2.2.1北师大版九年级数学下册课件第二章第二节二次函数的图象和性质第一课时二次函数y=x2图象和性质
(4)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？当x>0呢？ 2 1 (5)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么？你是如何知道的？
-4 -3 -2 -1 0 -2 1 2 3 4 x
2014.12
y x2
二次函数y=x2的 图象形如物体抛射 时所经过的路线,我 们把它叫做抛物线. 这条抛物线关于 y轴对称,y轴就 是它的对称轴. 对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点.
2014.12
2014.12
1.已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）. （1）求此抛物线的函数解析式； （2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上.
练习与提高
（3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.
解：（1）把（-2，-8）代入y=ax2,得 -8=a(-2)2, 解得a= -2,所求函数解析式为y= -2x2. （2）∵当x=-1时,y=-2· (-1)2 ≠ -4, ∴点B（-1 ，-4）不在此抛物线上.
-10
y=-x2
2014.12
y
二次函数y= -x2的 图象形如物体抛射 时所经过的路线,我 们把它叫做抛物线. 这条抛物线关于 y轴对称,y轴就 是它的对称轴.
y x2
对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点.
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y 当x<0 (在对称轴的左侧)时, y随着x的增大而增大.
y x
2014.12
练习与提高 7．如图，A、B分别为y=x2上两点，且线 段AB⊥y轴，若AB=6，则 （-3，9） A点坐标为___________, B点坐标为___________. （3，9） 8．点A、B分别为y=－x2上两点，且线段 AB⊥y轴，若AB=5，则 A点坐标为 （-2.5，-6.25） . B点坐标为 （2.5，-6.25） .
-1 -2
-4 -6
1
2
3
4
x
?
-8 y=－x2 -10 2014.12
y
2 （1）你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流. -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -1 （2）图象与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么? -2 0
x
（3）当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？当x>0呢？ -4 （4）当x取什么值时,y的值最大?最大值是什么？你是如何知道的？ -6 （5）图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?请你找出 -8 几对对称点,并与同伴交流 .
y x
2
2014.12
知识技能 1.设正方形的边长为a，面积 为S，试作出S随a的变化而 变化的图象。 数学理解
yx
2
2.点A（2，4）在二次函数y=x2的图 象上吗？请分别写出点A关于x轴的 对称点B的坐标、关于y轴的对称点 C的坐标、关于原点O的对称点D的 坐标。点B、C、D在二次函数y=x2 的图象上吗?在二次函数y=-x2的图象 上吗？
2
当x>0 (在对称轴的右侧)时, y随着x的增大而减小.
当x= -2时,y= -4 当x= -1时,y= -1
抛物线y= -x2在x轴的 下方(除顶点外),顶点 是它的最高点,开口 向下,并且向下无限 伸展;当x=0时,函数y 的值最大,最大值是0.
当x=1时,y= -1 当x= 2时,y= -4
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yx
2
当x<0 (在对称轴的左侧)时, y随着x的增大而减小.
当x>0 (在对称轴的右侧)时, y随着x的增大而大.
当x=-2时，y=4 当x=-1时，y=1
抛物线y=x2在x轴的 上方(除顶点外),顶点 是它的最低点,开口 向上,并且向上无限 伸展;当x=0时,函数y 的值最小,最小值是0.
