机器人轨迹规划
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机器人运动轨迹规划
θ (t ) = c0 + c1t + c2t 2 + c3t 3
(3.67)
第2章 工业机器人运动学和动力学 这里初始和末端条件是:
Hale Waihona Puke θ (ti ) = θ i θ (t ) = θ f f & θ (ti ) = 0 θ (t ) = 0 & f
对式(3.67)求一阶导数得到:
第2章 工业机器人运动学和动力学 从而简化抛物线段的方程为
1 2 θ (t ) = θ i + 2 c2t & θ (t ) = c2t && θ (t ) = c2
显然,对于直线段,速度将保持为常数,可以根据驱动器的物 理性能来加以选择。将零初速度、线性段常量速度ω以及零末 端速度代入式(3.74)中,可得A点和B点以及终点的关节位置和速 度如下:
第2章 工业机器人运动学和动力学 以二自由度平面关节机器人为例解释轨迹规划的基本原理。 如图3.19所示,要求机器人从A点运动到B点。 机器人在A点时形 位角为α=20°,β=30°; 达到B点时的形位角是α=40°,β=80°。 两关节运动的最大速率均为10°/s。当机器人的所有关节均以 最大速度运动时,下方的连杆将用2s到达, 而上方的连杆还需再 运动3s,可见路径是不规则的,手部掠过的距离点也是不均匀的。
显然,这时抛物线运动段的加速度是一个常数, 并在公共 点A和B(称这些点为节点)上产生连续的速度。
第2章 工业机器人运动学和动力学 将边界条件代入抛物线段的方程, 得到:
θ (0) = θ i = c0 & θ (0) = 0 = c1 && θ (t ) = c2
整理得
机器人学_第七讲 轨迹规划
c0 30 c1 0 c2 2.5 c3 1.6 c4 0.58 c5 0.0464
(t) 30 2.5t 2 1.6t3 0.58t 4 0.0464t5 (t) 5t 4.8t 2 2.32t3 0.232t 4 (t) 5 9.6t 6.96t 2 0.928t3
策略 3
θ1 θ2 20 30
14 55
时
16 69
间
21 77
29 81
40 80
第七讲 3 轨迹规划的基本原理
平面两关节机器人的简单例子：
策略 1
策略 3
策略 2 策略 4
第七讲 3 轨迹规划的基本原理
平面两关节机器人的简单例子，要求经过中间点的情况：
C y
B B’
A
C y
B B’
注意：这里讨论的是
A 末端的轨迹规划
x O1
直接走折线会有冲击，或者 造成机器人运动产生停顿。
O1 C
y
D B
x
E A
x O1
第七讲 4 关节空间的轨迹规划
三次多项式规划
以某一关节角为例
初始位姿 i
期望末端位姿 f
三次多项式： (t) c0 c1t c2t 2 c3t 3
边界条件：
ti 0
(ti ) i
角度 速度 加速度
3
4
5
6
秒
c0 30 c1 0 c2 5.4 c3 0.72
第七讲 4 关节空间的轨迹规划
讨论1： 三次多项式规划里能否指定起始点和终点的加速度？
例7.1
120
100
(ti ) 30 (ti ) c0 i
80
(t f ) 75 (t f ) c0 c1t f c2t f 2 c3t f 3
《机器人》第5章-轨迹规划
(t) 20t 6.666 t 2
(t) 20 13.332 t
进而可以画出以下曲线
max
4( f i )
(t f ti )2
为保证 机器人 的加速 度不超 过其自 身能力， 应考虑 加速度 的限制。
根据此式可计算出达到目标所需 要的时间
二、 五次多项式轨迹规划
关节位置、速度和加速度图形
三、抛物线过渡的线性运动轨迹
如果机器人关节以恒定速度运动，那么轨迹方程就 相当于一次多项式，其速度是常数，加速度为0，这说 明在起点和终点，加速度为无穷大，只有这样才可以瞬 间达到匀速状态。但很显然这是不可能的，因此在起点 和终点处，可以用抛物线来进行过渡。如图所示
假设ti和 tf时刻对应的起点和 终点位置为 i 和 f ，抛物线与直
2 引入相对参考坐标系的绝对运动和相对运动坐标系的 相对运动—机器人空间位姿和关节电机控制关节空间
3 已知机器人关节变量求得机器人位姿；给定机器人位 姿求得各关节变量进而控制机器人到达给定位姿
机器人求解问题：
1 给定一个位姿到达新的位姿—中间怎么办？ 2 控制电机转动方式—启动、停车、通过中间点等 3 电机转动角度、速度等与位姿及微分变化关系
实际上把所有中间路径点既看作下一段起始点也看做上一段终止点相对应可以通过运动规划函数求出该点的直角坐标空间的位置速度插值分量以及该点的关节坐标空间的位置速度插值分量将所有这些插值分量连接起来就得到直角坐标空间的机器人路径和关节坐标空间的关节变化
