北京市清华附中2020-2021学年八年级期中线上测试数学试题

北京市清华附中2020-2021学年八年级期中线上测试数学试

题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．下列图形，①角；②两相交直线；③圆；④平行四边形，其中一定是轴对称图形的有（ ） A ．四个

B ．三个

C ．两个

D ．一个

2．2019年被称为中国的5G 元年，如果运用5G 技术下载一个4.8M 的短视频，大约只需要0.000096秒，将数字0.000096用科学计数法表示应为（ ） A ．40.9610-?

B ．39.610-?

C ．59.610-?

D ．69610-?

3 ） A ．4x <-

B ．4x ≤-

C ．4x ≥-

D ．4x >-

4．如图，在ABC ?中，AB AC =，分别以点A 点、B 为圆心，以大于

1

2

AB 长为半径画弧，两弧交点的连线交AC 于点D ，交AB 于点E ，连接BD ，若30A ∠=?，则

DBC ∠=（ ）

A ．15?

B ．30

C ．45?

D ．60?

5．疫情无情，人有情爱心捐款传真情，新型冠状病毒感染的肺炎疫情期间，某班同学积极参加献爱心活动，该班50名学生的捐款统计情况如表：

则他们捐款金额的平均数和中位数分别是（ ） A ．39，10

B ．39，30

C ．30.4，30

D ．30.4，10

6．如图，在ABC ?中，D 是BC 上一点，已知15AB =，12AD =，13AC =，

5CD =，

则BC 的长为（ ）

A ．14

B ．13

C ．12

D ．9

7．设计一个摸球游戏，先在一个不透明的小盒子中放入5个白球，如果希望从中任意摸出一个球，是白球的概率为

1

4

，那么应该向盒子中再放入多少个其他颜色的球（游戏用球除颜色外均相同）（ ） A ．5

B ．10

C ．15

D ．20

8．在ABCD 中，对角线AC 的垂直平分线交AD 于点E 连接CE ，若ABCD 的周长为30，则CDE ?的周长为（ ）

A ．25

B ．20

C ．15

D ．10

二、填空题

9．等腰三角形的一个内角是100?，则它的底角的度数为_________________. 10．若点(),3P a -在第四象限，且到原点的距离是5，则a =________．

11．如图，在ABC ?中，90C ∠=?，60BAC ADC ∠=∠=?，若4CD =，则BD =________．

12．如果分式

3

2

a --的值大于0，那么a 的取值范围是_______． 13．在ABCD 中，10AC =，6BD =，AD a =，那么a 的取值范围是_______．

14．清明节期间，初二某班同学租一辆面包车前去故宫游览，面包车的租金为600元，出发时又增加了5名同学，且租金不变，这样每个同学比原来少分摊了10元车费，若

设实际参加游览的同学，一共有x 人则可列分式方程________．

15．大成蔬菜公司以2.1元/千克的成本价购进10000kg 番茄，公司想知道番茄的损坏率，从所有随机抽取若干进行统计，部分结果如表：

估计这批番茄损坏的概率为______（精确到0.1），据此，若公司希望这批番茄能获得利润15000元，则销售时（去掉损坏的番茄）售价应至少定为______元/千克． 16．如图，在平行四边形ABCD 中，10AB =，6AD =，AC BC ⊥，则BD =______.

17．若关于x 的分式方程

1

101

ax x +-=-的解为正数，则a 的取值范围_______． 18．如图所示的网格是正方形网格，则ACB DCE ∠-∠=______?（点A 、B 、C 、D 、E 是网格线交点）

．

19．如图四边形ABCD 中，90A C ∠=∠=?，60ABC ∠=?，2AD =，5CD =，则

BD 的长为_______．

20．已知6x y +=，3xy =-且x y >

=_______．

三、解答题

21．如图，D 为ABC ?中BC 边上一点，AB CB =，AC AD =，21BAD ∠=?，求C ∠的度数．

22．计算：（1

1

01|1(2013)2-??--+ ???

（2

） 23．先化简，再求值：2

1a

1a 1a 2a 1

??-

÷ ?+++??

