福建莆田中考数学题解析
莆田中考数学试题及答案
莆田中考数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是正确的比例关系？A. 2:3 = 4:6B. 3:4 = 6:8C. 5:7 = 10:14D. 8:9 = 16:18答案：C2. 如果一个数的平方等于这个数本身，那么这个数可能是：A. 0B. 1C. -1D. 以上都是答案：D3. 一个圆的直径是10厘米，那么它的周长是：A. 31.4厘米B. 62.8厘米C. 314厘米D. 628厘米答案：B4. 下列哪个方程的解是x=2？A. 2x + 3 = 7B. 3x - 5 = 1C. 4x = 8D. 5x - 10 = 0答案：C5. 一个班级有40名学生，其中20名男生和20名女生。
随机选择一名学生，是男生的概率是：A. 0.5B. 0.4C. 0.25D. 0.8答案：A6. 一个长方体的长、宽、高分别是5厘米、4厘米和3厘米，那么它的体积是：A. 60立方厘米B. 120立方厘米C. 180立方厘米D. 240立方厘米答案：A7. 如果一个角的补角是120度，那么这个角的度数是：A. 60度B. 30度C. 90度D. 120度答案：B8. 下列哪个选项是正确的三角函数关系？A. sin(30°) = 1/2B. cos(45°) = √2/2C. tan(60°) = √3D. All of the above答案：D9. 一个等腰三角形的两个底角相等，如果其中一个底角是40度，那么顶角的度数是：A. 100度B. 80度C. 60度D. 40度答案：B10. 如果一个数的立方等于8，那么这个数是：A. 2B. -2C. 1/2D. -1/2答案：A二、填空题（每题3分，共15分）11. 一个数的相反数是-5，那么这个数是________。
答案：512. 如果一个数的绝对值是7，那么这个数可能是________或________。
福建省莆田市2019-2020学年中考第四次质量检测数学试题含解析
福建省莆田市2019-2020学年中考第四次质量检测数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．a≠0，函数y＝ax与y＝﹣ax2+a在同一直角坐标系中的大致图象可能是（）A．B．C．D．2．如图，小颖为测量学校旗杆AB的高度，她在E处放置一块镜子，然后退到C处站立，刚好从镜子中看到旗杆的顶部B．已知小颖的眼睛D离地面的高度CD＝1.5m，她离镜子的水平距离CE＝0.5m，镜子E离旗杆的底部A处的距离AE＝2m，且A、C、E三点在同一水平直线上，则旗杆AB的高度为（）A．4.5m B．4.8m C．5.5m D．6 m3．如图，将△OAB绕O点逆时针旋转60°得到△OCD，若OA＝4，∠AOB＝35°，则下列结论错误的是()A．∠BDO＝60°B．∠BOC＝25°C．OC＝4 D．BD＝44．如图，△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△AB′C′，若∠BAC＝90°，AB＝AC2，则图中阴影部分的面积等于( )A．2﹣2B．1 C．2D．2﹣l5．利用运算律简便计算52×（–999）+49×（–999）+999正确的是A．–999×（52+49）=–999×101=–100899B．–999×（52+49–1）=–999×100=–99900C．–999×（52+49+1）=–999×102=–101898D．–999×（52+49–99）=–999×2=–19986．一、单选题点P（2，﹣1）关于原点对称的点P′的坐标是（）A．（﹣2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣1，2）D．（1，﹣2）7．一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为（）A．20 B．24 C．28 D．308．观察图中的“品”字形中个数之间的规律，根据观察到的规律得出a的值为A．75 B．89 C．103 D．1399．有两把不同的锁和三把钥匙，其中两把钥匙恰好分别能打开这两把锁，第三把钥匙不能打开这两把锁，任意取出一把钥匙去开任意的一把锁，一次打开锁的概率是（）A．12B．13C．29D．1610．如图，已知线段AB，分别以A，B为圆心，大于12AB为半径作弧，连接弧的交点得到直线l，在直线l上取一点C，使得∠CAB＝25°，延长AC至点M，则∠BCM的度数为( )A．40°B．50°C．60°D．70°11．上周周末放学，小华的妈妈来学校门口接他回家，小华离开教室后不远便发现把文具盒遗忘在了教室里，于是以相同的速度折返回去拿，到了教室后碰到班主任，并与班主任交流了一下周末计划才离开，为了不让妈妈久等，小华快步跑到学校门口，则小华离学校门口的距离y与时间t之间的函数关系的大致图象是（）A． B． C． D．12．下面的几何图形是由四个相同的小正方体搭成的，其中主视图和左视图相同的是() A．B．C．D．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．某厂家以A、B两种原料，利用不同的工艺手法生产出了甲、乙两种袋装产品，其中，甲产品每袋含1.5千克A原料、1.5千克B原料；乙产品每袋含2千克A原料、1千克B原料．甲、乙两种产品每袋的成本价分别为袋中两种原料的成本价之和．若甲产品每袋售价72元，则利润率为20%．某节庆日，厂家准备生产若干袋甲产品和乙产品，甲产品和乙产品的数量和不超过100袋，会计在核算成本的时候把A原料和B原料的单价看反了，后面发现如果不看反，那么实际成本比核算时的成本少500元，那么厂家在生产甲乙两种产品时实际成本最多为_____元．14．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D．若∠A=32°，则∠D=_____度．15．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣14x+48=0的根，则该三角形的周长为_____．16．已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，7，CD⊥AB，垂足为点D，以点D为圆心作⊙D，使得点A在⊙D外，且点B在⊙D内．设⊙D的半径为r，那么r的取值范围是_________．17．如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知甲楼的高AB是120m，则乙楼的高CD是_____m（结果保留根号）18．中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．如图，根据刘徽的这种表示法，观察图①，可推算图②中所得的数值为_____．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）十八届五中全会出台了全面实施一对夫妇可生育两个孩子的政策，这是党中央站在中华民族长远发展的战略高度作出的促进人口长期均衡发展的重大举措. 二孩政策出台后，某家庭积极响应政府号召，准备生育两个小孩(假设生男生女机会均等，且与顺序无关)．(1)该家庭生育两胎，假设每胎都生育一个小孩，求这两个小孩恰好都是女孩的概率；(2)该家庭生育两胎，假设第一胎生育一个小孩，且第二胎生育一对双胞胎，求这三个小孩中恰好是2女1男的概率．20．（6分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，E为BC上一点，BE∶CE＝3∶2，连接AE，点P 从点A出发，沿射线AB的方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，过点P作PF∥BC交直线AE于点F.(1)线段AE＝______；(2)设点P的运动时间为t(s)，EF的长度为y，求y关于t的函数关系式，并写出t的取值范围；(3)当t为何值时，以F为圆心的⊙F恰好与直线AB、BC都相切？并求此时⊙F的半径．21．（6分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝10，DA＝55，求BD的长．22．（8分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1）、B（4，2）、C（3，4）．（1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，并写出B1点的坐标；（2）画出△ABC绕原点O旋转180°后得到的图形△A2B2C2，并写出B2点的坐标；（3）在x轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，并直接写出点P的坐标．23．（8分）小明和小刚玩“石头、剪刀、布”的游戏，每一局游戏双方各自随机做出“石头”、“剪刀”、“布”三种手势的一种，规定“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”，相同的手势是和局．（1）用树形图或列表法计算在一局游戏中两人获胜的概率各是多少？（2）如果两人约定：只要谁率先胜两局，就成了游戏的赢家．用树形图或列表法求只进行两局游戏便能确定赢家的概率．24．（10分）如图，点A．F、C．D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC．（1）求证：四边形BCEF是平行四边形，（2）若∠ABC=90°，AB=4，BC=3，当AF 为何值时，四边形BCEF 是菱形．25．（10分）每年的6月5日为世界环保日，为了提倡低碳环保，某公司决定购买10台节省能源的新设备，现有甲、乙两种型号的设备可供选购，经调查：购买了3台甲型设备比购买2台乙型设备多花了16万元，购买2台甲型设备比购买3台乙型设备少花6万元.求甲、乙两种型号设备的价格；该公司经预算决定购买节省能源的新设备的资金不超过110万元，你认为该公司有几种购买方案；在（2）的条件下，已知甲型设备的产量为240吨/月，乙型设备的产量为180吨/月，若每月要求总产量不低于2040吨，为了节约资金，请你为该公司设计一种最省钱的购买方案.26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝x+2与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点C （2，m ）为直线y ＝x+2上一点，直线y ＝﹣12x+b 过点C ． 求m 和b 的值；直线y ＝﹣12x+b 与x 轴交于点D ，动点P 从点D 开始以每秒1个单位的速度向x 轴负方向运动．设点P 的运动时间为t 秒．①若点P 在线段DA 上，且△ACP 的面积为10，求t 的值；②是否存在t 的值，使△ACP 为等腰三角形？若存在，直接写出t 的值；若不存在，请说明理由． 27．（12分）我市某企业接到一批产品的生产任务，按要求必须在14天内完成．已知每件产品的出厂价为60元．工人甲第x 天生产的产品数量为y 件，y 与x 满足如下关系：7.5(04)510(414)x x y x x ≤≤⎧=⎨+<≤⎩工人甲第几天生产的产品数量为70件？设第x 天生产的产品成本为P 元/件，P 与x 的函数图象如图．工人甲第x 天创造的利润为W 元，求W 与x 的函数关系式，并求出第几天时利润最大，最大利润是多少？参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．D【解析】【分析】分a＞0和a＜0两种情况分类讨论即可确定正确的选项【详解】当a＞0时，函数y＝ax的图象位于一、三象限，y＝﹣ax2+a的开口向下，交y轴的正半轴，没有符合的选项，当a＜0时，函数y＝ax的图象位于二、四象限，y＝﹣ax2+a的开口向上，交y轴的负半轴，D选项符合；故选D．【点睛】本题考查了反比例函数的图象及二次函数的图象的知识，解题的关键是根据比例系数的符号确定其图象的位置，难度不大．2．D【解析】【分析】根据题意得出△ABE∽△CDE，进而利用相似三角形的性质得出答案．【详解】解：由题意可得：AE＝2m，CE＝0.5m，DC＝1.5m，∵△ABC∽△EDC，∴，即，解得：AB＝6，故选：D．【点睛】由△OAB绕O点逆时针旋转60°得到△OCD知∠AOC=∠BOD=60°，AO=CO=4、BO=DO，据此可判断C；由△AOC、△BOD是等边三角形可判断A选项；由∠AOB=35°，∠AOC=60°可判断B选项，据此可得答案．【详解】解：∵△OAB绕O点逆时针旋转60°得到△OCD，∴∠AOC=∠BOD=60°，AO=CO=4、BO=DO，故C选项正确；则△AOC、△BOD是等边三角形，∴∠BDO=60°，故A选项正确；∵∠AOB=35°，∠AOC=60°，∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=60°-35°=25°，故B选项正确.故选D．【点睛】本题考查旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等及等边三角形的判定和性质．4．D【解析】∵△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△A′B′C′，∠BAC=90°，AB=AC=2，∴BC=2，∠C=∠B=∠CAC′=∠C′=45°，AC′=AC=2，∴AD⊥BC，B′C′⊥AB，∴AD=12BC=1，AF=FC′=2AC′=1，∴DC′=AC′-AD=2-1，∴图中阴影部分的面积等于：S△AFC′-S△DEC′=12×1×1-12×（2-1）2=2-1，故选D.【点睛】此题主要考查了旋转的性质以及等腰直角三角形的性质等知识，得出AD，AF，DC′的长是解题根据乘法分配律和有理数的混合运算法则可以解答本题．【详解】原式=－999×（52+49-1）=－999×100=－1．故选B．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．6．A【解析】【分析】根据“关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数”解答．【详解】解：点P（2，-1）关于原点对称的点的坐标是（-2，1）．故选A．【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．7．D【解析】【分析】【详解】试题解析：根据题意得9n=30%，解得n=30，所以这个不透明的盒子里大约有30个除颜色外其他完全相同的小球．故选D．考点：利用频率估计概率．8．A【解析】观察可得，上边的数为连续的奇数1，3，5，7，9，11，左边的数为21，22，23，…，所以b=26=64，又因上边的数与左边的数的和正好等于右边的数，所以a=11+64=75，故选B．9．B解：将两把不同的锁分别用A与B表示，三把钥匙分别用A，B与C表示，且A钥匙能打开A锁，B钥匙能打开B锁，画树状图得：∵共有6种等可能的结果，一次打开锁的有2种情况，∴一次打开锁的概率为：13．故选B．点睛：本题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．10．B【解析】【详解】解：∵由作法可知直线l是线段AB的垂直平分线，∴AC=BC，∴∠CAB=∠CBA=25°，∴∠BCM=∠CAB+∠CBA=25°+25°=50°．故选B．11．B【解析】分析：根据题意出教室，离门口近，返回教室离门口远，在教室内距离不变，速快跑距离变化快，可得答案．详解：根据题意得，函数图象是距离先变短，再变长，在教室内没变化，最后迅速变短，B符合题意；故选B．点睛：本题考查了函数图象，根据距离的变化描述函数是解题关键．12．C【解析】试题分析：观察可得，只有选项C的主视图和左视图相同，都为，故答案选C.考点：简单几何体的三视图.二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）【解析】【分析】根据题意设甲产品的成本价格为b 元，求出b ，可知A 原料与B 原料的成本和40元，然后设A 种原料成本价格x 元，B 种原料成本价格(40﹣x)元，生产甲产品m 袋，乙产品n 袋，列出方程组得到xn ＝20n ﹣250，最后设生产甲乙产品的实际成本为W 元，即可解答【详解】∵甲产品每袋售价72元，则利润率为20%．设甲产品的成本价格为b 元， ∴72-b b＝20%， ∴b ＝60，∴甲产品的成本价格60元，∴1.5kgA 原料与1.5kgB 原料的成本和60元，∴A 原料与B 原料的成本和40元，设A 种原料成本价格x 元，B 种原料成本价格(40﹣x)元，生产甲产品m 袋，乙产品n 袋，根据题意得：10060(240)50060(802)m n m x x n m n x x +≤⎧⎨++-+=+-+⎩ ， ∴xn ＝20n ﹣250，设生产甲乙产品的实际成本为W 元，则有W ＝60m+40n+xn ，∴W ＝60m+40n+20n ﹣250＝60(m+n)﹣250，∵m+n≤100，∴W≤6250；∴生产甲乙产品的实际成本最多为5750元，故答案为5750；【点睛】此题考查不等式和二元一次方程的解，解题关键在于求出甲产品的成本价格14．1【解析】分析：连接OC ，根据圆周角定理得到∠COD=2∠A ，根据切线的性质计算即可．详解：连接OC ，由圆周角定理得，∠COD=2∠A=64°，∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD，∴∠D=90°-∠COD=1°，故答案为：1．点睛：本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．15．13【解析】【分析】利用因式分解法求出解已知方程的解确定出第三边，即可求出该三角形的周长．