§4.4时间反演分立对称性
宇宙对称：探索宇宙的对称与反对称
1. 宇宙对称是科学界一直在探索的重要问题之一。
它涉及到宇宙中各种物理现象和规律背后的对称性和反对称性。
通过研究这些对称性，我们可以更深入地了解宇宙的本质和演化过程。
2. 对称是自然界中普遍存在的一种现象，它指的是物体或系统在某种变换下保持不变。
例如，一个球体在绕任意轴旋转时，外观并不会发生变化，这就是球体的轴对称性。
另一个例子是镜面对称性，即物体的镜像与原物体完全一致。
3. 然而，宇宙中的对称性远不止这些简单的几何变换。
在物理学中，对称性通常与能量、动量、电荷等基本物理量的守恒定律相关联。
它们描述了宇宙中各种粒子和场的相互作用，并且决定了宇宙的结构和演化。
4. 宇宙对称性的一个重要概念是时间反演对称性。
按照经典物理学的观点，我们可以通过将物理过程中的时间倒转来获得等效的过程。
然而，在量子力学和相对论的框架下，时间反演对称性并不总是成立。
许多物理过程在时间倒转后会发生微小或明显的变化，这被称为CP破坏。
5. 宇宙对称性还涉及到空间平移、旋转和缩放等变换。
这些变换告诉我们物理定律在空间中是如何保持不变的。
通过研究这些对称性，科学家们可以推导出许多重要的物理定律和方程，例如牛顿定律、麦克斯韦方程和爱因斯坦的相对论。
6. 现代物理学的一个重大突破是对称性破缺的发现。
对称性破缺是指在某些特定条件下，物体或系统的对称性丧失或部分丧失。
一个著名的例子是超导体的超导态，其中电子配对形成了一种新的宏观量子态，使得电流可以在材料中无阻碍地流动。
7. 对称性破缺的研究为我们解释了许多自然界中的现象，包括粒子的质量、宇宙的起源和演化。
例如，通过研究粒子物理中的对称性破缺，科学家们发现了希格斯玻色子，这是解释粒子质量来源的关键。
而宇宙的对称性破缺也可能与宇宙大爆炸和暗能量等问题有关。
8. 宇宙对称性的探索涉及到实验物理学、理论物理学和天体物理学等多个领域的交叉研究。
科学家们通过使用粒子加速器、望远镜和数值模拟等工具，不断地验证和推理宇宙中的对称性和反对称性。
时空对称性
d2r d2r F = m 2 →F = m 2 dt d(t)
牛顿定律具有时间反演对称性 牛顿定律具有时间反演对称性
对 但生活中的许多现象不具有时间反演不变性 称 热力学箭头 君不见黄河之水天上来, 君不见黄河之水天上来, 性 的 时间箭头 心理学箭头 奔流到海不复回. 奔流到海不复回. 基 君不见高堂明镜悲白发, 君不见高堂明镜悲白发, 宇宙学箭头 朝如青丝暮成雪. 本 朝如青丝暮成雪. 概 将无阻尼的单摆(保守系统)拍成影片, 念 将影片倒着放,其运动不会有任何改变—— 保守系统具有时间反演对称性. 保守系统具有时间反演对称性. 武打片动作的真实性: 武打片动作的真实性:
曼德耳布罗特的支气管树模型
2. 置换对称性(联合变换) 置换对称性(联合变换)
对 的骑士图案是镜象反射, ▲ ESCHER的骑士图案是镜象反射,黑白置 称 平移操作构成对称操作. 性 换,平移操作构成对称操作. 的 基 本 概 念
因 三, 因果关系与对称性原理 果 自然 关 对称性与自然规律之间是什么关系? ——自然 规律反映了事物之间的因果关系,其对称性即: 系 规律反映了事物之间的因果关系,其对称性即: 等价的原因 → 等价的结果 与 对 对称的原因 → 对称的结果 称 对称性原理(皮埃尔 居里): 皮埃尔居里 居里) 原 原因中的对称性必反映在结果中, 原因中的对称性必反映在结果中,即结果中的对 理 称性至少有原因中的对称性那样多; 称性至少有原因中的对称性那样多;
