9-1-2静电场-高斯定理
0
q
i
i
10
关于高斯定律的说明:
(1)高斯定理表明静电场是有源场,电荷是静电场的源头. q3 q 2 qi S (2)高斯定理表达式: E dS i q1 0 S 式中 E 是面S 内、外所有电荷产生的合场强. 对闭合面的电通量 E dS 仅S面内的电荷有贡献.
S
(3)表达式中的qi是被面S包围在面内的电荷的代数和. (4)表达式的右端是封闭面S上的电场强度 E的通量e (有出有进).
11
关于高斯定律的用途： 1.当电荷分布具有某种对称性时，可用高斯定律求 出该电荷系统的电场的分布。比用库仑定律简便. 2. 当已知场强分布时,用高斯定律求出任一区域的电荷, 电势分布.
B. Q / 6
a 2
Q O
a
C. Q / 6 0
D. Q / 0 E. 条件不足，无法计算
a
17
利用高斯定律求静电场的分布
高斯定律可以用来求解特殊对称情况下的电场强度， 求解步骤如下： 1.根据电荷分布的对称性，分析电场分布的对称性。 2.根据高斯定律计算场强数值: 关键是高斯面的选取。 可以找到一个封闭曲面(高斯面), 使高斯面上 E dS
i E d s qi
S1
r
E
O
p E ds
r
S2
Φe
E 20 r
侧面
E dS E
dS E 2rl
1
侧面
0
l
24 请同学们画出 E r 关系曲线
例: 求无限长均匀带电圆筒的场强分布. 解： 该电场分布具有轴对称性.如图取同轴柱面为高斯面
A. 1 2，s q / 0 B. 1 2，s 2q / 0
S2
q
S1
q
C. 1 2，s q / 0
D. 1 2，s q / 0 E. 以上都不对
O
a
X
2a
14
#1a0502013a
一个点电荷q位于一个横截面半径为R，长为L的圆 柱体内部，如图。则通过这个圆柱体的电通量为： A. 0 B. q C. q / 0 D. q / 2 0 E. 条件不足，无法计算
当r R 时 E 4r 1
2
3
R
r
R
E
r
r
R
23
与点电荷产生的电场相同
0
2.场强具有轴对称性情况 例: 求无限长均匀带电直线的场强分布. 由题已知电荷分布具有轴对称性， 解： 它们在空间形成的电场分布也有轴 对称性。如图作与带电圆柱面同轴 l 截面半径为r，长度为l 的圆柱面 （两端封顶的高斯面)。 由高斯定律 得 s 0 qin E ds E ds E ds 上底 下底 侧面 0 左式中前两项 E ds 结果为零
15
R
q
L
#1a0502013b
一点电荷Q处于边长为a的正方体的中心，如图所示， 则通过正方体外表面的电通量是：
a
A. 6Q / 0 B. Q
Q
C. Q / 0
D. 6Q / 0
E. 条件不足，无法计算
16
#1a0502013c
一点电荷Q处于边长为a的正方形平面的中垂线上， 与平面中心O点相距a/2，如图所示，则通过正方形 平面的电通量是： A. Q / 0
由题已知电荷分布具有球对称性，它们 解： 在空间形成的电场分布也有球对称性。 取任一长度r为半径的同心球面为高斯面。 由高斯定理 q
r 当R1 > r高斯面内电荷为0 E 0 E Q1 Q 2 1 当 R1 r R2 , E 4r E e 2 r 0 40 r Q1 Q2 Q Q 2 E e o 当r R2 , E 4r 2 1 2 r R1 R2 r 40 r 0 22
E. q1、 q2、 q3、 q4
13
#1a0502014a
电荷电量都是+q，相距为2a，以左边的点电荷所在 处为球心，以a为半径做一球形高斯面。在球面上 取两块相等的小面积S1和S2，其位置如图所示。设 通过S1和S2的电场强度通量分别为 1 和2 ，通过整 个球面的电场强度通量为s 。则
3. 开文迪斯就是用高斯定律来证明库仑定律的平方 反比关系。这说明它们不是相互独立的定律，而 是用不同形式表示的电场与场源电荷关系的同一 客观规律. 4. 对于静止电荷的电场，库仑定律和高斯定律等价。 对于运动电荷的电场，库仑定律不再正确，而高斯 定律仍然有效. 是反映电场性质的基本规律之一.
