泸州市2017-2018学年高一下学期期末统一考试数学试题(含答案)
2017-2018学年四川省泸州市高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集U=R，A={x|x≤0}，B={x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)=()A. {x|x≥0}B. {x|x≤1}C. {x|0≤x≤1}D. {x|0<x<1}【答案】D【解析】解：A∪B={x|x≥1或x≤0}，∴C U(A∪B)={x|0<x<1}，故选：D．先求A∪B，再根据补集的定义求C U(A∪B)．本题考查了集合的并集、补集运算，利用数轴进行数集的交、并、补运算是常用方法．2.化简式子cos72∘cos12∘+sin72∘sin12∘的值是()A. 12B. √32C. √33D. √3【答案】A【解析】解：cos72∘cos12∘+sin72∘sin12∘=cos(72∘−12∘)=cos60∘=12．故选：A．由已知利用两角差的余弦函数公式，特殊角的三角函数值即可化简得解．本题主要考查了两角差的余弦函数公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，熟练掌握相关公式是解题的关键，属于基础题．3.下列函数中，在(0,+∞)上单调递减的是()A. f(x)=lnxB. f(x)=(x−1)2C. f(x)=2−xD. f(x)=x3【答案】C【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，f(x)=lnx，为对数函数，在(0,+∞)上为增函数，不符合题意；对于B，f(x)=(x−1)2，为二次函数，在(−∞,1)上为减函数，在(1,+∞)上为增函数，不符合题意；对于C，f(x)=2−x=(12)x，为指数函数，在(0,+∞)上单调递减，符合题意；对于D，y=x3为幂函数，在(0,+∞)上为增函数，不符合题意；故选：C．根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案．本题考查函数的单调性的判定，关键是掌握常见函数的单调性．4.已知m⃗⃗⃗ =(2,4)，n⃗=(6,k)，且|m⃗⃗⃗ +n⃗|=|m⃗⃗⃗ |+|n⃗|，则k的值为()A. 3B. 12C. −3D. −12【答案】B 【解析】解：由|m⃗⃗⃗ +n⃗|=|m⃗⃗⃗ |+|n⃗|，得m⃗⃗⃗ 与n⃗同向共线，∴存在正数λ，使得m⃗⃗⃗ =λn⃗，即(2,4)=λ(6,k)，解得k=12．故选：B．由|m⃗⃗⃗ +n⃗|=|m⃗⃗⃗ |+|n⃗|，得m⃗⃗⃗ 与n⃗同向共线，再用坐标运算可求得．本题考查了平行四边形法则和向量共线定理，属基础题．5.下列函数中，最小正周期为π的奇函数是()A. y=cos2xB. y=sin2xC. y=sin2x+cos2xD. y=tan2x【答案】B【解析】解：y=cos2x是偶函数，不正确；y=sin2x是奇函数，函数的周期为π，正确；y=sin2x+cos2x是非奇非偶函数，不正确；y=tan2x是奇函数，周期为π2，不正确；故选：B．判断函数的奇偶性以及求出函数的周期判断选项即可．本题考查三角函数的奇偶性以及函数的周期的求法，考查计算能力．6.已知AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1)，点C(−1,0)，D(4,5)，则向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 在CD⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为()A. 3√22B. −3√5C. −3√55D. 3√5【答案】A【解析】解：AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1)，点C(−1,0)，D(4,5)，可得CD⃗⃗⃗⃗⃗ =(5,5)，AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD⃗⃗⃗⃗⃗ =2×5+1×5=15，|CD⃗⃗⃗⃗⃗ |=5√2，可得向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 在CD⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为：AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD⃗⃗⃗⃗⃗|CD⃗⃗⃗⃗⃗ |=5√2=3√22．故选：A．运用向量的加减运算可得CD⃗⃗⃗⃗⃗ =(5,5)，运用向量的数量积的坐标表示，以及向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 在CD⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD⃗⃗⃗⃗⃗|CD⃗⃗⃗⃗⃗ |，即可得到所求值．本题考查向量的数量积的坐标表示，以及向量的投影的概念，考查运算能力，属于基础题．7.等比数列{a n}的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+⋯+log3a10=()A. 12B. 8C. 10D. 2+log35【答案】C【解析】解：根据题意，等比数列{a n}中，a5a6+a4a7=18，则有a4a7+a4a7=18，则a4a7=9，∴log3a1+log3a2+⋯+log3a10=log3a1a10+log3a2a9+log3a3a8+log3a4a7+log3a5a6=5log3a4a7=5log39=10，故选：C．根据题意，由等比数列的性质，分析可得a4a7=9，对数性质可知log3a1+log3a 2+⋯+log3a10=5log3a4a7，进而计算可得结论．本题考查等比数列的性质，注意数列中所给各项的下标的关系．8.已知l，m，n为三条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，则下列判断正确的是()A. 若m//α，n//α，则m//nB. 若m⊥α，n//β，α⊥β，则m⊥nC. 若α∩β=l，m//α，m//β，则m//lD. 若α∩β=m，α∩γ=n，l⊥m，l⊥n，则l⊥α【答案】C【解析】解：(A)若m//α，n//α，则m与n可能平行，可能相交，也可能异面，故A错误；(B)在正方体ABCD−A′B′C′D′中，设平面ABCD为平面α，平面CDD′C′为平面β，直线BB′为直线m，直线A′B为直线n，则m⊥α，n//β，α⊥β，但直线A′B与BB′不垂直，故B错误．(C)设过m的平面γ与α交于a，过m的平面θ与β交于b，∵m//α，m⊂γ，α∩γ=a，∴m//a，同理可得：m//b．∴a//b，∵b⊂β，a⊄β，∴a//β，∵α∩β=l，a⊂α，∴a//l，∴l//m．故C正确．(D)在正方体ABCD−A′B′C′D′中，设平面ABCD为平面α，平面ABB′A′为平面β，平面CDD′C′为平面γ，则α∩β=AB，α∩γ=CD，BC⊥AB，BC⊥CD，但BC⊂平面ABCD，故D错误．故选：C．根据常见几何体模型举出反例，或者证明结论．本题考查了空间线面位置关系的判断，借助常见空间几何模型举出反例是解题关键．9.已知sin(α−π6)=13，则sin(2α+π6)=()A. 79B. −79C. 29D. −29【答案】A【解析】解：已知sin(α−π6)=13，则sin(2α+π6)=cos[π2−(2α+π6)]=cos(π3−2α)=cos(2α−π3)=1−2sin2(α−π6)=1−2×19=79，故选：A．由题意利用诱导公式、二倍角公式，求得sin(2α+π6)的值．本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，属于基础题．10.已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体得体积是()cm2．A. 43B. 83C. 2D. 4【答案】B【解析】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其底面面积S=2×2=4，高ℎ=2，故几何体的体积V=13Sℎ=83，故选：B．由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，求出底面面积和高，代入锥体体积公式，可得答案．本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．11.等边△ABC的边长为4，点P是△ABC内(包括边界)的一动点，且AP⃗⃗⃗⃗⃗ =34AB⃗⃗⃗⃗⃗ +14λAC⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R)，则|AP⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为()A. 3B. √13C. 2√3D. √21【答案】B【解析】解：以A为原点，以AB所在的直线为x轴，建立如图所示的坐标系：∵△ABC是边长为4的等边三角形，∴A(0,0)，B(4,0)，C(2,2√3)，设点P为(x,y)，0≤x≤4，0≤y≤2√3，∵AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14λAC⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴(x,y)=34(4,0)+14λ(2,2√3)=(3+λ2,√32λ)， ∴{x =3+λ2y =√32λ，∴y =√3(x −3)①，而直线BC 的方程是：y =−√3(x −4)②， 由①②解得：{x =72y =√32， 此时|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |最大，最大值是|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√494+34=√13， 故选：B ．以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，根据向量的坐标运算求得y =√3(x −3)，当该直线与直线BC 相交时，|AP⃗⃗⃗⃗⃗ |取得最大值． 本题考查了向量在几何中的应用问题，建立直角坐标系是解题的关键，是中档题．12. 函数f(x)=2sin(2x −π3)−66x−π在[−π3,2π3]上的所有零点之和等于( )A. 3π2B. πC. 2π3D. 5π6【答案】C【解析】解：由f(x)=2sin(2x −π3)−66x−π=0， 得2sin(2x −π3)=66x−π，分别作出函数y =66x−π与y =2sin(2x −π3)的图象如图：由图可知，函数f(x)=2sin(2x −π3)−66x−π在[−π3,2π3]上的所有零点之和等于π3+π3=2π3． 故选：C ．由f(x)=2sin(2x −π3)−66x−π=0得2sin(2x −π3)=66x−π，分别作出函数y =66x−π与y =2sin(2x −π3)的图象，由图象可知函数的对称性，利用数形结合求出函数f(x)的所有零点之和．本题考查函数的图象，函数零点知识，考查函数与方程，数形结合的思想，准确画好图，把握图象的对称性是关键，是中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知tanα=3，则tan(π4−α)的值是______．【答案】−12【解析】解：∵tanα=3，则tan(π4−α)=1−tanα1+tanα=1−31+3=−12， 故答案为：−12．由题意利用两角差的正切公式，求得tan(π4−α)的值．本题主要考查两角差的正切公式的应用，属于基础题．14. 如果数列{a n }的前n 项和S n =2a n −1，则此数列的通项公式a n =______． 【答案】2n−1【解析】解：当n ≥2时a n =S n −S n−1 =(2a n −1)−(2a n−1−1) =2a n −2a n−1，整理得：a n =2a n−1，又∵当n =1时，S 1=2a 1−1，即a 1=1，∴数列{a n }构成以1为首项、2为公比的等比数列， ∴a n =1⋅2n−1=2n−1， 故答案为：2n−1．利用a n 与S n 之间的关系、计算可知数列{a n }构成以1为首项、2为公比的等比数列，进而计算可得结论． 本题考查数列的通项，利用a n 与S n 之间的关系是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．15. 长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的同一顶点的三条棱长分别为3、4、5，则该长方体的外接球表面积为______． 【答案】50π【解析】解：由题意，长方体外接球，长方体同一顶点的三条棱长分别为3、4、5，即a =3，b =4，c =5． 外接球的半径R =12×√a 2+b 2+c 2=5√22． 长方体的外接球表面积S =4πR 2=50π． 故答案为：50π．根据长方体外接球的半径R =12×√a 2+b 2+c 2，即可求解．本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．16. 已知函数f(x)=x 2−2x ，g(x)=ax +2(a >0)对任意的x 1∈[−1,2]都存在x 0∈[−1,2]，使得g(x 1)=f(x 0)则实数a 的取值范围是______． 【答案】(0,12]【解析】解：∵函数f(x)=x 2−2x 的图象是开口向上的抛物线，且关于直线x =1对称 ∴x 1∈[−1,2]时，f(x)的最小值为f(1)=−1，最大值为f(−1)=3， 可得f(x 1)值域为[−1,3]又∵g(x)=ax +2(a >0)，x 2∈[−1,2]，∴g(x)为单调增函数，g(x 2)值域为[g(−1),g(2)]即g(x 2)∈[2−a,2a +2]∵对任意的x 1∈[−1,2]都存在x 0∈[−1,2]，使得g(x 1)=f(x 0) ∴{2−a ≥−12a +2≤3a >0，∴0<a ≤12 故答案为：(0,12].确定函数f(x)、g(x)在[−1,2]上的值域，根据对任意的x 1∈[−1,2]都存在x 0∈[−1,2]，使得g(x 1)=f(x 0)，可g(x)值域是f(x)值域的子集，从而得到实数a 的取值范围．本题考查了函数的值域，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是对“任意”、“存在”的理解．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知函数f(x)=√2−x +ln(x +1)的定义域是A ，函数g(x)=2x (0≤x ≤2)的值域为B.求A ∩B ． 【答案】解：函数f(x)=√2−x +ln(x +1)的定义域是 A ={x|{x +1>02−x≥0}={x|−1<x ≤2}=(−1,2]，函数g(x)=2x (0≤x ≤2)的值域为 B ={y|1≤y ≤4}=[1,4]； 则A ∩B =[1,2]．【解析】求出函数f(x)的定义域A ，g(x)的值域B ，再计算A ∩B ．本题考查了求函数的定义域和值域的应用问题，也考查了交集的运算问题，是基础题．18. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且(2b −c)cosA =acosC ．(Ⅰ)求A 的大小；(Ⅱ)若a =√7，△ABC 的面积为3√32，求b +c 的值．【答案】解：(Ⅰ)△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(2b −c)cosA =acosC ，整理得：2bcosA =sinAcosC +cosAsinC ， 解得：cosA =12， 由于：0<A <π， 则：A =π3．(Ⅱ)由于A =π3，a =√7，所以由余弦定理a 2=b 2+c 2−2bccosA ，可得7=b 2+c 2−bc ，①， 由于：△ABC 的面积为3√32，则：12bcsinA =3√32，可得：bc =6②，由①②解得：b +c =5，故三角形的周长为：a +b +c =5+√7．【解析】(Ⅰ)直接利用正弦定理得三角函数关系式的恒等变换求出A 的值．(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论和余弦定理及三角形的面积公式求出b +c 的值，进一步求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，余弦定理和正弦定理的应用，三角形面积公式的应用及相关的运算问题，属于中档题．19. 差数列{a n }的公差d ≠0，其n 项和为S n ，已知S 3=9，且a 2是a 1和a 5的等比中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n =1Sn +n求数列{b n }的前n 项和T n ．【答案】解：(1)等差数列{a n }的公差d ≠0，其n 项和为S n ， 已知S 3=9，且a 2是a 1和a 5的等比中项， 可得3a 1+3d =9， a 22=a 1a 5，即(a 1+d)2=a 1(a 1+4d)， 解得a 1=1，d =2，则a n =a 1+(n −1)d =2n −1；(2)b n =1S n +n =112n(1+2n −1)+n=1n(n+1)=1n −1n+1，则前n 项和T n =1−12+12−13+⋯+1n −1n+1 =1−1n+1=nn+1．【解析】(1)运用等差数列的通项公式和求和公式、等比中项的性质，解方程可得首项、公差，即可得到所求通项公式；(2)求得b n =1n(n+1)=1n −1n+1，再由数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理可得所求和．本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，以及方程思想和运算能力，属于中档题．20. 如图，已知PA 垂直于矩形ABCD 所在的平面，M 、N 分别为AB 、PC 的中点，且PA =AD ．(Ⅰ)求证：MN//平面PAD ； (Ⅱ)求证：MN ⊥面PCD ；(Ⅲ)若AB =2AD ，求二面角P −MC −D 的正弦值． 【答案】证明：(Ⅰ)取CD 中点O ，连结MO 、NO ， ∵PA 垂直于矩形ABCD 所在的平面，M 、N 分别为AB 、PC 的中点，且PA =AD ， ∴MO//AD ，NO//PD ，∵MO ∩NO =O ，AD ∩PD =D ， ∴平面MNO//平面PAD ，∵MN ⊂平面MNO ，∴MN//平面PAD ．(Ⅱ)以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，设AB =a ，AD =PA =b ，则M(a2,0，0)，P(0,0，b)，C(a,b ，0)，N(a 2,b 2,b2)，D(0,b ，0)， MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,b 2,b 2)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,b ，−b)，PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,b ，−b)，∴MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC⃗⃗⃗⃗⃗ =0+b 22−b 22=0，∴MN ⊥PC ， MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0+b 22−b 22=0，∴MN ⊥PD ， ∵PC ∩PD =P ，∴MN ⊥面PCD ．(Ⅲ)以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设AB =2AD =2，则AD =PA =1，P(0,0，1)，M(1,0，0)，D(0,1，0)，C(2,1，0)， MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0，1)，MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，0)，设平面MPC 的法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +z =0n ⃗ ⋅MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x +y =0，取x =1，得n⃗ =(1,−1,1)， 平面MCD 的法向量m⃗⃗⃗ =(0,0，1)， 设平面P −MC −D 的平面角为θ， 则cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√3， ∴sinθ=√1−13=√63， ∴二面角P −MC −D 的正弦值为√63．【解析】(Ⅰ)取CD 中点O ，连结MO 、NO ，则MO//AD ，NO//PD ，从而平面MNO//PAD ，由此能证明MN//平面PAD ．