相似三角形-模型分析与典型例题讲解大全

第一部分 相似三角形模型分析大全一、相似三角形判定的基本模型认识（一）A 字型、反A 字型（斜A 字型）ABCD ECB A DE（平行）（不平行）（二）8字型、反8字型（蝴蝶型）（平行） （不平行） （三）母子型DBD垂直 不垂直 （四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（五）一线三直角型： （六）双垂型：CAD二、相似三角形判定的变化模型旋转型：由A 字型旋转得到。

8字型拓展 CB EDA共享性GABCEF一线三等角的变形一线三直角的变形第二部分相似三角形典型例题讲解母子型相似三角形例1：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，BE∥CD交CA延长线于E．求证：OEOAOC⋅=2．例2：已知：如图，△ABC中，点E在中线AD上,ABCDEB∠=∠．求证：（1）DADEDB⋅=2；（2）DACDCE∠=∠．例3：已知：如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，CG∥AB，BG分别交AD、AC于E、F．求证：EGEFBE⋅=2．相关练习：1、如图，已知AD为△ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线．求证：FCFBFD⋅=2．2、已知：AD是Rt△ABC中∠A的平分线，∠C=90°，EF是AD的垂直平分线交AD于M，EF、BC的延长线交于一点N。

求证：(1)△AME∽△NMD; (2)ND2=NC·NBDEB3、已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC上一点，CF⊥BE于F。

求证：EB·DF=AE·DB4.在∆ABC中，AB=AC，高AD与BE交于H，EF BC⊥，垂足为F，延长AD到G，使DG=EF，M是AH的中点。

求证：∠=︒GBM90GMFEHDCBA5．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=4，P是斜边AB上的一个动点，PD⊥AB，交边AC于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线DC上一点，且∠EPD=∠A．设A、P两点的距离为x，△BEP的面积为y．（1）求证：AE=2PE；（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积．双垂型1、如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CE分别是AC、AB上的高，求证：（1）△ABD∽△ACE；（2）△ADE ∽△ABC；(3)BC=2ED2、如图，已知锐角△ABC ，AD 、CE 分别是BC 、AB 边上的高，△ABC 和△BDE 的面积分别是27和3，DE=62，求：点B 到直线AC 的距离。

