第7章 刚体的简单运动概要
第七章 刚体的简单运动
第7 章刚体的简单运动❒刚体的平行移动❒刚体绕定轴的转动❒转动刚体内各点和速度和加速度❒速度和加速度的矢量表示❒结论与讨论平移的实例平移的实例A Bo 1o 2特征：如果在物体内任取一直线，在运动过程中这条直线始终与它的最初位置平行，这种运动称为平行移动，简称平动或移动。
直线平动：如果刚体上各点的运动轨迹为直线曲线平动：如果刚体上各点的运动轨迹为曲线ABA 1B 1B 2B 3B 4A 2A 3A 4Or Ar BABA B +=r r 常矢量-AB ★刚体平动时，其上各点的轨迹的形状完全一样。
A B v v =AB a a =★刚体平动时，其上各点的轨迹的形状相同；在每一瞬时，各点的速度相同，加速度也相同。
刚体的平动可归结为研究刚体内任一点的运动。
例题1已知：OA ＝l ；ϕ＝ωt 求：T 型杆的速度和加速度ϕOABC解：T 型杆作平动，建立图示坐标系，取M 点为研究tl l x M ωϕsin sin ==tl dt dx v MM ωωcos ==tl dtdv a M M ωωsin 2-==xM已知：OA＝O1B＝l；O1A杆的角速度ω和角加速度α。
1求：C点的运动轨迹、速度和加速度。
解：板运动过程中，其上任意直线始终平行于它的初始位置。
因此，板作平移。
1、运动轨迹C点的运动轨迹与A、B两点的运动轨迹形状相同，即以O点为圆心l为半径的圆弧线。
2、速度v C = v A =v B = ωl3、加速度42ωα+=l 22)()(n CC A C a a a a +==τ22)()(n AA a a +=τ222)()(l l ωα+=已知：O 1A ＝O 1B ＝l ；O 1A 杆的角速度ω和角加速度α。
求：C 点的运动轨迹、速度和加速度。
A §7-2 刚体绕定轴的转动z三维定轴转动刚体ϕ特征：如刚体在运动时，其上有两点保持不动。
ϕ＝f (t )B刚体转动的运动方程刚体转动的角速度刚体转动的角加速度dtd ϕω=22dtd dt d ϕωα==讨论（1）匀速转动ω=常量ϕ＝ϕ0+ ωt30602n n ππω==（2）匀变速转动α=常量ϕαωωαωϕϕαωω221202200=-++=+=tt t§7-3 刚体内各点的速度和加速度M 0MORϕωS ＝R ϕωϕR dtd R dt dS v ===vR ——转动半径vOω★转动刚体内任一点的速度的大小，等于刚体的角速度与该点到轴线的垂直距离的乘积，它的方向沿圆周的切线而指向转动的一方。
第7章刚体的简单运动
B
vM
M
aM
r A
aMn
O
aMn = r = 0.2×12= 0.2 m/s2
2
vA
B
vM
M
aM
r
vA = vM = 0.2m/s aA = aM = - 0.4m/s
2
aMn
O
aA
A
vA
作业： 7－ 1，4 ，6 ，7
d d 2 2 dt dt
0 t 0 t 匀变速运动: 2 2 2 1 2 0 0 0 t t 2
二.解题步骤及注意问题
1.解题步骤:
①弄清题意,明确已知条件和所求的问题。 ②选好坐标系：直角坐标法，自然法。 ③根据已知条件进行微分，或积分运算。 对常见的特殊运动， ④用初始条件定积分常数。 可直接应用公式计算。 ２．注意问题： ①几何关系和运动方向。 ②求轨迹方程时要消去参数“t”。 ③坐标系（参考系）的选择。
第七章
刚体的简单运动
刚体运动的分类：
1、平行移动；
2、定轴转动；
3、平面运动；
4、定点运动；
5、一般运动。
§7-１刚体的平行移动(平动）
1 定义 刚体内任一直线在运动过程中始终平行于
初始位置，称为平动。
★
2
速度和加速度
rA rB BA
d rA d rB d BA dt dt dt
三.例题 [例1]列车在R=300m的曲线上匀变速行驶。轨道上曲线部分长
l=200m，当列车开始走上曲线时的速度v0=30km/h，而将要离开