(Ⅱ)以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明MN ⊥面PCD ． (Ⅲ)以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，设AB =2AD =2，则AD =PA =1，求出平面MPC 的法向量和平面MCD 的法向量，利用向量法能求出二面角P −MC −D 的正弦值．本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．21. 已知函数f(x)=sinωxcosωx +cos 2ωx(ω>0)的最小正周期为π．(I)求ω的值(Ⅱ)将函数y =f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y =g(x)的图象，求函数g(x)在[0,π16]上的值域．【答案】解：(I)∵函数f(x)=sinωxcosωx +cos 2ωx =12sin2ωx +1+cos2ωx2=√22sin(2ωx +π4)+12(ω>0)的最小正周期为2π2ω=π，∴ω=1，∴f(x)=√22sin(2x +π4)+12．(Ⅱ)将函数y =f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变， 得到函数y =g(x)=√22sin(4x +π4)的图象．在[0,π16]上，4x +π4∈[π4,π2]，sin(4x +π4)∈[√22,1]，g(x)∈[12,√22]，即函数g(x)在[0,π16]上的值域为[12,√22].【解析】(I)利用三角恒等变换化简f(x)的解析式，再由题意利用正弦函数的周期性，求得ω的值．(Ⅱ)利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律求得g(x)的解析式，再根据正弦函数的定义域和值域求得函数g(x)在[0,π16]上的值域． 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．22. 已知函数f(x)=e x +ae −x 是R 上的偶函数，其中e 是自然对数的底数．(Ⅰ)求实数a 的值(Ⅱ)探究函数f(x)在[0,+∞)上的单调性，并证明你的结论；(Ⅲ)若函数g(x)=f(2x)−2m(f(x)−m)−8有零点，求实数m 的取值范围． 【答案】解：(Ⅰ)∵f(x)是偶函数，∴f(−x)=f(x)，即e −x +ae x =e x +ae −x ， 即a(e x −e −x )=e x −e −x ，则a =1． (Ⅱ)当x >0时，f(x)=e x +e −x ， 设0<x 1<x 2， 则f(x 1)−f(x 2)=ex 1+e−x 1−ex 2−e−x 2=ex 1−ex 2−(1ex 1−1ex 2)=ex 1−ex 2−e x 2−e x 1e x 1e x 2=(e x 1−e x 2)⋅(1+1e x 1e x 2)，∵0<x 1<x 2，∴e x 1<e x 2，即e x 1−e x 2<0，则f(x 1)−f(x 2)<0.则f(x 1)<f(x 2)，即函数f(x)在[0,+∞)上的单调递增； (Ⅲ)g(x)=f(2x)−2m(f(x)−m)−8=e 2x +e −2x −2m(e x +e −x −m)−8， 设e x +e −x =t ≥2√e x ⋅e −x =2，当且仅当x =0时取等号，∴g(t)=t 2−2mt +2m 2−10∵g(x)有零点，{m ≤24−4m+2m 2−10≤0∴t 2−2mt +2m 2−10=0有不少于2的实数根，∴{m ≤2g(2)≤0即，{m ≤24−4m+2m 2−10≤0， 解得−1≤m ≤2，故m 的取值范围为[−1,2]【解析】(Ⅰ)根据函数的奇偶性的定义即可求出a 的值， (Ⅱ)根据函数单调性的定义即可判断和证明函数的单调性．(Ⅲ)设e x +e −x =t ≥2√e x ⋅e −x =2，问题转化为t 2−2mt +2m 2−10=0有不少于2的实数根，即{m ≤2g(2)≤0，解得即可．本题考查了函数的奇偶性和单调性以及函数零点的问题，考查了转化思想，属于中档题。
四川省泸州市2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题(精编含解析)
2017-2018学年四川省泸州市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.30°的弧度数为（ ）A.B.C.D.π2π6π4π32.已知集合A ={x |x ＞l }，则下列关系中正确的是（ ）A. B. C. D. 0⊆A {0}⊆A ⌀⊆A{0}∈A3.已知幂函数y =f （x ）的图象过（4，2）点，则f （2）=（ ）A. B. 2 C. 4 D. 2224.若sinα=-，且α为第三象限的角，则cosα的值等于（ ）45A.B.C.D.35‒3543‒435.下列函数中，既是偶函数，又是（0，+∞）上的减函数的是（ ）A.B. C. D. y =1xy =2xy =ln|x|y =‒x 2+16.设全集U =N *，集合A ={1，2，5}，B ={2，4，6}，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）A. B. 4， C. D. 3，{2}{2,6}{4,6}{1,5}7.要得到函数f （x ）=cos （2x -）的图象，只需将函数g （x ）=cos2x 的图象（ π6）A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度π6π6C.向左平移单位长度D.向右平移个单位长度π12π128.若a ＞b ＞1，0＜c ＜1，则下列式子中不正确的是（ ）A. B. C. D. log a c >log b cc a <c b a c >b c log c a >log c b9.函数f （x ）=A sin （ωx +φ）（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所π2示，则函数f （x ）的解析式为（ ）A. y =sin(2x +π6)B. y =sin(x +π12)C.y =sin(2x +π3)D.y =sin(4x +π6)10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α（0≤α≤π）的始边为x 轴的非负半轴，终边与单位圆的交点为A ，将OA绕坐标原点逆时针旋转至OB ，过π2点B 作x 轴的垂线，垂足为Q ．记线段BQ 的长为y ，则函数y =f （α）的图象大致是（ ）A.B.C.D.11.已知函数f （x ）（x ∈R ）满足f （2-x ）=-f （x ），若函数y =与f （x ）图象的交点为（x 1，y 1），1x ‒1（x 2，y 2），…，（x m ，y m ）（m ∈N *），则x 1+x 2+x 3+…+x m 的值为（ ）A. 4mB. 2mC. mD. 012.已知函数f （x ）=，若f （a ）=f （b ）=f （c ）且a ＜b ＜c ，则ab +bc +ac 的取值范围{|log 3x|，0＜x ≤31‒log 3x ，x ＞3为（ ）A. B. C. D. (1,4)(1,5)(4,7)(5,7)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.7的值为______．log 7214.设函数f （x ）=-x +2，则满足f （x -1）+f （2x ）＞0的x 的取值范围是______．15.已知函数，则函数f （x ）的值域为______．f(x)=x +4x ，x ∈[1，5]16.已知函数f （x ）=sin （ωx +）（其中ω＞0），若x =为函数f （x ）的一个零点，且函数f （x ）在（，π4π4π6）上是单调函数，则ω的最大值为______．5π12三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.计算下列各式的值：（I ）4+（）2+（-）0；‒3238‒123（Ⅱ）log 327+lg25+1g 4+log 42．18.已知函数f （x ）=+ln （5-x ）的定义域为A ，集合B ={x |2x -a ≥4}．x +4（Ⅰ）当a =1时，求集合A ∩B ；（Ⅱ）若A ∪B =B ，求实数a 的取值范围．19.在平面直角坐标系中，已知角α的始边为x 轴的非负半轴，终边经过点P （-，）．1232（Ⅰ）求cos （α-π）的值；（Ⅱ）若tanβ=2，求的值．3sin(π2‒β)cos(‒β)‒4tanαsinβ20.某水果经销商决定在八月份（30天计算）销售一种时令水果．在这30天内，日销售量h （斤）与时间t （天）满足一次函数h =t +2，每斤水果的日销售价格l （元）与时间t （天）满足如图所示的对应12关系．（Ⅰ）根据提供的图象，求出每斤水果的日销售价格l （元）与时间t （天）所满足的函数关系式；（Ⅱ）设y （元）表示销售水果的日收入（日收入=日销售量×日销售价格），写出y 与t 的函数关系式，并求这30天中第几天日收入最大，最大值为多少元？21.已知函数f （x ）=sin （ωx -）（其中ω＞0）的图象上相邻两个最高点的距离为π．3π6（Ⅰ）求函数f （x ）的图象的对称轴；（Ⅱ）若函数y =f （x ）-m 在[0，π]内有两个零点x 1，x 2，求m 的取值范围及cos （x 1+x 2）的值．22.已知函数f （x ）是偶函数，且x ≤0时，f （x ）=-（其中e 为自然对数的底数）．2e x+132（Ⅰ）比较f （2）与f （-3）大小；（Ⅱ）设g （x ）=2（1-3a ）e x +2a +（其中x ＞0，a ∈R ），若函数f （x ）的图象与函数g （x ）的图象52有且仅有一个公共点，求实数a 的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：30°×=，故选：B．根据弧度与角度之间的转化关系进行转化即可．本题考查了将角度制化为弧度制，属于基础题型．2.【答案】C【解析】解：∵集合A={x|x＞1}，A中，0是一个元素，元素与集合之间是属于或者不属于关系，故A错误；B中，0＞1不成立，∴{0}⊆A不对，故B错误；C中，空集是任何集合的子集，故C正确；D中，集合与集合之间是真子集或者子集以及相等关系，故D错误；故选：C．根据集合A中元素满足的性质x＞1，逐一判断四个答案中的四个元素是否满足该性质，即可得到结论本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，其中正确理解集合元素与集合关系的实质，即元素满足集合中元素的性质，是解答本题的关键．3.【答案】A【解析】解：∵已知幂函数y=xα的图象过点（4，2），则4α=2，∴α=，故函数的解析式为y=f（x）=，∴f（2）=，故选：A．把幂函数y=xα的图象经过的点（4，2）代入函数的解析式，求得α的值，即可得到函数解析式，从而求得f（2）的值．本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，根据函数的解析式求函数的值，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：∵sinα=-，且α为第三象限的角，∴cosα=．故选：B．由已知直接利用同角三角函数基本关系式化简求值．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．5.【答案】D【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y=是奇函数，不符合题意；对于B，y=2x，是指数函数，不是偶函数，不符合题意；对于C，y=ln|x|=，是偶函数，但在（0，+∞）上是增函数，不符合题意；对于D，y=-x2+1，为开口向下的二次函数，既是偶函数，又是（0，+∞）上的减函数，符合题意；故选：D．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．本题考查函数单调性与奇偶性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：根据条件及图形，即可得出阴影部分表示的集合为{4，6}．故选：C．由集合A，B，结合图形即可写出阴影部分表示的集合．考查列举法的定义，以及Venn图表示集合的方法．7.【答案】D【解析】解：∵f（x）=cos（2x-）=cos[2（x-）]，∴只需将函数g（x）=cos2x的图象向右平移个单位长度即可．故选：D．利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律即可得解．本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：∵a＞b＞1，0＜c＜1，∴log a c＞log b c，c a＜c b，a c＞b c，log c a＜log c b．则下列式子中不正确的是D．故选：D．利用对数函数、指数函数与幂函数的单调性即可判断出正误．本题考查了对数函数、指数函数与幂函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：由图可知：A=1，=-=，∴T=π，ω==2，代入点（，1）得1=sin（2×+φ），∴φ+=+2kπ，k∈Z，∵|φ|＜，∴φ=，∴y=sin（2x+），故选：A．由图观察出A和T后代入最高点，利用|φ|可得．本题考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其表达式，属中档题．10.【答案】B【解析】解：以x轴的非负半轴为始边，OA为终边的角设为α，α∈[0，π]可得A（cosα，sinα），将OA绕坐标原点逆时针旋转至OB．可得B（cos（），sin（）），即B（-sinα，cosα）．记线段BQ的长为y，则函数y=f（α）=|cosα|，故选：B．以x轴的非负半轴为始边，OA为终边的角设为α，α∈[0，π]，可得B（cos（），sin（）），即B（-sinα，cosα）．记线段BQ的长为y，则函数y=f（α）=|cosα|，本题考查了三角函数定义的应用，考查转化思想以及计算能力，属于基础题．11.【答案】C【解析】解：函数f（x）（x∈R）满足f（2-x）=-f（x），即为f（x）+f（2-x）=0，可得f（x）关于点（1，0）对称，函数y=的图象关于点（1，0）对称，即有（x1，y1）为交点，即有（2-x1，-y1）也为交点，（x2，y2）为交点，即有（2-x2，-y2）也为交点，…则有x1+x2+x3+…+x m=[x1+（2-x1）+x2++（2-x2）+…+x m+（2-x m）]=m．故选：C．由条件可得f（x）+f（2-x）=0，即有f（x）关于点（1，0）对称，又y=的图象关于点（1，0）对称，即有（x1，y1）为交点，即有（2-x1，-y1）也为交点，计算即可得到所求和．本题考查抽象函数的运用：求和，考查函数的对称性的运用，以及化简整理的运算能力，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：作出函数f（x）的图象如图，不妨设a＜b＜c，a∈（，1），b∈（1，），c∈（，3），由图象可知，-log3a=log3b，则log3a+log3b=log3ab=0，解得ab=1，1-log3c=log3b，则log3b+log3c=log3bc=1，解得bc=3，∴ac∈（1，3），∴ab+bc+ca的取值范围为（5，7）故选：D．画出函数f（x）的图象，根据a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），我们令a＜b＜c，我们易根据对数的运算性质，及a，b，c的取值范围得到ab+bc+ca的取值范围．本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力．解答的关键是图象法的应用，即利用函数的图象交点研究方程的根的问题．13.【答案】2【解析】解：根据对数恒等式：a=N得原式=2，故答案为：2．根据对数恒等式：a=N，可得．本题考查了对数的云端性质．属基础题．14.【答案】（-∞，）53【解析】解：根据题意，函数f （x ）=-x+2，则f （x-1）+f （2x ）=[-（x-1）+2]+[-（2x ）+2]=-3x+5，若f （x-1）+f （2x ）＞0，即-3x+5＞0，解可得：x ＜，即x 的取值范围为（-∞，）；故答案为：（-∞，）．根据题意，由函数的解析式可得f （x-1）+f （2x ）=[-（x-1）+2]+[-（2x ）+2]=-3x+5，据此解不等式f （x-1）+f （2x ）＞0即可得答案．本题考查函数的单调性的应用，涉及不等式的解法，属于基础题．15.【答案】[4，295]【解析】解：∵函数，∴f'（x ）=1-，由f'（x ）≥0，解得2≤x≤5，此时函数单调递增．由f'（x ）≤0，解得1≤x≤2，此时函数单调递减．∴函数f （x ）的最小值为f （2）=2，∵f （1）=1+4=5，f （5）=5+．∴最大值为f （5）=，∴4，即函数的值域为：．故答案为：．求函数的导数利用函数的单调性求值域即可．本题主要考查函数的值域的求法，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．16.【答案】3【解析】解：由题意，x=为函数f （x ）的一个零点，可得（ω+1）=kπ，k ∈Z ．则ω=4k-1．函数f （x ）在（，）上是单调函数，可得，即ω≤4．当k=1时，可得ω的最大值为3．故答案为：3．由题意，x=为函数f （x ）的一个零点，可得（ω+1）=kπ，且函数f （x ）在（，）上是单调函数可得，即可求ω的最大值．本题考查了正弦型三角函数的图象及性质的应用，属于中档题．17.【答案】（Ⅰ）4+（）2+（-）0‒3238‒123=(22)‒32+2‒2+1=2-3+2-2+1=18+14+1=；118（Ⅱ）log 327+lg25+1g 4+log 42=log 333+lg 52+2lg2+12=3+2lg5+2lg2+12=3+2+12=．112【解析】（Ⅰ）直接利用有理指数幂的运算性质化简求值；（Ⅱ）利用对数的运算性质化简求值．本题考查有理指数幂的运算性质及对数的运算性质，是基础的计算题．18.【答案】解：（Ⅰ）要使f （x ）有意义，则：；{x +4≥05‒x >0解得-4≤x ＜5；∴A ={x |-4≤x ＜5}；B ={x |x ≥a +2}，a =1时，B ={x |x ≥3}；∴A ∩B ={x |3≤x ＜5}；（Ⅱ）∵A ∪B =B ；∴A ⊆B ；∴a +2≤-4；∴a ≤-6；∴实数a 的取值范围为（-∞，-6]．【解析】（Ⅰ）可求出f （x ）的定义域，从而得出A={x|-4≤x ＜5}，并可求出集合B={x|x≥a+2}，从而得出a=1时的集合B ，然后进行交集的运算即可；（Ⅱ）根据A ∪B=B 即可得出A ⊆B ，从而得出a+2≤-4，从而得出实数a 的取值范围．考查函数的定义域的概念及求法，对数函数的定义域，交集的概念及运算，以及子集的概念．19.【答案】解：由题意可得cosα=，sin ，‒12α=32（I ）cos （α-π）=-cosα=，12（II ）∵tanβ=2，tanα=，3‒3∴====．sin(π2‒β)cos(‒β)‒4tanαsinβcosβcosβ‒4tanαsinβ11‒4×(‒3)×tanβ11+43×23125【解析】由题意可得cosα=，sin，（I ）cos （α-π）=-cosα可求（II ）有tanβ=2，tanα=，利用诱导公式及同角基本关系即可求解．本题主要考查了三角函数的定义，同角基本关系的基本应用，属于基础试题．20.【答案】解：（Ⅰ）当0＜t ≤10，l =30，当10＜t ≤30时，设函数关系式为l （t ）=kt +b ，则，解得k =-1，b =40，{10k +b =3030k +b =10∴l （t ）=-t +40，∴每斤水果的日销售价格l （元）与时间t （天）所满足的函数关系式l （t ）=，{30,0<t ≤10‒t +40,10<t ≤30（Ⅱ）当0≤t ≤10，y =30（t +2）=15t +60，12当10＜t ≤30时，y =（t +2）（-t +40）=-t 2+18t +801212∴y =，{15t +60，0＜t ≤10‒12t 2+18t +80，10＜t ≤30当0≤t ≤10，y =15t +60为增函数，则y max =210，当10＜t ≤30时，y =-t 2+18t +80=-（t -18）2+242，1212当t =18时，y max =242，综上所述，第18天日收入最大，最大值为242元【解析】（Ⅰ）利用已知条件列出时间段上的函数的解析式即可．（Ⅱ）利用分段函数的解析式求解函数的最值即可本题考查分段函数的应用，实际问题的处理方法，考查分析问题解决问题的能力．21.【答案】解：（Ⅰ）∵已知函数f （x ）=sin （ωx -）（其中ω＞0）的图象上相邻两个最高点的距离为3π6=π，2πω∴ω=2，故函数f （x ）=sin （2x -）．3π6令2x -=k π+，k ∈Z π6π2得x =+，k ∈Z ，kπ2π3故函数f （x ）的图象的对称轴方程为x =+，k ∈Z ．kπ2π3（Ⅱ）由（Ⅰ）可知函数f （x ）=sin （2x -）．3π6∵x ∈[0，π]，∴2x -∈[，]π6‒π611π6∴-≤sin （2x -）≤，33π63要使函数y =f （x ）-m 在[0，π]内有两个零点．∴-＜m ＜，且m 33≠‒12即m 的取值范围是（-，）∪（-，）．3‒12123函数y =f （x ）-m 在[0，π]内有两个零点x 1，x 2，可得x 1，x 2是关于对称轴是对称的；对称轴方=2x -，k ∈Z ．π2+kππ6得x =，12kπ+π3在[0，π]内的对称轴x =或π35π6当m ∈（-，1）时，可得x 1+x 2=，122π3∴cos （x 1+x 2）=cos 2π3=‒12当m ∈（-1，-）时，可得x 1+x 2=，125π3∴cos （x 1+x 2）=cos =．5π312【解析】（Ⅰ）由题意，图象上相邻两个最高点的距离为π，即周期T==π，可得ω，即可求解对称轴；（Ⅱ）函数y=f （x ）-m 在[0，π]内有两个零点x 1，x 2，转化为函数f （x ）与函数y=m 有两个交点，即可求解m 的范围；在[0，π]内有两个零点x 1，x 2是关于对称轴是对称的，即可求解cos （x 1+x 2）的值．本题主要考查了y=Asin （ωx+φ）的图象特征，转化思想的应用，属于中档题．22.【答案】解：（Ⅰ）函数f （x ）是偶函数，且x ≤0时，f （x ）=-，2e x +132可得f （x ）在x ＜0时递减，x ＞0时递增，由f （-3）=f （3），可得f （2）＜f （3），即有f （2）＜f （-3）；（Ⅱ）设g （x ）=2（1-3a ）e x +2a +（其中x ＞0，a ∈R ），52若函数f （x ）的图象与函数g （x ）的图象有且仅有一个公共点，即为2（1-3a ）e x +2a +=-在x ＞0时有且只有一个实根，522e ‒x +132可得3a =在x ＞0时有且只有一个实根，e 2x +2e x +2e2x +23e x ‒13可令t =e x （t ＞1），则h （t ）=，t 2+2t +2t 2+23t ‒13h ′（t ）=，在t ＞1时，h ′（t ）＜0，h （t ）递减，‒43t 2‒143t ‒2(t2+23t ‒13)2可得h （t ）∈（0，），154则3a ∈（0，），即a ∈（0，）．15454另解：令t =e x （t ＞1），则h （t ）==1+，t 2+2t +2t2+23t ‒134t +73t 2+2t ‒1可令k =4t +7（k ＞11），可得h （t ）=1+，由3k +在k ＞11递增，163k +75k ‒3475k 可得h （t ）在k ＞11递减，可得h （t ）∈（0，），154则3a ∈（0，），即a ∈（0，）．15454【解析】（Ⅰ）由偶函数在x ＜0时递减，x ＞0时递增，即可判断f （2）和f （-3）的大小关系；（Ⅱ）由题意可得2（1-3a ）e x +2a+=-在x ＞0时有且只有一个实根，可得3a=在x ＞0时有且只有一个实根，可令t=e x （t ＞1），则h （t ）=，求得导数判断单调性，计算可得所求范围．本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，考查函数方程的转化思想，以及构造函数法，运用导数判断单调性，考查化简整理的运算能力，属于中档题．。