2014.12
练习与提高
4 9 4≤x≤－3,则 9．二次函数y=x2,若2≤x≤3,则___≤y≤___; 若－ 9 ___≤y≤___; 若－ 161≤x≤3,则___≤y≤___; 0 9 10.已知a>0，点（a，y1）、（a＋1，y2）都在函数y=x2的 ﹤ 2.（填“＜”或“>” ） 图象上，则y1______y 11．求直线y=x与抛物线y=x2的交点坐标． 12.求出函数y=x＋2与函数y=x2的图象的交点坐标．
（3） 当 y=-6 时， -6=-2x2 ,得 x2=3, x=± 3, ∴纵坐标为-6 的点有两个， 它们分别是( 3,-6)与(3,-6)
2014.12
练习与提高
3、已知点A(1，a)在抛物线y = x2 上。 （1）求A的坐标； （2）在x 轴上是否存在点P，使得△OAP是等腰三角形？ 若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。 y
（3）连线。
3、请你画出二次函数y=x2的图象。
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x y 描点
… …
－3 9
－2 4
－1 1 y 10 8 6 4 2 1
0 0
1 1
2 4
3 9
… …
连线
y=x2
-4
-3
-2
-1
0 -2
1
2
3
4
x
画二次函数y=x2的图象
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y
y=x2
10 (1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流. 8 (2)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?请你找 出几对对称点,并与同伴交流. 6
当x=1时，y=1 当x=2时，y=4
2014.12
yx
(2)先想一想，然后作出它的图象．
2
(1)二次函数y=-x2的图象是什么形状？
(3)它与二次函数y=x2的图象有什么关系？
x
y=-x2
…
…
-3
-9
-2
-4
-1
-1
0
0
1
-1
2
-4
3
-9
…
…
2014.12
描点
连线
y 2 -4 -3 -2 -1 0
抛物线 顶点坐标
对称轴 位置
y x2
在x轴的上方(除顶点外) 向上 开口方向
增减性
最值
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
当x=0时,y最小值为0.
当x=0时,y最大值为0. 2014.12
yx
2
抛物线y=x2与y=-x2关于 x轴对称
抛物线y=x2与y=-x2关于 原点中心对称 在同一坐标系 内，抛物线y=x2与 抛物线y= -x2的位 置有什么关系？
2014.12
课 堂 小 结
二次函数y=±x2的性质 １.顶点坐标 2.对称轴
y x2
3.位置
5.增减性
4.开口方向
6.最值 y=x2 （0，0） y轴 y= -x2 （0，0） y轴 在x轴的下方( 除顶点外) 向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
A
o
x
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练习与提高 4． y=x2图象可知，无论x取何值，y ≥ 0． y=－x2图象可知，无论x取何值，y ≤ 0．
（0，0） ．若点A（a，4）在其 5．抛物线y=x2的顶点坐标为 图象上，则a的值是 ±2 ．若点B（3，b）在其图象上， 9 则b= ． 6．抛物线y=－x2的顶点坐标为 ．若点A（3，m）在 （0，0） 其图象上，则m= -9 ．若点B（n，-4）在其图象上，则 n的值是 . ±2
九年级数学(下)第二章《二次函数》
§2.2二次函数的图象和性质
第一课时 二次函数y=±x2的图象和性质
2014.12
2014.12
复习： 1、什么叫做二次函数？
一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c 是常数，a≠0） 的函 数叫做x 的二次函数
2、画函数图象的主要步骤是什么？
（1）列表； （2）描点；
2014.12
2014.12
北师大版九年级数学下册.2二次函数的图象与性质课件
3
y 2x2
y 2x 2 1 向上
y轴
(0,1) 当x=0时， y随x的增 ymin 1 大而增大
y随x的增 大而减小
-4 -2
o2 4
y 2x2 1
x y 2x 2 1 向上
y轴
(0,-1)
当x=0时， ymin 1
y随x的增 大而增大
y随x的增 大而减小
任务二：二次函数 y ax 2 c 的图象与性质（指向目标二） 二次函数 y ax2与 y ax 2 c 的图象的关系： 二次函数 y ax 2 c 的图象可以由 y ax2 的图象平移得到：
任务一：二次函数 y ax2的图象与性质（指向目标一）
猜想：二次函数 y 1 x2 ，y 2x 2 ，y x 2 的图象是什么样的呢？ 2
其开口大小与a又有什么关系呢？
y
-4 -2 0 2 4 x
当a<0时，a越小，开口越小.
