时间平移和时间反演概述
时间反演(简介)
附件1时间反演（简介）人们常说时间如箭，而箭射出去不会自己飞回来。
这实际上表明了时间的一种特性：方向性。
我们记得昨天发生了什么，但已经没有办法再去改变它们了。
而对于未来，是可以找到办法来影响的。
如果把一部电影倒转过来看，你会看到一栋倒塌的大楼自己又立了起来，一堆灰烬又恢复成为完整的木材，它会显得不真实，甚至于可笑。
在人类的日常经验当中，过去和未来属于不同的区域，有着不同的性质，相互不能交换。
但是在物理学中，对于最基本的物理定律有着不一样的故事。
自从17世纪现代物理学诞生直到20世纪，基本物理规律对于过去和未来都表现不出差别。
尽管一部反着播放的电影看上去是荒谬的，但如果盯着其中的粒子看，却发现它们是高度符合物理定律的。
如果我们对一个近乎于无摩擦环境下的一个盒子里四处乱飞的小球拍摄录像，该录像正着放、反着放都看不出区别。
也就是说，对于基本物理定律，时间是正着走，还是反着走都没有区别。
这被称为时间反演对称性，经常用字母T表示。
与时间对称性紧密相关的是空间的对称性，称为空间反演对称性，常又称为宇称，用字母P来表示。
宇称这种对称性表达的意思是如果你通过一个镜子观察世界的话，所看到的物理规律和镜子外看到的真实世界是一样的。
空间反演是通过一面镜子将左和右进行交换，而时间反演是将一部电影正着放变为反着放。
在1956年之前，所有已知的物理定律都符合空间反演对称性。
但李政道先生和杨振宁先生在1956年从理论上提出，如果弱相互作用不遵守空间反演对称性，那么当时在其理论研究中遇到的一些困难就可以得到解决。
弱相互作用是已知的四种基本相互作用之一，它可以使得一种粒子变成另外一种，比如将中子变为质子。
吴健雄女士及其他的一些人不久就通过精心设计的实验证明了这一想法。
1957年李政道和杨振宁因此获得了诺贝尔物理学奖。
对于宇称不守恒（即空间反演对称性失效）的研究使得理论物理学的研究有了很大的进展，极大加深了人们对于弱相互作用的认识和理解。
电磁学课件对称性原理及应用
2、转动与平移
转动：体系绕某一个轴每旋转 2/n角后恢复原状，该轴称
为 n次轴
平移：平行移动 无限大平面
3、时间平移和反演
时间平移：静止物体对任意时间间隔 t的时间平移保持不变。
周期运动对于周期 T的整倍数时间的时间平移不变。
例题1、应用对称性原理分析无限长均匀带电直线的电场分布。 在电场中任取一点P，建如图所示的坐标系。
电荷分布是原因，电 场分布 （ 任意 点P点 的电场强度）是结果
设P点的场强为 E E x i E yj E zk
原因的对称性：
1、以 y 0 面为镜面的镜面反射 P y + 绕 z轴的180度旋转 R z
时间反演：时间倒流 tt
无阻尼单摆的运动具有时间反演不变性。
在时间反演操作下， v v，加速度不变，静电场中 E不变
电流 I反向，所以磁感强度 B反向
物理定律具有时间平移不变性。
重要结论：相继进行的两个或两个以上的对称变换的联合变 换是对称变换。几个变换的联合变换是对称变换，但组成联 合变换的各个分解动作不一定是对称变换。
不同时间、不同地点用同样的实验设备和方法必定得到同样 的现象。例如电磁感应。 从因果关系和对称性考虑，用同样的实验设备和方法是原因， 不同时间是时间平移，、不同地点是空间平移，“用同样的实 验设备和方法”，是指原因是等价的。这意味着：“原因”对 于时间平移和空间平移是对称的。“同样的现象”这意味着 “结果”是对称的。上述等价原理可表示为
Ex Ex Ey Ey Ez Ez
绕 z轴的180度旋转
Ex Ex Ex 根据对称性原理必有
EyEy Ey
离散傅里叶变换时移-概述说明以及解释
离散傅里叶变换时移-概述说明以及解释1.引言1.1 概述离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，简称DFT）是一种将一个离散信号（或称时域信号）转换为频域表示的数学工具。
在现代信号处理和通信领域中，DFT被广泛应用于信号分析、滤波、频谱估计等领域。