四川省泸州市2017-2018学年高一下学期期末统一考试数学试题(精品解析)
2017-2018学年四川省泸州市高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知全集，，，则集合A. B. C. D.【答案】D【解析】解：或，，故选：D．先求，再根据补集的定义求．本题考查了集合的并集、补集运算，利用数轴进行数集的交、并、补运算是常用方法．2. 化简式子的值是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：．故选：A．由已知利用两角差的余弦函数公式，特殊角的三角函数值即可化简得解．本题主要考查了两角差的余弦函数公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，熟练掌握相关公式是解题的关键，属于基础题．3. 下列函数中，在上单调递减的是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，，为对数函数，在上为增函数，不符合题意；对于B，，为二次函数，在上为减函数，在上为增函数，不符合题意；对于C，，为指数函数，在上单调递减，符合题意；对于D，为幂函数，在上为增函数，不符合题意；故选：C．根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案．本题考查函数的单调性的判定，关键是掌握常见函数的单调性．4. 已知，，且，则k的值为A. 3B. 12C.D.【答案】B【解析】解：由，得与同向共线，存在正数，使得，即，解得．故选：B．由，得与同向共线，再用坐标运算可求得．本题考查了平行四边形法则和向量共线定理，属基础题．5. 下列函数中，最小正周期为的奇函数是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：是偶函数，不正确；是奇函数，函数的周期为，正确；是非奇非偶函数，不正确；是奇函数，周期为，不正确；故选：B．判断函数的奇偶性以及求出函数的周期判断选项即可．本题考查三角函数的奇偶性以及函数的周期的求法，考查计算能力．6. 已知，点，，则向量在方向上的投影为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：，点，，可得，，，可得向量在方向上的投影为：．故选：A．运用向量的加减运算可得，运用向量的数量积的坐标表示，以及向量在方向上的投影为，即可得到所求值．本题考查向量的数量积的坐标表示，以及向量的投影的概念，考查运算能力，属于基础题．7. 等比数列的各项均为正数，且，则A. 12B. 8C. 10D.【答案】C【解析】解：根据题意，等比数列中，，则有，则，，故选：C．根据题意，由等比数列的性质，分析可得，对数性质可知，进而计算可得结论．本题考查等比数列的性质，注意数列中所给各项的下标的关系．8. 已知l，m，n为三条不同直线，，，为三个不同平面，则下列判断正确的是A. 若，，则B. 若，，，则C. 若，，，则D. 若，，，，则【答案】C【解析】解：若，，则m与n可能平行，可能相交，也可能异面，故A错误；在正方体中，设平面ABCD为平面，平面为平面，直线为直线m，直线为直线n，则，，，但直线与不垂直，故B错误．设过m的平面与交于a，过m的平面与交于b，，，，，同理可得：．，，，，，，，．故C正确．在正方体中，设平面ABCD为平面，平面为平面，平面为平面，则，，，，但平面ABCD，故D错误．故选：C．根据常见几何体模型举出反例，或者证明结论．本题考查了空间线面位置关系的判断，借助常见空间几何模型举出反例是解题关键．9. 已知，则A. B. C. D.【答案】A【解析】解：已知，则，故选：A．由题意利用诱导公式、二倍角公式，求得的值．本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，属于基础题．10. 已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸单位：，可得这个几何体得体积是．A.B.C. 2D. 4【答案】B【解析】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其底面面积，高，故几何体的体积，故选：B．由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，求出底面面积和高，代入锥体体积公式，可得答案．本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．11. 等边的边长为4，点P是内包括边界的一动点，且，则的最大值为A. 3B.C.D.【答案】B【解析】解：以A为原点，以AB所在的直线为x轴，建立如图所示的坐标系：是边长为4的等边三角形，，，，设点P为，，，，，，，而直线BC的方程是：，由解得：，此时最大，最大值是，故选：B．以A为原点，以AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，根据向量的坐标运算求得，当该直线与直线BC相交时，取得最大值．本题考查了向量在几何中的应用问题，建立直角坐标系是解题的关键，是中档题．12. 函数在上的所有零点之和等于A. B. C. D.【答案】C【解析】解：由，得，分别作出函数与的图象如图：由图可知，函数在上的所有零点之和等于．故选：C．由得，分别作出函数与的图象，由图象可知函数的对称性，利用数形结合求出函数的所有零点之和．本题考查函数的图象，函数零点知识，考查函数与方程，数形结合的思想，准确画好图，把握图象的对称性是关键，是中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知，则的值是______．【答案】【解析】解：，则，故答案为：．由题意利用两角差的正切公式，求得的值．本题主要考查两角差的正切公式的应用，属于基础题．14. 如果数列的前n项和，则此数列的通项公式______．【答案】【解析】解：当时，整理得：，又当时，，即，数列构成以1为首项、2为公比的等比数列，，故答案为：．利用与之间的关系、计算可知数列构成以1为首项、2为公比的等比数列，进而计算可得结论．本题考查数列的通项，利用与之间的关系是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．15. 长方体的同一顶点的三条棱长分别为3、4、5，则该长方体的外接球表面积为______．【答案】【解析】解：由题意，长方体外接球，长方体同一顶点的三条棱长分别为3、4、5，即，，．外接球的半径．长方体的外接球表面积．故答案为：．根据长方体外接球的半径，即可求解．本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．16. 已知函数，对任意的都存在，使得则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】解：函数的图象是开口向上的抛物线，且关于直线对称时，的最小值为，最大值为，可得值域为又，，为单调增函数，值域为即对任意的都存在，使得，故答案为：确定函数、在上的值域，根据对任意的都存在，使得，可值域是值域的子集，从而得到实数a的取值范围．本题考查了函数的值域，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是对“任意”、“存在”的理解．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知函数的定义域是A，函数的值域为求．【答案】解：函数的定义域是，函数的值域为；则．【解析】求出函数的定义域A，的值域B，再计算．本题考查了求函数的定义域和值域的应用问题，也考查了交集的运算问题，是基础题．18. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．Ⅰ求A的大小；Ⅱ若，的面积为，求的值．【答案】解：Ⅰ中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，整理得：，解得：，由于：，则：．Ⅱ由于，，所以由余弦定理，可得，，由于：的面积为，则：，可得：，由解得：，故三角形的周长为：．【解析】Ⅰ直接利用正弦定理得三角函数关系式的恒等变换求出A的值．Ⅱ利用Ⅰ的结论和余弦定理及三角形的面积公式求出的值，进一步求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，余弦定理和正弦定理的应用，三角形面积公式的应用及相关的运算问题，属于中档题．19. 差数列的公差，其n项和为，已知，且是和的等比中项．求数列的通项公式；若求数列的前n项和．【答案】解：等差数列的公差，其n项和为，已知，且是和的等比中项，可得，，即，解得，，则；，则前n项和．【解析】运用等差数列的通项公式和求和公式、等比中项的性质，解方程可得首项、公差，即可得到所求通项公式；求得，再由数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理可得所求和．本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，以及方程思想和运算能力，属于中档题．20. 如图，已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面，M、N分别为AB、PC的中点，且．Ⅰ求证：平面PAD；Ⅱ求证：面PCD；Ⅲ若，求二面角的正弦值．【答案】证明：Ⅰ取CD中点O，连结MO、NO，垂直于矩形ABCD所在的平面，M、N分别为AB、PC的中点，且，，，，，平面平面PAD，平面MNO，平面PAD．Ⅱ以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，设，，则0，，0，，b，，，b，，，b，，b，，，，，，，面PCD．Ⅲ以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，设，则，0，，0，，1，，1，，0，，1，，设平面MPC的法向量y，，则，取，得，平面MCD的法向量0，，设平面的平面角为，则，，二面角的正弦值为．【解析】Ⅰ取CD中点O，连结MO、NO，则，，从而平面，由此能证明平面PAD．Ⅱ以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明面PCD．Ⅲ以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，设，则，求出平面MPC的法向量和平面MCD的法向量，利用向量法能求出二面角的正弦值．本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．21. 已知函数的最小正周期为．求的值Ⅱ将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在上的值域．【答案】解：函数的最小正周期为，，．Ⅱ将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象．在上，，，，即函数在上的值域为【解析】利用三角恒等变换化简的解析式，再由题意利用正弦函数的周期性，求得的值．Ⅱ利用函数的图象变换规律求得的解析式，再根据正弦函数的定义域和值域求得函数在上的值域．本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，函数的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．22. 已知函数是R上的偶函数，其中e是自然对数的底数．Ⅰ求实数a的值Ⅱ探究函数在上的单调性，并证明你的结论；Ⅲ若函数有零点，求实数m的取值范围．【答案】解：Ⅰ是偶函数，，即，即，则．Ⅱ当时，，设，则，，，即，则则，即函数在上的单调递增；Ⅲ，设，当且仅当时取等号，有零点，有不少于2的实数根，即，，解得，故m的取值范围为【解析】Ⅰ根据函数的奇偶性的定义即可求出a的值，Ⅱ根据函数单调性的定义即可判断和证明函数的单调性．Ⅲ设，问题转化为有不少于2的实数根，即，解得即可．本题考查了函数的奇偶性和单调性以及函数零点的问题，考查了转化思想，属于中档题。
四川省泸州市数学高一下学期理数期末考试试卷
四川省泸州市数学高一下学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高一上·新余月考) 设集合，则集合等于（）A .B .C .D .2. （2分） (2016高二上·杭州期中) 不等式x（x﹣1）＞0的解集是（）A . （﹣∞，0）B . （0，1）C . （1，+∞）D . （﹣∞，0）∪（1，+∞）3. （2分）下列命题中的假命题是（）A .B .C .D .4. （2分）设α为锐角，则“tanα＞2”是“﹣＜tan2α＜0”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分）如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K、A1、A2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为（）A . 0.960B . 0.864C . 0.720D . 0.5766. （2分）若关于的方程有四个不相等的实根，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .7. （2分）设的展开式的常数项为a，则直线与曲线围成图形的面积为（）A .B .C . ９D .8. （2分） (2016高一下·汕头期末) 已知0＜x＜y＜a＜1，则有（）A . loga（xy）＜0B . 0＜loga（xy）＜1C . 1＜loga（xy）＜2D . loga（xy）＞29. （2分）函数f（x）=5|x|的值域是（）A . （﹣∞，1]B . [1，+∞）C . （0，1]D . （0，+∞）10. （2分）在区间［0,1］上任意取两个实数a，b，则函数f(x) ＝在区间［-1，1］上有且仅有一个零点的概率为（）A .B .C .D .11. （2分） (2018高一下·毕节期末) 若，分别是函数，的零点，则下列结论成立的是（）A .B .C .D .12. （2分） (2019高二下·大庆月考) 已知是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则（）A . 0B . 1C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．14. （1分） (2018高二下·通许期末) 已知随机变量服从正态分布，且，则 ________.15. （1分） (2016高三上·新津期中) 已知f（x）是定义在[﹣2，2]上的奇函数，当x∈（0，2]时，f（x）=2x﹣1，函数g（x）=x2﹣2x+m．如果对于∀x1∈[﹣2，2]，∃x2∈[﹣2，2]，使得g（x2）=f（x1），则实数m的取值范围是________16. （1分） (2016高一上·荆门期末) 已知函数，若存在x1 ，x2∈R，x1≠x2 ，使f（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是________三、解答题 (共6题；共50分)17. （5分）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18. （10分） (2019高二上·南宁期中) 某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：日期12月2日12月3日12月4日温差（）111312发芽数（颗）253026（1）请根据12月2日至12月4日的数据，求出关于的线性回归方程；（2）该农科所确定的研究方案是：先用上面的3组数据求线性回归方程，再选取2组数据进行检验．若12月5日温差为，发芽数16颗，12月6日温差为，发芽数23颗．由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（1）中所得的线性回归方程是否可靠？注：，．19. （5分） (2016高二上·玉溪期中) 20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图：（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；（Ⅱ）分别求出成绩落在[50，60）与[60，70）中的学生人数；（Ⅲ）从成绩在[50，70）的学生任选2人，求此2人的成绩都在[60，70）中的概率．20. （10分）某校高三数学备课组为了更好的制定二轮复习的计划，开展了试卷讲评后效果的调研，从上学期期末数学试题中选出一些学生易错题，重新进行测试，并认为做这些题不出任何错误的同学为“过关”，出了错误的同学认为“不过关”．现随机抽查了年级50人，他们的测试成绩的频数分布如下表：期末分数段（0，60）[60，75）[75，90）[90，105）[105，120）[120，150]人数510151055“过关”人数129734（1）由以上统计数据完成如下2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为期末数学成绩不低于90分与测试“过关”是否有关？说明你的理由．分数低于90分人数分数不低于90分人数合计过关人数不过关人数合计（2）在期末分数段[105，120）的5人中，从中随机选3人，记抽取到过关测试“过关”的人数为X，求X 的分布列及数学期望．下面的临界值表供参考：P（K2≥k）0.150.100.050.025k 2.072 2.706 3.841 5.024．21. （10分）(2017·辽宁模拟) 已知函数f（x）= x2﹣ax+（3﹣a）lnx，a∈R．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x﹣y+1=0垂直，求a的值；（2）设f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：f（x1）+f（x2）＞﹣5．22. （10分） (2019高三上·吉林月考) 设函数（为自然对数的底数）.（1）求函数在点处的切线方程；（2）证明： .参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分)17-1、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、第11 页共11 页。
2017-2018学年四川省泸州市高二(下)期末数学模拟试卷(文科)(解析版)
