用频率估算概率
如何用频率来估计概率
如何用频率来估计概率在苏科版初中数学课本里所学习的概率计算问题有以下类型：第一类是可以列举有限个等可能发生的结果的概率计算问题（一步试验直接列举，两步以上的试验可以借助树状图或表格列举），比如掷一枚均匀硬币的试验；第二类是用试验或者模拟试验的数据计算频率，并用频率估计概率的概率计算问题，比如掷图钉的试验。
在八年级的数学学习中概率的计算，主要是第二类题型，我们知道频率是研究概率的基础，所以利用频率估计概率的试题频频出现在各地的中考试卷中，下面以中考题为例，来剖析这一类题型的解法。
一、填空题中的用频率估计概率例1.在课外活动中，小明同学在相同的条件下做了某种作物种子发芽的实验，结果如下表所示：由此估计这种作物种子发芽率约为（精确到0.01）.解：由公式种子的发芽率= 可求出种子的发芽率为0.939，因为精确到0.001故答案为0.94.点评：本题考察了百分率问题（1）种子的发芽率= ；（2）注意括号的中的要求为精确到0.01例2.有一箱规格相同的红、黄两种颜色的小塑料球共1000个.为了估计这两种颜色的球各有多少个，小明将箱子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，多次重复上述过程后，发现摸到红球的频率约为0.6，据此可以估计红球的个数约为.解：解：∵摸到红球的频率约为0.6，∴红球所占的百分比是60%.∴1000×60%=600.故答案为：600.点评：本题考查用频率估计概率，因为多次重复上述过程后，发现摸到红球的频率约为0.6，所以红球所占的百分比也就是60%，根据总数可求出红球个数.二、选择题中的用频率估计概率例3.“六?一”儿童节，某玩具超市设立了一个如图所示的可以自由转动的转盘，开展有奖购买活动.顾客购买玩具就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应奖品.下表是该活动的一组统计数据：下列说法不正确的是（）A.当n很大时，估计指针落在“铅笔”区域的频率大约是0.70B.假如你去转动转盘一次，获得铅笔的概率大约是0.70C.如果转动转盘2000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有600次D.转动转盘10次，一定有3次获得文具盒解：由表中提供的信息可知，只有“转动转盘10次，一定有3次获得文具盒”的判断不一定正确，故应选D.点评：正确正解频率与概率之间的关系是求解此类问题的关键. 由表中提供的信息，我们可以知道，当n很大时，指针落在“铅笔”区域的频率趋于0.70，由此，由频率与概率之间的关系可知，假如你去转动转盘一次，获得铅笔的概率大约是0.70，如果转动转盘2000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有2000次×（1-0.7）=600次，而将转盘转动转盘10次，却不一定有3次获得文具盒.三、解答题中的用频率估计概率例4.六一期间，某公园游戏场举行“迎奥运”活动.有一种游戏的规则是：在一个装有6个红球和若干个白球（每个球除颜色外其他都相同）的袋中，随机摸一个球，摸到一个红球就得到一个奥运福娃玩具.已知参加这种游戏活动为40 000人次，公园游戏场发放的福娃玩具为10 000个.（1）求参加一次这种游戏活动得到福娃玩具的频率；（2）请你估计袋中白球接近多少个？分析（1）由40 000人次中公园游戏场发放的福娃玩具为10 000个，结合频率的意义可直接求得.（2）由概率与频率的关系可估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率，从而引进未知数，构造方程求解.解（1）因为= ，所以参加一次这种游戏活动得到福娃玩具的频率为.（2）因为试验次数很大，大数次试验时，频率接近于理论频率，所以估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是.设袋中白球有x个，则根据题意，得= ，解得x=18.经检验x=18是方程的解.所以估计袋中白球接近18个.点评：利用频率估计概率，并以此引进未知数构造方程是求解此类问题的常用方法，同学们在学习时应注意体会和运用.例5.研究问题：一个不透明的盒中装有若干个只有颜色不一样的红球与黄球，怎样估算不同颜色球的数量？操作方法：先从盒中摸出8个球，画上记号放回盒中，再进行摸球实验，摸球实验的要求：先搅拌均匀，每次摸出一个球，放回盒中，再继续.点评：（1）根据表格数据可以得到50次摸球实验活动中，出现红球20次，黄球30次，由此即可求出盒中红球、黄球各占总球数的百分比；（2）由题意可知50次摸球实验活动中，出现有记号的球4次，由此可以求出总球数，然后利用（1）的结论即可求出盒中红球.此题主要考查了利用频率估计概率的问题，首先利用模拟实验得到盒中红球、黄球各占总球数的百分比，然后利用百分比即可求出盒中红球个数.。
用频率估计概率(含答案)