第5章 轨迹规划
在前面的机器人运动学分析中：
1 引入齐次坐标，将机器人位置和姿态有效表达；并将 机器人杆件与运动坐标系相固连—将机器人运动转化
(t
0) 0)
机器人轨迹规划
机器人轨迹规划机器人轨迹规划是指根据机器人的任务要求和环境条件，制定机器人运动的轨迹以达到预定的目标。
机器人轨迹规划是机器人技术中的一个重要研究领域，其目的是使机器人能够安全、高效地在给定的环境中移动。
机器人轨迹规划通常涉及到如下几个方面的问题：1. 环境感知与建模：机器人需要通过感知技术获取环境中的信息，并将其建模成可理解的形式。
这些模型可以包括地图、障碍物位置、目标位置等。
2. 路径规划：基于环境模型，机器人需要确定一条避开障碍物、同时能够到达目标位置的最佳路径。
路径规划问题可以分为全局路径规划和局部路径规划两个层次。
全局路径规划是在整个环境中搜索最佳路径，而局部路径规划是在当前位置的附近搜索最佳路径。
3. 运动规划：确定机器人在路径上的具体运动方式，包括速度、加速度、姿态等。
机器人的运动规划要考虑到机械结构的限制、动力学约束以及安全性等因素。
4. 避障规划：当机器人在移动过程中遇到障碍物时，需要能够进行避障规划，避免碰撞。
避障规划可以基于感知信息进行实时调整，使机器人能够安全地绕过障碍物。
这些问题可以使用不同的算法和方法来解决，常用的算法包括A*算法、Dijkstra算法、蚁群算法等。
此外，机器人轨迹规划还需要结合机器人的动力学和控制系统，使机器人能够按照规划的轨迹进行运动。
机器人轨迹规划的应用范围非常广泛，包括工业自动化、无人驾驶、机器人导航等领域。
例如，在工业自动化中，机器人可以根据轨迹规划进行物料搬运，实现生产线的自动化。
在无人驾驶领域，机器人车辆可以通过轨迹规划来规划行驶路线，保证安全、高效地到达目的地。
在机器人导航中，机器人可以根据轨迹规划进行地图绘制、自主导航等任务。
总之，机器人轨迹规划是机器人技术中的重要问题，通过合理的路径规划和运动规划，可以使机器人能够安全、高效地移动，完成各种任务。
随着机器人技术的发展，轨迹规划算法和方法也在不断进步，为机器人的运动能力提供了更好的支持。
第五章机器人轨迹规划
（2）为了保证每个路径点上的加速度连续，由控制系统按照 此要求自动地选择路径点的速度。
（3）在直角坐标空间或关节空间中采用某种适当的启发式方 法，由控制系统自动地选择路径点的速度；
对于方法（2），为了保证路径点处的加速度连续，可以设法 用两条三次曲线在路径点处按照一定的规则联系起来，拼凑成所 要求的轨迹。其约束条件是：联接处不仅速度连续，而且加速度 也要连续。
１.轨迹规划的一般性问题
这里所谓的轨迹是指操作臂在运动过程中的位移、速度和加 速度。
常见的机器人作业有两种：
•点位作业（PTP=point-to-point motion） •连续路径作业（continuous-path motion），或者称为轮廓运动
（contour motion）。
操作臂最常用的轨迹规划方法有两种： 第一种是要求对于选定的轨迹结点（插值点）上的位姿、速 度和加速度给出一组显式约束（例如连续性和光滑程度等），轨 迹规划器从一类函数（例如n次多项式）选取参数化轨迹，对结 点进行插值，并满足约束条件。 第二种方法要求给出运动路径的解析式。
如果对于运动轨迹的要求更为严格，约束条件增多，那么 三次多项式就不能满足需要，必须用更高阶的多项式对运动轨 迹的路径段进行插值。例如，对某段路径的起点和终点都规定 了关节的位置、速度和加速度（有六个未知的系数），则要用 一个五次多项式进行插值。
(t) a0 a1t a2t 2 a3t 3 a4t 4 a5t 5
3
0
0
t0 t1
t2 t
同理可以求得此时的三次多项式系数：
此时的 •
•
速度约 (0) 0
束条件 变为：
•
•
(t f ) f
由上式确定的三次多项式描述了起始点和终止点具有任意给定位 置和速度的运动轨迹。剩下的问题就是如何确定路径点上的关节 速度，有以下三种方法：
（3）在直角坐标空间或关节空间中采用某种适当的启发式方 法，由控制系统自动地选择路径点的速度；
对于方法（2），为了保证路径点处的加速度连续，可以设法 用两条三次曲线在路径点处按照一定的规则联系起来，拼凑成所 要求的轨迹。其约束条件是：联接处不仅速度连续，而且加速度 也要连续。
１.轨迹规划的一般性问题
这里所谓的轨迹是指操作臂在运动过程中的位移、速度和加 速度。
常见的机器人作业有两种：
•点位作业（PTP=point-to-point motion） •连续路径作业（continuous-path motion），或者称为轮廓运动
（contour motion）。