12
#1a0502012b
上底 下底 侧面
左式中前两项为零 0 E 2 rl (1)当 r <R1时，
0
l
l o
E
p
r
l (2)当 R1<r <R2时， E 2 rl 得E 0 2 r 0 l l 得 E 0 (3)当 r>R2时， E 2 rl 0
画出 E r 关系曲线
容易计算，如取 E ds 或 封闭曲面的一部分 E ds ，
S
பைடு நூலகம்
而另一部分面上场强为零或 E ds .
例如:具有球对称带电体外的同心球面等.
rS
r
S
18
无限大均匀带电体平板. 无限长均匀带电直线(或圆柱).
E
r
n n n
E 20 r
E 2 0
i i E d s s 0 qin 得 E ds E ds E ds 上底 侧面 0 下底 左式中前两项 E ds 结果为零
由高斯定律
q
S1 r
r
E
l
o
S2
Φe
侧面
E dS E
q
40 r q E e 2 r 40 r
2
E
0
20
r
例:均匀带电的球壳内外的场强分布.设球壳半径为 R，
所带总电量为 Q.
由题已知电荷分布具有球对称性，它们 Q 解： 在空间形成的电场分布也有球对称性。 取任一长度r为半径的同心球面为高斯面。
R
S内 由高斯面定理 Φe E dS 得 S 0 当R > r高斯面内电荷为0 E 0 , r R
当r R
q
Q
R
r
E
Φe
S
Q 2 E dS E dS E 4r
S
E
0
o
r R 21
Q e , rR 2 r 40 r
例:两均匀带电的同心球壳内外的场强分布.设内外球壳
半径分别为 R1 、R2，所带总电量为分别为 Q1 、Q2.
3
电场线举例
+2q
-q
电场线的特点： 电场中考察点附近电场线的疏密反映该点电场的强弱；
电场中任意两条电场线不相交；
电场线上任意点的场强方向沿该点处电场线的切线方向；
电场线起始于正电荷终止于负电荷。不会形成闭合曲线。
4
二 电场强度通量
静电场中某点附近穿过单位面积的电场线条数即数 密度为电场强度的大小. 1定义：通过电场中任一曲面的电场线条数。称为通过 这曲面的电场强度通量（电通量）e 是标量 单位：韦伯 Wb
E0
E
0
E0
E 2 2 0 0
方向垂直带电板 两板外侧电场
E0
28
#1a0502016b
真空中有一均匀带正电球面，半径为R，电荷面密 度为σ ，在球面上挖去一小块面积（连同电荷）ΔS， 则ΔS处球面外邻近球面处P点（ΔS的线度 远远大于P点到ΔS的距离）的电强度大小是： A. B. C. D.
q3 4.根据电场的叠加原理可得:
q1
q2
E dS
S
q
i
i
0
1 或 E dS
S
0
dV
V
9
例: -2q
+q
-q
+q
高斯定律:任意静电场中通过任意闭合曲面的E通 量,等于该曲面内电荷量的代数和除以0 .
1 E dS
如何根据电场的对称性选取适当的高斯面是关键所在.
19
1.场强具有球对称性情况 例如:用高斯定律求点电荷的场强分布. 解：(1)分析 点电荷的场对称性。 (2)做任一长度r为半径的球面(高斯面)。
Φe E dS E
S
则有：
dS E 4r
2
S
q
0
r
E
dS dS
dS dS
这里 dS 的方向为面元的法线方向。
6
S
S
封闭曲面的电通量:穿出 >0,穿入 <0
规定:外法线为正!