2017-2018学年四川省泸州市高二（下）期末数学模拟试卷（文科）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．已知复数（i是虚数单位），则=（）A．B．C．D．2．命题p：“∀x≥0，2x＞x2”的否定￢p为（）A．∃x0＜x02B．∀x≥0，2x＜x2C．∃x0≤x02D．∀x≥0，2x≤x23．随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如表．附表：由K2=算得，K2=≈9.616参照附表，得到的正确结论是（）A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关”C．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”D．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关”4．为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第1小组的频数为6，则报考飞行员的学生人数是（）A．32B．40C．48D．565．某篮球队甲、乙两名运动员练习投篮，每人练习10 组，每组投篮40 个．命中个数的茎叶图如下图，则下面结论中错误的一个是（）A．甲的极差是29B．乙的众数是21C．甲的命中率比乙高D．甲的中位数是246．七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A．B．C．D．7．条件p：﹣2＜x＜4，条件q：（x+2）（x+a）＜0；若q是p的必要而不充分条件，则a的取值范围是（）A．（4，+∞）B．（﹣∞，﹣4）C．（﹣∞，﹣4]D．[4，+∞）8．函数f（x）=ln||的大致图象是（）A．B．C．D．9．执行如图所示的程序框图，若输入m=1，n=3，输出的x=1.75，则空白判断框内应填的条件为（）A．|m﹣n|＜1B．|m﹣n|＜0.5C．|m﹣n|＜0.2D．|m﹣n|＜0.110．若函数f（x）=ax3+bx2+cx+d有极值，则导函数f′（x）的图象不可能是（）A．B．C．D．11．袋子里有编号为2，3，4，5，6的五个球，某位教师从袋中任取两个不同的球．教师把所取两球编号的和只告诉甲，其乘积只告诉乙，让甲、乙分别推断这两个球的编号．甲说：“我无法确定．”乙说：“我也无法确定．”甲听完乙的回答以后，甲又说：“我可以确定了．”根据以上信息，你可以推断出抽取的两球中（）A．一定有3号球B．一定没有3号球C．可能有5号球D．可能有6号球12．已知直线l：y=x与双曲线E；=1（a＞0，b＞0）分别交于点A，B，若A，B两点在x轴上的射影恰好是双曲线E的两个焦点，则双曲线E的离心率为（）A．B．C．4D．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．从编号为01，02，…，50的50个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中的前两个编号分别为03，08（编号按从小到大的顺序排列），则样本中最大的编号是．14．若过点P（﹣1，﹣2）引圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=16的切线，则切线长为．15．对于函数f（x），g（x），设α∈{x|f（x）=0}，β∈{x|g（x）=0}，若存在α，β，使得|α﹣β|≤1，则称f（x），g（x）互为“零点相邻函数”．若f（x）=e x﹣1+x﹣2与g（x）=x2﹣ax﹣a﹣2互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围是．16．已知△OBC为等边三角形，O为坐标原点，B，C在抛物线y2=2px（p＞0）上，则△OBC的周长为．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）已知函数f（x）=mxlnx．（1）若曲线在点（1，0）处的切线经过（2，3），求m的值；（2）若关于x的不等式f（x）≥x﹣1在（0，+∞）上恒成立，求m的值．18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，点B（1，﹣1）关于直线y=对称的点N位于抛物线C：y2=2px（p＞0）上．（1）求抛物线C的方程；（2）设抛物线C的准线与其对称轴的交点为A，过点A的直线l交抛物线C于点M，P，直线MB 交抛物线C于另一点Q，求直线PQ所过的定点．19．（12分）某兴趣小组欲研究某地区昼夜温差大小与患感冒就诊人数之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1到5月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：该兴趣小组确定的研究方案是：先从这5组数据中选取一组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用选取的一组数据进行检验．（Ⅰ）若选取的是1月的一组数据，请根据2至5月份的数据．求出y关于x的线性回归方程=x．（Ⅱ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差不超过2，则认为得到的线性回归方程是理想的，试判断该小组所得的线性回归方程是否理想？如果不理想，请说明理由，如果理想，试预测昼夜温差为6℃时，因感冒而就诊的人数约为多少？（参考公式：==，=）20．（12分）已知F为椭圆的右焦点，点在C上，且PF⊥x轴．（Ⅰ）求C的方程（Ⅱ）过F的直线l交C于A，B两点，交直线x=4于点M．证明：直线PA，PM，PB的斜率成等差数列．21．（12分）已知函数f（x）=x2﹣2ax+lnx，a∈R．（1）讨论f（x）的单调性；（2）设x0为函数f（x）的极大值点，求证：+＞a．四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ+2sinθ，直线，直线．以极点O为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系．（1）求直线l1、l2的直角坐标方程以及曲线C的参数方程；（2）已知直线l1与曲线C交于O、M两点，直线l2与曲线C交于O、N两点，求△OMN的周长．五．解答题（共1小题）23．已知函数f（x）=|x﹣2|．（1）解不等式f（x）﹣f（2x+4）＜2；（2）若f（x）+f（x+3）≥m2+2m对x∈R恒成立，求实数m的取值范围．2017-2018学年四川省泸州市高二（下）期末数学模拟试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．已知复数（i是虚数单位），则=（）A．B．C．D．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，再由共轭复数的概念得答案案．【解答】解：∵=，∴，故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2．命题p：“∀x≥0，2x＞x2”的否定￢p为（）A．∃x0＜x02B．∀x≥0，2x＜x2C．∃x0≤x02D．∀x≥0，2x≤x2【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：“∀x≥0，2x＞x2”的否定￢p为∃x0≤x02，故选：C．【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基本知识的考查．3．随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如表．附表：由K2=算得，K2=≈9.616参照附表，得到的正确结论是（）A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关”C．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”D．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关”【分析】根据K2=≈9.616＞6.635，有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”，即可求得答案．【解答】解：根据列联表所给的数据，代入随机变量的观测值公式，K2=≈9.616＞6.635，∴有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”，故选：C．【点评】本题考查独立性检验的应用，考查计算能力，属于基础题．4．为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第1小组的频数为6，则报考飞行员的学生人数是（）A．32B．40C．48D．56【分析】设第一小组的频率为a，由频率分布直方图中小矩形面积之和为1，求出a=0.125．再由第1小组的频数为6，能求出报考飞行员的学生人数．【解答】解：设第一小组的频率为a，由频率分布直方图，得：a+2a+3a+0.0375×5+0.0125×5=1，a=0.125．∵第1小组的频数为6，∴报考飞行员的学生人数为：=48．故选：C．【点评】本题考查频数的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是基础题．5．某篮球队甲、乙两名运动员练习投篮，每人练习10 组，每组投篮40 个．命中个数的茎叶图如下图，则下面结论中错误的一个是（）A．甲的极差是29B．乙的众数是21C．甲的命中率比乙高D．甲的中位数是24【分析】利用茎叶图中的数据，计算众数、中位数和极差以及平均数即可．【解答】解：由茎叶图知，甲的极差是37﹣8=29，A正确；乙的众数是21，B正确；甲的数据集中于茎叶图的左下方，乙的数据集中于茎叶图的右上方，所以甲投球命中率比乙高，C正确；甲的中位数是=23，D错误．故选：D．【点评】本题考查了茎叶图的性质、众数、中位数和极差的应用问题，是基础题．6．七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A．B．C．D．【分析】设边长AB=2，求出△BCI和平行四边形EFGH的面积，计算对应的面积比即可．【解答】解：设AB=2，则BC=CD=DE=EF=1，=××=，∴S△BCIS平行四边形EFGH=2S△BCI=2×=，∴所求的概率为P===．故选：A．【点评】本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．7．条件p：﹣2＜x＜4，条件q：（x+2）（x+a）＜0；若q是p的必要而不充分条件，则a的取值范围是（）A．（4，+∞）B．（﹣∞，﹣4）C．（﹣∞，﹣4]D．[4，+∞）【分析】由q是p的必要而不充分条件，可得（﹣2，4）是不等式（x+2）（x+a）＜0解集的真子集，然后由两集合端点值间的关系列式求得a的取值范围．【解答】解：p：﹣2＜x＜4，对应的集合为A=（﹣2，4），由q是p的必要而不充分条件，得p⇒q，而q不能推出p，设q：（x+2）（x+a）＜0的解集为B，则A⊊B，∴﹣a＞4，即a＜﹣4．∴a的取值范围是（﹣∞，﹣4）．故选：B．【点评】本题考查充分必要条件的判定，考查数学转化思想方法，是基础题．8．函数f（x）=ln||的大致图象是（）A．B．C ．D ．【分析】根据函数的奇偶性和函数值的特点即可判断【解答】解∵，∴f （﹣x ）=ln ||=﹣ln ||=﹣f （x ），∴f （x ）为奇函数，排除C当x =e +1，则f （e +1）=ln ||=ln |e +2|﹣lne ＞0，故排除B ，当x =0时，f （0）=0，故排除A 故选：D ．【点评】本题考查了函数图象的识别和判断，关键是掌握函数的奇偶性，以函数值的特点，属于基础题9．执行如图所示的程序框图，若输入m =1，n =3，输出的x =1.75，则空白判断框内应填的条件为（ ）A ．|m ﹣n |＜1B ．|m ﹣n |＜0.5C ．|m ﹣n |＜0.2D ．|m ﹣n |＜0.1【分析】模拟执行如图所示的程序框图，即可得出空白判断框内应填的条件是什么． 【解答】解：模拟执行如图所示的程序框图知， 输入m =1，n =3，x ==2，不满足22﹣3＜0，n =2，不满足条件|m ﹣n |=1＜？x ==1.5，满足1.52﹣3＜0，m =1.5，不满足条件|m ﹣n |=0.5＜？，x ==1.75，不满足1.752﹣3＜0，n =1.75，满足条件|m ﹣n |=0.25＜？，输出x =1.75，则空白判断框内应填的条件为|m ﹣n |＜0.5． 故选：B ．【点评】本题考查了算法与程序语言的应用问题，是基础题．10．若函数f （x ）=ax 3+bx 2+cx +d 有极值，则导函数f ′（x ）的图象不可能是（ ）A．B．C．D．【分析】依据函数在某点取得极值的条件，再结合各选项中f′（x）的图象即可得到答案．【解答】解：若函数f（x）=ax3+bx2+cx+d有极值，即f（x）有极值点，则须f′（x）有零点，且f′（x）在零点左右两侧异号．由图象可知选项D中，f′（x0）=0，但当x＜x0，x＞x0时都有f′（x）＞0，故选：D．【点评】本题主要考查函数在某点取得极值的条件．注意f′（x0）=0是x=x0为可导函数f（x）极值点的必要不充分条件．11．袋子里有编号为2，3，4，5，6的五个球，某位教师从袋中任取两个不同的球．教师把所取两球编号的和只告诉甲，其乘积只告诉乙，让甲、乙分别推断这两个球的编号．甲说：“我无法确定．”乙说：“我也无法确定．”甲听完乙的回答以后，甲又说：“我可以确定了．”根据以上信息，你可以推断出抽取的两球中（）A．一定有3号球B．一定没有3号球C．可能有5号球D．可能有6号球【分析】先计算任意2个球的和，和任意两个球的积，再根据甲乙的说法，判断即可．【解答】解：因为2+3=5，2+4=6，2+5=7，2+6=8，3+4=7，3+5=8，3+6=9，4+5=9，4+6=10，5+6=11，则甲可以得出为2，6或3，5或3，6或4，5或2，5或3，4其中的一组因为2×3=6，2×4=8，2×5=10，2×6=12，3×4=12，3×5=15，3×6=18，4×5=20，4×6=24，5×6=30，则乙可以得出为2，6，或3，4其中的一组，根据甲乙的所说的可得这个两个求球为2，6或3，4，故A，B，C错误，D正确，故选：D．【点评】本题考查了合情推理的问题，属于基础题．12．已知直线l：y=x与双曲线E；=1（a＞0，b＞0）分别交于点A，B，若A，B两点在x轴上的射影恰好是双曲线E的两个焦点，则双曲线E的离心率为（）A．B．C．4D．【分析】由⇒⇒．⇒⇒e=．【解答】解：由⇒．∵A，B两点在x轴上的射影恰好是双曲线E的两个焦点，∴．⇒⇒e=．故选：A．【点评】本题考查双曲线的离心率，双曲线的有关性质和双曲线定义的应用，属于中档题．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．从编号为01，02，…，50的50个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中的前两个编号分别为03，08（编号按从小到大的顺序排列），则样本中最大的编号是48．【分析】先求出抽样间隔是5，由此能求出样本中最大的编号．【解答】解：从编号为01，02，…，50的50个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中的前两个编号分别为03，08（编号按从小到大的顺序排列），∴抽样间隔是5，∴样本中最大的编号是：3+=48．故答案为：48．【点评】本题考查样本中最大的编号的求法，考查系统抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．14．若过点P（﹣1，﹣2）引圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=16的切线，则切线长为2．【分析】求出圆C的圆心和半径，再利用勾股定理求得切线长．【解答】解：圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=16的圆心为C（1，2），半径为r=4；则|PC|==2，∴切线长为d===2．故答案为：2．【点评】本题考查了两点间的距离计算问题，也考查了圆的方程与应用问题，是基础题．15．对于函数f（x），g（x），设α∈{x|f（x）=0}，β∈{x|g（x）=0}，若存在α，β，使得|α﹣β|≤1，则称f（x），g（x）互为“零点相邻函数”．若f（x）=e x﹣1+x﹣2与g（x）=x2﹣ax﹣a﹣2互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围是[﹣2，]．【分析】先得出函数f（x）=e x﹣1+x﹣2的零点为x=1．再设g（x）=x2﹣ax﹣a﹣2的零点为β，根据函数f（x）与g（x）互为“零点相邻函数”，及新定义的零点相邻函数，有|1﹣β|≤1，从而得出g（x）=x2﹣ax﹣a﹣2的零点所在的范围，最后利用数形结合法求解即可．【解答】解：函数f（x）=e x﹣1+x﹣2的零点为x=1，设g（x）=x2﹣ax﹣a﹣2的零点为β，若函数f（x）=e x﹣1+x﹣2与g（x）=x2﹣ax﹣a﹣2互为“零点相邻函数”，则|1﹣β|≤1，∴0≤β≤2，由于g（x）=x2﹣ax﹣a﹣2必过点A（﹣1，﹣1），故要使其零点在区间[0，2]上，则g（x）仅有一个零点在[0，2]上，则g（0）•g（2）≤0，即﹣2≤a≤，则a的范围是[﹣2，]．故答案为：[﹣2，]．【点评】本题主要考查了函数的零点，考查了新定义，主要采用了转化为判断函数的图象的零点的取值范围问题，解题中注意体会数形结合思想与转化思想在解题中的应用．16．已知△OBC为等边三角形，O为坐标原点，B，C在抛物线y2=2px（p＞0）上，则△OBC的周长为12p．【分析】设B（x1，y1），C（x2，y2），由于|OA|=|OB|，可得x12+y12=x22+y22．代入化简可得：x1=x2．由抛物线对称性，知点B、C关于x轴对称．不妨设直线OB的方程为：y=x，与抛物线方程联立解出即可得出．【解答】解：设B （x 1，y 1），C （x 2，y 2）， ∵|OA |=|OB |，∴x 12+y 12=x 22+y 22． 又∵y 12=2px 1，y 22=2px 2， ∴x 22﹣x 12+2p （x 2﹣x 1）=0， 即（x 2﹣x 1）（x 1+x 2+2p ）=0．又∵x 1、x 2与p 同号，∴x 1+x 2+2p ≠0． ∴x 2﹣x 1=0，即x 1=x 2．由抛物线对称性，知点B 、C 关于x 轴对称．不妨设直线OB 的方程为：y =x ，联立，解得B ．∴△OBC 的周长==12p ．故答案为：12p ．【点评】本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题、等边三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分） 17．（12分）已知函数f （x ）=mxlnx ．（1）若曲线在点（1，0）处的切线经过（2，3），求m 的值；（2）若关于x 的不等式f （x ）≥x ﹣1在（0，+∞）上恒成立，求m 的值．【分析】（1）求得f （x ）的导数，可得切线的斜率，结合两点的斜率公式，可得m ；（2）令F （x ）=f （x ）﹣x +1=mxlnx ﹣x +1，x ＞0，讨论m =0，m ＜0，m ＞0，求得导数，结合函数的单调性和不等式恒成立思想，即可得到所求值．【解答】解：（1）函数f （x ）=mxlnx 的导数为f ′（x ）=m （1+lnx ），f （1）=0，f ′（1）=m ==3；（2）令F （x ）=f （x ）﹣x +1=mxlnx ﹣x +1，x ＞0， 若m ＜0，f （2）=2mln 2﹣1＜0，与已知矛盾．若m =0，则f （x ）=1﹣x ，显然不满足在x ＞0上F （x ）≥0恒成立． 若m ＞0，对F （x ）求导可得F ′（x ）=mlnx +m ﹣1．由F ′（x ）＞0解得x ＞e，由F ′（x ）＜0解得0＜x ＜e，∴F（x）在（0，e）上单调递减，在（+∞）上单调递增，∴F（x）min=F（e）=1﹣me，∴要使f（x）≥x﹣1恒成立，须使1﹣me≥0成立．即e≤恒成立，两边取得对数得，≤ln，整理得lnm+﹣1≤0，即须此式成立．令g（m）=lnm+﹣1，则g′（m）=，显然当0＜m＜1时，g′（m）＜0，当m＞1时，g′（m）＞0，于是函数g（m）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）单调递增．∴g（m）min=g（1）=0，即当且仅当m=1时，F（x）min=F（1）=0，f（x）≥x﹣1恒成立．∴m=1满足条件，综上所述，m=1．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性，考查方程思想和分类讨论思想方法，以及化简整理的变形能力和运算能力，是一道综合题．18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，点B（1，﹣1）关于直线y=对称的点N位于抛物线C：y2=2px（p＞0）上．（1）求抛物线C的方程；（2）设抛物线C的准线与其对称轴的交点为A，过点A的直线l交抛物线C于点M，P，直线MB 交抛物线C于另一点Q，求直线PQ所过的定点．【分析】（1）求得B的对称点N，代入抛物线的方程，可得p，进而得到抛物线方程；（2）求得A（﹣1，0），分别设M（，y1），P（，y2），Q（，y0），由M，P，A三点共线、M，B，Q三点共线的条件：斜率相等，化简可得y0，y2的关系式，再由直线PQ的方程，化简可得所求定点．