【详解】方程x2-14x+48=0，分解因式得：（x-6）（x-8）=0，解得：x=6或x=8，当x=6时，三角形周长为3+4+6=13，当x=8时，3+4＜8不能构成三角形，舍去，综上，该三角形的周长为13，故答案为13【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，以及三角形三边关系，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16．79 44xp p．【解析】【分析】先根据勾股定理求出AB的长，进而得出CD的长，由点与圆的位置关系即可得出结论．【详解】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90，AC=3，，∴．∵CD⊥AB，∴CD=4．∵AD•BD=CD2，设AD=x，BD=1-x．解得x=94， ∴点A 在圆外，点B 在圆内，r 的范围是7944x <<， 故答案为7944x <<． 【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．17．【解析】【分析】利用等腰直角三角形的性质得出AB=AD ，再利用锐角三角函数关系即可得出答案．【详解】解:由题意可得：∠BDA=45°，则AB=AD=120m ，又∵∠CAD=30°，∴在Rt △ADC 中，tan ∠CDA=tan30°=CD AD =解得：m ），故答案为【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出tan ∠CDA=tan30°=CD AD 是解题关键． 18．3-【解析】试题分析：根据有理数的加法，可得图②中表示（+2）+（﹣5）=﹣1，故答案为﹣1．考点：正数和负数三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）P(两个小孩都是女孩)＝14；（2）P(三个小孩中恰好是2女1男)＝38. 【解析】【分析】（1）画出树状图即可解题,（2）画出树状图即可解题.【详解】(1)画树状图如下：由树状图可知，生育两胎共有4种等可能结果，而这两个小孩恰好都是女孩的有1种可能，∴P(两个小孩都是女孩)＝14. (2)画树状图如下：由树状图可知，生育两胎共有8种等可能结果，其中这三个小孩中恰好是2女1男的有3种结果， ∴P(三个小孩中恰好是2女1男)＝38. 【点睛】本题考查了画树状图求解概率,中等难度,画出树状图找到所有可能性是解题关键. 20．（1）5；（2）()()550445544t t y t t ⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩；（3）167t =时，半径PF ＝127；t ＝16，半径PF ＝12. 【解析】【分析】（1）由矩形性质知BC=AD=5，根据BE ：CE=3：2知BE=3，利用勾股定理可得AE=5；（2）由PF ∥BE 知AP AF AB AE=，据此求得AF=54t ，再分0≤t≤4和t ＞4两种情况分别求出EF 即可得； （3）由以点F 为圆心的⊙F 恰好与直线AB 、BC 相切时PF=PG ，再分t=0或t=4、0＜t ＜4、t ＞4这三种情况分别求解可得【详解】(1)∵四边形ABCD 为矩形，∴BC ＝AD ＝5，∵BE ∶CE ＝3∶2，则BE ＝3，CE ＝2，∴AE ＝＝＝5.(2)如图1，当点P 在线段AB 上运动时，即0≤t≤4，∵PF ∥BE ， ∴＝，即＝，∴AF ＝t ，则EF ＝AE －AF ＝5－t ，即y ＝5－t(0≤t≤4)；如图2，当点P 在射线AB 上运动时，即t ＞4，此时，EF ＝AF －AE ＝t －5，即y ＝t －5(t ＞4)； 综上，()()550445544t t y t t ⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩； (3)以点F 为圆心的⊙F 恰好与直线AB 、BC 相切时，PF ＝FG ，分以下三种情况：①当t ＝0或t ＝4时，显然符合条件的⊙F 不存在；②当0＜t ＜4时，如解图1，作FG ⊥BC 于点G ，则FG ＝BP ＝4－t ，∵PF ∥BC ，∴△APF ∽△ABE ，∴＝，即＝，∴PF ＝t ，由4－t ＝t 可得t ＝，则此时⊙F 的半径PF ＝；③当t ＞4时，如解图2，同理可得FG ＝t －4，PF ＝t ，由t －4＝t 可得t ＝16，则此时⊙F 的半径PF ＝12.【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，动点的函数为题，切线的性质，相似三角形的判定与性质及分类讨论的数学思想.解题的关键是熟练掌握切线的性质、矩形的性质及相似三角形的判定与性质． 21．BD ＝41.【解析】【分析】作DM ⊥BC ，交BC 延长线于M ，连接AC ，由勾股定理得出AC 2=AB 2+BC 2=25，求出AC 2+CD 2=AD 2，由勾股定理的逆定理得出△ACD 是直角三角形，∠ACD=90°，证出∠ACB=∠CDM ，得出△ABC ∽△CMD ，由相似三角形的对应边成比例求出CM=2AB=6，DM=2BC=8，得出BM=BC+CM=10，再由勾股定理求出BD 即可．【详解】作DM ⊥BC ，交BC 延长线于M ，连接AC ，如图所示：则∠M ＝90°，∴∠DCM+∠CDM ＝90°，∵∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，∴AC 2＝AB 2+BC 2＝25，∵CD ＝10，AD ＝55 ，∴AC 2+CD 2＝AD 2，∴△ACD 是直角三角形，∠ACD ＝90°，∴∠ACB+∠DCM ＝90°，∴∠ACB ＝∠CDM ，∵∠ABC ＝∠M ＝90°，∴△ABC ∽△CMD ， ∴12AB CM =， ∴CM ＝2AB ＝6，DM ＝2BC ＝8，∴BM ＝BC+CM ＝10，∴BD 22BM DM +22108+＝41【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、勾股定理的逆定理；熟练掌握相似三角形的判定与性质，证明由勾股定理的逆定理证出△ACD是直角三角形是解决问题的关键．22．（1）画图见解析；（2）画图见解析；（3）画图见解析.【解析】【详解】试题分析：(1)、根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；(2)、根据网格结构找出点A、B、C关于原点的对称点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可；(3)、找出点A关于x轴的对称点A′，连接A′B与x轴相交于一点，根据轴对称确定最短路线问题，交点即为所求的点P的位置，然后连接AP、BP并根据图象写出点P的坐标即可．试题解析：(1)、△A1B1C1如图所示；B1点的坐标（-4,2）(2)、△A2B2C2如图所示；B2点的坐标:（-4，-2）(3)、△PAB如图所示，P（2，0）．考点：(1)、作图-旋转变换；(2)、轴对称-最短路线问题；(3)、作图-平移变换．23．（1）,13（2）29【解析】解：（1）画树状图得：∵总共有9种等可能情况，每人获胜的情形都是3种，∴两人获胜的概率都是13．（2）由（1）可知，一局游戏每人胜、负、和的机会均等，都为13．任选其中一人的情形可画树状图得：∵总共有9种等可能情况，当出现（胜，胜）或（负，负）这两种情形时，赢家产生，∴两局游戏能确定赢家的概率为：29．（1）根据题意画出树状图或列表，由图表求得所有等可能的结果与在一局游戏中两人获胜的情况，利用概率公式即可求得答案．（2）因为由（1）可知，一局游戏每人胜、负、和的机会均等，都为13．可画树状图，由树状图求得所有等可能的结果与进行两局游戏便能确定赢家的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．24．（1）见解析（2）当AF=75时，四边形BCEF是菱形．【解析】【分析】（1）由AB=DE，∠A=∠D，AF=DC，根据SAS得△ABC≌DEF，即可得BC=EF，且BC∥EF，即可判定四边形BCEF是平行四边形.（2）由四边形BCEF是平行四边形，可得当BE⊥CF时，四边形BCEF是菱形，所以连接BE，交CF 与点G，证得△ABC∽△BGC，由相似三角形的对应边成比例，即可求得AF的值.【详解】（1）证明：∵AF=DC，∴AF+FC=DC+FC，即AC=DF.∵在△ABC和△DEF中，AC=DF，∠A=∠D，AB=DE，∴△ABC≌DEF（SAS）.∴BC=EF，∠ACB=∠DFE，∴BC∥EF.∴四边形BCEF是平行四边形．（2）解：连接BE，交CF与点G，∵四边形BCEF 是平行四边形，∴当BE ⊥CF 时，四边形BCEF 是菱形.∵∠ABC=90°，AB=4，BC=3，∴2222AB +BC 4+35==.∵∠BGC=∠ABC=90°，∠ACB=∠BCG ，∴△ABC ∽△BGC ． ∴BC CG AC BC =，即3CG 53=.∴9CG 5=. ∵FG=CG ，∴FC=2CG=185， ∴AF=AC ﹣FC=5﹣18755=. ∴当AF=75时，四边形BCEF 是菱形． 25．（1）甲，乙两种型号设备每台的价格分别为12万元和10万元．（2）有6种购买方案．（3）最省钱的购买方案为，选购甲型设备4台，乙型设备6台．【解析】【分析】(1)设甲、乙两种型号设备每台的价格分别为x 万元和y 万元，根据购买了3台甲型设备比购买2台乙型设备多花了16万元，购买2台甲型设备比购买3台乙型设备少花6万元可列出方程组，解之即可；(2)设购买甲型设备m 台，乙型设备()10m -台，根据购买节省能源的新设备的资金不超过110万元列不等式，解之确定m 的值，即可确定方案；(3)因为公司要求每月的产量不低于2040吨，据此可得关于m 的不等式，解之即可由m 的值确定方案，然后进行比较，做出选择即可．【详解】(1)设甲、乙两种型号设备每台的价格分别为x 万元和y 万元，由题意得：3216263x y x y -=⎧⎨+=⎩， 解得：1210x y =⎧⎨=⎩， 则甲，乙两种型号设备每台的价格分别为12万元和10万元；(2)设购买甲型设备m 台，乙型设备()10m -台，则()121010110m m +-≤，∴5m ≤,∵m 取非负整数，∴0,1,2,3,4,5m =，∴有6种购买方案；(3)由题意：()240180102040m m +-≥，∴4m ≥，∴m 为4或5，当4m =时，购买资金为：124106108⨯+⨯=(万元)，当5m =时，购买资金为：125105110⨯+⨯=(万元)，则最省钱的购买方案是选购甲型设备4台，乙型设备6台.【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，弄清题意，找准等量关系、不等关系列出方程组与不等式是解题的关键.26．（1）4，5；（2）①7；②4或12-或12+8.【解析】【分析】()1分别令y 0=可得b 和m 的值；()2①根据ACP V 的面积公式列等式可得t 的值；②存在，分三种情况：i)当AC CP =时，如图1，ii)当AC AP =时，如图2，iii)当AP PC =时，如图3，分别求t 的值即可．【详解】()1把点()C 2,m 代入直线y x 2=+中得：m 224=+=，∴点()C 2,4，Q 直线1y x b 2=-+过点C ， 142b 2=-⨯+，b 5=； ()2①由题意得：PD t =，y x 2=+中，当y 0=时，x 20+=，x 2=-，()A 2,0∴-， 1y x 52=-+中，当y 0=时，1x 502-+=， x 10=，()D 10,0∴，AD 10212∴=+=，ACP QV 的面积为10，()112t 4102∴-⋅=， t 7=，则t 的值7秒；②存在，分三种情况：i)当AC CP =时，如图1，过C 作CE AD ⊥于E ，PE AE 4∴==，PD 1284∴=-=，即t 4=；ii)当AC AP =时，如图2，2212AC AP AP 4442===+=，1DP t 1242∴==-，2DP t 1242==+；iii)当AP PC =时，如图3，OA OB 2==Q ，BAO 45∠∴=o ，CAP ACP 45∠∠∴==o ，APC 90∠∴=o ，AP PC 4∴==，PD 1248∴=-=，即t 8=；综上，当t 4=秒或(1242-秒或(1242+秒或8秒时，ACP V 为等腰三角形．【点睛】本题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形性质，勾股定理，等腰三角形的判定，以及一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握性质及定理是解本题的关键，并注意运用分类讨论的思想解决问题．27．(1)工人甲第12天生产的产品数量为70件；(2)第11天时，利润最大，最大利润是845元．【解析】分析：（1）根据y=70求得x即可；（2）先根据函数图象求得P关于x的函数解析式，再结合x的范围分类讨论，根据“总利润=单件利润×销售量”列出函数解析式，由二次函数的性质求得最值即可．本题解析：解：(1)若7.5x＝70，得x＝>4，不符合题意；则5x＋10＝70，解得x＝12.答：工人甲第12天生产的产品数量为70件．(2)由函数图象知，当0≤x≤4时，P＝40，当4<x≤14时，设P＝kx＋b，将(4，40)、(14，50)代入，得解得∴P＝x＋36.①当0≤x≤4时，W＝(60－40)·7.5x＝150x，∵W随x的增大而增大，∴当x＝4时，W最大＝600；②当4<x≤14时，W＝(60－x－36)(5x＋10)＝－5x2＋110x＋240＝－5(x－11)2＋845，∴当x＝11时，W最大＝845.∵845>600，∴当x＝11时，W取得最大值845元．答：第11天时，利润最大，最大利润是845元．点睛：本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用，解题的关键是理解题意，记住利润=出厂价-成本，学会利用函数的性质解决最值问题．。
2024年福建莆田中考数学试题及答案(1)
2024年福建莆田中考数学试题及答案一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．下列实数中，无理数是（ ）A ．3-B ．0C ．23D 2．据《人民日报》3月12日电，世界知识产权组织近日公布数据显示，，全球PCT （《专利合作条约》）国际专利申请总量为27.26万件，中国申请量为69610件，是申请量最大的来源国．数据69610用科学记数法表示为（ ）A ．696110´B ．2696.110´C ．46.96110´D ．50.696110´3．如图是由长方体和圆柱组成的几何体，其俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ．4．在同一平面内，将直尺、含30°角的三角尺和木工角尺（CD ^DE ）按如图方式摆放，若AB P CD ，则1Ð的大小为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°5．下列运算正确的是（ ）A ．339a a a ×=B ．422a a a ¸=C ．()235a a =D ．2222a a -=6．哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在质数2，3，5中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是（ ）A ．14B ．13C ．12D ．237．如图，已知点,A B 在O e 上，72AOB Ð=°，直线MN 与O e 相切，切点为C ，且C 为»AB 的中点，则ACM Ð等于（ ）A ．18°B ．30°C ．36°D ．72°8．今年我国国民经济开局良好，市场销售稳定增长，社会消费增长较快，第一季度社会消费品零售总额120327亿元，比去年第一季度增长4.7%，求去年第一季度社会消费品零售总额．若将去年第一季度社会消费品零售总额设为x 亿元，则符合题意的方程是（ ）A ．()1 4.7%120327x +=B ．()1 4.7%120327x -=C ．1203271 4.7%x=+D ．1203271 4.7%x=-9．小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中OAB V 与ODC V 都是等腰三角形，且它们关于直线l 对称，点E ，F 分别是底边AB ，CD 的中点，OE OF ^．下列推断错误的是（ ）A ．OB OD ^B ．BOC AOBÐ=ÐC ．OE OF =D ．180BOC AOD Ð+Ð=°10．已知二次函数()220y x ax a a =-+¹的图象经过1,2a A y æöç÷èø，()23,B a y 两点，则下列判断正确的是（ ）A ．可以找到一个实数a ，使得1y a >B ．无论实数a 取什么值，都有1y a >C ．可以找到一个实数a ，使得20y <D ．无论实数a 取什么值，都有20y <二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11．因式分解：x 2+x = ．12．不等式321x -<的解集是 ．13．学校为了解学生的安全防范意识，随机抽取了12名学生进行相关知识测试，将测试成绩整理得到如图所示的条形统计图，则这12名学生测试成绩的中位数是 ．（单位：分）14．如图，正方形ABCD 的面积为4，点E ，F ，G ，H 分别为边AB ，BC ，CD ，AD 的中点，则四边形EFGH 的面积为 ．15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数ky x=的图象与O e 交于,A B 两点，且点,A B 都在第一象限．若()1,2A ，则点B 的坐标为 ．16．无动力帆船是借助风力前行的．下图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角PDA Ð为70°，帆与航行方向的夹角PDQ Ð为30°，风对帆的作用力F 为400N ．根据物理知识，F 可以分解为两个力1F 与2F ，其中与帆平行的力1F 不起作用，与帆垂直的力2F 仪可以分解为两个力1f 与21,f f 与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；2f 与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型：400F AD ==，则2f CD == ．（单位：N ）（参考数据：sin400.64,cos400.77°=°=）三、解答题：本题共9小题，共86分。