DFT的概念源于傅里叶分析，它是将一个连续时间函数表示为一组基函数乘以一系列复数系数的线性组合。
而离散傅里叶变换则是将这一思想应用于离散信号，将离散时间序列转换为离散频率表示。
通过使用离散傅里叶变换，我们可以将一个时域上的离散信号转换为频域上的频谱表示，从而可以更加直观地观察信号的频率成分和能量分布。
离散傅里叶变换的时移性质是指当输入信号在时域上发生时移时，其在频域上的表示也随之发生相应的时移。
这一性质使得我们可以通过时移操作对信号进行处理和分析。
具体来说，如果我们对一个信号进行时移操作，即将信号中的每个样本向前或向后平移若干个位置，那么该信号在频域上的表示也会相应地发生同样的平移。
在本文中，我们将着重讨论离散傅里叶变换时移的原理和性质。
我们将介绍离散傅里叶变换的基本概念和原理，包括如何进行DFT变换、如何计算DFT系数以及DFT的逆变换等。
然后，我们将详细解释离散傅里叶变换的时移性质，包括时域上的时移操作如何在频域上体现以及时域和频域之间的变换关系等。
通过对离散傅里叶变换时移性质的研究，我们可以更好地理解信号在时域和频域之间的关系，以及对信号进行时移操作的影响。
同时，我们还将探讨离散傅里叶变换时移的应用，包括在信号处理、通信系统和图像处理等领域中的具体应用案例。
通过这些应用案例，我们将展示离散傅里叶变换时移的重要性以及它在实际问题中的实用价值。
1.2 文章结构文章结构部分的内容：本文主要分为三个部分：引言、正文和结论。
在引言部分，首先概述了离散傅里叶变换时移的主题，介绍了离散傅里叶变换的基本概念和原理。
接着，详细说明了本文的结构，即按照离散傅里叶变换时移的相关性质展开论述。
4.4 时间反演分立对称性
对j半整数体系，则-|n>=ΘΘ|n>=Θeiδ|n>=|n>,故|n>与 Θ|n>不可能为同一状态，存在简并，这不依赖于E的 复杂程度。因此，具有不同奇偶电子的晶体在外电场 中的行为很不相同。
十、粒子与电和磁场的相互作用：Kramers简并
有外磁场时，H含
S B , p A A p , ( B A ). 由 于 p , S
(k ) q
j T
(k )
j
jkmq
2 j 1
只要考虑q=0的分量即可。
对厄米球张量，其时间反演奇偶性由q=0分量确定：
Tq 0
(k ) 1
T q 0 . 对 A T q 0， 有
(k ) (k )
由于x对应于k=1，且对时间反演是偶的，故对jm的本 征态<x>=0，这对非宇称本征态亦成立
θ是反幺正的
五、时间反演算符Θ
时间反演态（运动反演态）：Θ |α>
上面讨论知,动量本征态|p>的时间反演态:
Θ|p>=|-p> 时间反演算符的基本性质：
由态矢时间反演的对称性
得：-iHΘ=ΘiH，Θ应为反幺正算符
HΘ=ΘH
五、时间反演算符Θ
重要等式：
这是因为对
对时间反演,波函数变为复共轭,应有
~ ~ *
: ~ , ~
定义：对变换
*;
,如果
( c1 c 2 ) c1 * c 2 * ),
电场对称知识点总结
电场对称知识点总结一、空间对称性1.1 点反演对称性点反演是指通过选定一点O，在该点处对空间中的任意一点P进行空间对称。
如果有一个点对称体G与点反演体G’的满足条件是二者的每一个对应点在选定点O作点反演时的对应点相互对应，则称体G有点反演对称性。
1.2 镜面对称性镜面对称性是指物体在一个均匀平行于不透明界面的镜面中可以找到镜像面，即物体的形状在镜面两侧有对称的关系。
具有镜面对称性的物体的一侧图像会出现在镜面的另一侧，且两侧图像互为镜像关系。
1.3 旋转对称性旋转对称性是指物体相对于某一轴进行旋转时，旋转后与原来的物体重叠。
旋转对称性的常见特点是，旋转对称物体的某一特定角度内奋力时，在经过一定的角度旋转后，仍能够保持原来物体的形状不变。
1.4 空间反演对称性空间反演是指物体的形状和位置关系通过空间中某个固定的点进行对称变换。
在空间反演变换中，所有物体的位置和方向都发生了反演。
具有空间反演对称性的物体，在空间反演变换后往往能保持原来的形状和位置关系。
1.5 螺旋对称性螺旋对称性是指物体相对于某一轴进行螺旋运动时，螺旋后可与原来的物体重叠。