曲线轨道时的速度是v1＝48km/h。 求列车走上曲线与将要离开曲线时的加速度？
(7)刚体的简单运动
ϕ
ϕ = ϕ(t )
转动.exe
A B
dϕ & 角速度 ω = =ϕ dt
dω d 2 ϕ && 角加速度 α = = 2 =ϕ dt dt
注意它们都是代数量. 同号, 注意它们都是代数量 如果 ω 与 α 同号 转动是加速 异号, 则转动是减速的. 的; 如果 ω 与 α 异号 则转动是减速的
§7 – 3 转动刚体内各点的速度和加速度分布
Q 磁带不可伸长 ∴ ω 1 r1 = ω 2 r2
r1 ω 2 = ω1 r2
& & r1 r2 − r2 r1 α2 = ⋅ ω1 2 r2
O1 A
r1
O2 B
r2
ω1
ω2
又 ,由题意可得 θ θ r1 = r10 + 1 b r2 = r20 − 2 b 2π 2π b b br & & r1 = ω1 r2 = − ω 2 = − 1 ω1 2π 2π 2πr2 ∴ 最后可得
B
r A = r B + r BA (1)
为运动的参考点, 取O为运动的参考点 有: 为运动的参考点
∴ r A (t ) , r B (t ) 属于同一函数族 , 表示同一族曲线 .
故 A 点和 B 点描绘的曲线的形状相 同.
式两边同时对t 将 ( 1 ) 式两边同时对 求导 :
dr A drB , = dt dt
第七章
刚体的简单运动
平动和转动. 本章将研究刚体的两种最基本的运动 ——— 平动和转动 注 意这两种运动在概念上的独立性和不相容性, 意这两种运动在概念上的独立性和不相容性 以及实现这两种 的约束条件. 运动 的约束条件
理论力学第七章刚体的简单运动
解：1） aτ = α R = a M ⋅ sin θ a M sin θ 40 × sin 30° ∴α = = = 50 rad/s 2 0.4 R 1 Q ω 0 = 0 ,∴ ϕ = ω 0 t + α t 2 = 25 t 2 2
转动方程 = 25t 2 ϕ ∴
& Q 2） ω = ϕ = 50 t ∴ v M = Rω = 20 t = 100 m / s
逆时针为正
顺时针为负
dω d 2ϕ & = = ϕ& = f ′′(t ) (代数量) α= 2 dt dt 角加速度表征角速度变化的快慢。单位:rad/s 角加速度表征角速度变化的快慢。单位:rad/s2
同号，则是加速转动； 如果ω与α同号，则是加速转动； 异号，则是减速转动。 如果ω与α异号，则是减速转动。
⇒ ω 1 R1 = ω 2 R2 ⇒ ω 1 = R2 ω2 R1
齿轮传动比： 齿轮传动比： ——主动轮和从动轮的角速度的比值。 主动轮和从动轮的角速度的比值。
i 12 R2 Z2 ω1 = = = ω2 R1 Z1
14
7-4
轮系的传动比
2.外啮合 2.外啮合
当各轮规定有正向时，角 当各轮规定有正向时， 取代数值， 速度ω 取代数值，传动比也 取代数值。 取代数值。
第七章 刚体的简单运动
7-1 刚体的平行移动 刚体有两种简单的运动： 1 刚体有两种简单的运动： ）刚体的平行移动 2）刚体的定轴转动 一.刚体平动的定义: 刚体平动的定义: 刚体内任一直线，在运动过程中始终平 刚体内任一直线， 行于初始位置。 行于初始位置。 当刚体平行移动时，其上各点的轨迹形状相同； 当刚体平行移动时，其上各点的轨迹形状相同； 在每一瞬时，各点的速度相同，加速度也相同。 在每一瞬时，各点的速度相同，加速度也相同。
第7章 刚体的简单运动
自然法
2．点的速度
s R
v ds R d R
dt dt
v 指向为刚体转动的方向或与 ω 的转动方向一致。
刚体绕定轴转动 （逆时针为正）
刚体绕定轴转动
2．点的加速度
s R （逆时针为正）
切向加速度
a
dv dt
R d
dt
R