dS dS
dS
dS
E dS
S
+q
R
7
静电场的高斯定理 以点电荷的电场为例 E
q 40 r 2
er
同上题，点电荷q1、q2、q3和q4在真空中的分布如图所 示． S为闭合曲面，则通过该闭合曲面的电场强度通量 为 E d S ，其中 E 是点电荷 在闭合曲面上 S 任一点产生的场强的矢量和。
S
A. q1、 q4 B. q2、 q3 C. q1、 q3
q1 q4
q2
q3
D. q2、 q4
0
p
r
dS
E ds
静电场中的高斯定理及其应用
静电场中的高斯定理及其应用1高斯定理高斯定理（Gauss’s Law）是物理学中最重要的电荷定律之一，由19世纪哥本哈根学家卡尔·马克斯·高斯于18日本宣言1877年提出。
高斯定理对于理解静电场非常重要，它实际上是一条关系电荷密度和电场的定律，用一般的话来说，它可以用来计算电荷分布情况下的电场外部空间的分布情况。
它可以被表达为：“定积分表示的电荷密度的体积积分等于其相应的电场大小的表面积积分”关于高斯定理的精确表达可以表达为：（$\vec{E}·da=\rho·dv$）2应用电荷分布情况下的静电场等电势及电荷等强场的计算应用高斯定理。
其中，电荷分布情况下的静电场的计算是最常见的应用，用来计算空间电场的大小和方向。
具体的做法是选择一个闭合的表面，在此表面上应用高斯定理：（$\oint\vec{E}.da=\frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$）其中，q enclosed是这个表面内封闭的电荷，而$\epsilon_0$是真空介电常数。
由此可以求出该表面上电场的大小及方向。
除此之外，高斯定理也可以用来计算电荷等强场，亦即电荷密度。
由高斯定理，可以得到：（$\oint\vec{E}·da=\frac{1}{\epsilon_0}\int\rho·dv$）可以从该等式中看出，积分的表面的表面积积分是由内部的体积积分而产生的，这也就是所谓的电荷等强场原理。
因此，如果电荷的分布情况已经确定，则可以依据上述的高斯定理来求出电荷密度的大小和方向分布情况。
3结论总而言之，高斯定理是物理学中最重要的电荷定律之一，对于理解静电场非常重要。
它可以用来计算电荷分布情况下的电场外部空间的分布情况，也可以用来计算电荷等强场，亦即电荷密度。
因此，高斯定理有着重要的应用价值。
9-1静电场中的导体、空腔导体
q
9－1、2 导体、空腔导体中的静电场 － 、 导体、
导体和电介质中的静电场
作业
书 书 9-7 9-9
下次课内容
§9-4 电介质及其极化 §9-6 介质高斯定理 §9-3 电容器的电容
练习 9-2 练习 9-4
(2)
A
B
(3) 将B板接地 板接地
σ4 = 0
qB = −qA
A、B重新感应
qA
qB
9－1、2 导体、空腔导体中的静电场 － 、 导体、
导体和电介质中的静电场
在一个不带电的金属球旁边放一点电荷q， 例3 在一个不带电的金属球旁边放一点电荷 ，求： （1）感应电荷在球心处的场强； ）感应电荷在球心处的场强； R （2）球的电势； ）球的电势； r （3）若将球接地，球上的感应电荷 ′。 ）若将球接地，球上的感应电荷q o
q'
q
9－1、2 导体、空腔导体中的静电场 － 、 导体、
导体和电介质中的静电场
有一接地的金属球， 用一弹簧吊起， 有一接地的金属球 ， 用一弹簧吊起 ， 金属球原来不 带电。若在它的下方放置一电量为q的点电荷 的点电荷， 带电。若在它的下方放置一电量为 的点电荷，则 (A) 只有当 只有当q>0时，金属球才下移。 时 金属球才下移。 (B) 只有当 只有当q<0时，金属球才下移。 时 金属球才下移。 (C) 无论 是正是负金属球都下移。 无论q是正是负金属球都下移 是正是负金属球都下移。 (D) 无论 是正是负金属球都不动。 无论q是正是负金属球都不动 是正是负金属球都不动。
1 E1 = (σ1 −σ2 −σ3 −σ4 ) = 0 2ε0