螺旋对称物体的特点是，其形状在经过一定的螺旋角度后，能够保持其原来的形状不变。
二、时间对称性2.1 时间反演对称性时间反演是指将物理过程中的时间方向进行反演，即将时间t换为-t。
在时间反演变换中，物理过程中的变化方向和速度方向发生了变换。
具有时间反演对称性的物理过程，在时间反演变换中能够保持其物理规律不变。
2.2 时间平移对称性时间平移对称性是指物理过程在不同的时间点上具有相同的物理规律。
具有时间平移对称性的物理过程，在不同的时间点上能够保持其物理规律不变。
2.3 正演化对称性正演化对称性是指物理过程在正演化条件下具有相同的物理规律。
具有正演化对称性的物理过程，在正演化条件下能够保持其物理规律不变。
三、材料对称性3.1 各向同性各向同性是指物质在各个方向上具有相同的物理性质。
时间平移和时间反演概述
T0RT01 R
T0PT01 P
T0LT01 L
21
三、自旋1/2粒子系统的时间反演算符
取常用的 Sz 表象来讨论，自旋1/2粒子的时间反演算符 T 除了符合 T0 所满足的21.10式或21.19式之外，还应满足
TST 1 S S是粒子的自旋算符。令 T UT0 其中 T0 KT1 , U 是一个 2 2 矩阵，为自旋空间中的算符。
Rˆ Dˆ ( )Rˆ Dˆ 1( ) Rˆ Pˆ Dˆ ( )Pˆ Dˆ 1( ) Pˆ
用时间平移算符 Dˆ ( ) 作用于Schrödinger方程两边：
iDˆ ( ) Dˆ 1( )Dˆ ( ) (t) Dˆ ( )HˆDˆ 1( )Dˆ ( ) (t)
t
即
i (t) Hˆ (t ) (t)
与
* ni
(r)
之间有较为复杂的关系。
14
3. 时间反演算符的数学性质
无自旋系统的时间反演算符可以写成
Tˆ0 KˆT1 Kˆ (r, t) *(r, t)
T1 (r, t) (r,t)
不寻常的数学性质：
（1）时间反演算符 Tˆ0 不是线性算符，它是反线性算符。
它虽然满足 Tˆ0 ( 1 2 ) Tˆ0 1 Tˆ0 2
t换成-t：
i (r, t) Hˆ (r, t)
t
i (r,t) Hˆ (r,t)
(t)
两边取复共轭： i *(r,t) Hˆ *(r,t)
t
7
令 (r, t) *(r,t) Tˆ0 (r, t)
则 (r, t) 为时间反演态，Tˆ0 称为时间反演算符。
每一个含时态都有一个时间反演态与之对应，当哈 密顿在时间反演下不变时，时间反演态与原状态满 足相同的Schrödinger方程。
高量15-时间平移和时间反演
ˆ ( H 不显含时间）
i ˆ H
所以：
ˆ D( ) e
d dt
e
6
§21-2 时间反演
一、态函数的时间反演变换
ˆ 1．时间反演算符 T0
ˆ 设系统的 H 为实算符（不含虚数），且不含时，无自
旋。系统的态满足Schrö dinger方程：
ˆ i (r, t ) H (r, t ) t
14
3. 时间反演算符的数学性质
无自旋系统的时间反演算符可以写成
ˆ ˆ T0 KT1
ˆ K (r, t ) * (r, t )
T1 (r, t ) (r,t )
不寻常的数学性质：
ˆ （1）时间反演算符 T0 不是线性算符，它是反线性算符。
它虽然满足 但是
ˆ ˆ ˆ T0 ( 1 2 ) T0 1 T0 2 ˆ ˆ ˆ T0 (a ) a *T0 aT0
ni
i En t
式中
ˆ H ni (r ) En ni (r )
i 1,2, , d n
i Ent
d n 是能级 En 的简并度。
* * ˆ (r, t ) T0 (r, t ) * (r,t ) ani ni (r )e 时间反演态: ni
T 除了符合 T0 所满足的21.10式或21.19式之外，还应满足
TST 1 S
S是粒子的自旋算符。令 T UT0
其中 T0 KT1 , U 是一个 2 2 矩阵，为自旋空间中的算符。
TST 1 UT0ST0 U 1 US*U 1
1
22
在 S z 表象中，
1 0 Sz 0 1 2