对 称 性 与 对 称 破 缺
对称性与对称破缺
对称性概念源于生活 对称性的基本概念 因果性与对称性原理 对称性与守恒定律 对称性的自发破缺 对称性思想方法的重要意义
粒子物理学中的对称性与守恒定律
粒子物理学中的对称性与守恒定律粒子物理学是研究物质的最基本组成部分和相互作用的学科。
在这个领域中，对称性与守恒定律是非常重要的概念。
对称性指的是在某种变换下，系统的性质保持不变；而守恒定律则是指物理量在时间和空间上的变化率为零。
一、对称性在粒子物理中的重要性对称性是粒子物理学中一项基本原则。
根据量子力学和相对论的理论基础，我们知道，自然界的基本定律应该具有某种形式的对称性。
首先是空间对称性，即物理系统的性质在空间位置的变换下保持不变。
例如，相对论性量子场论中的拉格朗日量具有洛伦兹对称性，这意味着在任何洛伦兹变换下，物理定律保持不变。
其次是时间对称性，即物理系统的性质在时间演化的过程中保持不变。
例如，量子力学中的薛定谔方程描述的系统具有时间反演对称性，即系统在时间反演下的演化与正常的时间演化完全一致。
还有内禀对称性，即系统在某种内部变换下保持不变。
例如，电荷守恒定律是电荷在整个物理过程中都保持不变的内禀对称性。
二、粒子物理中的守恒定律在粒子物理学中，守恒定律描述了一系列重要的物理量在物理过程中的守恒。
这些守恒定律为粒子物理学的研究和实验提供了重要的基础。
首先是能量守恒定律。
能量是物理过程中最基本的物理量之一，根据能量守恒定律，能量在物理过程中总是守恒的。
例如，在粒子碰撞实验中，总能量守恒可以用来解释反应产物的能量分布。
其次是动量守恒定律。
动量是描述物体运动状态的物理量，根据动量守恒定律，系统中所有粒子的总动量在物理过程中保持不变。
例如，在高能碰撞实验中，通过测量反应产物的动量可以对碰撞发生前的粒子进行研究。
还有角动量守恒定律和电荷守恒定律。
角动量守恒定律描述了系统中所有粒子的总角动量在物理过程中保持不变，而电荷守恒定律描述了系统中电荷的总量保持不变。
这些守恒定律在研究物质的性质和相互作用时起着至关重要的作用。
三、对称性与守恒定律的关系对称性与守恒定律之间存在密切的关系。
根据诺特定理，守恒定律可以由系统的对称性得出。
反铁磁具有时间反演对称
反铁磁具有时间反演对称
反铁磁材料（Antiferromagnetic, AFM）是一种磁性材料，其特点是相邻原子或离子的磁矩相互抵消，因此整体上不表现出宏观的磁性。
在反铁磁材料中，时间反演对称性（Time Reversal Symmetry, TRS）通常是不破缺的，这意味着材料的物理性质在时间反演变换下保持不变。
时间反演变换是指将时间流向反向，如果系统的物理性质在这种变换下保持不变，那么系统就具有时间反演对称性。
在反铁磁材料中，由于磁矩的排列是周期性的，并且相邻磁矩相互抵消，因此这种排列不会随时间的变化而改变，这就保证了时间反演对称性不被破缺。
然而，需要注意的是，虽然反铁磁材料整体上具有时间反演对称性，但是在某些特定条件下，比如在反铁磁材料中存在非均匀的磁结构或者在外场作用下，时间反演对称性可能会被破缺。
此外，反铁磁材料中的自旋动力学行为可能会因为自旋轨道耦合等因素而表现出非平凡的时间反演对称性破缺现象。
在实际应用中，反铁磁材料的这些特性使其在自旋电子学、磁传感和量子计算等领域具有潜在的应用价值。