2012年福建省莆田市中考数学试卷解析版
2012年福建省莆田市中考数学试卷一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）1．（4分）（2012•莆田）下列各数中，最小的数是（）A ．﹣lB ． O C． 1 D．2．（4分）（2012•莆田）下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．（4分）（2012•莆田）下列运算正确的是（）A． 3a﹣a=3 B．a3÷a3=a C．a2•a3=a5D．（a+b）2=a2+b24．（4分）（2012•莆田）在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙、丙、丁四队女演员的人数相同，身高的平均数均为166cm，且方差分别为=1.5，=2.5，=2.9，=3.3，则这四队女演员的身高最整齐的是（） A．甲队B．乙队C．丙队D．丁队5．（4分）（2012•莆田）方程（x﹣1）（x+2）=0的两根分别为（）A． x1=﹣1，x2=2 B． x1=1，x2=2 C． x1=﹣1，x2=﹣2 D． x1=1，x2=﹣26．（4分）（2012•莆田）某几何组合体的主视图和左视图为同一个视图，如图所示，则该几何组合体的俯视图不可能是（）A．B．C．D．7．（4分）（2012•莆田）甲、乙两班学生参加植树造林．已知甲班每天比乙班少植2棵树，甲班植60棵树所用天数 A．B．C．D．8．（4分）（2012•莆田）如图，在平面直角坐标系中，A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2）．把一条长为2012个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按A﹣B﹣C﹣D﹣A ﹣…的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（）A．（1，﹣1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，﹣2）D．（1，﹣2）二、填空题（共8小题，每小题4分，满分32分）9．（4分）（2012•莆田）如图，△A′B′C′是由△ABC沿射线AC方向平移2cm得到，若AC=3cm，则A′C=_________ cm．10．（4分）（2012•莆田）2012年6月15日，中国“蛟龙号”载人潜水器在太平洋马里亚纳海沟区域进行下潜试验中，成功突破6500米深度，创中国载人深潜新纪录．将6500用科学记数法表示为_________．11．（4分）（2012•莆田）将一副三角尺按如图所示放置，则∠1=_________度．12．（4分）（2012•莆田）如果单项式x a+1y3与2x3y b是同类项，那么a b=_________．13．（4分）（2012•莆田）某学校为了做好道路交通安全教育工作，随机抽取本校100名学生就上学的交通方式进行调查，根据调查结果绘制扇形图如图所示．若该校共有1000名学生，请你估计全校步行上学的学生人数约有_________人．14．（4分）（2012•莆田）若扇形的圆心角为60°，弧长为2π，则扇形的半径为_________．15．（4分）（2012•莆田）当时，代数式的值为_________．16．（4分）（2012•莆田）点A、B均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示．若P是x轴上使得|PA﹣PB|的值最大的点，Q是y轴上使得QA+QB的值最小的点，则OP•OQ=_________．三、解答题（共9小题，满分86分）17．（8分）（2012•莆田）计算：．18．（8分）（2012•莆田）已知三个一元一次不等式：2x＞6，2x≥x+1，x﹣4＜0，请从中选择你喜欢的两个不等式，组成一个不等式组，求出这个不等式组的解集，并把解集在数轴上表示出来．19．（8分）（2012•莆田）如图，四边形ABCD是平行四边形，连接AC．（1）请根据以下语句画图，并标上相应的字母（用黑色字迹的钢笔或签字笔画）．①过点A画AE⊥BC于点E；②过点C画CF∥AE，交AD于点F；（2）在完成（1）后的图形中（不再添加其它线段和字母），请你找出一对全等三角形，并予以证明．20．（8分）（2012•莆田）已知甲、乙两个班级各有50名学生．为了了解甲、乙两个班级学生解答选择题的能力状况，黄老师对某次考试中8道选择题的答题情况进行统计分析，得到统计表如下：0 1 2 3 4 5 6 7 8甲班0 1 1 3 4 11 16 12 2乙班0 1 0 2 5 12 15 13 2（1）甲班学生答对的题数的众数是_________；（2）若答对的题数大于或等于7道的为优秀，则乙班该次考试中选择题答题的优秀率=_________（优秀率=×100%）．（3）从甲、乙两班答题全对的学生中，随机抽取2人作选择题解题方法交流，则抽到的2人在同一个班级的概率等于_________．21．（8分）（2012•莆田）如图，某种新型导弹从地面发射点L处发射，在初始竖直加速飞行阶段，导弹上升的高度y（km）与飞行时间x（s）之间的关系式为（0≤x≤10）．发射3s后，导弹到达A点，此时位于与L同一水平面的R处雷达站测得AR的距离是2km，再过3s后，导弹到达B点．（1）求发射点L与雷达站R之间的距离；（2）当导弹到达B点时，求雷达站测得的仰角（即∠BRL）的正切值．22．（10分）（2012•莆田）如图，点C在以AB为直径的半圆O上，延长BC到点D，使得CD=BC，过点D作DE⊥AB 于点E，交AC于点F，点G为DF的中点，连接CG、OF、FB．（1）求证：CG是⊙O的切线；（2）若△AFB的面积是△DCG的面积的2倍，求证：OF∥BC．23．（10分）（2012•莆田）如图，一次函数y=k1x+b的图象过点A（0，3），且与反比例函数（x＞O）的图象相交于B、C两点．（1）若B（1，2），求k1•k2的值；（2）若AB=BC，则k1•k2的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．24．（12分）（2012•莆田）（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于点D．求证：AB2=AD•AC；（2）如图②，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为BC边上的点，BE⊥AD于点E，延长BE交AC于点F．，求的值；（3）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为直线BC上的动点（点D不与B、C重合），直线BE⊥AD于点E，交直线AC于点F．若，请探究并直接写出的所有可能的值（用含n的式子表示），不必证明．25．（14分）（2012•莆田）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC四个顶点的坐标分别为O（0，0），A（0，3），B（6，3），C（6，0），抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点A．（1）求c的值；（2）若a=﹣1，且抛物线与矩形有且只有三个交点A、D、E，求△ADE的面积S的最大值；（3）若抛物线与矩形有且只有三个交点A、M、N，线段MN的垂直平分线l过点0，交线段BC于点F．当BF=1时，求抛物线的解析式．2012年福建省莆田市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）1．（4分）（2012•莆田）下列各数中，最小的数是（）A．﹣l B． O C． 1 D．考点：实数大小比较。
2020年部编人教版福建省莆田市中考数学试题有答案
莆田市2020年初中毕业（升学）考试试卷数 学 试 题（满分：150分；考试时间：120分钟）一、精心选一选：本大题共10小题，每小题4分，共40分.每小题给出的四个选项中有且只有一个选项是符合题目要求的.答对的得4分，答错、不答或答案超过一个的一律得0分. 1. 21-的绝对值为 A .21 B .21- C .2 D .-22. 下列运算正确的是A .3a －a ＝2B .a ·a 2＝a 3C .a 6÷a 3＝a 2D .(a 2)3＝a 5 3. 一组数据3，3，4，6，8，9的中位数是A .4B .5C .5.5D .64. 图中三视图对应的几何体是5. 菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是A .对边相等B .对角相等C .对角线互相平分D .对角线互相垂直6. 如图，OP 是∠AOB 的平分线，点C ，D 分别在角的两边OA ，OB 上，添加下列条件，不能判定△POC ≌△PO D 的选项是Ａ. PC ⊥OA ，PD ⊥OB Ｂ. OC ＝ODＣ. ∠OPC ＝∠OPD Ｄ. PC ＝PD7. 关于x 的一元二次方程x 2＋ax －1＝0的根的情况是A .没有实数根B .只有一个实数根C .有两个相等的实数根D .有两个不相等的实数根8. 规定：在平面内，将一个图形绕着某一点旋转一定的角度（小于周角）后能和自身重合，则称此图形为旋转对称图形.下列图形中是旋转对称图形，且有一个旋转角是60°的是A .正三角形B .正方形C .正六边形D .正十边形9. 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝4，将△ABC 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 处，EF 为折痕，若AE ＝3，则sin ∠BFD 的值为A .31B .322C .42D .53 10. 如图，在平面直角坐标系中，点A （0，2），在x 轴上任取一点M ，完成以下作图步骤：①连接AM ，作线段AM 的垂直平分线l 1，过点M 作x 轴的垂线l 2，记l 1，l 2的交点为P ；②在x 轴上多次改变点M 的位置，用①的方法得到相应的点P ，把这些点用平滑的曲线顺次连接起来，得到的曲线是A.直线B.抛物线C.双曲线D.双曲线的一支二、细心填一填：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11. 莆田市海岸线蜿蜒曲折，长达217 000米.用科学记数法表示217 000为______________.12. 在平面直角坐标系中，点P（-1，2）向右平移3个单位长度得到的点的坐标是______________.13. 已知直线a∥b，一块直角三角板ABC按如图所示放置，若∠1＝37°，则∠2＝_______________.14. 在大课间活动中，同学们积极参加体育锻炼.小红在全校随机抽取一部分同学就“一分钟跳绳”进行测试，并以测试数据为样本绘制如图所示的部分频数分布直方图（从左到右依次分为六个小组，每小组含最小值，不含最大值）和扇形统计图.若“一分钟跳绳”次数不低于130次的成绩为优秀，全校共有1200名学生，根据图中提供的信息，估计该校学生“一分钟跳绳”成绩优秀的人数为_____________人.15. 如图，CD为⊙O的弦，直径AB为4，AB⊥CD于E，∠A＝30°，则的长为_____________（结果保留π）.16. 魏朝时期，刘徽利用下图通过“以盈补虚，出入相补”的方法，即“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类”，证明了勾股定理.若图中BF＝1，CF＝2，则AE的长为__________.三、耐心做一做：本大题共10小题，共86分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.（8分）计算：0311632⎪⎭⎫ ⎝⎛+--.18.（8分）先化简，再求值：22-+x x 21412+÷---x x x ，其中x ＝-1.19.（8分）解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧->+≥-.1321,42)-x 3x x x20.（8分）小梅家的阳台上放置了一个晒衣架如图1，图2是晒衣架的侧面示意图，A ，B 两点立于地面，将晒衣架稳固张开，测得张角∠AOB ＝62°，立杆OA ＝OB ＝140cm .小梅的连衣裙穿在衣架后的总长度为122cm ，问将这件连衣裙垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面？请通过计算说明理由.（参考数据：sin59°＝0.86，cos59°＝0.52，tan59°＝1.66）21.（8分）在一次数学文化课题活动中，把一副数学文化创意扑克牌中的4张扑克牌（如图所示）洗匀后正面向下放在桌面上，从中随机抽取2张牌.请你用列表或画树状图的方法，求抽取的2张牌的数字之和为偶数的概率.22.（8分）甲车从A 地驶往B 地，同时乙车从B 地驶往A 地，两车相向而行，匀速行驶.甲车距B 地的距离y （km ）与行驶时间x （h ）之间的函数关系如图所示，乙车的速度是60 km /h .（1）（3分）求甲车的速度；（2）（5分）当甲乙两车相遇后，乙车速度变为a （km /h ），并保持匀速行驶，甲车保持不变，结果乙车比甲车晚38分钟到达终点，求a 的值.23.（8分）如图，在□ABCD 中，∠BAC ＝90°，对角线AC ，BD 相交于点P ，以AB 为直径的⊙O 分别交BC ，BD 于点E ，Q ，连接EP 并延长交AD 于点F .（1）（4分）求证：EF 是⊙O 的切线；（2）（4分）求证：EF 2＝4BP ·QP .24.（8分）如图，反比例函数x k y =（x ＞0）的图像与直线y ＝x 交于点M ，∠AMB ＝90°，其两边分别与两坐标轴的正半轴交于点A ，B ，四边形OAMB 的面积为6. （1）（3分）求k 的值；（2）（5分）若点P 在反比例函数xk y =（x ＞0）的图像上，若点P 的横坐标为3，∠EPF ＝90°，其两边分别与x 轴的正半轴，直线y ＝x 交于点E ，F .问是否存在点E ，使得PE ＝PF ？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由.25.（10分）若正方形的两个相邻顶点在三角形的同一条边上，其余两个顶点分别在三角形的另两条边上，则正方形称为三角形该边上的内接正方形.△ABC 中，设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，各边上的高分别记为h a ，h b ，h c ，各边上的内接正方形的边长分别记为x a ，x b ，x c .（1）（3分）模型探究：如图，正方形EFGH 为△ABC 边BC 上的内接正方形. 求证：a a x h a 111=+； （2）（3分）特殊应用：若∠BAC ＝90°，x b ＝x c ＝2，求cb 11+的值； （3）（4分）拓展延伸：若△ABC 为锐角三角形，b ＜c ，请你判断x b 与x c 的大小，并说明理由.26.（12分）如图，抛物线C 1：x x y 3232+-=的顶点为A ，与x 轴的正半轴交于点B .（1）（3分）将抛物线C 1上的点的横坐标和纵坐标都扩大到原来的2倍，求变换后得到的抛物线的解析式；（2）将抛物线C 1上的点（x ，y ）变为（kx ，ky ）（|k |＞1），变换后得到的抛物线记作C 2.抛物线C 2的顶点为C ，点P 在抛物线C 2上，满足S △PAC ＝S △ABC ，且∠ACP ＝90°. ①（7分）当k ＞1时，求k 的值；②（2分）当k ＜-1时，请你直接写出k 的值，不必说明理由.参考答案及评分标准：一、精心选一选：本大题共10小题，每小题4分，共40分.每小题给出的四个选项中有且只有一个选项是符合题目要求的.答对的得4分，答错、不答或答案超过一个的一律得0分.1．A 2．B 3．B 4．C 5．D 6．D 7．D 8．C 9．A 10．B二、细心填一填：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11．2．17×105 12．（2，2） 13．53° 14．480 15．32π 16．103 三、耐心做一做：本大题共10小题，共86分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．解：原式＝1423+--……………………………………………………6分＝2-.……………………………………………………………8分（注：2332-=-，416=，1310=⎪⎭⎫ ⎝⎛，每个各2分） 18．解：原式＝22-+x x )2()22)(x 1+⋅-+--x x x （…………………………………2分 ＝22-+x x 21---x x ……………………………………………………4分 ＝23-x .