高斯投影高斯投影正算公式
高斯平面直角坐标与大地坐标的相互转换——高斯投影的正算与反算.
昆明冶金高等专科学校测绘学院 （4）计算公式
3 2 2 2 4 ( 5 3 t 9 t ) y f f f f 2M f N f 2 4M f N 3 f tf 2 4 6 (6 1 9 0t f 4 5t f ) y 7 2 0M f N 5 f 1 1 2 2 3 l y (1 2t f f ) y 3 N f co s B f 6 N f co s B f 1 2 5 (5 2 8t 2 t4 2 2 f 24 f 6 f 8 f t f )y 5 1 2 0N f co s B f B Bf tf y2 tf
式中：
2 e 2 cos2 B
t 2 tan2 B l （L L0） X为B对应子午线弧长 N为卯酉圈曲率半径 20626 5
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2
高斯投影坐标反算公式
（1）高斯投影反算：
已知某点 x, y ，求该点 L, B ，即 x, y ( L, B) 的坐标变换。 （2）投影变换必须满足的条件
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二、高斯投影坐标正反算得实用公式及算例
1 高斯投影坐标正算公式 （1）高斯投影正算： 已知某点的 L, B ，求该点的 x, y ，即 （2）投影变换必须满足的条件： 中央子午线投影后为直线； 中央子午线投影后长度不变； 投影具有正形性质，即正形投影条件。 （3）投影过程 在椭球面上有对称于中央子午线的两点 P1 和 P2 ,它们的大地坐标 分别为 ( L1 , B1 )或（l1 , B1）及 （L2 , B2）或(l2 , B2 ) 式中 l 为椭球面上点的经 度与中央子午线 ( L0 ) 的经度差：l L L0 ,点在中央子午线之东, l 为正，在西则为负，则投影后的平面坐标一定为P1 ( x1 , y1 ) 和 P2 ( x 2 , y 2 ) 。
高斯投影坐标计算
B
d B dq
2
dX dq dq
c
(
cos B dV V dB
2
dB dq
sin B dB V dq
2
)
2
d B dq
2
cos B c ( tan B V
2 2
3
V
sin B cos B
)
N sin B cos B
同理得
d X dq
3
N cos B ( 1
3
3
2
0
l
L
L
0
高斯投影坐标正算的函数式：
x y
l 是以弧度为单位的经度差。
F B , l F B , l
1 2
一 高斯投影坐标正算公式计算
如图，椭球面上一点投影 到平面后为d点，椭球面上 该点的平行圈（B或q为一 常数）与中央子午线的交 点为e点，若将上式中的展 开点z0设为e处，则很据高 斯投影条件，中央子午线 的长度比m=1，且纵坐标x 等于从赤道起到该平行圈 间的子午线弧长X。此时 可以写出下列方程：
4 2
二、高斯投影坐标反算公式
最后得到坐标反算的公式为：
B B
f
2M
f
t
f
y N
f
2
t 24 M
2 f
f
f
f
N
4 f
3 f
5 3 t
6
2 f
2 f
9 f t
2
2 f
y
4
t
(整理)高斯投影坐标正反算公式
高斯投影坐标正反算公式未知2010-04-03 10:47:15 本站§高斯投影坐标正反算公式任何一种投影①坐标对应关系是最主要的；②如果是正形投影，除了满足正形投影的条件外（ C-R 偏微分方程），还有它本身的特殊条件。
1.1 高斯投影坐标正算公式： B, x,y高斯投影必须满足以下三个条件：①中央子午线投影后为直线；②中央子午线投影后长度不变；③投影具有正形性质，即正形投影条件。
由第一条件知中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央子午线，即 (8-10) 式中， x 为的偶函数， y 为的奇函数；，即，如展开为的级数，收敛。
（ 8-33 ）式中是待定系数，它们都是纬度 B 的函数。
由第三个条件知：(8-33) 式分别对和 q 求偏导数并代入上式(8-34)上两式两边相等，其必要充分条件是同次幂前的系数应相等，即(8-35)(8-35) 是一种递推公式，只要确定了就可依次确定其余各系数。
由第二条件知 : 位于中央子午线上的点，投影后的纵坐标 x 应等于投影前从赤道量至该点的子午线弧长 X ，即 (8-33) 式第一式中，当时有：(8-36)顾及 ( 对于中央子午线 )得：(8-37,38)(8-39)依次求得并代入 (8-33) 式，得到高斯投影正算公式(8-42)1.2 高斯投影坐标反算公式x,y B,投影方程：(8-43)满足以下三个条件：①x 坐标轴投影后为中央子午线是投影的对称轴；② x 坐标轴投影后长度不变；③投影具有正形性质，即正形投影条件。