E2 = 1 (σ1 +σ2 +σ3 −σ4 ) = 0 2ε0
静电场库仑定律高斯定理
4 0
0 8.851012 F m1
F12
F12
1
4 0
q1q2 r122
e12
q2 r12
q1
(3)无论 q1、q2 正负如何，上式都适用
(4)并且，F12
F21
，说明库仑力满足牛顿第
三定律
(5)当有多个点电荷存在时，其中一个点电荷 受到的作用力为其他点电荷单独存在时对 该点电荷作用力的矢量和。
电磁学
公元前600年
古希腊泰勒斯 第一次记载电现象
1820年
1831年
奥斯特发现 电流对磁针的作用
法拉第发现 电磁感应
1865年麦克斯韦提出 电磁场理论
1905年爱因斯坦建立 狭义相对论
18世纪：莱顿瓶、富兰克林风筝实验、 库仑扭秤实验、伏打电池
19世纪：莫尔斯电报机、电路定律、 电动机、发电机、无线电、电子管
r2
q
l
4. 建立坐标，将dE投影到坐标轴上
x
2
dl
dEx dE cos dEy dE sin
5. 选择积分变量
r、、l 是变量，而线积分只要一个变量
选θ作为积分变量
l actg( ) actg
d l a csc2 d
dE
r2 a2 l2
0
Rd 4 0 R2
sin
4 0R2
( cos )
0
2 0 R
d o
R
dE
X
例3、求均匀带电圆盘轴线上任一点的电场。
已知：q、 R、 x 求：Ep
解：细圆环所带电量为
静电场 高斯定理
q q Ua U U ( ) 4 0 r1 r2 q r2 r1 4 0 r1r2
当a点很远时r>>L，则r1≈r2≈r，
1
q L cos 1 P cos Ua 2 4 0 r 4 0 r 2
r2 r1 r cos
电偶极子轴线上的场强（电势梯度法） 电偶极子电场中的电势： 轴线延长线上的电势：
有电介质存在时的高斯定理的应用
（1）分析自由电荷分布的对称性，选择适当的高斯面 ，求出电位移矢量。 （2）根据电位移矢量与电场的关系，求出电场。 （3）根据电极化强度与电场的关系，求出电极化强度。 （4）根据束缚电荷与电极化强度关系，求出束缚电荷。
非极性分子
E0
极性分子
E0
电极化强度（偶极矩密度）
1、电极化强度：
其中 pei 是第i个分子的电偶极矩
单位是[库仑/米2]、[C/m2].
def P lim
V
pei
i
V
以下将电极化强度矢量简称为极化强度 束缚电荷就是指极化电荷。
电介质的极化规律
在外电场 E0中，介质极化产生的束缚 电荷，在其周围无论介质内部还是外 部都产生附加电场 E ' 称为退极化场。
i
②极性分子 在无外场作用下存在固有电矩 因无序排列对外不呈现电性。 当有电场作用时，极性分子发 生偏转。
在外电场中的电介质
E0
E0
l
无外场下，所具有的电偶极矩称为固有电偶极矩。 在外电场中产生感应电偶极矩。
极化电荷
在外电场中，均匀介质内部各处仍呈电中性， 但在介质表面要出现电荷，这种电荷不能离开电 介质到其它带电体，也不能在电介质内部自由移 动。我们称它为束缚电荷或极化电荷。
静电场 高斯定理
静电场的高斯定理是静电学中的一个重要定理，它反映了静电场的一个基本性质，即静电场是有源场，其源即是电荷。
高斯定理也称为高斯通量理论，或称作散度定理、高斯散度定理、高斯－奥斯特罗格拉德斯基公式、奥氏定理或高－奥公式（通常情况的高斯定理都是指这个定理，也有其它同名定理）。
静电学上表示闭曲面内的电荷之和与产生的电场在该闭曲面上的电通量积分的关系，高斯定律表明了在闭合曲面中电荷分布与产生的电场之间的关系，高斯定律在静电场的情况下，类似于应用于磁场学的安培定律，两者都集中在麦克斯韦方程组中，由于数学上的相似性，高斯定律也适用于其它由平方反比律决定的物理量，例如引力或者辐照度。
高斯定理直接由库仑定律导出，完全依赖于电荷间作用力的平方反比定律，当高斯定理应用于静电平衡条件下的金属导体时，可以得出导体内部没有净电荷的结论，因此测量导体内部是否有净电荷是验证库仑定律的重要方法。