……………………………………………………………6分 当x ＝-1时，原式＝1213-=--.………………………………………………8分 19．解：由①得：463≥+-x x .……………………………………………1分22-≥-x .…………………………………………………2分1≤x .………………………………………………………3分由②得：3321->+x x .………………………………………………………4分4->-x .…………………………………………………………5分4<x .………………………………………………………………6分∴原不等式组的解集为1≤x .………………………………………………8分20．解：如图，过O 作OE ⊥AB 于E . ……………………………1分∵OA ＝OB ，∠AOB ＝62°，∴∠A ＝∠B ＝59°. ……………………………………………3分在Rt △AEO 中，OE ＝OA ·sin A ＝140·sin59°≈140×0.86＝120.4. ……………………6分∵120.4＜122，…………………………………………………7分∴这件连衣裙垂挂在晒衣架上会拖落到地面. ………………8分21．解：……………………4分由树状图可知，所有可能出现的结果共有12种，它们出现的可能性相等，抽取的2张牌的数字之和为偶数的有4种.P （抽取的2张牌的数字之和为偶数）＝31124=.…………………………………………………8分 22．解：（1）V 甲＝802120280=-（km /h ）.…………………………………3分 （2）相遇时间：26080280=+（h ）. …………………………………………4分 依题意得：a 280603880260⨯=+⨯.………………………………………………7分 解得a ＝75. ………………………………………………………………8分经检验得a ＝75是原分式方程的解.23．证明：（1）如图，连接AE ，OE .∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB ＝∠AEC ＝90°. ………………1分在□ABCD 中，P A ＝PC .∴P A ＝PC ＝PE .∴∠P AE ＝∠PEA . ……………………2分∵OA ＝OE ，∴∠OAE ＝∠OEA . ……………………3分∴∠OEP ＝∠OAC ＝90°.∴EF 是⊙O 的切线. …………………4分（2）连接AQ .在Rt △ABP 中，∵∠AQB ＝90°，∴△APQ ∽△BP A .∴P A 2＝BP ·QP . …………………………………………………………6分∵∠P AF ＝∠PCE , ∠APF ＝∠CPE ，P A ＝PC ，∴△AFP ≌△CEP .∴PF ＝PE ＝P A . ………………………………………………………………7分∴EF 2＝4BP ·QP . ………………………………………………………8分24．解：（1）如图1，过M 作MC ⊥x 轴于C ，MD ⊥y 轴于D .则∠MCA ＝∠MDB ＝90°，∠AMC ＝∠BMD ，MC ＝MD .∴△AMC ≌△BMD . ……………………………………………………1分∴S 四边形AMBO ＝ S 四边形CMDO ＝6. …………………………………………2分∴k ＝6. …………………………………………………………………3分（2）依题意得P （3，2）.……………………………………………4分情况1：如图2，过P 作PG ⊥x 轴于G ，过F 作FH ⊥PG 于H ，交y 轴于K .∵∠PGE ＝∠PHF ＝90°，∠EPG ＝∠PFH ，PE ＝PF ，∴△PEG ≌△FPH .∴PG ＝FH ＝2，FK ＝OK ＝3－2＝1，PH ＝GE ＝1. ………………………………5分 ∴E （4，0）. ……………………………………………………………………6分 情况2：如图3，同理可得E （6，0）. ………………………………………8分25．解：（1）在正方形EFGH 中.∵EH ∥FG ，∴△AEH ∽△ABC . ………………………………………1分∵AD ⊥BC ，∴AD AK BC EH =.………………………………………………2分 ∴a a a a h x h a x -=.∴a a x h a 111=+.…………………………………………3分 （2）方法一：由（1）得：bb x h b 111=+.…………………4分 ∵∠A ＝90°，∴c h b =.∴2111=+c b .……………………6分 方法二：如图，∵FE ∥AB ，∴△CEF ∽△CBA .∴CACF AB FE =.………………………4分 ∵x b ＝x c ＝2，∴AF ＝EF ＝2，CF ＝b －2………………………5分∴c b b 22=-.∴2111=+c b .………………………………6分 （3）x b ＞x c . ……………………………………………7分 证明：由（1）得：b b x h b 111=+，c c x h c 111=+. ∴b b b h b bh x +=，c c c h c ch x +=.………………………………………………………8分 ∵S ＝c b ch bh 2121=，∴c b ch bh =＝2S . 又∵A c h b sin ⋅=，A b h c sin ⋅=，∴S x c h b x x c b c b 2)(11+-+=-S A b c A c b 2)sin (sin +-+=SA c b 2)sin 1)((--= (9)分∵b ＜c ，A sin ＜1， ∴011<-c b x x .∴x b ＞x c . ……………………………………………………10分 26.解：（1）∵3)1(332322+--=+-=x x x y ，∴抛物线C 1经过原点O ，A （1，3）和B （2，0）三点. ………………1分∴变换后得到的抛物线经过原点O ，（2，32）和（4，0）三点. …………2分 ∴变换后得到的抛物线的解析式为x x y 32232+-=.………………………3分 （2）①当k ＞1时，∵抛物线C 2经过原点O ，（k ，3k ）和（2k ，0）三点.∴抛物线C 2的解析式为x x ky 3232+-=.……………………………………5分 ∴O ，A ，C 三点共线，且顶点C 为（k ，3k ）.解法一：如图1，∵S △PAC ＝S △ABC ，∴BP ∥AC . ……………………………………6分 过点P 作PD ⊥x 轴于D ，过B 作BE ⊥AO 于E .依题意得△ABO 是边长为2的正三角形，四边形CEBP 是矩形.∴OE ＝1，CE ＝BP ＝2k －1. …………………………7分∴BD ＝21-k ，PD ＝)12(23-k . ∴P （23+k ，)12(23-k ）. …………………………………………………8分 ∴)23(32)233)12(332+++-=-k k k k （.解得k ＝29.…………………………10分 解法二：如图2，过点C 作MN ∥x 轴，交y 轴于M ，过点P 作PN ⊥MN 于N ，过B 作BE ⊥AO 于E .∵S △PAC ＝S △ABC ，∴PC ＝BE ＝3. ……………………………………6分∵∠PCN ＝∠COM ＝30°，∴PN ＝23，CN ＝23. …………………………7分 ∴P （23+k ，)12(23-k ）. …………………………………………………8分 以下同解法一.解法三：如图3，过点C 作CM ⊥x 轴交BP 于M ，则四边形OBMC 为平行四边形. ∴CM ＝OB ＝2，∠CMP ＝60°. ∴MP ＝1.……………………………………6分 ∴BP ＝12-k . …………………………7分∴P （23+k ，)12(23-k ）. …………………………………………………8分 以下同解法一.解法四：如图4，过点C 作CM ∥x 轴于M ，过点P 作PN ⊥CM 于N ，过B 作BE ⊥AO 于E .∵S △PAC ＝S △ABC ，∴PC ＝BE ＝3. ……………………………………6分∵∠CPN ＝∠OCM ＝30°，∴CN ＝23，PN ＝23. …………………………7分 ∴P （23+k ，)12(23-k ）. …………………………………………………8分 以下同解法一.解法五：如图1，设P （x ，x x k3232+-），则BD ＝2-x ，PB ＝CE ＝12-k . ∵PD ＝3BD ，∴x x k3232+-＝3（2-x ），整理得022=--k kx x . ① ∵PB ＝2BD ，∴12-k ＝2（2-x ），整理得23+=k x . ② 联立①②，解得k ＝29. ②k ＝29-.…………………………………………………………………………12分。
福建省莆田市中考数学试卷及答案
福建省莆田市中考数学试卷及答案（满分：150分，考题时间：120分钟）一、细心填一填（本大题共10小题，每小题4分，共40分．直接把答案填在题中的横线上．）1．3-的相反数是 ．2．莆田市参加初中毕业、升学考题的学生总人数约为43000人，将43000用科学记数法表示是___________．3．在组成单词“Probability ”（概率）的所有字母中任意取出一个字母，则取到字母“b ”的概率是 ．4．如图，A B 、两处被池塘隔开，为了测量A B 、两处的距离，在AB 外选一适当的点C ，连接AC BC 、，并分别取线段AC BC 、的中点E F 、，测得EF =20m ，则AB =__________m ．5．一罐饮料净重500克，罐上注有“蛋白质含量≥0.4%”，则这罐饮料中蛋白质的含量至少为__________克．6．如图，菱形ABCD 的对角线相交于点O ，请你添加一个条件： ，使得该菱形为正方形．7．甲、乙两位同学参加跳高训练，在相同条件下各跳10次，统计各自成绩的方差得22S S <乙甲，则成绩较稳定的同学是___________．（填“甲”或“乙”）8．已知1O ⊙和2O ⊙的半径分别是一元二次方程()()120x x --=的两根，且122O O =，则1O ⊙和2O ⊙的位置关系是 ．9．出售某种文具盒，若每个获利x 元，一天可售出()6x -个，则当x = 元时，一天出售该种文具盒的总利润y 最大．10．如图，在x 轴的正半轴上依次截取112233445OA A A A A A A A A ====，过点12345A A A A A 、、、、分别作x 轴的垂线与反比例函数()20y x x =≠的图象相交于点12345P P P P P 、、、、，得直角三角形1112233344455OP A A P A A P A A P A A P A 2、、、、，并设其面积分别为12345S S S S S 、、、、，则5S 的值为 ．二、精心选一选（本大题共6小题，每小题4分，共24分，每小题给出的四个选项中有且只有一个是正确的，请把正确选项的代号写在题后的括号内，答对的得4分；答错、不答或(第4题图) A BDD C BA O （第6题图）O（第10题图）2答案超过一个的一律得0分）．11x 的取值范围是（ ）A ．x ≥0B ．0x <C ．0x ≠D ．0x > 12．下列各式运算正确的是（ ）A ．22a a a ÷= B ．()2224aba b =C ．248a a a ·= D ．55ab b a -= 13．如图是一房子的示意图，则其左视图是（ ）A ．B ．C ． Ｄ． 14．某班5位同学参加“改革开放30周年”系列活动的次数依次为12333、、、、，则这组数据的众数和中位数分别是（ ）A ．22、B ． 2.43、 C．32、 D ．33、15．不等式组2410x x <⎧⎨+>⎩，的解集在数轴上表示正确的是（ ）A ．CD16．如图1，在矩形MNPQ 中，动点R 从点N 出发，沿N →P →Q →M 方向运动至点M 处停止．设点R 运动的路程为x ，MNR △的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图2所示，则当9x =时，点R 应运动到（ ）A ．N 处B ．P 处C ．Q 处D ．M 处三、耐心做一做（本大题共9小题，共86分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（8分）计算：0133⎛⎫ ⎪⎝⎭．（第16题图）（图1）18．（8分）先化简，再求值：2244242x x x x x x +++÷---，其中1x =．19．（8分）已知：如图在ABCD 中，过对角线BD 的中点O 作直线EF 分别交DA 的延长线、AB DC BC 、、的延长线于点E M N F 、、、．（1）观察图形并找出一对全等三角形：△________≌△____________，请加以证明； （2）在（1）中你所找出的一对全等三角形，其中一个三角形可由另一个三角形经过怎样的变换得到？20．（8分）（1）根据下列步骤画图．．并标明相应的字母:（直接在图１中画图） ①以已知线段AB （图1）为直径画半圆O ；②在半圆O 上取不同于点A B 、的一点C ，连接AC BC 、； ③过点O 画OD BC ∥交半圆O 于点D ． （2）尺规作图．．：（保留作图痕迹，不要求写作法、证明） 已知：AOB ∠（图2）． 求作：AOB ∠的平分线．图2OBABA图1 （第20题图）E B M OD N FC （第19题图） A21．（8分）某校课题研究小组对本校九年级全体同学体育测试情况进行调查，他们随机抽查部分同学体育测试成绩（由高到低分A B C D 、、、四个等级），根据调查的数据绘制成如下的条形统计图和扇形统计图．请根据以上不完整的统计图提供的信息，解答下列问题：（1）该课题研究小组共抽查了__________名同学的体育测试成绩，扇形统计图中B 级所占的百分比b =___________； （2）补全条形统计图；（3）若该校九年级共有400名同学，请估计该校九年级同学体育测试达标（测试成绩C 级以上，含C 级）约有___________名． 22．（10分）已知，如图，BC 是以线段AB 为直径的O ⊙的切线，AC 交O ⊙于点D ，过点D 作弦DE AB ⊥，垂足为点F ，连接BD BE 、．． （1）仔细观察图形并写出四个不同的正确结论：①________，②________ ，③________，④____________（不添加其它字母和辅助线，不必证明）； （2）A ∠=30°，CD，求O ⊙的半径r ．（第22题图）（第21题图）23．（10分）面对全球金融危机的挑战，我国政府毅然启动内需，改善民生．国务院决定从2月1日起，“家电下乡”在全国范围内实施，农民购买人选产品，政府按原价购买总额的．．．．．13%．．．给予补贴返还．某村委会组织部分农民到商场购买人选的同一型号的冰箱、电视机两种家电，已知购买冰箱的数量是电视机的2倍，且按原价购买冰箱总额为40000元、电视机总额为15000元．根据“家电下乡”优惠政策，每台冰箱补贴返还的金额比每台电视机补贴返还的金额多65元，求冰箱、电视机各购买多少台？（2）列出方程（组）并解答．24.（12分）已知：等边ABC △的边长为a ． 探究（1）：如图１，过等边ABC △的顶点A B C 、、依次作AB BC CA 、、的垂线围成MNG △，求证：MNG △是等边三角形且．MN =；探究（2）：在等边ABC △内取一点O ，过点O 分别作OD AB OE BC OF CA ⊥⊥⊥、、，垂足分别为点D E F 、、．①如图2，若点O 是ABC △的重心，我们可利用三角形面积公式及等边三角形性质得到两个正确结论（不必证明）：结论1．OD OE OF ++=；结论2．32AD BE CF a ++=； ②如图3，若点O 是等边ABC △内任意一点，则上述结论12、是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．NM A G CB A FC E BD A F CE B D（图1） （图2） （图3） （第24题图）O A F CE BD （图4）O O25．（14分）已知，如图1，过点()01E -，作平行于x 轴的直线l ，抛物线214y x =上的两点A B 、的横坐标分别为-1和4，直线AB 交y 轴于点F ，过点A B 、分别作直线l 的垂线，垂足分别为点C 、D ，连接CF DF 、．（1）求点A B F 、、的坐标； （2）求证：CF DF ⊥；（3）点P 是抛物线214y x =对称轴右侧图象上的一动点，过点P 作PQ PO ⊥交x 轴于点Q ，是否存在点P 使得OPQ △与CDF △相似？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（图1）备用图（第25题图）参照答案说明：（一）考生的解法与“参照答案”不同时，可参照“答案的评分标准”的精神进行评分 （二）如解答的某一步计算出现错误，这一错误没有改变后续部分的考查目的，可酌情给分，但原则上不超过后面应得分数的二分之一；如属严重的概念性错误，就不给分． （三）以下解答各行右端所注分数表示正确做完该步骤应得的累计分数． （四）评分的最小单位是１分，得分或扣分都不能出现小数． 一、细心填一填（本大题共10小题，每小题4分，共40分．）1．3 2．44.310⨯（不必考虑有效数字） 3．2114．40 5．2 6．AB BC ⊥或AC BD =或AO BO =等 7．甲 8．相交 9．3 10．15二、精心选一选（本大题共6小题，每小题4分，共24分．） 11．A 12．B 13．C 14．D 15．A 16．C 三、耐心做一做（本题共9小题，共86分）17．（1）解：原式=341+ ························ 6分=···························· 8分注：33=（2分）4=（2分），13⎛⎫ ⎪⎝⎭=1（2分）18.