低能粒子散射特性的量子力学研究
《量子力学》22套考研自测题+答案
⎜⎝ 0 3λ 3 + 2λ ⎟⎠ 的本征值至 λ 的二次项，本征矢至 λ 的一次
项。
五、（10 分）一体系由三个全同的玻色子组成, 玻色子之间无相互作
用. 玻色子只有两个可能的单粒子态. 问体系可能的状态有几
个? 它们的波函数怎样用单粒子波函数构成?
QQ：704999167
QQ：704999167
En
=
−
Z 2e2 2a
， ψ 100 =
1
⎜⎛
Z
⎟⎞ 3 /
2
− Zr
ea
π ⎝a⎠
，计算时，可利用积分公式
∫∞ xe−2ax dx = 1 。
0
4α 2
五、（本题 20 分）
设一维谐振子的能量本征函数为ψ n (x) ，求：
QQ：704999167
HY制作
HY制作
HY制作
量子力学自测题（5）
一、 填空题（本题 20 分）
1．Planck 的量子假说揭示了微观粒子
特性，Einstein 的光
量子假说揭示了光的
性。Bohr 的氢原子理论解决了经典
考研自测题精美汇总
电磁场理论和原子的
之间的矛盾，解决了原子的
的起源问题。
2．力学量算符必须是
10. n 为 Lz 的本征态，本征值为 n 。求在 L z 的本征态 n 下， Lx
和 Ly 的平均值。
11. 氢原子处于状态
⎜⎛
ψ
(r
,
s
z
)
=
⎜ ⎜
⎜− ⎝
1 2
R
21
Y 11
3 2 R 21 Y10
⎟⎞ ⎟ ⎟ ⎟
=
量子力学 散射理论
相比，知
对高能入射粒子，相应条件为：
（比较容易满足）
二、高阶波恩近似
定义算符T为： 有
据 可见 其中：
(=- 1
4
2m
2
(2
)3
k ' |V | ()
)
二阶波恩近似
作业：
一、6.2(a)
二、求一阶波恩近似下，方势阱(V(r)=V0θ(a-r))产生的 微分散射截面。
对坐标基（也可以采用其他表象）：
该积分方程对|Φ>=|p>，有：
计算
= =
（记
(E 2k 2 / 2m)
于是形式解为： 对局域势： 得：
考虑观察点远离势中心
可以得到： 其中出射球面波振幅为：
微分散射截面（单位立体角内的跃迁速率除以流量）
平面波~尺度远大于 势作用范围的波包
§7.2 波恩近似
一、将 得一阶波恩近似： 记 则对球心势有
代入散射振幅公式
二、应用举例
对Yakawa势
即一阶波恩近似下 对库仑势（µ0,V0/µZZ’e2）
与经典卢瑟夫散射截面公式相同：
一阶球心势散射特点
1）
f（（1） ）
-
2m 2q
0
rV
(r
)
sin
qrdr
仅依赖于q，且为实数
2）dd f ( ) 2 F(q2) 2 F(k2(1 cos )) 2 与V的符号无关
第七章 散射理论
散射是探测物质结构如质量、电荷和势场分布的主 要实验途径。因此，散射理论具有众多重要的应用。
散射问题常可用含时微扰的方法，也可以用定态微扰 的方法处理。
§7.1 Lippmann-Schwinger 方程
电子能谱学第11讲低能离子散射谱(ISS)
ISS原理
2020/4/232002年6月7日
15
星期五
离子散射原理
• 低能离子散射谱上一些突出的峰是由入射离子和单个晶 格原子之间的简单双体碰撞形成的，靶子晶格起的作用 很小或根本不起作用。
• 在碰撞过程中由于电子跃迁而损失的能量很少，在大Байду номын сангаас 数实验装置中探测不到。
• 而且中和效率(1一Pi)很可能与许多参数有关(例如离子 能量、基质材料、吸附的靶原于种类等)，所以在定量解 释上相当复杂。
• 另一方面，低能离子散射最突出的特点是表面灵敏度极
高，这也是由于中和效应之故。因为离子穿透到表面一、
两个原于层以下比从表面散射受到的中和更为完全。低
能离子散射谱有许多尖锐的峰，这与高能时的情况有显
• 对表面结构的研究还应能对靶表面进行就地清洁和通过退 火保持有序表面，并能适当控制气体量以进行吸附研究。
2020/4/232002年6月7日
13
星期五
能量分析器
