7.1.2+弧度制+学案-苏教版高中数学必修第一册(wd无答案)
苏教版高中数学必修第一册7.1.2弧度制【授课课件】
类型 3 扇形的弧长及面积问题 【例 3】 已知扇形的周长为 8 cm． (1)若该扇形的圆心角为 2 rad，求该扇形的面积；
[解] 设扇形的半径为 r，弧长为 l，扇形面积为 S． 由题意得：2r＋l＝8，l＝2r， 解得 r＝2，l＝4，S＝12lr＝4．
7.1.2 弧度制
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必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
7.1.2 弧度制
知识点3
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必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
扇形的弧长公式及面积公式
(1)弧度制下的弧长公式：
如图，l是圆心角α所对的弧长，r是半径，则圆心角α的弧度数 l
的绝对值是|α|＝ r ，弧长l＝ |α|r ．特别地，当r＝1时，弧长l＝—
π rad＝_1_8_0_°__
1°＝1π80rad≈0.017 45 rad
1 rad＝
118800 ππ
度≈57.30°
7.1.2 弧度制
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必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系
角度
0° 1° 30° 45° 60°
(3)引入弧度制的意义 角的概念推广以后，在弧度制下，角的集合与弧度数的集合之间 建立起一一对应关系，即角的集合与实数集 R 之间建立起一一对应 关系：每一个角都对应唯一的一个实数；反过来，每一个实数也都对 应唯一的一个角．
7.1.2 弧度制
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高一数学必修4—1.1.2弧度制教案(一) 苏教版
§1.1.2 弧度制（一）学习目标：1.理解1弧度的角、弧度制的定义.2.掌握角度与弧度的换算公式并能熟练地进行角度与弧度的换算.3.熟记特殊角的弧度数学习重点：理解弧度的意义，正确地进行角度与弧度的换算.学习难点：弧度的概念及其与角度的关系.学习过程：一、自学质疑：（A）问题1 我们已经学习了“角的概念的推广”，请简述“角”的概念，并说明什么是“正角”、“负角”、“零角”.（A）问题2 度量角的大小第一种单位制—角度制的定义。
初中几何中研究过角的度量，当时是用度做单位来度量角，1°的角是如何定义的？初中我们是如何计算弧长的，其公式是怎么样的？（B）问题3 请研究30°、60°的圆心角，当半径r为1，2，3时，分别计算对应的弧长，再计算弧长与半径的比。
你可以得到什么结论？（B）问题 4 弧度的定义____________________________________________它的单位是rad 读作______，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做______．如下图，用弧度制表示其圆心角大小依次为______、_______、______、______、二、数学运用：1 把'3067化成弧度 2 把rad π53化成度3 用弧度制表示：1 终边在x 轴上的角的集合2 终边在y 轴上的角的集合3 终边在坐标轴上的角的集合三、巩固练习： 1．完成下表，并熟记.A.πππk 222+-和（ｋ∈Ｚ） B.－3π和322πC.－97π和911πD. 9122320ππ和3． (用弧度制表示)第一象限角的集合为 ，第一或第三象限角的集合为 . 4． 7弧度的角在第 象限，与7弧度角终边相同的最小正角为 . 5．圆弧长度等于截其圆的内接正三角形边长，则其圆心角的弧度数为 .6．已知集合Ａ＝｛α｜2ｋπ≤α≤π＋2ｋπ，ｋ∈Ｚ｝，B ＝｛α｜－4≤α≤4｝，求A ∩B .7．现在时针和分针都指向12点，试用弧度制表示15分钟后，时针和分针的夹角.。
高一数学弧度制学案 苏教版