一、基础知识： 用频率估计概率一般地，在大量重复试验中，如果事件A 发生的频率会稳定在某一个常数p 的附近，那么事件A 发生的概率P (A )=p .其中0≤p ≤1条件是：在同等条件下，需要做大量的重复试验。
关键是：通过大量重复试验找出频率的稳定值。
二、重难点分析本课教学重点：通过对事件发生的频率的分析来估计事件发生的概率。
本课教学难点：合理设计模拟试验，分析频率稳定值从而得到该事件的概率。
通过对问题的分析,理解用频率来估计概率的方法,渗透转化和估算的思想方法。
培养使用数学的良好意识,激发学习兴趣,体验数学的应用价值。
典型例题分析例1、绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如下表所示： 每批粒数n 100 300 400 600 1000 2000 3000 发芽的粒数m 96 282 382 570 948 1912 2850 发芽的频率=nm 0.9600.9400.9550.9500.9480.956 0.950则绿豆发芽的概率估计值是 （ ）A ．0.96 B ．0.95 C ．0.94D ．0.90率=频数与总情况数之比．例2、一个不透明的口袋中放有若干只红球和白球，这两种球除了颜色以外没有任何其他区别，将袋中的球摇均匀．每次从口袋中取出一只球记录颜色后放回再摇均匀，经过大1，求：（1）取出白球的概率是多少？量的实验，得到取出红球的频率是4（2）如果袋中的白球有18只，那么袋中的红球有多少只？三、感悟中考1、（2014•河北）某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（）A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃C．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4（2014•贵阳）“六•一”期间，小洁的妈妈经营的玩具店进了一纸箱除颜色外都相同的散装塑料球共1000个，小洁将纸箱里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下其颜色，把它放回纸箱中；搅匀后再随机摸出一个球记下其颜色，把它放回纸箱中；…多次重复上述过程后，发现摸到红球的频率逐渐稳定在0.2，由此可以估计纸箱内红球的个数约是个．四、专项训练（一）基础练习1、在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有50个，除颜色外，形状、大小、质地完全相同．小刚通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率分别稳定在20%和40%，则布袋中白色球的个数很可能是个．姚明在某段时间内进行定点投篮训练，其成绩如下表：投篮次数10 100 10000投中次数9 89 9012试估计姚明在这段时间内定点投篮投中的概率是（精确到0.1）【点评】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．3、在一个不透明的布袋中，红球、黑球、白球共有若干个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，小新从布袋中随机摸出一球，记下颜色后放回布袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色，…如此大量摸球实验后，小新发现其中摸出红球的频率稳定于20%，摸出黑球的频率稳定于50%，对此实验，他总结出下列结论：①若进行大量摸球实验，摸出白球的频率稳定于30%，②若从布袋中任意摸出一个球，该球是黑球的概率最大；③若再摸球100次，必有20次摸出的是红球．其中说法正确的是（）A．①②③B．①②C．①③D．②③【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，搞清频率与概率的关系是解题关键．（二）提升练习1、（2014•东海县模拟）一个不透明的袋子里有若干个小球，它们除了颜色外，其它都相同，甲同学从袋子里随机摸出一个球，记下颜色后放回袋子里，摇匀后再次随机摸出一个球，记下颜色，…，甲同学反复大量实验后，根据白球出现的频率绘制了如图所示的统计图，则下列说法正确的是（）A．袋子一定有三个白球B．袋子中白球占小球总数的十分之三C．再摸三次球，一定有一次是白球D．再摸1000次，摸出白球的次数会接近330次【答案】D2、某商场为了吸引顾客，举行抽奖活动，并规定：顾客每购买100元的商品，就可随机抽取一张奖券，抽得奖券“紫气东来”、“花开富贵”、“吉星高照”，就可以分别获得100元、50元、20元的购物券，抽得“谢谢惠顾”不赠购物券；如果顾客不愿意抽奖，可以直接获得购物券10元．小明购买了100元的商品，他看到商场公布的前10000张奖券的抽奖结果如下：奖券种类紫气东来花开富贵吉星高照谢谢惠顾出现张数（张）500 1000 2000 6500（1）求“紫气东来”奖券出现的频率；（2）请你帮助小明判断，抽奖和直接获得购物卷，哪种方式更合算？并说明理由．。