物理学中的对称性原理
物理学中的对称性原理物理学中的对称性原理是指在自然界中存在着各种对称性，并且这些对称性对于物理定律的描述和解释起着重要的作用。
对称性原理是物理学中的基本原理之一，它帮助我们理解和解释了许多重要的现象和规律。
一、空间对称性空间对称性是指物理系统在空间变换下保持不变。
在三维空间中，常见的空间对称性有平移对称性、旋转对称性和镜像对称性。
1. 平移对称性：物理系统在空间平移下保持不变。
例如，一个自由粒子在空间中运动时，其动能和势能在空间平移下保持不变。
2. 旋转对称性：物理系统在空间旋转下保持不变。
例如，一个均匀的圆盘在绕其对称轴旋转时，其物理性质保持不变。
3. 镜像对称性：物理系统在空间镜像变换下保持不变。
例如，一个球在经过镜像变换后，其形状和物理性质保持不变。
二、时间对称性时间对称性是指物理系统在时间反演下保持不变。
时间反演是指将时间t变为-t，即将物理系统的演化方向反转。
时间对称性原理表明，物理定律在时间反演下保持不变。
1. 动力学时间对称性：物理系统的演化方程在时间反演下保持不变。
例如，牛顿第二定律F=ma在时间反演下仍然成立。
2. 热力学时间对称性：热力学系统的热平衡状态在时间反演下保持不变。
例如，一个封闭的热力学系统在达到热平衡后，其热平衡状态在时间反演下保持不变。
三、粒子对称性粒子对称性是指物理系统在粒子变换下保持不变。
粒子变换是指将一个粒子变为另一个粒子，例如将一个电子变为一个中子。
粒子对称性原理表明，物理定律在粒子变换下保持不变。
1. 电荷守恒：电荷在粒子变换下保持守恒。
例如，一个粒子和其反粒子的电荷之和为零。
2. 弱力相互作用：弱力相互作用在粒子变换下保持不变。
例如，一个粒子在弱力相互作用下可以转变为另一种粒子。
四、规范对称性规范对称性是指物理系统在规范变换下保持不变。
规范变换是指改变物理系统的规范场，例如改变电磁场的规范。
规范对称性原理在量子场论中起着重要的作用。
1. 电磁规范对称性：电磁场的规范变换不改变物理系统的物理性质。
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二、时间平移操作以及对态函数和算符的作用
在位置表象中 1. 时间平移算符及对态函数的作用
设系统处于某一含时态 (t) (r, t) 中，其态函数满足
Schrödinger方程
i (t) Hˆ (Rˆ , Pˆ , t) (t)
t
(t)态的时间平移态 (t)是一个运动变化完全 与 (t) 相同，但全面推迟时间 发生的态，即
置的函数而与速度无关，则其运动方程满足牛顿第
二定律，即
m
d 2r(t) dt 2
F(r)
t 换成-t：
m
d
2r (t ) dt 2
F(r)
令粒子的时间反演态为 r(t) r(t)
则 r(t) 满足与 r(t) 相同的运动方程。
11
反演态的物理图象： 当粒子从初始态 (ri , pi ) 经过t 时间运动到 rf 点，动 量为p f 时，则其时间反演态如以 (rf ,p f )为初始态， 经过时间 后，t粒子将按原路径回到 ，而ri 那时动 量为 ， p情i 况与将原过程拍成电影倒过来放映一 样。
§21 时间平移和时间反演 §21-1 时间平移 一、量子力学中的时空观
在量子力学中，系统或粒子的空间坐标是物理量， 有厄米算符与之对应，有本征值和本征矢量，但是ห้องสมุดไป่ตู้时间却不是物理量，没有算符与之对应，它在理论 中的地位只是一个实数参数，所以系统的哈密顿量 在时间变换方面的不变性或对称性，与对空间变换 的不变性是不完全一样的。
8
位置算符 Xˆ ，动量算符 Pˆ 和轨道角动量 Lˆ
的时间反演是
Xˆ Tˆ0Xˆ Tˆ01 Xˆ
Pˆ Tˆ0Pˆ Tˆ01 Pˆ Lˆ Tˆ0Lˆ Tˆ01 Lˆ
Proof: 取任意函数 (r, t)，有
Tˆ0
PˆxTˆ01
(r,
t)
Tˆ0[i
x
*
(r,t)]
i
x
(r,
t)
t
7
令 (r, t) *(r,t) Tˆ0 (r, t)