操作臂最常用的轨迹规划方法有两种： 第一种是要求对于选定的轨迹结点（插值点）上的位姿、速 度和加速度给出一组显式约束（例如连续性和光滑程度等），轨 迹规划器从一类函数（例如n次多项式）选取参数化轨迹，对结 点进行插值，并满足约束条件。 第二种方法要求给出运动路径的解析式。
如果对于运动轨迹的要求更为严格，约束条件增多，那么 三次多项式就不能满足需要，必须用更高阶的多项式对运动轨 迹的路径段进行插值。例如，对某段路径的起点和终点都规定 了关节的位置、速度和加速度（有六个未知的系数），则要用 一个五次多项式进行插值。
(t) a0 a1t a2t 2 a3t 3 a4t 4 a5t 5
3
0
0
t0 t1
t2 t
同理可以求得此时的三次多项式系数：
此时的 •
•
速度约 (0) 0
束条件 变为：
•
•
(t f ) f
由上式确定的三次多项式描述了起始点和终止点具有任意给定位 置和速度的运动轨迹。剩下的问题就是如何确定路径点上的关节 速度，有以下三种方法：
机器人基础原理 第9章 轨迹规划与控制
位置连续、速度平滑
0 0
t f
f
•
0 0
•
t f 0
2024/2/17
(t) a0 a1t a2t 2 a3t3
•
(t
••
)
a1
2a2t
3a3t
2
(t) 2a2 6a3t
a0 0
a1 0
a2
3
t
2 f
f
0
a3
2
t
3 f
f
0
2
过路径点的三次多项式插值
(b) 含有多个解
带抛物线过渡的线性插值
2024/2/17
令 t=2th，由上面两式可得 ：
••
••
tb2 ttb f 0 0
7
用抛物线过渡的线性插值
当给定关节加速度时，相 应的tb计算表达式为：
t tb 2
••2
••
t2 4 f 0
••
2
由度上值式必可须知选，得为足保够证 大，tb有即解，过渡域加速
速度约束条件变为：
•
•
0 0
•
•
t f f
求得三次多项式的系数：
a0 0
•
a1 1
3
a2
t
2 f
f
0
2
•
0
1
•
f
tf
tf
a3
2
t
3 f
f
0
1
••
( 0
f
)
tf
此时，经过路径点时的速度不再等于零。
当经过的路径点增加时，则可获得一段所需的曲线路径。 （上一段路径的终点作为下一段路径的起点，依次首尾相连）
机器人轨迹规划
人各关节的位置和角度(1, …, n)，然后由后面的角位置闭环控制系统
实现要求的轨迹上的一点。继续插补并重复上述过程，从而实现要求的 轨迹。
4.3 机器人轨迹插值计算
直线插补和圆弧插补是机器人系统中的基本插补算法。对于 非直线和圆弧轨迹，可用直线或圆弧逼近，以实现这些轨迹。 一、 直线插补
空间直线插补是在已知该直线始末两点的位置和姿态的 条件下，求各轨迹中间点(插补点)的位置和姿态。
件坐标系的运动来描述作 业路径是一种通用的作业 描述方法。
它把作业路径描述与具
体的机器人、手爪或工具 分离开来，形成了模型化 的作业描述方法，从而使 这种描述既适用于不同的 机器人，也适用于在同一 机器人上装夹不同规格的 工具。
图4.2 机器人的初始状态和终止状态
对点位作业(pick and place operation)的机器 人，需要描述它的起始状态和目标状态，即工 具坐标系的起始值{T0}，目标值{Tf}。在此， 用“点”这个词表示工具坐标系的位置和姿态 (简称位姿) 。
各轴增量： X X e X 0 / N Y Ye Y0 / N Z Ze Z0 / N
各插补点坐标值： X i1 X i i X Yi1 Yi iY Z i1 Z i iZ
式中：i=0，1，2，…，N。
可见，两个插补点之间的距离正比于要求的运动速度，只有插补点之间 的距离足够小，才能满足一定的轨迹控制精度要求。
第四章 机器人轨迹规划
本章主要内容
• 4.1 机器人轨迹规划概述 • 4.2 插补方式分类与轨迹控制 • 4.3 机器人轨迹插补计算 • 4.4 轨迹的实时生成
4.1 机器人轨迹规划概述
一、机器人规划的概念
所谓机器人的规划(P1anning)，指的是——机器人 根据自身的任务，求得完成这一任务的解决方案的 过程。这里所说的任务，具有广义的概念，既可以 指机器人要完成的某一具体任务，也可以是机器人 的某个动作，比如手部或关节的某个规定的运动等 。
实现要求的轨迹上的一点。继续插补并重复上述过程，从而实现要求的 轨迹。
4.3 机器人轨迹插值计算
直线插补和圆弧插补是机器人系统中的基本插补算法。对于 非直线和圆弧轨迹，可用直线或圆弧逼近，以实现这些轨迹。 一、 直线插补
空间直线插补是在已知该直线始末两点的位置和姿态的 条件下，求各轨迹中间点(插补点)的位置和姿态。
件坐标系的运动来描述作 业路径是一种通用的作业 描述方法。
它把作业路径描述与具