• 静电式电子能量分析器，如CMA、SDA都可以用作 正离子能量分析器，只须特有有关电位开关的极 姓反转即可。这也使ISS技术易于同AES、XPS等 分析技术兼容。
3. 当继续增大灯丝电流和增加中和
低能电子时,溅射二次离子峰和散
射的Ｈｅ+离子峰不再移动,见图1
ｃ
1KeV He+离子在Ａｇ箔上的离子散射谱 ａ)接地
ｂ)样品不接地ｃ)样品不接地同时使用电子中和
枪 2020/4/232002年6月7日
28
星期五
表面成分分析
• Smith发现，散射产额和覆盖率之间有线性关系。
• 因此，入射能量为E0、质量为M1的离子，从质量为M2的 靶原子通过θ角(见图1)散射以后，剩下的能量E1：由 方程(1)的关系确定。此关系是根据能量守恒和动量守 恒导出的。
量子力学中的束缚态与散射态
量子力学中的束缚态与散射态量子力学是一门研究微观尺度下粒子行为的科学，它对于解释原子结构、分子相互作用以及固体的电子性质等方面都得到了广泛的应用。
在量子力学中，束缚态和散射态是两个重要的概念。
本文将重点讨论束缚态和散射态的特点及其在实际应用中的重要性。
一、束缚态束缚态是指量子系统中的态函数被限制在某个有限的空间区域内，不具备传达能量或物质的能力。
典型的束缚态包括原子的电子态和一维势阱中的粒子态等。
束缚态的特点如下：1. 离散能级：束缚态的能量具有离散的特点，而不是连续的能谱。
这是由于束缚态的波函数在有限空间内满足定态薛定谔方程，从而导致能量的量子化。
2. 空间局域性：束缚态的波函数在无穷远处趋于零，因此主要分布在有限的空间区域内。
这使得束缚态在描述分子结构和电子能级等方面具有重要作用。
3. 零点能：束缚态中的粒子具有零点能，即在经典力学中粒子停止运动时仍然存在能量。
这是由于根据海森堡不确定性原理，零点能是不可避免的。
束缚态在实际应用中有着重要的作用。
例如，在材料科学领域，研究材料的电子束缚态可以揭示其电子结构和导电性质，为材料的设计和合成提供指导。
另外，在原子物理学中，束缚态的研究则可以帮助我们理解原子的稳定性和能级结构。
二、散射态散射态是指在量子力学中，粒子与势场相互作用后，以一定的概率散射到无穷远处的态。
相比于束缚态，散射态的特点如下：1. 连续能谱：散射态的能量具有连续的能谱，这是由于散射态存在无穷远处的自由运动，并且没有受到束缚。
2. 反射和透射：散射态可以分为反射态和透射态。
反射态是指粒子被势场反射回原来的方向，透射态则是指粒子穿过势场到达另一边。
3. 散射截面：散射态的概率幅随散射角度的改变而变化，通过计算可以得到散射截面，用来描述粒子在散射过程中被散射到某个特定角度的概率。
散射态在一系列实验和应用中发挥着重要的作用。
例如，在核物理中，研究粒子之间的散射过程能够揭示粒子的相互作用力和核结构等重要信息。
量子力学十大经典实验
量子力学十大经典实验量子力学是一门描述微观世界的物理学，它与经典物理学有着很大的不同。
为了研究和解释量子力学的理论，科学家们进行了大量的实验，其中一些成为了经典实验，这些实验成为了量子力学的基石。
下面是量子力学十大经典实验。
1. 双缝实验双缝实验是量子力学中最著名的实验之一，它展示了量子物体在运动中的波粒二象性。
这个实验是把电子、中子、甚至大分子（如全氟辛酸甲酯C7F15COOCH3）经过一道狭缝后，使它们以波的形式穿过两个狭缝，在墙后的屏幕上观察到干涉条纹，说明量子物体不仅有粒子特性，也有波特性。
2. 斯特恩-格拉赫实验斯特恩-格拉赫实验是通过演示电子在磁场中受到偏转，从而证明了电子同样具有自旋的实验。
这个实验是通过一个装有磁体的装置让电子束穿过磁场中的狭缝，重点观察电子在不同磁场方向下的偏转情况。
实验结果证明了电子不仅拥有电荷，还拥有磁性，因此具有自旋。
3. 库仑阱实验这个实验是使用高频电场将离子束困在特定区域内，从而研究离子束的运动。
实验发现，当电极中的电场处于某些特定值时，离子可以被有效地困住。
这表明，离子在特定范围内存在着稳定的能态，这个实验提供的信息为之后的量子操纵提供了基础。