-3
y 1 x2 2
-6
y -92x 2 y x2
总结： a决定了抛物线的开口方向和开口大 小，a>0，图象开口向上，a<0，图象 开口向下，|a|越大，开口越小.
x<0递减 x>0递增
x<0递增 x>0递减
任务一：二次函数 y ax2的图象与性质（指向目标一） 画二次函数 y 2x 2的图象. 1.列表：完成下表：
x ··· -2 -1 0 1 2 ··· y ··· 8 2 0 2 8 ···
坐标
(-2,8) (-1,2) (0,0) (1,2) (2,8)
答案：1m > 1 2m < 2 3m 1或m 3 4m 2
2
评价标准： 答案正确加4分.
九年级数学下册第2章二次函数2.2二次函数的图象与性质2.2.2二次函数的图象与性质课件(新版)北师大版
图象形状 开口方向 对称轴
抛物线
抛物线 抛物线 向上 向上 向下 向下 y轴 y轴 y轴 y轴
顶点坐标
（0，0） （0，0）
（O，O）
（0，0）
y=-x2
抛物线
课堂探究
探究二 函数y=3x²及y=-3x²的图象会有哪些特点？
函 数
图象形状 开口方向 对称轴
抛物线 向上 y轴
顶点坐标
（0，0）
（O，O）
y=3x² y=-3x²
抛物线
向下
y轴
课堂探究
探究三
y=ax2（a≠0）的图象有哪些特征？
y=ax2 （a≠0）的图象是一条抛物线， 其顶点坐标是（0，0） 对称轴是y轴（也可写作直线x=0）
-4
y=2x2 y=x2
y
10 8
6
4
2
-2
0
2
x
当a>0时，开口向上；
当a<0时，开口向下 随着 ︱a︱的增大，开口将越来越小
(4)当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下. 随着︱a︱的增大，开口将越来越小.
2.二次函数y=ax2的图象与y=ax2+c(a≠0)的图象的关系
y=ax2+c是由 y=ax2的图象上下平移得到的 当c>0 时，向上平移c个单位; 当c<0 时，向下平移︱c︱个单位.
随堂检测
1.（乐山·中考）将抛物线y=-x2向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式
x y=-2x2 y=-x2 -2 -1 0 1 2
y=2x2 10
y
y=x2
8 6 4
2
-8 -4
-2 -1
0 0
2.2 二次函数的图象与性质二次函数y=a(x-h)2的图象与性质 课件 初中数学北师大版九年级下册
2
(2)抛物线 y=- (x+3) 的开口向下,对称轴为直线 x=-3,顶点坐标为
(-3,0).
6.已知抛物线y=a(x-h)2向右平移4个单位长度后,所得的图象与抛物
线y=-2(x-5)2 重合,求a,h的值.
解:抛物线y=-2(x-5)2的顶点坐标为(5,0).把点(5,0)向左平移4个单
函数图象如图所示.
∴抛物线的开口向上,对称轴为直线x=3,顶点坐标为(3,0),函数有最
小值0,
当x>3时,y随x的增大而增大;当x<3时,y随x的增大而减小.
1.将二次函数y=-3x 2 的图象平移后,得到二次函数y=-3(x-1) 2 的图
象,平移方法正确的是(
A.向左平移1个单位长度
B.向右平移1个单位长度
而减小.
新知应用
2
1.已知抛物线 y=a(x+m) (m 为常数)的顶点在 y 轴的右侧,且 am<0,则
此图象的开口方向 向上 .
2
2.画出函数 y= (x-3) 的图象,并说出此函数的性质(开口方向、对称
轴、顶点坐标、最值、增减性).
解:当x=0或x=6时,y=4.5;当y=0时,x=3;当x=1或x=5时,y=2.