体的机器人、手爪或工具 分离开来，形成了模型化 的作业描述方法，从而使 这种描述既适用于不同的 机器人，也适用于在同一 机器人上装夹不同规格的 工具。
图4.2 机器人的初始状态和终止状态
对点位作业(pick and place operation)的机器 人，需要描述它的起始状态和目标状态，即工 具坐标系的起始值{T0}，目标值{Tf}。在此， 用“点”这个词表示工具坐标系的位置和姿态 (简称位姿) 。
各轴增量： X X e X 0 / N Y Ye Y0 / N Z Ze Z0 / N
各插补点坐标值： X i1 X i i X Yi1 Yi iY Z i1 Z i iZ
式中：i=0，1，2，…，N。
可见，两个插补点之间的距离正比于要求的运动速度，只有插补点之间 的距离足够小，才能满足一定的轨迹控制精度要求。
第四章 机器人轨迹规划
本章主要内容
• 4.1 机器人轨迹规划概述 • 4.2 插补方式分类与轨迹控制 • 4.3 机器人轨迹插补计算 • 4.4 轨迹的实时生成
4.1 机器人轨迹规划概述
一、机器人规划的概念
所谓机器人的规划(P1anning)，指的是——机器人 根据自身的任务，求得完成这一任务的解决方案的 过程。这里所说的任务，具有广义的概念，既可以 指机器人要完成的某一具体任务，也可以是机器人 的某个动作，比如手部或关节的某个规定的运动等 。
第4章 轨迹规划
（3）计算机求出 (1, …, n)，
（4）控制系统实现预期轨迹。
4.3 机器人轨迹插值计算
给出结点（位置姿态）； 进行运动学反解； 关节变量的插值计算； 位置伺服系统实现。
每隔一个时间间隔ts完成一次
4.3.1 直线插补 直线插补和圆弧插补是机器人系统中的基本插补
算法。对于其他轨迹，可以采用直线或圆弧逼近，以 实现这些轨迹。
0T6 6TT= 0TB Bpi
0T6=0TB Bpi 6T-1T
0T6=0TB Bpi+1 6T-1T 式中：6TT 为工具坐标系{T}相对末端连杆系{6}的变换；
BPi和BPi+1分别为两结点Pi和Pi+1相对坐标系{B}的齐次变换。 可将气动手爪从结点Pi到结点Pi+1的运动看成是与气动手爪 固接的坐标系的运动，按前述运动学知识可求其解。
对工业机器人来说，高层的任务规划和动作规划一 般是依赖人来完成的。
一般的工业机器人不具备力的反馈，所以，工业机 器人通常只具有轨迹规划的和底层的控制功能。
轨迹规划的目的：将操作人员输入的任务描述变为 详细的运动轨迹描述。
对一般的工业机器人来说，操作员可能只输入机械 手末端的目标位置和方位，而规划的任务便是要确 定出达到目标的关节轨迹、运动的时间和速度等。
后两项插值依据
一、三次多项式插值
0 0
tf
f
&0 0
&tf
0
t a0 a1t a2t2 a3t3
满足连续平稳运动要求的三次多项式插值函数为 关节角速度和角加速度的表达式为
二、过路径点的三次多项式插值
机器人作业路径在多个点上有位姿要求
把每个关节上相邻的两个路径点分别看做起始点和 终止点，确定相应的三次多项式插值函数。
（4）控制系统实现预期轨迹。
4.3 机器人轨迹插值计算
给出结点（位置姿态）； 进行运动学反解； 关节变量的插值计算； 位置伺服系统实现。
每隔一个时间间隔ts完成一次
4.3.1 直线插补 直线插补和圆弧插补是机器人系统中的基本插补
算法。对于其他轨迹，可以采用直线或圆弧逼近，以 实现这些轨迹。
0T6 6TT= 0TB Bpi
0T6=0TB Bpi 6T-1T
0T6=0TB Bpi+1 6T-1T 式中：6TT 为工具坐标系{T}相对末端连杆系{6}的变换；
BPi和BPi+1分别为两结点Pi和Pi+1相对坐标系{B}的齐次变换。 可将气动手爪从结点Pi到结点Pi+1的运动看成是与气动手爪 固接的坐标系的运动，按前述运动学知识可求其解。
对工业机器人来说，高层的任务规划和动作规划一 般是依赖人来完成的。
一般的工业机器人不具备力的反馈，所以，工业机 器人通常只具有轨迹规划的和底层的控制功能。
轨迹规划的目的：将操作人员输入的任务描述变为 详细的运动轨迹描述。
对一般的工业机器人来说，操作员可能只输入机械 手末端的目标位置和方位，而规划的任务便是要确 定出达到目标的关节轨迹、运动的时间和速度等。
后两项插值依据
一、三次多项式插值
0 0
tf
f
&0 0
&tf
0
t a0 a1t a2t2 a3t3
满足连续平稳运动要求的三次多项式插值函数为 关节角速度和角加速度的表达式为
二、过路径点的三次多项式插值
机器人作业路径在多个点上有位姿要求
把每个关节上相邻的两个路径点分别看做起始点和 终止点，确定相应的三次多项式插值函数。
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第四章 机器人轨迹规划