，其中a 1=-． 24．如图，在ABCD 中，F 是AB 上一点，G 是CD 上一点，满足AF CG =．

（1）求证：ADF CBG ???；

（2）分别延长BG 、AD 交于点E ，若45E ∠=?，60C ∠=°，求BGC ∠的度数． 25．为了从甲、乙两名选手中选拔一个参加射击比赛，现对他们进行一次测验，两个人在相同条件下各射靶10次，为了比较两人的成绩，制作了如下统计图表： 甲乙射击成绩统计表

甲乙射击成绩折线图

（1）请补全上述图表（请直接在统计表中填空和补全折线图）；

（2）如果规定成绩较稳定者胜出，则_____胜出，理由是____________________； （3）如果希望（2）中的另一名选手胜出，根据图表中的信息，应该制定怎样的评判规则？说明理由．

26．如图1，在ABC ?中，AB AC =，8AB =，6BC =，AN BC ⊥于N ，点M 是线段AN 上一动点，点D 与点M 在直线AC 两侧，AD AB ⊥，AD BC =，点E 在AC 边上，CE AM =，连接MD ，BE ，BM ．

（1）依题意，补全图形； （2）求证：MD BE =；

（3）请在图2中画出图形，确定点M 的位置，使得BM BE +有最小值，并直接写出

BM BE +的最小值为________．

27．小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：

23(1+=+，善于思考的小明利用完全平方公式进行了以下探索：

2223121(1+=+?=+．请你仿照小明的方法解决下列问题：

（1）(2

7a -=-，则a =______，b =_______；

（2）已知x 2442020x x +-的值；

（3）当12x ≤≤=_______．

28．在四边形ABCD 中，90A C ∠=∠=?．

（1）如图，若1AB =，AD =

，CD =，求BC 的长；

（2）如图，若BC CD =，连接AC ，求证：AC 平分DAB ∠；

（3）在（2）的条件下，若3AB =，5AD =，直接写出AC 的长度为________．

参考答案

1．B 【分析】

根据轴对称图形的概念判断即可． 【详解】

解：根据轴对称图形的定义可知：①②③一定是轴对称图形， 故选：B ． 【点睛】

本题考查了轴对称图形的识别，图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合． 2．C 【分析】

绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×

10?n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】

解：将数字0.000096用科学计数法表示为59.610-?， 故选：C ． 【点睛】

本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10?n ，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 3．C 【分析】

根据二次根式有意义，被开方数大于等于0，列不等式求解． 【详解】

x ＋4≥0， ∴4x ≥-， 故选：C ． 【点睛】

主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无

4．C

【分析】

根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠ABC，再根据线段垂直平分线的性质和等边对等角求出∠ABD即可得到结论．

【详解】

解：∵AB＝AC，∠A＝30°，

∴∠ABC＝∠C＝1

2

（180°?30°）＝75°，

由作图知，DE是线段AB的垂直平分线，

∴AD＝BD，

∴∠ABD＝∠A＝30°，

∴∠DBC＝∠ABC?∠ABD＝45°，

故选：C．

【点睛】

本题考查基本作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．

5．C

【分析】

根据加权平均数和中位数的求法计算即可．

【详解】

解：平均数为：56101730145081005

30.4

50

，

将数据从小到大排列后，第25、26名学生的捐款金额都是30元，

所以中位数为：3030

30

2

，

故选：C．

【点睛】

本题考查了求加权平均数和中位数，熟练掌握加权平均数、中位数的意义和求法是解题关键．6．A

【分析】

根据勾股定理的逆定理得出∠ADC＝90°，再根据勾股定理求出BD即可．

解：∵AC＝13，AD＝12，CD＝5，

∴AD2＋CD2＝AC2，

∴∠ADC＝90°，

∴∠ADB＝90°，

在Rt△ADB中，由勾股定理得：BD9

==，

∴BC＝BD＋CD＝9＋5＝14，

故选：A．

【点睛】

本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，能根据勾股定理的逆定理求出∠ADC＝90°是解此题的关键．