【解答】解：（1）点B（1，﹣1）关于直线y=对称的点N（1，2），由题意可得4=2p，可得抛物线方程为y2=4x；（2）设抛物线C的准线与其对称轴的交点为A（﹣1，0），过点A的直线l交抛物线C于点M，P，直线MB交抛物线C于另一点Q，分别设M（，y1），P（，y2），Q（，y0），由M，P，A可得=，化简可得y1y2=4，由M，B，Q可得=，由y1=代入上式，化简可得（y0y2﹣4）（y0+y2+）=0，即有y0y2﹣4=0（与y0，y2异号矛盾，舍去），y0+y2+=0，由直线PQ的方程y﹣y2=（x﹣），即为y﹣y2=x﹣，即y=x+，代入y0y2=﹣4（y0+y2）﹣4，即为y=（x﹣1）﹣4，可得直线PQ恒过定点（1，﹣4）．【点评】本题考查抛物线的方程和运用，考查直线的斜率和方程的运用，以及三点共线的条件：斜率相等，考查运算求解能力，属于中档题．19．（12分）某兴趣小组欲研究某地区昼夜温差大小与患感冒就诊人数之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1到5月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：该兴趣小组确定的研究方案是：先从这5组数据中选取一组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用选取的一组数据进行检验．（Ⅰ）若选取的是1月的一组数据，请根据2至5月份的数据．求出y关于x的线性回归方程=x．（Ⅱ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差不超过2，则认为得到的线性回归方程是理想的，试判断该小组所得的线性回归方程是否理想？如果不理想，请说明理由，如果理想，试预测昼夜温差为6℃时，因感冒而就诊的人数约为多少？（参考公式：==，=）【分析】（Ⅰ）由题意计算平均数和回归系数，写出线性回归方程；（Ⅱ）利用回归方程计算x=8时的值，判断线性回归方程是理想的；再计算x=6时的值，即可预测昼夜温差为6℃时因感冒而就诊的人数．【解答】解：（Ⅰ）由题意计算=×（10+13+12+9）=11，=×（25+28+26+17）=24；由公式求得：===2.3，==24﹣2.3×11=﹣1.3；∴y关于x的线性回归方程为=2.3x﹣1.3；（Ⅱ）当x=8时，=2.3×8﹣1.3=17.1，且|17.1﹣18|＜2；∴该小组所得线性回归方程是理想的；当x=6时，=2.3×6﹣1.3=12.5，即预测昼夜温差为6℃时，因感冒而就诊的人数约为13人．【点评】本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，是基础题．20．（12分）已知F为椭圆的右焦点，点在C上，且PF⊥x轴．（Ⅰ）求C的方程（Ⅱ）过F的直线l交C于A，B两点，交直线x=4于点M．证明：直线PA，PM，PB的斜率成等差数列．【分析】（Ⅰ）运用椭圆的定义和勾股定理，可得a，b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）由题意可设直线AB的方程为y=k（x﹣2），求得M的坐标，联立椭圆方程，运用韦达定理，以及直线的斜率公式，结合等差数列的中项性质，化简整理，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）因为点在C上，且PF⊥x轴，所以c=2，设椭圆C左焦点为E，则|EF|=2c=4，，Rt△EFP中，|PE|2=|PF|2+|EF|2=18，所以．所以，，又b2=a2﹣c2=4，故椭圆C的方程为；（Ⅱ）证明：由题意可设直线AB的方程为y=k（x﹣2），令x=4得，M的坐标为（4，2k），由得，（2k2+1）x2﹣8k2x+8（k2﹣1）=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则有，…①．记直线PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3，从而，，．因为直线AB的方程为y=k（x﹣2），所以y1=k（x1﹣2），y2=k（x2﹣2），所以k1+k2=+=+﹣（+）=…②．①代入②得，又，所以k1+k2=2k3，故直线PA，PM，PB的斜率成等差数列．【点评】本题考查椭圆方程的求法，注意运用点满足椭圆方程，考查直线的斜率成等差数列，注意运用联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）=x2﹣2ax+lnx，a∈R．（1）讨论f（x）的单调性；（2）设x0为函数f（x）的极大值点，求证：+＞a．【分析】（1）先求导，再分类讨论，根据导数和函数单调性的关系即可求出单调性区间，（2）由（1）可得函数的极大值点，则要+＞a，转化为只要证g（x）=xlnx﹣x2+＞0，x ∈（0，1），利用导数和函数的单调性即可证明．【解答】解：（1）f（x）=x2﹣2ax+lnx，x＞0，∴f′（x）=x﹣2a+=，当（2a）2﹣4≤0时，即﹣1≤a≤1时，f′（x）＞0恒成立，则f（x）在（0，+∞）上单调递增，当a＞1时，由f′（x）=0，解得x1=a﹣，x2=a+，∵0＜x＜x1，或x＞x2时，f′（x）＞0，x1＜x＜x2时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，a﹣），（a+，+∞）上单调递增，在（a﹣，a+）上单调递减，当a＜﹣1时，f′（x）=x﹣2a+＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，综上所述，当a≤1时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，当a＞1时，f（x）在（0，a﹣），（a+，+∞）上单调递增，在（a﹣，a+）上单调递减；证明：（2）由（1）可知，当a≤1时，函数f（x）没有极值点，当a＞1时，f（x）存在极大值点x1=a﹣，∵x1x2=1，∴0＜x1＜1，则x0=x1，由（1）可知x02﹣2ax0+1=0∴a=要证+＞a=只要证x0lnx0﹣x02+＞0，令g（x）=xlnx﹣x2+，x∈（0，1），∴g′（x）=1+lnx﹣x，令h（x）=1+lnx﹣x，∴h′（x）=﹣1=＞0恒成立，∴h（x）在（0，1）上单调递增，∴h（x）＜h（1）=1+ln1﹣x=0，∴g′（x）＜0在（0，1）上恒成立，∴g（x）在（0，1）上单调递减，∴g（x）＞g（1）=1ln1﹣+＞0，故g（x）=xlnx﹣x2+＞0恒成立，故+＞a【点评】本题考查了导数和函数单调性的关系，以及导数和函数的极值最值的关系，考查了运算能力和转化能力，属于难题四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ+2sinθ，直线，直线．以极点O为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系．（1）求直线l1、l2的直角坐标方程以及曲线C的参数方程；（2）已知直线l1与曲线C交于O、M两点，直线l2与曲线C交于O、N两点，求△OMN的周长．【分析】（1）直接利用转换关系式，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（2）利用（1）的结论，建立方程组，进一步利用余弦定理求出结果．【解答】（1）解：直线，所以：直线l1的直角坐标方程为，直线．所以：直线l2的直角坐标方程为曲线C的直角坐标方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5，所以：曲线C的参数方程为；（2）解：联立，得到，同理，又，所以根据余弦定理可得，所以周长．【点评】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，方程组的应用和余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．五．解答题（共1小题）23．已知函数f（x）=|x﹣2|．（1）解不等式f（x）﹣f（2x+4）＜2；（2）若f（x）+f（x+3）≥m2+2m对x∈R恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）利用分段讨论法去掉绝对值，求出不等式f（x）﹣f（2x+4）＜2的解集；（2）由绝对值不等式的意义求出f（x）+f（x+3）的最小值，得出关于m的不等式，求解即可．【解答】解：（1）由题知不等式f（x）﹣f（2x+4）＜2，即|x﹣2|﹣|2x+2|＜2，等价于，或，或；解得x＜﹣2或﹣＜x≤2或x＞2，∴原不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（﹣，+∞）；（2）由题知f（x）+f（x+3）=|x﹣2|+|x+1|≥|（x﹣2）﹣（x+1）|=3，∴f（x）+f（x+3）的最小值为3，∴m2+2m≤3，解得﹣3≤m≤1，∴实数m的取值范围为[﹣3，1]．【点评】本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了不等式恒成立问题，是基础题．。
【全国市级联考】四川省泸州市2016-2017学年高一下学期期末考试数学试题
绝密★启用前【全国市级联考】四川省泸州市2016-2017学年高一下学期期末考试数学试题试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：66分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、若半径为2的球中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积为时，圆柱的体积为__________．2、设等差数列满足：，公差．若当且仅当时，数列的前项和取得最大值，则首项的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．3、一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）A ．B ．C ．D ．4、已知函数，则函数的零点个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45、设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的命题是（ ） A ．B ．C ．D ．6、设，，且，，则（ ）A ．B ．C ．D ．7、设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．8、函数的图像的一条对称轴为（ ）9、已知，，，，则下列关系正确的是（）A． B． C． D．10、设单位向量，则的值为（）A． B． C． D．11、若直线与直线平行，则的值为（）A． B． C． D．12、已知，则下列推证中正确的是（）A． B．C． D．13、直线的倾斜角是（）A． B． C． D．第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）14、设，过定点的动直线与过定点的动直线交于点，则的取值范围为__________．15、若变量满足约束条件，则的最小值为__________．16、已知数列的前项和，则数列的通项公式__________．三、解答题（题型注释）17、定义在上的单调递减函数，对任意都有，．（Ⅰ）判断函数的奇偶性，并证明之；（Ⅱ）若对任意，不等式（为常实数）都成立，求的取值范围；（Ⅲ）设，，，，．若，，比较的大小并说明理由．18、如图，平面，，，，为的中点．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求多面体的体积；（Ⅲ）求二面角的正切值．19、已知数列中，任意相邻两项为坐标的点均在直线上．数列为等差数列，且满足，，．（Ⅰ）求证数列是等比数列，并求出它的通项公式； （Ⅱ）若，，求的值．20、如图, 在△中, 点在边上,.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若△的面积是, 求.21、若集合，，集合．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求实数的取值范围．22、已知中，点的坐标为，边所在直线方程为，边所在直线过点．（Ⅱ）求向量在向量方向上的投影．参考答案1、2、D3、B4、B5、D6、B7、A8、C9、C10、A11、D12、C13、B14、15、16、17、（Ⅰ）为上的奇函数；证明见解析（Ⅱ）（Ⅲ）；18、（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）（Ⅲ）19、（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）（）20、（I）；（II）.21、（Ⅰ）（Ⅱ）的取值范围为：22、（Ⅰ）点坐标为（Ⅱ）【解析】1、由球体的对称性可知圆柱的高即为球心到两底面圆心的距离，设圆柱的底面半径是，球心到底面的距离是，由球心距离、截面圆的半径、球半径之间的关系可得，由题设可得，则，故圆柱的体积，应填答案。
2017-2018学年四川省泸州市高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版)
2017-2018学年四川省泸州市高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共有12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的1．（5分）复数的模为（）A．B．C．D．22．（5分）命题“∃x0∈R，x03﹣x02+1≤0”的否定是（）A．∃x0∈R，x03﹣x02+1＜0B．∀x∈R，x3﹣x2+1＞0C．∃x0∈R，x03﹣x02+1≥0D．∀x∈R，x3﹣x2+1≤03．（5分）某疾病研究所想知道吸烟与患肺病是否有关，于是随机抽取11000名成年人调查是否抽烟及是否患有肺病得到2×2列联表，经计算得K2＝5.231，已知在假设吸烟与患肺病无关的前提条件下，P（K2≥3.841）＝0.05，P（K2≥6.635）＝0.01，则该研究所可以（）A．有95%以上的把握认为“吸烟与患肺病有关”B．有95%以上的把握认为“吸烟与患肺病无关”C．有99%以上的把握认为“吸烟与患肺病有关”D．有99%以上的把握认为“吸烟与患肺病无关”4．（5分）从某校高三年级中随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中的视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示，若某高校A专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A专业的人数为（）A．10B．20C．8D．165．（5分）如图茎叶图表示连续多天同一路口同一时段通过车辆的数目，则这些车辆数的众数和极差分别是（）A．248，38B．231.5，36C．231，231D．231，386．（5分）在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在该正方形内切圆的四分之一圆（如图阴影部分）中的概率（）A．B．C．D．7．（5分）已知函数f（x）＝x3+bx2+c（b，c∈R），命题p：y＝f（x）是R上的单调递增函数；命题q：y＝f（x）的图象与x轴恰有一个交点，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）函数f（x）＝2+的图象大致为（）A．B．C．D．9．（5分）程序框图如下如果上述程序运行的结果S的值比2018小，若使输出的S最大，那么判断框中应填入（）A．k≤10？B．k≥10？C．k≤9？D．k≥9？10．（5分）设函数f（x）的定义域为R，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，以下结论一定正确的是（）A．∀x∈R，f（x）≤f（x0）B．﹣x0是f（﹣x）的极小值点C．﹣x0是﹣f（x）的极小值点D．﹣x0是﹣f（﹣x）的极小值点11．（5分）甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子．已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是（）A．甲是工人，乙是知识分子，丙是农民B．甲是知识分子，乙是农民，丙是工人C．甲是知识分子，乙是工人，丙是农民D．甲是农民，乙是知识分子，丙是工人12．（5分）已知直线l：y＝x与双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右支交于点M，OM（O是坐标原点）的垂直平分线经过C的右焦点，则C的离心率为（）A．B．+1C．D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13．（5分）某单位有1260名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将1260人按1，2，…，1260随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[1，690]的人数为．14．（5分）平行于直线2x+y+1＝0且与圆x2+y2＝5相切的直线方程是．15．（5分）函数f（x）＝cos x+x﹣a在[0，]上有零点，则a的取值范围是．16．（5分）焦点为F的抛物线y2＝4x的准线与x轴交于点A，点M在抛物线C上，则当取得最大值时，点M的横坐标为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知函数f（x）＝e x+x（e是自然对数的底数）．（Ⅰ）求该曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若ax≤f（x）对x∈[，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．18．（12分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）上一点P（m，2m）（m≠0）到其焦点的距离为．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若斜率为2的直线1交C于A、B两点，设Q为C上一点，C在Q处的切线与直线l平行，且AQ⊥BQ，求直线AB的方程．19．（12分）某研究性学习小组对某植物种子的发芽率与昼夜温差之间的关系进行研究．他们分别记录了3月1日至3月5日的昼夜温差及每天30颗种子的发芽数，并得到如下资料：（Ⅰ）请根据3月1日至3月5日的数据，求出y关于x的线性回归方程；（Ⅱ）统计中常用相关系数r来衡量两个变量之间线性关系的强弱．若|r|∈[0.75，1]，则两个变量的相关性很强；若|r|∈[0，0.25]，则两个变量的相关性很弱；若|r|∈[0.30，0.75），则两个变量的相关性一般，试用相关系数r来判断温差x与发芽数y之间相关性的强弱．参数公式及数据：对数据（x1，y1），（x2，y2），…（x n，y n），其回归直线＝x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝＝，＝﹣；相关系数r＝.，，20．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞2）的离心率为．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）已知点A（0，4），若斜率不为0的直线l交椭圆C于点M、N，且满足∠MAO＝∠NAO（其中O是坐标原点），求证：直线MN过定点（0，1）．21．（12分）已知函数f（x）＝lnx+ax2﹣x．（Ⅰ）当a＞时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数g（x）＝f（x）﹣（2a﹣1）x有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：g（x2）＜﹣﹣ln2．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第题计分[选修44：坐标系与参数方程]22．（10分）以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为2ρsin（）﹣3＝0，曲线C的参数方程是（φ为参数）．（Ⅰ）求直线l和曲线C的普通方程；（Ⅱ）已知点P（0，3），直线l与曲线C交于A，B两点，求|P A|+|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知函数f（x）＝|2x+1|﹣|﹣x﹣1|．（Ⅰ）求不等式f（x）＜1的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤﹣﹣m有解，求m的取值范围．2017-2018学年四川省泸州市高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共有12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的1．