解：原式=()()()222222x x x x x x +-⨯-+-+···················· 6分=1x - ····························· 7分当1x =时原式=110-= ························ 8分 注：()()()22222442422?22x x x x x x x x x x +-++=+-=+-÷=⨯-+、、？（各2分） 19． （1）DOE BOF ①△≌△； ······ 2分证明：∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD BC ∥ ··········· 3分 ∴EDO FBO E F ∠=∠∠=∠， ········ 4分又∵OD OB =∴()DOE BOF AAS △≌△ ····················· 5分BOM DON ②△≌△ ························ 2分证明：∵四边形ABCD 是平行四边形∴AB CD ∥ ···························· 3分∴MBO NDO BMO DNO ∠=∠∠=∠， ················ 4分 又∵BO DO =EB M O DNFC（第19题图）A∴()BOM DON AAS △≌△ ····················· 5分ABD CDB ③△≌△； ······················· 2分证明：∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD CB AB CD ==， ······················· 3分又∵BD DB = ··························· 4分∴()ABD CDB SSS △≌△ ······················ 5分 （2）绕点O 旋转180°后得到或以点O 为中心作对称变换得到． ········ 8分 20．（1）正确完成步骤①、②、③，各得1分，字母标注完整得1分，满分4分．（2）说明：①以点O 为圆心，以适当长为半径作弧交OA OB 、于两点C D 、 ··· 5分②分别以点C D 、为圆心，以大于12CD 长为半径作弧， 两弧相交于点E ······················· 7分③作射线OE ························· 8分21．（1）80 ······················ 2分40% ························· 4分 （2）补全条形图（如右图） ··············· 6分（3）380 ························ 8分 22．（1）BC AB AD BD ⊥⊥，，DF FE BD BE ==，，BDF BEF △≌△， BDF △∽BAD △，BDF BEF ∠=∠，A E DE BC ∠=∠，∥等 （每写出一个正确结论得１分，满分４分．） （2）解:AB 是O ⊙的直径90ADB ∴∠=° ········ 5分又30E ∠=°30A ∴∠=° ····················· 6分12BD AB r ∴== ··················· 7分 又BC 是O ⊙的切线90CBA ∴∠=° ····················· 8分 60C ∴∠=︒在Rt BCD △中，3CD =（第22题图）B A 图1 （第20题图） 图2 O B A E D OC CD（第21题图）tan 602BD rDC ∴==° ···························· 9分 2r ∴= ··································· 10分 23（2）解:依题意得2x -65x= ················ 7分解得10x = ·································· 8分经检验10x =是原分式方程的解 ························· 9分220x ∴=． 答:冰箱、电视机分别购买20台、10台 ·········· 10分 24．证明：如图1，ABC △为等边三角形 60ABC ∴∠=°BC MN BA MG ⊥⊥，∴90CBM BAM ∠=∠=° 9030ABM ABC ∴∠=∠=︒°- ············· 1分9060M ABM ∴∠=︒∠=︒- ·············· 2分 同理：60N G ∠=∠=︒ MNG ∴△为等边三角形． ··························· 3分 在Rt ABM △中，sin sin 603AB a BM a M ===︒在Rt BCN △中，tantan 60BC a BN N ===︒ ················· 4分 MNBM BN ∴=+= ·························· 5分（2）②：结论1成立.证明；方法一：如图2，连接AO BO CO 、、 由ABC AOB BOC AOC S S S S =++△△△△=()12a OD OE OF ++ ··· 7分 作AH BC ⊥，垂足为H ，则sin sin 60AH AC ACB a =∠=⨯︒= 11222ABC S BC AH a ∴==△·· N MA G CB （图1） A FCE BD（图2）OH()11222a OD OE OF a ∴++=·2OD OE OF ∴++=···························· 8分 方法二：如图3，过点O 作GH BC ∥，分别交AB AC 、于点G H 、，过点 H 作HM BC ⊥于点M ， 6060DGO B OHF C ∴∠=∠=∠=∠=°，° AGH ∴△是等边三角形GH AH ∴= ···················6分 OE BC ⊥ OE HM ∴∥∴四边形OEMH 是矩形HM OE ∴= ··················· 7分在Rt ODG △中，sin sin 602OD OGDGO OG =∠=︒=·· 在Rt OFH △中，sin sin 602OF OHOHF OH =∠=︒=·· 在Rt HMC △中，sin sin 602HM HCC HC HC ==︒=··OD OE OF OD HM OF HC ∴++=++=++)GH HC AC =+== ······· 8分 （2）②:结论2成立．证明：方法一：如图４，过顶点A B C 、、依次作边AB BC CA 、、的垂线围成MNG △，由（1）得MNG △为等边三角形且MN = ············· 9分 过点O 分别作OD MN '⊥于D ',OE NG '⊥于NG 于点E OF MG ''⊥，于点F ' 由结论1得：32OD OE OF a '+'+'=== ·················· 10分 又OD AB AB MG OF MG ⊥⊥'⊥，，90ADO DAF OF A ∴∠=∠'=∠'=︒A F CEBD（图4）O F 'D 'MGNE 'AF CE BD （图3）OM HG∴四边形ADOF '为矩形 OF ∴'=AD同理：OD BE '=，OE CF '= ························· 11分32AD BE CF OD OE OF a ∴++='+'+'= ··················· 12分方法二：（同结论1方法二的辅助线） 在Rt OFH △中，tan 3OF FH OHF ==∠在Rt HMC △中，sin HM HC C == ······ 9分CF HC FH ∴=+=+同理：3333AD OF OD BE =+=+， ············· 10分 AD BE CF ∴++=+++=)OD OE OF ++ ····························· 11分由结论1得：OD OE OF ++=32AD BE CF a ∴++== ······················· 12分 方法三：如图5，连接OA OB OC 、、，根据勾股定理得：22222BE OE OB BD OD +==+① 22222CF OF OC CE OE +==+②22222AD OD AO AF OF +==+③ ······················· 9分①+②+③得：222222BE CF AD BD CE AF ++=++ ····················· 10分()()()222222BE CF AD a AD a BE a CF ∴++=-+-+-222222222a AD a AD a BE a BE a CF a CF =-++-++-+ ··········· 11分A FC EBD（图5）OAF CBD（图3）OHG整理得：()223a AD BE CF a ++=32AD BE CF a ∴++= ···························· 12分25．（1）解:方法一，如图1，当1x =-时,14y = 当4x =时,4y =∴1A ⎛⎫- ⎪⎝⎭1，4 ····················· 1分()44B ， ······················· 2分设直线AB 的解析式为y kx b =+ ············ 3分则1444k b k b ⎧-+=⎪⎨⎪+=⎩ 解得341k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴直线AB 的解析式为314y x =+ ············ 4分 当0x =时,1y =()01F ∴， ··································· 5分 方法二:求A B 、两点坐标同方法一,如图2,作FG BD ⊥,AH BD ⊥,垂足分别为G 、H ,交y 轴于点N ,则四边形FOMG 和四边形NOMH 均为矩形,设FO x = ·············· 3分BGF BHA △∽△BG FGBH AH ∴=441544x -∴=- ································· 4分解得1x =()0F ∴，1 ·································· 5分(2)证明：方法一：在Rt CEF △中，1,2CE EF ==22222125CF CE EF ∴=+=+=CF ∴= ·································· 6分（图1）（图2）在Rt DEF △中，42DE EF ==，222224220DF DE EF ∴=+=+=DF ∴=由（1）得()()1141C D ---，，，5CD ∴=22525CD ∴==222CF DF CD ∴+= ··························· 7分90CFD ∴∠=°∴CF DF ⊥ ······························· 8分方法二：由 （1）知5544AF AC ===，AF AC ∴= ······························· 6分同理：BF BD = ACF AFC ∴∠=∠ AC EF ∥ACF CFO ∴∠=∠AFC CFO ∴∠=∠ ···························· 7分 同理：BFD OFD ∠=∠90CFD OFC OFD ∴∠=∠+∠=°即CF DF ⊥ ······························· 8分（3）存在.解：如图3，作PM x ⊥轴，垂足为点M ··· 9分 又PQ OP ⊥Rt Rt OPM OQP ∴△∽△ PM OMPQ OP∴= PQ PMOP OM∴= ·············· 10分 设()2104P x x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，，则214PM x OM x ==， ①当Rt Rt QPO CFD △∽△时，12PQ CF OP DF ===··························· 11分图321142xPM OM x ∴== 解得2x =()121P ∴， ································· 12分 ②当Rt Rt OPQ CFD △∽△时，2PQ DF OP CF === ···························13分 2142xPM OM x ∴== 解得8x =()2816P ∴，综上，存在点()121P ，、()2816P ，使得OPQ △与CDF △相似. ········· 14分。
莆田市中考数学试卷及答案(WORD解析版)
福建省莆田市中考数学试卷一、精心选一选：本大题共8小题，每小题4分，共32分，每小题给出的四个选项中有且只有一个选项是符合题目要求的．答对的得4分，答错、不答或答案超过一个的一律得0分．1．（4分）（•莆田）3的相反数是（）A．﹣3 B．3C．D．﹣考点：相反数．分析：根据相反数的性质，互为相反数的两个数和为0，采用逐一检验法求解即可．解答：解：根据概念，（3的相反数）+（3）=0，则3的相反数是﹣3．故选A．点评：本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．2．（4分）（•莆田）下列运算正确的是（）A．a3•a2=a6B．（2a）3=6a3C．（a﹣b）2=a2﹣b2D．3a2﹣a2=2a2考点：完全平方公式；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．分析：根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；完全平方公式；合并同类项法则对各选项分析判断利用排除法求解．解答：解：A、a3•a2=a3+2=a5，故本选项错误；B、（2a）3=8a3，故本选项错误；C、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，故本选项错误；D、3a2﹣a2=2a2，故本选项正确．故选D．点评：本题考查了完全平方公式，合并同类项法则，同底数幂的乘法，积的乘方的性质，熟记性质与公式并理清指数的变化是解题的关键．3．（4分）（•莆田）如图图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．考点：中心对称图形；轴对称图形．分析：根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．解答：解：A、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项错误；B、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项正确；C、此图形旋转180°后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项错误；D、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误．故选：B．点评：此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．4．（4分）（•莆田）如图是由6个大小相同的小正方体组成的几何体，它的左视图是（）A．B．C．D．考点：简单组合体的三视图．分析：细心观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形判定则可．解答：解：从物体左面看，第一层有3个正方形，第二层的中间有1个正方形．故选C．点评：本题考查了三视图的知识，左视图是从物体左面看所得到的图形，解答时学生易将三种视图混淆而错误的选其它选项．5．（4分）（•莆田）若x、y 满足方程组，则x﹣y的值等于（）A．﹣1 B．1C．2D．3考点：解二元一次方程组．专题：计算题．分析：方程组两方程相减即可求出x﹣y的值．解答：解：，②﹣①得：2x﹣2y=﹣2，则x﹣y=﹣1，故选A点评：此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．6．（4分）（•莆田）在半径为2的圆中，弦AB的长为2，则的长等于（）A．B．C．D．考点：弧长的计算．分析：连接OA、OB，求出圆心角AOB的度数，代入弧长公式求出即可．解答：解：连接OA、OB，∵OA=OB=AB=2，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∴的长为=，故选C．点评：本题考查了弧长公式，等边三角形的性质和判定的应用，注意：已知圆的半径是R，弧AB对的圆心角的度数是n°，则弧AB的长=．7．（4分）（•莆田）如图，点B在x轴上，∠ABO=90°，∠A=30°，OA=4，将△OAB饶点O按顺时针方向旋转120°得到△OA′B′，则点A′的坐标是（）A．（2，﹣2）B．（2，﹣2）C．（2，﹣2）D．（2，﹣2）考点：坐标与图形变化-旋转．专题：数形结合．分析：根据含30度的直角三角形三边的关系得到OB=OA=2，AB=OB=2，则A点坐标为（2，2），再根据旋转的性质得到∠A′OA=120°，OA′=OA=4，则∠A′OB=60°，于是可判断点A′和点A关于x轴对称，然后根据关于x轴对称的点的坐标特征写出点A′的坐标．解答：解：∵∠ABO=90°，∠A=30°，OA=4，∴∠AOB=60°，OB=OA=2，AB=OB=2，∴A点坐标为（2，2），∵△OAB饶点O按顺时针方向旋转120°得到△OA′B′，∴∠A′OA=120°，OA′=OA=4，∴∠A′OB=60°，∴点A′和点A关于x轴对称，∴点A′的坐标为（2，﹣2）．故选B．点评：本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．8．