拓展：静电场，指的是观察者与电荷量不随时间发生变化的电荷相对静止时所观察到的电场。
它是电荷周围空间存在的一种特殊形态的物质，其基本特征是对置于其中的静止电荷有力的作用，库仑定律描述了这个力。
9-(1-2)静电场中的导体
r
q
4 0 R1
q 4 0 r
(
1 R3
)
q
( R1 r R2 )
V2
1
4 0 R3
( ) 4 0 r R2 R3
q
1
q3
q2
q
R3
R2
第六章热力学基础 ( R2 r R3 )
V3 q 4 0 r
q 4 0 R3
R1 r
q 4 0 r
'
0
R1 R2 R2 R3 R1 R3
'
q2
'
R1 R3 R2 R3 R1 R2
q3 q q2
'
( R2 R3 R1 R3 )q R1 R3 R2 R3 R1 R2
q3 '
q2 '
q'
R1 r
第六章热力学基础 球壳内表面的电势：
V3
q1 4 0 r
第六章热力学基础 电压：在AB之间 1. 4产生的场强抵消，
2 . 3产生的场强相加，
(若 2 >0,电力线如图) 2 d 故：U AB Ed 0
a
d
a
X
若QA=-QB0
1 4
QA QB
QA QB 2S
0
2S
2 3
这时电场只集中在两板之间。
+++ ++
+
+
+++
< 避雷针 >
尖端放电现象的利用
2、空腔导体 1）腔内无带电体
静电场-高斯定理
电容器极板间电场分布
极板间相互作用力计算
理介
第 推质
四 章
广中 及高 应斯用定Fra bibliotek电介质极化现象及极化强度矢量引入
为了描述电介质极化 的程度和方向，引入 极化强度矢量P，其 大小与电偶极矩成正 比，方向由负电荷指 向正电荷。
在电场作用下，电介质内部正负电荷中心发生相对 位移，形成电偶极子，从而产生宏观上的电极化现 象。
高斯定理是电磁学中的基本定理之一，它表述了静电场中电场强度与电荷分布之间的关系。
高斯面选取原则及技巧
高斯面选取应遵循简单、对称、便于计算等原则。
02
在实际问题中，常根据电荷分布和电场强度的对称性来选取高斯面，以便简化计算。
03
高斯面的形状和大小应根据具体问题灵活选择，可以是平面、球面、柱面等。
高斯定理物理意义阐释
高斯定理反映了静电场的空间分布特性，即电场 强度与电荷分布之间的定量关系。
高斯定理为求解复杂静电场问题提供了一种有效 的方法，即通过选取适当的高斯面来简化计算。
高斯定理揭示了静电场的有源性，即静电场是由 电荷产生的。
高斯定理在电磁学中的地位
高斯定理是电磁学四大基本定理之一，是静 电场理论的基础。 高斯定理在电磁学中具有重要的地位，它不 仅适用于静电场，还可推广应用于恒定电场、 恒定磁场以及时变电磁场等领域。
要点一
麦克斯韦方程组
麦克斯韦方程组是描述电磁场基本规律的方程组，包括高斯定理、 安培环路定律、法拉第电磁感应定律和麦克斯韦-安培定律。
要点二
高斯定理在麦克斯韦方程组中的地 位
高斯定理是麦克斯韦方程组中的重要组成部分，它描述了电荷分 布与电场之间的关系，为电磁场理论奠定了基础。
静电场高斯定理
q
0
高 斯 面
内
l
q
内
可得
E外
2 0 r
E
r
l
课堂练习：
求均匀带电圆柱体的场强分布，已知R，
rR
2 E 2rl r l 2 0 R
l r R E 2rl 0 r rR 2 2 0 R E r
dS E
电通量=味道；闭合曲面=包子皮； 电量的代数和=馅
q
2、定理的验证 ⑴ 点电荷的电场 a、点电荷位于闭 球面中心
+
r
e E dS S
S
q 4 0 r
2
2
r0 dS
q 4 0 r
2
dS
S
q 4 0 r
2
4r
r R时
e E1 dS
电通量
E 具有球对称
作高斯面——球面
E1 dS E1 4r 2
电量
qi 0
s1
用高斯定理求解 2 E1 4r 0 E1 0
+ R r + + + + + +
+
+ +
+ q + + + + +
E
r R时
