D33泰勒高等数学同济大学第六版上册
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同济大学数学系《高等数学》(第6版)上册笔记和课后习题(含考研真题)详解-微分中值定理与导数的应用(
。
在带有佩亚诺型余项的泰勒公式中，如果取 x0＝0，则有带有佩亚诺型余项的麦克劳林 公式：
。 如 果 存 在 正 实数 M 使得 区 间 （ -r， r ） 里 的任意 x 都 有
，如果当 n 趋向于无穷大时，
，则
，那么 。
可得近似公式：
。
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四、函数的单调性 微分中值定理，强调了函数值与导数之间的关系。这部分主要介绍如何通过函数的导数 来判定函数的单调性或凹凸性等性质。 1．单调性的判定 【定理】设函数 y＝f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导。 （1）如果在（a，b）内 f＇（x）＞0，那么函数 y＝f（x）在[a，b]上单调增加； （2）如果在（a，b）内 f＇（x）＜0，那么函数 y＝f（x）在[a，b]上单调减少； 如果把这个判定法中的闭区间换成其他各种区间（包括无穷区间），那么结论也成立。 这是函数单调性判定的一个最基本也是最重要的法则。
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那么在（a，b）内至少有一点 ε，使等式
成立。
拉格朗日中值公式是柯西中值公式的特殊形式。
二、洛必达法则 洛必达法则在求函数极限过程中，有重要作用，在考研试题中也经常出现。一般，洛必 达法则针对 或 形式的极限公式。下面我们主要介绍相关定理及引入一些例题，方便读 者更进一步理解洛必达法则的应用。 1．x→a 【定理】设 （1）当 x→a 时，函数 f（x）及 F（x）都趋于零； （2）在点 a 的某去心邻域内，f＇（x）及 F＇（x）都存在且 F＇（x）≠0；
（3）Biblioteka 存在（或为无穷大），那么
。
在带有佩亚诺型余项的泰勒公式中，如果取 x0＝0，则有带有佩亚诺型余项的麦克劳林 公式：
。 如 果 存 在 正 实数 M 使得 区 间 （ -r， r ） 里 的任意 x 都 有
，如果当 n 趋向于无穷大时，
，则
，那么 。
可得近似公式：
。
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四、函数的单调性 微分中值定理，强调了函数值与导数之间的关系。这部分主要介绍如何通过函数的导数 来判定函数的单调性或凹凸性等性质。 1．单调性的判定 【定理】设函数 y＝f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导。 （1）如果在（a，b）内 f＇（x）＞0，那么函数 y＝f（x）在[a，b]上单调增加； （2）如果在（a，b）内 f＇（x）＜0，那么函数 y＝f（x）在[a，b]上单调减少； 如果把这个判定法中的闭区间换成其他各种区间（包括无穷区间），那么结论也成立。 这是函数单调性判定的一个最基本也是最重要的法则。
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那么在（a，b）内至少有一点 ε，使等式
成立。
拉格朗日中值公式是柯西中值公式的特殊形式。
二、洛必达法则 洛必达法则在求函数极限过程中，有重要作用，在考研试题中也经常出现。一般，洛必 达法则针对 或 形式的极限公式。下面我们主要介绍相关定理及引入一些例题，方便读 者更进一步理解洛必达法则的应用。 1．x→a 【定理】设 （1）当 x→a 时，函数 f（x）及 F（x）都趋于零； （2）在点 a 的某去心邻域内，f＇（x）及 F＇（x）都存在且 F＇（x）≠0；
（3）Biblioteka 存在（或为无穷大），那么
。
高等数学第六版上下册全同济大学出版社
引例2
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例1. 海伦公式
(满射)
例2. 如图所示,
对应阴影部分的面积
则在数集
自身之间定义了一种映射 (满射)
例3. 如图所示, 则有 r
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(满射)
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说明:
映射又称为算子. 在不同数学分支中有不同的惯用
使
பைடு நூலகம்
其中
称此映射 f 1为 f 的反函数 .
习惯上, y f (x), x D 的反函数记成
y f 1(x) , x f (D)
性质:
1) y＝f (x) 单调递增 (减) , 其反函数
且也单调递增 (减) .
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2) 函数
与其反函数
第一章
函数与极限
分析基础
函数 — 研究对象 极限 — 研究方法
— 研究桥梁
第一节 映射与函数
一、集合 二、映射 三、函数
第一章
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一、 集合
1. 定义及表示法
简称集
定义 1. 具有某种特定性质的事物的总体称为集合.