4. 弗朗恩赫伦斯-加劳-拉姆实验弗朗恩赫伦斯-加劳-拉姆实验是一种通过质子在磁场中的预测轨迹来检验经典力学对运动的描述是否合理的实验。
实验比较磁化的质子库仑散射，即将质子束射向固定的金属箔片，并在另一侧观察质子的散射角度。
实验结果证实了量子力学的预测，而不是经典力学。
5. ZEEMAN效应实验ZEEMAN效应是一种通过检验光谱线是否发生分裂来测试原子谱线是否与外场有关的实验。
这个实验发现，在原子谱线中加入磁场后，谱线会发生拆分并形成一条条光谱线，这就是Zeeman效应。
这个实验证明了磁场可以影响原子的电子轨道，从而改变光谱。
6. 斯塔克效应实验斯塔克效应是一种通过检验光谱线是否发生分裂来测试原子谱线是否与电场有关的实验。
量子力学的基本原理和实验验证
量子力学的基本原理和实验验证量子力学是描述微观粒子行为的一套物理理论。
它描述了微观粒子的性质和行为，如光的粒子特性、物质的波粒二象性、粒子的不确定性原理等。
本文将详细介绍量子力学的基本原理和实验验证。
首先，波粒二象性是量子力学的核心概念之一、根据波粒二象性，微观粒子既可以表现出粒子特性，也可以表现出波动特性。
例如，光既可以被看作一束光子，也可以被看作是波动的电磁波。
双缝实验是波粒二象性的经典实验之一，它展示了光的波动性和粒子性之间的相互转换。
其次，不确定性原理是量子力学的另一个重要原理。
它由狄拉克和海森堡分别提出，描述了测量过程中的不确定性。
不确定性原理表明，对于一些物理量，如位置和动量，无法同时知道它们的精确值。
测量一些物理量的精确值会导致其他物理量的不确定性增加。
第三，波函数是量子力学的数学表达式。
它描述了微观粒子的量子态，并用于计算和预测粒子的性质和行为。
波函数通常用薛定谔方程来描述，该方程描述了波函数随时间的演化。
最后，哈密顿量是描述量子系统的能量和动力学性质的数学算符。
它包括了系统的动能和势能，并用于计算系统的能级和波函数。
1.双缝干涉实验：双缝干涉实验是证实波粒二象性的经典实验之一、当光通过一个或多个细缝时，会形成干涉图样，表现出光的波动性。
然而，当光的强度减小到只有几个光子时，实验仍然出现干涉图样，表现出光的粒子性。
这一实验表明光既具有波动性，又具有粒子性。
2.斯特恩-格拉赫实验：斯特恩-格拉赫实验是证实电子自旋的实验之一、该实验使用了磁场对银原子进行偏转，在屏幕上形成两个区域。
根据经典物理学的预期，电子应该分布在整个屏幕上，但实验结果显示，电子只出现在两个明确的区域上。
这表明电子具有自旋量子数，只能有两个可能的方向。
3.康普顿散射实验：康普顿散射实验是证实光子具有粒子性的经典实验之一、实验使用高能光子与电子碰撞，经过散射后，光子的波长发生了变化。
这一实验表明光具有粒子性，能量和动量与波长直接相关。
量子力学第六章散射
第六章 散射6.1 两体碰撞和散射截面两个粒子的碰撞可以分为弹性散射，非弹性散射和反应三种类型。
如果两个粒子的内部状态在碰撞前后都保持不变，则称为弹性散射。
弹性散射也就是弹性碰撞，下面将只讨论弹性散射问题。
如果粒子的内部状态在碰撞后有变化（例如激发或电离），则称为非弹性散射。
如果碰撞后有新粒子出现，则称为反应。
非弹性散射与反应有时并不能严格区分开来。
单粒子的衰变也可属于反应。
粒子之间的碰撞与能级跃迁中的频谱（能谱）一样对许多实际问题的研究具有很重要的意义。
例如，贞瑟福（Rutherford ）由对X 粒子被原子散射的研究中发现原子中心有一个重核。
又如，电子与原子碰撞的夫兰克——赫兹（Franck-Herty ）实验证明了原子中有定态。
两个粒子的碰撞可以在外场中进行，下面也只讨认没有外场的情况，这时，两个粒子体系的势能仅由相互作用能()U r决定。
由§2.7“5”可知，两体问题可以化为一个具有折合质量为μ的粒子在一个固定于质心位置的势场()U r中运动。
这个静止不动的质心位置被称为散射中心，也称为靶心。