例如，反铁磁材料可以用于构建自旋霍尔效应的器件，这是一种产生纯自旋电流的重要途径，对于发展高密度信息存储和高灵
敏度磁传感等技术具有重要意义。
时间反演算符的矩阵形式
时间反演算符的矩阵形式时间反演算符是量子力学中的一个重要概念，它描述了一个物理系统在时间反演下的演化。
时间反演算符的矩阵形式可以用来推导出一些重要的性质和定理。
在量子力学中，时间反演算符被表示为一个厄米算符，记作T。
它的作用是将一个态函数ψ(t)变换为其时间反演态函数ψ(-t)。
时间反演算符的矩阵形式可以通过考虑时间反演下的动力学方程来推导。
考虑一个自由粒子的动力学方程，其哈密顿量为H=p^2/2m，其中p 是粒子的动量，m是粒子的质量。
根据薛定谔方程，该系统的时间演化由如下方程给出：iħ∂ψ/∂t = Hψ为了推导时间反演算符的矩阵形式，我们考虑将动力学方程改写为能量本征态的形式。
假设ψ(t)是能量本征态的线性组合：ψ(t) = ∑c_nψ_n e^(-iE_nt/ħ)其中，c_n是待定系数，ψ_n是能量本征态，E_n是对应的能量本征值。
将上式代入动力学方程，我们可以得到如下形式：iħ∂∑c_nψ_n e^(-iE_nt/ħ)/∂t = ∑c_nHψ_n e^(-iE_nt/ħ)对上式两边求导并整理，可以得到：iħ∑c_nE_nψ_n e^(-iE_nt/ħ) = ∑c_nHψ_n e^(-iE_nt/ħ)由于能量本征态是哈密顿量的本征态，我们可以得到：E_nψ_n = Hψ_n将上式代入前一个等式，我们可以得到：iħ∑c_nHψ_n e^(-iE_nt/ħ) = ∑c_nHψ_n e^(-iE_nt/ħ)由于能量本征态是完备的，即任意波函数都可以用能量本征态展开，因此上式可以写为：iħHψ(t) = ∑c_nHψ_n e^(-iE_nt/ħ)通过比较前后两个等式，我们可以得到时间反演算符的矩阵形式为：T = e^iπ/2其中，π是圆周率。
时间反演算符的矩阵形式表明，在时间反演下，量子态的波函数将乘以一个相位因子e^iπ/2。
这个相位因子是一个纯虚数，它表示了时间反演对称性的存在。
时间反演对称性是量子力学中的一个重要原理，它描述了物理系统在时间反演下的不变性。
镜像对称性的种类
镜像对称性的种类镜像对称性是物理学中常见的一种对称性，指的是在一定条件下，物体在经过一条对称轴或平面翻转之后，仍然与原来的物体完全相同。
镜像对称性是一种很重要的物理性质，可以用来解释物质的外观、化学性质、光学性质等。
不同类型的镜像对称性在物理学中有着不同的应用。
1. 空间反演对称性空间反演是一种基本的对称操作，指的是将一个物体的空间位置上下左右前后对调，可以得到一个与原物体完全相同的物体。
简单来说，就是取一个物体的镜像。
空间反演对称性在物理学中有很重要的应用。
在量子力学中，空间反演对称性是很重要的一种对称性。
量子场论中，有一个很重要的定理，称为CPT定理，它表示物理规律必须在空间反演、粒子-反粒子变换、时间反演三种变换下均具备对称性。
2. 时间反演对称性时间反演是指将时间方向翻转，对系统进行时间的镜像操作。
也就是说，将一个系统的未来和过去互换。
时间反演对称性的物理意义是时间不平衡。
时间反演对称性在物理学中也是非常重要的一种对称性。
在相对论物理中，时间反演对称性在一些可逆过程的研究中有着广泛的应用。
3. 自旋翻转对称性自旋是一种粒子的内部角动量，它具有径向和角向两个方向。
自旋翻转对称性是指，对于一个具有自旋的粒子，它的自旋方向在经过一次空间反演或时间反演之后会发生翻转。