aτ 指向沿轨迹的切线与α 的转
动方向一致。
点M的全加速度大小。
解： M点的速度为
vM
vM
vA
dx dt
10t
m/s
M点的加速度为
aMt aMt
aMn
vM2 R
aA 200t 2
d2x dt 2 m/s2
10
m/s2
aM
aMt
2
aMn
2
10
1 400t 4
m/s2
三、轮系的传动比
刚体绕定轴转动
齿轮系
带轮系
刚体绕定轴转动
同一瞬时荡木上各点的速度、加速 度相等 vM vA aM aA
点A绕圆心O1，作半径为 l 的圆弧 运动
自然法： 假设弧坐标s向右为正，
s
l
l0
sin
4
t
刚体的平行移动
运动方程：
s
l
l0
sin
4
t
任一瞬时t， v ds l0 cos t
dt 4 4
， 0 sin t 4aΒιβλιοθήκη dv dt2l0 16
解： d 1681t 2 rad/s dt 162t rad/s2 4 0 时，即 16 81t2 0 时，解得 t 9 s 此时刚体改变转向。容易算得：在此之前，ω>0，刚体 逆时针转动；在此之后，ω<0，刚体顺时针转动。
07 刚体的简单运动
v
M点的切向加速度 M点的法向加速度
B
dv at = = a. dt
2 2as + v0 an = = ρ R
v2
M点的总加速度 s
A
2 a = at2 + an =178 m/ s2
23
例题
刚体的基本运动
例 题 5
如图a 如图a，b分别表示一对外
O1 Ⅰ （a） O2 Ⅱ
啮合和内啮合的圆柱齿轮。 啮合和内啮合的圆柱齿轮。已 知齿轮Ⅰ 的角速度是ω 知齿轮 Ⅰ 的角速度是 ω1 ， 角 加速度是α 试求齿轮Ⅱ 加速度是 α1， 试求齿轮 Ⅱ的角 速度ω 和角加速度α 速度ω2和角加速度α2 ，齿轮Ⅰ 齿轮Ⅰ 和Ⅱ的节圆半径分别是R1和R2， 的节圆半径分别是R 齿数分别是z 齿数分别是z1和z2。
π sA = lϕ = lϕ0 sin t 4
dv π2 π = − lϕ0 sin t at = dt 16 4
ds π π vA = = lϕ0 cos t dt 4 4
v2 π2 2 2 π an = = lϕ0 cos t l 16 4
6
例题
刚体的基本运动
例 题 1
O1 φ l A O
（+）
9
4.角加速度 4.角加速度
定义：刚体转动的角加速度等于角速度对时间的一次导数， 定义：刚体转动的角加速度等于角速度对时间的一次导数， 转角对时间的二次导数
dω d 2ϕ = 2 α= dt dt
物理意义： 物理意义：说明了角速度变化的快慢 如ω 、α 同号 如ω 、α 异号 刚体作加速转动 刚体作减速转动
11
例题
刚体的基本运动
例 题 2
导杆机构如图所示。 已知曲柄OA 导杆机构如图所示 。 已知曲柄 OA 以匀角速度ω 以匀角速度 ω 绕 O轴转动 ， 其转动方程 轴转动， φ=ωt，通过滑块带动摇杆O1B绕O1轴摆 ωt，通过滑块带动摇杆O OA= 求摇杆O 动 。 设 OA=r ， OO1=l=2r ， 求摇杆 O1B 的转动方程。 的转动方程。 假设任意时刻， 解：假设任意时刻，机构处于图示 位置，由几何关系可知： 位置，由几何关系可知： AD O E OO1 −OE tanθ = = 1 = O D AE AE 1
7、第七章刚体的基本运动
vM a O α an
at M
因为物体 A 与轮缘上 M 点的 运动不同，前者作直线平移， 而后者随滑轮作圆周运动 ，因 此，两者的速度和加速度都不 完全相同。由于细绳不能伸长， 物体 A 与 M 点的速度大小相等， A 的加速度与 M 点切向加速度的 大小也相等，于是有
v A vM 0.36 m s－1
A
vM r 0.36 m s－1
加速度的两个分量
vM at
at r 0.36 m s
φ
M
－2
aM
O α
an r 0.648 m s
2
－2
an ω
