九年级数学上册1.1菱形的性质与判定1.1.2菱形的判定同步课时练习题(新版)北师大版
1.1.2 菱形的判定
1．下列命题中正确的是( )
A．对角线相等的四边形是菱形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线相等的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
2. 已知一个平行四边形的一条边长为3，两条对角线的长分别为4和25，则这个四边形是( ) A．菱形 B．长方形 C．正方形 D．以上都不对
3. 已知四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为菱形，还需要添加一个条件，这个条件是( ) A．AB＝CD B．AB＝BC C．AD＝BC D．AC＝BD
4. 若菱形两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的边长为( )
A．5 B．16 C．12 D．10
5. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是( )
A．AB∥DC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．OA＝OC
6. 小明和小亮在做一道习题，若四边形ABCD是平行四边形，请补充条件，使得四边形ABCD是菱形．小明补充的条件是AB＝BC；小亮补充的条件是AC＝BD，你认为下列说法正确的是( )
A．小明、小亮都正确 B．小明正确，小亮错误
C．小明错误，小亮正确 D．小明、小亮都错误
7. 如图，下列条件之一能使▱ABCD是菱形的是( )
①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝BC；④BD平分∠ABC.
A．①③B．②③C．③④D．①③④
8. 用直尺和圆规作一个以线段AB为边的菱形，作图痕迹如图所示，能得到四边形ABCD是菱形的依据是( )
A．一组邻边相等的四边形是菱形
B．四边相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
9. 如图，下列条件能判定四边形ABCD为菱形的有( )
AB＝BC＝CD＝DA；②AC，BD互相垂直平分；
③平行四边形ABCD，且AC⊥BD；④平行四边形ABCD，且AC＝BD.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10. 若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是( )
A．长方形 B．对角线相等的梯形
C．对角线相等的四边形 D．对角线互相垂直的四边形
11. 如图，在▱ABCD中，∵∠1＝∠2，∴BC＝DC.∴▱ABCD是菱形．
(请在横线上填上理由)
12. 如图，菱形ABCD的周长是8 cm，AB的长是____ cm.
13. 已知四边形ABCD，AB＝CD，AD＝BC.添加一个条件，则四边形ABCD是菱形．
14. 如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE＝DF.给出下列条件：
①BE⊥EC；②BF∥CE；③AB＝AC.
从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是____．(只填写序号)
15. 如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，BD＝7，则菱形ABCD的周长是____．
16. 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，AB＝5，AO＝4，求BD的长．
17. 某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角形ABC与AFE按如图①所示位置放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α(0°<α<90°)，如图②，AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P.
(1)求证：AM＝AN；
(2)当旋转角α＝30°时，四边形ABPF是什么样的特殊四边形？并说明理由．
参考答案：
1---10 DABAB BDBCC
11. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形
12. 2
13. AB＝BC
14. ③
15. 28
16. 解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD且BO＝DO.
在Rt△AOB中，
∵AB＝5，AO＝4，
由勾股定理，得BO＝3，
∴BD＝6
17. (1)∵α＋∠EAC＝90°，∠NAF＋∠EAC＝90°，∴α＝∠NAF.又∵∠B＝∠F，AB＝AF，∴△ABM≌△AFN，∴AM＝AN
(2)四边形ABPF是菱形．理由：∵α＝30°，∠EAF＝90°，∴∠BAF＝120°.又∵∠B＝∠F＝60°，∴∠B＋∠BAF＝60°＋120°＝180°，∠F＋∠BAF＝60°＋120°＝180°.∴AF∥BC，AB∥EF.∴四边形ABPF 是平行四边形．又∵AB＝AF，∴四边形ABPF是菱形。
北师大 版九年级数学上册《1.1 菱形的性质与判定》 同步练习
1.1 菱形的性质与判定一．选择题1．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，则DH等于（）A．B．C．5D．42．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A．两组对边分别平行B．两组对角分别相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直3．如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE＝1，AF＝2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（）A．1B．2C．3D．44．如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC＝28°，则∠OBC的度数为（）A．28°B．52°C．62°D．72°5．如图，菱形ABCD的周长为8cm，高AE长为cm，则对角线AC长和BD长之比为（）A．1：2B．1：3C．1：D．1：6．菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C的坐标是（6，0），点A的纵坐标是1，则点B的坐标是（）A．（3，1）B．（3，﹣1）C．（1，﹣3）D．（1，3）7．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABD＝30°，则菱形ABCD的面积是（）A．18B．18C．36D．368．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定▱ABCD是菱形的只有（）A．AC⊥BD B．AB＝BC C．AC＝BD D．∠1＝∠29．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，对角线AC＝6．若过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为（）A．4B．C．D．5二．填空题10．如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是．11．已知菱形ABCD的面积为24cm2，若对角线AC＝6cm，则这个菱形的边长为cm．12．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，OE⊥AD于点E，交BC于点F，则EF的长为．13．如图，四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交于点O，添加一个条件：，可使它成为菱形．14．如图，菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，E，F分别是BC，DC上的点，∠EAF＝60°，连接EF，则△AEF的面积最小值是．15．已知菱形的周长为40cm，两个相邻角度数比为1：2，则较短的对角线长为，面积为．16．如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为cm2．17．如图，菱形ABCD的周长为8，两邻角的比为2：1，则对角线的长分别为．三．解答题18．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BA＝BC，BD平分∠ABC．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）过点D作DE⊥BD，交BC的延长线于点E，若BC＝5，BD＝8，求四边形ABED 的周长．19．如图，AD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC和AB的平行线，交AB于E，交AC于F，求证：四边形AEDF是菱形．20．如图，E，F是菱形ABCD对角线上的两点，且AE＝CF．（1）求证：四边形BEDF是菱形；（2）若∠DAB＝60°，AD＝6，AE＝DE，求菱形BEDF的周长．21．如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F．（1）求证：四边形BEDF为菱形；（2）如果∠A＝100°，∠C＝30°，求∠BDE的度数．22．已知，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F．求证：四边形AEDF是菱形．23．如图，菱形ABCD中，点E、F分别是BC、CD边的中点．求证：AE＝AF．参考答案一．选择题1．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝OC，BO＝OD，AC⊥BD，∵AC＝8，DB＝6，∴AO＝4，OB＝3，∠AOB＝90°，由勾股定理得：AB＝＝5，∵S菱形ABCD＝，∴，∴DH＝，故选：A．2．解：A、不正确，两组对边分别平行；B、不正确，两组对角分别相等，两者均有此性质正确，；C、不正确，对角线互相平分，两者均具有此性质；D、菱形的对角线互相垂直但平行四边形却无此性质．故选：D．3．解：作F点关于BD的对称点F′，连接EF′交BD于点P，则PF＝PF′．∴EP+FP＝EP+F′P．由两点之间线段最短可知：当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时EP+FP ＝EP+F′P＝EF′．∵四边形ABCD为菱形，周长为12，∴AB＝BC＝CD＝DA＝3，AB∥CD，∵AF＝2，AE＝1，∴DF＝DF′＝AE＝1，∴四边形AEF′D是平行四边形，∴EF′＝AD＝3．∴EP+FP的最小值为3．故选：C．4．解：∵四边形ABCD为菱形，∴AB∥CD，AB＝BC，∴∠MAO＝∠NCO，∠AMO＝∠CNO，在△AMO和△CNO中，∵，∴△AMO≌△CNO（ASA），∴AO＝CO，∵AB＝BC，∴BO⊥AC，∴∠BOC＝90°，∵∠DAC＝28°，∴∠BCA＝∠DAC＝28°，∴∠OBC＝90°﹣28°＝62°．故选：C．5．解：如图，设AC，BD相交于点O，∵菱形ABCD的周长为8cm，∴AB＝BC＝2cm，∵高AE长为cm，∴BE＝＝1（cm），∴CE＝BE＝1cm，∴AC＝AB＝2cm，∵OA＝1cm，AC⊥BD，∴OB＝＝（cm），∴BD＝2OB＝2cm，∴AC：BD＝1：．故选：D．6．解：连接AB交OC于点D，∵四边形OACB是菱形，∴AB⊥OC，AD＝BD＝1，OD＝CD＝3，∴点B的坐标是（3，﹣1）．故选：B．7．解：过点A作AE⊥BC于E，如图：，∵在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABD＝30°，∴∠BAE＝30°，∵AE⊥BC，∴AE＝3，∴菱形ABCD的面积是＝18，故选：B．8．解：A、正确．对角线垂直的平行四边形的菱形．B、正确．邻边相等的平行四边形是菱形．C、错误．对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形．D、正确．可以证明平行四边形ABCD的邻边相等，即可判定是菱形．故选：C．9．解：连接BD，交AC于O点，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝5，∴AC⊥BD，AO＝AC，BD＝2BO，∴∠AOB＝90°，∵AC＝6，∴AO＝3，∴B0＝＝4，∴DB＝8，∴菱形ABCD的面积是×AC•DB＝×6×8＝24，∴BC•AE＝24，AE＝，故选：C．二．填空题10．解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，∴AB＝5，∴AD＝5，∴由勾股定理知：OD＝＝＝4，∴点C的坐标是：（﹣5，4）．故答案为：（﹣5，4）．11．解：菱形ABCD的面积＝AC•BD，∵菱形ABCD的面积是24cm2，其中一条对角线AC长6cm，∴另一条对角线BD的长＝8cm；边长是：＝5cm．故答案为：5．12．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB＝BD＝3，OC＝AC＝4，在Rt△BOC中，由勾股定理得，BC＝＝5，∵S△OBC＝×OB×OC＝×BC×OF，∴OF＝，∴EF＝．故答案为．13．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴当AB＝BC时，平行四边形ABCD是菱形，当AC⊥BD时，平行四边形ABCD是菱形．故答案为：AB＝BC或AC⊥BD等．14．解：当AE⊥BC时，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ACB＝60°，∴∠B＝∠ACF＝60°，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EAD＝∠EAF+∠F AD＝60°+∠F AD，∠AFC＝∠D+∠F AD＝60°+∠F AD，∴∠AEB＝∠AFC，在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（AAS），∴AE＝AF，∵∠EAF＝60°，∴△AEF是等边三角形，∵当AE⊥BC时，AB＝4，∴AE＝，∴△AEF的面积最小值＝，故答案为：．15．解：根据已知可得，菱形的边长AB＝BC＝CD＝AD＝10cm，∠ABC＝60°，∠BAD＝120°，∴△ABC为等边三角形，∴AC＝AB＝10cm，AO＝CO＝5cm，在Rt△AOB中，根据勾股定理得：BO＝＝5，∴BD＝2BO＝10（cm），则S菱形ABCD＝×AC×BD＝×10×10 ＝50（cm2）；故答案为：10cm，50cm2．16．解：∵E是AB的中点，∵DE丄AB，∴DE＝＝cm．∴菱形的面积为：2×＝2cm2．故答案为：2．17．解：∵菱形的周长为8，∴菱形的边长是：8×＝2，∵两个邻角的比是1：2，∴较大的角是120°，较小的角是60°，∴这个菱形的对角线AC所对的角是60°，由菱形的性质得到，AC与菱形的两边构成的三角形是等边三角形，∴AC＝2，BD＝2××tan60°＝2．故答案为：2和2．三．解答题18．（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠ADB＝∠ABD，∵BA＝BC，∴AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵BA＝BC，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：∵DE⊥BD，∴∠BDE＝90°，∴∠DBC+∠E＝∠BDC+∠CDE＝90°，∵CB＝CD，∴∠DBC＝∠BDC，∴∠CDE＝∠E，∴CD＝CE＝BC，∴BE＝2BC＝10，∵BD＝8，∴DE＝＝6，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝BC＝5，∴四边形ABED的周长＝AD+AB+BE+DE＝26．19．证明：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAD＝∠F AD，∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∠EAD＝∠ADF，∴∠F AD＝∠FDA∴AF＝DF，∴四边形AEDF是菱形．20．（1）证明：连接BD，交AC于O，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∵AE＝CF，∴OE＝OF，∴四边形BEDF是平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形BEDF是菱形；（2）解：∵∠DAB＝60°，∴∠DAE＝30°，∠ADB＝60°，∵AD＝6，∴OD＝AD＝3，∵AE＝DE，∴∠DAE＝∠ADE，∠ADE＝∠EDO＝30°，在Rt△DEO中，DE＝＝2，∴菱形BEDF的周长＝4DE＝8．21．（1）证明：∵DE∥BC，DF∥AB∴四边形DEBF是平行四边形∵DE∥BC∴∠EDB＝∠DBF∵BD平分∠ABC∴∠ABD＝∠DBF＝∠ABC∴∠ABD＝∠EDB∴DE＝BE且四边形BEDF为平行四边形∴四边形BEDF为菱形；（2）解：∵∠A＝100°，∠C＝30°，∴∠ABC＝180°﹣100°﹣30°＝50°，∵四边形BEDF为菱形，∴∠EDF＝∠ABC＝50°，∠BDE＝∠EDF＝25°．22．证明：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∠EDA＝∠F AD，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAD＝∠F AD，∴∠EAD＝∠EDA，∴EA＝ED，∴四边形AEDF为菱形．23．证明：在菱形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠D，…（3分）∵点E、F分别是BC、CD边的中点，∴BE＝BC，DF＝CD，∴BE＝DF，∴△ABE≌△ADF，…（7分）∴AE＝AF．…（9分）。
