贵州省贵阳市2016年高三适应性监测考试(一)理科

贵州省贵阳市2016年高三适应性监测考试（一）理科
一、选择题（共12小题；共60分）
1. 如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的
集合为
A. B.
C. D.
2. 若复数，则
A. B. C. D.
3. 已知向量，，若与共线（其中且），则
等于
A. B. C. D.
4. 等比数列的前项和为，若公比，，则
A. B. C. D.
5. 函数的部分图象如图所示，则
A. B. C. D.
6. 下列说法正确的是
A. 命题“若，则”的否命题为“若，则”
B. 若命题：，，则命题：，
C. 命题“若，则”的逆否命题为真命题
D. “”是“”的必要不充分条件
7. 函数在上的零点个数为
A. B. C. D.
8. 执行如图所示的程序框图，如果输入的变量，则输出的
A. B. C. D.
9. 已知棱长为的正四面体（各面均为正三角形）的俯视图如图所示，则该四面体的正视图的面积
为
A. B. C. D.
10. 某日，甲、乙二人随机选择早上的某一时刻到达黔灵山公园晨练，则甲比乙提前
到达超过分钟的概率为
A. B. C. D.
11. 设，分别是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，
是底角为的等腰三角形，则椭圆的离心率为
A. B. C. D.
12. 已知函数，若，则的取值范围是
A. B.
C. D.
二、填空题（共4小题；共20分）
13. 若展开式的常数项为，则常数的值为．
14. 设，满足约束条件则的最小值为．
15. 等差数列中，，若仅当时，数列的前项和取得最大值，则该等差
数列的公差的取值范围为．
16. 若球的直径，，是球面上的两点，，，则棱锥
的体积为．
三、解答题（共8小题；共104分）
17. 在中，，，的对边分别为，，，已知．
（1）若，，求；
（2）若，求角．
18. 如图是某市月日至日的空气质量指数趋势图及空气质量指数与污染程度对应表．某人随
机选择月日至月日中的某一天到该市出差，第二天返回（往返共两天）．
空气质量指数污染程度
小于优良
大于且小于轻度
大于且小于中度
大于且小于重度
大于且小于严重
大于爆表（1）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?（只写出结论不要求证明）
（2）求此人到达当日空气质量优良的概率；
（3）设是此人出差期间（两天）空气质量中度或重度污染的天数，求的分布列与数学期望．
19. 如图，在三棱锥中，．
（1）求证：平面平面；
（2）若，，，在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角为?若存在，求出的长；若不存在，说明理由．
20. 已知抛物线：，为坐标原点，为抛物线的焦点，已知点为抛物线
上一点，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）若直线过点交抛物线于不同的两点，，交轴于点，且，
，对任意的直线，是否为定值?若是，求出的值；否则，说明理由．
21. 已知为实常数，函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数与的图象有两个不同的交点，，其中，
①求实数的取值范围；
②求证：且．（注：为自然对数的底数）
22. 如图是圆的直径，是圆的切线，交圆于点．
（1）若为的中点，求证：是圆的切线；
（2）若，求的大小．
23. 在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆的圆心
的极坐标为，半径．
（1）求圆的极坐标方程；
（2）若，直线的参数方程为为参数，点的直角坐标为，直线交圆于，两点，求的最小值．
24. 已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若的解集包含，求实数的取值范围．
答案
第一部分
1. B 【解析】由 Venn 图可知，阴影部分表示的是集合．
2. B 【解析】因为，
所以
3. A 【解析】，．
由与共线，
得，解得．
4. D 【解析】因为，所以，所以，即．
5. A
【解析】因为，
所以，
所以．
因为，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以．
6. C 【解析】A中的否命题应为“若，则”；B中命题：，；D中“”是“”的充分不必要条件．
7. C 【解析】画上函数与的图象，易知两图象有个交点，即函数在上有个零点．
8. B 【解析】由程序框图及可知，此程序执行的是输出二次函数，的值域，因此．
9. C 【解析】由俯视图可知，正四面体的正视图是一个等腰三角形，
其中底边长为，高为正四面体的高，
所以正视图的面积．
10. D
【解析】设甲、乙二人到达的时刻分别是点分和点分，则如图所示，则所求概
．
率
四边形
11. A 【解析】设直线交轴于点，则，因为是底角为的等腰三角形，所以，且，所以，解得，所以．
12. B 【解析】因为，
所以其表示的是和连线的斜率，
因为（当且仅当时取等号），，
所以是射线上的动点，是圆上的动点．
显然，斜率的最值是过射线端点的圆的两条切线的斜率．
设过点的切线的方程为，
，即，解得，
所以．
第二部分
13.