本章主要内容
• 4.1 机器人轨迹规划概述 • 4.2 插补方式分类与轨迹控制 • 4.3 机器人轨迹插补计算 • 4.4 轨迹的实时生成
4.1 机器人轨迹规划概述
一、机器人规划的概念
所谓机器人的规划(P1anning)，指的是——机器人 根据自身的任务，求得完成这一任务的解决方案的 过程。这里所说的任务，具有广义的概念，既可以 指机器人要完成的某一具体任务，也可以是机器人 的某个动作，比如手部或关节的某个规定的运动等 。
二、轨迹规划的一般性问题 工业机器人的作业可以描述成工具坐标系{T}相
对于工件坐标系{S}的一系列运动。
图4.1所示的将销插入 工件孔中的作业，可以 借助工具坐标系的一系 列位姿Pi (i=1，2，…， n)来描述。
图4.1 机器人将销插入工件孔中的作业描述
二、轨迹规划的一般性问题 用工具坐标系相对于工
上述例子可以看出，机器人的规划是分层次的，从高 层的任务规划，动作规划到手部轨迹规划和关节轨迹规划 。在上述例子中，我们没有讨论力的问题，实际上，对有 些机器人来说，力的大小也是要控制的，这时，除了手部 或关节的轨迹规划，还要进行手部和关节输出力的规划。
智能化程度越高，规划的层次越多，操作就越简单。
已知直线始末两点的坐标值P0(X0，Y0，Z0)、Pe(Xe，Ye，Ze)及 姿态，其中P0、Pe是相对于基坐标系的位置。这些已知的位置和 姿态通常是通过示教方式得到的。设v为要求的沿直线运动的速度； ts为插补时间间隔。
直线长度
L X e X 02 Y e Y 02 Z e Z 02
ts间隔内行程d = vts； 插补总步数N为L/d +1的整数部分；
人 机
接
口
规
期望的 控 运动和力
机 控制作用 器
实际的 运动和力
人
划
制
本 体
要求的任务由操作人员输入给机器人，为了使机器人操作方便、使 用简单，必须允许操作人员给出尽量简单的描述。
期望的运动和力是进行机器人控制所必需的输入量，它们是机械手 末端在每一个时刻的位姿和速度，对于绝大多数情况，还要求给出每一 时刻期望的关节位移和速度，有些控制方法还要求给出期望的加速度等 。
二、 机器人轨迹控制过程
图4.3 机器人轨迹控制过程
机器人的基本操作方式是示教-再现，即首先教机器人如何做，机器 人记住了这个过程，于是它可以根据需要重复这个动作。操作过程中， 不可能把空间轨迹的所有点都示教一遍使机器人记住，这样太繁琐，也 浪费很多计算机内存。实际上，对于有规律的轨迹，仅示教几个特征点， 计算机就能利用插补算法获得中间点的坐标，如直线需要示教两点，圆 弧需要示教三点，通过机器人逆向运动学算法由这些点的坐标求出机器
简言之，机器人的工作过程，就是通过规划，将要求的任务变 为期望的运动和力，由控制环节根据期望的运动和力的信号，产生 相应的控制作用，以使机器人输出实际的运动和力，从而完成期望 的任务。如下图所示。这里，机器人实际运动的情况通常还要反馈 给规划级和控制级，以便对规划和控制的结果做出适当的修正。
要求的任务
Y i 1 R s i n ( i ) R s i n i c o s R c o s i s i n Y i c o s X i s i n
• 式中：Xi=R cosθi；Yi=Rsinθi。
• 由θi+1=θi +θ可判断是否到插补终点。若θi+1，则继 续插补下去；当 θi+1> 时，则修正最后一步的步长θ,
各轴增量： X X e X 0 / N Y Ye Y0 / N Z Ze Z0 / N
各插补点坐标值： X i 1 X i i X Yi1 Yi i Y Z i1 Z i i Z
式中：i=0，1，2，…，N。
可见，两个插补点之间的距离正比于要求的运动速度，只有插补点之间 的距离足够小，才能满足一定的轨迹控制精度要求。
对于另外一些作业，如弧焊和曲面加工等，不仅要规定 操作臂的起始点和终止点，而且要指明两点之间的若干中 间点(称路径点)，必须沿特定的路径运动(路径约束)。这 类称为连续路径运动(continuous—Path motion)或轮廓运 动(contour motion) 。
在规划机器人的运动时．还需要弄清楚在其路径上是否 存在障碍物(障碍约束)。
人各关节的位置和角度(1, …, n)，然后由后面的角位置闭环控制系统
实现要求的轨迹上的一点。继续插补并重复上述过程，从而实现要求的 轨迹。
4.3 机器人轨迹插值计算
直线插补和圆弧插补是机器人系统中的基本插补算法。对于 非直线和圆弧轨迹，可用直线或圆弧逼近，以实现这些轨迹。 一、 直线插补
空间直线插补是在已知该直线始末两点的位置和姿态的 条件下，求各轨迹中间点(插补点)的位置和姿态。
