平面曲线曲率之研究与动画模拟
第七节平面曲线的曲率
为半径的圆为 L 在点 M 的曲率圆.
为曲率半径.
二、曲率
1．曲率就是曲线在某点处的弯曲程度.如路 弯度大，车子离心率越大；梁一般在弯的最厉害 的地方断裂；……圆的半径越小弯的越厉害，于 是 2. 定义： 1 k
2 y 0 . 4 x 例3 一工件内表面截线为 ，用砂轮磨 削其内表面，半径多大合适？ 解：砂轮半径 抛物 y 线上各点处曲率半径 2 y 0 . 4 x 的最小者，才不会破 坏工件内表面， 由例2 知抛物线在顶点处曲 曲率半径最小. 率最大， y 0.8 x ， y 0.8 x O 0.8 k (0,0) 0.8 ， 32 (1 0) 1 k 1.25 ， 所以砂轮半径不能大于1.25.
( x0 a ) [ f ( x0 ) ] f ( x0 ) 0
(5)
(6)
1 [ f ( x0 )]2 [ f ( x0 ) ] f ( x0 ) 0
从(6)式解出:
1 [ f ( x0 )]2 f ( x0 ) f ( x0 )
第七节 平面曲线的曲率
讲解方法一：
一、曲率圆
1、实际问题： 一质点作曲线运动， 考察 y 运动在某点 M ( x0 , f ( x0 )) 处的情形. 局部情形时， 可用圆周曲线来替代这点 附近的曲线 L ， 这样就可 以用圆周运动的知识来析 o 这点处的曲线运动.
D
y f ( x)
L
M
x0
x
再代入(5)式解出：
1 [ f ( x 0 )] x 0 f ( x 0 ) f ( x0 )
代入(2)式解出：
最新24-平面曲线的曲率汇总
解
x 0 1 , y0 1 ,
y x 1 2 xx 1 2 , yx12, 在点(1,1)处的曲率半径为
R
(1
y2
)
3 2
(122)23 125
y
2
2
曲率中心为
x0
y(1y2) y
12(122)4 2
y0
1 y2 y
1122 2
7 2
曲率中D(心 4, ： 7). 2
曲率圆的方程为
(x4)2(y7)2125 24
在M 点 处可用一个相应的圆来描述曲线的弯曲程度
曲率中心的坐标
设曲y 线 f(x )方 ,f(x )程 存为 在
f(x0)0,则曲线在点 M(x0, y0)处的曲率
中心 D(, )的坐标为
x0
y(1y2), y
y0
1 y2 y
,
式 y 与 中 y 是 y f(x )在 M 处 点的 .
求抛 yx2 物 在(1 线 ,点 1 )处的 例5 曲率半径、曲率中心和曲率圆方程 .
,
2
,
3,
2
因a为 b, 故在各象限中
dk
d
的符号依次为
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
+
+
由此当 可得:2当 , 32时 0,,k时 取 ,k最 取小 km最 in 值 kab大 m2ax b值 a2
在有些实际问题中 , 若 |y|1 , 则可 k|y 取 |.
k 1, R5. 5
O
M
O
M
曲率圆 曲率半径 曲率中心 曲率半径曲1率
24-平面曲线的曲率
例1 求半径为 R 的圆上任意一点处的曲率 .
曲线的曲率曲率半径
.
O点处抛物线轨道的曲率半径
y
x0
x 2000
x0
0,
y
x0
1. 2000
得曲率为
k
x x0
1. 2000
曲率半径为 2000 米.
F 70 4002 5600(牛) 571.4(千克), 2000
Q 70(千克力) 571.4(千克力),
641.5(千克力).
即:飞行员对座椅的压力为641.5千克力.
§2-8
曲线的曲率.曲率半径
一、平面曲线的曲率及其计算公式
曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量．
1
2
M2 S2 M3
S1
M1
弧段弯曲程度 越大转角越大
S1
M
M
N
S2 N
转角相同弧段越 短弯曲程度越大
y
M0 是基点. MM s ,
C
M.