高一数学弧度制学案教学目标： 1.理解弧度制的意义；2.能正确的应用弧度与角度之间的换算；3.记住公式||l rα=（l 为以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆半径）。
4．扇形面积公式及其应用，求扇形面积的最值。
教学重、难点：1.弧度与角度之间的换算。
2.弧长公式、扇形面积公式的应用。
教学过程：一．复习：初中时所学的角度制，是怎么规定1o 角的？二．新课讲解：1．弧度角的定义：规定：练习：圆的半径为r ，圆弧长为2r 、3r 、2r 的弧所对的圆心角分别为多少？说明：一个角的弧度由该角的大小来确定，与求比值时所取的圆的半径大小无关。
思考：什么π弧度角？一个周角的弧度是多少？一个平角、直角的弧度分别又是多少？2．弧度的推广及角的弧度数的计算：规定：说明：我们用弧度制表示角的时候，“弧度”或rad 经常省略，即只写一实数表示角的度量。
3．角度与弧度的换算3602π=o rad 180π=orad 1801π=︒rad 0.01745≈rad 1rad =︒)180(π5718'≈o例题分析：例1 把'3067︒化成弧度．例2 把35πrad 化成度。
例3 用弧度制分别表示轴线角、象限角的集合。
（1）终边落在x 轴的非正、非负半轴，y 轴的非正、非负半轴的角的集合。
（2）第一、二、三、四象限角的弧度表示。
例4 将下列各角化为2(02,)k k Z πααπ+≤<∈的形式，并判断其所在象限。
（1）193π； （2）315-o ； （3）1485-o ．4．在角度制下，弧长公式及扇形面积公式如何表示？圆的半径为r ，圆心角为n o 所对弧长为：扇形面积为 ：5．弧长公式：在弧度制下，弧长公式和扇形面积公式又如何表示？6．扇形面积公式：扇形面积公式为： oOA B说明：①弧度制下的公式要显得简洁的多了；②以上公式中的α必须为弧度单位．例5 （1）已知扇形OAB 的圆心角α为120o ，半径6r =，求弧长AB 及扇形面积。
7.1.2 高中必修三数学教案《弧度制及其与角度制的换算》
高中必修三数学教案《弧度制及其与角度制的换算》教材分析《弧度制及其与角度制的换算》是普通高中课程标准实验教科书人教版B 版必修三第七章第一单元第二节的内容。
本节课起着承上启下的作用——学生已经学习过的角的度量单位“度”，并且上节课学习了任意角的概念，学生已经掌握一些基本单位的转换方法，并能体会不同的单位制解决问题带来的方便；本节课还将为后续学习任意角的三角函数等知识做铺垫。
通过本节课的学习，我们很容易找出与角对应的实数，并且在弧度制下的弧长公式与扇形面积公式有了更为简单的形式。
另外，弧度制为学生今后学习三角函数带来很大的方便，同时，通过本节课的学习，学生可以认识到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者虽单位不同，但是是相互联系、辩证统一的。
学情分析1、认知基础对于在任意角的基础上进行单位转化，学生有一定的基础。
2、认知障碍充分理解本节课的意义，用实数表示角的大小。
教学目标1、理解任意角、弧度制的概念，能正确进行弧度与角度的互化。
2、会判断三角函数值的符号。
3、理解任意三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。
教学重点理解并掌握弧度制的定义，熟练地进行角度制与弧度制的互化。
教学难点理解弧度制的定义，运用弧度制。
教学方法讲授法、演示法、讨论法、练习法。
教学过程一、直接导入在日常生活以及学科中，一个量可用不同的标准来度量，从而也就有了不同的单位以及单位之间的换算。
例如，长度既可以用米、厘米来度量，也可以用尺、寸来度量；面积可以用平方米来度量，也可以用亩来度量。
类似地，角除了使用角度来度量外，还可以使用本小节我们要学习的弧度来度量。
二、学习新知1、弧度制使用角度来度量角时，是把圆周等分成360份，其中每一份所对应的圆心角为1度，这种用度作单位来度量角的制度称为角度制。
角度制还规定1度等于60分，1分等于60秒，即1°= 60’，1’ = 60’’使用角度来度量角，其关键是“等分”。
考虑到面积、体积等都可以通过线的长度来刻画，那么，能否用“测量长度”来代替“等分”，从而引进另外一种度量角的制度呢？如图7-1-7是一种折叠扇。
苏教版必修第一册7.1角与弧度(第2课时)课件
S=
(2)
l
证明: (1) | a | , ∴ l |a|R,
R
又a > 0, ∴ l a R.