为了使手部实现预定的运动，就要知道各关节的运动规律，这是 关节轨迹规划(Joint trajectory planning)。
最后才是关节的运动控制(Motion control)。
给主人倒一杯水
取一个杯子 找到水壶
打开水壶
把水倒入杯中 把水送给主人
提起水壶到杯口上方 把水壶倾斜 把水壶竖直 把水壶放回原处 手部从A点移到B 点 关节从C点移到D点
故平面圆弧位置插补为
Xi1 Xi cos Yi sin
Yi1
Yi
cos Xi sin
i1 i
2.空间圆弧插补
• 空间圆弧是指三维空间任一平面内的圆弧。 • 空间圆弧插补可分三步来处理： • (1) 把三维问题转化成二维，找出圆弧所在平面。 • (2) 利用二维平面插补算法求出插补点坐标(Xi+1, Yi+1)。 • (3) 把该点的坐标值转变为基础坐标系下的值，如图4.7所
轨迹规划的目的是将操作人员输入的简单的任务描述变
为详细的运动轨迹描述。
例如，对一般的工业机器人来说，操作员可能只输入机
械手末端的目标位置和方位，而规划的任务便是要确定出达
到目标的关节轨迹的形状、运动的时间和速度等。这里所说
的轨迹是指随时间变化的位置、速度和加速度。
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
然后再针对每一个子任务进行进一步的规划。以“把水倒入杯中”这
一子任务为例，可以进一步分解成为一系列动作，这一层次的规划称为
动作规划，它把实现每一个子任务的过程分解为一系列具体的动作。
把水倒入杯中
提起水壶到杯口上方 把水壶倾斜 把水壶竖直 把水壶放回原处
为了实现每一个动作，需要对手部的运动轨迹进行必要的规定， 这是手部轨迹规划(Hand trajectory planning )。
首先，机器人应该把任务进行分解，把主人交代的任务分解成为 “取一个杯子”、“找到水壶”、“打开瓶塞”、“把水倒人杯中”、 “把水送给主人”等一系列子任务。这一层次的规划称为任务规划 (Task planning)，它完成总体任务的分解。
给主人倒一杯水
取一个杯子 找到水壶
打开水壶
把水倒入杯中 把水送给主人
机器人控制系统易于实现定时插补，例如采用定时中断方式每隔ts中断 一次进行一次插补，计算一次逆向运动学，输出一个给定值。由于ts仅为 几毫秒，机器人沿着要求轨迹的速度一般不会很高，且机器人总的运动精 度不高，故大多数工业机器人采用定时插补方式。
二、圆弧与基坐标系的三大平面之一重
件坐标系的运动来描述作 业路径是一种通用的作业 描述方法。
它把作业路径描述与具
体的机器人、手爪或工具 分离开来，形成了模型化 的作业描述方法，从而使 这种描述既适用于不同的 机器人，也适用于在同一 机器人上装夹不同规格的 工具。
图4.2 机器人的初始状态和终止状态
对点位作业(pick and place operation)的机器 人，需要描述它的起始状态和目标状态，即工 具坐标系的起始值{T0}，目标值{Tf}。在此， 用“点”这个词表示工具坐标系的位置和姿态 (简称位姿) 。
1arccos(X2X1)2Y2Y122R2/2R2 2arccos(X3X2)2Y3Y222R2/2R2
(3) ts时间内角位移量θ=tsv/R
• (4) 总插补步数(取整数)
•
N = /θ + 1
• 对Pi+1 点的坐标，有
X i 1 R c o s ( i ) R c o s i c o s R s i n i s i n X i c o s Y i s i n
一、机器人规划的概念
为说明机器人规划的概念，我们举下面的例子： 在一些老龄化比较严重的国家，开发了各种各样的 机器人专门用于伺候老人，这些机器人有不少是采用 声控的方式．比如主人用声音命令机器人“给我倒一 杯开水”，我们先不考虑机器人是如何识别人的自然 语言，而是着重分析一下机器人在得到这样一个命令 后，如何来完成主人交给的任务。
三、轨迹的生成方式
(1) 示教-再现运动。这种运动由人手把手示教机器人， 定时记录各关节变量，得到沿路径运动时各关节的位移 时间函数q(t)；再现时，按内存中记录的各点的值产生 序列动作。
(2) 关节空间运动。这种运动直接在关节空间里进行。 由于动力学参数及其极限值直接在关节空间里描述，所 以用这种方式求最短时间运动很方便。
• 在关节空间进行规划时是将关节变量表示成时间的 函数，并规划它的一阶和二阶时间导数。
• 在直角空间进行规划是指将手部位姿、速度和加速 度表示为时间的函数。而相应的关节位移、速度和加 速度由手部的信息导出。通常通过运动学反解得出关 节位移、用逆稚可比求出关节速度，用逆雅可比及其 导数求解关节加速度。
• 求解两坐标系的转换矩阵。 令TR表示由圆弧坐标ORXRYRZR 至基础坐标系OX0Y0Z0的转换矩阵。
• 若ZR轴与基础坐标系Z0轴的夹角为，