总加速度 aM 的大小和方向
aM at an 0.741 m s－2
2 2
A
tan 2 0.556,
两式相除：
O
φ
a
tg 60 2 3 2 d 3 2 dt
d d dt d
d 3 2 d d 3d d 3d
0
0
3 2
0e
3
§7-4 轮系的传动比
ω1
ω2 r2
v r11 r22
传动比： ω1 r1
r1
v
r2 ω2
1 r2 i12 2 r1
1 R2 z2 i12 2 R1 z1
概念题 1)转动刚体的角加速度为正时，则刚体 （1）越转越快 （2）越转越慢 （3）不一定 2）两齿轮啮合时： 接触点的速度 （1）相等；（2）不相等；（3）不一定
d dt
t 0, 0 0 t
匀变速运动，ε=常数 d t 0, 0 0
第七章：刚体的简单运动
dt
M0
rr
ϕ
O
M
角速度表示刚体转动的快慢和方向，单位为弧度/ 秒（rad/s），是代数量。
角加速度
α
=
dω
dt
=
d 2ϕ
dt 2
角加速度表示角速度变化的快慢，单位为弧度/秒2
（rad/s2），是代数量。
§7-2 刚体绕定轴的转动
ω与α同号，转动加速
α ω
vr A = vr B
rrA
vrB
O
rrB B B1 B2
y
x
vr A = vr B
继续求导，则
dvrA = dvrB dt dt ar A = ar B
§７-１刚体的平行移动
z
A rrA
vrA A1 arvrAB
A2
O
rrB B arBB1 B2
y
x
当刚体平行移动时，其上各点的轨迹形状相同、在 每一瞬时，各点的速度和加速度相同。
角速度矢量
ωr
⎧⎪大 ⎪⎪⎨作
小 用
ωr
线
= 沿
ω
轴
= 线
dϕ
dt 滑动
矢
量
⎪
⎪
⎪⎩指 向 右 手 螺 旋 规 则
ωr = ωkr
角加速度矢量
αr
=
dωr
=
dω
r k
=
α
r k
dt dt
2 绕定轴转动刚体上M点的速度和加速度
vv = ωv × rv 速度
⎪⎧大小： ωv ⋅ rv sinθ = ωv R = vv
ω2 α2 +ω4
av
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第七章 刚体的简单运动在工程实际中，最常见的刚体运动有两种基本运动形式：平动和转动。
一些较为复杂的刚体运动，如车轮在直线轨道上的滚动等，都可以归结为这两种基本运动的组合。
因此，平动和转动是分析一般刚体运动的基础。
§7-1 刚体的平行移动平动是刚体最简单的一种运动。
例如，车刀的刀架，摆式输送机的料槽，以及沿直线轨道行驶的列车的车厢等，都是平动的实例。
这些刚体的运动具有一个共同的特点：运动时，刚体上任一直线始终与原来位置保持平行。
刚体的这种运动称为平行移动，简称为平动。
刚体作平动时，刚体上的点可以是直线运动(刀架)，也可以是曲线运动(送料槽)。
现在就一般情形，研究刚体内各点的运动轨迹，速度和加速度。
刚体作平动在刚体上任取一线段AB 。
该刚体的运动可由AB 在空间的位置确定。
为研究刚体内各点的运动，可以O 为参考点，向A 、B 两点分别引矢径r A 和r B ，则点A 和B 的运动方程分别为r A =r A (t), r B =r B (t)且二者之间有下列关系AB B A r r r += (*)由于刚体作平动，在运动中矢量AB 的大小和方向都不改变，所以AB 为一常矢量。
这说明：点A 和B 不仅运动轨迹形状相同，而且运动规律也相同。
如上面的各例中，刀架上各点的轨迹是相互平行的直线；料槽上各点的轨迹都是半径等于AC 的圆弧。
将式(*)对时间t 取一阶和二阶导数，同时注意到常矢量AB 的导数等于零，于是有B A v v =B A a a =这说明：刚体内任意两点的速度、加速度相等。
综合以上分析，可得如下结论：(1) 刚体平动时，其上各点的轨迹形状相同；(2) 同一瞬时各点的速度彼此相等，各点的加速度也彼此相等。