1.1 菱形的性质和判定 课时练习(含答案解析)
北师大版数学九年级上册第一章第一节菱形的性质与判定课时练习一、单选题（共15题）1.如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接△EF，则的AEF的面积是（）A．43B．33C．23D．3答案：B解析：解答：∵四边形ABCD是菱形，∴BC=CD，∠B=∠D=60°，∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴BC×AE=CD×AF，∠BAE=∠DAF=30°，∴AE=AF，∵∠B=60°，∴∠BAD=120°，∴∠EAF=120°-30°-30°=60°，∴△AEF是等边三角形，∴AE=EF，∠AEF=60°，∵AB=4，∴AE=23∴EF=AE=23过A作AM⊥EF，∴AM=AE•sin60°=3，∴△AEF的面积是：11EF AM=×23×3=3322故选：B．分析:首先利用菱形的性质及等边三角形的判定可得判断出△AEF是等边三角形，再根据三角函数计算出AE=EF的值，再过A作AM⊥EF，再进一步利用三角函数计算出AM的值，即可算出三角形的面积2.如图，在菱形ABCD中，AB=8，点E，F分别在AB，AD上，且AE=AF，过点E作EG ∥AD交CD于点G，过点F作FH∥AB交BC于点H，EG与FH交于点O．当四边形AEOF 与四边形CGOH的周长之差为12时，AE的值为（）A．6.5B．6C．5.5D．5答案：C解析：解答:∵四边形ABCD是菱形，∴AD=BC=AB=CD，AD∥BC，AB∥CD，∵EG∥AD，FH∥AB，∴四边形AEOF与四边形CGOH是平行四边形，∴AF=OE，AE=OF，OH=GC，CH=OG，∵AE=AF，∴OE=OF=AE=AF，∵AE=AF，∴BC-BH=CD-DG，即OH=HC=CG=OG，∴四边形AEOF与四边形CGOH是菱形，∵四边形AEOF与四边形CGOH的周长之差为12，∴4AE-4（8-AE）=12，解得：AE=5.5，故选C分析:根据菱形的性质得出AD∥BC，AB∥CD，推出平行四边形ABHF、AEGD、GCHO，得出AF=FO=OE=AE和OH=CH=GC=GO，根据菱形的判定得出四边形AEOF与四边形CGOH是菱形，再解答即可3.如图，BD是菱形ABCD的对角线，CE⊥AB交于点E，交BD于点F，且点E是AB中点，则tan∠BFE的值是（）A．123B．2C．D．33答案：D解析：解答:∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，∵CE⊥AB，点E是AB中点，∴BE=12BC∴∠ABC=60°，∴∠EBF=30°，∴∠BFE=60°，∴tan∠BFE的值为3故选D．分析:首先利用菱形的性质得出AB=BC，即可得出∠ABC=60°，再利用三角函数得出答案4.如图，菱形中，对角线A C、BD交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长等于（）A．3.5B．4C．7D．14答案:A解析：解答:∵菱形ABCD的周长为28，∴AB=28÷4=7，OB=OD，∵E为AD边中点，∴OE是△ABD的中位线，∴OE=11AB=×7=3.5．22故选A．分析:根据菱形的四条边都相等求出AB，再根据菱形的对角线互相平分可得OB=OD，然后判断出OE是△ABD的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解即可5.如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠ABD=30°，则菱形ABCD的面积是（）A．18B．183C．36D．363答案:B解析：解答:过点A作AE⊥BC于E，∵在菱形ABCD中，AB=6，∠ABD=30°，∴∠ABC=60°∴∠BAE=30°，∵AE⊥BC，∴AE=33∴菱形ABCD的面积是6×33=183故选B分析:本题考查了菱形的邻角互补的性质，作辅助线求出菱形边上的高线的长度是解题的关键6.如图，已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米，∠BAD=60°，则花坛对角线AC的长等于（）A．63米B．6米C．33米D．3米答案:A解析：解答:∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，AB=BC=CD=AD=24÷4=6（米），∵∠BAD=60°，∴△ABD为等边三角形，∴BD=AB=6（米），OD=OB=3（米），在△Rt AOB中，根据勾股定理得：OA=62-32=33（米），则AC=2OA=63米，故选A．分析:由四边形ABCD为菱形，得到四条边相等，对角线垂直且互相平分，根据∠BAD=60°得到三角形ABD为等边三角形，在直角三角形ABO中，利用勾股定理求出OA的长，即可确定出AC的长7.如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（-3，4），顶点C在x轴的负半轴上，函数y=kx（x＜0）的图象经过顶点B，则k的值为（）A．-12B．-27C．-32D．-36答案:C解析：解答：解：∵A（-3，4），∴OA=32+42=5，∴CB=OC=5，则点B的横坐标为-3-5=-8，故B的坐标为：（-8，4），将点B的坐标代入y=k k得，4=x8解得：k=-32．故选C．分析:根据点A的坐标以及菱形的性质求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出k的值即可8.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，E，F分别是AB，BC边上的中点，连接EF．若EF=3，BD=4，则菱形ABCD的周长为（）A．4B．43C．47D．28答案:C解析：解答:∵E，F分别是AB，BC边上的中点，EF=3∴AC=2EF=23∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=11AC=3，OB=BD=2，22∴AB=AO2BO2=7∴菱形ABCD的周长为47故选：C．分析:首先利用三角形的中位线定理得出AC，进一步利用菱形的性质和勾股定理求得边长，得出周长即可9.菱形具有而平行四边形不具有的性质是（）A．两组对边分别平行B．两组对角分别相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直答案:D解析：解答:A.不正确，两组对边分别平行；B.不正确，两组对角分别相等，两者均有此性质正确，；C.不正确，对角线互相平分，两者均具有此性质；D.菱形的对角线互相垂直但平行四边形却无此性质．故选D．分析:根据菱形的特殊性质可知对角线互相垂直10.某校的校园内有一个由两个相同的正六边形（边长为2.5m）围成的花坛，如图中的阴影部分所示，校方先要将这个花坛在原有的基础上扩建成一个菱形区域如图所示，并在新扩充的部分种上草坪，则扩建后菱形区域的周长为（）A．20m B．25m C．30m D．35m答案:C解析：解答:如图，∵花坛是由两个相同的正六边形围成，∴∠FGM=∠GMN=120°，GM=GF=EF，∴∠BMG=∠BGM=60°，∴△BMG是等边三角形，∴BG=GM=2.5（m），同理可证：AF=EF=2.5（m）∴AB=BG+GF+AF=2.5×3=7.5（m），∴扩建后菱形区域的周长为7.5×4=30（m），故选：C．分析△:根据题意和正六边形的性质及等边三角形的性质得出BMG是等边三角形，再根据正六边形的边长得出BG=GM=2.5m，同理可证出AF=EF=2.5m，再根据AB=BG+GF+AF，求出AB，从而得出扩建后菱形区域的周长11.如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB的度数是（）A．108°B．72°C．90°D．100°答案:B解析：解答:连接P A，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴∠ADP=∠CDP=12∠ADC=36°，BD所在直线是菱形的对称轴，∴P A=PC，∵AD的垂直平分线交对角线BD于点P，∴P A=PD，∴PD=PC，∴∠PCD=∠CDP=36°，∴∠CPB=∠PCD+∠CDP=72°；故选：B．分析:本题考查了菱形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质；熟练掌握菱形的性质，证明三角形是等腰三角形是解决问题的关键12.在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，则∠EAF等于（）A．60°B．55°C．45°D．30°答案:A解析：解答:如图，连接AC，∵AE⊥BC，点E是BC的中点，∴AB=AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，∴△ABC是等边三角形，∴∠CAE=30°，同理可得∠CAF=30°，∴∠EAF=∠CAE+∠CAF=30°+30°=60°．故选A．分析:连接AC，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得A B=AC，然后求出△ABC是等边三角形，再根据等边三角形的性质求出∠CAE=30°，同理可得∠CAF=30°，然后根据∠EAF=∠CAE+∠CAF计算即可得解13.菱形的两条对角线长分别为6和8，则菱形的面积是（）A．10B．20C．24D．48答案:C解析：解答：∵菱形的两条对角线的长分别是6和8，∴这个菱形的面积是：12×6×8=24．故选C．分析:由菱形的两条对角线的长分别是6和8，根据菱形的面积等于对角线积的一半，即可求得答案．14.在菱形ABCD中，下列结论错误的是（）A．BO=DO B．∠DAC=∠BAC C．AC⊥BD D．AO=DO答案:D解析：解答：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠DAC=∠BAC，BO=DO，故A，B，C正确，D错误．故选D．分析:根据菱形的两条对角线互相垂直且平分，并且每一条对角线平分一组对角；即可求得答案15.如图，在菱形ABCD中，P、Q分别是AD、AC的中点，如果PQ=3，那么菱形ABCD的周长是（）A．30B．24C．18D．6答案:B解析：解答：由题意可知，PQ是△ADC的中位线，则DC=2PQ=2×3=6，那么菱形ABCD 的周长=6×4=24，故选B．分析:根据题意得PQ是△ADC的中位线，从而可求得菱形的边长，则菱形的周长就不难求得了二、填空题（共5题）16.如图，AD是△ABC的高，DE∥AC，DF∥△AB，则ABC满足条件________时，四边形AEDF是菱形．答案:AB=AC或∠B=∠C∴DE=1解析：解答:需加条件AB=AC，这样可根据三线合一的性质，得出D是BC的中点，根据中位线定理可得，DE平行且等于AF，则AEDF为平行四边形，又可得AE=AF，则四边形AEDF为菱形．则添加条件：AB=AC．当∠B=∠C时，四边形AEDF是菱形．故答案为：AB=AC或∠B=∠C．分析:由三角形的中位线的性质，可得四边形AEDF为平行四边形，如AE=AF，则四边形AEDF为菱形，则添加条件：AB=AC17.如图，在△ABC中，已知E、F、D分别是AB、AC、BC上的点，且DE∥AC，DF∥AB，要使四边形AEDF是菱形，在不改变图形的前提下，你需添加的一个条件是________就可以证明这个多边形是菱形答案:AB=AC，答案不唯一解析：解答:添加：AB=AC，∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∵E、F、D分别是AB、AC、BC上的点，1AC，DF=AB，22∵AB=AC，∴ED=DF，∴四边形AEDF是菱形．故答案为：AB=AC．分析：此题主要考查了菱形的判定，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形18.如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD．请你添加一个适当的条件：_________，使四边形ABCD成为菱形．答案:AB=AD，答案不唯一解析：解答:添加AB=AD，∵OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD为平行四边形，∵AB=AD，∴四边形ABCD是菱形，故答案为：AB=AD分析:由条件OA=OC，OB=OD根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形ABCD为平行四边形，再加上条件AB=AD可根据一组邻边相等的平行四边形是菱形进行判定19.如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是_________答案：菱形解析：解答：∵分别以A和B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，∴AC=AD=BD=BC，∴四边形ADBC是菱形．故答案为：菱形．分析:根据垂直平分线的画法得出四边形ADBC四边的关系进而得出四边形一定是菱形20.如图，四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交于点O，添加一个条件：__________，可使它成为菱形答案：AB=BC｜AC⊥BD等解析：解答：∵四边形ABCD是平行四边形，∴当AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，当AC⊥BD时，平行四边形ABCD是菱形．故答案为：AB=BC或AC⊥BD等分析:菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形，进而得出答案三、解答题（共5题）21.如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，CE是中线，△ACD与△ACE关于直线AC对称．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）求证：BC=ED．答案：（1）证明：∵∠C=90°，点E为AB的中点，∴EA=EC，∵△ACD与△ACE关于直线AC对称．