac{1}{2}或者利用等价无穷小.\lim_{{x\to0}\atop{y\to0}}\frac{\sqrt{xy+1}-1}{xy}=\lim_{{x\to0}\atop{y\to0}}\frac{\frac{1}{2}xy}{xy}=\frac{ 1}{2}法II(去心领域定义).由于函数 f(x,y)=\frac{\sqrt{xy+1}-1}{xy} 在原点的领域内的坐标轴上处处无定义, 因此\lim_{{x\to0}\atop{y\to0}}\frac{\sqrt{xy+1}-1}{xy}\text{不存在}用 \varepsilon-\delta 定义证明的例题选解例1.2：用 \varepsilon-\delta 定义证明: \lim_{x\to0\atopy\to0}\frac{xy^2}{x^2+y^2}=0解：因为当 (x,y)\neq(0,0) 时\left，\frac{xy^2}{x^2+y^2}\right，=，y，\cdot\frac{，xy，}{x^2+y^2}\leqslant，y，\leqslant\sqrt{x^2+y^2}\\从而，对 \forall \varepsilon>0 , 取 \delta=\varepsilon , 则当 0<\sqrt{x^2+y^2}<\delta 时,\left，\frac{xy^2}{x^2+y^2}-0\right，<\varepsilon \\所以 \lim_{x\to0\atop y\to0}\frac{xy^2}{x^2+y^2}=0 .例1.3：求证:\lim_{{x\to0}\atop{y\to0}}(x^2+y^2)\sin\frac{1}{x^2+y^2}=0证明： \forall \,\varepsilon>0 , 要使得\left，(x^2+y^2)\sin\frac{1}{x^2+y^2}-0\right，\leqslant\varepsilon\\即 \left，(x^2+y^2)\sin\frac{1}{x^2+y^2}-0\right， =\biggl，x^2+y^2\biggl，\cdot\biggl，\sin\frac{1}{x^2+y^2}-0\biggl，\leqslant x^2+y^2\leqslant\varepsilon\\ 只要\sqrt{x^2+y^2}<\sqrt{\varepsilon} , 取\delta=\sqrt{\varepsilon} , 则当0<\sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2}=\sqrt{x^2+y^2}<\delta 时, 有\left，(x^2+y^2)\sin\frac{1}{x^2+y^2}-0\right，\leqslant x^2+y^2\leqslant\varepsilon\\原结论成立．二、多元函数求极限的方法直接代入：先代入看看是不是未定式！如果不是那就是答案略有理化：略有界函数x无穷小量=0略两个重要极限：略夹逼准则：多是夹为0。
多元函数的极值与条件极值的求解方法
多元函数的极值与条件极值的求解方法一、引言多元函数在数学和应用领域中扮演着重要的角色。
求解多元函数的极值是一个常见的数学问题，而条件极值则进一步考虑了多个约束条件下的最优解。
本文将介绍多元函数极值和条件极值的求解方法。
二、多元函数极值的求解方法要求解多元函数的极值，需要判断函数在特定点的局部极值，并进一步确定全局极值。
常用的方法包括二阶条件、梯度以及拉格朗日乘子法。
1. 二阶条件法对于一个二次可导函数，可以通过计算其二阶偏导数来确定函数的极值。
具体步骤如下：a. 计算函数的一阶偏导数，并令其等于零，得到临界点；b. 计算函数的二阶偏导数，并检查其正负性；c. 若二阶偏导数为正，则临界点是局部极小值；若二阶偏导数为负，则临界点是局部极大值。
2. 梯度法梯度法可以用于求解多元函数的极值，其思想是在梯度的指引下，逐步迭代寻找函数的最优解。
具体步骤如下：a. 计算函数的梯度向量，并初始化变量值；b. 根据梯度向量的反方向更新变量的取值；c. 重复步骤b，直到满足收敛条件。
3. 拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法用于求解多元函数在一组约束条件下的极值。
通过构建拉格朗日函数，并利用约束条件和拉格朗日乘子进行求解，得到函数的条件极值。