这时，两个粒子的散射便化为粒子被势场的散射。
这个粒子的能量E 是连续谱，在弹性散射中，能量E 在散射过程中保持不变。
为了简单，设耙心质量比位于r处的粒子质量大得多，则这个具有折合质量的粒子便化为一个真实粒子，而相对运动能量E 便化为这个真实粒子的能量。
考虑一束粒子沿Z 轴正方向向散射中心C 射束，如下图：在入射粒子未进入势场之前，即当入射粒子距离散射中心很远时，可近似地用平面波描写，所以穿过垂直于Z 轴平面的λ射粒子是均匀分布的。
单位时间内穿过垂直于入射方向单位面积的粒子数N 称为入射粒子流强度。
粒子被散射后的运动方向与入射方向之间的夹角称为散射角。
设以C 点为球心以r 为半径的球面上的面积元ds 对C 点张开的立体角为d Ω，则单位时间内散射到d Ω内的粒子数dn 应与d Ω成正比，也与N 成正比：(,)dn q Nd θϕ=Ω （6.1-1）其中(,)q θϕ为比例系数。
第七讲散射理论
第七讲散射理论一、散射现象的一般描述1、什么是散射？简单地说，散射就是指粒子与粒子之间或粒子与力场之间的碰撞（相互作用）过程，是一种具有重要实际意义的现象，所以散射现象也称碰撞现象，其可以示意为：粒子流散射中心如：原子物理中的α粒子散射实验。
2、散射的分类：弹性散射：一粒子与另一粒子碰撞的过程中，只有动能的交换，粒子内部状态并无改变。
非弹性散射：两粒子碰撞中粒子的内部状态有所改变（例如原子被激发或电离）。
在这里我们只讨论弹性散射，即假设碰撞过程中粒子的内部状态未变，并假设散射中心质量很大、碰撞对其运动没有影响。
3、散射的经典力学描述从经典力学来看，在散射过程中，每个入射粒子都以一个确定的碰撞参数（瞄准距离）b 和方位角0ϕ射向靶子，由于靶子的作用，入射粒子的轨道将发生偏转，沿某方向(,)θϕ出射。
例如在α粒子的散射实验中，有22cot 422M b Ze θυπε= （偏转角θ与瞄准距离之间的关系） 那些瞄准距离在b b db -和之间的α粒子，散射后，必定向着d θθθ+和之间的角度射出，如下图所示：凡通过图中所示环形面积d σ的α粒子，必定散射到角度在d θθθ+和之间的一个空心圆锥体之中。
环形面积d σ称为有效散射截面，又称微分截面。
且2222401()()4sin 2Ze d d M σθπευΩ= 然而，在散射实验中，人们并不对每个粒子的轨道感兴趣，而是研究入射粒子束经过散射后沿不同方向出射的分布。
设一束粒子流以稳定的入射流强度沿Z 轴方向射向靶粒子A ，由于靶粒子的作用，设在单位时间内有dn 个粒子沿(,)θϕ方向的立体角d Ω中射出，显然，,(,)dn Nd dn q Nd θϕ∝Ω=Ω令，即1(,)()dn q N d θϕ=Ω显然，(,)q θϕ具有面积的量纲，称为微分散射截面。
微分散射截面),(ϕθq 表示单位时间内散射到单位立体角Ωd （面积/距离平方）的粒子数占总粒子数比率，即Ω=Nd q dn ),(ϕθ。
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1 理论分析
由量子力学知识可知, 粒子具 有波粒二 像性。 根据粒子的波动性, 可以把电子与原子的碰撞看成 是入射粒子在原子势场中的散射[ 2] , 其散射程度用 总散射截面来表示, 这是对冉绍尔效应的量子力学
2 结论
无论是哪种气体原子的弹性散射截面( 或电子
平均自由程) , 在低能区都与碰撞电子的能量( 或运 动速度 v) 明显相关, 而且类似的原子具有相似的行 为。根据量子力学知识可知, 这种现象是一种量子 效应。电子与原子的碰撞实际上是入射电子波在原 子势场中的散射。对于低能粒子, 通过调节调整势 阱参数, 会出现总散射截面最小的情况。对于高能 粒子, 通过用玻恩近似法分析可知, 散射截面与粒子 能量成反比。