自旋翻转对称性在粒子物理学中有着非常丰富的应用。
例如，在研究高能物理反应中，自旋翻转对称性可以用来描述粒子之间的相互作用。
4. 圆偏振对称性圆偏振对称性是指，在透明介质中，光束在传播过程中会发生偏振。
当光束沿某一方向传播时，它的电场和磁场的振荡方向呈现圆偏振的状态。
而在一些介质中，如铜、金等金属中，光束在传播过程中存在一个不可逆的衰减，称为金属的吸收。
圆偏振对称性在光学中有着重要的应用。
例如，在研究材料的光学性质时，需要考虑光线在介质中的偏振状态，圆偏振对称性可以用来描述光线在介质中的传播状态。
总之，镜像对称性是物理学中非常重要的一种对称性，不同类型的镜像对称性在物理学中有着不同的应用。
物理学中对称性原理的意义
物理学中对称性原理的意义物理学中的对称性原理是指物理定律在某些变换下保持不变的特性。
这些变换可以是空间平移、时间平移、空间旋转、时间反演等。
对称性是物理学的基本思想之一，具有重要的意义。
首先，对称性原理为我们提供了判断物理现象的依据。
在没有实际测量之前，我们可以通过对称性来分析物理系统的特性。
例如，根据空间平移对称性，我们可以得出一个物理系统中的能量是守恒的结论。
这样，我们就可以在没有实际测量能量的情况下，通过对称性来推断物理现象。
其次，对称性原理对于解释和发现新的物理现象也具有重要作用。
通过对称性的分析，可以揭示出物理现象的本质和规律。
例如，研究对称性的研究者Noether 发现，轨道力学中的能量守恒和动量守恒可以通过时间平移和空间平移的对称性来解释。
这个发现揭示了动力学定律的深层次的对称性结构，为我们进一步理解力学定律提供了重要线索。
再次，对称性原理是物理学理论建立的重要基础。
对称性原理有助于建立物理学的数学框架和模型。
例如，相对论物理学的基础就是以洛伦兹变换为基础的对称性原理。
通过对称性的分析，可以推导出相对论物理学的核心方程，如爱因斯坦场方程。
这些方程不仅能够描述物理现象，也符合对称性的要求。
此外，对称性原理在现代物理学研究中的应用也非常广泛。
在高能物理中，对称性原理是研究粒子物理学的重要工具。
例如，标准模型是基于SU(3)×SU(2)×U(1)对称性原理建立的，这个对称性对于描述粒子和力的相互作用非常关键。
在凝聚态物理中，对称性的破缺和重整化也是重要的研究方向。
例如，铁磁或反铁磁材料的磁性是由于系统的自旋旋转对称性破缺导致的。
对称性的破缺使得材料具有特殊的物理性质，如磁性、超导性等。
最后，对称性原理对于物理学的统一和发展也具有重要意义。
由于不同物理学领域内的对称性是相互联系的，因此从一个领域的对称性研究中可以得到对其他领域的启示。
例如，广义相对论中的时间反演对称性与量子力学中的CPT对称性相联系，这为统一引力与量子力学提供了重要线索。
对称性原理在量子力学中的应用
对称性原理在量子力学中的应用量子力学是研究微观世界的理论，它描述了原子、分子和其他微观粒子的行为。
在量子力学中，对称性原理是一条非常基础的原理，它在解决很多问题时具有非常重要的作用。
一、对称性原理的概念对称性原理是指在某个系统中的一些操作或变换不会改变系统的性质或状态。
这些操作包括平移、旋转、反演等等。
如果一个物理系统具有某种对称性，则相应的物理量也具有相同的对称性。
例如，在一个均匀的无限大空间中有一个电子，它可以朝任意方向飞行。
这个系统的性质并不会随着它的旋转或反演而改变。
因此，我们可以得出这个系统具有空间对称性。