（4分）（•莆田）如图，在矩形ABCD中，AB=2，点E在边AD上，∠ABE=45°，BE=DE，连接BD，点P在线段DE上，过点P作PQ∥BD交BE于点Q，连接QD．设PD=x，△PQD 的面积为y，则能表示y与x函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．考点：动点问题的函数图象．分析：判断出△ABE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出AE、BE，然后表示出PE、QE，再求出点Q到AD的距离，然后根据三角形的面积公式表示出y与x 的关系式，再根据二次函数图象解答．解答：解：∵∠ABE=45°，∠A=90°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AE=AB=2，BE=AB=2，∵BE=DE，PD=x，∴PE=DE﹣PD=2﹣x，∵PQ∥BD，BE=DE，∴QE=PE=2﹣x，又∵△ABE是等腰直角三角形（已证），∴点Q到AD的距离=（2﹣x）=2﹣x，∴△PQD的面积y=x（2﹣x）=﹣（x2﹣2x+2）=﹣（x ﹣）2+，即y=﹣（x ﹣）2+，纵观各选项，只有C选项符合．故选C．点评：本题考查了动点问题的函数图象，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的面积，二次函数图象，求出点Q到AD的距离，从而列出y与x的关系式是解题的关键．二、细心填一填：本大题共8小题，每小题4分，共32分．9．（4分）（•莆田）我国的北斗卫星导航系统与美国的GPS和俄罗斯格洛纳斯系统并称世界三大卫星导航系统，北斗系统的卫星轨道高达36000公里，将36000用科学记数法表示为3.6×104．考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：将36000用科学记数法表示为：3.6×104．故答案为：3.6×104．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．10．（4分）（•莆田）若正n边形的一个外角为45°，则n=8．考点：多边形内角与外角．分析：根据正多边形的外角和的特征即可求出多边形的边数．解答：解：n=360°÷45°=8．答：n的值为8．故答案为：8．点评：本题考查多边形的外角和的特征：多边形的外角和等于360°，是基础题型．11．（4分）（•莆田）若关于x的一元二次方程x2+3x+a=0有一个根是﹣1，则a=2．考点：一元二次方程的解．分析：把x=﹣1代入原方程，列出关于a的新方程，通过解新方程可以求得a的值．解答：解：∵关于x的一元二次方程x2+3x+a=0有一个根是﹣1，∴（﹣1）2+3×（﹣1）+a=0，解得a=2，故答案是：2．点评：本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．12．（4分）（•莆田）在一个不透明的袋子中，装有大小、形状、质地等都相同的红色、黄色、白色小球各1个，从袋子中随机摸出一个小球，之后把小球放回袋子中并摇匀，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球颜色相同的概率是．考点：列表法与树状图法．分析：首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球颜色相同的情况，再利用概率公式即可求得答案．解答：解：画树状图得：∵共有9种等可能的结果，两次摸出的小球颜色相同的有3种情况，∴两次摸出的小球颜色相同的概率是：=故答案为：点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．13．（4分）（•莆田）在一次数学测试中，小明所在小组6人的成绩（单位：分）分别为84、79、83、87、77、81，则这6人本次数学测试成绩的中位数是82．考点：中位数．分析：根据中位数的定义先把这组数据从小到大排列，再求出最中间两个数的平均数即可．解答：解：把这组数据从小到大排列为：77、79、81、83、84、87，最中间两个数的平均数是：（81+83）÷2=82；故答案为：82．点评：此题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，熟练掌握中位数的概念是本题的关键．14．（4分）（•莆田）计算：=a﹣2．考点：分式的加减法．专题：计算题．分析：根据同分母分式加减运算法则，分母不变只把分子相加减即可求解．解答：解：==a﹣2．故答案为a﹣2．点评：本题主要考查同分母分式加减，熟练掌握运算法则是解题的关键．15．（4分）（•莆田）如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD=120°，点E是AB的中点，点F是AC上的一动点，则EF+BF的最小值是2．考点：轴对称-最短路线问题；菱形的性质．分析：首先连接DB，DE，设DE交AC于M，连接MB，DF．证明只有点F运动到点M 时，EF+BF取最小值，再根据菱形的性质、勾股定理求得最小值．解答：解：连接DB，DE，设DE交AC于M，连接MB，DF，延长BA，DH⊥BA于H，∵四边形ABCD是菱形，∴AC，BD互相垂直平分，∴点B关于AC的对称点为D，∴FD=FB，∴FE+FB=FE+FD≥DE．只有当点F运动到点M时，取等号（两点之间线段最短），△ABD中，AD=AB，∠DAB=120°，∴∠HAD=60°，∵DH⊥AB，∴AH=AD，DH=AD，∵菱形ABCD的边长为4，E为AB的中点，∴AE=2，AH=2，∴EH=4，DH=2，在RT△EHD中，DE===2∴EF+BF的最小值为2．点评：此题主要考查菱形是轴对称图形的性质，知道什么时候会使EF+BF成为最小值是解本题的关键．16．（4分）（•莆田）如图放置的△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，…都是边长为2的等边三角形，边AO在y轴上，点B1，B2，B3，…都在直线y=x上，则A的坐标是（，）．考点：一次函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质．专题：规律型．分析：根据题意得出直线AA1的解析式为：y=x+2，进而得出A，A1，A2，A3坐标，进而得出坐标变化规律，进而得出答案．解答：解：过B1向x轴作垂线B1C，垂足为C，由题意可得：A（0，2），AO∥A1B1，∠B1OC=30°，∴CO=OB1cos30°=，∴B1的横坐标为：，则A1的横坐标为：，连接AA1，可知所有三角形顶点都在直线AA1上，∵点B1，B2，B3，…都在直线y=x上，AO=2，∴直线AA1的解析式为：y=x+2，∴y=×+2=3，∴A1（，3），同理可得出：A2的横坐标为：2，∴y=×2+2=4，∴A2（2，4），∴A3（3，5），…A（，）．故答案为：（，）．点评：此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及数字变化类，得出A点横纵坐标变化规律是解题关键．三、耐心做一做：本大题共9小题，共86分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17．（8分）（•莆田）计算：﹣2sin60°+|﹣|．考点：实数的运算；特殊角的三角函数值．分析：先根据数的开方法则、特殊角的三角函数值、绝对值的性质计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．解答：解：原式=3﹣2×+=3﹣+=3．点评：本题考查的是实数的运算，熟知数的开方法则、特殊角的三角函数值、绝对值的性质是解答此题的关键．18．（8分）（•莆田）解不等式≥，并把它的解集在数轴上表示出来．考点：解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．专题：计算题．分析：先去分母和去括号得到6﹣3x≥4﹣4x，然后移项后合并得到x≥﹣2，再利用数轴表示解集．解答：解：去分母得3（2﹣x）≥4（1﹣x），去括号得6﹣3x≥4﹣4x，移项得4x﹣3x≥4﹣6，合并得x≥﹣2，在数轴上表示为：．点评：本题考查了解一元一次不等式：解一元一次不等式的基本步骤为：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．也考查了在数轴上表示不等式的解集．19．（8分）（•莆田）某校为了解该校九年级学生对蓝球、乒乓球、羽毛球、足球四种球类运动项目的喜爱情况，对九年级部分学生进行了随机抽样调查，每名学生必须且只能选择最喜爱的一项运动项目上，将调查结果统计后绘制成如图两幅不完整的统计图，请根据图中的信息，回答下列问题：（1）这次被抽查的学生有60人；请补全条形统计图；（2）在统计图2中，“乒乓球”对应扇形的圆心角是144度；（3）若该校九年级共有480名学生，估计该校九年级最喜欢足球的学生约有48人．考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．分析：（1）根据C类的人数是9，所占的比例是20%，据此即可求得总人数；（2）利用360°乘以对应的比例即可求解；（3）利用总人数480，乘以对应的比例即可．解答：解：（1）被抽查的学生数是：9÷15%=60（人），D项的人数是：60﹣21﹣24﹣9=6（人），；（2）“乒乓球”对应扇形的圆心角是：360°×=144°；（3）480×=48（人）．故答案是：60，144，48．点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．20．（8分）（•莆田）如图，点D是线段BC的中点，分别以点B，C为圆心，BC长为半径画弧，两弧相交于点A，连接AB，AC，AD，点E为AD上一点，连接BE，CE．（1）求证：BE=CE；（2）以点E为圆心，ED长为半径画弧，分别交BE，CE于点F，G．若BC=4，∠EBD=30°，求图中阴影部分（扇形）的面积．考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；扇形面积的计算．专题：证明题．分析：（1）由点D是线段BC的中点得到BD=CD，再由AB=AC=BC可判断△ABC为等边三角形，于是得到AD为BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得BE=CE；（2）由EB=EC，根据等腰三角形的性质得∠EBC=∠ECB=30°，则根据三角形内角和定理计算得∠BEC=120°，在Rt△BDE中，BD=BC=2，∠EBD=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系得到ED=BD=，然后根据扇形的面积公式求解．解答：（1）证明：∵点D是线段BC的中点，∴BD=CD，∵AB=AC=BC，∴△ABC为等边三角形，∴AD为BC的垂直平分线，∴BE=CE；（2）解：∵EB=EC，∴∠EBC=∠ECB=30°，∴∠BEC=120°，在Rt△BDE中，BD=BC=2，∠EBD=30°，∴ED=BD=，∴阴影部分（扇形）的面积==π．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．也考查了等边三角形的判定与性质、相等垂直平分线的性质以及扇形的面积公式．21．（8分）（•莆田）如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴相交于点M，与y轴相交于点N，Rt△MON的外心为点A（，﹣2），反比例函数y=（x＞0）的图象过点A．（1）求直线l的解析式；（2）在函数y=（x＞0）的图象上取异于点A的一点B，作BC⊥x轴于点C，连接OB交直线l于点P．若△ONP的面积是△OBC面积的3倍，求点P的坐标．考点：反比例函数综合题．专题：综合题．分析：（1）由A为直角三角形外心，得到A为斜边MN中点，根据A坐标确定出M与N 坐标，设直线l解析式为y=mx+n，将M与N坐标代入求出m与n的值，即可确定出直线l解析式；（2）将A坐标代入反比例解析式求出k的值，确定出反比例解析式，利用反比例函数k的意义求出△OBC的面积，由△ONP的面积是△OBC面积的3倍求出△ONP的面积，确定出P的横坐标，即可得出P坐标．解答：解：（1）∵Rt△MON的外心为点A（，﹣2），∴A为MN中点，即M（3，0），N（0，﹣4），设直线l解析式为y=mx+n，将M与N代入得：，解得：m=，n=﹣4，则直线l解析式为y=x﹣4；（2）将A（，﹣2）代入反比例解析式得：k=﹣3，∴反比例解析式为y=﹣，∵B为反比例函数图象上的点，且BC⊥x轴，∴S△OBC=，∵S△ONP=3S△OBC，∴S△ONP=，设P横坐标为a（a＞0），∴ON•a=，即a=，则P坐标为（，﹣1）．点评：此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，反比例函数k的几何意义，以及坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．22．（10分）（•莆田）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，过点A作AD⊥CD于点D，交⊙O于点E，且=．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若tan∠CAB=，BC=3，求DE的长．考点：切线的判定．专题：证明题．分析：（1）连结OC，由=，根据圆周角定理得∠1=∠2，而∠1=∠OCA，则∠2=∠OCA，则可判断OC∥AD，由于AD⊥CD，所以OC⊥CD，然后根据切线的判定定理得到CD是⊙O的切线；（2）连结BE交OC于F，由AB是⊙O的直径得∠ACB=90°，在Rt△ACB中，根据正切的定义得AC=4，再利用勾股定理计算出AB=5，然后证明Rt△ABC∽Rt△ACD，利用相似比先计算出AD=，再计算出CD=；根据垂径定理的推论由=得OC⊥BE，BF=EF，于是可判断四边形DEFC为矩形，所以EF=CD=，则BE=2EF=，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理计算出AE=，再利用DE=AD﹣AE求解．解答：（1）证明：连结OC，如图，∵=，∴∠1=∠2，∵OC=OA，∴∠1=∠OCA，∴∠2=∠OCA，∴OC∥AD，∵AD⊥CD，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）解：连结BE交OC于F，如图，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，在Rt△ACB中，tan∠CAB==，而BC=3，∴AC=4，∴AB==5，∵∠1=∠2，∴Rt△ABC∽Rt△ACD，∴=，即=，解得AD=，∵=，即=，解得CD=，∵=，∴OC⊥BE，BF=EF，∴四边形DEFC为矩形，∴EF=CD=，∴BE=2EF=，∵AB为直径，∴∠BEA=90°，在Rt△ABE中，AE===，∴DE=AD﹣AE=﹣=．点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质．23．（10分）（•莆田）某水果店销售某中水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这种水果每千克售价y1（元）与销售时间第x月之间存在如图1（一条线段）的变化趋势，每千克成本y2（元）与销售时间第x月满足函数关系式y2=mx2﹣8mx+n，其变化趋势如图2．（1）求y2的解析式；（2）第几月销售这种水果，每千克所获得利润最大？最大利润是多少？考点：二次函数的应用．分析：（1）把函数图象经过的点（3，6），（7，7）代入函数解析式，解方程组求出m、n 的值，即可得解；（2）根据图1求出每千克的售价y1与x的函数关系式，然后根据利润=售价﹣成本得到利润与x的函数关系式，然后整理成顶点式形式，再根据二次函数的最值问题解答即可．解答：解：（1）由图可知，y2=mx2﹣8mx+n经过点（3，6），（7，7），∴，解得．∴y2=x2﹣x+（1≤x≤12）；（2）设y1=kx+b（k≠0），由图可知，函数图象经过点（4，11），（8，10），则，解得，所以，y1=﹣x+12，所以，每千克所获得利润=（﹣x+12）﹣（x2﹣x+）=﹣x+12﹣x2+x﹣=﹣x2+x+=﹣（x2﹣6x+9）++=﹣（x﹣3）2+，∵﹣＜0，∴当x=3时，所获得利润最大，为元．答：第3月销售这种水果，每千克所获得利润最大，最大利润是元/千克．点评：本题考查了二次函数的应用，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的最值问题，难点在于（2）整理出利润的表达式并整理成顶点式形式．24．（12分）（•莆田）如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A开始沿边AB向点B运动，动点F以每秒2个单位长度的速度从点B开始沿折线BC﹣CD向点D运动，动点E比动点F先出发1秒，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设点F的运动时间为t秒．（1）点F在边BC上．①如图1，连接DE，AF，若DE⊥AF，求t的值；②如图2，连结EF，DF，当t为何值时，△EBF与△DCF相似？（2）如图3，若点G是边AD的中点，BG，EF相交于点O，试探究：是否存在在某一时刻t，使得=？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．考点：四边形综合题．分析：（1）①利用正方形的性质及条件，得出△ABF≌△DAE，由AE=BF列式计算．②利用△EBF∽△DCF，得出=，列出方程求解．