组成集合的事物称为元素.
左 邻域 :
右 邻域 :
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2. 集合之间的关系及运算
定义2 . 设有集合 A, B , 若 x A 必有 x B , 则称 A
是 B 的子集 , 或称 B 包含 A , 记作 A B.
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例1. 海伦公式
(满射)
例2. 如图所示,
对应阴影部分的面积
则在数集
自身之间定义了一种映射 (满射)
例3. 如图所示, 则有 r
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(满射)
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说明:
映射又称为算子. 在不同数学分支中有不同的惯用
使
பைடு நூலகம்
其中
称此映射 f 1为 f 的反函数 .
习惯上, y f (x), x D 的反函数记成
y f 1(x) , x f (D)
性质:
1) y＝f (x) 单调递增 (减) , 其反函数
且也单调递增 (减) .
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2) 函数
与其反函数
第一章
函数与极限
分析基础
函数 — 研究对象 极限 — 研究方法
— 研究桥梁
第一节 映射与函数
一、集合 二、映射 三、函数
第一章
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一、 集合
1. 定义及表示法
简称集
定义 1. 具有某种特定性质的事物的总体称为集合.
组成集合的事物称为元素.
左 邻域 :
右 邻域 :
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2. 集合之间的关系及运算
定义2 . 设有集合 A, B , 若 x A 必有 x B , 则称 A
是 B 的子集 , 或称 B 包含 A , 记作 A B.
《高等数学》第六版上册同济大学出版社课件PPT
1 x
0
1
1
1 t4
1 t2
d
t
t 2 0 1t4
d
t
ห้องสมุดไป่ตู้
0
1
d
x x4
1 2
0 1
d
x x4
x2
0 1 x4
d
x
1
2
1 01
x2 x4
d
x
17
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1
2
0
1 x2
1
1 x2
二无界函数的反常积分第四节常义积分积分限有限被积函数有界推广一无穷限的反常积分反常积分广义积分反常积分第五章1一无穷限的反常积分引例
第四节 反常积分
第五章
积分限有限 常义积分 被积函数有界
推广
反常积分 (广义积分)
一、无穷限的反常积分
二、无界函数的反常积分
1
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一、无穷限的反常积分
F (b)
F(c )
F(c ) F(a)
可相消吗?
12
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例4. 计算反常积分
解: 显然瑕点为 a , 所以
原式
arcsin x a
a 0
arcsin1
π 2
例5. 讨论反常积分
的收敛性 .
解所下:以述1反1解dx常x2法积是分0否1dx1x正x2 确11:0发1dxx散21.11x2 ,0∴1 积 分 1x收敛01
x2
高等数学第六版上下册(同济大学出版社)课件
具有重要的作用。
不定积分的几何意义
不定积分表示的是一种曲线族 ，每一条曲线都有一个与之对
应的方程。
积分的应用场景
01
物理应用
积分在物理中有广泛的应用，例 如计算物体的质量、重心、转动 惯量等。
工程应用
02
03
经济应用
积分在工程中有广泛的应用，例 如计算曲线的长度、面积、体积 等。
积分在经济中有广泛的应用，例 如计算总成本、总收益、总利润 等。
05
多重积分与向量分析
二重积分的概念与性质
二重积分的定义
二重积分是定积分在二维平面上的推广，表示一个二元函数在某个区域上的累积值。
二重积分的性质
二重积分具有可加性、可减性、可交换性等性质，这些性质使得二重积分在解决实际问题中具有广泛的应用。
三重积分的概念与性质
三重积分的定义
三重积分是定积分在三维空间上的推广 ，表示一个三元函数在某个区域上的累 积值。
03
导数与微分
导数的概念与性质
导数的定义
导数描述了函数在某一点附近的变化率，是函数局部 性质的一种体现。
导数的几何意义
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线的斜率。
导数的性质
导数具有一些基本的性质，如线性性质、乘积法则、 商的导数法则等。
微分的概念与性质
微分的定义
01