C共享型相似三角形1、△ABC 是等边三角形,D 、B 、C 、E 在一条直线上,∠DAE=︒120，已知BD=1，CE=3，,求等边三角形的边长.2、已知：如图，在Rt △ABC 中，AB =AC ，∠DAE =45°．求证：（1）△ABE ∽△ACD ；（2）CD BE BC ⋅=22．一线三等角型相似三角形例1：如图，等边△ABC 中，边长为6，D 是BC 上动点，∠EDF =60° （1）求证：△BDE ∽△CFD （2）当BD =1，FC =3时，求BE例2：（1）在ABC ∆中，5==AC AB ，8=BC ，点P 、Q 分别在射线CB 、AC 上（点P 不与点C 、点B 重合），且保持ABC APQ ∠=∠.①若点P 在线段CB 上（如图），且6=BP ，求线段CQ 的长；②若x BP =，y CQ =，求y 与x 之间的函数关系式，并写出函数的定义域；（2）正方形ABCD 的边长为5（如下图），点P 、Q 分别在直．线．CB 、DC 上（点P 不与点C 、点B 重合），且保持︒=∠90APQ .当1=CQ 时，求出线段BP 的长.知在梯形ABCD 中，AD ∥例3：已BC ，AD ＜BC ，且AD ＝5，AB ＝DC ＝2．（1）如图8，P 为AD 上的一点，满BPC ＝∠A ．足∠求证；△ABP ∽△DPC①②求AP 的长．（2）如果点P 在AD 边上移动（点P 与点A 、D 不重合），且满足∠BPE ＝∠A ，PE 交直线BC 于点E ，同时交直线DC 于点Q ，那么①当点Q 在线段DC 的延长线上时，设AP ＝x ，CQ ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；②当CE ＝1时，写出AP 的长．CDB EFABC备用图ABCDABCDABCPQABC备用图ABCDCBA DCBA D例4：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，6AB CD BC===，3AD=．点M为边BC的中点，以M为顶点作EMF B∠=∠，射线ME交腰AB于点E，射线MF交腰CD于点F，联结EF．（1）求证：△MEF∽△BEM；（2）若△BEM是以BM为腰的等腰三角形，求EF的长；（3）若EF CD⊥，求BE的长．相关练习：1、如图，在△ABC中，8==ACAB，10=BC，D是BC边上的一个动点，点E在AC边上，且CADE∠=∠．(1) 求证：△ABD∽△DCE；(2) 如果xBD=，yAE=，求y与x的函数解析式，并写出自变量x的定义域；(3) 当点D是BC的中点时，试说明△ADE是什么三角形，并说明理由．2、如图，已知在△ABC中，AB=AC=6，BC=5，D是AB上一点，BD=2，E是BC上一动点，联结DE，并作DEF B∠=∠，射线EF交线段AC于F．（1）求证：△DBE∽△ECF；（2）当F是线段AC中点时，求线段BE的长；（3）联结DF，如果△DEF与△DBE相似，求FC的长．AB CDEFACD3、已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且BC =6，AB =DC =4，点E 是AB 的中点． （1）如图，P 为BC 上的一点，且BP =2．求证：△BEP ∽△CPD ； （2）如果点P 在BC 边上移动（点P 与点B 、C 不重合），且满足∠EPF =∠C ，PF 交直线CD 于点F ，同时交直线AD 于点M ，那么①当点F 在线段CD 的延长线上时，设BP =x ，DF =y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定域； ②当BEP DMF S S ∆∆=49时，求BP 的长．4、如图，已知边长为3的等边ABC ∆，点F 在边BC 上，1CF =，点E 是射线BA 上一动点，以线段EF 为边向右侧作等边EFG ∆，直线,EG FG 交直线AC 于点,M N ， （1）写出图中与BEF ∆相似的三角形； （2）证明其中一对三角形相似；（3）设,BE x MN y ==，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （4）若1AE =，试求GMN ∆的面积．一线三直角型相似三角形例1、已知矩形ABCD 中，CD=2，AD=3，点P 是AD 上的一个动点，且和点A,D 不重合，过点P 作CP PE ⊥，交边AB 于点E,设y AE x PD ==,，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围。

E DCBA（备用图）EDCBA P （第25题备用图E例2、在ABC ∆中，O BC AC C ,3,4,90===∠o是AB 上的一点，且52=AB AO ，点P 是AC 上的一个动点，OP PQ ⊥交线段BC 于点Q ，（不与点B,C 重合），设y CQ x AP ==,，试求y 关于x 的函数关系，并写出定义域。

B【练习1】在直角ABC ∆中，43tan ,5,90===∠B AB C o，点D 是BC 的中点，点E 是AB 边上的动点，DE DF ⊥交射线AC 于点F （1）、求AC 和BC 的长 （2）、当BC EF //时，求BE 的长。

（3）、连结EF,当DEF ∆和ABC ∆相似时，求BE 的长。

F CF CA【练习2】在直角三角形ABC 中，D BC AB C ,,90==∠o是AB 边上的一点，E 是在AC 边上的一个动点，（与A,C 不重合），DF DE DF ,⊥与射线BC 相交于点F. (1)、当点D 是边AB 的中点时，求证：DF DE =(2)、当m DBAD=，求DF DE 的值（3）、当21,6===DB AD BC AC ，设y BF x AE ==,,求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域90=︒，练习34=，DAC 是QPDC B AQPDCBA BC 边的中点，E 为AB 边上的一个动点，作90DEF ∠=︒，EF 交射线BC 于点F ．设BE x =，BED ∆的面积为y ．（1）求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）如果以B 、E 、F 为顶点的三角形与BED ∆相似，求BED ∆的面积.【 练习5】、（2009年黄浦一模25）如图,在梯形ABCD 中，CD AB , 34tan ,4,2===C AD AB ，P DAB ADC ,900=∠=∠是腰BC 上一个动点(不含点B 、C ),作AP PQ ⊥交CD 于点Q .(图1) (1)求BC 的长与梯形ABCD 的面积； (2)当DQ PQ =时,求BP 的长；(图2)(3)设y CQ x BP ==,,试求y 关于x 的函数解析式,并写出定义域.（图1） （图2）。