则 (r, t) 为时间反演态，Tˆ0 称为时间反演算符。
每一个含时态都有一个时间反演态与之对应，当哈 密顿在时间反演下不变时，时间反演态与原状态满 足相同的Schrödinger方程。
Tˆ0 满足下列条件：
Tˆ01 Tˆ0
Tˆ0Tˆ0 1
2. 时间平移算符对其他算符的作用
Hilbert空间中的算符 Aˆ(Rˆ , Pˆ , t)的时间平移 Aˆ(Rˆ , Pˆ , t)为 Aˆ(Rˆ , Pˆ , t) Dˆ ( ) Aˆ(Rˆ , Pˆ , t)D1( )
Aˆ (Rˆ , Pˆ , Q1( )t) Aˆ(Rˆ , Pˆ , t )
(t ) (t)
(t) (t )
2
定义 Q( ) 为作用于时间参量上的时间平移操作，即 Q( )t t
定义 Dˆ ( )为作用于时间函数上的时间平移算符，这是一个
函数空间上的幺正算符，其对函数的作用可写为
(r, t) Dˆ ( ) (r, t) [r, Q1( )t] (r, t )
时间反演态: (r, t) Tˆ0 (r, t) *(r,t)
an*i
* ni
(r
)e
i
Ent
ni
可见： (r, t) (r,t)
13
所以，当 Hˆ 中不含虚数的情况下， (r, t) 虽然仍旧 满足原Schrödinger方程，但不一定等于原过程的倒放。
其原因是：
①经典力学只涉及实数，而量子力学涉及复数；
6
§21-2 时间反演
一、态函数的时间反演变换
1．时间反演算符 Tˆ0 设系统的 Hˆ 为实算符（不含虚数），且不含时，无自
旋。系统的态满足Schrödinger方程：
t换成-t：
i (r, t) Hˆ (r, t)
t
i (r,t) Hˆ (r,t)
(t)
两边取复共轭： i *(r,t) Hˆ *(r,t)
Pˆx
(r,
t)
所以，
Tˆ0 PˆxTˆ01 Pˆx
9
如果无自旋系统的 Hˆ 不显含时间，又是动量Pˆ 的二次式，则有
Tˆ0 HˆTˆ01 H
此时该系统（及其哈密顿）具有时间反演不变性或 时间反演对称性。这时系统的每一个含时态的时间 反演态也是系统的一个可能实现的状态。
10
2. 时间反演态
在经典力学中，若单粒子所受的外力 F(r) 只是位
3
不显含时间的算符不受时间平移的影响，如
Rˆ Dˆ ( )Rˆ Dˆ 1( ) Rˆ Pˆ Dˆ ( )Pˆ Dˆ 1( ) Pˆ
用时间平移算符 Dˆ ( ) 作用于Schrödinger方程两边：
iDˆ ( ) Dˆ 1( )Dˆ ( ) (t) Dˆ ( )HˆDˆ 1( )Dˆ ( ) (t)
t
即
i (t) Hˆ (t ) (t)
t
此式一般来说与原来Schrödinger方程不同，因为 Hˆ (t )
不一定与 Hˆ (t)相同，因此 (t)不一定是系统一个可能实现的状态。
4
三、哈密顿具有时间平移对称性的情况
如果系统的 Hˆ 具有时间平移对称性，即 Hˆ (t ) Hˆ (t)对一切
12
在量子力学中，以无自旋粒子系统为例，原来的含时态
(r, t) 与其时间反演态 (r, t) 两者都满足同一个
Schrödinger方程，而 (r, t) 的最一般解是
式中
(r, t)
ani
ni
(r
)e
i
Ent
ni
Hˆ ni (r) En ni (r) i 1,2,, dn
dn是能级 En 的简并度。
成立，则Schrödinger方程任何状态的时间平移态也是系统
的一个可能的状态，
i (t) Hˆ (t ) (t)
t 哈密顿具有时间平移的对称性即是要求它不明显依赖于时间， 不显含时间的哈密顿本身是一个守恒量，因此说：
系统的哈密顿如果具有时间平移的不变性 Hˆ (t ) Hˆ (t) 则导致系统的能量守恒。
5
注意：时间平移与时间演化是两个不同的概念。波 函数经时间平移后不一定再满足Schrödinger方程， 而时间演化算符作用后的波函数要服从 Schrödinger方程。
时间平移算符：Dˆ (
)
e
d dt
演化算符： U 1( ,0) eiHˆ (Hˆ 不显含时间）
所以：
Dˆ (
)
e
d dt
e i Hˆ