(3)S=
1
(2) ∵1 弧度是周角的 ,
2p
∴1
R
l
(变态三解形)
1
弧度的扇形面积是圆面积的 2p .
pR 2 1
则 a 弧度的扇形面积为 S a
aR 2 .
度
弧
度
0
0
30 45 60 90
p
p
p
p
6
4
3
2
请记住这些特殊角的弧度数.
120
2p
3
135 150 180 270 360
3p
4
5p
6
p
3p
2
2p
数学应用
练. 用弧度数表示下列角的集合:
(1) 终边与90角的终边重合;
(2) 终边与直线 y x 重合.
p
解: (1) 90 ,
lr
2p
1
那么圆心角 a 是周角的 ,
2p
1
即a 2p 360 ≈5718. 1
rad.
我们把弧长等于半径的圆心角叫做 1 弧度的角.
用 rad 表示, 读作弧度.
情景引入
问题2. 1 周角有多少弧度? 1 弧度有多少度?
1 周角=2p 弧度.
1 弧度≈5718.
3602p rad,
解: 由a 得 a
r
120
1
1
2
又由 S lr 得 S 144 120 8640 (mm ).
7-1-2弧度制 课件-高一上学期数学苏教版(2019)必修第一册
情境导入
度量长度可以用米、英尺、码等不同的单位制，度量质量也可以用千克、磅等不同
的单位制.不同的单位制能给解决问题带来方便.角的度量是否也能用不同的单位制
呢？能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢.
我们知道，角可以用度为单位进行度量，1度的角等于周角的
.这种用度作为单
练习
题型三：扇形的弧长与面积公式
例6.已知扇形的周长为10，面积为42 ，求扇形圆心角的弧度数.
解：设扇形圆心角的弧度数为(0 < < 2)，弧长为 ，半径为 ，据题意
+ 2 = 10，
1
有：
解得1 = 1，2 = 4.
= 4.
2
当1 = 1时， = 8，此时， = 8 ，舍去.
当 =r时， =1rad
当 =2r时， =2rad
当 =3r时， =3rad
所以|| = .
新知探索
根据上述规定，在半径为的圆中，弧长为的弧所对的圆心角为 ，那么
|| = .
其中，的正负由角的终边的旋转方向决定，即逆时针旋转为正，顺时针旋转为
负.当角的终边旋转一周后继续旋转，就可以得到弧度数大于2或小于−2的角.
= (
)° ≈ . °
练习
例1.把下列角度与弧度进行互化.
12
(1)110°；(2)-32°；(3)−
；(4) ；(5)
5
7
解：(1)110° = 110 ×
(2)−32° = −32 ×
(3)−
(4)
7
12
5
7
=−
【新教材】高中数学苏教版必修第一册同步课件：7.1.2 弧度制
角度与弧度的互化
例1将下列角度数化为弧度数.
(1)11°15';
(2)252°.
π
π
解 (1)11°15'=11.25°=11.25×180 = 16.
π
7π
(2)252°=252×
= .
180
5
要点笔记“180°=π弧度”是进行“弧度数”与“角度数”换算的关键,在此基础
π
180
上可得 1°=
rad,1 rad=( )°.
180
π
变式训练1将下列弧度数化为角度数.
2π
(1) 5 ;
4π
(2)- .
3
2π
2π 180°
解 (1) 5 rad= 5 × π =72°.
4π
4π 180°
(2)- 3 rad=- 3 × π =-240°.
例2将下列各角化为2kπ+α(0≤α<2π,k∈Z)的情势,并判断其是第几象限角.
(方法 2)设再一次重合时,分针转过的弧度数为 α,则 α=12(α-2π)(再一次重合时,
24π
时针比分针少转了一周,且分针的旋转速度是时针的 12 倍),解得 α=
.