∴△ACD≌△ACE，∴EA=EC=DA=DC，∴四边形ADCE是菱形；（2）证明：∵四边形ADCE是菱形，∴CD∥AE且CD=AE，∵AE=EB，∴CD∥EB且CD=EB∴四边形BCDE为平行四边形，∴DE=BC．解析：分析:(1)利用直线对称性得出△ACD≌△ACE，进而得出EA=EC=DA=DC，求出即可；（2）利用平行四边形的判定得出四边形BCDE为平行四边形，进而得出答案22.如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，点E、F分别为AC、BC的中点．（1）求证：四边形EFCD是菱形；（2）如果AB=8，求D、F两点间的距离．∴EF=1答案:解答：（△1）证明：∵ABC与△CDE都是等边三角形∴AB=AC=BC，ED=DC=EC∵点E、F分别为AC、BC的中点11AB，EC=AC，FC=BC222∴EF=EC=FC∴EF=FC=ED=DC，∴四边形EFCD是菱形．（2）解：连接DF，与EC相交于点G，∵四边形EFCD是菱形∴DF⊥EC，垂足为G∵EF=12AB=4，EF∥AB∴∠FEG=∠A=60°在△Rt EFG中，∠EGF=90°∴DF=2FG=2×4sin∠FEC=8sin60°=43解析：分析：（1）利用三角形的中位线定理即可得到四边形EFCD的四边相等，即可证得；（2）连接DF，与EC相交于点△G，EFC是等边三角形，则△EFG是直角三角形，利用三角函数即可求得GF的长，根据DF=2GF即可求得23.如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E．（1）求证：四边形AECD是菱形；（2）若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由．答案：解答：（1）∵AB∥CD，CE∥AD，∴四边形AECD为平行四边形，∠2=∠3，又∵AC平分∠BAD，∴∠1=∠2，∴∠1=∠3，∴AD=DC，∴四边形AECD是菱形；（2）直角三角形．理由：∵AE=EC∴∠2=∠4，∵AE=EB，∴EB=EC，∴∠5=∠B，又因为三角形内角和为180°，∴∠2+∠4+∠5+∠B=180°，∴∠ACB=∠4+∠5=90°，∴△ACB为直角三角形．解析：分析:（1）利用两组对边平行可得该四边形是平行四边形，进而证明一组邻边相等可得该四边形为菱形；（2）利用菱形的邻边相等的性质及等腰三角形的性质可得两组角相等，进而证明∠ACB为直角即可．24.如图，四边形ABCD中，AB∥CD，CE∥AD交AB于E，AE=AD．求证：四边形AECD 是菱形答案：解答：证明:∵AB∥CD，CE∥AD，∴四边形AECD是平行四边形，∵AE=AD，∴四边形AECD是菱形；解析：分析:首先根据定义证明四边形AECD是平行四边形，则以及菱形的定义即可证得25.如图，由两个等宽的矩形叠合而得到四边形ABCD．试判断四边形ABCD的形状并证明答案：解答：四边形ABCD是菱形．理由：作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，由题意知：AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵两个矩形等宽，∴AR=AS，∵AR•BC=AS•CD，∴BC=CD，∴平行四边形ABCD是菱形解析：分析:作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，根据题意先证出四边形ABCD是平行四边形，再由AP=AQ得平行四边形ABCD是菱形。
北师大版九年级上册数学 1.1 菱形的性质与判定 同步练习 试题
第一章特殊平行四边形
1.1菱形的性质与判定
1.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，BD=4，则菱形ABCD的周长是_________．
2、如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD 的面积为____________cm2．
3．已知菱形两条对角线的长分别为5cm和8cm，则这个菱形的面积是________cm．4、如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点O到边AB的距离___________
5、如图，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形ABCD，若
AD=6cm，∠ABC=60°，则四边形ABCD的面积等于__________cm2．
6、如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2AD，点 E、F分别是CD 的中点，过点A作AG∥BD，交CB的延长线于点G。
（1）求证：四边形DEBF是菱形；
（2）请判断四边形AGBD是什么特殊四边形？并加以证明。
7、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，且AF=CE=AE．
（1）说明四边形ACEF是平行四边形；
（2）当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并说明理由。
北师版九上数学1.1菱形的性质与判定 同步训练(含答案)
北师版九上数学1.1菱形的性质与判定同步训练一、选择题1.如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线BF交AD于点F，FE∥AB．假定AB=5，AD=7，BF=6，那么四边形ABEF的面积为〔〕A.48B.35C.30D.242.如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AD=8，F是AB的中点．过点F作FE⊥AD，垂足为E．将△AEF 沿点A到点B的方向平移，失掉△A'E'F'．设P、P'区分是EF、E'F'的中点，当点A'与点B重合时，四边形PP'CD的面积为〔〕A. B. C. D.﹣83.假定菱形的周长是16，∠A=60°，那么对角线的长度为〔〕A.2B.C.4D.4.以下说法中，错误的选项是()A.平行四边形的对角线相互平分B.对角线相互垂直的四边形是菱形C.菱形的对角线相互垂直D.对角线相互平分的四边形是平行四边形5.如图，菱形ABCD的周长为16，面积为12，P是对角线BD上一点，区分作P点到直线AB，AD的垂线段PE，PF，那么PE＋PF等于()A.6B.3C.1.5D.0.756.菱形ABCD中，如图，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，假定BE=EC，那么∠EAF=〔〕A.75°B.60°C.50°D.45°7.己知菱形ABCD的边长为1，∠DAB=60°，E为AD上的动点，F在CD上，且AE+CF=1，设ΔBEF的面积为y，AE=x，当点E运动时，能正确描画y与x关系的图像是：()A. B. C. D.8.如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F，假定BF=12，AB=10，那么AE的长为〔〕A.16B.15C.14D.139.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=120cm，∠A=60°，点D从点C动身沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A动身沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点抵达终点时，另一个点也随之中止运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点D作DF⊥BC于点F，衔接DE，EF．当四边形AEFD是菱形时，t的值为〔〕A.20秒B.18秒C.12秒D.6秒10.如图在坐标系中放置一菱形OABC，∠ABC=60°，点B在y轴上，OA=1，先将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，延续翻转2021次，点B的落点依次为B1，B2，B3，…，那么B2021的坐标为〔〕A.〔1345，0〕B.〔1345.5，〕C.〔1345，〕D.〔1345.5，0〕二、填空题11.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是线段BO上的一个动点，点F为射线DC上一点，假定∠ABC=60°，∠AEF=120°，AB=4，那么EF能够的整数值是________．12.如图，在菱形ABCD中，E是对角线AC上一点，假定AE=BE=2，AD=3，那么CE=________．13.如图，在中，，BD为AC的中线，过点C作于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延伸线于点F，在AF的延伸线上截取FG=BD，衔接BG，DF．假定AF=8，CF=6，那么四边形BDFG的周长为________．14.如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E、F区分在线段AD及其延伸线上，且DE=DF，给出以下条件：①BE⊥EC；②AB=AC；③BF∥EC；从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你以为这个条件是________〔只填写序号〕．15.如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝120°.衔接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，使∠ACE＝120°.衔接AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH，使∠AEG＝120°，…，按此规律所作的第n个菱形的边长是________．16.如图，菱形中，=2，=5，P是上一动点〔P不与重合〕，∥交于E，∥交于F，那么图中阴影局部的面积为________。
2022-2023学年北师大版九年级数学上册《1-1菱形的性质与判定形》同步练习题(附答案)
2022-2023学年北师大版九年级数学上册《1.1菱形的性质与判定形》同步练习题（附答案）一．选择题1．关于菱形的性质，以下说法不正确的是（）A．四条边相等B．对角线相等C．对角线互相垂直D．是轴对称图形2．若菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是（）A．20B．24C．40D．483．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列说法能判定四边形ABCD是菱形的是（）A．AC⊥BD B．BA⊥AC C．AB＝CD D．∠BAD＝∠ABC 4．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OE⊥AB于点E，若∠ADC＝110°，则∠AOE的大小为（）A．20°B．35°C．55°D．70°5．如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD的中点，连接AE、AF、EF．若菱形ABCD的面积为8，则△AEF的面积为（）A．2B．3C．4D．56．如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝10，则△AOD的面积为（）A．9B．10C．11D．127．如图，平行四边形ABCD中，∠A＝110°，AD＝DC．E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠PEF＝（）A．35°B．45°C．50°D．55°8．如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在BC，DC边上，添加以下条件不能判定△ABE≌△ADF的是（）A．BE＝DF B．∠BAE＝∠DAF C．AE＝AD D．∠AEB＝∠AFD 9．如图，AC是菱形ABCD的对角线，P是AC上一个动点，过点P分别作AB、BC的垂线，垂足分别是F和E．若菱形ABCD的周长是12cm，面积是6cm2，则PE+PF的值是（）A．1.5B．1C．2D．410．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，OH＝4，则菱形ABCD的面积为（）A．24B．48C．72D．9611．如图，已知点P是菱形ABCD的对角线AC延长线上一点，过点P分别作AD、DC延长线的垂线，垂足分别为点E、F．若∠ABC＝120°，AB＝2，则PE﹣PF的值为（）A．B．C．2D．二．填空题12．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，从①AB＝AD，②AC＝BD，③∠ABC＝∠ADC 中选择一个作为条件，补充后使四边形ABCD成为菱形，则其选择是（限填序号）．13．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE⊥AD，垂足为E，AC＝8，BD＝6，则OE的长为．14．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD对角线的交点坐标是O（0，0），点B的坐标是（0，1），且BC＝，则点A的坐标是．15．如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝70°，延长BC到E，在∠DCE内作射线CM，使得∠ECM＝15°，过点D作DF⊥CM，垂足为F，若DF＝，则对角线BD的长为.（结果保留根号）16．如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC 上，且AM＝3，点P为线段BD上的一个动点，则MP+PB的最小值是．17．如图，菱形ABCD的边长为6cm，∠BAD＝60°，将该菱形沿AC方向平移2cm得到四边形A′B′C′D′，A′D′交CD于点E，则点E到AC的距离为cm．18．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，G为AD中点，点E在BC延长线上，F、H分别为CE、GE中点，∠EHF＝∠DGE，CF＝，则AB＝．三．解答题19．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝CD＝BC．分别以B、D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧交于点M．画射线AM交BC于E，连接DE．（1）求证：四边形ABED为菱形；（2）连接BD，当CE＝5时，求BD的长．20．已知：如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且BE平分∠ABC，EF∥AB．求证：四边形ABFE是菱形．21．如图，四边形ABCD是平行四边形，延长DA，BC，使得AE＝CF，连接BE，DF．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）连接BD，∠1＝30°，∠2＝20°，当∠ABE＝°时，四边形BFDE是菱形．22．如图，在▱ABCD中，G为BC边上一点，DG＝DC，延长DG交AB的延长线于点E，过点A作AF∥ED交CD的延长线于点F．求证：四边形AEDF是菱形．23．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知OA＝OC，OB＝OD，过点O作EF⊥BD，分别交AB、DC于点E，F，连接DE，BF，AF．（1）求证：四边形DEBF是菱形；（2）设AD∥EF，AD+AB＝12，BD＝4，求AF的长．24．如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点，连接DE、EF、AE．（1）求证：四边形ADEF为平行四边形；（2）加上条件后，能使得四边形ADEF为菱形，请从①∠BAC＝90°；②AE 平分∠BAC；③AB＝AC这三个条件中选择1个条件填空（写序号），并加以证明．25．如图，已知△ABC中，D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，过点A作AF∥BC交DE于点F，连接AE、CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若CF＝2，∠F AC＝30°，∠B＝45°，求AB的长．