因此，在研究刚体平动时，只要知道刚体上某一点的运动，就能知道所有点的运动。
所以，刚体的运动可归结为点的运动。
§7-2 刚体绕定轴的转动定轴转动是工程中常见的一种运动，如电动机的转子，机床中的胶带轮、齿轮以及飞轮等的运动，都是定轴转动的实例。
这些刚体的运动具有一个共同的特点：当刚体运动时，刚体内有一直线始终固定不动，而这条直线以外的各点则绕此直线作圆周运动，刚体的这种运动叫做绕定轴转动，简称转动。
保持不动的那条直线叫做转动轴。
一、转动方程一刚体绕固定轴z 转动。
为了确定刚体在转动过程中的位置，可先通过转轴z 作一固定平面I ，再通过转轴及刚体内任一点A 作一随刚体转动的平面Ⅱ。
这样，任一瞬时刚体的位置，可以用动平面Ⅱ与固定平面Ⅰ的夹角φ来确定。
φ角称为转角。
当刚体转动时，φ随时间不断变化，是时间t 的连续函数，即f(t)=ϕ上式称为刚体绕定轴转动的转动方程。
它表示了刚体的转动规律，用一个参变量φ就可以决定刚体的位置。
转角φ是代数量。
我们规定：从转轴z 的正端向负端看，逆时针转动为正，顺时针转动为负。
转角φ的单位是弧度(rad )。
二、角速度为了度量刚体转动的快慢和方向，引出角速度的概念。
转角φ对时间t 的一阶导数，叫做角速度，用ω表示。
则dtd ϕω= 角速度是代数量。
如果导数在某瞬时的值为正，表示ω的转向与转角φ正向一致，是逆时针转动；反之，如果在某瞬时的值为负，表示ω的转向与转角φ负向一致，是顺时针转动。
因此，角速度的正负号，决定了刚体的转动方向。
角速度的国际单位是弧度/秒(rad/s )。
工程上常用转速n (转/分)，来表示转动的快慢。
转速n 与角速度ω的换算关系为 30πωn =三、角加速度角速度对时间的一阶导数，称为角加速度，用α表示。
22dt d dt d ϕωα== 角加速度也是代数量。
如果导数d ω/dt 在某瞬时的值为正，表示α的转向与φ的正向一致，是逆时针方向；反之，如果导数d ω/dt 在某瞬时的值为负，表示α的转向与φ的负向一致，是顺时针方向。
当ω、α同号时，表示刚体作加速转动；ω、α异号时，表示刚体作减速转动。
角加速度的国际单位是弧度/秒2(rad/s 2)。
根据刚体的运动方程，很容易求得在任何瞬时的角速度和角加速度。
反之，如果知道刚体的角速度或角加速度，欲求刚体的转动方程，则应用积分计算。
积分中出现的积分常数，则由刚体的初始位置φO 和初角速度ωO 决定。
如果刚体的角速度不变，即ω=常量，这样的转动称为匀速转动。
则φ=φO+ωt式中φO是刚体在t=0时的转角。
如果刚体的角加速度不变，即α=常量，这样的转动称为匀变速转动。
则ω=ωO+αtφ=φO+ωO t+1/2αt2ω2=ωO2+2α(φ-φO)式中ωO是刚体在t=0时的角速度，φO为初始转角。
例1卷扬机的鼓轮绕固定轴O逆时针转动。
起动时转动方程为φ=t3(rad)，其中t以秒计。
试计算t=2s时鼓轮转过的圈数、角速度和角加速度。
解由于鼓轮的转动方程已知，可直接按公式求解。
将t=2s代入转动方程即得转角φ=23=8(rad)于是便可求得转过的圈数N=8/2π=1.27圈角速度和角加速度为ω= dφ/d t = 12 rad/sα= dω/d t = 12 rad/s2例2 已知飞轮的转速n=90r/min，当马达关掉后它作匀减速运动，经过t1=40s 后停止。
求这段时间内飞轮转过的圈数。
解由于飞轮作匀减速转动，故φ=ωO t+1/2αt2ω=ωO+αt式中ω为马达关掉以前飞轮的初角速度，即OωO=πn/30在时刻t=t1,飞轮停止转动，即ω1=0将这些数值代入式(b)得0=πn/30+αt1所以α=-πn/(30t1)令N表示在时间t1内飞轮转过的圈数，则在这段时间内飞轮转过的角度为φ1=2πN将α与φ1值代入2πN=πn/30t1-πn/60t1=πn/60t1因此N = nt1/120 = 30转例3 一半径r =0.2m的圆轮绕定轴O作逆时针转动，轮子的转动方程为 = –t2+4t,轮上绕一绳索，绳的下端吊一重物A，求t =1s时，轮缘上任一点M 和重物A的速度和加速度。