高斯投影坐标反算公式推导要复杂些。
①由 x 求底点纬度 ( 垂足纬度 ), 对应的有底点处的等量纬度，求 x,y 与的关系式，仿照 (8-10) 式有，由于 y 和椭球半径相比较小 (1/16.37) ，可将展开为 y 的幂级数；又由于是对称投影， q必是 y 的偶函数，必是 y 的奇函数。
(8-45)是待定系数，它们都是 x 的函数 .由第三条件知：，， (8-21)(8-45) 式分别对 x 和 y 求偏导数并代入上式上式相等必要充分条件，是同次幂 y 前的系数相等，第二条件，当 y=0 时，点在中央子午线上，即 x=X ，对应的点称为底点，其纬度为底点纬度，也就是 x=X 时的子午线弧长所对应的纬度，设所对应的等量纬度为。
高斯平面直角坐标系
大地测量学基础
4.9 高斯平面直角坐标系 三、高斯投影坐标正反算公式
（4）反算公式
当l＜3.5°时，上式换算精度达0.0001″。 欲使换算精确至0.01″，可对上式简化成：
大测量学基础
4.9 高斯平面直角坐标系 三、高斯投影坐标正反算公式
平 时 作 业 用编程进行高斯投影正反算。 已知
B 51 3843.9023 L 111 0213.1360
大地测量学基础
4.9 高斯平面直角坐标系 三、高斯投影坐标正反算公式
即有：
在数学上，F1为 l 的偶函数，F2为 l 的奇函数。 因为在每带中，l/ρ˝不大，是一个微小量，可展成幂级 数。
m０，ｍ１，ｍ２，…，是待定系数，它们都是纬度B的函 数。
大地测量学基础
4.9 高斯平面直角坐标系 三、高斯投影坐标正反算公式
大地测量学基础
4.9 高斯平面 直角坐标系
大地测量学基础
4.9 高斯平面直角坐标系 三、高斯投影坐标正反算公式
三、高斯投影坐标正反算公式 1、高斯投影坐标正反算的定义 （1）高斯投影正算： 已知椭球面上某点的大地坐标B、L，求其 该点在高斯平面直角坐标系中的坐标x、y的工作 叫高斯投影正算。 （2）高斯投影反算： 已知椭球面上某点在高斯平面直角坐标系中 的坐标x、y，求其该点的大地坐标B、L的工作 叫高斯投影反算。
大地测量学基础
4.9 高斯平面直角坐标系 三、高斯投影坐标正反算公式
（3）反算公式推导思路： 和正算公式基本一样，也是根据高斯投影的3个条件来 推导的。 ①由对称条件，同样可得： 把B、l 展成y的幂级数，而φ1为y的偶函数， φ2为y的奇 函数。
式中 n ０ ，ｎ １ ，ｎ ２ … 是待定系数，它们都是纵坐标 x 的函数 ,与y无关。
第四章 7高斯投影坐标正反算
——正形投影的一般条件 ——高斯投影坐标正算 ——高斯投影坐标反算 ——高斯投影几何解释
提前在黑板上写出四个m2
上一讲应掌握的内容
1、地图(数学)投影：将椭球面上元素(包括坐标，方位和 距离)按一定的数学法则投影到可展平面上。 x F1 ( L, B) 坐标投影公式： y F2 ( L, B) 2、地图投影变形几个概念： 长度比，主方向，变形椭圆 3、四种投影变形： 长度变形，方向变形，角度变形，面积变形
x m0 m 2 l 2 m 4 l 4 y m1l m3 l 3 m5 l 5
分别对l 和q 求偏导数
2) 由第三个条件正形投影条件
y x x y 和 l q l q
dm0 dm2 2 dm4 4 2 4 m1 3m3 l 5m5 l dq dq l dq l 2m l 4m l 3 dm1 l dm3 l 3 ）
将各系数代入，略去高次项，得高斯投影坐标正算公式 精度为0.001m
xX N N sin B cos Bl 2 + sin B cos 3 B(5 - t 9 2 4 4 )l 4 + 2 24
N sin B cos 5 B(61 - 58t 2 t 4 )l 6 720
dl tan Adq
2 2 2 2 E ( dq ) 2 F tan A ( dq ) G tan A ( dq ) m2 2 2 2 r2 ( dq ) tan A ( dq )
E 2 F tan A G tan 2 A = r 2 sec 2 A E cos 2 A 2 F sin A cos A G sin 2 A = r2
高斯投影高斯投影正算公式
① 公式推导 a)级数展开
展开条件：经差 l 不大，在0～3.5°（0.061rad）
以内，展开后的形式（ l的幂级数 ） ：
xm0m1lm2l2m3l3m4l4..... yn0n1ln2l2n3l3n4l4......