本章主要内容
• 4.1 机器人轨迹规划概述 • 4.2 插补方式分类与轨迹控制 • 4.3 机器人轨迹插补计算 • 4.4 轨迹的实时生成
4.1 机器人轨迹规划概述
一、机器人规划的概念
所谓机器人的规划(P1anning)，指的是——机器人 根据自身的任务，求得完成这一任务的解决方案的 过程。这里所说的任务，具有广义的概念，既可以 指机器人要完成的某一具体任务，也可以是机器人 的某个动作，比如手部或关节的某个规定的运动等 。
二、轨迹规划的一般性问题 工业机器人的作业可以描述成工具坐标系{T}相
对于工件坐标系{S}的一系列运动。
图4.1所示的将销插入 工件孔中的作业，可以 借助工具坐标系的一系 列位姿Pi (i=1，2，…， n)来描述。
图4.1 机器人将销插入工件孔中的作业描述
二、轨迹规划的一般性问题 用工具坐标系相对于工
上述例子可以看出，机器人的规划是分层次的，从高 层的任务规划，动作规划到手部轨迹规划和关节轨迹规划 。在上述例子中，我们没有讨论力的问题，实际上，对有 些机器人来说，力的大小也是要控制的，这时，除了手部 或关节的轨迹规划，还要进行手部和关节输出力的规划。
智能化程度越高，规划的层次越多，操作就越简单。
已知直线始末两点的坐标值P0(X0，Y0，Z0)、Pe(Xe，Ye，Ze)及 姿态，其中P0、Pe是相对于基坐标系的位置。这些已知的位置和 姿态通常是通过示教方式得到的。设v为要求的沿直线运动的速度； ts为插补时间间隔。
直线长度
L X e X 02 Y e Y 02 Z e Z 02
ts间隔内行程d = vts； 插补总步数N为L/d +1的整数部分；
人 机
接
口
规
期望的 控 运动和力
机 控制作用 器
实际的 运动和力
人
划
制
本 体
要求的任务由操作人员输入给机器人，为了使机器人操作方便、使 用简单，必须允许操作人员给出尽量简单的描述。
期望的运动和力是进行机器人控制所必需的输入量，它们是机械手 末端在每一个时刻的位姿和速度，对于绝大多数情况，还要求给出每一 时刻期望的关节位移和速度，有些控制方法还要求给出期望的加速度等 。
二、 机器人轨迹控制过程
图4.3 机器人轨迹控制过程
机器人的基本操作方式是示教-再现，即首先教机器人如何做，机器 人记住了这个过程，于是它可以根据需要重复这个动作。操作过程中， 不可能把空间轨迹的所有点都示教一遍使机器人记住，这样太繁琐，也 浪费很多计算机内存。实际上，对于有规律的轨迹，仅示教几个特征点， 计算机就能利用插补算法获得中间点的坐标，如直线需要示教两点，圆 弧需要示教三点，通过机器人逆向运动学算法由这些点的坐标求出机器
简言之，机器人的工作过程，就是通过规划，将要求的任务变 为期望的运动和力，由控制环节根据期望的运动和力的信号，产生 相应的控制作用，以使机器人输出实际的运动和力，从而完成期望 的任务。如下图所示。这里，机器人实际运动的情况通常还要反馈 给规划级和控制级，以便对规划和控制的结果做出适当的修正。
要求的任务
Y i 1 R s i n ( i ) R s i n i c o s R c o s i s i n Y i c o s X i s i n
• 式中：Xi=R cosθi；Yi=Rsinθi。
• 由θi+1=θi +θ可判断是否到插补终点。若θi+1，则继 续插补下去；当 θi+1> 时，则修正最后一步的步长θ,
各轴增量： X X e X 0 / N Y Ye Y0 / N Z Ze Z0 / N
各插补点坐标值： X i 1 X i i X Yi1 Yi i Y Z i1 Z i i Z
式中：i=0，1，2，…，N。
可见，两个插补点之间的距离正比于要求的运动速度，只有插补点之间 的距离足够小，才能满足一定的轨迹控制精度要求。
对于另外一些作业，如弧焊和曲面加工等，不仅要规定 操作臂的起始点和终止点，而且要指明两点之间的若干中 间点(称路径点)，必须沿特定的路径运动(路径约束)。这 类称为连续路径运动(continuous—Path motion)或轮廓运 动(contour motion) 。
在规划机器人的运动时．还需要弄清楚在其路径上是否 存在障碍物(障碍约束)。
人各关节的位置和角度(1, …, n)，然后由后面的角位置闭环控制系统
实现要求的轨迹上的一点。继续插补并重复上述过程，从而实现要求的 轨迹。
4.3 机器人轨迹插值计算
直线插补和圆弧插补是机器人系统中的基本插补算法。对于 非直线和圆弧轨迹，可用直线或圆弧逼近，以实现这些轨迹。 一、 直线插补
空间直线插补是在已知该直线始末两点的位置和姿态的 条件下，求各轨迹中间点(插补点)的位置和姿态。
为了使手部实现预定的运动，就要知道各关节的运动规律，这是 关节轨迹规划(Joint trajectory planning)。