微分是函数在某一点附近的小变化量，用于近似计算函数的值
求函数的最值
导数可以用于求函数在一定区间内的最大值和最小值，这在优化问题中具有广泛的应用。
04
积分
定积分的概念与性质
01
定积分的定义
定积分是积分的一种，是函数在区间上与区间的乘积在区间的两个端点
不定积分的几何意义
不定积分表示的是一种曲线族 ，每一条曲线都有一个与之对
应的方程。
积分的应用场景
01
物理应用
积分在物理中有广泛的应用，例 如计算物体的质量、重心、转动 惯量等。
工程应用
02
03
经济应用
积分在工程中有广泛的应用，例 如计算曲线的长度、面积、体积 等。
积分在经济中有广泛的应用，例 如计算总成本、总收益、总利润 等。
05
多重积分与向量分析
二重积分的概念与性质
二重积分的定义
二重积分是定积分在二维平面上的推广，表示一个二元函数在某个区域上的累积值。
二重积分的性质
二重积分具有可加性、可减性、可交换性等性质，这些性质使得二重积分在解决实际问题中具有广泛的应用。
三重积分的概念与性质
三重积分的定义
三重积分是定积分在三维空间上的推广 ，表示一个三元函数在某个区域上的累 积值。
03
导数与微分
导数的概念与性质
导数的定义
导数描述了函数在某一点附近的变化率，是函数局部 性质的一种体现。
导数的几何意义
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线的斜率。
导数的性质
导数具有一些基本的性质，如线性性质、乘积法则、 商的导数法则等。
微分的概念与性质
微分的定义
01
微分是函数在某一点附近的小变化量，用于近似计算函数的值
求函数的最值
导数可以用于求函数在一定区间内的最大值和最小值，这在优化问题中具有广泛的应用。
04
积分
定积分的概念与性质
01
定积分的定义
定积分是积分的一种，是函数在区间上与区间的乘积在区间的两个端点
同济高等数学(第六版)第三章PPT D3 3泰勒公式
Rn ( x) f ( x) pn ( x)
( 在 x0 与 x 之间)
( n1) ( n1) pn ( x) 0 , Rn ( x) f ( n1) ( x)
Rn ( x)
f ( n1) ( ) (n 1) !
( x x0 ) n1 ( 在 x0 与 x 之间)
若每项四舍五入到小数点后 6 位,则 各项舍入误差之和不超过 7 0.5 10 , 总误差限为 7 0.5 106 10 6 5 106 这时得到的近似值不能保证误差不超过 10 6. 因此计算时中间结果应比精度要求多取一位 .
6
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例2. 用近似公式
3 6 10 Rn (1) (n 1) ! 由计算可知当 n = 9 时上式成立 , 因此 1 1 e 11 2.718282 2! 9!
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说明: 注意舍入误差对计算结果的影响.
1 1 本例 e 1 1 2! 9!
f ( x0 )( x x0 ) 2
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2. 余项估计
令 Rn ( x) f ( x) pn ( x) (称为余项) , 则有
Rn ( x) ( x x0 ) n1 (1 ) Rn Rn ( x) Rn ( x0 ) (1 在 x0 与 x 之间) n n1 (n 1)(1 x0 ) ( x x0 ) 0 (1 ) Rn ( 2 ) Rn Rn ( x0 ) ( 2 在 x0 与 n (n 1)(1 x0 ) 0 (n 1)n( 2 x0 ) n1 1 之间)
(n) ( n 1) R ( x ) R ( ) n 0 n ( 在 x0 与 xn 之间) (n 1) 2( n x0 ) 0 (n 1) !
同济大学高等数学第六版上册第三章第三节Taylor泰勒公式
f (k) (0) = α (α −1)L(α − k +1) (k = 1, 2,L)
∴
(1 +
x)α
=1
+α
x+
α (α −1)
2!
x2
+L
+ α (α −1)L(α − n +1)
n!
xn + Rn (x)
其中
Rn (x)
=
α (α
−1)L(α
(n +1) !
−
n) (1+θ
x)α −n−1 xn+1
n +1 (1+θ x)n+1
(0 < θ < 1)
麦克劳林(Maclaurin)公式
f (x) =
f (0) +
f ′(0)x +
f ′′(0) x2 2!
+L+
f (n) (0) xn n!
+ f (n+1) (θx) xn+1
(n + 1)!
(0 < θ < 1)
f (x) =
f (0) +
注意到
f
θ( x) = e (n+1)
θx
代入公式,得
ex
=
1+
x
+
x2 2!
+L+
xn n!
+
eθ x
x n+1
(n + 1)!
(0 < θ < 1).
例. 计算无理数 e 的近似值 , 使误差不超过 10−6.