【解析】，
令，得，
所以，解得．
14.
【解析】画出可行域，如图中阴影部分所示，
在可行域内平移直线，当其经过与的交点时，直线在轴上的截距最大，此时取得最小值，故．
15.
【解析】由题意知
所以
所以
即
所以．
16.
【解析】过点作于，连接，如图，
因为是球的直径，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以平面，且
所以是等边三角形，且
所以
第三部分
17. （1）由及余弦定理，
得，即，
所以，解得．
（2）因为，
所以由正弦定理得，
又，
所以，
所以，
所以，即，
所以或（舍去），
因为，
所以．
18. （1）从月日开始连续三天的空气质量指数方差最大．
（2）设表示事件“此人于月日到达该市”（）．
根据题意，，且．
设为事件“此人到达当日空气质呈优良”，则．所以．
（3）由题意可知，的所有可能取值为，，，且
，
，
．
所以的分布列为：
故的期望．
19. （1）因为，
所以，，
因为，
所以平面，
因为平面，
所以．
因为，
所以，
因为，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面．
（2）由（1）可知，平面，．
因为，，
以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
设是平面的法向量，
则取，得，
设线段上的点满足，
则，连接，
则
因为，
解得或（舍去），
所以在线段上存在点，且，
使得直线与平面所成角为．
20. （1）因为，由抛物线的定义知：，所以，
所以抛物线的方程为．
（2）显然直线的斜率存在且一定不等于零，
设其方程为，
则直线与轴交点，
设，，
由得，
所以，
，．
由，得，
所以，
同理可得，
所以．
故为定值．
21. （1），定义域为，，
当时，，函数在上是增函数；
当时，在区间上，；
在区间上，．
所以在上是增函数，在上是减函数．
（2）①函数与的图象有两个不同的交点，，其中，等价于函数有两个零点，，且．
由（）知，当时，函数在上是增函数，不可能有两个零点．
当时，在上是增函数，在上是减函数，
所以此时为函数的最大值，
因为当时，最多有一个零点，
所以，解得，
又，且，
，
令，
则，
所以在上单调递增，
所以，即，
所以当时，在和上各有一个零点，
所以的取值范围是．
②由（）中的①可知，当时，函数在上是增函数，在上是减函数，
所以，．
故，即，
所以，
构造函数
则，
所以函数在区间上为减函数，
因为，
所以，
又，
所以
所以由（）知，即，
所以．
22. （1）连接，，如图所示，
由已知得，，，
在中，由已知得，
所以．
因为，，
所以，
所以，
所以是圆的切线．
（2）设，，则，
由射影定理可得，，
所以，解得，
所以．
23. （1）在直角坐标系下，圆的圆心的坐标为，
所以圆的直角坐标方程为．
即，
将，代入上式，
得．
（2）依题意，点在直线上，
将代入，
得，
得，
由参数方程的几何意义知
，
因为，
即，
所以（当且仅当时等号成立），所以的最小值为．
24. （1）当时，，
即，
即或或
解得或，
所以解集为．
（2）原命题等价于在上恒成立，
即在上恒成立，
即在上恒成立，即．。