第六章明渠恒定非均匀流

第六章 明渠恒定非均匀流明渠中由于水工建筑物的修建、渠道底坡的改变、断面的扩大或缩小等都会引起非均匀流动。

非均匀流动是断面水深和流速均沿程改变的流动。

非均匀流的底坡线、水面线、总水头线三者互不平行。

根据流线不平行的程度，同样可将水流分为渐变流和急变流。

明渠非均匀流的水面曲线有雍水和降水之分，即渠道的水深沿程可升可降。

解决明渠非均匀流问题的思路：建立微分方程，进行水面曲线的定性分析和定量计算。

第一节 明渠水流的两种流态及其判别一、从运动学观点研究缓流和急流1、静水投石，以分析干扰波在静水中的传播干扰波在静水中的传播速度称为干扰波波速和微波波速，以w v表示。

如果投石子于流水之中，此时干扰所形成的波将随着水流向上、下游移动，干扰波传播的速度应该是干扰波波速wv 与水流速度v 的矢量和。

此时有如下三种情况。

（1）wv v <，此时，干扰波将以绝对速度0<-='w v v v 上向上游传播（以水流速度v的方向为正方向讨论），同时也以绝对速度0>+='w v v v 下向下游传播，由于下上v v '<'，故形成的干扰波将是一系列近似的同心圆。

（2）wv v =，此时，干扰波将向上游传播的绝对速度0=-='w v v v 上，而向下游传播的绝对速度02>=+='w w v v v v 下，此时，形成的干扰波是一系列以落入点为平角的扩散波纹向下游传播。

（3）wv v >，此时，干扰波将不能向上游传播，而是以绝对速度0>-='w v v v 上向下游传播，并与向下游传播的干扰波绝对速度0>+='w v v v 下相叠加，由于下上v v '<'，此时形成的干扰波是一系列以落入点为顶点的锐角形扩散波纹。

这样一来，我们就根据干扰波波速wv 与水流流速v 的大小关系将明渠水流分为如下三种流态——缓流、急流、临界流。

具体来讲，wv v <的水流称为缓流；wv v =的水流称为临界流；w vv >的水流称为急流。

临界流是缓流和急流的分界点。

上述分析说明了外界对水流的扰动（如投石水中、闸门的启闭等）有时能传至上游，而有时则不能的原因。

实际上，设置于水流中的各种建筑物可以看作是对水流连续不断的扰动，如闸门、水坝、桥墩等，上述分析结论仍然是适用的。

2、干扰波的波速由连续方程和能量方程可推导出干扰波波速公式：h g v w ±=式中，h 为平均水深。

对矩形平面，平均水深就等于渠道水深h 。

对静水而言，上式中的±只有数学上意义。

对于运动水流，设其流速为v ，则干扰波波速的绝对速度可表示为ww v v v ±='，顺流方向取“+”，逆流方向取“－”。

这样一来，流态的判别为 ωv <h g 水流为缓流ωv =h g 临界流ωv >h g 急流3、流态判别数——佛汝得数佛汝得数Fr 可定义为 hg v v v Fr w==显然，缓流1<Fr ；急流1>Fr ；临界流1=Fr 。

从上式可以看到佛汝得数Fr 的运动学意义是断面平均流速与干扰波波速的比值。

如果将佛汝得数的表达式稍作变形，可以得到h gv Fr 222=，该式表达的佛汝得数的物理意义是过水断面上单位重量液体平均动能与平均势能之比的2倍开平方。

从液体质点的受力情况分析，可以得到佛汝得数的力学意义是惯性力和重力的比值。

可用量纲关系来分析。

惯性力量纲 [][][][][][]2223v L LTL a M F ρρ=⋅==- 重力 [][][][][][]g L g L M g G 33ρρ===[][][][]⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=gL v g L v LL G F 213232121ρρ二、断面比能（断面单位能量）1、断面比能（断面单位能量）的定义：以过渠道最低点的水平面O ＇—O ＇为基准面，计算得到的该断面上单位重量液体所具有的机械能，称为断面比能。

可表示为g v h E s 2cos 2αθ+=式中，sE 称为断面单位能量或断面比能。

2、断面总能量E 与断面比能Es 的区别与联系区别：1） E 在整个流程上为同一基准面 所以 E 沿程总是减小；Es 在整个流程上，针对不同的过水断面其计算比能的基准面不同， 即 断面比能Es 沿程可升可降可不变。

2） E 的基准面任意选；Es 的基准面是渠道横断面的最低点 。

3） 两者 之间差一个基准面高差。

联系：断面比能sE 是断面单位重量的液体具有的总机械能中反映水流运动状态的那一部分，断面比能计算公式中的水深h 及流速水头g v 22α都是水流运动状态的直接反映。

3、比能曲线在断面形状尺寸及流量一定的条件下，断面比能sE 只是水深h 的函数。

如果以纵坐标表示水深h ，以横坐标表示断面比能sE ,则一定流量下所讨论断面的断面比能sE 随水深h 的变化规律可以用h ～sE 曲线来表示，这个曲线称为比能曲线，见图。

可以证明，23211Fr B gA Q dh dE s -=-=α对于极值点，0=dh dE s，1=Fr ，即断面比能s E 最小时对应的水流为临界流，相应的水深称为临界水深，以符号kh 表示。