4、高斯定理的意义 ⑴ 反映了静电场是有源场 ⑵ 在电荷分布具有特殊对称性时，可利用高 斯定理求解场强分布
5、理解上的注意点 ⑴ E、q、φe是三个不同的物理量 ⑵ E与φe的关系为φe＝∮E· dS ⑶ q与φe的关系为φe＝∑q/ε0 ⑷ φe＝0只说明Σq内＝0
静电场中的高斯定理
静电场中的高斯定理：高斯定理是静电学中的一个重要定理, 它反映了静电场的一个基本性质, 即静电场是有源场, 其源即是电荷。
可表述为: 在静电场中, 通过任意闭合曲面的电通量, 等于该闭合曲面所包围的电荷的代数和的1/ε倍, 与闭合曲面外的电荷无关。
表达式为01()1/n i i S E ds q φε==∙=∑⎰⎰ （1）高斯定理是用来求场强E 分布, 定理中, S 是任意曲面, 由于数学水平的限制, 要由高斯定理计算出E,则对由场的分布有一定的要求, 即电荷分布具有严格的对称性( 若电荷分布不对称性即不是均匀的, 引起电场分布不对称, 不能从高斯定理求空间场强分布,高斯定理当然仍是成立的) , 由于电荷分布的对称性导致场强分布的对称性, 场强分布的对称性应包括大小和方向两个方面。
典型情况有三种:1) 球对称性, 如点电荷, 均匀带电球面或球体等;2) 轴对称性, 如无限长均匀带电直线, 无限长均匀带电圆柱或圆柱面, 无限长均匀带电同轴圆柱面3) 面对称性, 如均匀带电无限大平面或平板,或者若干均匀带电无限大平行平面。
根据高斯定理计算场强时, 必须先根据电荷分布的对称性, 分析场强分布的对称性; 再适当选取无厚度的几何面作为高斯面。
选取的原则是:○1 待求场强的场点必须在高斯面上;○2 使高斯面的各个部分或者与E 垂直, 或者E 平行;○3 与E 垂直的那部分高斯面上各点的场强应相等;○4 高斯面的形状应是最简单的几何面。
最后由高斯定理求出场强。
高斯定理说明的是通过闭合曲面的电通量与闭合曲面所包围的所有电荷的代数和之间的关系, 即闭合曲面的总场强E 的电通量只与曲面所包围的电荷有关, 但与曲面内电荷的分布无关。
但闭合曲面上的电场强度却是与曲面内外所有电荷相联系的,是共同激发的结果。
下面举一些例子来说静电场中高定理的应用：例1：一半径为R 的带电球体，其电荷体密度分布为()Ar r R ρ=≤，0()r R ρ=>，A 为大于零的常量。
静电场的高斯定理公式及意义
静电场的高斯定理公式及意义静电场的高斯定理是电磁学中的一个重要定理，它描述了电场在闭合曲面上的通量与该曲面内电荷的关系。
高斯定理的公式为：∮E · dA = 1/ε₀ · ∮ρdV.其中，∮E · dA表示电场E在闭合曲面上的通量，ε₀是真空介电常数，∮ρdV表示闭合曲面内的电荷量。
高斯定理的意义在于，它提供了一种便捷的方法来计算电场的分布。
通过选择合适的闭合曲面，我们可以利用高斯定理将复杂的电场问题转化为简单的积分计算。
这样，我们可以更加方便地研究电场的性质和行为。
高斯定理的应用非常广泛。
以下是一些高斯定理的重要应用：1. 计算均匀带电球面的电场，通过选择一个以球心为中心的球面作为闭合曲面，利用高斯定理可以证明，均匀带电球面内部的电场强度与球心的距离无关，只与球面上的电荷量有关。
2. 判断闭合曲面内部电荷分布，通过计算闭合曲面上的电场通量，可以得知该曲面内部的电荷分布情况。
如果通量为零，则说明闭合曲面内部没有电荷；如果通量不为零，则说明闭合曲面内部存在电荷。
3. 计算导体表面的电场，对于导体表面，电场在导体内部是零，只存在于导体表面。
通过选择一个以导体表面为闭合曲面，利用高斯定理可以计算出导体表面上的电场强度。
4. 判断电荷分布的对称性，高斯定理常常用于判断电荷分布的对称性。
如果电荷分布具有某种对称性（如球对称、柱对称、平面对称等），则可以选择相应的闭合曲面，从而简化计算。
总结来说，高斯定理是电磁学中非常重要的工具，它通过将电场与电荷的关系转化为积分计算，方便了对电场分布的研究和分析。
通过选择合适的闭合曲面，我们可以利用高斯定理解决各种电场问题，从而深入理解电场的性质和行为。