新知应用
1.在平面直角坐标平面内,把二次函数y=(x+1)2的图象向左平移2个
单位长度,那么图象平移后的函数表达式是( D )
A.y=(x+1)2-2
B.y=(x-1)2
C.y=(x+1)2+2
D.y=(x+3)2
2.函数y=(x+3)2的图象可以由函数y=x2的图象向 左
北师大版九下数学第2章 二次函数 2.2.1 二次函数y=ax2与y=-x2的图象与性质【习题课件】
整合方法
11．已知函数y＝(m＋2)xm2＋4m＋5是关于x的二次函数． (1)求满足条件的m的值． 解：根据题意有mm＋ 2＋24≠m0＋，5＝2. 解得mm≠ ＝－ －23， 或m＝－1. 即当m＝－3或m＝－1时，函数y＝(m＋2)xm2＋4m＋5 是关于x的二次函数．
整合方法
BS版 九年级下
第2章 二次函数
2 二次函数的图像与性质
第1课时 二次函数y＝x2与y＝－x2的 图象与性质
夯实基础
1．已知正方形的边长为x(cm)，则它的面积y(cm2)与边 长x(cm)的函数关系图象为( C )
【点拨】根据正方形的面积公式可知，函数表达式 为y＝x2，又x＞0，故选C.
夯实基础
探究培优
解：存在．当 OA＝AP 时，点 P 的坐标为(2，0)；当 OA＝OP 时，点 P 的坐标为( 2，0)或(－ 2，0)；当 OP＝AP 时，点 P 的坐标为(1，0)．
探究培优
14．有一抛物线型城门洞，拱高为4 m，如图，把它放 在平面直角坐标系中，其函数表达式为y＝－x2. (1)求城门洞最宽处AB的长； 解：因为点O到AB的距离为4 m，所以A，B两点的 纵坐标都为－4，由－4＝－x2，得x＝±2.又点A在点 B的左侧，所以点A的坐标为(－2，－4)，点B的坐标 为(2，－4)．所以AB＝4 m．即城门洞最宽处AB的长 为4 m.
整合方法
(2)两者是否存在另一个交点？若存在，请求出另一个交 点的坐标；若不存在，请说明理由．
解:存在．联立方程组 yy＝ ＝－ 3x－x2，10，解得yx＝＝－－255，或xy＝＝－2，4. 则另一个交点的坐标为(－5，－25)．
探究培优
13．已知点A(1，a)在抛物线y＝x2上． (1)求点A的坐标． 解：把点A(1，a)的坐标代入y＝x2， 得a＝1，所以点A的坐标为(1，1)． (2)在x轴上是否存在点P，使得△OAP是等腰三角形？ 若存在，求出点P的坐标； 若不存在，请说明理由．
北师大版数学九年级下册《二次函数的图象及性质》课件
象.
y
8
7 6 5 4 3 2 1
-4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 x
-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8
自学指导2（1分钟）
认真观察下图，思考二次函数 y ax2 ay 02x图2 象y 的性质
是什么？（从形状、开口方向、对称轴、顶点8、增减性、
最值、开口大小进行分析）
y x2
结论：
抛 物 线 y=ax2+c 的 图 象 相 当 于 把 抛 物 线
y=ax2的图象
（c＞0）或 10
y = 2x2＋
向上 8
1 y = 2x2－
向下 （c＜0）平
移 |c| 个单位. 6 1
4
2
－4 －2 －2
24
可以发现，把抛物线y=2x2 向 上 平移1个单位长 度，就得到抛物线 y=2x2+1 ；把抛物线 y=2x2 向 下 平
当a＜0时，a越大开口越大
a 越大，开口越小
学生自学，教师巡视（4分钟）
自学检测2 (5分钟)
1.函数 y ax a 是二次函数，当a＝ 2 时，其图象开口 向上；这时候函数有最__小___值___0___
2.已知二次函数 y1 3x2, y2 象开口由小到大的顺序是(
C
1x
3)
2
,
y3
3 x2 2
易错点： 当点所在象限不明确时，要分类讨论
小结（2分钟） 1、二次函数 y ax2的图象及性质
2、二比次较函y数值大小y的方ax法2 a 0
y ax2 a 0
图象①形代状入法
抛物线
图②象利及用增减性y
开口③方图向象法
向上
y o
2.2.2 二次函数的图象与性质(课件)九年级数学下册课件(北师大版)
解: 依题意有: m2+m=2 ②
解②得:m1=－2, m2=1
由①得:m>－1
∴ m=1 此时,二次函数为: y=2x2.