解: 已知 ex 的麦克劳林公式为
大学教材全解——高等数学(同济六版)上册知识资料内容简介
大学教材全解—高等数学（同济六版）上册基本信息作者：曹圣山主编出版社：中国海洋大学出版社出版时光：2023年年-8字数：403.2千版次：1页数：448印刷时光：2023年年-6开本：32开印次：5纸张：胶版纸I S B N ：978-7-81125-734-2包装：平装定价：23.80内容简介“教材全解”系列图书十多年来向来是初高中学生的首选辅导材料，每年销售量位居同类辅导书首位。
为协助广大读者学好《高等数学》这门课程(该课程不仅是理工、经济、管理类等专业学生必修的一门课程，同时也是全国硕士研究生入学考试的重点科目)，我们特邀请了全国各地治学严谨的一线名师，郑重遵循教诲部高等院校教学指导委员会审订的“本科数学基础课程教学基本要求”（教学大纲）和教诲部最新的“全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲”，精心编写了这本《大学教材全解—高等数学》。
本书是同济大学数学系编写的《高等数学》上册（第六版，高等教诲出版社）的配套用书。
其章节内容与教材保持一致，讲解顺序与课堂授课彻低同步，每章内容编写如下：第 1 页/共 6 页本章知识结构图解以清晰的结构图形式，展示本章的知识体系及知识点间的内在逻辑关系。
本节考试出题点概括本节在考试时重点考查知识点的哪些方面，出哪些类型的试题。
重要考点和题型一目了然，为考试复习指明方向，使备考越发轻巧、高效。
教材内容全解这部分突出必须控制或考频较高的核心内容，以知识点举行分类，对重点和难点，在知识点后举行标注, 方便读者在课后复习及期末考试复习时迅速寻找本节重点。
与众不同的是，本书在重要知识点后面配了相应例题，而且异常注重讲解知识点实际应用时易混淆、不容易理解之处以及解题过程中需要注重的事项，并列举与此知识点相关、在解题中广泛使用的核心结论，协助读者学好、吃透本节重要概念、定理（公理）、公式、性质等。
常考基本题型以每节的重点问题为主线，对每节涉及的小学期中、期末考试，全国硕士研究生入学考试等常考基本题型做全面、详尽分析，揭示解题思路、传授主意技巧。
《高等数学》第六版同济大学上册课后答案详解
《高等数学》第六版同济大学上册课后答案详解
《高等数学》第六版同济大学上册课后答案详解
第六版同济大学高等数学上册课后答案详解
《高等数学第六版上册》是2007年高等教育出版社出版的图书。
本书是同济大学数学系编《高等数学》的第六版，依据最新的“工科类本科数学基础课程教学基本要求”，为高等院校工科类各专业学生修订而成。
本次修订时对教材的深广度进行了适度的调整,使学习本课程的学生都能达到合格的要求,并设置部分带*号的内容以适应分层次教学的需要;吸收国内外优秀教材的优点对习题的类型和数量进行了凋整和充实,以帮助学生提高数学素养、培养创新意识、掌握运用数学工具去解决实际问题的能力;对书中内容进一步锤炼和调整,将微分方程作为一元函数微积分的应用移到上册,更有利于学生的学习与掌握。
本书分上、下两册出版,上册包括函数与极限、导数与微分、微分中值定理与导数的应用、不定积分、定积分及其应用、微分方程等内容,书末还附有二、三阶行列式简介、几种常用的曲线、积分表、习题答案与提示
高等数学是大学必修数学科目之一，当然这对于非数学专业的同学而言，简直就是难上加难，但是对于数学专业同学而言，这就是基础课，必须踏踏实实的学好，否则对于以后的学习真的就是难上加难，牧边我就是深有体会啊。
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公式 ③ 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 .
* 可以证明:
④ 式成立
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f (x) f (x0) f(x 0 )x ( x 0)f2(x!0)(xx0)2
特例: f (nn)(!x0)(xx0)nf((nn1)1()!)(x(x在 0)nx 10与 x之)间
第三节
第三章
泰勒 ( Taylor )公式
理论分析
用多项式近似表示函数 — 应用 近似计算 一、泰勒公式的建立
二、几个初等函数的麦克劳林公式
三、泰勒公式的应用
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一、泰勒公式的建立
在微分应用中已知近似公式 : y
f ( x) f(x 0)f(x 0)x ( x 0)
y f(x)
(1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变给为出拉格朗日中值定理
f (x)f (x0) f()x (x0) (在 x0与 x之)间
(2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为
可见 f (x) f (x0)f(x 0 )x ( x 0)f2(!()(在 xx0 x0与 )2x之)间
误差
(在 x0与 x之)间 d f
特点:
x 的一次多项式
f (x0) f(x0)
p1(x)
o x0 x x
以直代曲
如何提高精度 ? 需要解决的问题
如何估计误差 ?