比能曲线的特点：①比能曲线是一条二次抛物线，曲线下端以sE 轴为渐进线，上端以45°直线为渐进线，曲线两端向右方无限延伸，中间必然存在极小点。

②断面比能sE 最小时对应的水深为临界水深；③曲线上支，随着水深h 的增大，断面比能sE 值增大，为增函数，0>dh dE s，1<Fr ，表示水流为缓流，即比能曲线的上支代表着水流为缓流。

在曲线下支，随着水深h 的增大，断面比能s E 值减小，为减函数，0〈dh dE s，则有1>Fr ，表示水流为急流，即比能曲线的下支代表着水流为急流。

而极值点对应的水流就为临界流。

④比能曲线的上支和下支分别代表不同的水流流态，而比能曲线上上支和下支的分界点处的水深又为临界水深，显然，也可以用临界水深来判别水流流态。

kh h >，相当于比能曲线的上支，水流为缓流；k hh <，相当于比能曲线的下支，水流为急流；kh h =，相当于比能曲线的极值点，水流为临界流。

三、 临界水深流量及断面形状尺寸一定的条件下，相应于断面比能最小时的水深称为临界水深kh 。

断面比能最小时，0=dh dE s，由此条件即可求得临界水深计算公式。

k k B A g Q 32=α在临界水深计算公式中，下标k 表示相应于临界水深时的水力要素。

在流量及断面形状尺寸一定的条件下，可由此时求解临界水深。

由于k k B A 3一般是水深h 的隐函数，对一般形式的断面需要试算求解。

临界水深与流量、断面形状尺寸有关，与渠道的底坡和粗糙系数无关。

1、矩形断面临界水深的计算对矩形断面而言，b B k =，k kbhA =，将其代入临界水深计算的一般公式，化简整理可得矩形断面临界水深的直接计算公式。

32322gq gbQ h k αα==式中，q 为单宽流量，b Q q =。

g v h gv h gh v gq h k k k k k k k22)(22223αααα=⇒=⇒==上式说明，在临界流时，矩形断面的临界水深等于其流速水头的2倍，此时相应的断面比能：k k k k k s s h h h gv h E E 232122min =+=+==α2、任意断面临界水深的计算任意断面临界水深的计算只能采取试算法。

当流量Q 给定之后，gQ 2α为一常数。

于是可假定不同的水深，求得相应的k k B A 3，当求得的某一水深时的k k B A 3值恰好等于g Q 2α时，该水深即为所求的临界水深。

任意断面临界水深的计算也可在用试算——图解法。

假定3～5个不同的水深，求得相应的k k B A 3，当求得的k k B A 3把g Q 2α包含在中间时，可作出k k B A h 3~曲线，由已知的g Q 2α值可从曲线上查得相应的水深值，该水深即为所求的临界水深。

3、等腰梯形断面临界水深的计算若明渠的过水断面为等腰梯形断面，则临界水深的计算除了可用试算法和试算——图解法外，还可采用查图法。

四、临界底坡在流量和断面形状尺寸一定的棱柱体正坡明渠中，当水流作均匀流动时，如果改变渠道的底坡，则相应的均匀流正常水深0h 也会相应地改变。

当变至某一底坡ki 时，其均匀流的正常水深0h恰好等于临界水深kh ，此时的底坡ki 就称为临界底坡。

临界底坡的计算公式。

k k kk B C g i 2αχ=临界底坡只取决于流量及断面形状尺寸，并与粗糙系数有关，而与渠道的实际底坡无关。

它并不是实际存在的渠道底坡，只是与某一流量、断面形状尺寸及粗糙系数相对应的某一特定坡度，是为便于分析非均匀流动而引入的一个概念。

事实上，实际渠道的底坡只可能在某一流量下为临界底坡，而在其它流量下则不是。

引入临界底坡之后，可将正坡明渠再分为缓坡、陡坡、临界坡三种类型。

如果渠道的实际底坡k i i <，我们称它为缓坡，ki i >称为陡坡，ki i =称为临界坡。

对明渠均匀流而言，当底坡k i i <时，k h h >0；k ii >时，k h h <0；k i i =时，k hh =0。

这就是说可以利用临界底坡判断明渠均匀流的水流流态，即缓坡上的均匀流是缓流，陡坡上的均匀流是急流，临界坡上的均匀流是临界流。

第二节 明渠恒定非均匀渐变流基本方程明渠恒定非均匀流是一种流速沿程变化的流动，伴随着流速变化，水位（或水深）、过水断面面积等水力要素也将沿程变化。

许多明渠非均匀流问题都可归结为探求水位或水深的沿程变化规律，即求出函数)(s z z =或)(s h h =的具体形式，其中，s 为流程坐标。

这里讲的明渠非均匀流水深或水位的沿程变化规律包括两方面的含义：一是水面曲线的定性分析，即探求水面曲线大致是什么形状的曲线；二是水面曲线的定量计算，即需要知道沿程的水深或水位。

为解决这两个问题，必须首先建立描述水深或水位沿程变化规律的微分方程。

一、明渠恒定非均匀渐变流的基本微分方程应用能量方程可建立明渠恒定非均匀渐变流的基本微分方程dsK Q g v d dh ids 222)2()(+++=ζα二、水深沿程变化的微分方程1、非棱柱体明渠323222)(1)(gA BQ s A gA Q K Q i ds dh ζαζα+-∂∂++-=2、棱柱体明渠222322211Fr K Q i gA B Q K Q i ds dh --=--=α上式可用于明渠恒定非均匀渐变流水面曲线的定性分析和定量计算。