随堂练习
1.若二次函数y=axa2－2 的图象开口向下，则a 的值为( )
A.2
B. －2
C.4
D. －4
2.已知二次函数y=(2－a)xa2－14，在其图象对称轴的左侧，y
问题1. 抛物线y=2x2+1,y=2x2-1的开口方向、对称轴和顶点各是什么
？
二次函数 开口 方向
顶点 坐标
对称轴
10 8
y =2x2 向上 (0,0) y轴
6
y =2x2＋ 1
向上 (0,1)
y轴
4 2
y=2x2－1 向上 (0,-1) y轴 －4 －2 －2
y = 2x2＋1 y = 2x2－1
开口方向 对称轴 顶点
a>0，开口向上， a＜0，开口向下
y轴
原点（0，0）
（0，c）
增减性
a>0时，在对称轴左侧递 a>0时，在对称轴左侧递减， 减，在对称轴右侧递增； 在对称轴右侧递增；a<0时， a<0时，在对称轴左侧递 在对称轴左侧递增，在对 增，在对称轴右侧递减 称轴右侧递减
最值 最大（小）值是0 最大（小）值是c
(1)比较a，b，c，d 的大小； (2)说明a与c，b与d的数量关系.
解：（1）由抛物线的开口方向， 知a ＞ 0，b ＞ 0，c ＜ 0，d ＜ 0. 由抛物线的开口大小，知|a| ＞ |b|，|c| ＞ |d|， 因此a ＞ b，c ＜ d.∴ a ＞ b ＞ d ＞ c. （2）∵①与③，②与④分别关于x 轴对称， ∴①与③，②与④的开口大小相同，方向相反. ∴ a+c=0，b+d=0.
北师大版九年级下册第二章二次函数2.2 二次函数的图象与性质(第1课时) 教学设计
第二章 二次函数《二次函数的图象与性质（第1课时）》一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生在前面已经学习过一次函数、反比例函数，经历过探索、分析和建立两个变量之间的一次函数、反比例函数关系的过程，并学会了用描点法画函数图象的方法.在本章第一节课中，又学习了二次函数的概念，经历了探索和表示二次函数关系的过程，获得了用二次函数表示变量之间关系的体验.学生活动经验基础：在学习一次函数、反比例函数过程中，学会了用描点法画函数图象的方法，学生已具备了一定的作图能力，并经历了利用一次函数、反比例函数图象探索函数性质的活动，解决了一些简单的现实问题，感受到了数形结合的必要性和重要性，获得了一些探究函数图象和性质的数学活动经验基础；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力.二、教学任务分析教科书基于学生对二次函数的概念认识，提出了本课的具体学习任务：能利用描点法画函数2x y ±=的图象，并能根据图象认识和理解二次函数2x y ±=的性质.为此，本节课的教学目标是：知识与技能1．能够利用描点法画函数2x y =的图象，能根据图象认识和理解二次函数2x y =的性质．2．猜想并能作出2x y -=的图象，能比较它与2x y =的图象的异同． 过程与方法1．经历探索二次函数2x y =的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验．2．由函数2x y =的图象及性质，对比地学习2x y -=的图象及性质，并能比较出它们的异同点，培养学生的类比学习能力和发展学生的求同求异思维．情感与态度1．通过学生自己的探索活动，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解．2．在利用图象讨论二次函数的性质时，让学生尽可能多地合作交流，以便使学生能够从多个角度看问题，进而比较准确地理解二次函数的性质．