利用频率估算概率的方法频率估算概率的两个条件频率估算概率的依据
一、利用频率估算概率的方法1.在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率。
2.当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率；3.利用频率估计概率的数学依据是大数定律：当试验次数很大时，随机事件A出现的频率，稳定地在某个数值P附近摆动.这个稳定值P，叫做随机事件A的概率，并记为P(A)=P。
4.利用频率估计出的概率是近似值。
二、利用频率估算概率频率：在多次实验中，某个事件出现的次数叫频数，某个事件出现的次数与试验总次数的比，叫做这个事件出现的频率。
概率：又称或然率、机会率或机率、可能性，是一个在0到1之间的实数，是对随机事件发生的可能性的度量，表示一个事件发生的可能性大小的数，叫做该事件的概率。
三、频率与概率之间的关系频率与概率的区别：事件的概率是客观存在的，是确定的，是个不变的常数.而事件发生的频率是大量重复试验的结果，是不确定的，是变化的数。
它不仅和总的试验次数n有关，即重复试验的次数n不同，结果(频率)可能不同，而且即便是两回大量重复试验的次数n相同，事件出现的次数k也可能不同，结果(频率)也就可能不同.频率与概率的关系：事件发生的频率客观上能够体现事件概率的含义，即一个事件发生的频率越大，说明该事件在总的试验次数n中，出现的次数k相对的越多，也就是说该事件发生的可能性越大;事件发生的频率越小，说明该事件在总的试验次数n中，出现的次数k相对的越少，也就是说该事件发生的可能性越小.反过来，事件发生的概率也应该体现在事件的频率上，即事件的概率越大，该事件发生的可能性越大，应该在总的试验次数n中，该事件出现的次数k相对越多;事件的概率越小，该事件发生的可能性越小，应该是在总的试验次数n中，该事件出现的次数k相对越小.四、如何用频率估计概率？1.要解决这个问题首先要了解频率和概率的定义以及它们之间的相互关系。
3.2用频率估计概率
“有2个人 生日相同” 次数 “有2个人 生日相同” 频率
（3）根据上表的数据，估计“50个人中有2个人生日相
当理论概率不好求时,我们可以通 过多次试验,用一个事件发生的频率来 估计这一事件发生的概率.
提出问题
在我们的身边，有很多试验的所有可能 性是不相等且结果不是有限多个，这些事 件的概率怎样确定呢？ 在同样条件下，通过大量反复的试验，根 据一个随机事件发生的频率所逐渐稳定到的 常数，可以估计这个事件发生的概率。
频率 (1)请完成上表
100
200
198
300
294
400
392
正品 频数 97
(2)任抽一件是次品的概率是多少?
(3)如果销售1 500件西服,那么需要准备多少件正 品西装供买到次品西装的顾客调换?
5.（青岛·中考）一个口袋中装有10个红球和若干个
黄球．在不允许将球倒出来数的前提下，为估计口袋
中黄球的个数，小明采用了如下的方法：每次先从口
1 （2）如果要使摸到绿球的概率是 ，需要在这个口袋中再放 4 入多少个绿球
某林业部门要考查某种幼树在一定 条件的移植成活率，应采用什么具 体的做法？
答：在同样条件下，大量地对这种幼树 进行移植，并统计成活情况，计算成活 的频率。如果随着移植棵数n的越来越 m 大，频率 n 越来越稳定于某个常数， 那么这个常数就可以被当作成活率的近 似值。
生活中有哪些问题可以借助类似（2)的方案加于解
决？与同伴交流。
随堂练 习
1.下列说法正确的是( D ) 1 A. 某事件发生的概率为 ，这就是说：在两次重复试验 中，必有一次发生
2
B．一个袋子里有100个球，小明摸了8次，每次都只摸到
利用频率估计概率
利用频率估计概率以下是为您推荐的利用频率估计概率，希望本篇文章对您学习有所帮助。
利用频率估计概率疑难分析：1.当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率.2.利用频率估计概率的数学依据是大数定律：当试验次数很大时，随机事件A 出现的频率，稳定地在某个数值P附近摆动.这个稳定值P，叫做随机事件A的概率，并记为P(A)=P.3.利用频率估计出的概率是近似值.例题选讲例1 某篮球运动员在最近的几场大赛中罚球投篮的结果如下：投篮次数n 8 10 12 9 16 10进球次数m 6 8 9 7 12 7进球频率(1)计算表中各次比赛进球的频率;(2)这位运动员投篮一次，进球的概率约为多少?解答：(1)0.75,0.8,0.75,0.78,0.75,0.7;(2)0.75.评注：本题中将同一运动员在不同比赛中的投篮视为同等条件下的重复试验，所求出的概率只是近似值.例2 某商场设立了一个可以自由转动的转盘(如图)，并规定：顾客购物10元以上能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统计数据：(1) 计算并完成表格：转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000落在铅笔的次数m 68 111 136 345 546 701落在铅笔的频率(2) 请估计，当很大时，频率将会接近多少?