由于展开点为P0（B， 0），则式中待定系数是等量 纬度q（或大地纬度B）的函数
纬线投影为平 行直线，经线 投影为与纬线 垂直而且间隔 相等的平行直 线，两经线间 的距离与相应 的经差成正比。
x f
y c
a dx Rd
b cd rd
dx c Rd r
dx c d cos
x
c
ln
tan
45
2
y c m c r
c=R切圆柱投影
如为椭 球呢？
② 高斯投影的几何概念高－斯等投角影横平切面椭圆柱投影
－
两带坐标重叠40km相
当于的经差22′。
3、高斯平面直角坐标系
Gauss Plane Rectangular Coordinate System
① 定义
x
纵坐标轴x：中央子午线的投
影线；
横坐标轴y：赤道的投影线；
o
y
原点o：中央子午线与赤道的
交点的投影点；
② 自然坐标与通用坐标
500km 中央子午线投影
④ UTM
长度比0.9996的选 择可以使6°带的 中央经线与边缘经 线的长度变形的绝 对值大致相等；
两条无长度变形的 割线的位置距中央 经线以东以西各 180km，相当于经 差约± 1°40′。
2、高斯投影的分带
Zone-dividing of Gauss Projection
1 高斯投影坐标正算公式
1 高斯投影坐标正算公式（1）高斯投影正算：已知椭球面上某点的大地坐标，求该点在高斯投影平面上的直角坐标，即的坐标变换。
（2）投影变换必须满足的条件中央子午线投影后为直线；中央子午线投影后长度不变；投影具有正形性质，即正形投影条件。
（3）投影过程在椭球面上有对称于中央子午线的两点和,它们的大地坐标分别为（）及（），式中为椭球面上点的经度与中央子午线的经度差：, 点在中央子午线之东, 为正，在西则为负，则投影后的平面坐标一定为和。
（4）计算公式当要求转换精度精确至0.OOlm时，用下式计算：2 高斯投影坐标反算公式（1）高斯投影反算：已知某点的高斯投影平面上直角坐标，求该点在椭球面上的大地坐标，即的坐标变换。
（2）投影变换必须满足的条件坐标轴投影成中央子午线，是投影的对称轴；轴上的长度投影保持不变；投影具有正形性质，即正形投影条件。
（3）投影过程根据计算纵坐标在椭球面上的投影的底点纬度，接着按计算（）及经差，最后得到、。
（4）计算公式当要求转换精度至时，可简化为下式：3高斯投影相邻带的坐标换算（1）产生换带的原因高斯投影为了限制高斯投影的长度变形，以中央子午线进行分带，把投影范围限制在中央子午线东、西两侧一定的范围内。
因而，使得统一的坐标系分割成各带的独立坐标系。
在工程应用中，往往要用到相邻带中的点坐标，有时工程测量中要求采用带、带或任意带，而国家控制点通常只有带坐标，这时就产生了带同带（或带、任意带）之间的相互坐标换算问题，如图所示：（2）应用高斯投影正、反算公式间接进行换带计算计算过程把椭球面上的大地坐标作为过渡坐标。
首先把某投影带（比如Ⅰ带）内有关点的平面坐标，利用高斯投影反算公式换算成椭球面上的大地坐标，进而得到；然后再由大地坐标，利用投影正算公式换算成相邻带的（第Ⅱ带）的平面坐标。
在这一步计算时，要根据第Ⅱ带的中央子午线来计算经差，亦即此时。
算例在中央子午线的Ⅰ带中，有某一点的平面直角坐标，，现要求计算该点在中央子午线的第Ⅱ带的平面直角坐标。
适用于电算的高斯投影计算公式
适用于电算的高斯投影计算公式1．高斯投影正算公式：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+++-++=64244222)5861(7201)495(24121m t t m t m Nt X x ηη ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++-+=522242322)5814185(1201)1(61m t t t m t m N y ηηη []52342)2(12)231(60180m t m m t -++++=ηηπγ 式中，x ，y 分别为高斯平面纵坐标与横坐标， γ为子午线收敛角，单位为度。
X 为子午线弧长，对于克氏椭球：B B B B B B X cos )sin 0039.0sin 6976.0sin 9238.133sin 7799.32005(8611.111134753+++-= 对于“IAG 75”椭球：B B B B B B X cos )sin 0039.0sin 6976.0sin 9602.133sin 8575.32009(0047.111134753+++-= 其余符号为：02222,180cos ,1,cos ',L L l l B m cN B e tgB t -==+=== πηη222'bb a e -=，称作第二偏心率；b ac 2=，称作极曲率半径。