（13分）解： s r a d t dtd /242=+-==ϕω 2/2s rad dtd -==ωε s m r v /4.0==ω2/4.0s m r a a t A -===ε22/8.0s m r a n ==ω例4 摇杆机构如图，滑杆AB 以匀速v 向上运动，开始时φ=0 。
试求当φ=π/4时，摇杆OC 的角速度和角加速度。
解 由几何关系得L tg φ = vt于是 t Lv arctg =ϕ 则 L v t Lv L vdt d 2)(12=+==ϕω 222L v dt d -==ωα§7-3 转动刚体内各点的速度与加速度工程中，还常常需要知道转动刚体上某些点的速度与加速度。
因此，我们要研究刚体内各个点的速度和加速度与刚体的角速度和角加速度的关系。
一、速度首先分析转动刚体上各点的速度：刚体定轴转动时，刚体上所有点都将在垂直于转轴的平面内作圆周运动，圆心在轴线O 上，半径r 等于点到转动轴的距离，称为转动半径。
取MO 为弧坐标的原点，则点沿圆周的运动规律可表示为s = Rφ因此，M 点的速度为v =d s /d t =R ·ω上式表明：转动刚体上任意点的速度等于该点转动半径与刚体角速度的乘积，方向垂直于转动半径，指向与ω的转向一致。
为区别于角速度，转动刚体上的速度称为线速度。
二、加速度转动刚体上各点都作圆周运动，所以，由点的平面曲线运动可知，点的加速度包括切向加速度和法向加速度两部分，它们分别为a τ=d v /d t =d(rω)/d t =rd ω/dt=rαa n =v 2/ρ=(rω)2/r =rω2上式表明：转动刚体上任意点的切向加速度等于该点的转动半径和刚体角加速度的乘积，方向垂直于转动半径，指向与α的转向一致；法向加速度等于该点转动半径和刚体角速度平方的乘积，方向沿半径指向圆心O 。
点M 的全加速度的大小及方向为 4222ωατ+=+=R a a a ntgθ=aτ/a n=｜α｜/ω2式中，θ为全加速度与该点半径之间的夹角。
由于在每一瞬时，刚体的ω和α对于其上所有各点来说具有相同的数值，所以在每一瞬时，转动刚体内所有各点的切向加速度、法向加速度以及全加速度都与各点的转动半径成正比；转动刚体内所有各点的全加速度与转动半径的夹角θ都相同，即θ角与转动半径的大小无关。
例4 平板AB置于两个半径均为r =25cm的圆筒上，某瞬时，平板具有向右的匀加速度a A =0.5m/s2，同一瞬时，圆筒周边上一点的加速度a =3m/s2。
假设平板AB与圆筒间无滑动。
求该瞬时平板AB的速度v AB。
解aτ=0.5 m/s 2an=2.96 m/s2由a n= v2/r得v2= a n·r = 0.7395 v = 0.86 m/s§7—4 轮系的传动比一、齿轮传动定义齿轮的传动比12i 等于主动轮的角速度与从动轮角速度的比。
由式2211r ωr ω= 有122112r r ωωi == 由于齿轮啮合时齿距必须相等，而齿距等于齿轮节圆周长与齿轮齿数的比。
若设齿轮齿数分别为1z 、2z ，则有221122z r πz r π= 从而得12122112z z r r ωωi === 即齿轮传递时，两个齿轮角速度的比等于两个齿轮半径的反比，或等于两个齿轮齿数的反比。
二、皮带轮传动皮带轮传动，如图所示。
如不考虑皮带的厚度，并假设皮带与轮无相对滑动，设轮Ⅰ和轮Ⅱ的角速度分别为1ω、2ω，半径分别为1r 和2r ，有2211r ωr ω= 皮带轮的传动比12i 为122112r r ωωi == 即皮带轮的传递时，两个皮带轮角速度的比等于两个皮带轮半径的反比。
图6-12。