26．如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）求证：四边形BEDF是菱形．27．如图，四边形ABCD是菱形，点E、F分别在边AB、AD的延长线上，且BE＝DF，连接CE、CF．求证：CE＝CF．28．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线EF与BA、DC的延长线分别交于点E、F．（1）求证：AE＝CF；（2）请再添加一个条件，使四边形BFDE是菱形，并说明理由．参考答案一．选择题1．解：A．菱形的四条边相等，正确，不符合题意，B．菱形的对角线互相垂直且平分，对角线不一定相等，不正确，符合题意，C．菱形的对角线互相垂直且平分，正确，不符合题意，D．菱形是轴对称图形，正确，不符合题意，故选：B．2．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC与BD互相平分，AC⊥BD，菱形的边长＝＝＝5，∴个菱形的周长＝4×5＝20，故选：A．3．解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，故选项A符合题意；B、由四边形ABCD是平行四边形，BA⊥AC，不能判定四边形ABCD是菱形，故选项B不符合题意；C、由四边形ABCD是平行四边形，AB＝CD，不能判定四边形ABCD是菱形，故选项C不符合题意；D、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠BAD+ABC＝180°，∵∠BAD＝∠ABC，∴∠BAD＝90°，∴平行四边形ABD是矩形，故选项D不符合题意；故选：A．4．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠ABC＝∠ADC＝110°，∴∠ABO＝∠ABC＝55°，∵OE⊥AB，∴∠OEB＝90°，∴∠BOE＝90°﹣55°＝35°，∴∠AOE＝90°﹣35°＝55°，故选：C．5．解：连接AC、BD，交于点O，AC交EF于点G，∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝OC，菱形ABCD的面积为：，∵点E、F分别是边BC、CD的中点，∴EF∥BD，EF＝BD，∴AC⊥EF，AG＝3CG，设AC＝a，BD＝b，∴＝8，即ab＝16，S△AEF＝＝＝ab＝3．故选：B．6．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD＝BC＝AB，AC⊥BD，AO＝CO，DO＝BO，∴∠AOD＝∠COD＝∠BOC＝∠AOB＝90°，∴Rt△AOD≌Rt△COD≌Rt△BOC≌Rt△AOB（HL），即四个三角形的面积相等，∵在菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝10，∴菱形ABCD的面积为：AC•BD＝40．∴△AOD的面积为：40＝10．故选：B．7．解：∵平行四边形ABCD中，AD＝DC，∴四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC，∠ABC＝180°﹣∠A＝70°，∵E，F分别为AB，BC的中点，∴BE＝BF，∠BEF＝∠BFE＝55°，∵PE⊥AB，∴∠PEB＝90°∴∠PEF＝90°﹣55°＝35°，故选：A．8．解：由四边形ABCD是菱形可得：AB＝AD，∠B＝∠D，A、添加BE＝DF，可用SAS证明△ABE≌△ADF，故不符合题意；B、添加∠BAE＝∠DAF，可用ASA证明△ABE≌△ADF，故不符合题意；C、添加AE＝AD，不能证明△ABE≌△ADF，故符合题意；D、添加∠AEB＝∠AFD，可用AAS证明△ABE≌△ADF，故不符合题意；故选：C．9．解：如图，连接BP，∵菱形ABCD的周长是12cm，面积是6cm2，∴AB＝BC＝＝3（cm），S△ABC＝＝3（cm2），∵S△ABC＝S△ABP+S△BPC，∴3＝AB•PF+BC•PE，∴3＝×3×PE+×3×PF＝（PE+PF），∴PE+PF＝2（cm），故选：C．10．解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝6，OB＝OD，AC⊥BD，∴AC＝12，∵DH⊥AB，∴∠BHD＝90°，∴BD＝2OH＝2×4＝8，∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝×12×8＝48，故选：B．11．解：设AC交BD于O，如图：∵在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝2，∴∠BAD＝∠BCD＝60°，∠DAC＝∠DCA＝30°，AD＝AB＝2，BD⊥AC，Rt△AOD中，OD＝AD＝1，OA＝＝，∴AC＝2OA＝2，Rt△APE中，∠DAC＝30°，PE＝AP，Rt△CPF中，∠PCF＝∠DCA＝30°，PF＝CP，∴PE﹣PF＝AP﹣CP＝（AP﹣CP）＝AC，∴PE﹣PF＝，故选：B．二．填空题12．解：①∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD，∴平行四边形ABCD是菱形；②∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形；③∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠ADC，因此∠ABC＝∠ADC时，四边形ABCD还是平行四边形；故答案为：①．13．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO，DO＝BO，∵AC＝8，BD＝6，∴AO＝4，DO＝3，∴AD＝＝＝5，又∵OE⊥AD，∴，∴，解得OE＝，故答案为：．14．解：∵四边形ABCD是菱形，∴∠BOC＝90°，OC＝OA，∵点B的坐标是（0，1），∴OB＝1，在直角三角形BOC中，BC＝，∴OC＝＝2，∴点C的坐标（﹣2，0），∵点A与点C关于原点对称，∴点A的坐标（2，0）．故答案为：（2，0）．15．解：如图，连接AC交BD于点H，由菱形的性质得∠BDC＝35°，∠DCE＝70°，又∵∠MCE＝15°，∴∠DCF＝55°，∵DF⊥CM，∴∠CDF＝35°，又∵四边形ABCD是菱形，∴BD平分∠ADC，∴∠HDC＝35°，在△CDH和△CDF中，，∴△CDH≌△CDF（AAS），∴DF＝DH＝，∴DB＝2，故答案为2．16．解：如图，过点P作PE⊥BC于E，∵四边形ABCD是菱形，AB＝AC＝10，∴AB＝BC＝AC＝10，∠ABD＝∠CBD，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠CBD＝30°，∵PE⊥BC，∴PE＝PB，∴MP+PB＝PM+PE，∴当点M，点P，点E共线且ME⊥BC时，PM+PE有最小值为ME，∵AM＝3，∴MC＝7，∴ME＝，∴MP+PB的最小值为，故答案为．17．解：如图，连接BD，过点E作EF⊥AC于点F，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB，BD⊥AC，∵∠BAD＝60°，∴三角形ABD是等边三角形，∵菱形ABCD的边长为6cm，∴AD＝AB＝BD＝6cm，∴AG＝GC＝3（cm），∴AC＝6（cm），∵AA′＝2（cm），∴A′C＝4（cm），∵AD∥A′E，∴＝，∴＝，∴A′E＝4（cm），∵∠EA′F＝∠DAC＝DAB＝30°，∴EF＝A′E＝2（cm）．故答案为：2．18．解：连接CG，过点C作CM⊥AD，交AD的延长线于M，∵F、H分别为CE、GE中点，∴FH是△CEG的中位线，∴HF＝CG，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DGE＝∠E，∵∠EHF＝∠DGE，∴∠E＝∠EHF，∴HF＝EF＝CF，∴CG＝2HF＝2，∵AB∥CD，∴∠CDM＝∠A＝60°，设DM＝x，则CD＝2x，CM＝，∵点G为AD的中点，∴DG＝x，在Rt△CMG中，由勾股定理得：CG＝＝2，∴x＝2，∴AB＝CD＝2x＝4．故答案为：4．三．解答题19．证明：（1）连接BD，根据题意得出AM为BD的线段垂直平分线，即BD⊥AE，∵AD∥BC，AB＝AD＝CD＝BC，∴∠ADB＝∠DBE，∠ABD＝∠ADB，∴∠ABD＝∠DBE，∵BD⊥AE，∴AB＝BE，∴AD＝AB＝BE＝DE，∴四边形ABED为菱形；方法二：设AE与BD的交点为O，∴AM为BD的线段垂直平分线，∴BO＝DO，由平行可得∠DAO＝∠BEO，∵∠AOD＝∠EOB，∴△AOD≌△EOB（AAS），∴AO＝EO，∴四边形ABED是平行四边形，∵AE⊥BD，∴平行四边形ABED是菱形；（2）∵AB＝AD＝CD＝BC，BE＝AD，∴E是BC的中点，∵DE＝BE＝CE＝CD＝5，∴△BDC是直角三角形，∵2DC＝BC，∴△BDC是含30°的直角三角形，∴BD＝CD＝5．20．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，又∵EF∥AB，∴四边形ABFE是平行四边形，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠FBE，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBF，∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE，∴平行四边形ABFE是菱形．21．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠BAD＝∠BCD，∴∠1＝∠DCF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）当∠ABE＝10°时，四边形BFDE是菱形，理由如下：∵△ABE≌△CDF，∴BE＝DF，AE＝CF，∴BF＝DE，∴四边形BFDE是平行四边形，∵∠1＝30°，∠2＝20°，∴∠ABD＝∠1﹣∠2＝10°，∵∠ABE＝10°，∴∠DBE＝20°，∴∠DBE＝∠2＝20°，∴BE＝DE，∴平行四边形BFDE是菱形，故答案为10．22．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD＝∠C，AD∥BC，AB∥CD，∵AF∥ED，∴四边形AEDF是平行四边形，∵AD∥BC，∴∠DGC＝∠ADE，∵DG＝DC，∴∠DGC＝∠C，∴∠BAD＝∠ADE，∴AE＝DE，∴平行四边形AEDF是菱形．23．（1）证明：∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，在△BOE和△DOF中，，∴△BOE≌△DOF（ASA），∴BE＝DF，∵BE∥DF，∴四边形DEBF是平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形DEBF是菱形；（2）过点F作FG⊥AB于点G，如图，∵AD∥EF，EF⊥BD，∴∠ADB＝90°，∴在Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2，∵AD+AB＝12，BD＝4，∴AD2+（4）2＝（12﹣AD）2，解得AD＝4，AB＝8，∴sin∠ABD＝，∴∠ABD＝30°，∵四边形DEBF是菱形，∴∠EBF＝2∠ABD＝60°，∴△BEF是等边三角形，∵OB＝OD，EF∥AD，∴AE＝BE＝4，∵FG⊥BE，∴EG＝BG＝2，在Rt△BGF中，BF＝4，BG＝2，根据勾股定理得，FG＝，在Rt△AGF中，AG＝6，根据勾股定理得，AF＝＝＝4．24．解：（1）证明：已知D、E、F为AB、BC、AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，根据三角形中位线定理，∴DE∥AC，且DE＝＝AF．即DE∥AF，DE＝AF，∴四边形ADEF为平行四边形．（2）证明：选②AE平分∠BAC，∵AE平分∠BAC，∴∠DAE＝∠F AE，又∵ADEF为平行四边形，∴EF∥DA，∴∠DAE＝∠AEF，∴∠F AE＝∠AEF，∴AF＝EF，∴平行四边形ADEF为菱形．选③AB＝AC，∵EF∥AB且EF＝，DE∥AC且DE＝，又∵AB＝AC，∴EF＝DE，∴平行四边形ADEF为菱形．25．解：（1）证明：如图，在△ABC中，点D是AC的中点，∴AD＝DC，∵AF∥BC，∴∠F AD＝∠ECD，∠AFD＝∠CED，∴△AFD≌△CED（AAS），∴AF＝EC，∴四边形AECF是平行四边形，又EF⊥AC，点D是AC的中点，即EF垂直平分AC，∴AF＝FC，∴平行四边形AECF是菱形．（2）如图，过点A作AG⊥BC于点G，由（1）知四边形AECF是菱形，又CF＝2，∠F AC＝30°，∴AF∥EC，AE＝CF＝2，∠F AE＝2∠F AC＝60°，∴∠AEB＝∠F AE＝60°，∵AG⊥BC，∴∠AGB＝∠AGE＝90°，∴∠GAE＝30°，∴GE＝AE＝1，AG＝GE＝，∵∠B＝45°，∴∠GAB＝∠B＝45°，∴BG＝AG＝，∴AB＝BG＝．26．证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）如图，连接BD，交AC于O，∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，AO＝CO，BO＝DO，∵AE＝CF，∴EO＝FO，∴四边形BEDF是平行四边形，又∵BD⊥EF，∴平行四边形BEDF是菱形．27．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD，∠ABC＝∠ADC，∵∠ABC+∠CBE＝180°，∠ADC+∠CDF＝180°，∴∠CBE＝∠CDF，在△CDF和△CBE中，，∴△CDF≌△CBE（SAS），∴CE＝CF．28．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，BE∥DF，∴∠E＝∠F，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（AAS），∴AE＝CF；（2）当EF⊥BD时，四边形BFDE是菱形，理由如下：如图：连结BF，DE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，∵△AOE≌△COF，∴OE＝OF，∴四边形BFDE是平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形BFDE是菱形．。
北师大版数学九年级 上册 第一章 1.1菱形的性质与判定 同步练习(及答案)