明的。电子能量小于 1eV 以后 Q 再度增大。此后, 冉绍尔又对各种气体进行了测量, 发现无论哪种气 体的总有效散射截面都和碰撞电子的速度有关。并 且, 结构上类似的气体原子或分子, 它们的总有效散 射截面对电子速度的关系曲线 Q= F( V) ( V 为加 速电压值) 具有相同的形状, 称为冉绍尔曲线。图 1 为氙( Xe) , 氪( Ke) , 氩( Ar) 三种惰性气体的冉绍尔 曲线。图中横坐标是与电子速度成正比的加速电压 平方根值, 纵坐标是散射截面 Q 值, 其中 a0 为原子 的玻尔半径。图中右方的横线表示用气体分子运动 论计算出的 Q 值。[ 1]
arctg x & x , 所以( 7) 式可以简化为
#0 & ka
tg k 0 k0 a
a
-
1
<<
1
式中 k0 = 2 | U0 |
所以( 8) 式化简为
Q
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
&
4k2∀sin2 #0
&
4 k
∀2 #20
&
4
∀a
2(
t
g k 0a k0 a
-
1) 2
( 9) 由上式可以看出, 在粒子能量很低的情况下, 调
建立坐标系, 取散射中心为坐标原点。用 U( r )
表示入射粒子与散射中心之间的相互作用势能, 则
体系的薛定谔方程写为:
- h2 2 + U( r)
=E
( 1)
其中, 是入射粒子质量, E 是它的能量。 观察被散射粒子都是在离开散射中心很远的地
方, 所以只需讨论 r ! ∀ 时 的行为即可。假设 r
截面的问题归结为计算相移 #l 。 #l 可以通过解径向方程:
1d r 2 dr
r
2
d dr
R
l
+
k2-
l(
l+ r2
1)
-
U( r )
Rl
=0
( 5)
求出
kr ! ∀
Rl
1 kr
sin
kr -
l2∀+
#l
( 6)
其中 k2 = 2 E / 2.
对于低能的情况, 即 ka < < 1时, 高 l 分波的贡 献很小, 可以只计算 l = 0 的 s 分波的相移 #0, 令 k%2
传播,
r !∀
eikz +
f(
)
ei kr r
(
k
=
2 E / h2)
( 2) 式中, f ( , !) 称为散射振幅, 仅是 和 !的函数, 而 与 r 无关, 容易证明( 2) 式在 r ! ∀ 时满足方程( 1) 式。
假设入射粒子能量很小, 低能粒子受球对称方 形势阱的散射, 它的德布罗意波长比势场作用范围 大的多。以 a 表示方形势阱的范围, 所以粒子的势能 可以写为
Using quantum mechanics to study the scattering character of low- energy particle
QI Jian- xia
( Depar tment of A pplied M athematics and Physics, X i an University of Posts and T elecommunications, Xi an 710121, China)
整势阱参数 U0 和 a, 使 t g( k%a ) & k%a 时, 可以使入 射粒子能量为 1ev 时散射截面出现一个极小值, 即
出现共振透射现象。
当粒子能量增大, 高 l 分波的贡献便是不可忽 略的, 此时需要解 l ∋ 0 的方程( 6) , 求解较为困难。
对于高能散射问题, ka > > 1 时, 可以用玻恩近似
( 上接第 82 页)
Research on QoS mechanisms for mobile Ad- hoc Internets
HE Xiu- mei, SH EN Su- bin
( College of Computer , N anjing U niversity of Posts and T elecommunications, Nanjing 210003, China)