教学重点：作出函数2x ±的图象，并根据图象认识和理解二次函数2x y ±=的性质.教学难点：由2x y =的图象及性质对比地学习2x y -=的图象及性质，并能比较出它们的异同点.教学过程分析（一）创设问题情境，引入新课［师］我们在学习了正比例函数，一次函数与反比例函数的定义后，研究了它们各自的图象特征.知道正比例函数的图象是过原点的一条直线.一般地一次函数的图象是不过原点的一条直线，反比例函数的图象是双曲线.上节课我们学习了二次函数的一般形式为c bx ax y ++=2（其中c b a 、、均为常数且0≠a ）.那么它的图象是否也为直线或双曲线呢？本节课我们将一起来研究有关问题.（二）新课讲解1、作函数2x y =的图象［师］一次函数的图象是一条直线.二次函数的图象是什么形状呢？让我们先看最简单的二次函数2x y =.大家还记得画函数图象的一般步骤吗？［生］记得. 列表，描点，连线.［师］非常正确，下面就请同学们跟我按上面的步骤作出2x y =的图象.（1）列表：（2）在直角坐标系中描点.（3）用光滑的曲线连结各点，便得到函数图象.［师］同学们有没有什么疑惑？们都是直接用直线来连接各点的，我这里画出的是折线图，难道不对吗？［师］这个问题提得好.二次函数图象是到底用直线连接还是用光滑的曲线来连接更为合理呢？不知同学们考虑这个问题没有：列表时我们取的点都是整数点，在整数点之间还有许多小数的点并未取，如自变量1与2之间还有无数个小数，假设我们把点取得更多一些我们就能看出二次函数图象的真正面貌了.不妨取20个点试试，再取50个点试试.[生]老师，我明白了，取的点足够多时我们就能看出其本来面貌的.2、议一议对于二次函数2x y =的图象，（1）你能描述图象的形状吗？与同伴进行交流.（2）图象与x 轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？（3）当0<x 时，随着值的增大，的值如何变化？当0>x 时呢？（4）当x 取什么值时，y 的值最小？最小值是什么？你是如何知道的？（5）图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请找出几对对称点，并与同伴进行交流.［生］（1）图象的形状是一条曲线，就像抛出的物体所进行的路线的倒影.（2）图象与x 轴有交点，交于原点，交点坐标就是（0，0）.（3）当0<x 时，图象在y 轴的左侧随着x 值的增大，y 的值逐渐减小；当0>x 时，图象在y 轴的右侧，随着x 值的增大，y 的值逐渐增大.（4）观察图象可知，当x=0时，y 的值最小，最小值为0.（5）观察图象是轴对称图形，它的对称轴是y 轴，从刚才的列表中可找到对应点（-1，1）和（1，1）；（-2，4）和（2，4）；（-3，9）和（3，9）.［师］大家分析判断能力很棒，下面我们系统地总结一下.3、2x y =的图象的性质［师］二次函数________2的图象是一条x y =，它的开口________,且关于______对称.对称轴与抛物线的交点是抛物线的________,它是图象的_________.同学们在补充一下：［生］（1）最低点坐标是（0，0）.（2）在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而增大.（3）图象与x 轴有交点，这个交点也是对称轴与抛物线的交点，这个交点也是对称轴与抛物线的交点，称为抛物线的顶点，同时也是图象的最低点，坐标为（0，0）.（4）因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x ＝0时，y 最小值＝0.4、做一做PPT 显示：2x y -=二次函数图象是什么形状？