北师大版九年级上册第一章特殊平行四边形1.1菱形的性质与判定同步练习1.有一组相等的平行四边形是菱形.2.菱形的四条边都,对角线互相.3.如图1-1-1所示,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,下列说法错误的是( )图1-1-1A.AB∥DCB.AC=BDC.AC⊥BDD.OA=OC4.如图1-1-2所示,菱形ABCD的边长为6,∠ABC=60°,则对角线AC的长是.图1-1-25.如图1-1-3所示,在菱形ABCD中,已知∠A=60°,AB=5,则△ABD的周长是( )图1-1-3A.10B.12C.15D.206.菱形的周长为8 cm,高为1 cm,则该菱形较大的内角的度数为( )A.160°B.150°C.135°D.120°7.如图1-1-4所示,已知菱形ABCD中,AE⊥BC于E,若S菱形ABCD=24,且AE=6,则菱形的边长为( )图1-1-4A.12B.8C.4D.28.已知菱形的面积等于80 cm2,高等于8 cm,则菱形的周长为.9.如图1-1-5所示,点E是菱形ABCD的对角线BD上任意一点,连接AE,CE,可找出图中一对全等三角形为.图1-1-510.如图1-1-6所示,在菱形ABCD中,E,F分别是CB,CD上的点,且BE=DF.求证：(1)△ABE≌△ADF;(2)∠AEF=∠AFE.图1-1-611.如图1-1-7所示,一张平行四边形纸片ABCD,AB>BC,点E是AB上一点,且EF∥BC,若沿EF剪开,能得到两张菱形纸片,则AB与BC间的数量关系为( )图1-1-7A.AB=2BCB.AB=3BCC.AB=4BCD.不能确定12.菱形的两条对角线的长分别是6和8,则这个菱形的周长是( )A.28B.20C.14D.513.如图1-1-8所示,四边形ABCD是菱形,O是两条对角线的交点,过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分.当菱形的两条对角线的长分别为6和8时,则阴影部分的面积为.图1-1-814.如图1-1-9所示,P为菱形ABCD的对角线AC上一点,PE⊥AB于点E,PF⊥AD于点F,PF=3,则PE的长是.图1-1-915.如图1-1-10所示,在菱形ABCD中,AE⊥BC,E为垂足.且BE=CE,AB=2.求：(1)∠BAD的度数;(2)对角线AC的长及菱形ABCD的周长.图1-1-1016.如图1-1-11所示,在菱形ABCD中,E是AB的中点,且DE⊥AB,设AB=a,求：(1)∠ABC的度数;(2)对角线AC的长;(3)菱形ABCD的面积.图1-1-1117.对角线的是菱形.18.四边的是菱形.19.对角线且的四边形是菱形.20.如图1-1-12所示,如果要想▱ABCD成为一个菱形,需要添加一个条件,那么你添加的条件是.图1-1-1221.下列命题中是真命题的是( )A.有一组邻边相等的四边形是菱形B.四条边都相等的四边形是菱形C.对角线互相垂直的四边形是菱形D.对角线互相平分且相等的四边形是菱形22.如图1-1-13所示,四边形ABCD内有一点E,AE=BE=DE=BC=DC,AB=AD,若∠C=100°,则∠BAD的大小是( )图1-1-13A.25°B.50°C.60°D.80°23.如图1-1-14所示,已知在四边形ABCD,AC,BD相交于点O,OA=OC,OB=OD,添加一个条件使四边形ABCD 为菱形,你添加的条件为.(只写出一个符合要求的条件即可)图1-1-1424.如图1-1-15所示,小明在作线段AB的垂直平分线时,是这样操作的：分别以点A,B为圆心,大于线段AB长度一半的长为半径画弧,相交于点C,D,则直线CD即为所求.连接AC,BC,AD,BD,根据他的作图方法可知,四边形ADBC一定是.图1-1-1525.如图1-1-16所示,两张等宽的纸条交叉重叠在一起,重叠部分的四边形ABCD是形.图1-1-1626.如图1-1-17所示,在△ABC中,AB=AC,∠B=60°,∠CAF和∠ACE是△ABC的两个外角,AD平分∠CAF,CD平分∠ACE.求证：四边形ABCD是菱形.图1-1-1727.如图1-1-18所示,△ABC为等腰三角形,如果把它沿底边BC翻折后,得到△DBC,那么四边形ABDC为( )图1-1-18A.一般平行四边形B.正方形C.矩形D.菱形28.如图1-1-19所示,在△ABC中,AB>AC,D,E分别是AB,AC上的点,△ADE沿线段DE翻折,使点A落在边BC上,记为A’.若四边形ADA’E是菱形,则下列说法正确的是( )图1-1-19A.DE是△ABC的中位线B.AA’是BC边上的中线C.AA’是BC边上的高D.AA’是△ABC的角平分线29.如图1-1-20所示,等边三角形ABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA边上的中点,那么图中有个等边三角形,有个菱形.图1-1-2030.如图1-1-21所示,以△ABC的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形,即△ABD,△BCE,△ACF,其中BC>AB且BC>AC.(1)四边形ADEF是;(2)当△ABC满足条件时,四边形ADEF为菱形.图1-1-2131.如图1-1-22所示,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=CD,AC⊥BD,那么四边形ABCD是菱形吗?说明理由.图1-1-2232.如图1-1-23所示,已知四边形ABCD为平行四边形,对角线AC的垂直平分线与边AD,BC分别交于点E,F.求证：四边形AFCE是菱形.图1-1-23参考答案1.邻边2.相等垂直3.B4.65.C6.B7.C8.40 cm9.△ABE≌△CBE(或△ADE≌△CDE或△ABD≌△CBD)(答案不唯一)10.证明：(1)在菱形ABCD中,AB=AD,∠B=∠D,又∵BE=DF,∴△ABE≌△ADF(SAS).(2)∵△ABE≌△ADF,∴AE=AF,∴∠AEF=∠AFE.11.A12.B13.1214.315.解：(1)∵AE⊥BC,且BE=CE,∴△ABC为等边三角形,∠B=∠D=60°,∴∠BAD=∠BCD=120°.(2)AC=AB=2,菱形ABCD的周长为：4×2=8.16.解：(1)∵E是AB的中点,∴AE=a.∵四边形ABCD是菱形,∴AD=AB=a,∠DAB+∠ABC=180°.又∵DE⊥AB,∴∠ADE=30°,∠DAB=60°.∴∠ABC=120°.(2)过点C作CF⊥AB交AB延长线于点F, 则CF=DE=a.∵四边形ABCD是菱形,∴∠CAB=∠DAB=30°.∴AC=2CF=a.(3)S菱形ABCD=AB·DE=a×a2.17.互相垂直平行四边形18.相等四边形19.互相垂直互相平分20.AB=AD(或AC⊥BD)(答案不唯一)21.B22.B23.AC⊥BD(答案不唯一)24.菱形25.菱26.证明：∵∠B=60°,AB=AC,∴△ABC为等边三角形.∴AB=BC,∠ACB=∠BAC=60°.∴∠CAF=∠ACE=120°.又∵AD平分∠CAF,CD平分∠ACE,∴∠DAF=∠DCE=∠B=60°.∴AD∥BC,AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形.又∵AB=BC,∴四边形ABCD是菱形.27.D28.D29.5 330.(1)平行四边形(2)AB=AC31.解：四边形ABCD是菱形.∵四边形ABCD中,AB∥CD,且AB=CD, ∴四边形ABCD是平行四边形.又∵AC⊥BD,∴四边形ABCD是菱形.32.证明：∵在▱ABCD中,AD∥BC,∴∠EAO=∠FCO.又∵EF是对角线AC的垂直平分线, ∴AO=CO,∠AOE=∠COF=90°,∴△AOE≌△COF(ASA).∴OE=OF.∴EF与AC互相垂直平分.∴四边形AFCE是菱形.。
北师大版九年级上册数学1.1 菱形的性质与判定同步练习(附答案)
第一章特殊平行四边形1．1 菱形的性质与断定第1课时菱形的性质1．有一组__邻边__相等的平行四边形是菱形．2．菱形是__轴__对称图形，菱形的四边__相等__，菱形的对角线__互相垂直__．知识点一：菱形的定义1．四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为菱形，还需要添加一个条件，这个条件是(B)A．AB＝CD B．AB＝BCC．AD＝BC D．AC＝BD2．如图，在▱ABCD中，∵∠1＝∠2，∴BC＝DC.∴▱ABCD是菱形__有一组邻边相等的平行四边形是菱形__．(请在横线上填上理由)知识点二：菱形的性质3．假设菱形两条对角线的长分别为6和8，那么这个菱形的周长为(A)A．20B．16C．12D．104．(易错题)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以下说法错误的选项是(B)A．AB∥DC B．AC＝BDC．AC⊥BD D．OA＝OC,第4题图),第5题图) 5．如图，在菱形ABCD中，不一定成立的是(C)A．四边形ABCD是平行四边形B．AC⊥BDC．△ABC是等边三角形D．∠CAB＝∠CAD6．在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝5，那么△ABD的周长是(C)A．10 B．12 C．15 D．207．菱形的一个内角为120°，边长为8，那么它较短的对角线长是(C)A．3 B．4 C．8 D．8 38．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点H为AD边中点，菱形ABCD 的周长为28，那么OH的长等于(A)A．B．4C．7 D．149．(2021·烟台)如图，在菱形ABCD中，点M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连接OB.假设∠DAC＝28°，那么∠OBC的度数为(C) A．28°B．52°C．62°D．72°10．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，AB＝5，AO＝4，求BD的长．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD且BO＝DO.在Rt△AOB中，∵AB＝5，AO＝4，由勾股定理，得BO＝3，∴BD＝611．(2021·上海)如图，AC，BD是菱形ABCD的对角线，那么以下结论一定正确的选项是(B)A．△ABD与△ABC的周长相等B．△ABD与△ABC的面积相等C．菱形的周长等于两条对角线之和的两倍D．菱形的面积等于两条对角线之积的两倍,第11题图),第12题图) 12．如图，菱形ABCD，其顶点A，B在数轴上对应的数分别为－4和1，那么BC＝__5__．13．如图是根据四边形的不稳定性制作的边长均为15 cm的可活动菱形衣架．假设墙上钉子间的间隔AB＝BC＝15 cm，那么∠1＝__120__°.,第13题图),第14题图) 14．(2021·白银)如图，四边形ABCD是菱形，点O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形分成阴影和空白局部．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，那么阴影局部的面积为__12__．15．(2021·宜宾)菱形的周长为20 cm，两个相邻的内角的度数之比为1∶2，那么较长的对角线长度是16．如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别是边CD，AD的中点．求证：AE＝CF.解：证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD.∵点E，F分别是CD，AD的中点，∴DE＝12CD，DF＝12AD，∴DE＝DF.又∵∠ADE＝∠CDF，∴△AED≌△CFD(SAS)，∴AE＝CF17．如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别是边BC，AD的中点．(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)假设∠B＝60°，AB＝4，求线段AE的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝AD＝CD，∠B＝∠D，∵点E，F分别是边BC，AD的中点，∴BE＝DF，∴△ABE≌△CDF(SAS)(2)易得△ABC是等边三角形，点E为BC的中点，从而AE⊥BC，AE＝2318．如图，在菱形ABCD中，点F是BC上任意一点，连接AF交对角线BD于点E，连接EC.(1)求证：AE＝EC；(2)当∠ABC＝60°，∠CEF＝60°时，点F在线段BC上的什么位置？说明理由．解：(1)证明：连接AC.∵BD是菱形ABCD的对角线，∴BD垂直平分AC.∴AE＝EC(2)点F是线段BC的中点．理由：∵ABCD是菱形，∴AB＝CB.又∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形．∴∠BAC＝60°.∵AE＝EC，∴∠EAC＝∠ACE.∵∠CEF＝60°，∴∠EAC＝30°.∴AF是△ABC的角平分线．又∵△ABC是等边三角形，∴BF＝CF.∴点F是线段BC的中点第2课时菱形的断定对角线__互相垂直__的平行四边形是菱形；__四边相等__的四边形是菱形．知识点：菱形的断定1．小明和小亮在做一道习题，假设四边形ABCD是平行四边形，请补充条件，使得四边形ABCD是菱形．小明补充的条件是AB＝BC；小亮补充的条件是AC＝BD，你认为以下说法正确的选项是(B)A．小明、小亮都正确B．小明正确，小亮错误C．小明错误，小亮正确D．小明、小亮都错误2．以下命题中正确的选项是(D)A．对角线相等的四边形是菱形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线相等的平行四边形是菱形D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形3．如图，以下条件之一能使▱ABCD是菱形的是(D)①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝BC；④BD平分∠ABC.A．①③B．②③C．③④D．①③④,第3题图),第4题图) 4．如下图，在△ABC中，AB＝AC，∠A<90°，BC，CA，AB的中点分别为点D，F，E，那么四边形AFDE是(A)A．菱形B．长方形C．正方形D．以上都不对5．用直尺和圆规作一个以线段AB为边的菱形，作图痕迹如下图，能得到四边形ABCD 是菱形的根据是(B)A．一组邻边相等的四边形是菱形B．四边相等的四边形是菱形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形,第5题图),第6题图) 6．(易错题)如图，以下条件能断定四边形ABCD为菱形的有(C)①AB＝BC＝CD＝DA；②AC，BD互相垂直平分；③平行四边形ABCD，且AC⊥BD；④平行四边形ABCD，且AC＝BD.A．1个B．2个C．3个D．4个7．(2021·淄博)▱ABCD，对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使▱ABCD成为一个菱形，你添加的条件是__AD＝DC(答案不唯一)__．8．如图，ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB＝OD，请你添加一个适当的条件__OA＝OC或AD＝BC或AD∥BC或AB＝BC__，使四边形ABCD成为菱形．(只需添加一个即可)9．(2021·舟山)：如图，在▱ABCD中，点O为对角线BD的中点，过点O的直线EF 分别交AD，BC于E，F两点，连接BE，DF.(1)求证：△DOE ≌△BOF ； (2)当∠DOE 等于多少度时，四边形BFDE 为菱形？请说明理由． 解：(1)证明：∵▱ABCD 中，点O 为对角线BD 的中点，∴BO ＝DO ，∠EDB ＝∠FBO ，在△EOD 和△FOB 中⎩⎨⎧∠EDO ＝∠OBF ，DO ＝BO ，∠EOD ＝∠FOB ，∴△DOE ≌△BOF (ASA )(2)当∠DOE ＝90°时，四边形BFDE 为菱形，理由：∵△DOE ≌△BOF ，∴BF ＝DE ，又∵BF ∥DE ，∴四边形EBFD 是平行四边形，∵BO ＝DO ，∠EOD ＝90°，∴EB ＝DE ，∴四边形BFDE 为菱形10．(2021·徐州)假设顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，那么该四边形一定是( C )A ．长方形B ．对角线相等的梯形C ．对角线相等的四边形D ．对角线互相垂直的四边形11．如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．甲、乙两人的作法如下： 甲：连接AC ，作AC 的垂直平分线MN 分别交AD ，AC ，BC 于点M ，O ，N ，连接AN ，CM ，那么四边形ANCM 是菱形．乙：分别作∠A ，∠B 的平分线AE ，BF ，分别交BC ，AD 于点E ，F ，连接EF ，那么四边形ABEF 是菱形．根据两人的作法可判断( C )A ．甲正确，乙错误B ．乙正确，甲错误C ．甲、乙均正确D ．甲、乙均错误12．(2021·十堰)如图，在△ABC 中，点D 是BC 的中点，点E ，F 分别在线段AD 及其延长线上，且DE ＝DF.给出以下条件：①BE ⊥EC ；②BF ∥CE ；③AB ＝AC.从中选择一个条件使四边形BECF 是菱形，你认为这个条件是__③__．(只填写序号)13．(2021·新疆)如图，△ABC ，按如下步骤作图：①分别以点A ，C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧交点P ，Q 两点； ②作直线PQ ，分别交AB ，AC 于点E ，D ，连接CE ；③过点C 作CF ∥AB 交PQ 于点F ，连接AF.(1)求证：△AED ≌△CFD ；(2)求证：四边形AECF 是菱形．解：(1)由作图知：PQ 为线段AC 的垂直平分线，∴AE ＝CE ，AD ＝CD ，∵CF ∥AB ，∴∠EAC ＝∠FCA ，∠CFD ＝∠AED ，在△AED 与△CFD 中，⎩⎨⎧∠EAC ＝∠FCA ，AD ＝CD ，∠CFD ＝∠AED ，∴△AED ≌△CFD(2)∵△AED ≌△CFD ，∴AE ＝CF ，∵EF 为线段AC 的垂直平分线，∴EC ＝EA ，FC ＝FA ，∴EC ＝EA ＝FC ＝FA ，∴四边形AECF 为菱形14．(2021·南京)如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，过点E 作EF ∥AB 交BC 于点F.(1)求证：四边形DBFE 是平行四边形；(2)当△ABC 满足什么条件时，四边形DBFE 是菱形？为什么？解：(1)证明：∵点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥BC ，又∵EF ∥AB ，∴四边形DBFE 是平行四边形 (2)当AB ＝BC 时，四边形是菱形．理由如下：∵点D 是AB 的中点，∴BD ＝12AB ，∵DE 是△ABC 的中位线，∴DE ＝12BC ，∵AB ＝BC ，∴BD ＝DE ，又∵四边形DBFE 是平行四边形，∴四边形DBFE 是菱形15．某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全一样的且含60°角的直角三角形ABC 与AFE 按如图①所示位置放置，现将Rt △AEF 绕A 点按逆时针方向旋转角α(0°<α<90°)，如图②，AE 与BC 交于点M ，AC 与EF 交于点N ，BC 与EF 交于点P .(1)求证：AM ＝AN ；(2)当旋转角α＝30°，四边形ABPF 是什么样的特殊四边形？并说明理由．解：(1)证明：∵α＋∠EAC ＝90°，∠NAF ＋∠EAC ＝90°，∴α＝∠NAF.又∵∠B ＝∠F ，AB ＝AF ，∴△ABM ≌△AFN ，∴AM ＝AN (2)四边形ABPF 是菱形．理由：∵α＝30°，∠EAF ＝90°，∴∠BAF ＝120°.又∵∠B ＝∠F ＝60°，∴∠B ＋∠BAF ＝60°＋120°＝180°，∠F ＋∠BAF ＝60°＋120°＝180°.∴AF ∥BC ，AB ∥EF.∴四边形ABPF 是平行四边形．又∵AB ＝AF ，∴四边形ABPF 是菱形。