(3) 转动该转盘一次，获得铅笔的概率约是多少?(4) 在该转盘中，标有铅笔区域的扇形的圆心角大约是多少?(精确到1)解答：(1)0.68、0.74、0.68、0.69、0.6825、0.701;(2)0.69;(3)0.69;(4)0.69360248.评注：(1)试验的次数越多，所得的频率越能反映概率的大小;(2)频数分布表、扇形图、条形图、直方图都能较好地反映频数、频率的分布情况，我们可以利用它们所提供的信息估计概率.基础训练一、选一选(请将唯一正确答案的代号填入题后的括号内)1.盒子中有白色乒乓球8个和黄色乒乓球若干个，为求得盒中黄色乒乓球的个数，某同学进行了如下实验：每次摸出一个乒乓球记下它的颜色，如此重复360次，摸出白色乒乓球90次，则黄色乒乓球的个数估计为 ( )A. 90个B.24个C.70个D.32个2.从生产的一批螺钉中抽取1000个进行质量检查，结果发现有5个是次品，那么从中任取1个是次品概率约为( ).A. B. C. D.3.下列说法正确的是( ).A.抛一枚硬币正面朝上的机会与抛一枚图钉钉尖着地的机会一样大;B.为了解汉口火车站某一天中通过的列车车辆数，可采用全面调查的方式进行;C.彩票中奖的机会是1%，买100张一定会中奖;D.中学生小亮，对他所在的那栋住宅楼的家庭进行调查，发现拥有空调的家庭占100%，于是他得出全市拥有空调家庭的百分比为100%的结论.4.小亮把全班50名同学的期中数学测试成绩，绘成如图所示的条形图，其中从左起第一、二、三、四个小长方形高的比是1∶3∶5∶1.从中同时抽一份最低分数段和一份最高分数段的成绩的概率分别是( ).A. 、B. 、C. 、D. 、5.某人把50粒黄豆染色后与一袋黄豆充分混匀，接着抓出100黄豆，数出其中有10粒黄豆被染色，则这袋黄豆原来有( ).A.10粒B.160粒C.450粒D.500粒6.某校男生中，若随机抽取若干名同学做是否喜欢足球的问卷调查，抽到喜欢足球的同学的概率是，这个的含义是( ).A.只发出5份调查卷，其中三份是喜欢足球的答卷;B.在答卷中，喜欢足球的答卷与总问卷的比为3∶8;C.在答卷中，喜欢足球的答卷占总答卷的 ;D.在答卷中，每抽出100份问卷，恰有60份答卷是不喜欢足球.7.要在一只口袋中装入若干个形状与大小都完全相同的球，使得从袋中摸到红球的概率为，四位同学分别采用了下列装法，你认为他们中装错的是( ).A.口袋中装入10个小球，其中只有两个红球;B.装入1个红球，1个白球，1个黄球，1个蓝球，1个黑球;C.装入红球5个，白球13个，黑球2个;D.装入红球7个，白球13个，黑球2个，黄球13个.8.某学生调查了同班同学身上的零用钱数，将每位同学的零用钱数记录了下来(单位：元)：2，5，0，5，2，5，6，5，0，5，5，5，2，5，8，0，5，5，2，5，5，8，6，5，2，5，5，2，5，6，5，5，0，6，5，6，5，2，5，0.假如老师随机问一个同学的零用钱，老师最有可能得到的回答是( ).A. 2元B.5元C.6元D.0元二、填一填9. 同时抛掷两枚硬币，按照正面出现的次数，可以分为2个正面、1个正面和没有正面这3种可能的结果，小红与小明两人共做了6组实验，每组实验都为同时抛掷两枚硬币10次，下表为实验记录的统计表：结果第一组第二组第三组第四组第五组第六组两个正面 3 3 5 1 4 2一个正面 6 5 5 5 5 7没有正面 1 2 0 4 1 1由上表结果，计算得出现2个正面、1个正面和没有正面这3种结果的频率分别是___________________.当试验组数增加到很大时，请你对这三种结果的可能性的大小作出预测：______________.10.红星养猪场400头猪的质量(质量均为整数千克)频率分布如下，其中数据不在分点上组别频数频率46 _ 50 4051 _ 55 8056 _ 60 16061 _ 65 8066 _ 70 3071_ 75 10从中任选一头猪，质量在65kg以上的概率是_____________.11.为配和新课程的实施，某市举行了应用与创新知识竞赛，共有1万名学生参加了这次竞赛(满分100分，得分全为整数)。
九年级数学利用频率估计概率
置信水平和置信区间的概念
1 2
置信水平
表示估计的概率值在真实概率值周围的可信程度， 通常用百分比表示。
置信区间
表示估计的概率值所在的可能范围，通常用区间 表示。
3
置信水平和置信区间之间的关系
置信水平越高，置信区间越窄，估计的精度越高。
05 总结与展望
总结频率与概率的关系
01
频率是概率的近似值
在大量重复实验中，某一事件发生的频率会趋近于该事件发生的概率。
样本大小对频率稳定性的影响
样本越大，频率越稳定，估计的概率越准确。
样本大小与置信水平的关系
样本越大，置信水平越高，置信区间越窄，估计的精度越高。
随机误差和系统误差的影响
随机误差
由于随机抽样而产生的误差，可以通 过增加样本量来减小。
系统误差
由于抽样方法、测量工具或实验设计 等因素产生的误差，需要改进抽样方 法、提高测量精度或调整实验设计来 减小。