0L 为中央子午线经度。
对于克氏椭球：90178271.6399698,1470067385254.0'2==c e 对于“IAG 75”椭球：65198801.6399596,1950067395018.0'2==c e 算出的横坐标y 应加上500公里，再在前冠以带号，才是常见的横坐标形式。
2．高斯投影反算公式：[]6424222222)459061(25.0)935(5.7901n t t n t t n t B B f f f f f f f f f +++-++-+-=ηηπη[]542322)24285(5.1)21(30180cos 1n t t n t n B l f f f f f +++++-=ηπ[]542322)352(12)1(60180n t t n t n t f f f f f +++-+-=ηπγ 式中，f B 为底点纬度，以度为单位。
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高斯－克吕格投影也称等角横切椭圆柱投 影，它可看作是等角圆柱投影（墨卡托投 影，1569）的一种，它由德国科学家高斯 处理三角测量成果时首先提出，后经克吕 格完善（1919） ，我国于1952年起正式采 用高斯－克吕格投影。
四个世纪以来，世界各国都用墨卡托投影作 为海图的数学基础。当代常用于较大比例尺 分幅海图或赤道附近的航空图。
《大地测量学基础》（FOUNDATION OF GEODESY）
高斯－克吕格投影 高斯平面坐标系与大地坐标系
的关系（1）
测绘学院一系大地测量教研室
上节课内容回顾
☺ 长度比？ m d s
dS
☺ 椭球面到平面的长度比在什么方 向取极值？
子午方向和卯酉方向 MNcosB
☺ 最大角度变形？ sin a b
② 分带的方法
1) 6°带划分 (n为带号 )
6°带中央子午线的经度计算公式 L0 6 n3
已知6°带中央子午线的经度反算带号
n
1 6
(L0
3
)
计算任意经度所在投影带的带号公式
nL的 整 数 商 （ 1有 余 数 时 ） 6
2、高斯投影的分带
Zone-dividing of Gauss Projection
② 分带的方法
2) 3°带划分 (n'为带号 )
3°带中央子午线的经度计算公式 L0 3 n
已知3°带中央子午线的经度反算带号 n L 0 3
计算任意经度所在投影带的带号公式 n L 1.5 1 3
③ UTM分带的方法
UTM的分带是从经度180°起向东每6°为一 带，即与国际百万分之一地形图的划分一致；
（135°02′30″）
南海南沙群岛的曾母 暗沙（3°52′）
2、高斯投影的分带
Zone-dividing of Gauss Projection
②分带的方法
N
第中
1 带央
首
子
子
午
午
线
线
赤道 0° 6° 12°
S
2、高斯投影的分带
Zone-dividing of Gauss Projection
n0 ?
m0 ?
n1
dm 0 dq
m1
dn0 dq
n0 m 1n2 12n ddm2 q1 m 3 m2 n124ddn q1 m 5...... m 0 n1n 3 13m ddmq2 2 n3 m3 m 134 ddnq2 n5......
n4
1 4
dm3 dq
m4
1 4
dn3 dq
2 ab
上节课内容回顾
长度比m与方向无关
☺ 正形投影的特点？ 但随点位的变化而变
☺ 什么是等量纬度？为什么引入？
dq M dB r
等量坐标可将椭球面划分 为无穷小的正方形
充分必要条件
x
x y
柯 西 － 黎
B B'
C
A
C'
AB ' AC ' BB ' CC ' y
q l x y l q
曼
微
n5
1 5
dm4 dq
......
m5
1 5
dn4 dq
......
1、高斯投影正算公式 (L，B ->x，y)
Direct Solution of Gauss Projection
① 公式推导
b)求待定系数 引入高斯投影的三个条件
B. 中央子午线投影后为纵坐标轴 即l=0时y=0。代入投影方程：
b)求待定系数 引入高斯投影的三个条件
B. 中央子午线投影后为纵坐标轴
投影方程简化为：
高斯投影在中央
xm0 m2l2 m4l4 ..... 子午线东西两侧
yn1ln3l3
n5l5
......