对于这种系统，角动量和动量也具有相应的对称性。
二、对称性在量子力学中的应用对称性在量子力学中有着很多应用。
以下是一些常见的例子：1. 空间对称性空间对称性是指系统的性质在空间变换（例如旋转）下不变。
例如，一个在三维空间中自旋为0的玻色子系统，其波函数必须在空间翻转下不变。
这个条件可以用一个对称性变换符号来表示。
2. 时间对称性时间对称性是指系统的性质在时间反演下不变。
例如，一个自旋为1的费米子系统，在时间反演下，它的波函数将会有一个负号。
这个条件可以用一个对称性变换符号来表示。
3. 自旋对称性自旋对称性是指物理系统在旋转下对应的本征值具有对称性。
例如，对于自旋为1/2的费米子系统，所有统计的态（即所有的自旋和动量）必须具有空间反演和时间反演的对称性。
4. 拉格朗日对称性拉格朗日对称性是指在共轭轨道模型中，通过一个粒子不同的路径得到的相位是相等的。
这个对称性在解决电磁场问题时非常有用。
三、对称性原理的意义对称性原理在理解和求解量子力学问题时非常有用。
例如，在确定一个系统的波函数时，对称性原理可以帮助我们找到可能的波函数形式。
另外，在研究量子力学中的各种特性时，对称性原理也可以帮助我们简化问题以提高求解的效率。
总之，对称性原理是量子力学中的一个非常重要的基础概念。
在解决各种有关微观粒子和各种物理现象时，对称性原理的应用可以帮助我们更加深入地理解问题的本质，进而提高我们的研究能力。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
a'
a'
a'
a" a" UU a' a' * θ是反幺正的
a' a"
五、时间反演算符Θ
时间反演态（运动反演态）： Θ |α> 如由上面讨论知，动量本征态|p>的时间反演态: Θ|p>=|-p> 时间反演算符的基本性质 假设态矢具有时间反演对称性：
得：-iHΘ=ΘiH，Θ应为反幺正算符 HΘ=ΘH
六、时间反演算符Θ的运算
仅考虑Θ从左边作用于右矢，和利用 ~ ~ * 及左右矢的对偶对应关系
重要等式： 这是因为对
，有
故
七、厄米算符的时间反演对称性
对厄米算符A，有
若ΘAΘ-1=±A，称A在时间反演下具有偶(奇)对称
由此，
可得A在时间反演态的期望值：
由
，知 ΘpΘ-1=-p
而 故对任意|α>:
此外，由于
不妨约定 1/2体系，该约定对应于取 i ）
（对自旋
一般地可约定： 注：相位约定依处理问题方便而定，但Θ2=±1与相位约定无关。
十一、球张量的时间反演性质
对
若A是
T (k) q
的分量，由于Wigner-Eckart定理
j T (k) j
jm
T (k) q
§4.4 时间反演分立对称性
一、牛顿力学的时间反演变换
经典力学情形：一受保守力场作用的粒子其轨迹如图
m
d
2
x(t)
V
(x(t))
dt 2
若x(t)是牛顿方程的解，令t’=-t,有
m
d 2 x(t) d (t)2
m
d 2 x(t) dt 2
V
( x (t ))
x(-t)也是牛顿方程的解 (时间反演:xx,dx/dt-dx/dt) 可见时间反演应更确切地称为运动反演或运动的倒转。
定义：对变换 : ~ , ~ ,如果
*; (c1 c2 ) c1 * c2 * ),
称θ为反幺正算符 后一式所定义的算符称为反线性算符。
一般而言，反幺正算符可写成θ=UK，U为幺正算符，K为 复共轭算符。K对右矢的叠加系数作用，即
Kc c*K .若 为基矢，则K