（2）①0＜t≤2时如图3，以点B为原点BC为x轴，BA为y轴建立坐标系，先求出EF所在的直线和BG所在的直线函数关系式是，再利用勾股定理求出BG，运用=，求出点O的坐标把O的坐标代入EF所在的直线函数关系式求解．②当t＞2时如图4，以点B为原点BC为x轴，BA为y轴建立坐标系，以点B为原点BC为x轴，BA为y轴建立坐标系，先求出EF所在的直线和BG所在的直线函数关系式是，再利用勾股定理求出BG，运用=，求出点O的坐标把O的坐标代入EF所在的直线函数关系式求解．解答：解：（1）①如图1∵DE⊥AF，∴∠AOE=90°，∴∠BAF+∠AEO=90°，∵∠ADE+∠AEO=90°，∴∠BAE=∠ADE，又∵四边形ABCD是正方形，∴AE=AD，∠ABF=∠DAE=90°，在△ABF和△DAE中，∴△ABF≌△DAE（ASA）∴AE=BF，∴1+t=2t，解得t=1．②如图2∵△EBF∽△DCF∴=，∵BF=2t，AE=1+t，∴FC=4﹣2t，BE=4﹣1﹣t=3﹣t，∴=，解得，t=，t=（舍去），故t=．（2）①0＜t≤2时如图3，以点B为原点BC为x轴，BA为y轴建立坐标系，A的坐标（0，4），G的坐标（2，4），F点的坐标（2t，0），E的坐标（0，3﹣t）EF所在的直线函数关系式是：y=x+3﹣t，BG所在的直线函数关系式是：y=2x，∵BG==2∵=，∴BO=，OG=，设O的坐标为（a，b），解得∴O的坐标为（，）把O的坐标为（，）代入y=x+3﹣t，得=×+3﹣t，解得，t=（舍去），t=，②当3≥t＞2时如图4，以点B为原点BC为x轴，BA为y轴建立坐标系，A的坐标（0，4），G的坐标（2，4），F点的坐标（4，2t﹣4），E的坐标（0，3﹣t）EF所在的直线函数关系式是：y=x+3﹣t，BG所在的直线函数关系式是：y=2x，∵BG==2∵=，∴BO=，OG=，设O的坐标为（a，b），解得∴O的坐标为（，）把O的坐标为（，）代入y=x+3﹣t，得=×+3﹣t，解得：t=．综上所述，存在t=或t=，使得=．点评：本题主要考查了四边形的综合题，解题的关键是把四边形与坐标系相结合求解．25．（14分）（•莆田）如图，抛物线C1：y=（x+m）2（m为常数，m＞0），平移抛物线y=﹣x2，使其顶点D在抛物线C1位于y轴右侧的图象上，得到抛物线C2．抛物线C2交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，设点D的横坐标为a．（1）如图1，若m=．①当OC=2时，求抛物线C2的解析式；②是否存在a，使得线段BC上有一点P，满足点B与点C到直线O P的距离之和最大且AP=BP？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；（2）如图2，当OB=2﹣m（0＜m＜）时，请直接写出到△ABD的三边所在直线的距离相等的所有点的坐标（用含m的式子表示）．考点：二次函数综合题．分析：（1）①首先写出平移后抛物线C2的解析式（含有未知数a），然后利用点C（0，2）在C2上，求出抛物线C2的解析式；②认真审题，题中条件“AP=BP”意味着点P在对称轴上，“点B与点C到直线OP的距离之和最大”意味着OP⊥BC．画出图形，如答图1所示，利用三角函数（或相似），求出a的值；（2）解题要点有3个：i）判定△ABD为等边三角形；ii）理论依据是角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等；iii）满足条件的点有4个，即△ABD形内1个（内心），形外3个．不要漏解．解答：解：（1）当m=时，抛物线C1：y=（x+）2．∵抛物线C2的顶点D在抛物线C1上，且横坐标为a，∴D（a，（a+）2）．∴抛物线C2：y=﹣（x﹣a）2+（a+）2（I）．①∵OC=2，∴C（0，2）．∵点C在抛物线C2上，∴﹣（0﹣a）2+（a+）2=2，解得：a=，代入（I）式，得抛物线C2的解析式为：y=﹣x2+x+2．②在（I）式中，令y=0，即：﹣（x﹣a）2+（a+）2=0，解得x=2a+或x=﹣，∴B（2a+，0）；令x=0，得：y=a+，∴C（0，a+）．设直线BC的解析式为y=kx+b，则有：，解得，∴直线BC的解析式为：y=﹣x+（a+）．假设存在满足条件的a值．∵AP=BP，∴点P在AB的垂直平分线上，即点P在C2的对称轴上；∵点B与点C到直线OP的距离之和≤BC，只有OP⊥BC时等号成立，∴OP⊥BC．如答图1所示，设C2对称轴x=a（a＞0）与BC交于点P，与x轴交于点E，则OP⊥BC，OE=a．∵点P在直线BC上，∴∴P（a，a+），PE=a+．∵tan∠EOP=tan∠BCO===2，∴==2，解得：a=．∴存在a=，使得线段BC上有一点P，满足点B与点C到直线OP的距离之和最大且AP=BP（3）∵抛物线C2的顶点D在抛物线C1上，且横坐标为a，∴D（a，（a+m）2）．∴抛物线C2：y=﹣（x﹣a）2+（a+m）2．令y=0，即﹣（x﹣a）2+（a+m）2=0，解得：x1=2a+m，x2=﹣m，∴B（2a+m，0）．∵OB=2﹣m，∴2a+m=2﹣m，∴a=﹣m．∴D （﹣m，3）．AB=OB+OA=2﹣m+m=2．如答图2所示，设对称轴与x轴交于点E，则DE=3，BE=AB=，OE=OB﹣BE=﹣m．∵tan∠ABD===，∴∠ABD=60°．又∵AD=BD，∴△ABD为等边三角形．作∠ABD的平分线，交DE于点P1，则P1E=BE•tan30°=•=1，∴P1（﹣m，1）；在△ABD形外，依次作各个外角的平分线，它们相交于点P2、P3、P4．在Rt△BEP2中，P2E=BE•tan60°=•=3，∴P2（﹣m，﹣3）；易知△ADP3、△BDP4均为等边三角形，∴DP3=DP4=AB=2，且P3P4∥x轴．∴P3（﹣﹣m，3）、P4（3﹣m，3）．综上所述，到△ABD的三边所在直线的距离相等的所有点有4个，其坐标为：P1（﹣m，1），P2（﹣m，﹣3），P3（﹣﹣m，3），P4（3﹣m，3）．点评：本题是二次函数压轴题，以平移变换为背景，考查了二次函数、一次函数、三角函数（或相似）、等边三角形、角平分线的性质等知识点，有一定的难度．函数解析式中含有未知数，增大了试题的难度．第（2）问中，解题关键是理解“点B与点C到直线OP的距离之和最大且AP=BP”的含义；第（3）问中，满足条件的点P有4个，不要漏解．21 / 21。
初中毕业升学考试(福建莆田卷)数学(解析版)(初三)中考真卷.doc
初中毕业升学考试（福建莆田卷）数学（解析版）（初三）中考真卷姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题评卷人得分（每空xx 分，共xx分）【题文】的绝对值是（）A. B. C. 2 D. ﹣2【答案】A【解析】试题分析：根据负数的绝对值等于它的相反数解答．试题解析：的绝对值是．故选A．考点：绝对值．【题文】下列运算正确的是（）A．3a﹣a=0 B． C． D．【答案】B．【解析】试题分析：A．3a﹣2a=a，故A不正确；B．，故B正确；C．，故C不正确；D．，故D不正确；故选B．考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．【题文】一组数据3，3，4，6，8，9的中位数是（）A．4 B．5 C．5.5 D．6【答案】B．【解析】试题分析：数据3，3，4，6，8，9的中位数是：（4+6）÷2=5，故选B．考点：中位数；统计与概率．【题文】图中三视图对应的几何体是（）A． B． C． D．【答案】C．【解析】试题分析：由主视图可以推出这个几何体是上下两个大小不同柱体，从主视图推出这两个柱体的宽度相同，从俯视图推出上面是圆柱体，直径等于下面柱体的宽．由此可以判断对应的几何体是C．故选C．考点：由三视图判断几何体．【题文】菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是( )A. 对边相等B. 对角相等C. 对角线互相平分D. 对角线互相垂直【答案】D【解析】试题分析：∵菱形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分，对角线互相垂直；平行四边形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分；∴菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是：对角线互相垂直．故选D．考点：菱形的性质；平行四边形的性质．【题文】如图，OP是∠AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上，添加下列条件，不能判定△POC≌△POD 的选项是（）A．PC⊥OA，PD⊥OB B．OC=ODC．∠OPC=∠OPD D．PC=PD【答案】D．【解析】试题分析：对于A，由PC⊥OA，PD⊥OB得出∠PCO=∠PDO=90°，根据AAS判定定理可以判定△POC≌△POD ；对于B OC=OD，根据SAS判定定理可以判定△POC≌△POD；对于C，∠OPC=∠OPD，根据ASA判定定理可以判定△POC≌△POD；，对于D，PC=PD，无法判定△POC≌△POD，故选D．考点：角平分线的性质；全等三角形的判定．【题文】关于x的一元二次方程的根的情况是（）A．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根【答案】D．【解析】试题分析：∵△=＞0，∴，方程有两个不相等的两个实数根．故选D．考点：根的判别式．【题文】规定：在平面内，将一个图形绕着某一点旋转一定的角度（小于周角）后能和自身重合，则称此图形为旋转对称图形．下列图形是旋转对称图形，且有一个旋转角为60°的是（）A．正三角形 B．正方形 C．正六边形 D．正十边形【答案】C．【解析】试题分析：A．正三角形的最小旋转角是120°，故此选项错误；B．正方形的旋转角度是90°，故此选项错误；C．正六边形的最小旋转角是60°，故此选项正确；D．正十角形的最小旋转角是36°，故此选项错误；故选C．考点：旋转对称图形．【题文】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，将△ABC折叠，使点A落在BC边上的点D处，EF为折痕，若AE=3，则sin∠BFD的值为（）A． B． C． D．【答案】A．【解析】试题分析：∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，∴∠A=∠B，由折叠的性质得到：△AEF≌△DEF，∴∠EDF=∠A，∴∠EDF=∠B，∴∠CDE+∠BDF+∠EDF=∠BFD+∠BDF+∠B=180°，∴∠CDE=∠BFD．又∵AE=DE=3，∴CE=4﹣3=1，∴在直角△ECD中，sin∠CDE=．故选A．考点：翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形；锐角三角函数的定义．【题文】如图，在平面直角坐标系中，点A（0，2），在x轴上任取一点M，完成以下作图步骤：①连接AM．作线段AM的垂直平分线l1，过点M作x轴的垂线l2，记l1，l2的交点为P；②在x轴上多次改变点M的位置，用①的方法得到相应的点P，把这些点用平滑的曲线顺次连接起来，得到的曲线是（）A．直线 B．抛物线 C．双曲线 D．双曲线的一支【答案】B．【解析】试题分析：根据作图步骤作图，如图所示．由此即可得出该曲线为抛物线．故选B．考点：二次函数图象上点的坐标特征；线段垂直平分线的性质；作图—基本作图．【题文】莆田市海岸线蜿蜒曲折，长达217000米，用科学记数法表示217000为．【答案】2.17×105．【解析】试题分析：将217000用科学记数法表示为：217000=2.17×105．故答案为：2.17×105．考点：科学记数法—表示较大l∴AB∥a∥b，∵AB∥a，∴∠1=∠3，∵AB∥b，∴∠2=∠4，∵∠3+∠4=90°，∴∠1+∠2=90°，∵∠1=37°，∴∠2=90°﹣37°=53°，故答案为：53°．考点：平行线的性质．【题文】在大课间活动中，同学们积极参加体育锻炼，小红在全校随机抽取一部分同学就“一分钟跳绳”进行测试，并以测试数据为样本绘制如图所示的部分频数分布直方图（从左到右依次分为六个小组，每小组含最小值，不含最大值）和扇形统计图，若“一分钟跳绳”次数不低于130次的成绩为优秀，全校共有1200名学生，根据图中提供的信息，估计该校学生“一分钟跳绳”成绩优秀的人数为人．【答案】480．【解析】试题分析：总人数是：10÷20%=50（人），第四小组的人数是：50﹣4﹣10﹣16﹣6﹣4=10，所以该校九年级女生“一分钟跳绳”成绩为优秀的人数是：×1200=480，故答案为：480．考点：频数（率）分布直方图；用样本估计总体；扇形统计图．【题文】如图，CD为⊙O的弦，直径AB为4，AB⊥CD于E，∠A=30°，则的长为（结果保留π）．【答案】．【解析】试题分析：连接AC，∵CD为⊙O的弦，AB是⊙O的直径，∴CE=DE，∵AB⊥CD，∴AC=AD，∴∠CAB=∠DAB=30°，∴∠COB=60°，∴的长==，故答案为：．考点：弧长的计算；垂径定理．【题文】魏朝时期，刘徽利用下图通过“以盈补虚，出入相补”的方法，即“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类”，证明了勾股定理．若图中BF＝1，CF＝2，则AE的长为__________．【答案】．【解析】试题分析：∵BF＝1，CF＝2，∴AB=BC=3，∵AB∥DE，∴△ABF∽△ECF，∴AB：CE=BF：FC，∴3：CE=1：2，∴CE=6，∴DE=3+6=9，∴AE===．故答案为：．考点：勾股定理；相似三角形的判定与性质．【题文】计算：．【答案】．【解析】试题分析：根据绝对值、算术平方根和零指数幂的意义计算．试题解析：原式==．考点：实数的运算；零指数幂．【题文】先化简，再求值：，其中x=﹣1．【答案】，﹣1．【解析】试题分析：先把分解因式和除法运算化为乘法运算，再约分后进行同分母的减法运算，然后把x的值代入计算即可．试题解析：原式====当x=﹣1时，原式==﹣1．考点：分式的化简求值．【题文】解不等式组：．【答案】x≤1．【解析】试题分析：先解不等式组中的每一个不等式，再求出它们的公共解即可．试题解析：．由①得x≤1；由②得x＜4；所以原不等式组的解集为：x≤1．考点：解一元一次不等式组．【题文】小梅家的阳台上放置了一个晒衣架如图1，图2是晒衣架的侧面示意图，A，B两点立于地面，将晒衣架稳固张开，测得张角∠AOB=62°，立杆OA=OB=140cm，小梅的连衣裙穿在衣架后的总长度为122cm，问将这件连衣裙垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面？请通过计算说明理由（参考数据：sin59°≈0.86，cos59°≈0.52，tan59°≈1.66）【答案】会．【解析】试题分析：过点O作OE⊥AB，根据等腰三角形的性质求得∠OAB，再在Rt△AEO中，利用三角函数sin∠OAB=，求得OE，即可作出判断．试题解析：过点O作OE⊥AB于点E，∵OA=OB，∠AOB=62°，∴∠OAB=∠OBA=59°，在Rt△AEO中，OE=OA •sin∠OAB=140×sin59°≈140×0.86=120.4，∵120.4＜122，∴这件连衣裙垂挂在晒衣架上会拖落到地面．考点：解直角三角形的应用．【题文】在一次数学文化课题活动中，把一副数学文化创意扑克牌中的4张扑克牌（如图所示）洗匀后正面向下放在桌面上，从中随机抽取2张牌，请你用列表或画树状图的方法，求抽取的2张牌的数字之和为偶数的概率．【答案】．【解析】试题分析：列出得出所有等可能的情况数，找出抽取2张牌的数字之和为偶数的情况数，即可求出所求的概率．试题解析：列表如下：所有等可能的情况数有12种，抽取2张牌的数字之和为偶数的有4种，则P==．考点：列表法与树状图法；概率及其应用．【题文】甲车从A地驶往B地，同时乙车从B地驶往A地，两车相向而行，匀速行驶，甲车距B地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示，乙车的速度是60km/h．（1）求甲车的速度；（2）当甲乙两车相遇后，乙车速度变为a（km/h），并保持匀速行驶，甲车速度保持不变，结果乙车比甲车晚38分钟到达终点，求a的值．【答案】（1）80km/h；（2）75．【解析】试题分析：（1）根据函数图象可知甲2小时行驶的路程是（280﹣120）km，从而可以求得甲的速度；（2）根据第（1）问中的甲的速度和甲乙两车相遇后，乙车速度变为a（km/h），并保持匀速行驶，甲车速度保持不变，结果乙车比甲车晚38分钟到达终点，可以列出分式方程，从而可以求得a的值．试题解析：（1）由图象可得，甲车的速度为：（280－120）÷2=80km/h，即甲车的速度是80km/h；（2）相遇时间为：=2h，由题意可得：，解得，a=75，经检验，a=78是原分式方程的解，即a的值是75．考点：分式方程的应用；函数的图象；方程与不等式．【题文】如图，在▱ABCD中，∠BAC=90°，对角线AC，BD相交于点P，以AB为直径的⊙O分别交BC，BD于点E，Q，连接EP并延长交AD于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）求证：=4BP•QP．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】试题分析：（1）连接OE，AE，由AB是⊙O的直径，得到∠AEB=∠AEC=90°，根据四边形ABCD是平行四边形，得到PA=PC推出∠OEP=∠OAC=90°，根据切线的判定定理即可得到结论；（2）由AB是⊙O的直径，得到∠AQB=90°根据相似三角形的性质得到=PB•PQ，根据全等三角形的性质得到PF=PE，求得PA=PE=EF，等量代换即可得到结论．