三、条件极值的求解方法在现实问题中，多元函数的极值求解往往伴随着条件限制。
求解条件极值需要考虑约束条件，并结合优化理论中的拉格朗日乘子法。
1. 求解过程a. 构建拉格朗日函数，将约束条件引入目标函数中，得到增广拉格朗日函数；b. 求解增广拉格朗日函数的临界点，即通过求解方程组来确定目标函数的条件极值点。
c. 验证求得的临界点是否满足约束条件，并通过比较确定全局的条件极值。
2. 案例分析假设有一个三角形，其面积为目标函数，而周长为约束条件。
通过使用拉格朗日乘子法，可以求解出在给定周长下，使得三角形面积最大的顶点。
四、总结本文介绍了多元函数极值和条件极值的求解方法。
对于多元函数极值的求解，可以使用二阶条件法、梯度法和拉格朗日乘子法来确定函数的极值点。
多元函数极值与最值
多元函数极值与最值在微积分中，我们学习了一元函数的极值与最值问题。
而在现实生活中，很多问题涉及到多个变量的函数，即多元函数。
对于多元函数来说，我们也需要研究其极值与最值问题。
本文将介绍多元函数的极值与最值的求解方法，并通过几个例子进行说明。
1. 极值与最值的定义在进行多元函数的极值与最值问题的求解之前，首先需要了解各种极值与最值的定义。
（这里插入合适的图表和示意图）1.1 局部极值：若对于一个给定的多元函数，存在某个点使得在该点的某个邻域内，函数值在该点之上或之下都小于等于（或大于等于）该点的函数值，那么称该点是该函数的一个局部极值点。
1.2 全局极大值与极小值：若对于一个给定的多元函数，如果函数的取值在定义域上的每个点上都大于等于（或小于等于）其它点，那么称该函数在该定义域上有全局极大值或极小值。
1.3 最大值与最小值：若对于一个给定的多元函数，对于其定义域上的每个点，函数值都小于等于（或大于等于）某个常数，那么称该常数为该函数在定义域上的最小值或最大值。
2. 求解方法接下来，我们将介绍两种常用的方法来求解多元函数的极值与最值问题。
2.1 梯度法梯度法是一种常用的用于求解多元函数极值的方法。
它利用函数在某个点的梯度方向可以指示函数值增大或减小的趋势。
具体步骤如下：（这里插入梯度法求解极值的算法步骤）2.2 拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法是另一种常用的求解多元函数极值与最值的方法。
它适用于含有约束条件的优化问题，即在满足一定条件下求取函数的极值或最值。
具体步骤如下：（这里插入拉格朗日乘子法求解极值的算法步骤）3. 实例分析为了更好地理解多元函数的极值与最值问题的求解方法，我们将通过几个实例来进行分析。
3.1 示例一：二元函数我们考虑一个二元函数示例，如下所示：（这里插入具体示例的函数表达式和图形展示）通过梯度法和拉格朗日乘子法，我们可以求解该函数的极值与最值，并得出结果。
3.2 示例二：三元函数我们再考虑一个三元函数示例，如下所示：（这里插入具体示例的函数表达式和图形展示）同样地，我们可以利用梯度法和拉格朗日乘子法来求解该函数的极值与最值。
多元函数的极值问题
多元函数的极值问题在数学中，多元函数的极值问题是一个重要的研究领域。
与一元函数的极值类似，多元函数的极值问题也是求函数在一定范围内取得最大值或最小值的问题。
在实际问题中，多元函数的极值问题有着广泛的应用，例如在经济学、物理学、工程学等领域都有着重要的作用。
本文将介绍多元函数的极值问题的基本概念、求解方法以及相关定理。
一、多元函数的定义首先，我们来回顾一下多元函数的定义。
在数学中，多元函数是指自变量不止一个的函数，通常表示为$z=f(x,y)$，其中$x$和$y$是自变量，$z$是因变量。
多元函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。
二、多元函数的极值定义对于多元函数$z=f(x,y)$，极值的定义与一元函数类似，分为最大值和最小值。
具体定义如下：1. 最大值：如果存在点$(x_0,y_0)$，使得在$(x_0,y_0)$的某个邻域内，对于任意$(x,y)$，都有$f(x,y)\leq f(x_0,y_0)$，则称$f(x_0,y_0)$是函数$f(x,y)$的最大值，点$(x_0,y_0)$是最大值点。
2. 最小值：如果存在点$(x_0,y_0)$，使得在$(x_0,y_0)$的某个邻域内，对于任意$(x,y)$，都有$f(x,y)\geq f(x_0,y_0)$，则称$f(x_0,y_0)$是函数$f(x,y)$的最小值，点$(x_0,y_0)$是最小值点。