因此, 入射粒子在原子势场中的散射可以分两 种情况分析。对于低能粒子, 我们可以运用分波法分 析, 调节调整势阱参数 U0 和 a , 粒子会发生共振透 射现象, 出现总散射截面最小。对于高能粒子, 可以 运用波恩近似法计算总散射截面, 且得到散射截面 与粒子能量 E 成反比的结论。以上我们定性的解释 了冉绍尔- 汤森效应的实验曲线, 要更加精确的计 算散射截面, 则需要用到 哈特里- 福 克( Hartree F ock) 自洽场方法。
的散射, 以此建立模型进行分析, 对现象作出了合理的定性解释。
关键词: 弹性散射; 散射截面; 低能粒子
中图分类号: O561. 5
文献标识码: A
文章编号: 1007- 3264( 2009) 03- 0120- 03
引言
在量子力学中, 散射现象也称为碰撞现象。研 究粒子与力场( 或者粒子与粒子) 碰撞的过程有很重 要的实际意义。通过粒子与原子的碰撞加深了我们 对原子内部结构的了解。例如卢瑟福根据 a 粒子的 散射现象, 发现了原子 中心有一个重 核存在; 弗兰 克、赫兹等人所进行的电子与原子碰撞实验, 证明了 玻尔关于原子有定态的假设。此外, 在宇宙射线、气 体放电、气体分子的碰撞等现象中, 碰撞过程也占有 很重要的地位。
Abstract: Mobile Ad- hoc Int ernet is a MANET - orient ed Int ernet architecture. T o achieve QoS- g uarant eed self- organizing rout ing and f ast route- sw itching, a mechanism of QoS is presented, w hich includes an en hanced BGP/ M PLS VPN archit ecture and QoS rout ing method, t hus provides end- to- end QoS guarant ee for the net work. Key words: M AINET ; BGP/ M PL S VPN; QoS routing
参考文献
[ 1] 吴思诚, 王祖铨. 近代物理 实 I( 基本实 验) [ M ] . 北京: 北京大学出版社, 1986.
[ 2] 周世勋. 量子力 学教 程[ M ] . 北京: 高 等教 育出 版社, 2 00 1.
[ 3] 钱伯初. 量子力学[ M] . 北京: 电子工业出版社, 1993.
! ∀ 时, U ! 0, 即在粒子远离散射中心时, 两者之
间的相互作用趋于零。这样, 在 r ! ∀ 的地方, 波函
数应由两部分组成: 一部分是描写入射粒子的平面 波 1 = A eikz , 另一部分是描写散射粒子的球面散
射波 2 = f ( , !) eikr / r , 这个波由散射中心向外
法来计算散射截面。可以计算得[ 4] ,
Q
& (2
U 3
0a
2
3
)
2
(
∀3 ak) 2
(
1 k2
(
1 E
( 10)
由( 10) 式可以看出, 在粒子能量较高的高能散
) 122 )
西安邮电学院 学报
2009 年 5 月
射中, 散射截面 Q 是随着粒子能量 E 的增加而减小 的, 对应于图线上极大值右端能量增加, 散射截面减 小的区域。
=
k2- 2
U
2
0
,
则:
#0 = arctg kk%t g k%a - ka
( 7)
将( 7) 式代入( 4) 式, 总散射截面为:
Q
&
Q0 =
4 k
∀2 sin2
#0
=
4 k
∀2 sin2
arctg ( kk%t g k%a) -
ka
( 8)
在粒子能量很低 k ! 0 的情况下, 因为 x ! 0 时
摘要 : 本文主要讨论了惰性气体对低能粒子的散射 问题。在惰 性气体 中, 电子平 均自由 程与经典 的气体 分子运 动
论计算结果不 符合, 且惰性气体对电子的弹性散射总 截面随 着电子 能量的减 小而增 大, 经典散射 理论无 法对此 作
出合理解释。本文根据 量子力学知识, 考虑电子的波 动特性, 把电 子与原 子的碰 撞看成 是入射粒 子在原 子势场 中