2023-2024学年九年级数学上册《第一章 菱形的性质与判》同步训练及答案(北师大版)
2023-2024学年九年级数学上册《第一章菱形的性质与判》同步训练及答案（北师大版）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一．选择题（共8小题，满分32分）1．在数学活动课上，老师和同学判断教室中的瓷砖是否为菱形，下面是某小组拟定的4种方案，其中不正确的是（）A．测量两条对角线是否分别平分两组内角B．测量四个内角是否相等C．测量两条对角线是否互相垂直且平分D．测量四条边是否相等2．若菱形两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为（）A．10B．12C．16D．203．如图，菱形ABCD，∠DAB＝70°，点E是对角线AC上一点，点F是边BC上一点，且DE＝FE，则∠DEF的度数为（）A．100°B．110°C．120°D．140°4．如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝45°，DE⊥BC于点E，交对角线AC于点P，过点P作PF⊥CD于点F．若△PDF的周长为8．则菱形ABCD的面积为（）A．16B．16√2C．32D．32√25．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC＝6，DB＝8，AE⊥BC于点E，则AE＝（）A ．6B ．8C ．245D ．4856．从菱形的钝角顶点，向对角的两边条垂线，垂足恰好在该边的中点，则菱形的内角中钝角的度数是（ ）A ．150°B ．135°C ．120°D ．100°7．如图，菱形ABCD 的周长为40cm ，对角线AC 、BD 相交于点O ，DE ⊥AB ，垂足为E ，DE ：AB ＝4：5，则下列结论：①DE ＝8cm ；②BE ＝4cm ；③BD ＝4√5cm ；④AC ＝8√5cm ；⑤S菱形ABCD ＝80cm 2，正确的有（ ）A ．①②④⑤B ．①②③④C ．①③④⑤D ．①②③④⑤8．如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，过点C 作AB 垂线交AB 延长线于点E ，连接OE ，若AB ＝2√5，BD ＝4，则OE 的长为（ ）A ．6B ．5C ．2√5D ．4二．填空题（共8小题，满分40分）9．如图，菱形ABCD 中，若BD ＝8，AC ＝6，则AB 的长等于 ，菱形ABCD 的面积等于 ．10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，菱形ABCD 的顶点A （0，4），D （﹣3，0），若点C 在x 轴正半轴上，则点B 的坐标为 ．11．菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是AD 的中点，点F ，G 在AB 上，EF ⊥AB ，OG ∥EF ．AD＝10，EF＝4，则BG的长．12．在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．现存在以下四个条件：①AB∥CD；②AO＝OC；③AB＝AD；④AC平分∠DAB．从中选取三个条件，可以判定四边形ABCD为菱形．则可以选择的条件序号是（写出所有可能的情况）．13．菱形ABCD中，AB＝5，AC＝8，点E为AC上的动点，连接BE，以AE、BE为边作平行四边形AEBF，则EF长的最小值为．14．如图：点E、F为线段BD的两个三等分点，四边形AECF是菱形，且菱形AECF的周长为20，BD为24，则四边形ABCD的面积为．15．如图，已知AB＝2√2，C为线段AB上的一个动点，分别以AC，CB为边在AB的同侧作菱形ACED和菱形CBGF，点C，E，F在一条直线上，∠D＝120°．P、Q分别是对角线AE，BF的中点，当点C在线段AB上移动时，点P，Q之间的距离最短为（结果保留根号）．16．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝12，BD＝16，点P为边BC上一点，且P不与写B、C 重合．过P作PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，连接EF，则EF的最小值等于．三．解答题（共6小题，满分48分）17．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，EF垂直平分AD交AB于E，交AC于F．求证：四边形AEDF是菱形．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB上的一点，连接CD，CE∥AB，BE∥CD，且CE＝AD．（1）求证：四边形BDCE是菱形；（2）过点E作EF⊥BD，垂足为点F，若点F是BD的中点，EB＝6，求BC的长．19．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是AD上一点，连接EO并延长，交BC于点F．连接AF，CE，EF平分∠AEC．（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）若∠DAC＝60°，AC＝2，求四边形AFCE的面积．20．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是AB上一点（不与点A，B重合），线段CE的垂直平分线交CE 于点F，交BD于点G，连接AG，EG．（1）根据题意补全图形，并证明AG＝EG；（2）用等式表示线段AG与CE之间的数量关系，并证明．21．如图，在菱形ABCD中，BE⊥CD于点E，DF⊥BC于点F．（1）求证：BF＝DE；（2）分别延长BE和AD交于点G，若∠A＝45°，AB＝1，求DG的值．22．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC、BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C 作CE⊥AB交AB的延长线于点E．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB＝6，BD＝8，求CE的长．参考答案一．选择题（共8小题，满分32分）1．解：A、测量两条对角线是否分别平分两组内角，能判定菱形，故故选A不符合题意；B、测量四个内角是否相等，能判定矩形，不能判定菱形，故选项B符合题意；C、测量两条对角线是否互相垂直且平分，能判定菱形，故选项C不符合题意；D、测量四条边是否相等，能判定菱形，故选项D不符合题意．故选：B．2．解：在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，如图：∵ABCD为菱形∴AC⊥BD，BO＝3，AO＝4．∴AB＝5．∴周长＝4×5＝20．故选：D．3．解：连接BD交AC于G，连接BE∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝70°，ED＝EF∴ED＝EB＝EF，∠AGD＝90°，∠DCE＝∠BCE＝35°，∠GBC＝55°∴∠EDB＝∠EBD，∠DEG＝90°﹣∠EDB，∠EBD+∠DBC＝∠EFB＝∠CEF+∠ECF ∴∠CEF＝20°+∠EBD∴∠DEF＝∠DEG+∠CEF＝90°﹣∠EDB+20°+∠EBD＝110°4．解：∵四边形ABCD是菱形∴BC＝CD，∠BCD＝∠BAD，∠ACB＝∠ACD，AD∥BC ∴∠BAD+∠B＝180°∵∠DAB＝45°∴∠BCD＝∠BAD＝45°∵DE⊥BC∴△CDE是等腰直角三角形∴∠CDE＝45°，CD=√2DE∵PF⊥CD∴△DPF是等腰直角三角形∴PF＝DF，PD=√2PF设PF＝DF＝x，则PD=√2x∵△PDF的周长为8∴x+x+√2x＝8解得：x＝8﹣4√2∵∠ACB＝∠ACD，DE⊥BC，PF⊥CD∴PE＝PF＝x∴DE＝x+√2x＝（1+√2）×（8﹣4√2）＝4√2∴BC＝CD=√2DE＝8∴菱形ABCD的面积＝BC×DE＝8×4√2=32√2故选：D．5．解：∵四边形ABCD是菱形∴BD⊥AC，OC＝OA，OB＝OD∵AC＝6，DB＝8∴OC＝3，OB＝4∴BC=√OB2+OC2=√32+42=5∵AC＝6，DB＝8∴菱形ABCD的面积=12×AC⋅BD=12×6×8=24∴AE=S菱形ABCDBC=245故选：C．6．解：过A作AE⊥BC由题意知AE⊥BC，且E为BC的中点则△ABC为等腰三角形即AB＝AC，即AB＝AC＝BC∴∠ABC＝60°∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝180°﹣60°＝120°．故选：C．7．解：∵菱形ABCD的周长为40cm∴AB=14×4cm＝10cm∵DE：AB＝4：5∴DE＝8cm故①正确；∵DE⊥AB，且AD＝10cm，DE＝8cm∴AE=√AD2−DE2=√102−82=6（cm）∴BE＝AB﹣AE＝10cm﹣6cm＝4cm故②正确；∵DE＝8cm，BE＝4cm∴BD=√BD2+BE2=√82+42=4√5（cm）故③正确；∵四边形ABCD是菱形∴BO=12BD＝2√5cm，且AC⊥BD∴AO=√AB2−BO2=√102−(2√5)2=4√5（cm）故④正确；∴S菱形ABCD=12AC•BD=12×8√5×4√5=80（cm2）故⑤正确；∴正确的为①②③④⑤故选：D．8．解：∵四边形ABCD是菱形∴OA＝OC，BD⊥AC，∵CE⊥AB ∴OE＝OA＝OC∵BD＝4∴OB=12BD＝2在Rt△AOB中，AB＝2√5，OB＝2∴OA=√AB2−OB2=4∴OE＝OA＝4．故选：D．二．填空题（共8小题，满分40分）9．解：设AC与BD交于点O∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD，AO=12AC＝3，BO=12BD＝4∴AB=√AO2+BO2=√32+42=5∵BD＝8，AC＝6∴菱形的面积=12×AC×BD＝24故答案为：5，24．10．解：∵菱形ABCD的顶点A（0，4），D（﹣3，0）∵∠AOD＝90°∴AD=√42+32=5∵四边形ABCD是菱形∴AB＝AD＝5∴B（5，4）；故答案为：（5，4）．11．解：∵四边形ABCD是菱形∴OB＝OD∵E是AD的中点∴OE是△ABD的中位线∴OE∥FG∵OG∥EF∴四边形OEFG是平行四边形∵EF⊥AB∴∠EFG＝90°∴平行四边形OEFG是矩形；∵四边形ABCD是菱形∴BD⊥AC，AB＝AD＝10∴∠AOD＝90°∵E是AD的中点∴OE＝AE=12AD＝5；∵四边形OEFG是矩形∴FG＝OE＝5∵AE＝5，EF＝4∴AF=√AE2−EF2=√25−16=3∴BG＝AB﹣AF﹣FG＝10﹣3﹣5＝2故答案为2．12．解：如：若②AO＝OC；③AB＝AD；④AC平分∠DAB则四边形ABCD 是菱形证明：∵AC 平分∠DAB∴∠DAO ＝∠BAO在△AOD 和△AOB 中{AD =AB ∠DAO =∠BAO AO =AO∴△AOD ≌△AOB （ASA ）∴DO ＝CB∵AO ＝OC∴四边形ABCD 是平行四边形又∵AB ＝AD∴四边形ABCD 是菱形若①AB ∥CD ； ②AO ＝OC ；④AC 平分∠DAB 或①AB ∥CD ； ③AB ＝AD ；④AC 平分∠DAB 或 ②AO ＝OC ；③AB ＝AD ；④AC 平分∠DAB ．都可以判定四边形ABCD 为菱形．故答案为：②③④或①②④或①③④或②③④．13．解：如图∵四边形ABCD 是菱形∴AO ＝CO ＝4，AC ⊥BD∴BO =√AB 2−AO 2=√25−16=3∵四边形AEBF 是平行四边形∴BF ∥AE∴当EF ⊥AC 时，EF 有最小值此时EF＝BO＝3故答案为：3．14．解：如图，连接AC交BD于点O∵四边形AECF是菱形∴AC⊥BD，AO＝OC，EO＝OF又∵点E、F为线段BD的两个三等分点∴BE＝FD∴BO＝OD∵AO＝OC∴四边形ABCD为平行四边形∵AC⊥BD∴四边形ABCD为菱形；∵四边形AECF为菱形，且周长为20∴AE＝5∵BD＝24，点E、F为线段BD的两个三等分点∴EF＝8，OE=12EF=12×8＝4由勾股定理得，AO=√AE2−OE2=√52−42=3∴AC＝2AO＝2×3＝6∴S四边形ABCD=12BD•AC=12×24×6＝72；故答案为：72．15．解：连接PC、CQ．∵四边形ACED，四边形CBGF是菱形，∠D＝120°∴∠ACE ＝120°，∠FCB ＝60°∵P ，Q 分别是对角线AE ，BF 的中点∴∠ECP =12∠ACE ，∠FCQ =12∠BCF∴∠PCQ ＝90°设AC ＝2a ，则BC ＝2√2−2a ，PC ＝a ，CQ =√32BC =√3（√2−a ）．∴PQ =√PC 2+QC 2=√a 2+3(√2−a)2=4(a −3√24)2+32．∴当a =3√24时，点P ，Q 之间的距离最短，最短距离是√62． 解法二：连接CD 、CG 、DG ，构造中位线解决，当DG 与AD 或BG 垂直时，取最值．故答案为：√62． 16．解：连接OP ，如图所示：∵四边形ABCD 是菱形，AC ＝12，BD ＝16∴AC ⊥BD ，BO =12BD ＝8，OC =12AC ＝6 ∴BC =√OB 2+OC 2=√82+62=10∵PE ⊥AC ，PF ⊥BD ，AC ⊥BD∴四边形OEPF 是矩形∴FE ＝OP ∵当OP ⊥BC 时，OP 有最小值此时S △OBC =12OB ×OC =12BC ×OP∴OP=6×810=4.8∴EF的最小值为4.8故答案为：4.8．三．解答题（共6小题，满分48分）17．证明：∵AD平分∠BAC∴∠BAD＝∠CAD又∵EF⊥AD∴∠AOE＝∠AOF＝90°∵在△AEO和△AFO中{∠EAO=∠FAO AO=AO∠AOE=∠AOF∴△AEO≌△AFO（ASA）∴EO＝FO∵EF垂直平分AD∴EF、AD相互平分∴四边形AEDF是平行四边形又EF⊥AD∴平行四边形AEDF为菱形．18．