7．C

【分析】

设应该向盒子中再放入x个其他颜色的球，根据概率公式列出方程，解方程即可得到答案．【详解】

解：设应该向盒子中再放入x个其他颜色的球，

根据题意得：

51 54

x

，

解得：x＝15，

经检验，x＝15是原分式方程的解．

所以应该向盒子中再放入15个其他颜色的球，

故选：C．

【点睛】

此题考查了解分式方程，概率公式的应用．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．

8．C

【分析】

根据线段垂直平分线的性质可得AE＝CE，根据平行四边形的性质求出AD＋DC＝15即可得出答案．

【详解】

解：∵对角线AC 的垂直平分线交AD 于点E ， ∴AE ＝CE ，

∵?ABCD 的周长为30， ∴AD ＋DC ＝15，

∴△CDE 的周长＝DE ＋CE ＋CD ＝AE ＋DE ＋CD ＝AD ＋CD ＝15， 故选：C ． 【点睛】

此题考查线段垂直平分线的性质、平行四边形的性质，关键是根据线段垂直平分线的性质得出AE ＝CE ． 9．40? 【分析】

由于等腰三角形的一个内角为100°，这个角是顶角或底角不能确定，故应分两种情况进行讨论． 【详解】

①当这个角是顶角时，底角=（180°﹣100°）÷2=40°；

②当这个角是底角时，另一个底角为100°，因为100°+100°=200°，不符合三角形内角和定理，所以舍去． 故答案为：40°． 【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质，解答此类问题时往往用到三角形的内角和是180°这一隐藏条件． 10．4 【分析】

根据勾股定理求出a 的值，然后根据第四象限的点的坐标特征进行取舍． 【详解】

解：∵点P 到原点的距离是5， ∴a 2＋32＝52， ∴a ＝±

4， ∵点(),3P a -在第四象限，

故答案为：4． 【点睛】

本题考查了平面直角坐标系、勾股定理的运用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 11．8 【分析】

根据直角三角形两锐角互余求出∠CAD ＝30°，∠B ＝30°，进而可得∠BAD ＝∠B ＝30°，则AD ＝BD ，然后根据含30度角的直角三角形的性质求出AD 即可． 【详解】

解：∵90C ∠=?，60BAC ADC ∠=∠=?， ∴∠CAD ＝30°，∠B ＝30°， ∴∠BAD ＝30°， ∴∠BAD ＝∠B ， ∴AD ＝BD ， ∵4CD =， ∴AD ＝8， ∴BD ＝8， 故答案为：8． 【点睛】

本题考查了直角三角形两锐角互余，含30度角的直角三角形的性质，等角对等边，证明AD ＝BD 是解题的关键． 12．a ＜2 【分析】

根据分式的值的条件，可得不等式，解不等式可得答案． 【详解】 解：∵分式

3

2

a --的值大于0， ∴a?2＜0， 解得：a ＜2； 故答案为：a ＜2．

本题考查了分式的值，利用分式的值的条件得出不等式是解题关键． 13．2＜a ＜8 【分析】

由平行四边形的性质得出OA ＝5，OD ＝3，再由三角形的三边关系即可得出结果． 【详解】

解：∵四边形ABCD 是平行四边形，10AC =，6BD =， ∴OA ＝5，OD ＝3，

在△AOD 中，由三角形的三边关系得：5?3＜AD ＜5＋3，即2＜a ＜8， 故答案为：2＜a ＜8． 【点睛】

本题考查了平行四边形的性质和三角形的三边关系；熟练掌握平行四边形的性质，由三角形的三边关系得出结果是解决问题的关键． 14．

600600

105x x

-=- 【分析】

关键描述语是：“每个同学比原来少分摊了10元车费”；等量关系为：原有的同学每人分担的车费－实际每人分担的车费＝20；据此列出分式方程即可． 【详解】

解：设实际参加游览的同学一共有x 人，

由题意得：600600

105x x -=-， 故答案为：

600600

105x x

-=-． 【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到相应的等量关系是解决问题的关键． 15．0.1 113

30

【分析】

利用频率估计概率可求出这批番茄损坏的概率；根据概率计算出完好番茄的重量，设每千克番茄的销售价为x 元，根据“总利润＝每千克利润×完好番茄的重量”列方程解答．

解：根据表中番茄损坏的频率估计这批番茄损坏的概率为0.1，

所以估计在购进的10000kg 番茄中，完好番茄的重量为：()1000010.19000kg ?-=， 设每千克番茄的销售价为x 元， 由题意得：()15000 2.19000x =-?， 解得：113

30

x =

， 即销售时（去掉损坏的番茄）售价应至少定为113

30

元/千克， 故答案为：0.1，113

30

． 【点睛】

本题考查了利用频率估计概率，一元一次方程的应用，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率．

16．【分析】

根据平行四边形的性质可得AB=10，BC=AD=6，由BC ⊥AC ，根据勾股定理求得AC 的长，即可求得OA 长，再由勾股定理求得OB 的长，即可求得BD 的长． 【详解】

∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴BC=AD=6，OB=OD ，OA=OC ， ∵AC ⊥BC ，

∴，

∴OC=4，

∴

∴

故答案为： 【点睛】

本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理，熟练运用平行四边形的性质及勾股定理是解决本题的关键． 17．a ＜1且a ≠?1． 【分析】

先解分式方程，根据分式方程的解为正数得出关于a 的不等式，求出a 的取值范围，然后再根据有增根的情况进一步求解即可． 【详解】

解：分式方程去分母得：110ax x +-+=，

解得：2

1x a

=-， ∵关于x 的方程

1

101ax x +-=-的解为正数， ∴x ＞0，即

2

01a

>-， 解得：a ＜1，

当x?1＝0时，x ＝1是增根， ∴

2

11a

≠-，即a≠?1， ∴a ＜1且a≠?1， 故答案为：a ＜1且a≠?1． 【点睛】

本题主要考查了解分式方程及解不等式，注意不要忘记有增根的情况． 18．45 【分析】

如图作辅助线，证明△AHC 是等腰直角三角形，△AFH ≌△CDE ，得到∠HAC ＝45°，∠FAH ＝∠DCE ，然后根据平行线的性质求出∠FAC ＝∠ACB ，将∠ACB －∠DCE 转化为∠FAC －∠FAH ＝∠HAC 进行计算即可． 【详解】

解：如图所示作辅助线，点F 、H 均在格点上，设一小格为1，

由勾股定理得：AH ＝CH ＝CE =AC = ∴AH 2＋CH 2＝AC 2，

∴△AHC 是等腰直角三角形，∠HAC ＝45°，

又∵AF＝CD＝2，FH＝DE＝1，

∴△AFH≌△CDE，

∴∠FAH＝∠DCE，

∵AF∥BC，

∴∠FAC＝∠ACB，

∴∠ACB－∠DCE＝∠FAC－∠FAH＝∠HAC＝45°，

故答案为：45．

【点睛】

本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及平行线的性质等知识，通过作辅助线构造出等腰直角三角形和全等三角形是解题的关键．

19．

【分析】

延长AD、BC相交于点E，构造特殊直角△ABE，求出∠E＝30°，在Rt△CDE中，可得DE ＝2CD＝10，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理求出AB2，再在Rt△ABD中，利用勾股定理求斜边BD的长．

【详解】

解：延长AD、BC相交于点E，

∵∠A＝90°，∠ABC＝60°，

∴∠E ＝90°?60°＝30°， ∴AB ＝

1

2

BE ， 在Rt △DCE 中，∠E ＝30°，CD ＝5， ∴DE ＝2CD ＝10，

∴AE ＝AD ＋DE ＝2＋10＝12， 在Rt △ABE 中，AB 2＋AE 2＝BE 2， ∴AB 2＋122＝4AB 2， ∴AB 2＝48， 在Rt △ABD 中，BD 22484213AD ，

故答案为： 【点睛】

本题考查了勾股定理的应用，含30度角的直角三角形的性质，主要考查学生运用定理进行计算的能力，题目具有一定的代表性，难度适中． 20．4 【分析】

首先求出0x >，0y <，y x -=- 【详解】

解：∵6x y +=，3xy =-且x y >，

∴()()2

2

448y x x y xy -=+-=，0x >，0y <，

∴y x -=- ∴

11

43y x x y xy ?--==-=== -?， 故答案为：4． 【点睛】

此题主要考查了异分母分式的减法运算，二次根式的化简求值，正确掌握二次根式的性质是解题关键．

21．∠C＝67°

【分析】

设∠C＝α，根据AB＝CB，AC＝AD，即可得出∠BAC＝∠C＝α，∠ADC＝∠C＝α，求出∠CAD，在△ACD中根据三角形内角和定理即可得到∠C的度数．

【详解】

解：设∠C＝α，

∵AB＝CB，AC＝AD，

∴∠BAC＝∠C＝α，∠ADC＝∠C＝α，

∵∠BAD＝21°，

∴∠CAD＝α?21°，

在△ACD中，∠DAC＋∠ADC＋∠C＝180°，

∴α?21°＋α＋α＝180°，

∴α＝67°，

∴∠C＝67°．

【点睛】

本题考查的是等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，解答此类题目时往往要用到三角形内角和定理等隐含条件．