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1. 求 n 次近似多项式
要求:
令 pn(x)a 0 a 1 ( x x 0 ) a 2 ( x x 0 ) 2 a n ( x x 0 ) n
R(xn(xx)0)nRn1(x00)(n1R)n((11)x0)n (1在 x0与 x之)间
(nRn(1)1()1Rxn0()xn0)0 (n1)R n(n(22)x0)n1
(2 在 x0 与 1 之间)
(nR n(1n)) (n2)(nRn(nx)0()x0)0
Rn(n1) ( )
(n 1) !
公式 ① 称为 的 n 阶泰勒公式 .
公式 ② 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 .
泰勒 目录 上页 下页 返回 结束
注意到 R n(x)o [x (x0)n]
③
在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为
f (x0) f(x 0 )x ( x 0)f2(x!0)(xx0)2 f (nn)(!x0)(xx0)n o[(xx0)n] ④
f (nn)(!x0R)n((xx)x0)(nnM f1()(nn!1x)1()n!)1((x在 x0x)0 n与 1 x之)间
麦克劳林 目录 上页 下页 返回 结束
二、几个初等函数的麦克劳林公式
f(k)(x)ex, f(k)(0 ) 1(k 1 ,2 , )
e x 1x
x2 2!
x3 3!
x n n!
Rn(x)
其中
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f(k)(x)sixnk( ) 2
f(k)(0)sink
2
0, (1)m1,
k2m (m1,2, ) k2m 1
sinxx x 3 3!
x5 5!
(1)m1(2xm2m11)!R2m(x)
其中
R2m(x)
s(1i)n mxc (o2m 2 s x1 ( )) x2m1
(2m 1) !
(01)
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类似可得
coxs1
x2 2!
x4 4!
(1)
m
x2m (2m)
!
R2m1(x)
其中
R2m1(x)
(1)m1cosx)(
(2m 2)!
x2m2
(01)
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f(k)(x) ( 1 ) ( k 1 )1 (x ) k
f(k )(0 )( 1 ) ( k 1 ) (k1,2, )
(1x)1x (1)x 2
2!
( 1 ) ( n 1 )x n n!
Rn(x)
其中 Rn(x)( (1 n ) 1 )( !n )(1 x) n 1xn 1
R n ( x ) o (x ( x 0 ) n )( x x 0 )
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泰勒中值定理 :
阶的导数 , 则当
时, 有
f (x0) f(x 0 )x ( x 0)f2(x!0)(xx0)2
f (nn)(!x0)(xx0)nRn(x)
①
其中 Rn(x)f((nn 1)1()!)(xx0)n1 ( 在 x0与 x之)间 ②
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在泰勒公式中若取 x 0 0 , x ( 0 1 ) ,则有
f (0) f(0)x f (0) x2 f (n) (0) xn
2!
n!
称为麦克劳林（ Maclaurin ）公式 . 由此得近似公式
若在f (公xf)(式x)成f(立xf0(的)0 )区f间(fx 上0 (0))x xf( (nx 10 f)() 2x(!0)) fx22M (x !0, )则(x有误fx(0nn差))!(20估 ) 计xn式
则 pn(x)
a1 2a2(xx0) n a n (x x 0 )n 1
pn (x) 2!a2 n ( n 1 ) a n ( x x 0 ) n 2
pn(n)(x)
n!an
a0pn(x0)f(x0),
a1pn (x0)f(x0),
a221!pn(x0)21 ! f(x0),, ann1!pn(n)(x0)n1 ! f(n)(x0)
故 pn(x) f ( x0 ) f(x 0 )x ( x 0 )21 ! f(x0)x (x0)2
n1 ! f(n )(x 0 )x ( x 0 )n
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2. 余项估计
令 R n (x ) f(x ) p n (x )(称为余项) , 则有
Rn(x0) Rn(x0) R n (n)(x0)0 Rn (x) (x x0 )n1
(在 x0与 xn之)间
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R n (x ) f(x ) p n (x )
(在 x0与 x之)间
pn (n1)(x)0, R n (n 1 )(x ) f(n 1 )(x )
Rn(x)f((nn0在 的某f(邻 n 1 )(x)域 M 时 内 Rn(x)(nM 1)!xx0n1