（1）证明：∵CE∥AB，BE∥CD ∴四边形BDCE是平行四边形∴CE＝BD∵CE＝AD∴BD＝AD又∵∠ACB＝90°∴CD=12AB＝BD∴四边形BDCE是菱形；（2）解：连接DE，如图所示：由（1）得：四边形BDCE是菱形∴BC⊥DE BD＝BE OB＝OC∵EF⊥BD，点F是BD的中点∴BE＝DE∴BE＝DE＝BD∴∠DBE＝60°∠EBC=12∠EBD＝30°∴OE=12EB＝3∴OB=√EB2−OE2=√62−32=3√3∴BC＝2OB＝6√3．19．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC，AO＝CO∴∠AEF＝∠CFE在△AOE和△COF中{∠AEF=∠CFE ∠AOE=∠COF AO=CO∴△AOE≌△COF（AAS）∴OF＝OE∵AO＝CO∴四边形AFCE是平行四边形；∵EF平分∠AEC∴∠AEF＝∠CEF∴∠CFE＝∠CEF∴CE＝CF∴四边形AFCE是菱形；（2）解：由（1）得：四边形AFCE是菱形∴AC⊥EF AO＝CO=12AC＝1∴∠AOE＝90°∵∠DAC＝60°∴OE=√3AO=√3∴EF＝2OE＝2√3∴四边形AFCE的面积=12AC×EF=12×2×2√3=2√3．20．（1）证明：如图，连接CG∵GF是CE的垂直平分线∴CG＝GE∵四边形ABCD是菱形∴AD＝CD∠ADB＝∠BDC 在△ADG和△CDG中{AD=CD∠BDA=∠BDC DG=DG∴△ADG≌△CDG（SAS）∴AG＝CG∴AG＝GE；（2）解：CE=√3AG，理由如下：延长EG，交CD于点H∵GE＝GC GF⊥CE∴∠CGF＝∠EGF=12∠CGE，EF＝CF∵AB∥CD∵AG＝GE∴∠GAE＝∠GEA＝∠CHG∵△ADG≌△CDG∴∠DCG＝∠DAG∵AB∥CD，∠ABC＝60°∴∠DAB＝120°∴∠DAG+∠BAG＝120°∵∠CGE＝∠GHC+∠GCH＝∠DAG+∠GAE＝120°∴∠FGE＝60°∴∠GEF＝30°∴GE＝2GF，EF=√3GF∴EC=√3GE=√3AG．21．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形∴CB＝CD∵BE⊥CD于点E，DF⊥BC于点F∴∠BEC＝∠DFC＝90°在△BEC与△DFC中{∠BEC=∠DFC ∠C=∠CBC=CD∴△BEC≌△DFC（AAS）∴EC＝FC∴BF＝DE；（2）解：如图，延长AD，BE交于点G∵四边形ABCD是菱形∴AB∥CD∴∠ABG＝∠BEC＝90°∵∠A＝45°∴∠G＝∠A＝45°∴AB＝BG＝1∴AG=√2∴DG=√2−1．22．（1）证明：∵AB∥CD∴∠OAB＝∠DCA∵AC为∠DAB的平分线∴∠OAB＝∠DAC∴∠DCA＝∠DAC∴CD＝AD∵AB∥CD∴四边形ABCD是平行四边形∵AD＝AB∴▱ABCD是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形BD＝8∴OA＝OC，BD⊥AC OB＝OD=12BD＝4∴∠AOB＝90°∴OA=√AB2−OB2=√62−42=2√5∴AC＝2OA＝4√5∴菱形ABCD的面积=12AC×BD=12×4√5×8＝16√5∵CE⊥AB∴菱形ABCD的面积＝AB×CE＝6CE＝16√5∴CE=8√5 3．。
北师大版九年级数学上册第一章 1.1 菱形的性质与判定 同步练习题
北师大版九年级数学上册第一章 1.1 菱形的性质与判定同步练习题第1课时菱形的性质一、选择题1．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是(D)A．两组对边分别相等B．两条对角线相等C．四个内角都是直角D．每一条对角线平分一组对角2．菱形的两条对角线把菱形分成全等的直角三角形的个数是(D)A．1 B．2 C．3 D．43．如图，四边形ABCD是边长为5 cm的菱形，其中对角线BD与AC交于点O，BD＝6 cm，则对角线AC的长度是(A)A．8 cm B．4 cm C．3 cm D．6 cm4．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E，F分别为BC，CD的中点，则∠EAF等于(A)A．60° B．55° C．45° D．30°二、填空题5．如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(3，0)，(－2，0)，点D在y轴上，则点C的坐标是(－5，4)．6．如图，在菱形ABCD 中，∠C ＝45°，DE 是AB 边上的高，BE ＝2，则AB 的长是7．如图，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝50°，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，E 为垂足，连接DF ，则∠CDF 的度数为105°．8．如图，点E ，F 在菱形ABCD 的对角线BD 上，BE ＝DF ，∠ABC ＝60°，∠BAE ＝35°，那么∠ECF 的度数是50度．9．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝4 cm ，∠ADC ＝120°，点E ，F 同时由A ，C 两点出发，分别沿AB ，CB 方向向点B 匀速移动(到点B 为止)，点E 的速度为1 cm/s ，点F 的速度为2 cm/s ，经过t s △DEF 为等边三角形，则t 的值为43．三、解答题10．如图，在菱形ABCD 中，作BE⊥AD，CF ⊥AB ，分别交AD ，AB 的延长线于点E ，F. (1)求证：AE ＝BF ；(2)若点E 恰好是AD 的中点，AB ＝2，求BD 的值．解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AD∥BC.∴∠A＝∠CBF.∵BE⊥AD，CF⊥AB，∴∠AEB＝∠BFC＝90°.∴△AEB≌△BFC(AAS)．∴AE＝BF.(2)∵点E是AD的中点，且BE⊥AD，∴直线BE为AD的垂直平分线．∴BD＝AB＝2.11．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E，F分别是AB，AD的中点，DE，BF相交于点G，连接CG.(1)求∠CBG的度数；(2)求证：BG＋DG＝CG.解：(1)连接BD.∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝CB＝CD，AD∥BC，AB∥CD，∠BCD＝∠A＝60°.∴△ABD是等边三角形．∵E，F分别是AB，AD的中点，∴DE⊥AB，BF⊥AD.∴DE⊥CD，BF⊥BC.∴∠CDG＝∠CBG＝90°.(2)证明：在Rt △CDG 和Rt △CBG 中，⎩⎪⎨⎪⎧CG ＝CG ，CD ＝CB ，∴Rt △CDG ≌Rt △CBG(HL)．∴∠DCG ＝∠BCG＝12∠BCD＝30°，BG ＝DG.∴BG ＝DG ＝12CG.∴BG ＋DG ＝CG.12．如图1，在菱形ABCD 中，点E ，F 分别为AB ，AD 的中点，连接CE ，CF. (1)求证：CE ＝CF ；(2)如图2，若H 为AB 上一点，连接CH ，使∠CHB＝2∠ECB，求证：CH ＝AH ＋AB.证明：(1)∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠B ＝∠D，AB ＝BC ＝CD ＝AD. ∵点E ，F 分别为AB ，AD 的中点， ∴BE ＝12AB ，DF ＝12AD.∴BE＝DF.在△BCE 和△DCF 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝DC ，∠B ＝∠D，BE ＝DF ，∴△BCE≌△DCF(SAS)． ∴CE ＝CF.(2)延长BA 与CF 相交于点G ， ∵四边形ABCD 是菱形，∴AF∥BC，AB∥CD.∴∠G＝∠FCD.∵点F为AD的中点，∴AF为△GCB的中位线．∴AG＝AB.∵△BCE≌△DCF，∴∠ECB＝∠DCF.∵∠CHB＝2∠ECB，∴∠CHB＝2∠G.∵∠CHB＝∠G＋∠HCG，∴∠G＝∠HCG.∴GH＝CH.∴CH＝AH＋AG＝AH＋AB.13．如图，AC，BD为菱形ABCD的对角线，∠BAD＝60°，点E，F分别在AD，CD边上，且∠EBF＝60°.(1)求证：△BEF是等边三角形；(2)当∠ABE＝15°时，AB＝1＋3，求BE的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，AB∥DC.又∵∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，∠ADC＝120°.∴AB＝BD，∠ABD＝∠ADB＝60°.∴∠ABD＝∠EBF＝∠BDC＝60°.∴∠ABE＝∠DBF，∠BAE＝∠BDF＝60°.∴△ABE≌△DBF(ASA)．∴BE ＝BF.∴△BEF 是等边三角形．(2)过点E 作EH⊥AB 于点H ，在AB 上截取GB ＝GE ，∴∠EGH ＝30°. 设HE ＝x ，在Rt △GHE 中，∠EGH ＝30°， ∴GE ＝BG ＝2x ，HG ＝3x.在Rt △AHE 中，∠BAD ＝60°，∴AH ＝33x. ∵AB ＝AH ＋HG ＋BG ＝1＋3， ∴33x ＋3x ＋2x ＝1＋ 3.解得x ＝3－32. ∴HE ＝3－32，BH ＝3＋32.∵BE 2＝HE 2＋BH 2，∴BE 2＝(3－32)2＋(3＋32)2.∴BE ＝ 6.第2课时 菱形的判定1．如图，在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，添加下列条件不能判定▱ABCD 是菱形的只有(C)A．AC⊥BD B．AB＝BCC．AC＝BD D．∠1＝∠22．如图，顺次连接四边形ABCD各中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为菱形，应添加的条件是(D)A．AB∥DC B．AB＝DCC．AC⊥BD D．AC＝BD3．如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ABCD 为菱形的是(A)A．AB＝BC B．AC＝BCC．∠B＝60° D．∠ACB＝60°4．如图，已知∠A，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AE，AF于点B，D；分别以点B，D为圆心，线段AB的长为半径画弧交于点C，连接BC，CD，则所得四边形ABCD 为菱形，判定依据是四条边都相等的四边形是菱形．5．如图，在△ABC中，AD，CD分别平分∠BAC和∠ACB，AE∥CD，CE∥AD.若从以下三个条件：①AB＝AC ；②AB＝BC ；③AC＝BC 中，选择一个作为已知条件，则能使四边形ADCE 为菱形的是②(填序号)．6．如图，▱ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AB ＝10，AC ＝12，当BD ＝16时，▱ABCD 是菱形．7．如图，在△ABC 中，点D 是BC 的中点，点E ，F 分别在线段AD 及其延长线上，且DE ＝DF.给出下列条件：①BE⊥EC；②BF∥CE；③AB＝AC ，从中选择一个条件使四边形BECF 是菱形，你认为这个条件是③(只填写序号)．8．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AC ＝50 cm ，∠A ＝60°，点D 从C 点沿CA 方向以4 cm/s 的速度向点A 匀速运动，同时点E 从A 点沿AB 方向以2 cm/s 的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点D ，E 运动的时间是t s(0＜t≤252)，过点D 作DF⊥BC 于点F ，连接DE ，EF.当t ＝253_s 时，四边形AEFD 菱形．9．在平面直角坐标系中，点A ，B ，C ，D 的坐标分别为(－3，0)，(x ，y)，(0，4)，(－6，z)．若以点A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是菱形，则z 的值为4或438．10．如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，点E ，F 分别是AB ，BC 上的点，AE ＝CF ，并且∠AED＝∠CFD.求证：(1)△AED≌△CFD；(2)四边形ABCD 是菱形．证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠A ＝∠C. 在△AED 和△CFD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠A＝∠C，AE ＝CF ，∠AED ＝∠CFD， ∴△AED ≌△CFD(ASA)． (2)∵△AED≌△CFD，∴AD ＝CD. ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴四边形ABCD 是菱形．11．如图，在▱ABCD 中，P 是对角线BD 上的一点，过点C 作CQ∥DB，且CQ ＝DP ，连接AP ，BQ ，PQ.(1)求证：△APD≌△BQC；(2)若∠ABP＋∠BQC＝180°，求证：四边形ABQP 为菱形．证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ＝BC ，AD ∥BC. ∴∠ADP ＝∠DBC.∵CQ ∥DB ，∴∠BCQ ＝∠DBC. ∴∠ADP ＝∠BCQ.又∵DP＝CQ ，∴△APD ≌△BQC(SAS)．(2)∵CQ∥DB，且CQ＝DP，∴四边形CQPD是平行四边形．∴CD＝PQ，CD∥PQ.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD.∴AB＝PQ，AB∥PQ.∴四边形ABQP是平行四边形．∵△APD≌△BQC，∴∠APD＝∠BQC.∵∠APD＋∠APB＝180°，∠ABP＋∠BQC＝180°，∴∠ABP＝∠APB.∴AB＝AP.∴四边形ABQP是菱形．12．如图，在四边形ABCD中，BC＝CD，∠C＝2∠BAD，O是四边形ABCD内一点，且OA ＝OB＝OD.求证：(1)∠BOD＝∠BCD；(2)四边形OBCD是菱形．证明：(1)延长OA到E.∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO.又∵∠BOE＝∠ABO＋∠BAO，∴∠BOE＝2∠BAO.同理可得∠DOE＝2∠DAO.∴∠BOE＋∠DOE＝2∠BAO＋2∠DAO＝2(∠BAO＋∠DAO)，即∠BOD＝2∠BAD.又∵∠BCD＝2∠BA D，∴∠BOD＝∠BCD.(2)连接OC.∵BC＝CD，OB＝OD，OC＝OC，∴△OBC ≌△ODC(SSS)． ∴∠BOC ＝∠DOC，∠BCO ＝∠DCO.∵∠BOD ＝∠BOC＋∠DOC，∠BCD ＝∠BCO＋∠DCO， ∴∠BOC ＝12∠BOD，∠BCO ＝12∠BCD.又∵∠BOD＝∠BCD，∴∠BOC ＝∠BCO. ∴BO ＝BC.又∵OB＝OD ，BC ＝CD ，∴OB ＝BC ＝CD ＝DO. ∴四边形OBCD 是菱形．13．如图，在△ABC 中，D 是AB 上一点，DE⊥AC 于点E ，F 是AD 的中点，FG ⊥BC 于点G ，与DE 交于点H.若FG ＝AF ，AG 平分∠CAB，连接GE ，GD.(1)求证：△ECG≌△GHD；(2)小亮同学经过探究发现：AD ＝AC ＋EC.请你帮助小亮同学证明这一结论； (3)若∠B＝30°，判断四边形AEGF 是否为菱形？并说明理由．解：(1)证明：∵AF＝FG ， ∴∠FAG ＝∠FGA. ∵AG 平分∠CAB ， ∴∠CAG ＝∠FAG.∴∠CAG ＝∠FGA.∴AC∥FG. ∵DE ⊥AC ，∴FG ⊥DE.∵FG ⊥BC ，∴DE ∥BC.∴AC ⊥BC. ∴∠C ＝∠DHG＝90°，∠CGE ＝∠GED. ∵F 是AD 的中点，FG ∥AE ，∴H 是ED 的中点．∴FG 是线段ED 的垂直平分线． ∴GE ＝GD ，∠HDG ＝∠GED. ∴∠CGE ＝∠HDG. ∴△ECG ≌△GHD(AAS)．(2)证明：过点G 作GP⊥AB 于P ，∴GC ＝GP. 又∵AG＝AG ，∴Rt △CAG ≌Rt △PAG(HL)． ∴AC ＝AP.∵EG ＝DG ，∴Rt △ECG≌Rt △DPG(HL)． ∴EC ＝PD.∴AD ＝AP ＋PD ＝AC ＋EC. (3)四边形AEGF 是菱形，理由：∵∠B＝30°，∴∠ADE ＝30°. ∴AE ＝12AD.∴AE＝AF ＝FG.又∵AE∥FG，∴四边形AEGF 是菱形．第3课时 菱形的性质与判定的运用1．