若|α>不是基矢,可展开为以|a’>为基矢的矢量:
Ca a ,则K Ca* a
a
a
K的作用效果依赖于基矢的选取（故U也必与基矢选取有关）
θ是反幺正的说明：
(c1 c2 ) c1 *UK c2 *UK , θ是反线性的
a ' * UK a ' a ' U a ' , a ' a ' U
二、电动力学的时间反演变换
Maxwell方程：
Lorentz力：
F
e
E
1 c
(v
B)
对t-t变换,若
则Maxwell方程和Lorentz力形式不变。
即若[E(t), B(t), j (t), (t)]是解， 则E(t), B(t), j (t), ( t) 也是解
上述讨论表明，经典物理中的时间变换为：
对上式取复共轭，得： i *(x, t） H *(x, t）
t
可见对解Ψ(x,t) ，有相应解Ψ*(x,-t) 因Ψ(x) =<x|α>，时间反演波函数由<x|α>*给出
四、反幺正算符
若一对称操作使 , ，从前遇到的情况为 内积不变，相应对称操作以幺正算符表征
对时间反演,波函数变为复共轭,应有 ~ ~ *
不可能为同一状态，存在简并，这不依赖于E的复杂程度。 因此，具有不同奇偶电子数的晶体在外电场中的行为很不 相同。 有外磁场时,H含 S B, p A A p, (B A). 由于p, S 在时间反演下是奇的, [Θ,H]≠0 ,不存在Kramers简并
作业
4.7、4.8、4.10
jm
jk; mq
jk; jm
2 j 1
只要考虑q=0的分量即可。 对厄米球张量，其时间反演奇偶性由q=0分量确定：
Tq(k0)1 Tq(k0).对A Tq(k0)，有
；
由于x对应于k=1，且对时间反演是偶的，故对jm的本征态 <x>=0，这对非宇称本征态亦成立
十二、粒子与电和磁场的相互作用：Kramers简并
类似地,
ΘxΘ-1=x, Θ|x’>=|x’>
从
亦可知ΘJΘ-1=-J
八、波函数的变化
由 d3x '( x ' ) x ' * d3x ' x ' x ' *
知：
对球谐函数： 可见： 定理：若H在时间反演下不变，且能量本征态非简并，则
相应波函数是实的。 证: HΘ|n>=ΘH|n>=EnΘ|n>, Θ|n>与|n>相同, 故<x’|n>=<x’|n>* 注意：时间反演态的动量空间波函数为Φ*(-p)
t-t， xx, v-v (p-p),
ρ ρ, EE, j-j, B-BBiblioteka 三、薛定谔方程的时间反演变换
对薛定谔方程，i
(x,t) (
2
2 V (x)) (x,t) ，
t
2m
作时间反演：
i (x, t) (
2
2 V (x)) (x, t)
t
2m
可见Ψ(x,-t)与Ψ(x,t)满足不同的方程
电荷在静电场中，V(x)=eΦ(x), [H,Θ]=0 由于[Θ,U(t,t0)]≠0, 不存在量子数的时间反演守恒。但
[H,Θ]=0导致非简并态波函数为实数 更重要的推论是Kramers简并。由于|n>与Θ|n>同为H的本
征态，若非简并， Θ|n>=eiδ|n>. 对j半整数体系，则-|n>=ΘΘ|n>=Θeiδ|n>=|n>,故|n>与Θ|n>
九、自旋1/2体系的时间反演
因
(时间反演的效果)
得
由于 有
所以： 对无自旋体系Θ2=1 两者很不相同！
(2 lm ()m l m lm )
十、一般角动量体系的时间反演
由
，得
2 ( jm jm ) ( eiJy / jm ) jm *) 2 ei2Jy /
jm jm