02 利用频率估计概率的方法
长期频率稳定性
定义
应用Leabharlann 长期频率稳定性是指当试验次数趋于 无穷时，某一随机事件的相对频率趋 于该事件的概率。
在现实生活中，许多概率可以通过长 期频率稳定性来估计，例如抛硬币正 面朝上的概率约为0.5。
原理
通过大量重复试验，观察某一随机事 件的相对频率，可以近似估计该事件 的概率。
概率论在金融领域的应用
金融领域涉及大量的不确定性和风险，概率论在金融领域的应用十分广泛。未来，随着金 融市场的不断发展和风险管理需求的增加，概率论在金融领域的应用将更加重要和迫切。
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因此，可以通过实验中事件发生的频率来估计概率。
用频率估计概率
因此，出售柑橘时每千克大约定价为2.8元可获利 润5000元。
教师点评
(1)通过这个问题,我们感受到概率在问题决 策中的重要作用.告诉我们学数学还要会用 数学的道理.
(2)引导学生比较两个问题,注意一个细节: 频率的精确度与概率的精确度
例３
概率伴随着我你他
1.在有一个10万人的 解:
一般地，对于一个事件A，把刻画其发生可 能性大小的数值，称之为事件A发生的概率。记 为P(A)
概率从数量上刻画了一个随机事件发生的 可能性的大小。
事件发生的可能性越来越小 0
不可能事件 随机事件
1
概率的值
必然事件
事件发生的可能性越来越大
有限等可能事件概率的求法公式（古典概率)
事件A满足：结果有限，可能性相等
用频率估计概率
用频率估计概率
必然事件：在一定条件下重
复进行试验时，在每次试验
确定性事件
中必然会发生的事件每次试 验中不可能发生的事件。
随机事件：在一定条件下，可能发生也可能
不发生的事件. 也可称为偶然性事件。
特征：事先不能预料，即具有不确定性！
由频率可以估计概率是由瑞士数学家雅 各布·伯努利（1654－1705）最早阐明的，因 而他被公认为是概率论的先驱之一．
结论
瑞士数学家雅各布．伯努利（１６５４ －１７０５）最早阐明了可以由频率估计 概率即：
在相同的条件下，大量的重复实验 时，根据一个随机事件发生的频率所逐渐 稳定的常数，可以估计这个事件发生的概 率
150
15.15
0.101
200
19.42
0.097
250
24.25
0.097
25.3用频率估算概率(中考真题含解析)(难度等级：3星)
25.3用频率估算概率（中考真题含解析）（难度等级：⭐⭐⭐）一、选择题（本大题共5小题，共15.0分）1.如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案(图中阴影部分)，小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为5m，宽为4m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数(球扔在界线上或长方形区域外不计实验结果)，他将若干次有效实验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为()A. 6m2B. 7m2C. 8m2D. 9m22.下图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果．下面有三个推断： ①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是0.616; ②随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618; ③若再次用计算机模拟此试验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率一定是0.620.其中合理的是()A. ①B. ②C. ① ②D. ① ③3.某小组做“用频率估计概率”的试验时，绘出的某一结果出现的频率折线图，则符合这一结果的试验可能是()A. 抛一枚硬币，出现正面朝上B. 掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上C. 一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃D. 从一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球4.某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是()A. 袋中装有大小和质地都相同的3个红球和2个黄球，从中随机取一个，取到红球B. 掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点数是偶数C. 先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面D. 先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的面的点数之和是7或超过95.