下列说法中不正确的是(C) A ．四边相等的四边形是菱形B ．对角线互相垂直的平行四边形是菱形C ．菱形的对角线互相垂直且相等D ．菱形的邻边相等2．如图，E，F，G，H分别是BD，BC，AC，AD的中点，且AB＝CD，下列结论：①EG⊥FH；②四边形EFGH是菱形；③HF平分∠EHG，其中正确的有(D)A．0个 B．1个 C．2个 D．3个3．已知菱形ABCD，O是两条对角线的交点，AC＝8 cm，DB＝6 cm，则菱形的边长是5cm，面积是24cm2.4．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，点C的坐标为(1，2)，则菱形OABC的面积是5．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起．若重叠部分构成的四边形ABCD中，AB＝5，AC＝4，则BD的长为6．如图，已知四边形ABCD的四边相等，等边△AMN的顶点M，N分别在BC，CD上，且AM＝AB，则∠C＝100°．7．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点．若AB＝AD＝5，BD ＝8，∠ABD＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为24．8．如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD 是菱形，OB ＝OD ＝2，∠BOD ＝60°将菱形OBCD 绕点O 旋转任意角度，得到菱形OB 1C 1D 1，则点C 19．如图，在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，点E ，F 将对角线AC 三等分，且AC ＝6，连接DE ，DF ，BE ，BF.(1)求证：四边形DEBF 为菱形； (2)求菱形DEBF 的面积．解：(1)证明：连接BD 交AC 于点O. ∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD ，OA ＝OC ，OD ＝OB. ∵E ，F 为AC 的三等分点， ∴AE ＝CF.∴OE＝OF. ∴四边形DEBF 是菱形． (2)∵四边形ABCD 是菱形， ∴BD ⊥AC ，∠DAC ＝12∠DAB＝30°.∵AE ＝EF ＝FC ＝2，OA ＝OC ＝3， ∴OE ＝OF ＝1，OD ＝OB ＝ 3.∴S 菱形DEBF ＝12EF·DB＝12×2×23＝2 3.10．如图，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 边的中点，连接DA ，DF ，且AD ＝2DF ，过点B 作AD 的平行线交FD 的延长线于点E.(1)求证：四边形ABED 为菱形；(2)若BD ＝6，∠E ＝60°，求四边形ABEF 的面积．解：(1)证明：在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 边的中点， ∴DF ∥AB ，DF ＝12AB.∵BE ∥AD ，∴四边形ABED 是平行四边形． ∵AD ＝2DF ，∴AD ＝AB. ∴四边形ABED 为菱形． (2)过点B 作BG⊥EF 于点G ， ∵四边形ABED 为菱形，∴BE ＝DE. ∵∠E ＝60°，∴△BDE 是等边三角形． ∴AB ＝BE ＝DE ＝BD ＝6.∴DF＝3，EF ＝9. ∵BG ⊥EF ，∴DG ＝12DE ＝3.∴BG ＝3DG ＝3 3.∴四边形ABEF 的面积为（6＋9）×332＝4532.11．如图，在▱ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别在边AB ，BC ，CD ，DA 上，AE ＝CG ，AH ＝CF ，且EG 平分∠HEF.(1)求证：四边形EFGH 是菱形；(2)若∠B＝60°，CG ＝2，FC ＝6，求EF 的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠A ＝∠BCD，AB ＝CD ，AD ＝BC ，∠B ＝∠D. 在△AEH 和△CGF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝CG ，∠A ＝∠BCD，AH ＝CF ，∴△AEH ≌△CGF(SAS)． ∴EH ＝FG ，AE ＝CG ，AH ＝CF. ∴BE ＝DG ，BF ＝DH.在△BEF 和△DGH 中，⎩⎪⎨⎪⎧BE ＝DG ，∠B ＝∠D，BF ＝DH ，∴△BEF ≌△DGH(SAS)．∴EF＝GH. ∴四边形EFGH 是平行四边形． ∴HG ∥EF.∴∠HGE ＝∠FEG. ∵EG 平分∠HEF，∴∠HEG ＝∠FEG. ∴∠HEG ＝∠HGE.∴HE＝HG. ∴四边形EFGH 是菱形．(2)过点F 作FM⊥CD，交DC 延长线于点M. ∵AB ∥CD ，∴∠B ＝∠FCM＝60°. ∴∠CFM ＝30°.∴FC ＝2CM. ∴CM ＝3，GM ＝GC ＋CM ＝5.∴FM＝FC2－CM2＝3 3.∴FG＝FM2＋GM2＝213.∵四边形EFGH是菱形，∴EF＝FG＝213.12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AE平分∠CAB交CB于点E，CD⊥AB于点D，交AE于点G，过点G作GF∥BC交AB于点F，连接EF.(1)求证：CG＝CE；(2)判断四边形CGFE的形状，并证明；(3)若BF＝2AF，AC＝3 cm，求线段DG的长度．解：(1)证明：∵AE平分∠CAB，∴∠CAE＝∠BAE.∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠CAE＋∠CEA＝∠BAE＋∠AGD＝90°.∴∠CEA＝∠AGD＝∠CGE.∴CG＝CE .(2)四边形CGFE是菱形，证明如下：∵GF∥BC，∴∠AEC＝∠EGF＝∠CGE.∴∠AGC＝∠AGF.又∵∠CAG＝∠FAG，AG＝AG，∴△AGC≌△AGF(ASA)．∴CG＝FG.∴CE＝FG.又∵CG＝CE，CE∥FG，∴四边形CGFE是菱形．(3)∵△AGC≌△AGF，∴AC＝AF＝3 cm.∴BF ＝2AF ＝6 cm ，AB ＝9 cm. ∴BC ＝AB 2－AC 2＝6 2 cm. ∵四边形CGFE 是菱形，∴EF ∥CG. ∵CD ⊥AB ，∴EF ⊥AB.设CE ＝EF ＝x ， 在Rt △EFB 中，EF 2＋BF 2＝BE 2， ∴x 2＋62＝(62－x)2.解得x ＝322.∴CE ＝CG ＝322 cm.∵S △ABC ＝12AC·BC＝12AB·CD，∴CD ＝AC·BCAB ＝2 2 cm.∴DG ＝CD －CG ＝22－322＝22(cm)．。
北师大版九年级数学上册《1.1 菱形的性质与判定》 同步练习试题
1.1 菱形的性质与判定一．选择题1．菱形具有而一般平行四边形所没有的性质是（）A．两组对边分别相等B．两条对角线相等C．四个内角都是直角D．对角线平分对角2．已知菱形的边长与一条对角线的长相等，则菱形的最大的内角是（）A．90°B．120°C．135°D．150°3．若菱形的周长为16，则它的边长为（）A．8B．6C．4D．24．如图，在▱ABCD中，AC、BD相交于点O，要使▱ABCD是菱形，添加下列条件能判定▱ABCD是菱形的是（）A．AD＝BC B．AB＝DC C．AC＝BD D．AC⊥BD5．如图，在菱形ABCD中，∠A＝2∠B，则∠C＝（）A．120°B．100°C．150°D．60°6．如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和4，∠A＝120°，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．2D．37．对角线互相垂直平分的四边形一定是（）A．梯形B．菱形C．矩形D．正方形8．菱形的周长是24，两邻角的度数之比是1：2，那么较短的对角线的长是（）A．5B．6C．5.5D．6.59．能判定一个四边形是菱形的是（）A．对角线相等的四边形是菱形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形D．对角线相等且互相平分的四边形是菱形10．如图，若两条宽度为1的带子相交成30°的角，则重叠部分（图中阴影部分）的面积是（）A．2B．C．1D．二．填空题11．如图，P是菱形ABCD对角线AC上一点，PE⊥AB，且PE＝3，则点P到AD的距离为．12．菱形的两条对角线的长为12cm和16cm，则它的边长为cm，面积为cm2．13．如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，如果EF＝1，那么菱形ABCD 的周长是．14．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，BE＝EC，AE＝2，则BD＝．15．若菱形的面积为120，一条对角线长为10，则另一条对角线长为，边长为，高为．16．对角线的四边形的中点四边形是菱形．三．解答题17．如图，在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，AF与DE相交于点G，CE与BF 相交于点H．（1）证明：四边形EHFG是平行四边形；（2）想一想，什么情况下四边形EHFG会成为一个菱形．18．在如图所示的直角坐标系中，菱形ABCD的边长是2，坐标系原点O为AD的中点，分别求点A，B，C，D的坐标．19．菱形ABCD中，AB＝4cm，∠ABC＝60°，求菱形ABCD的面积．20．如图，将宽度为2cm的两张纸条交叉重叠在一起，得到的重叠部分为四边形ABCD．（1）四边形ABCD是菱形吗？请说明理由．（2）若∠ABC＝45°，求四边形ABCD的面积．21．如图，AD是△ABC角平分线，AD的垂直平分线交AB于点E，交AC于点F，EF与AD的交点为O，四边形AEDF是菱形吗？请证明．22．如图，在菱形ABCD中，点E，F是边AD，CD的中点，AF＝3cm，求CE的长．参考答案一．选择题1．解：∵菱形具有的性质是：对边平行且相等，对角相等，对角线互相垂直且平分，每一条对角线平分一组对角；平行四边形具有的性质是：对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分；∴菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是：每一条对角线平分一组对角．故选：D．2．解：如图，∵菱形的边长与一条对角线的长相等，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∵四边形ABCD是菱形，∴∠BAD＝180°﹣∠B＝180°﹣60°＝120°，即菱形的最大内角的度数是120°．故选：B．3．解：因为菱形的四边相等，周长为16，∴菱形的边长为4，故选：C．4．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，故选：D．5．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∠A＝∠C，∴∠A+∠B＝180°，∵∠A＝2∠B，∴∠A＝120°，∠B＝60°，∴∠C＝120°，故选：A．6．解：如图，设BF交CE于点H，∵菱形ECGF的边CE∥GF，∴△BCH∽△BGF，∴CH：FG＝BC：BG，即CH：4＝2：6，解得CH＝，所以，DH＝CD﹣CH＝2﹣，∵∠A＝120°，∴∠ECG＝∠ABC＝180°﹣120°＝60°，∴点B到CD的距离为2×＝，点G到CE的距离为4×＝2，∴阴影部分的面积＝S△BDH+S△FDH，＝×+×＝故选：A．7．解：对角线互相垂直平分的四边形是菱形．故选：B．8．解：∵菱形的周长是24，∴菱形的边长为24÷4＝6，∵两邻角的度数之比是1：2，∴较小的内角为180°×＝60°，∴较短的对角线与两邻边组成等边三角形，∴较短的对角线的长是6．故选：B．9．解：根据菱形的判定可得对角线互相垂直平分的四边形是菱形是正确的，故选：C．10．解：因为在直角三角形中30度角对应的直角边是斜边的一半，在题目中的菱形中，已知菱形的高为1，可得边长为2，所以面积为2．故选：A．二．填空题11．解：作PF⊥AD于D，如图，∵四边形ABCD为菱形，∴AC平分∠BAD，∵PE⊥AB，PF⊥AD，∴PF＝PE＝3，即点P到AD的距离为3．故答案为：3．12．解：如图，∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝AB＝×16＝8（cm），OD＝BD＝×12＝6（cm），AC⊥BD，∴AD＝＝10（cm），∴S菱形ABCD＝AC•BD＝96（cm2）．故答案为：10，96．13．解：∵E、F分别是AB、AC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴BC＝2EF＝2×1＝2，∴菱形ABCD的周长＝2×4＝8．故答案为：8．14．解：连接AC，∵在菱形ABCD中，AE⊥BC，BE＝EC，∴AB＝AC，AB＝BC，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC是等边三角形，∵BD平分∠ABC，∴BO＝AE＝2，∴BD＝4．故答案为：4．15．解：由菱形的面积等于两条对角线的积的一半，可得另一条对角线长为24；因为菱形的对角线互相垂直平分，根据勾股定理可得边长为13；因为菱形的面积等于两条对角线的积的一半或是边长乘以高，可得高为．故答案为24，13，．16．解：∵EFGH为菱形∴EH＝EF又∵E、F、G、H为四边中点∴AC＝2EH，BD＝2FE∴AC＝BD．故应填：相等．三．解答题17．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥CF，AB＝CD，∵E是AB中点，F是CD中点，∴AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形，∴AF∥CE．同理可得DE∥BF，∴四边形FGEH是平行四边形；（2）当平行四边形ABCD是矩形时，平行四边形EHFG是菱形．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠DCB＝90°，∵E是AB中点，F是CD中点，∴BE＝CF，在△EBC与△FCB中，∵，∴△EBC≌△FCB（SAS），∴CE＝BF，∴∠ECB＝∠FBC，∵BH＝CH，∴EH＝FH，平行四边形EHFG是菱形．18．解：∵菱形ABCD的边长是2，∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，∵坐标系原点O为AD的中点，∴OA＝OD＝1，∴OB＝＝，∴点A，B，C，D的坐标分别为：A（﹣1，0），B（0，），C（2，），D（1，0）．19．解：如图所示：过点A作AE⊥DC于点E，∵在菱形ABCD中，AB＝4cm，∠ABC＝60°，∴∠D＝60°，AB＝AD＝DC＝4cm，∴AE＝AD•sin60°＝4×＝2cm，∴菱形ABCD的面积S＝AE×DC＝8cm2．20．解：（1）四边形ABCD是菱形．理由如下：∵两张纸条的对边平行，即AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵两张纸条的宽度都是2cm，∴S四边形ABCD＝AB×2＝BC×2，∴AB＝BC，∴平行四边形ABCD是菱形，即四边形ABCD是菱形；（2）过A作AE⊥BC，垂足为E，如图所示：则AE＝2cm，∵∠ABC＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AB＝AE＝2cm，∴BC＝2cm，∴S四边形ABCD＝BC•AE＝2×2＝4（cm2）．21．解：四边形AEDF是菱形；理由如下：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵EF⊥AD，∴∠AOE＝∠AOF＝90°∵在△AEO和△AFO中，，∴△AEO≌△AFO（ASA），∴EO＝FO，∵EF垂直平分AD，∴EF、AD相互平分，∴四边形AEDF是平行四边形∵EF⊥AD，∴平行四边形AEDF为菱形．22．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∵点E，F是边AD，CD的中点，∴DF＝DE，在△ADF和△CDE中，，∴△ADF≌△CDE（SAS），∴AF＝CE，∵AF＝3cm，∴CE＝3cm．。