先想一想，然后作出它的图象.它与二次函数2x y =的图象有什么关系？与同伴进行交流.［师］请大家按照画图的步骤作出函数2x y -=的图象.［生］2x y -=的图象如右图：形状还是抛物线，只是它的开口方向向下，它与2x y =的图象形状相同，方向相反，这两个图形可以看作是关于x［师］下面我们试着讨论2x y -=的图象的性质.［生］（1）抛物线的开口方向是向下.（2）它的图象有最高点，最高点坐标是（0，0）.（3）它是轴对称图形，对称轴是y 轴.在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而减小.（4）图象与x 轴有交点，称为抛物线的顶点，同时也是图象的最高点，坐标为（0，0）.（5）因为图象有最高点，所以函数有最大值，当0=x 时，y 最大值＝0.［师］大家总结得非常棒.5、2x y =函数与的2x y -=图象的比较.我们观察函数2x y =与2x y -=的图象，并对图象的性质作系统的研究，现在我们再来比较一下它们的图象的异同点.（1）、开口方向不同，2x y =开口向上，2x y -=开口向下.（2）、函数值随自变量增大的变化趋势不同，在2x y =图象上，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，y 随x 着的增大而减小，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大.在2x y -=的图象上正好相反.（3）、在2x y =中y 有最小值，即0=x 时，y 最小值＝0；在2x y -=中，y 有最大值.即当0=x 时，y 最大值＝0.（4）、2x y =有最低点，2x y -=有最高点.相同点：（1）、图象都是抛物线.（2）、图象都与x 轴交于点（0，0）.（3）、图象都关于y 轴对称.联系：它们的图象关于x 轴对称.6、思考拓展.［师］从上面的比较中，还有没有什么问题要提出来？［生］从2x y =和2x y -=两个二次函数的解析式来比较，只是相差一个符号，而图象的张口方向却正好相反.那么二次函数的图象的开口方向到底跟什么有关呢？［师］很善于思考.我们现在来看这几个二次函数的图象22x y =、23x y =（二次项系数均为正值），再来看另几个二次函数图象22x y -=、23x y -=（二次项系数均为负值），你们发现了什么规律？［生1］原来二次项系数为正时，抛物线开口朝上，二次项系数为负时，抛物线开口朝下.［生2]老师，我还发现从二次项系数的绝对值来看，绝对值越大，开口越小，绝对值越小，开口越大.［师］说得非常好，对于2ax y =这类二次函数来说，a 与其张口大小、张口方向都有关系.（并就本节整体内容进行总结，并给学生以感想的时间.）（三）布置作业设计思路：先通过列表描点连线初步得到2x y =的图象，进而通过增加满足函数的点数感悟此函数的真正图象，并通过观察图象来了解2x y =函数图象的性质特征.利用相同办法同时研究2x y -=图象的性质，并对两函数进行对比，体会造成图象不同的原因，并进而引发学生产生是不是二次函数二次项系数a 为正开口向上、二次项系数为负开口向下的疑问并画图验证，而由此又生发出a 的绝对值对其张口大小的思考，教师通过课件解惑并归纳.。
北师九下数学2.2.1二次函数的图象与性质1二次函数y=x2图象和性质九年级下册第二章二次函数第二节课件北师版
解得a= -2,所求函数解析式为y= -2x2. （2）∵当x=-1时,y=-2· (-1)2 ≠ -4, ∴点B（-1 ，-4）不在此抛物线上.