【解答】解：∵＝，∴||＝|1+i|＝．故选：C．2．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x0∈R，x03﹣x02+1≤0”的否定是：∀x∈R，x3﹣x2+1＞0．故选：B．3．【解答】解：∵计算得K2＝5.231，经查对临界值表知P（K2≥3.841）≈0.05，∴有1﹣0.05＝95%的把握认为“吸烟与患肺病有关”，故选：A．4．【解答】解：根据题意，视力的要求在0.9以上为50×（0.2+0.75×0.2+0.25×0.2）＝20，故选：B．5．【解答】解：根据茎叶图中的数据知，出现次数最多的数据是231，∴众数是231；最小值是210，最大值是248，∴极差是248﹣210＝38．故选：D．6．【解答】解：设正方形的边长为2，则面积为4；圆与正方形内切，圆的半径为1，所以圆的面积为π，则阴影部分的面积为，所以所求概率为P＝＝．7．【解答】解：已知f（x）＝x3+bx2+c，所以f′（x）＝3x2+2bx，若y＝f（x）是R上的单调递增函数，额f′（x）＝4b2≥0，恒成立，此时函数为增函数，此时y＝f（x）的图象与x轴恰有一个交点，即充分性成立，当函数不单调，且函数的极小值大于0或极大值小于0时，满足y＝f（x）的图象与x轴恰有一个交点，但此时函数f（x）不是单调递增函数，即必要性不成立，则p是q的充分不必要条件，故选：A．8．【解答】解：函数f（x）＝2+满足f（﹣x）＝f（x），即函数为偶函数，图象关于原点对称，故排除D；f（1）＝2≠0，故排除AC，故选：B．9．【解答】解：第一次循环时，S＝1×12＝12，K＝12﹣1＝11；第二次循环时，S＝12×11＝132，K＝11﹣1＝10；第三次循环时，S＝132×10＝1320，K＝10﹣1＝9；若再循环一次，显然S＞2018，不符合题意，应循环了三次；因此，循环三次后必须终止，所以判断框中应填入的为“k≤9”，故选：C．10．【解答】解：对于A项，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，不一定是最大值点，因此不能满足在整个定义域上值最大，故A错误；对于B项，f（﹣x）是把f（x）的图象关于y轴对称，因此，﹣x0是f（﹣x）的极大值点，故B错误；对于C项，﹣f（x）是把f（x）的图象关于x轴对称，因此，x0是﹣f（x）的极小值点，故C错误；对于D项，﹣f（﹣x）是把f（x）的图象分别关于x轴、y轴做对称，因此﹣x0是﹣f（﹣x）的极小值点，故D正确．11．【解答】解：由“甲的年龄和农民不同”和“农民的年龄比乙小”知丙是农民，且丙比乙小；再由“丙的年龄比知识分子大”可知，甲是知识分子；故乙是工人．对比选项，选项C正确．故选：C．12．【解答】解：如图，∵依题意可得∠MOF＝∠OMF＝30°，OF＝MF＝c，∴，∴，结合c2＝a2+b2，可得：9c4﹣16a2c2+4a4＝0，∴e4﹣16e2+4＝0⇒，e＝．故选：C．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13．【解答】解：使用系统抽样方法，从1260人中抽取42人，即从30人抽取1人．所以从编号1～690的人中，恰好抽取＝23人，故答案为：23人14．【解答】解：设平行于直线2x+y+1＝0的方程为2x+y+m＝0，m≠1；则圆x2+y2＝5的圆心O（0，0）到直线2x+y+m＝0的距离为r＝，∴＝＝，解得m＝±5，∴所求的直线方程是2x+y+5＝0或2x+y﹣5＝0．故答案为：2x+y+5＝0或2x+y﹣5＝0．15．【解答】解：（x）＝cos x+x﹣a在[0，]上有零点，即为a＝cos x+x在[0，]上有解，由g（x）＝x+cos x的导数为g′（x）＝1﹣sin x≥0，可得g（x）在[0，]上递增，可得g（x）∈[1，]，即有a的范围是[1，]，故答案为：[1，]，16．【解答】解：根据题意，如图：过M做MP与准线垂足，垂足为P，设∠AMP＝∠MAF＝θ，则＝＝，若取得最大值，必有cosθ取得最小值，则θ取得最大值，此时AM与抛物线相切，抛物线y2＝4x的准线为x＝﹣1，A的坐标为（﹣1，0），设直线AM的方程为y＝k（x+1），则有，则有k2（x+1）2＝4x，即x2+（2﹣）x+1＝0，当△＝0时，直线AM与抛物线相切，x的值就是点M的横坐标，此时x1x2＝1，且x1＝x2；故x1＝x2＝1，即M的横坐标为1，故答案为：1．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝e x+x的导数为f′（x）＝e x+1，可得曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为2，且f（0）＝1，可得所求切线的方程为y＝2x+1；（Ⅱ）若ax≤f（x）对x∈[，+∞）恒成立，即为a≤，即a﹣1≤在[，+∞）的最小值，设g（x）＝，可得g′（x）＝，可得x＞1，g′（x）＞0，g（x）递增；≤x＜1时，g′（x）＜0，g（x）递减，即有x＝1处g（x）取得最小值e，则a﹣1≤e，可得a≤1+e．即a的取值范围是（﹣∞，1+e]．18．【解答】解：（Ⅰ）抛物线C：x2＝2py（p＞0）的准线方程为y＝﹣，抛物线上一点P（m，2m）（m≠0）到其焦点的距离为，由定义可得2m+＝，且m2＝4pm，解得p＝，m＝2，则抛物线的方程为x2＝y；（Ⅱ）设直线AB的方程为y＝2x+t，代入曲线C：y＝x2，可得x2﹣2x﹣t＝0，设A（x1，x12），B（x2，x22），即有x1+x2＝2，x1x2＝﹣t，再由y＝x2的导数为y′＝2x，设Q（m，m2），可得Q处切线的斜率为2m，由C在Q处的切线与直线AB平行，可得2m＝2，解得m＝1，即Q（1，1），由AQ⊥BQ可得，k AQ•k BQ＝﹣1，即为•＝﹣1，化为x1x2+（x1+x2）+1＝0，即为﹣t+2+1＝0，解得t＝3．则直线AB的方程为y＝2x+3．19．【解答】解：（Ⅰ）由表中数据，计算＝11，＝15，∴＝＝＝0.7，＝＝15﹣0.7×11＝7.3，∴y关于x的回归方程＝0.7x+7.3；（Ⅱ）由题意，计算相关系数为r＝＝＝0.7；∴r∈[0.30，0.75]，则两个变量的相关性一般．20．【解答】解：（Ⅰ）椭圆C：（a＞2）的离心率为，∴e2＝1﹣＝1﹣＝，∴a＝2；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得椭圆的方程为+＝1，设直线l方程为y＝kx+t，k≠0，联立椭圆方程x2+2y2＝8，可得（1+2k2）x2+4ktx+2t2﹣8＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则△＞0，x1+x2＝﹣，x1x2＝，∵∠MAO＝∠NAO，∴k AM＝﹣k AN，∴＝﹣，即x1y2+x2y1﹣4（x1+x2）＝0，可得x1（kx2+t）+x2（kx1+t）﹣4（x1+x2）＝0，即2kx1x2+（t﹣4）（x1+x2）＝0，可得2k（2t2﹣8）+（t﹣4）（﹣4kt）＝0，化为16kt﹣16k＝0，由k不为0，可得t＝1，则直线MN：y＝kx+1过定点（0，1）．21．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝lnx+ax2﹣x，x＞0∴f′（x）＝+2ax﹣1＝，∵a＞，∴△＝1﹣8a＜0恒成立，∴f′（x）＞0恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，（Ⅱ）证明：由题意，g（x）＝f（x）﹣（2a﹣1）x＝lnx+ax2﹣2ax定义域为（0，+∞），∴g′（x）＝+2ax﹣2a＝；∵g（x）有两个极值点x1，x2，∴g′（x）＝0有两个不同的正实根x1，x2，∵2ax2﹣2ax+1＝0的判别式△＝4a2﹣8a＞0，解得a＜0或a＞2∴x1+x2＝1，x1•x2＝＞0，∴a＞0；∴a的取值范围为（2，+∞）．∵0＜x1＜x2，且x1+x2＝1，∴＜x2＜1，＝2x2（1﹣x2）∴g（x2）＝lnx2+﹣＝lnx2+﹣＝lnx2+﹣令h（t）＝lnt+﹣，其中＜t＜1，易知h（t）在则h′（t）＝﹣＝＞0恒成立．∴h（t）在（，1）上是增函数．∴h（t）＞h（）＝ln﹣1＝＝﹣ln2﹣故g（x2）＜﹣﹣ln2．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第题计分[选修44：坐标系与参数方程]22．【解答】解：（Ⅰ）直线l的极坐标方程为2ρsin（）﹣3＝0，转换为直角坐标方程为：x+y﹣3＝0．曲线C的参数方程是（φ为参数）．转换为直角坐标方程为：x2+y2＝4（Ⅱ）已知直线l：经过点P（0，3），与曲线C交于A，B两点，把直线的方程转换为参数方程为：（t为参数），代入圆的方程：，整理得：（t1和t2为A、B对应的参数），所以：，|P A|+|PB|＝|．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝|2x+1|﹣|﹣x﹣1|，不等式f（x）＜1等价于或或，解得﹣3＜x≤﹣或﹣＜x＜或x∈∅；∴不等式f（x）＜1的解集为{x|﹣3＜x＜}；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤﹣﹣m有解，则f（x）min≤﹣﹣m；又f（x）＝，∴f（x）min＝f（﹣）＝﹣；∴﹣≤﹣﹣m，整理得m2+2m﹣3≤0，解得﹣3≤m≤1，∴m的取值范围是﹣3≤m≤1．。
四川省泸州市2023-2024学年高一下学期7月期末考试 数学含答案
泸州市高2023级高一学年末统一考试数学（答案在最后）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．共150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑．3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．第Ⅰ卷（选择题共58分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.若集合{}{}2Z 25,4A x x B x x x=∈-<<=<，则A B = （）A.(0,4)B.{1,2,3}C.{}1- D.(2,4)-2.设复数z 满足3(1i)3i z -=-，则z =（）A.2i+ B.2i- C.12i - D.12i+3.设 1.30.4118,,lg 23a b c -⎫⎛=== ⎪⎝⎭，则（）A.a c b <<B.a b c<< C.c b a<< D.c<a<b4.已知2tan 2α=，则cos2α=（）A.14 B.13C.12D.235.平面α与平面β平行的充分条件可以是（）A.α内有无穷多条直线都与β平行B.直线,m m αβ⊄⊄，且//,//m m αβC.直线m α⊂，直线n β⊂，且//,//m n βαD.α内的任何一条直线都与β平行6.如图，AOB 为直角三角形，1OA =，2OB =，C 为斜边AB 的中点，P 为线段OC 的中点，则AP OP ⋅＝（）A .1B.116C.14D.12-7.若圆台侧面展开图扇环的圆心角为180,︒其母线长为2，下底面圆的半径是上底面圆的半径的2倍，则该圆台的高为（）A.B.C.D.8.已知函数41,0()log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x k =有4个不同的根1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则3412x x x x --的值为（）A.3B.0C.2D.6二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.任意向量a ，b ，若a b > 且a 与b同向，则a b> B.若向量PA PB PC λμ=+，且1(01)λμλ+=<<，则,,A B C 三点共线C.若0a b ⋅>，则a 与b 的夹角是锐角D.已知|6a = ，b 为单位向量，且3,π4a b = ，则a 在b上的投影向量为-10.已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，满足ππ33f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()ππ2f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的图象关于π2x =对称 B.1sinφ2=-C.()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 D.()f x 的图象关于点13π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称11.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，已知平面1AC α⊥，则关于平面α截正方体所得截面的判断正确的是（）A.截面形状可能为正三角形B.平面α与平面ABCD 所成二面角的正弦值为3C.截面形状可能为正六边形D.截面面积的最大值为第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．12.已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当01x <<时，()2xf x =，则72f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为____________．13.计算：1sin10cos10-=︒︒__________.14.已知三棱锥S ABC -的底面是边长为3的等边三角形，且SA AB SB ==，当该三棱锥的体积取得最大值时，其外接球的表面积为____________．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知向量()1,1,a b =-= ，且()3a b b +⋅=．（1）求向量a 与b的夹角．（2）若向量ka b + 与a kb -互相垂直，求k 的值．16.已知函数π()sin()(0,0,||2f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如下图所示．（1）求函数()f x 的解析式．（2）若将函数()f x 的图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的14倍，再将其图象沿x 轴向左平移π6个单位得到函数()g x 的图象，求不等式()1g x >的解集．17.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2cos 2b C a c =+．（1）求B ；（2）若b =，且1sin sin 4A C =，求a c +．18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，,E F 分别为,PB PC 的中点，G 为线段AC 上一动点，PD⊥平面ABCD ．（1）证明：平面⊥BDF 平面A E G ；（2）当3CG AG =时，证明：//EG 平面BDF ；（3）若2AD PD =，四面体BGEF 的体积等于四棱锥P ABCD -体积的332，求GC AC的值．19.对于三个实数,,a b k ，若()()()()22111a b k a b ab --≥--成立，则称,a b 具有“性质k ”（1）写出一个数a 使之与2具有“性质1”，并说明理由；（2）若22x x --具有“性质0”，求x 的取值范围；（3）若ππ42x ≤≤，且sin x ，cos x 具有“性质k ”，求实数k 的最大值．泸州市高2023级高一学年末统一考试数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．共150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑．3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．第Ⅰ卷（选择题共58分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.若集合{}{}2Z 25,4A x x B x x x=∈-<<=<，则A B = （）A.(0,4)B.{1,2,3}C.{}1- D.(2,4)-【答案】B 【解析】【分析】先求出,A B ，再根据交集的定义即可得解.【详解】{}{}Z 251,0,1,2,3,4A x x =∈-<<=-，{}{}2404B x x x x x =<=<<，所以{1,2,3}A B ⋂=.故选：B.2.设复数z 满足3(1i)3i z -=-，则z =（）A.2i +B.2i- C.12i- D.12i+【答案】C 【解析】【分析】先根据复数的除法计算复数，再结合共轭复数定义即可.【详解】因为()()()()323i 1i 3i 3i 33i i+i 24i12i 1i 1i 1i 1i 22z ++-++++======+---+,所以12i z =-.故选：C.3.设 1.30.4118,,lg 23a b c -⎫⎛=== ⎪⎝⎭，则（）A.a c b <<B.a b c<< C.c b a<< D.c<a<b【答案】D 【解析】【分析】分别利用指数函数和对数函数的单调性进行比较，借助于中间值“0”即可判断三个值的大小.【详解】因为函数2x y =在R 上单调递增，所以. 1..130.31422220182b a -⎛⎫== ⎪=>=>⎝>⎭，又因为函数lg y x =在(0,)+∞上单调递增，所以1lg lg103c =<=，所以c<a<b .故选：D.4.已知tan 2α=，则cos2α=（）A.14 B.13C.12D.23【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用二倍角公式，结合正余弦齐次式法求值.【详解】依题意，222222222111cos sin 1tan 122cos2cos sin 1cos sin 1tan 3122ααααααααα----=-===+++.故选：B5.平面α与平面β平行的充分条件可以是（）A.α内有无穷多条直线都与β平行B.直线,m m αβ⊄⊄，且//,//m m αβC.直线m α⊂，直线n β⊂，且//,//m n βαD.α内的任何一条直线都与β平行【答案】D 【解析】【分析】由直线与平面、平面与平面的位置关系结合充分条件的概念依次判断即可.【详解】对于A ，若α内有无穷多条直线都与β平行，则,αβ平行或相交，故充分性不成立，故A 错误；对于B ，如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//C D 平面ABCD ，11//C D 平面11ABB A ，而平面11ABB A 平面ABCD AB =，故充分性不成立，故B 错误；对于C ，如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//A B 平面ABCD ，//CD 平面11ABB A ，而平面11ABB A 平面ABCD AB =，故充分性不成立，故C 错误；对于D ，由面面平行的定义知能推出平面α与平面β平行，故充分性成立，故D 正确.故选：D .6.如图，AOB 为直角三角形，1OA =，2OB =，C 为斜边AB 的中点，P 为线段OC 的中点，则AP OP⋅ ＝（）A.1B.116C.14D.12-【答案】B 【解析】【分析】利用数量积的定义、运算律以及向量的线性运算即可求解.【详解】因为()()1111111122222224PQ PO PA CO PA CO AO AC CA BA ⎛⎫⎡⎤=+=+=-+== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以2211512444PQ BA ==+ ，取AO 中点Q ，连接PQ ，144AP OP PA PO PA PO⋅=⋅=⋅⋅()()22221511416416PA PO PA PO PQ AQ ⎡⎤=+--=-=-⎢⎥⎣⎦.故选：B.7.若圆台侧面展开图扇环的圆心角为180,︒其母线长为2，下底面圆的半径是上底面圆的半径的2倍，则该圆台的高为（）A.23B.132C.3D.332【答案】C 【解析】【分析】设圆台的上底面的圆心为H ，下底面的圆心为O ，圆台的母线交于点S ，由已知易求得圆锥的母线4SB =，进而可求得上下底面的半径，利用直角梯形的性质可求圆台的高.【详解】设圆台的上底面的圆心为H ，下底面的圆心为O ，设圆台的母线交于点S ，AB 为圆台的母线，且2AB =，下底面圆的半径是上底面圆的半径的2倍，所以12SA HA SB OB ==，所以2SA =，所以4SB =，由圆台侧面展开图扇环的圆心角为180︒,所以下底面圆的周长为4π，所以2π4πOB = ，所以2,1OB HA ==，在直角梯形HABO 中，易求得22213OH =-=.故选：C.8.