三、多元函数的极值求解方法求解多元函数的极值问题，通常可以通过以下步骤进行：1. 求偏导数：对多元函数$z=f(x,y)$，分别对$x$和$y$求偏导数$\frac{\partial f}{\partial x}$和$\frac{\partial f}{\partial y}$。
2. 解方程组：令$\frac{\partial f}{\partial x}=0$和$\frac{\partial f}{\partial y}=0$，解出方程组$\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x}=0 \\ \frac{\partial f}{\partial y}=0 \end{cases}$，得到极值点$(x_0,y_0)$。
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初中数学多元极值问题
例1 设x ,y 为实数，代数式2
2
245425x xy y x y ++-+-的最小值为 . 分析与解:配方得:原式=2
2
2
2
44442110x xy y x x y y +++-++++-
=2
2
2
(2)(2)(1)10x y x y ++-++-
显然,当2,1x y ==-时,原式有最小值-10.
同类型试题: 设x ,y 为实数，代数式2
2
54824x y xy x +-++的最小值为 ,此题也可以用配方法来解决,最小值为3.
二、消元法：把多个元素转化为某一元素为主元，再结合已知条件，经过合理的运算，使问题逐步简化，便利求解.
例2 已知a ,b ,c 为整数，且2006a b +=，2005c a -=，若a b <，则：a b c ++的最小值是： .
分析与解：由2006=+b a ，2005=-a c ，得 4011+=++a c b a ． 因为2006=+b a ，a b <，a 为整数，所以，a 的最大值为1002． 于是，a b c ++的最大值为5013．
例3 若50z -y x 30z y x =+3=++，
，且x 、y 、z 均为非负数，则z y 5x M 2+4+=的最大值为_________________.
分析与解：由30
350x y z x y z ++=⎧⎨
+-=⎩用x 来表示y 、z ，得y=40－2x ，z=x －10，又由y ≥0，z ≥0，得402x x -≥0
⎧⎨
-10≥0⎩解得10≤x ≤20，又把y=40－2x ，z=x －10代入M=5x+4y+2z 得，M=－x+140，显然M 是关于x 的一次函数，且M 随x 增大而减小，所以当x=10时，M 的最大值为130. 三、数形结合法: 数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.
例4 已知5x y +=,且0,0,x y >>的最小值为（ ）
（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D 分析与解：这道题，初识实感无从下手，若将“式”转化成“形则或轻松解.（如图1）
分别以x 、1和y 、2
为斜边，构造如图1所示的两个Rt ABC ∆、
Rt DEC ∆。
由图形显见，当点C 位于直线 AD 上时，AC+AD
值最小.
于是过点A 作AG 垂直DE 的延长线交于G 点，则四边形ABEG 是矩形，
∴1AB EG ==
又
5AG BE x y ==+=
在Rt ADG ∆中，DG=3，AG=5， 斜边
由勾股定理可得：
故应选择D 。
同类型试题: 已知a ,b 均为正数，且2a b +=，求1422+++=
b a u 的最小值．
(2003年北京市初二数学竞赛试题),此题也可以用此方法来解决,
四、均值代换法：在数学问题中，出现条件x y a +=时，我们常作代换2a x t =+，
2
a
y t =-，这种代换称为均值代换.
例5 若x ,y 均为正数,且1x y +=,求
11
(1)(1)x y
++的最小值. 分析与解:由1x y +=,设: 12x t =+,
1
2
y t =-,则 11(1)(1)x y ++=1x y xy xy +++=21xy +=
22114
t +-=28
114t +- ∵0,0x y >> ∴1122t -<< 当240t =时，即0t =时，此时1
2
x y ==，原式有最小值：189+=.