在不透明的袋子中有黑棋子10枚和白棋子若干(它们除颜色外都相同)，现随机从中摸出10枚记下颜色后放回，这样连续做了10次，记录了如下的数据：次数12345678910黑棋数1302342113根据以上数据，估算袋中的白棋子数量为()A. 60枚B. 50枚C. 40枚D. 30枚二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）6. 公司以3元/kg 的成本价购进10000kg 柑橘，并希望出售这些柑橘能够获得12000元利润，在出售柑橘(去掉损坏的柑橘)时，需要先进行“柑橘损坏率”统计，再大约确定每千克柑橘的售价，如表是销售部通过随机取样，得到的“柑橘损坏率”统计表的一部分，由此可估计柑橘完好的概率为______(精确到0.1)；从而可大约每千克柑橘的实际售价为______元时(精确到0.1)，可获得12000元利润法利润． 柑橘总质量n/kg 损坏柑橘质量m/kg 柑橘损坏的频率mn (精确到0.001)… … … 250 24.75 0.099 300 30.93 0.103 350 35.12 0.100 450 44.54 0.099 50050.620.1017. 如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，⊙O 的半径为6，则这个正六边形的边心距OM 的长为______．8. 一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有71次摸到红球．请你估计这个口袋中红球的数量为______个．9. 扬州某毛绒玩具厂对一批毛绒玩具进行质鼠抽检的结果如下：抽取的毛绒玩具数n 20 50 100 200 500 1000 1500 2000 优等品的频数m 19179118446292113791846优等品的频率mn0.950 0.940 0.910 0.920 0.924 0.921 0.919 0.923从这批玩具中，任意抽取的一个毛绒玩具是优等品的概率的估计值是______.(精确到0.01)10.某鱼塘里养了1600条鲤鱼、若干条草鱼和800条罗非鱼，该鱼塘主通过多次捕捞试验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右，若该鱼塘主随机在鱼塘捕捞一条鱼，则捞到鲤鱼的概率约为______．11.在“抛掷正六面体”的试验中，如果正六面体的六个面分别标有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”和“6”，如果试验的次数增多，出现数字“1”的频率的变化趋势是______．12.一个不透明的口袋里放有除颜色外均相同的2个红球、3个白球和5个黑球，一次至少摸_______个，才能使摸出的球各种颜色的都有．13.林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，下表是这种幼树在移植过程中的一组数据：移植的棵数n10001500250040008000150002000030000成活的棵数m8651356222035007056131701758026430成活的频率mn0.8650.9040.8880.8750.8820.8780.8790.881估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为______．14.某种菜籽在相同条件下的发芽试验结果如下表：每批粒数n251070130310700150020003000发芽粒数m24960116282639133918062715请用频率估计概率的方法估计这批油菜籽在相同条件下的发芽概率是________(精确到0.1)．15.“π的估计”有很多方法，下面这个随机模拟试验就是一种，其过程如下：如图，随机撒一把米到画有该图形的白纸上，统计落在圆内的米粒数m与正方形内的米粒数n，并计算频率m n ；在相同条件下，大量重复上述试验，当mn显现出一定稳定性时，就可以估计出π的值为4mn。
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频数 总数
任务一：估计移植成活率
0.9 左右摆动， 由下表可以发现，幼树移植成活的频率在＿＿＿＿ 并且随着移植棵数越来越大，这种规律愈加明显. 0.9 所以估计幼树移植成活的概率为＿＿＿＿＿ ．
移植总数（n） 10 50 270 400 750 1500 3500 7000 9000 14000 成活数（m） 8 47 235 369 662 1335 3203 6335 8073 12628 成活的频率 ( 0.8 0.94 0.870 0.923 0.883 0.890 0.915 0.905 0.897 0.902
观察30天，记录下她在这个 路口遇到红灯的天数.如果是14 天，那么她遇到红灯的频率为 7 14 = 7 作为她遇到红灯的概率 可以把 . 15 30 15 的估计值.