22．（1）（2）

【分析】

（1）先根据二次根式、绝对值、零指数幂和负整数指数幂的性质化简，然后再进行计算；（2）先化简各二次根式，然后合并同类二次根式即可．

【详解】

=-+=

解：（1）原式112

（2）原式==．

【点睛】

本题考查了实数的混合运算以及二次根式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．

23

【分析】

先根据整式混合运算的法则把原式进行化简，再把a 的值代入进行计算即可． 【详解】

解：原式=()

()2

2a 1a 11a a a 1a 1a 1a a 1++-÷=?=++++．

当a 1=时，原式11+=． 24．（1）见解析；（2）∠BGC ＝75°． 【分析】

（1）根据平行四边形的性质可得AD ＝CB ，∠A ＝∠C ，结合已知利用SAS 即可得证； （2）根据平行四边形的性质可得AD ∥BC ，求出∠E ＝∠GBC ＝45°，然后根据三角形内角和定理可得答案． 【详解】

解：（1）在ABCD 中，AD ＝CB ，∠A ＝∠C ， ∵AF CG =，

∴()ADF CBG SAS ???； （2）∵在ABCD 中，AD ∥BC ， ∴∠E ＝∠GBC ＝45°，

∴∠BGC ＝180°－∠GBC －∠C ＝180°－45°－60°＝75°． 【点睛】

本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定、平行线的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握基础知识是解题的关键．

25．（1）补全图表见解析；（2）甲，理由见解析；（3）可制定评判规则为：命中10环次数较多者胜出，理由见解析． 【分析】

（1）根据甲选手成绩的平均数可求出甲选手第8次命中的环数，即可补全折线图；然后根据平均数、中位数和方差的求法补全统计表； （2）根据方差的意义可得答案；

（3）可根据乙选手命中10环1次，甲选手没有命中10环来制定评判规则． 【详解】

解：（1）甲选手第8次命中的环数为：7×

10－（9＋6＋7+6＋5＋7＋7＋8＋9）＝6，

将甲选手的成绩从小到大排列为：5，6，6，6，7，7，7，8，9，9， 中间两次的环数分别为：7，7，故中位数为

77

72+=， 2

2

2

2

2

21=

57

67

377

387

97

2=1.610

S 甲，

乙选手成绩的平均数为：24687789910

=710

，

补全表格和折线图为：

（2）如果规定成绩较稳定者胜出，则甲胜出， 理由：因为甲的方差小于乙的方差， 所以甲的成绩比乙稳定，即甲胜出；

（3）可制定评判规则为：命中10环次数较多者胜出， 理由：因为乙选手命中10环1次，甲选手没有命中10环， 所以乙胜出． 【点睛】

本题考查了折线统计图，平均数、中位数、方差的意义与求法，能够从图表中得出有用信息是解题的关键．

26．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析，BM BE +的最小值为10． 【分析】

（1）根据题目要求作图即可；

（2）根据等腰三角形的性质和垂直的定义求出∠MAD ＝∠C ，利用SAS 证明△AMD ≌△CEB 即可得出结论；

（3）根据MD BE =，判断出当B 、M 、D 三点共线时，BM BE +的值最小，BD 的长即为BM BE +的最小值，作出图形，然后根据勾股定理求出BD 即可． 【详解】

解：（1）补全图形，如图1所示：

（2）∵AD ⊥AB ， ∴∠MAD ＋∠BAN ＝90°， ∵AB ＝AC ，AN ⊥BC ，

∴∠BAN ＝∠CAN ，∠CAN ＋∠C ＝90°， ∴∠MAD ＝∠C ， 又∵AD ＝BC ，AM ＝CE ， ∴△AMD ≌△CEB （SAS ）， ∴MD BE =；

（3）点M 位置如图2所示； 由（2）可知：△AMD ≌△CEB ， ∴MD ＝BE ，AD ＝BC ＝6， ∴=BM BE BM MD ++， ∵BM MD BD +≥，

∴当B 、M 、D 三点共线时，BM BE +的值最小，BD 的长即为BM BE +的最小值， ∵∠BAD ＝90°， ∴22228610BD

AB AD ，

即BM BE +的最小值为10．