五、和差代换法：对于任意的实数x ,y ，总有2222x y x y x x y x y y +-⎧=+⎪⎪⎨+-⎪=-⎪⎩ ，若令2
2
x y a x y b +⎧
=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩
A G
E
2
1
图 1
则有：x a b
y a b
=+⎧⎨
=-⎩，这种代换称为和差代换.
例6 已知实数b a ,满足2
2
2
2
,1b a ab t b ab a --==++且，那么t 的取值范围是 _____. 分析与解:设,a x y b x y =+=-,把它们代入22
1a ab b ++= 中，得：
22()()()1x y x y x y x y +++-+-=（） 化简得: 2213y x =-
因为: 22
1
0,3
y x ≥≤≤
所以0 ∴2
2
2
2
2
22
()()()(3)3(13)83t x y x y x y x y x y x x x =+--+--=-+=---=-（） ∵2
13x ≤≤
0 ∴2883x ≤≤0 ∴2
1833x ≤-≤--3 即：13
t ≤≤--3 六、参数法：参数法是指在解题过程中，通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量（参数），以此作为媒介，再进行分析和综合，从而解决问题. 例7 若3
2211-=
+=
-z y x ，则2
22z y x ++可取的最小值为（ ） A. 3 B. 14
59
C. 29
D. 6
解：设k z y x =-=+=-3
2
211 则23121+=-=+=k z k y k x ，，
所以2
2
2
z y x ++2
2
2
(1)(21)(32)k k k =++-++
214106k k =++2559
14()1414
k =+
+ ∴当514k =-时 ∴2
22z y x ++的值最小为14
59，应选B
七、整体设元法：就是把一些看似彼此独立而实质是紧密相联系的量看成一个整体去设元、列式、变形、消元、代入和求值等.
例8 已知a ,b 为实数，那么2
2
2a ab b a b ++--的最小值是
分析与解：本题要直接求出所求式子的值很困难，故可以采取整体设元，巧妙运用二元一次方程的根的判别式来解决，思路就显得非常简捷.
设2
2
2a ab b a b ++--=t ,将等式整理成关于a 为主元的二次方程,得
22(1)(2)0a b a b b t +-+--=
∵a 为实数 ∴2
2
(1)4(2)0b b b t ∆=----≥
即2
4361t b b ≥-- 就是2
43(1)44t b ≥--≥-
∴1t ≥- ,当1t =-时,有1,0b a ==.
故当0,1a b ==时, t 有最小值,即代数式2
2
2a ab b a b ++--有最小值是-1.
八、利用函数的性质：借助二次（一次）函数的增减性，并注意自变量的取值范围，可使问题迎刃而解.
例9 已知0<a ，0≤b ，0>c ，且ac b ac b 242-=-，求ac b 42
-的最小值.
分析与解:将已知等式两边平方得 22
4(2)b ac b ac -=- 整理可得: 22
a c ac
b a
c =- 又0ac ≠ ,得1ac b =-.
故ac b 42
-=2
4(1)b b --=2
(2)b -
此为关于b 的二次函数,且开口向上,对称轴为b =2 ,又由于0≤b ,知当0b =时,
ac b 42-取得最小值4.
第一章 总 论
第一节 会计概述 一、会计的概念及特征 （一）会计的概念 （二）会计的基本特征
1．会计以货币作为主要计量单位 2．会计拥有一系列专门方法
3．会计具有核算和监督的基本职能 4．会计的本质就是管理活动 二、会计的基本职能 （一）会计的核算职能 （二）会计的监督职能
（三）会计核算与监督职能的关系 三、会计对象和会计核算的具体内容 （一）会计对象
（二）会计核算的具体内容 1．款项和有价证券的收付 2．财物的收发、增减和使用 3．债权、债务的发生和结算 4．资本的增减
5．收入、支出、费用、成本的计算
6．财务成果的计算和处理
7．需要办理会计手续、进行会计核算的其他事项第二节会计基本假设
一、会计主体
二、持续经营
三、会计分期
四、货币计量
第三节会计基础
一、会计基础的概念和种类
二、权责发生制
三、收付实现制
第二章会计要素与会计科目
第一节会计要素
一、会计要素的确认
（一）资产
1．资产的定义
2．资产的分类
（二）负债
1．负债的定义
2．负债的分类
（三）所有者权益。