已知函数41,0()log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x k =有4个不同的根1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则3412x x x x --的值为（）A.3 B.0C.2D.6【答案】A 【解析】【分析】作出函数图象，由对称性可知，122x x +=-，4344log log x x =，计算得341x x =，再计算3412x x x x --的结果；【详解】作出函数41,0()log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩的图象如下由对称性可知，122x x +=-，因为4344log log x x =，由图可知3401x x <<<，所以43444344log 0,log 0log log x x x x ⇒-=则43434log 0,1x x x x =∴=，34121(2)3x x x x ---=-=，故选：A .二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.任意向量a ，b ，若a b > 且a 与b 同向，则a b> B.若向量PA PB PC λμ=+，且1(01)λμλ+=<<，则,,A B C 三点共线C.若0a b ⋅>，则a 与b 的夹角是锐角D.已知|6a =，b 为单位向量，且3,π4a b = ，则a 在b 上的投影向量为-【答案】BD 【解析】【分析】举反例判断A ，C ，利用向量共线定理判断B ，利用投影向量的定义判断D 即可.【详解】对于A ，向量不能比较大小，故A 错误，对于B ，向量PA PB PC λμ=+且1(01)λμλ+=<<时，由向量共线定理的推论，知,,A B C 三点共线，故B 正确，对于C ，当,a b 同向共线时，0a b a b ⋅=⋅>，此时夹角不是锐角，故C 错误，对于D ，由题意得1b = ，由投影向量定义得投影向量为3πcos 4b a b⋅=-，故D 正确.故选：BD10.已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，满足ππ33f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()ππ2f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的图象关于π2x =对称 B.1sinφ2=-C.()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 D.()f x 的图象关于点13π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】BD 【解析】【分析】由已知结合正弦函数的对称性与单调性可先求出ϕ，即可判断A ，B ；然后结合正弦函数的对称性及单调性检验选项C ，D 即可判断．【详解】因为函数函数()sin(2)f x x ϕ=+，满足ππ33f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()sin(2)f x x ϕ=+的图象关于π3x =对称，故A 错误；所以πsin(2)13ϕ⨯+=±，所以2πππ,Z 32k k ϕ+=+∈，所以ππ,Z 6k k ϕ=-∈，因为()ππ2f f ⎛⎫>⎪⎝⎭，()()sin πsin 2πϕϕ+>+，即sin 0ϕ<，所以2,Z k n n =∈，所以1sin 2ϕ=-，故B 正确；则π()sin(2)6f x x =-，由π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得π5π11π(,)2666x ∈-，所以()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，故C 错误；由1313ππππ0i 1212()sin(2)s n 26f =⨯==-，所以()f x 的图象关于点13π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称，故D 正确．故选：BD ．11.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，已知平面1AC α⊥，则关于平面α截正方体所得截面的判断正确的是（）A.截面形状可能为正三角形B.平面α与平面ABCD 所成二面角的正弦值为3C.截面形状可能为正六边形D.截面面积的最大值为【答案】ACD 【解析】【分析】借助正方体，画出截面图形，再对选项进行一一判断．【详解】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，连接11,,,B A D BD AC A，因为1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，则1AA BD ⊥，因为四边形ABCD 为正方形，则BD AC ⊥，又因为1AA AC A = ，1,AA AC ⊂平面11AA C C ，所以，BD ⊥平面11AA C C ，因为1AC ⊂平面11AA C C ，则1BD AC ⊥，同理可证11A B AC ⊥，因为1A B BD B ⋂=，1,A B BD ⊂平面1A BD ，则1AC ⊥平面1A BD ，所以平面α与平面1A BD 平行或重合，所以平面1A BD 与正方体的截面形状可以是正三角形，故A 正确；平面α与平面ABCD 所成二面角的正弦值为即为平面1A BD 与平面ABCD 所成的角，设AC 与BD 交于O ，连接1OA ，因为四边形ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥，又1AA ⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，所以1AA BD ⊥，又1AA AC A = ，1,AA AC ⊂平面1AA O ，又1A O ⊂平面1AA O ，所以1BD AA ⊥，所以1AOA ∠是平面平面1A BD 与平面ABCD 所成二面角的平面角，由题意可得12A A =，进而可得12AO AC ==1A O ==，所以111sin 3AA AOA A O ∠===，所以平面α与平面ABCD 所成二面角的正弦值为3，故B 错误；当,,,,,E F N M G H 分别为对应棱的中点时，截面EFNMGH 为正六边形，因为,E H 分别为111,BB A B 的中点，则1EHA B ，因为EH ⊄平面1A BD ，1A B ⊂平面1A BD ，则//EH 平面1A BD ，同理可得//EF 平面1A BD ，又因为EH EF E =I ，,EH EF ⊂平面EFNMGH ，则平面//EFNMGH 平面1A BD ，所以，1AC ⊥平面EFNMGH ，此时截面为正六边形，故C 正确；如图设截面为多边形GMEFNH ，设1A G x =，则02x ≤≤，则,),GH ME NF MG HN EF x MN ======-=，所以多边形GMEFNH 的面积为两个等腰梯形的面积和，所以1211()()22S GH MN h MN EF h =+++ ，因为1h ==2h ==，所以11)22S x =++-=11)22S x =+-221)x =++=-+，当1x =时，max S =，故D 正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题考查空间几何体的截面问题，求解时要注意从动态的角度进行分析问题和求解问题，结合函数思想求解最值.第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．12.已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当01x <<时，()2xf x =，则72f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为____________．【答案】##122-【解析】【分析】根据周期性和奇函数的性质可得7122f f ⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而可以求值.【详解】根据题意，()f x 是定义在R 上周期为2的奇函数，所以127111422222f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为：13.计算：1sin10cos10-=︒︒__________.【答案】4【解析】【详解】()2sin 3010141sin10cos10sin202︒-︒-==︒︒︒14.已知三棱锥S ABC -的底面是边长为3的等边三角形，且SA AB SB ==，当该三棱锥的体积取得最大值时，其外接球的表面积为____________．【答案】15π【解析】【分析】先分析得三棱锥的体积取得最大值时，有平面SAB ⊥平面ABC ，分别求得ABC ，SAB △的外接圆的半径，进而可求外接球的半径，由此得解.【详解】依题意，三棱锥S ABC -的底面ABC 面积是个定值，侧面SAB 是等边三角形，顶点S 到边AB 的距离也是一个定值，所以当该三棱锥的体积取得最大值时，平面SAB ⊥平面ABC ，取AB 的中点，连接,SH CH ，,N M 分别为正三角形SAB ，ABC 的中心，所以,SH AB CH AB ⊥⊥，所以SHC ∠为二面角S AB C --的平面角，可得SH CH ⊥，过,N M 分别作平面SAB ，平面ABC 的垂线,NO MO ，两垂线交于O ，则O 为外接球的球心，由正三角形的性质可求得332SH CH ==，进而可得32NH HM ==，SN CM ==易得四边形OMHN 是正方形，所以2OM =，由勾股定理可得2OC ==，其外接球的表面积为24π15π2⎛= ⎝⎭.故答案为：15π.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知向量()1,1,a b =-= ，且()3a b b +⋅=．（1）求向量a 与b的夹角．（2）若向量ka b + 与a kb -互相垂直，求k 的值．【答案】（1）π3（2）1k =或1k =-【解析】【分析】（1）由向量模的坐标运算得出||a =，再根据向量数量积的定义及运算律求解即可；（2）由已知得()()·0ka b a kb +-=，根据向量数量积的运算律及已知条件代入求解即可．【小问1详解】由()1,1a =-，得||a ==a 与b的夹角为[0,π]θ∈，由()3a b b +⋅= ，23a b b ⋅+= ，又b = ，所以1a b ⋅= ，所以||||cos 1a b θ⋅= ，解得1cos 2θ=，所以向量a 与b 的夹角为π3．【小问2详解】由向量向量ka b + 与a kb - 互相垂直，得()()·0ka b a kb +-=，所以2220ka k a b a b kb -+-= ，即22120k k k -+-=，解得1k =或1k =-．16.已知函数π()sin()(0,0,||2f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如下图所示．（1）求函数()f x 的解析式．（2）若将函数()f x 的图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的14倍，再将其图象沿x 轴向左平移π6个单位得到函数()g x 的图象，求不等式()1g x >的解集．【答案】（1）1π()2sin(26f x x =+（2）ππ(π,πZ 66k k k -+∈【解析】【分析】（1）由图象求出A ，ω和ϕ的值即可求出函数的解析式．（2）根据函数图象变换求出()g x 的解析式，进而解不等式()1g x >即可.【小问1详解】由图象知2A =，18π2π2π233T =-=，即4πT =，又0ω>，所以2π4πω=，所以12ω=，则1()2sin()2f x x ϕ=+又函数过点2π(,2)3，所以2π12π()2sin()2323f ϕ=⨯+=，所以πsin()13ϕ+=，所以ππ2π,Z 32k k ϕ+=+∈，解得πZ π2,6k k ϕ=+∈.又π||2ϕ<，所以π6ϕ=，即1π()2sin()26f x x =+．【小问2详解】将函数()f x 的图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的14倍，可得函数()1ππ42sin(4)2sin(2)266f x x x =⨯+=+，再将其图象沿x 轴向左平移π6个单位得到函数()g x 的图象，所以()ππ2sin[2()]2cos 266g x x x =++=，由()1g x >，可得2cos 21x >，所以1cos 22x >，所以ππ2π22π,Z 33k x k k -<<+∈，所以ππππ,Z 66k x k k -<<+∈，所以不等式()1g x >的解集为ππ(π,πZ 66k k k -+∈．17.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2cos 2b C a c =+．（1）求B ；（2）若b =，且1sin sin 4A C =，求a c +．【答案】（1）2π3（2）2【解析】【分析】（1）利用余弦定理定理化简等式，再根据余弦定理的推论和角的范围解出答案；（2）利用正弦定理公式结合已知条件求出1ac =，再由余弦定理求出答案.【小问1详解】因为余弦定理可得222222a b c b a c ab+-⨯=+，所以222a b c ac -+=-，因为2221cos ,(0,π)22a cb B B ac +-==-∈，所以2π3B =.【小问2详解】因为正弦定理得2sin sin sin 2a b c A B C====，所以sin ,sin ,22a cA C ==又1sin sin 4A C =，所以1224a c ⨯=，即1ac =，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即221322a c ac ⎛⎫=+-⨯-⎪⎝⎭，222233()4()a c ac ac a c a c =++⇒+=+⇒=+因为,0a c >，所以2a c +=.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，,E F 分别为,PB PC 的中点，G 为线段AC 上一动点，PD⊥平面ABCD．（1）证明：平面⊥BDF 平面A E G ；（2）当3CG AG =时，证明：//EG 平面BDF ；（3）若2AD PD =，四面体BGEF 的体积等于四棱锥P ABCD -体积的332，求GCAC的值．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）34【解析】【分析】（1）设AC 与BD 交于O ，连接OE ，易得AC BD ⊥，由已知可证PD BD ⊥，进而可证OE BD ⊥，利用线面垂直的判定定可证BD ⊥平面A E G ，可证结论成立；（2）连接CE 交BF 于点M ，连接EF ，连接OM ，则O 为AC 的中点，利用相似比证明//OM GE ，再根据线面平行的判定定理即可得证；（3）由题意可得34A BEF G BEF V V --=，可求得GCAC的值.【小问1详解】设AC 与BD 交于O ，连接OE ，因为四边形ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥，且O 为BD 的中点，又PD⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，所以PD BD ⊥，因为E 是PB 的中点，所以//PD OE ，所以OE BD ⊥，又OE AC O ⋂=，,OE AC ⊂平面A E G ，所以BD ⊥平面A E G ，又BD ⊂平面BDF ，所以平面⊥BDF 平面A E G ；【小问2详解】连接CE 交BF 于点M ，连接EF ，连接OM ，则O 为AC 的中点，因为3CG AG =，所以12OG OC =，因为,E F 分别为,PB PC 的中点，所以M 为PBC 的重心，所以12ME MC =，所以ME OGMC OC=，所以//OM GE ，又OM ⊂平面BDF ，EG ⊄平面BDF ，所以//EG 平面BDF ；【小问3详解】由PD⊥平面ABCD ，可得22P ABCD P ABC A PBC V V V ---==，因为,E F 分别为,PB PC 的中点，所以14BEF PEF PBC S S S ==，所以4A PBC A BEF V V --=，所以228P ABCD P ABC A PBC A BEF V V V V ----===又四面体BGEF 的体积等于四棱锥P ABCD -体积的332，所以34A BEF G BEF V V --=，所以点,G A 平面BEF 的距离之比为34，所以34GC AC =.19.对于三个实数,,a b k ，若()()()()22111a b k a b ab --≥--成立，则称,a b 具有“性质k ”（1）写出一个数a 使之与2具有“性质1”，并说明理由；（2）若22x x --具有“性质0”，求x 的取值范围；（3）若ππ42x ≤≤，且sin x ，cos x 具有“性质k ”，求实数k 的最大值．【答案】（1）2a =（答案不唯一），理由见解析.（2）443535log log 22x x x ⎧-+⎪≤≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭或（3）0【解析】【分析】（1）2a =代入a 与2具有“性质1”的不等式进行验证；（2）根据题意得不等式()()2222110x x-⎡⎤---≥⎢⎥⎣⎦，化简得4403x x -+-≥，解不等式求出x 的取值范围；（3）根据题意条件列出不等式进行化简分离变量()()22cos sin sin cos 1sin cos x xk x x x x ≤--，令[]t=sin cos ,0,1x x t -∈，变形得2224321()12222112t t t k t t t t --+≤=+⎛⎫--⎪⎝⎭，构造新函数43212,22t t y t t++-=利用导数求得新函数的最小值，从而得到实数k 的最大值；【小问1详解】2a =与2具有“性质1”.当2a =时，()()()()222121122122--≥⨯--⨯，即90>，则2与2具有“性质1”【小问2详解】若22x x --具有“性质0”，所以()()2222110x x -⎡⎤---≥⎢⎥⎣⎦，即()22210442104430x x x x x x -----≥⇒+--≥⇒+-≥，令4,0xt t =>，所以2131300t t t t t -++-≥⇒≥，所以2310t t -+≥，解得302t -<≤或32t ≥即3042x <≤或342x +≥所以43log 2x -≤或43log 2x ≥因此x 的取值范围443535log log 22x x x ⎧+⎪≤≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭或【小问3详解】若ππ42x ≤≤，且sin x ，cos x 具有“性质k ”，所以()()()()22sin 1cos 1sin cos 1sin cos x x k x x x x --≥--，因为ππ42x ≤≤，所以sin x >cos x ，cos 0,1cos 0sin sin x x x x ->->，化简得()()()()2222cos sin cos sin sin cos 1sin cos sin cos 1sin cos x x x x k x x x x k x x x x ≥--⇒≤--，令[]t=sin cos ,0,1x x t -∈，两边平方得212t sinxcosx -=，2224321()12222112t t t k t t t t --+≤=+⎛⎫-- ⎪⎝⎭令43212,22t t y t t ++-=求导得()()()()()()3324264222322442212265512221t t t t t t t t t t y t t t t -++--+++--=+'=+，令462551()h t t t t =+--，求导得534220102(3105)()6h t t t t t t t '=+-=+-令()0h t '=，解得0,1t t ==，当()0,()t h t h t '=<在上单调递减；当()0,()t h t h t '=>在上单调递增；又因为(0)1,(1)0,h h =-=所以()0h t <，因此0'<y ，即y 在[]0,1单调递减，当1t =时，y 取最小值为0，进而得到0k ≤，实数k 的最大值为0.【点睛】含参不等式恒成立问题1.对参数分类讨论2.函数恒等变形和不等式放缩法相结合解题3.参变分离和函数导数结合解题。
2017-2018学年四川省泸州市高二(下)期末数学模拟试卷(理科)(含精品解析)
为 x = 1+2 =1.5 ，1.52 - 3 < 0 ， m =1.5 ，第三次执行，其结果为 x = 1.5 +2 =1.75 ，1.752 - 3 > 0 ，
2
2
n =1.75 ，结合题中输出的 x =1.75 ，对选项一一分析，可得应该是 m - n < 0.5? ，故选 B.
点睛：该题属于程序框图填补条件的问题，在解题的过程中，需要对框图中执行的任务一一分析，对程序一 轮一轮执行，最后分析，结合选项得到选项. 10.周末，某高校一学生宿舍甲乙丙丁四位同学正在做四件事情，看书、写信、听音乐、玩游戏，下面是关 于他们各自所做事情的一些判断： ①甲不在看书，也不在写信； ②乙不在写信，也不在听音乐； ③如果甲不在听音乐，那么丁也不在看书； ④丙不在看书，也不写信.
2017-2018 学年四川省泸州市高二（下）期末数学
模拟试卷（理科）
一、选择题（共 12 小题，满分 60 分，每小题 5 分）
1.已知复数 z = 3 （ i 是虚数单位），则 z = （ ） 1- 2i
A. 3 + 6 i 55
B.
3-
6 i
55
C.