11
24π
故到分针与时针再一次重合时,分针转过的弧度数是 11 .
反思感悟 两种方法得出的结果相同,其解答过程都是正确的,只1
π
+
2 360
1
π
−
2 360
解析 设两个角的弧度数分别为 x,y.
π
因为 1°=
rad,
180
1
π
+ = 1,
= 2 + 360 ,
20-21版：7.1.2 弧度制及其与角度制的换算（步步高）
反思 感悟
扇形的弧长和面积的求解策略 (1)记公式：弧度制下扇形的面积公式是S＝12 lR＝12 αR2(其中l是扇形的 弧长，R是扇形的半径，α是扇形圆心角的弧度数，0<α<2π). (2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问 题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公 式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解.
180
弧度化角度 2π rad＝_3_6_0_°_ π rad＝_1_8_0_°_ 1 rad＝ 1π80°≈57.30° 弧度数× 1π80°＝角度数
知识点三 弧度制下的弧长与扇形面积公式
设扇形的半径为r，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则
(1)弧长公式：l＝ αr .
(2)扇形面积公式：S＝
跟踪训练2 (1)已知α＝15°，β＝ π，r＝1，θ＝105°，φ＝7π，则α，β，r，θ，
10
12
φ的大小关系为_α_<__β_<_r<__θ_＝__φ_.
解析 ∵β＝1π0×1π80°＝18°，r＝1×1π80°＝1π80°， φ＝71π2×1π80°＝105°，∴α&l如图所示，则终边在阴影部分内的角的集合为(用弧度制表示) __α_－__6π_＋__2_k_π_≤__α_≤__π3_＋__2_k_π_，__k_∈__Z_____.
B.大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大 C.所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等 D.用弧度表示的角都是正角
解析 对于A，根据弧度的定义知，“1弧度的圆心角所对的弧长等于半径”， 故A正确； 对于B，大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等，故B错误； 对于C，不在同圆或等圆中，1弧度的圆心角所对的弧长是不相等的，故C错误； 对于D，用弧度表示的角也可以不是正角，故D错误.
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7.1.2+弧度制+学案-苏教版高中数学必修第一册
一、填空题
(★★) 1. 下列命题正确的是____________(填序号).
①－30°是第一象限角；
②750°是第四象限角；
③终边相同的角一定相等；
④－950°12′是第二象限的角.
(★★) 2. 角所在象限是____________.
(★) 3. 与405°角终边相同的角的集合是____________.
(★★) 4. 在－180°到360°范围内，与2000°角终边相同的角为____________.
二、解答题
(★) 5. 将下列角度与弧度进行互化.
（1）20°；（2）－15°；（3）（4）－.
(★★) 6. 把下列各角化成2 kπ＋α(0≤ α<2 π，k∈ Z)的形式，并指出是第几象限角. （1）－1500°；
（2）；
（3）－4.
(★★) 7. 把－1480°写成α＋2 kπ( k∈ Z)的形式，其中0≤ α≤2 π；
(★★) 8. 在[0°，720°]内找出与角终边相同的角.
(★★) 9. 一扇形的面积为1，周长为4，求圆心弧度数．
(★★) 10. 已知扇形 AOB的圆心角α为，半径长 R为6，求：
（1）弧 AB的长；
（2）扇形所含弓形的面积.
三、单选题
(★★) 11. 若扇形的中心角为，半径为，则此扇形的面积为（）A．B．C．D．
(★★) 12. 如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心角所对的弧长为（）A．2C．
B．D．(★★) 13. 下列命题中，正确的是( )
A．1弧度是1度的圆心角所对的弧
B．1弧度是长度为半径长的弧
C．1弧度是1度的弧与1度的角之和
D．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角
(★) 14. 把化为角度是( )
A．270°B．280°C．288°D．318°(★) 15. 若θ＝－5，则角θ的终边在（）
A．第四象限B．第三象限
C．第二象限D．第一象限
(★★) 16. 已知半径为1的扇形面积为，则扇形的圆心角为（）A．B．C．D．。