的投影是对称于 中央子午线的。
1、高斯投影正算公式 (L，B ->x，y)
Direct Solution of Gauss Projection
1、高斯－克吕格投影的概念
Concept of Gauss-Kruger Projection
2、高斯投影的分带
Zone-dividing of Gauss Projection
3、高斯平面直角坐标
Gauss Plane Rectangular Coordinate
1、高斯－克吕格投影的概念
Concept of Gauss-Kruger Projection
① 公式推导
x
投影方程
X F1 (B, L) Y F2 (B, L)
x
y
f1(q, l) f2 (q, l)
l
l 0 x X
求F1，F2，f1，f2的具体形式
y
P
P0
方法：级数展开，应用高斯投 X
x
影三个条件，待定系数法求解
o
y
展开点：底点P0（B， 0） 已知l，B，X，求x，y
1、高斯投影正算公式 (L，B ->x，y)
xm0m1lm2l2m3l3m4l4..... yn0n1ln2l2n3l3n4l4......
得 n 0 m 1 n 2 m 3 n 4 m 5 . .0 .
1、高斯投影正算公式 (L，B ->x，y)
Direct Solution of Gauss Projection
① 公式推导
② 分带的方法
3º带的中央子午线与6º带中央子午线及分带子午线重合
3、高斯平面直角坐标系
Gauss Plane Rectangular Coordinate
② 分带的方法
黑龙江省漠河镇以北的黑龙 江江心（53°31′10″）
新疆帕米尔高原乌兹 别里山口附近 （73°40′）
61°22′30″
黑龙江省抚远县乌苏 里江汇合处
Direct Solution of Gauss Projection
① 公式推导 a)级数展开
展开条件：经差 l 不大，在0～3.5°（0.061rad）
以内，展开后的形式（ l的幂级数 ） ：
xm0m1lm2l2m3l3m4l4..... yn0n1ln2l2n3l3n4l4......
由于展开点为P0（B， 0），则式中待定系数是等量 纬度q（或大地纬度B）的函数
原因：有效的控制长度变形
原则：从限制长度变形这个角度来考虑，分带
越多越好；为了减少换带计算及在换带计算 中引起的计算误差，则又要求分带不宜过多。 实际分带时，应当兼顾上述两方面的要求。
2、高斯投影的分带
Zone-dividing of Gauss Projection
实施：我国投影分带主要有六度带和三度带
④ UTM
长度比0.9996的选 择可以使6°带的 中央经线与边缘经 线的长度变形的绝 对值大致相等；
两条无长度变形的 割线的位置距中央 经线以东以西各 180km，相当于经 差约± 1°40′。
2、高斯投影的分带
Zone-dividing of Gauss Projection
① 分带的原因和原则
2、高斯投影的分带
Zone-dividing of Gauss Projection
④ 投影带的重迭－高斯投影
15′和30 ′ 分别相当于 1:5万和1:10 万图幅的经 幅；
UTM
2、高斯投影的分带
Zone-dividing of Gauss Projection
⑤ 投 影 带 投的 影重 迭
x(N)
赤道
yA
yA A
yB
B yB
xB
xA
O
yA136780m
yB 2724m 40
y(E)
yA(5 0 0 0 0 0 1 3 6 7 8 0 )m
20 63678m0
yB(500020702)m 44
20 22756m0
3、高斯平面直角坐标系
Gauss Plane Rectangular Coordinate
圆柱投影 Universal Transverse Mercator (UTM)
美国军事测绘局1938年提出，目前，美国、德 国等60多个国家以此投影作为国家基本地形图 的数学基础，由于各国采用的地球椭球体的不 同而存在差异，它的投影条件为：
1）正形条件；
2）中央子午线投影为一直线；
3）中央子午线投影后长度比等于0.9996。
q
dq M dB r
分
方
B
B'
q l AB ' AC ' x y
程
A
C
BB ' CC '
l
C'
l q x y
上节课内容回顾
x q
tan
l y
y l
l y
m
2
x l
2Hale Waihona Puke r2y l2
1
r
2
q y
2
l y
2
高斯－克吕格投影
Gauss-Kruger Projection
中
N
央
子
午 线
c 赤道
赤道
S
② 高斯投影的几何概念－等角横切椭圆柱投影
1、高斯－克吕格投影的概念
Concept of Gauss-Kruger Projection
③ 高斯投影的条件
1）正形条件；
2）中央子午线投影为一 直线；
3）中央子午线投影后长 度不变。
高斯投影平面
中
央
子
午
赤道
线
④ 通用横轴墨卡托投影－等角横割椭