材料：
在重复抛掷一枚硬币时，“正面向上”的频率在0.5左右摆动。随着抛掷次数的增 在相同条件下，实验次数越多频率 思考：随着抛掷次数的增加，“正面向上”的频率的变 加，一般的，频率呈现一定的稳定性：在0.5左右摆动的幅度会越来越小。 越接近概率 化趋势是怎样的？ 这时，我们称“正面向上”的频率稳定于 0.5.
能力提高
• （挑战1）一个口袋中有10个红球和若干个白球， 你能不能设计一个方案让我们知道白球的数量。 （小组探究）
• 从口袋中随机摸出一球，记下其颜色，再把它放 回口袋中，不断重复上述过程．实验中总共摸了 200次，其中有50次摸到红球．
归纳总结
弄清了一种关系------频率与概率的关系
当试验次数很多或试验时样本容量足够大时,一件事件发生的 频率与相应的概率会非常接近.此时,我们可以用一件事件发生的频 率来估计这一事件发生的概率.
了解了一种方法-------用多次试验频率去估计概率 体会了一种思想： 用样本去估计总体 用频率去估计概率
谢谢！ 再见！
m ) n
任务二 估计柑橘损害率
完成下表, 利用你得到的结论解答下列问题:
柑橘总质量（n）/千克 50 100 150 损坏柑橘质量（m）/千克 5.50 10.5 15.15 柑橘损坏的频率（ 0.110 0.105 0.101
m n
）
19.42 0.097 为简单起见，我们能否直接把表中的 0.097 250 24.25 500千克柑橘对应的柑橘损坏的频率看作柑 300 30.93 0.103 橘损坏的概率？
m 一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率 n
会稳定在某个常数p附近，那么事件A发生的概率 P(A)=p。
竞技场
（抢答题）
• 1. 当试验的所有可能的结果不是有限个或各种可能的结果发 生的可能性不相等时，我们一般通过_____ 频率 来估计概率． • 2. 某人做“图钉抛后钉尖触地”的试验，抛了1000次，钉尖 1/2 触地的次数是483次，则钉尖触地的概率是 _____ • 3. 做重复试验：抛掷同一枚啤酒瓶盖1000次，经过统计得 “凸面向上”的频率约为0. 44，则可以由此估计抛掷这枚啤 B ( 酒瓶盖出现“凹面向上”的概率约为 ) A. 0.22 B. 0.44 C. 0.50 D.0.56 • 4..在做针尖落地的实验中，正确的是（ B ） A．甲做了4 000次，得出针尖触地的机会约为46%，于是他断定在做第4 001次时，针尖肯定不会触地 B．乙认为一次一次做，速度太 慢，他拿来了大把材料、形状及大小都完全一样的图钉，随 意朝上轻轻抛出，然后统计针尖触地的次数，这样大大提高 了速度 C．老师安排每位同学回家做实验，图钉自由选取 D．老师安排同学回家做实验，图钉统一发（完全一样的图 钉）．同学交来的结果，老师挑选他满意的进行统计，他不 满意的就不要
51.54
根据频率稳定性定理，在要求精度不是很高的情况下，不妨用 表中的最后一行数据中的频率近似地代替概率.
数学史实
事实上，从长期实践中，人们观察到，对一般的随机事 件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事 件出现的频率，总是在一个固定数的附近摆动，显示出一 定的稳定性。
瑞士数学家雅各布· 伯努利（1654 －1705被公认为是概率论的先驱之 一，他最早阐明了随着试验次数的 增加，频率稳定在概率附近。 归纳：
比一比，解决问题我最快
1.某厂打算生产一种中学生使用的笔袋，但无法确定各种颜色 的产量，于是该文具厂就笔袋的颜色随机调查了5 000名中学生， 并在调查到1 000名、2 000名、3 000名、4 000名、5 000名时 分别计算了各种颜色的频率，绘制折线图如下：
(1)请你估计一下使用红色笔袋的概率 随着调查次数的增加，红色的频率基本稳定在40%左右.所以 红色的概率是0.4 (2)若你是该厂的负责人,你将如何安排生产各种颜色的产量？说 红、黄、蓝、绿及其它颜色的生产比例大约为4:2:1:2:1 .