（3）当 y=-6 时，-6=-2x2 ,得 x2=3, x=± 3, ∴纵坐标为-6 的点有两个， 它们分别是( 3,-6)与(3,-6)
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练习与提高
2、已知点A(1，a)在抛物线y = x2 上。 （1）求A的坐标； （2）在x 轴上是否存在点P，使得△OAP是等 腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在， y 说明理由。
A o
x
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练习与提高
3. y=x2图象可知，无论x取何值，y ≥ 0． y=－x2图象可知，无论x取何值，y ≤ 0．
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课 堂 小 结
二次函数y=±x2的性质 １.顶点坐标 2.对称轴 3.位置 4.开口方向 5.增减性 6.最值 y=x2
y x2
抛物线
（ 0， 0） 顶点坐标 对称轴 y轴 y轴 位置 在x轴的上方(除顶点外) 在x轴的下方( 除顶点外)
开口方向 向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
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2 -4 -3 -2 -1
-1 -2
-4 -6 -8 -10
y
2
（1）你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流. ? （3）当x<0时,随着x的值增大 -4,y 的值如何变化？当x>0呢 ？ （4）当x取什么值时,y的值最大?最大值是什么？
-6
1 2 3 4 x -1 （2）图象与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么 -2 -4 -3 -2 -1
北师版九年级数学下册课件 第二章 二次函数 第2课时 二次函数y=ax2,y=ax2+c的图象与性质
3．(3 分)若 A(－2，y1)，B(1，y2)是二次函数 y＝－23 x2 图象上的两点，则( C ) A.0＜y1＜y2 B．y1＜0＜y2 C．y1＜y2＜0 D．y2＜y1＜0
4．(3 分)若原点是抛物线 y＝(m＋3)x2 的最高点，则 m 的取值范围为___m_＜__－__3___．
解：(1)∵点 A(4，0)，点 B(0，6)，∴OA＝4，易得直线 AB 的表达式为 y＝－32 x
＋6，∴S△AOP＝12 OA·yP＝12 ·4yP＝6，∴yP＝3，∴－32 xP＋6＝3，∴xP＝2，∴点 P(2，
3).又∵点 P(2，3)在抛物线 y＝ax2＋2 上，∴3＝22a＋2，∴a＝1 4
第二章 二次函数
2.2 二次函数的图象与性质
第2课时 二次函数y＝ax2，y＝ax2＋c的图象与性质
二次函数y＝ax2的图象与性质 1．(2 分)如图，二次函数 y＝－3x2 的图象为( C ) A.① B．② C．③ D．④
2．(3 分)抛物线 y＝2x2，y＝－2x2，y＝1 x2 共有的性质是( B ) 2
第 13 题图
第 14 题图
三、解答题(共 36 分) 15．(10 分)如图，抛物线 y＝ax2＋2 与经过点 A(4，0)，B(0，6)的直线在第一象 限内相交于点 P，且△AOP 的面积为 6. (1)求 a 的值； (2)若将该抛物线向下平移 m 个单位长度后所得的抛物线经过点 A，求 m 的值．
解：(1)根据题意可知顶点 C(0，4)，点 A(－2，8)，点 B(2，8)，∴可设抛物线的函 数表达式为 y＝ax2＋4.将点 B(2，8)代入 y＝ax2＋4，得 8＝22a＋4，解得 a＝1，∴该抛 物线的函数表达式为 y＝x2＋4
北师版九年级下册数学精品教学课件 第二章二次函数 第1课时 二次函数y=x2和y=-x2的图象与性质
-3
y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
-6
-9
图象是一条开口向下的抛物线.
当 x < 0 时，y 随 x 的增大而增大 ；
-4 -2 0 2 4 x
当 x > 0 时，y 随 x 的增大而减小；
-3
抛当物x线= 关0 时于，y轴ym对ax =称0..
-6
顶点坐标是（0，0）；是抛物线
∴S△ACO＝
1 2
·CO·4＝8，S△BOC＝
1 2
×4×1＝2，
∴S△ABO＝S△ACO＋S△BOC＝10.
1. 两条抛物线 y x2 与y x2在同一坐标系内，下列
说法中不正确的是（ C ）
A. 顶点坐标均为 (0，0) B. 对称轴均为 x = 0
C. 开口都向上
D. 都有 (0，0) 处取最值
6. 已知 y (2 a)xa27是二次函数，且当 x ＞ 0时，y
随 x 的增大而减小，则 a =__3______.
解析：由题意可知 2 a 0,
解得
a
=
3
或aa
2 7 = -3.
2,
y x2或y 5x2.
又∵当 x ＞ 0时，y 随 x 的增大而减小，
∴a = 3.
7.已知点(－3，y1)，(1，y2)，( 2 ，y3)都在函数 y＝x2 的图象上，则 y1、y2、y3 的大小关系是__y_1 _>_y_3_>__y_2． 解析：方法一：把 x＝－3，2 ，1，分别代入 y＝x2 中，
当 x > 0 时呢？
当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小； y
9
当 x > 0 时，y 随 x 的增大而增大.