1
-
2 i
55
D. 1 + 2 i 55
【答案】B
2 2
x
与双曲线
E
:
x2 a2
-
y2 b2
=1
a > 0,b > 0
分别交于点 A, B ，若 A, B 两点在 x 轴上的
射影恰好是双曲线 E 的两个焦点，则双曲线 E 的离心率为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】A 【解析】 【分析】
优质：四川省泸州市2016-2017学年高一下学期期末考试数学试题(解析版)
1．B 【解析】1y x =-，斜率为1，故倾斜角为π4． 2．C 【解析】A ． 当m =0时,有22am bm >，故A 不对；B ． 当c <0时，有a <b ，故B 不对； C ．∵22ac bc >，∴20c ≠，不等式两边同除以2c ,得到a b >，故C 正确； D ．∵22,0a b ab >>,∴不等式两边同乘以()2ab 的倒数,得到2211a b<， 当0,0a b >>时成立，当0,0a b <<时不成立，故D 不对．故选C ．7．A 【解析】∵3BC CD = ∴AC −−AB =3(AD −−AC )； ∴AD =43AC −−13AB ． 故选：C ．8．B 【解析】因为21133tan ,tan tan2173419αββ==⇒==-，所以()1342174tan 2113285174αβ+++===--⨯，且30tan2120,44πββ⎛⎫<=<⇒∈ ⎪⎝⎭，所以320,4παβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则24παβ+=，应选答案B ． 9．D 【解析】A ：m ⊥α，n?β，m ⊥n 时，α、β可能平行，也可能相交，不一定垂直，故A 不正确 B ：当α⊥β，α∩β=m 时，若n ⊥m ，n?α，则n ⊥β，但题目中无条件n?α，故B 也不一定成立， C ：α⊥β，m ⊥α，n ∥β时，m 与n 可能平行、相交或异面，不一定垂直，故C 错误D ：α∥β，m ⊥α，n ∥β时，m 与n 一定垂直，故D 正确 故选D ．10．C 【解析】画出函数()211,1{42,1x x f x x x x -+<=-+≥的图像如图，结合图像可以看出函数12x y -=的图像与函数()211,1{42,1x x f x x x x -+<=-+≥的图像只有两个交点，所以应选答案B ．点睛：解答本题的难点在于准确地在同一平面直角坐标系中画出函数()211,1{42,1x x f x x x x -+<=-+≥的图像和函数12xy -=的图像，然后借助函数图像的直观，数形结合，进而确定两个函数的图像的交点的个数，即方程()12xf x -=的解的个数，也即函数()()12xg x f x -=-的零点的个数，从而使得问题巧妙获解．所以5210d d ππ=-⇒=-，故对称轴方程故等差数列的前n 项和是()112n n n S na d -=+，即221222020n d d S n a n n a n ππ⎛⎫⎛⎫=+-=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其对称轴是1202a n ππ+=，由题设可得 1202123222a ππ+<<，即11110a ππ<<，应选答案D ． 点睛：解答本题的关键是先借助三角变换中的两角和差的余弦公式、余弦二倍角公式、积化和差与和差化积公式等三角变换公式进行化简，再借助差数列的定义和性质求出等差数列的公差10d π=-，然后将等差数列的前n 项和公式()112n n n S na d -=+变形为221222020n d d S n a n n a n ππ⎛⎫⎛⎫=+-=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，借助对称轴11n =的位置建立不等式组1202123222a ππ+<<，进而求得数列首项的取值范围是11110a ππ<<．13．【解析】由球体的对称性可知圆柱的高即为球心到两底面圆心的距离，设圆柱的底面半径是r ，球心到底面的距离是d ，由球心距离、截面圆的半径、球半径之间的关系可得224r d +=，由题设可得2282r d rd ππ⨯=⇒=，则2244r r d r+=⇒==，故圆柱的体积22V r d π=⨯=，应填答案．16．2,⎡⎣【解析】由题设可知动直线10mx y +-=经过定点()0,1A ，动直线20x my m -++=经过定点()2,1B -，则()022AB =--=，又当0m ≠时，两直线的斜率12121,1k m k k k m=-=⇒=-，即两动直线互相垂直；当0m =时，两动直线分别为1,2y x ==-，则两动直线也互相垂直；故两动直线的交点(),P x y 在以2AB =为直径的圆上，所以22||4PA PB +=，由基本不等式222||22PA PB PA PB ⎛⎫++⎪≥ ⎪⎝⎭可得22||2PA PB PA PB ++≤，即22PA PB +≤，又2PA PB AB +≥=（当且仅当点在直径AB 的端点上时取等号），所以222PA PB ≤+≤，应填答案2,⎡⎣．点睛：解答本题的关键是先判断两条动直线的位置关系是互相垂直，进而确定交点(),P x y 在以AB 为直径的圆上，从而求出22||4PA PB +=，然后借助基本不等式222||22PA PB PA PB ⎛⎫++⎪≥ ⎪⎝⎭及三角形两边之和大于第三边2PA PB AB +≥=等几何结论，从而求得222PA PB ≤+≤，进而确定PA PB +的取值范围使得问题获解．解：（Ⅰ）∵点()1,5A ∴250m -+=即3m = ∴BC 直线为： 230x y -+=∴20{230x y x y -=-+=解之得： 2{1x y =-=-∴点B 标为()2,1--（Ⅱ）由几何关系得：设BA 直线倾斜角为,BC α直线倾斜角为β()()tan tan ABC αβ∠=-， 1tan 2,tan 2αβ== tan tan 1tan tan αβαβ-=+1221122-=+⨯34=∴4cos 5ABC ∠=故：解BA 向量BC 方向上的投影为： cos BA ABC ∠=45=解（Ⅰ）由0211π≤-≤得112x ≤≤ ∴1|1 2A x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭430{70x x -≥->解之得374x ≤< ∴3|7 4B x x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭∴1|72A B x x ⎧⎫⋃=≤<⎨⎬⎩⎭（Ⅱ）由()()22110x a x a a -+++≤得()()10x a x a ⎡⎤--+≤⎣⎦解之得： 1a x a ≤≤+ ∴{}| 1 c x a x a ≤≤+ ∵A c ≤∴1{ 211a a ≤+≥解之得： 102a ≤≤即a 的取值范围为： 1|0 2a a ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭19．【解析】试题分析：（I ）根据余弦定理，求得2AP = ，则△APC 是等边三角形．，故60ACP ︒∠=（II ）由题意可得120APB ︒∠=，又由1sin 2APBSAP PB APB =⋅⋅⋅∠=，可得以3PB =，再结合余弦定理可得AB =sin sin AB PBAPB BAP=∠∠ ，即可得到sin BAP ∠的值(Ⅱ) 法1: 由于APB ∠是△APC 的外角, 所以120APB ︒∠=．因为△APB , 所以1sin 2AP PB APB ⋅⋅⋅∠= 所以3PB =．在△APB 中, 2222cos AB AP PB AP PB APB =+-⋅⋅⋅∠ 2223223cos120︒=+-⨯⨯⨯ 19=,所以AB = 在△APB 中, 由正弦定理得sin sin AB PBAPB BAP=∠∠,所以sin BAP∠==．所以sinBDBADAB∠==, cosADBADAB∠==所以()sin sin30BAP BAD︒∠=∠-sin cos30cos sin30BAD BAD︒︒=∠-∠12=-=20．【解析】【试题分析】（Ⅰ）先依据题设条件求出12n na a+=，再运用等比数列的定义推得12nnaa+=即数列{}n a是以2为首项，公比为2的等比数列，进而求出其通项公式2nna=；（Ⅱ）先求出12 2nn n n C n n S c c c=⨯=++⋯+，再运用错位相减法及等比数列的的前项和公式进行求解：·解（Ⅰ）设数列nb的公差为d，首项为1b13224b b b+==22b=∴6262144b b d --=== ∴11b = ∴()11n b b n d n =+-= ∴1122a b == 又∵12n n a a += ∴12n na a += ∴n a 是以2为首项，公比为2的等比数列 ∴2n n a =21．【解析】【试题分析】（Ⅰ）先运用线面垂直的性质定理证明CQ BE ⊥，再运用等腰三角形的性质证明CQ AB ⊥，进而运用线面垂直的判定定理证明CQ ⊥平面ABE ；（Ⅱ）先求三棱锥的高·sin3AM AC π==和底面三角形CED 面积11212CDE S ∆=⨯⨯=，用三棱锥的体积公式求出体积；（Ⅲ）先运用二面角平面角的定义找出二面角A DE B --的平面角AQM ∠，再构造直角三角形AQM ，运用相似三角形的性质求出QM =，最后运用解直角三角形的正切函数的定义求出tan AMAQM QM∠===：（Ⅱ）过点A 作AM BC ⊥交BC 延长线于点M ∵,AM BC AM BE ⊥⊥ ∴AM ⊥平面BEDC ∴1·3A CED CDE V S AM -∆=·sin3AM AC π==， 11212CDE S ∆=⨯⨯=∴113A CED V -=⨯=（Ⅲ）延长ED 交BC 延长线于S ，过点M 作MQ ES ⊥于Q ，连结AQ 由（Ⅱ）可得： AQM ∠为A DE B --的平面角 ∵1//2CD BC ∴2SC CB ==∴SE ==1MC MS ==∵SQM ∆∽SBE ∆ ∴QM SMBE SE=∴2QM =即QM =∴tan AMAQM QM∠===22．【解析】【试题分析】（Ⅰ）先取取0m n ==得()00f =，再取0m n +=得()()()00f m f n f +== ，进而可得对任意x R ∈都有()()()()0f x f x f x f x +-=-=-，即，运用定义可证()f x 为R 上奇函数；（Ⅱ）先借助函数的奇偶性、单调性将不等式()()()180f g t f t m -++<进行等价转化为 ()1)8g t t m ->--，再将不等式中的参数m 分离出来，将该不等式化为“22101m t t >-+在[]1,4-上恒成立”问题，最后通过求函数2)2101t t t ϕ=-+（的值域即可；（Ⅲ）先依据题设条件将123,,M M M 的解析式化简求出，再进行分析比较其大小：（Ⅱ）∵()()()180f g t f t m -++<∴()()()()188f g t f t m f t m -<-+=--∵()f x 在R 上单减∴()1)8g t t m ->--在[]1,4t ∈-上恒成立∴()2218t t t m -->--∴()2281m t t t >---+在[]1,4-上恒成立 22101m t t >-+在[]1,4-上恒成立2)2101t t t ϕ=-+（2523222t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∴当1t =-时，()max 13t ϕ=∴13m >即()13,m ∈+∞()()()()221202221M F b F b F b F b =-+-()()()()250249250251F b F b F b F b ++-+- ()()2992100F b F b ++-()()()()250202502100F b F b F b F b =-+-()()22212012F F F ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭12002=⨯-- 1=点睛：本题以具有单调性的抽象函数（没有给出函数解析式的函数）为背景，构造了函数()()22g x x x =-，要求确定函数的奇偶性，进而借助函数的单调性与奇偶性进行分析问题和解决问题的的问题．解答第一问时先取取0m n ==得()00f =，再取0m n +=得()()()00f m f n f +==，进而可得对任意x R ∈都有 ()()()()0f x f x f x f x +-=-=-，即，运用定义可证()f x 为R 上奇函数；求解地二问时先借助函数的奇偶性、单调性将不等式()()()180f g t f t m -++<进行等价转化为()1)8g t t m ->--，再将不等式中的参数m 分离出来，将该不等式化为“22101m t t >-+在[]1,4-上恒成立”问题，最后通过求函数 2)2101t t t ϕ=-+（值域求出()13,m ∈+∞；解答第三问时，先充分依据和借助题设条件将123,,M M M 的解析式进行化简和求出，然后再进行分析比较其大小．。
【全国市级联考】四川省2017-2018学年高一下学期期末考试数学试题+答案
2018年春期高一期末教学质量监测试题数学一、选择题：共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知向量若，则实数A. 3B.C. 5D. 62. 在等差数列中，已知,则公差=A. B. C. 4 D.3. 在中，所对的边分别为，若则A. B. C. D.4. 在长方体中，底面为正方形，则异面直线与所成角是A. B. C. D.5. 已知正方形的边长为，为的中点, 则A. B. C. D.6. 设是空间中不同的直线，是不同的平面，则下列说法正确的是A. B.C. D.7. 四棱锥的三视图如图所示，则四棱锥的体积为A. B. C. D.8. 设，且，则A. B. C. D.9. 在中，点是上的点,且满足,,则的值分别是A. B. C. D.10. 在数列中，若，，则的值A. B. C. D.11. 如图，在四边形中，已知，，则的最小值为A. 1B. 2C. 3D. 412. 已知数列是公差不为零的等差数列，且，为其前项和，等比数列的前三项分别为，设向量()，则的最大值是A. B. C. D.二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
13. 不等式解集是__________．14. 已知满足约束条件，则的最小值是__________．15. 若互不相等的实数成等差数列，成等比数列，且则____．16. 在正四棱锥中,,若一个正方体在该正四棱锥内部可以任意转动，则正方体的最大棱长为________．三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. 已知向量,.（1）若与的夹角是，求；（2）若，求与的夹角.18. 在公差不为零的等差数列中，若首项，是与的等比中项.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.19. 如图，在四边形中，已知，,,.（1）求的大小；（2）若，求的面积.20. 如图所示，在四棱锥中，已知底面是矩形，是的中点，. （1）在线段上找一点,使得,并说明理由；（2）在（1）的条件下，求证.21. 已知二次函数,且不等式的解集为，对任意的都有恒成立. （1）求的解析式；（2）若不等式在上有解，求实数的取值范围.22. 设数列的前项和为，已知（），且.（1）证明为等比数列，并求数列的通项公式；（2）设，且证明；（3）在（2）小问的条件下，若对任意的，不等式恒成立，试求实数的取值范围.一、选择题：共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知向量若，则实数A. 3B.C. 5D. 6【答案】D【解析】分析：利用向量共线的条件，即可求解.详解：由题意向量，因为，所以，解得，故选D.点睛：本题主要考查了向量的共线定理及其应用，其中熟记向量的共线定理和向量的坐标运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2. 在等差数列中，已知,则公差=A. B. C. 4 D.【答案】A【解析】分析：由题意，利用等差数列的通项公式，列出方程组，即可得到答案.详解：由题意，等差数列中，，则，解得，故选A.点睛：本题主要考查了等差数列的通项公式的应用，其中熟记等差数列的通项公式，列出方程组求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力属于基础题.3. 在中，所对的边分别为，若则A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据三角形的正弦定理，得，即，即可求解.详解：在中，由正弦定理可得，即，又由，且，所以，故选B.点睛：本题主要考查了利用正弦定理解三角形问题，其中认真分析题设条件，恰当的选择正弦定理求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.4. 在长方体中，底面为正方形，则异面直线与所成角是A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据长方体的性质，把异面直线与所成的角，转化为与所成的角，在直角三角形中，即可求解.详解：由题意，在长方体中，，所以异面直线与所成的角，即为与所成的角，在直角中，因为底面为正方形，所以为等腰直角三角形，所以，即异面直线与所成的角为，故选A.点睛：本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中根据几何体的结构特征，把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角，利用解三角形的知识求解是解答的关键，着重考查了转化思想方法，以及推理与计算能力.5. 已知正方形的边长为，为的中点, 则A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据向量的加法法则，可得，再根据向量的数量积的运算性质，即可求解.详解：由题意，因为为的中点，根据向量的加法法则，可得，所以，故选A.点睛：本题主要考查了平面向量的基本定理和平面向量的数量积的运算，其中熟记平面向量的基本定理和数量积的运算公式是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6. 设是空间中不同的直线，是不同的平面，则下列说法正确的是A. B.C. D.【答案】D【解析】分析：利用线面位置关系的判定定理和性质定理，逐一判，定即可得到答案.详解：由题意，由于是空间不同的直线，是不同的平面，A中，或，所以不正确；B中，，则是平行直线或异面直线，所以不正确；C中，或相交，所以不正确；D中，，由面面平行的性质定理得，所以是正确的，故选D.点睛：本题主要考查了空间中点、线、面的位置关系的判定，其中熟记空间中点、线、面位置的判定定理和性质定理是解答此类问题的关键，着重考查了推理与论证能力，属于中档试题.7. 四棱锥的三视图如图所示，则四棱锥的体积为A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由已知中的几何体的三视图可知，该几何体表示一个底面为边长为1的正方形，高为1的四棱锥，利用椎体的体积公式，即可求解其体积.详解：由题意，根据给定的几何体的三视图可知，该几何体表示一个底面为边长为1的正方形，高为1的四棱锥，所以几何体的体积为，故选B.点睛：在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑.求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解.8. 设，且，则A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：根据不等式的性质及指数函数的单调性，即可得到答案.详解：由题意，，且，A中，如，所以，所以不正确；B中，如，所以，所以不正确；C中，由，符号不能确定，所以不正确；D中，由指数函数为单调递增函数，且，所以是正确的，故选D.点睛：本题主要考查了不等式的性质，以及指数函数的单调性的应用，其中熟记不等式的基本性质和函数的单调性的应用是解答的关键，着重考查了推理，与论证能力，以及分析问题和解答问题的能力.9. 在中，点是上的点,且满足,,则的值分别是A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：利用平面向量的三角形法则和向量的共线定理，即可得出结论.详解：由题意，在中，为上的点，且满足，则，又由，所以，所以，故选C.点睛：本题主要考查平面向量的三角形法则的运算，以及平面向量的基本定理的应用，其中熟记平面向量的运算法则和平面向量的基本定理的应用是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.10. 在数列中，若，，则的值A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由叠加法求得数列的通项公式，进而即可求解的和.详解：由题意，数列中，，则，所以所以，故选A.点睛：本题主要考查了数列的综合问题，其中解答中涉及到利用叠加法求解数列的通项公式和利用裂项法求解数列的和，正确选择方法和准确运算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.11. 如图，在四边形中，已知，，则的最小值为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】分析：建立平面直角坐标系，设出点的坐标，利用不等式求解，即可得到答案.详解：建立如图所示的平面直角坐标系，设点，因为，所以，则，所以，又由，所以，即的最大值为，所以，即的最小值为3，故选C.点睛：本题主要考查了平面向量的基本定理的应用，以及平面向量的数量积的运算和不等式的应用，其中建立直角坐标系转化为向量的坐标运算，合理利用不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.12. 已知数列是公差不为零的等差数列，且，为其前项和，等比数列的前三项分别为，设向量()，则的最大值是A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据题意利用等比中项公式求解，进而得到等差数列的通项公式和前n项和，求解向量的坐标，利用向量模的运算公式，转化为二次函数求解最值，即可求解.详解：由题意构成等比数列，所以，即，解得，又由，所以，所以，所以，所以，由二次函数的性质，可得当取得最大值，此时最大值为，故选B.点睛：本题主要考查了等差数列的通项公式和等差数列的前项和公式，以及向量的模的计算等知识点的综合应用，其中熟记等差、等比数列的通项公式和前项和公式，以及向量的基本运算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。