*2. 什么是随机事件的概率？ 试举例说明 在基本条件相同的情况下，可 能出现不同的结果，究竟出现哪一 ½(50%) 种结果，随“机遇 ”而定，带有偶 然性，这类现象称为随机现象．
0 不可 能事 件
1(100%) 必然 事件
随 机 事 件
• 2011年9月22日消息 美国报废的“高层大气研究卫星”（UARS）的 碎片预计将于北京时间24日凌晨0点至上午7坠地。作为30年来不受 控制进入地球大气层的最大废弃卫星，UARS的一举一动引起了各方 高度关注。有分析指出，智利和日本可能会受到影响。 • 会砸到人吗？ • 目前，每年有400多件太空垃圾坠入地球。不过，美国航空航天局 （NASA）表示，自从50年前人类进入太空以来，至今还没有人被太 空垃圾砸死或者砸伤。 • 23日上午，美国航空航天局澄清UARS碎片砸到人的概率只有70亿 分之一。此前有媒体报道称，UARS碎片砸到人的概率高达3200分之 一。 • 美国航空航天局解释说，3200分之一的概率只是针对最危险区域的 人而言。对于地球上的绝大多数区域，人被分解的卫星碎片砸中的概 率仅为70亿分之一。目前这个最危险区域尚无法确定，但基本可以将 北美洲排除在外。 • 据了解，美国人坠机的概率是二十万分之一，被雷劈的概率是万分 之一。相比之下，70亿分之一的概率非常渺小。
思考
• 当试验的所有可能结果不是有限个， 或各种可能结果发生的可能性不相 等时，我们可以通过一些什么方法 求概率呢？
动脑筋
1. 玲玲每天早上骑车上学，要经过一个十字路口.她到 达这个路口时，可能遇到红灯，也可能遇到绿灯或 黄灯，这个现象是不是随机现象？你能设计一个方 案，估算她遇到红灯这一事件的概率吗？
任务一：估计移植成活率
是实际问题中的一种概率,可理解为成活的概率.
观察在各次试验中得到的幼树成活的频率，谈谈 某林业部门要考查某种幼树在一定条件下的移植成活率 ,应 采用什么具体做法 你的看法． ?
移植总数（n） 10 50 270 400 750 1500 3500 7000 9000 14000 成活数（m） 8 47 235 369 662 1335 3203 6335 8073 12628 成活的频率 ( 0.8 0.94 0.870 0.923 0.883 0.890 0.915 0.905 0.897 0.902
说各种颜色的安排比值
我能行
2.如图,长方形内有一不规则区域,现在玩投掷游戏, 如果随机掷中长方形的300次中，有150次是落在不规则图 形内. (1)你能估计出掷中不规则图形的概率吗？ (2)若该长方形的面积为150平方米,试估计不规则图形 的面积.
(1)：150÷300=1/2 （2）：150×1/2=75(平方米）
m n
）
19.42 0.097 为简单起见，我们能否直接把表中的 0.097 250 24.25 500千克柑橘对应的柑橘损坏的频率看作柑 300 30.93 0.103 橘损坏的概率？
350 400 450 35.32 39.24 44.57 0.101 0.098 0.099 0.103
200
500
350 400 450 35.32 39.24 44.57 0.101 0.098 0.099 0.103
200
500
51.54
该水果公司所进的柑橘损坏率在0.1 ＿ 左右摆动， 由此，我们估计该柑橘损坏的概率是＿＿＿＿＿ 0.1
任务二
完成下表, 利用你得到的结论解答下列问题:
柑橘总质量（n）/千克 50 100 150 损坏柑橘质量（m）/千克 5.50 10.5 15.15 柑橘损坏的频率（ 0.110 0.105 0.101
第5章 概率的计算 5.1 用频率估计概率
授课教师：塞波中学陈静宜
说一说
同学们在《数学(八年级下册)》的第5章中，已 经知道了什么是随机现象， 什么是随机现象中一个 在随机现象中，一个事件发生的 事件的概率，你还记得吗？ 可能性大小，能够用一个不超过1的非 负实数来刻画，这个数就叫作这个事 * 1. 什么是随机现象？随机事件？你能举出相关的例子吗？ 件的概率.