试题解析：（1）连接OE，AE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=∠AEC=90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴PA=PC，∴PA=PC=PE，∴∠PAE=∠PEA，∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA，∴∠OEP=∠OAC=90°，∴EF是⊙O的切线；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠AQB=90°，∴△APQ∽△BPA，∴，∴=PB•PQ，在△AFP与△CEP 中，∵∠PAF=∠PCE，∠APF=∠CPE，PA=PC，∴△AFP≌△CEP，∴PF=PE，∴PA=PE=EF，∴=4BP•QP．考点：切线的判定；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质．【题文】如图，反比例函数（x＞0）的图象与直线y=x交于点M，∠AMB=90°，其两边分别与两坐标轴的正半轴交于点A，B，四边形OAMB的面积为6．（1）求k的值；（2）点P在反比例函数（x＞0）的图象上，若点P的横坐标为3，∠EPF=90°，其两边分别与x轴的正半轴，直线y=x交于点E，F，问是否存在点E，使得PE=PF？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）6；（2）E（4，0）或E（6，0）．【解析】试题分析：（1）过点M作MC⊥x轴于点C，MD⊥y轴于点D，根据AAS证明△AMC≌△BMD，那么S四边形OCMD=S四边形OAMB=6，根据反比例函数比例系数k的几何意义得出k=6；（2）先根据反比例函数图象上点的坐标特征求得点P的坐标为（3，2）．再分两种情况进行讨论：①如图2，过点P作PG⊥x轴于点G，过点F作FH⊥PG于点H，交y轴于点K．根据AAS证明△PGE≌△FHP，进而求出E点坐标；②如图3，同理求出E点坐标．试题解析：（1）如图1，过点M作MC⊥x轴于点C，MD⊥y轴于点D，则∠MCA=∠MDB=90°，∠AMC=∠BMD ，MC=MD，∴△AMC≌△BMD，∴S四边形OCMD=S四边形OAMB=6，∴k=6；（2）存在点E，使得PE=PF．由题意，得点P的坐标为（3，2）．①如图2，过点P作PG⊥x轴于点G，过点F作FH⊥PG于点H，交y轴于点K．∵∠PGE=∠FHP=90°，∠EPG=∠PFH，PE=PF，∴△PGE≌△FHP，∴PG=FH=2，FK=OK=3﹣2=1，GE=HP=2﹣1=1，∴OE=OG+GE=3+1=4，∴E（4，0）；②如图3，过点P作PG⊥x轴于点G，过点F作FH⊥PG于点H，交y轴于点K．∵∠PGE=∠FHP=90°，∠EPG=∠PFH，PE=PF，∴△PGE≌△FHP，∴PG=FH=2，FK=OK=3+2=5，GE=HP=5﹣2=3，∴OE=OG+GE=3+3=6，∴E（6，0）．综上所述，E（4，0）或E（6，0）．考点：反比例函数与一次函数的交点问题；存在型；分类讨论；探究型；综合题．【题文】若正方形有两个相邻顶点在三角形的同一条边上，其余两个顶点分别在三角形的另两条边上，则正方形称为三角形该边上的内接正方形，△ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c，各边上的高分别记为，，，各边上的内接正方形的边长分别记为，，．（1）模拟探究：如图，正方形EFGH为△ABC的BC边上的内接正方形，求证：；（2）特殊应用：若∠BAC=90°，==2，求的值；（3）拓展延伸：若△ABC为锐角三角形，b＜c，请判断与的大小，并说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）＞．【解析】试题分析：（1）先根据EH∥FG，判定△AEH∽△ABC，再根据相似三角形对应边成比例，列出比例式变形即可得到；（2）先根据（1）中的结论得出，再将=c和=2代入变形，即可求得的值；（3）先根据（1）中的结论得出和，变形得出，，再根据△ABC得到b=c， =csinA，=bsinA，最后代入代数式进行变形推导，即可得出与的大小关系．试题解析：∵正方形EFGH中，EH∥FG，∴△AEH∽△ABC，∵AD⊥BC，∴，即，∴；（2）由（1）得：，∵∠A=90°，∴=c，又∵=2，∴=；（3）＞．证明：由（1）得：，，∴，，∵S=b=c，∴2S=b=c，又∵=csinA，=bsinA，∴===，∵b＜c，sinA＜1，∴＜0，即＜0，∴＞．考点：三角形综合题；相似三角形的判定与性质；探究型；和差倍分；压轴题．【题文】如图，抛物线C1：的顶点为A，与x轴的正半轴交于点B．（1）将抛物线C1上的点的横坐标和纵坐标都扩大到原来的2倍，求变换后得到的抛物线的解析式；（2）将抛物线C1上的点（x，y）变为（kx，ky）（|k|＞1），变换后得到的抛物线记作C2，抛物线C2的顶点为C，点P在抛物线C2上，满足S△PAC=S△ABC，且∠APC=90°．①当k＞1时，求k的值；②当k＜﹣1时，请直接写出k的值，不必说明理由．【答案】（1）；（2）①k=；②k=．【解析】试题分析：（1）由抛物线C1解析式求出A、B及原点坐标，将三点坐标都扩大到原来的2倍，待定系数求解可得；（2）①如图1中，当k＞1时，与（1）同理可得抛物线C2的解析式为及顶点C的坐标，根据S△PAC=S△ABC知BP∥AC，继而可得△ABO是边长为2的正三角形，四边形CEBP是矩形，表示出点P的坐标，将其代入到抛物线C2解析式可求得k的值；②如图2中，当k＜﹣1时，作△ABO关于y轴对称的△A′B′O，OE′⊥A′B′，同理可得四边形CEBP是矩形，先求出抛物线C2解析式，表示出点P的坐标，将其代入到抛物线C2解析式可求得k的值；试题解析：（1）∵=，∴抛物线C1经过原点O，点A（1，）和点B（2，0）三点，∴变换后的抛物线经过原点O，（2，）和（4，0）三点，∴变换后抛物线的解析式为；（2）①如图1中，当k＞1时，∵抛物线C2经过原点O，（k，k），（2k，0）三点，∴抛物线C2的解析式为，∴O、A、C三点共线，且顶点C为（k，k），如图，∵S△PAC=S△ABC，∴BP∥AC，过点P作PD⊥x轴于D，过点B作BE⊥AO于E，由题意知△ABO是边长为2的正三角形，四边形CEBP是矩形，∴OE=1，CE=BP=2k﹣1，∵∠PBD=60°，∴BD=，PD=（2k﹣1），∴P（k+，（2k﹣1）），∴（2k﹣1）=，解得：k=；②如图2中，当k＜﹣1时，∵抛物线C2经过原点O，（k，k），（2k，0）三点，∴抛物线C2的解析式为，∴O、A、C′三点共线，且顶点C′为（k，k），作△ABO关于y轴对称的△A′B′O，OE′⊥A′B′，∵S△PAC′=S△ABC=S△AC′B′，∴A′P∥AC′，由题意四边形PC′OE′是矩形，∴PE′=OC′=﹣2k，B′E′=1，PB′=﹣2k﹣1，在RT△PDB′中，∵∠PDB′=90°，∠PB′D=∠A′B′O=60°，∴DB′=PB′=，DP=（﹣2k﹣1），∴点P坐标[，（2k+1）]，∴（2k+1）=，∴k=．考点：二次函数综合题；探究型；压轴题．。
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福建省莆田市2011年中考数学试题一、精心选一选：本大题共8小题，每每小题4分，共32分。
1. 2011-的相反数是（ ）A ． 2011-B ． 12011-C ． 2011D ．120112. 下列运算哪种，正确的是（ ）A ． 22x x -=B ． 336()x x = C ． 824x x x ÷=D ．2x x x +=3. 已知点P （1a a -，）在平面直角坐标系的第一象限内，则a 的取值范围在数轴上可表示为（ ）4. 在平行四边形、等边三角形、菱形、等腰梯形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ． 平行四边形B ． 等边三角形C ．菱形D ．等腰梯形 5. 抛物线26y x =-可以看作是由抛物线265y x =-+按下列何种变换得到（ ）A ． 向上平移5个单位B ． 向下平移5个单位C ． 向左平移5个单位D ． 向右平移5个单位6. 如图所示的是某几何体的三视图，则该几何体的形状是（ ） A ． 长方体 B ．三棱柱 C ．圆锥 D ．正方体7. 等腰三角形的两条边长分别为3,6，那么它的周长为（ ） A ．15 B ．12 C ．12或15 D ．不能确定8. 如图，在矩形ABCD 中，点E 在AB 边上，沿CE 折叠矩形ABCD ，使点B落在AD 边上的点F 处，若AB=4，BC=5，则tan ∠AFE 的值为（ ）A ．43 B ． 35 C ． 34 D ．45二、细心填一填：本大题共8小题，每小题4分，共32分）9. 一天有86400秒，用科学记数法表示为____________ 秒； 10．数据1212x --， ，， ，的平均数是1，则这组数据的中位数是_________。
11. ⊙1O 和⊙2O 的半径分别为3㎝和4㎝，若⊙1O 和⊙2O 相外切，则圆心距12O O =_________cm 。
12. 若一个正多边形的一个外角等于40°，则这个多边形是_________边形。
13. 在围棋盒中有6颗黑色棋子和a 颗白色棋子，随机地取出一颗棋子， 如果它是黑色棋子的概率是35，则a=________。
14. 如图，线段AB 、DC 分别表示甲、乙两座楼房的高，AB ⊥BC ， DC ⊥BC ，两建筑物间距离BC=30米，若甲建筑物高AB=28米，在点 A 测得D 点的仰角α=45°，则乙建筑物高DC=_______米。
15. 如图，一束光线从点A （3, 3）出发，经过y 轴上的点C 反射后经过 点B （1, 0），则光线从A 到B 点经过的路线长是_______。
16. 已知函数2()1f x x=+，其中()f a 表示当x a =时对应的函数值，如222(1)1(2)1()112f f f a a=+=+=+，，，则(1)(2)(3).....(100)f f f f ⋅⋅=_______。
三．耐心填一填：本大题共9小题，共86分17. （本小题满分8分） 计算：0(3)3π-+-+18．（本小题满分8分）化简求值：24362a a a --+-，其中5a =-。
19. (本小题满分8分)如图．在△ABC 中．D 是AB 的中点．E 是CD 的中点．过点C 作CF ∥AB 交AE 的延长线于点F ．连接BF 。
（1）(4分)求证：DB=CF ；（2）(4分)如果AC=BC ．试判断四边彤BDCF 的形状． 并证明你的结论。
20．(本小题满分8分) “国际无烟日”来临之际．小敏同学就一批公众对在餐厅吸烟所持的三种态度(彻底禁烟、建立吸烟室、其他)进行了调查．并把调查结果绘制成如图1、2的统计图．请根据下面图中的信息回答下列问题：（1）(2分)被调查者中，不吸烟者中赞成彻底禁烟的人数有____________人： （2）(2分)本次抽样凋查的样本容量为____________（3）(2分)被调查者中．希望建立吸烟室的人数有____________；（4）(2分)某市现有人口约300万人，根据图中的信息估计赞成在餐厅沏底禁烟的人数约有________万人．21. (本小题满分8分)如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，O 、D 分别为AB 、BC 上的点．经过A 、D 两点的⊙O 分别交AB 、AC 于点E 、F ，且D 为 EF的中点． （1）(4分)求证：BC 与⊙O 相切；（2）(4分)当AD=；∠CAD=30°时．求 AD 的长，22．(本小题满分10分)如图，将—矩形OABC 放在直角坐际系中，O 为坐标原点．点A 在x 轴正半轴上．点E 是边AB 上的—个动点(不与点A 、N 重合)，过点E 的反比例函数(0)ky x x=>的图象与边BC 交于点F 。
（1）(4分)若△OAE 、△OCF 的而积分别为12S S 、．且12=2S S +，汆k 的值： （2）(6分) 若OA=2．0C=4．问当点E 运动到什么位置时．四边形OAEF 的面积最大．其最大值为多少?23. (本小题满分I0分)某高科技公司根据市场需求，计划生产A 、B 两种型号的医疗器械，其部分信息如下： 信息一：A 、B 两种型号的医疔器械共生产80台．信息二：该公司所筹生产医疗器械资金不少于1800万元，但不超过1810万元．且把所筹资金全部用于生产此两种医疗器械．信息三：A 、B 两种医疗器械的生产成本和售价如下表：根据上述信息．解答下列问题： （1）（6分）该公司对此两种医疗器械有哪-几种生产方案？哪种生产方案能获得最大利润？ （2）（4分）根据市场调查，-每台A 型医疗器械的售价将会提高a 万元（0a >）．每台A 型医疗器械的售价不会改变．该公司应该如何生产可以获得最大利润？ (注：利润=售价-成本)24．(本小题满分12分)已知抛物线2y ax bx c =++的对称轴为直线2x =，且与x 轴交于A 、B 两点．与y 轴交于点C ．其中AI(1，0)，C(0，3-)． （1）（3分）求抛物线的解析式；（2）若点P 在抛物线上运动（点P 异于点A ）．①（4分）如图l ．当△PBC 面积与△ABC 面积相等时．求点P 的坐标；②（5分）如图2．当∠PCB=∠BCA 时，求直线CP 的解析式。
25.(本小题满分14分)已知菱形ABCD 的边长为1．∠ADC=60°，等边△AEF 两边分别交边DC 、CB 于点E 、F 。
（1）（4分）特殊发现：如图1，若点E 、F 分别是边DC 、CB 的中点．求证：菱形ABCD 对角线AC 、BD 交点O 即为等边△AEF 的外心；（2）若点E 、F 始终分别在边DC 、CB 上移动．记等边△AEF 的外心为点P ．①（4分）猜想验证：如图2．猜想△AEF 的外心P 落在哪一直线上，并加以证明； ②（6分）拓展运用：如图3，当△AEF 面积最小时，过点P 任作一直线分别交边DA 于点M ，交边DC 的延长线于点N ，试判断11DM DN+是否为定值．若是．请求出该定值；若不是．请说明理由。
数学参考答案及评分标准一、精心选一选1．C 2．D 3．A 4．C 5．B 6，B 7．A 8．C二、耐心填—填9．48.6410⨯ I0．1 1I ．7 12，9 13．4 14，58 15，5 16．5151 三，耐心填一填 17．解：原式=418. 原式=28a -+，当5a =-时，原式=1819. （1）证明略 （2）四边形BDCF 是矩形。
证明略。
20. （1）证明：连接OD ，则OD=OA ， ∴∠OAD=∠ODA∵D 为 EF的中点 ∴∠OAD=∠CAD ∴∠ODA=∠CAD ∴OD ∥AC又∵∠C=90°，∴∠ODC=90°，即BC ⊥OD ∴BC 与⊙O 相切。
（2）连接DE ，则∠ADE=90°∵∠OAD=∠ODA=∠CAD=30°，∴∠AOD=120° 在Rt △ADE 中，易求AE=4， ∴⊙O 的半径r=2∴AD 的长120241803l ππ⨯==。
22. 解：（1）∵点E 、F 在函数(0)ky x x=>的图象上，∴设111()(0)k E x x x >，，222()(0)kF x x x >，x∴111122k k S x x =⋅⋅=，222122k k S x x =⋅⋅=∵12=2S S +，∴222k k+=，2k =。
（2）∵四边形OABC 为矩形，OA=2，OC=4， 设(2)2k E ， ，(4)4k F ，∴BE=42k -，BF=24k - ∴211(4)(2)422416BEF k k S k k ∆=--=-+∵14242OCF k kS ∆=⨯⨯=，24=8OABC S =⨯⨯矩形∴2211=844162162BEF OCF OABC OAEF k kS S S S k k k ∆∆--=--+-=-++矩形四边形（）=21(4)516k --+ ∴当4k =时，5OAEF S =四边形，∴AE=2.当点E 运动到AB 的中点时，四边形OAEF 的面积最大，最大值是5. 23.解：（1）设该公司生产A 钟中医疗器械x 台，则生产B 钟中医疗器械（80x -）台，依题意得2025(80)18002025(80)1810x x x x +-≥⎧⎨+-≤⎩ 解得3840x ≤≤， 取整数得383940x =，，∴该公司有3钟生产方案：方案一：生产A 钟器械38台，B 钟器械42台。
方案二：生产A 钟器械39台，B 钟器械41台。
方案一：生产A 钟器械40台，B 钟器械40台。
公司获得利润：(2420)(3025)(80)400W x x x =-+--=-+ 当38x =时，W 有最大值。
∴当生产A 钟器械38台，B 钟器械42台时获得最大利润。
（2）依题意得，(4)5(80)(1)400W a x x a x =++-=-+当10a ->，即1a >时，生产A 钟器械40台，B 钟器械40台，获得最大利润。
当10a -=，即1a =时，（1）中三种方案利润都为400万元；当10a -<，即1a <时，生产A 钟器械38台，B 钟器械42台，获得最大利润。
24. 解：（1）由题意，得0322a b c c ba ⎧⎪++=⎪=-⎨⎪⎪-=⎩，解得143a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩∴抛物线的解析式为243y x x =-+-。
（2）①令2430x x -+-=，解得1213x x ==， ∴B （3, 0） 当点P 在x 轴上方时，如图1，过点A 作直线BC 的平行线交抛物线于点P ，B第25题 图1易求直线BC 的解析式为3y x =-， ∴设直线AP 的解析式为y x n =+， ∵直线AP 过点A （1,0），代入求得1n =-。