最后才是关节的运动控制(Motion control)。
给主人倒一杯水
取一个杯子 找到水壶
打开水壶
把水倒入杯中 把水送给主人
提起水壶到杯口上方 把水壶倾斜 把水壶竖直 把水壶放回原处 手部从A点移到B 点 关节从C点移到D点
故平面圆弧位置插补为
Xi1 Xi cos Yi sin
Yi1
Yi
cos Xi sin
i1 i
2.空间圆弧插补
• 空间圆弧是指三维空间任一平面内的圆弧。 • 空间圆弧插补可分三步来处理： • (1) 把三维问题转化成二维，找出圆弧所在平面。 • (2) 利用二维平面插补算法求出插补点坐标(Xi+1, Yi+1)。 • (3) 把该点的坐标值转变为基础坐标系下的值，如图4.7所
轨迹规划的目的是将操作人员输入的简单的任务描述变
为详细的运动轨迹描述。
例如，对一般的工业机器人来说，操作员可能只输入机
械手末端的目标位置和方位，而规划的任务便是要确定出达
到目标的关节轨迹的形状、运动的时间和速度等。这里所说
的轨迹是指随时间变化的位置、速度和加速度。
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
然后再针对每一个子任务进行进一步的规划。以“把水倒入杯中”这
一子任务为例，可以进一步分解成为一系列动作，这一层次的规划称为
动作规划，它把实现每一个子任务的过程分解为一系列具体的动作。
把水倒入杯中
提起水壶到杯口上方 把水壶倾斜 把水壶竖直 把水壶放回原处
为了实现每一个动作，需要对手部的运动轨迹进行必要的规定， 这是手部轨迹规划(Hand trajectory planning )。
首先，机器人应该把任务进行分解，把主人交代的任务分解成为 “取一个杯子”、“找到水壶”、“打开瓶塞”、“把水倒人杯中”、 “把水送给主人”等一系列子任务。这一层次的规划称为任务规划 (Task planning)，它完成总体任务的分解。
给主人倒一杯水
取一个杯子 找到水壶
打开水壶
把水倒入杯中 把水送给主人
机器人控制系统易于实现定时插补，例如采用定时中断方式每隔ts中断 一次进行一次插补，计算一次逆向运动学，输出一个给定值。由于ts仅为 几毫秒，机器人沿着要求轨迹的速度一般不会很高，且机器人总的运动精 度不高，故大多数工业机器人采用定时插补方式。
二、圆弧与基坐标系的三大平面之一重
件坐标系的运动来描述作 业路径是一种通用的作业 描述方法。
它把作业路径描述与具
体的机器人、手爪或工具 分离开来，形成了模型化 的作业描述方法，从而使 这种描述既适用于不同的 机器人，也适用于在同一 机器人上装夹不同规格的 工具。
图4.2 机器人的初始状态和终止状态
对点位作业(pick and place operation)的机器 人，需要描述它的起始状态和目标状态，即工 具坐标系的起始值{T0}，目标值{Tf}。在此， 用“点”这个词表示工具坐标系的位置和姿态 (简称位姿) 。
1arccos(X2X1)2Y2Y122R2/2R2 2arccos(X3X2)2Y3Y222R2/2R2
(3) ts时间内角位移量θ=tsv/R
• (4) 总插补步数(取整数)
•
N = /θ + 1
• 对Pi+1 点的坐标，有
X i 1 R c o s ( i ) R c o s i c o s R s i n i s i n X i c o s Y i s i n
一、机器人规划的概念
为说明机器人规划的概念，我们举下面的例子： 在一些老龄化比较严重的国家，开发了各种各样的 机器人专门用于伺候老人，这些机器人有不少是采用 声控的方式．比如主人用声音命令机器人“给我倒一 杯开水”，我们先不考虑机器人是如何识别人的自然 语言，而是着重分析一下机器人在得到这样一个命令 后，如何来完成主人交给的任务。
三、轨迹的生成方式
(1) 示教-再现运动。这种运动由人手把手示教机器人， 定时记录各关节变量，得到沿路径运动时各关节的位移 时间函数q(t)；再现时，按内存中记录的各点的值产生 序列动作。
(2) 关节空间运动。这种运动直接在关节空间里进行。 由于动力学参数及其极限值直接在关节空间里描述，所 以用这种方式求最短时间运动很方便。
• 在关节空间进行规划时是将关节变量表示成时间的 函数，并规划它的一阶和二阶时间导数。
• 在直角空间进行规划是指将手部位姿、速度和加速 度表示为时间的函数。而相应的关节位移、速度和加 速度由手部的信息导出。通常通过运动学反解得出关 节位移、用逆稚可比求出关节速度，用逆雅可比及其 导数求解关节加速度。
• 求解两坐标系的转换矩阵。 令TR表示由圆弧坐标ORXRYRZR 至基础坐标系OX0Y0Z0的转换矩阵。
• 若ZR轴与基础坐标系Z0轴的夹角为，