M M 切线转角为 .
S
. M0 S M
)
定义
o
x
弧段MM的平均曲率为K .
s
曲线C在点M处的曲率 K lim s0 s
在 lim d 存在的条件下,
s0 s ds
K
d .
ds
注意: (1) 直线的曲率处处为零; (2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数, 对于半径为R的圆周 Δ S = RΔθ
1
s R
（3）曲率的倒数称为 曲率半径 = 1/K
1 cos t
sin3 t
2
y
1 4a
1 sin4
t
,
代入公式K
(1
y y2 )3/ 2
1 4a sin
t
微分几何论文——曲率
姓名： 学号：摘要曲率是用来刻画曲线的弯曲程度，直观上当一点沿曲线以单位速度进行时，方向向量转动的快慢反应了曲线的弯曲程度。
半径小的圆的弯曲得厉害。
曲率的弯曲程度在工程技术、自然科学和日常生活中有着重要的作用。
曲线曲率的应用广泛，本文就此简单介绍一下曲线曲率。
关键词：空间曲线 ；平面曲线 ；曲线曲率 ；全曲率 ；相对曲率1.空间曲线的曲率设给定的空间曲线)(:s r r=Γ是3C 类曲线，其中s 为曲线的自然参数，在其上赋予Frenet 标架[])(),(),();(s s s s r γβα，则参数s 的变化导致标架基本向量的变化，而标架的变化刻画出曲线Γ在一点邻近的形状[2]。
•••=rα是)(s α对s 的旋转速度，它刻画出Γ在s 点邻近的弯曲程度。
对于曲线)(:s r r=Γ，称)()(s r s k ••= 为曲线Γ在s 点的曲率，当0)(≠s k 时，其倒数)(1)(s k s =ρ称为曲线Γ在s 点的曲率半径。
注：曲率)(s k 为α 对s 的旋转速度，并且)()()(s s k s βα=•。
事实上，ββααk rrr r ====••••••••••.定理：空间曲线)(:s r r=Γ为直线的充分必要条件是其曲率0)(≡s k .证明：若Γ为直线b a s s r +=)(，其中a 和b 都是常量，并且1=a ，则0)()(==••s r s k；反之，若0)()(≡=••s r s k ，则o s r ≡••)(，两次积分后有b a s s r+=)(，所以该曲线是直线。
设曲线Γ的一般参数表示为)(t r r=，则有222"')()()(dts d r dt ds r t r dt ds r dt ds ds r d t r ••••+=== ， 于是3222"')()(dtds r r dt s d r dt ds r dt ds r r r •••••••⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯=⨯3"')(,sin dtds r r r r r r ><=⨯•••••• 因为',,1r dtds r r r =⊥=••••，所以3'"'r k r r =⨯。
平面曲线曲率半径的运动学探究
平面曲线曲率半径的运动学探究以曲线和曲面为代表的几何特征在现代生活中随处可见，研究者对其在现代大型建筑设计、工业生产制造、物体运动学规律等诸多领域进行了广泛深入的探究。
本文详细分析了平面曲线曲率几何学特征以及其对应的运动学规律，试图从多个角度对曲线曲率问题进行全方位的解读与探索，同时利用电脑编程求解，进一步研究了椭圆曲线在不同长短半轴比下的曲率半径变化规律。
标签：平面曲线；曲率半径；运动学分析；椭圆曲线曲率；程序求解一、概述在现今社会生活中，以曲线和曲面为代表的几何特征处处可见。
建筑设计中的直曲结合、汽车外形流线型曲面的制造加工以及各种物体的曲线运动等，都是生活中对曲线、曲面的应用。
因此，在现实生活应用的基础上对各种曲线曲面几何特征的研究具有重要意义。
其中，平面曲线的曲率半径在数学和物理学中具有相通之处，由此又激发了我们从不同的学科角度对一个概念进行深入理解的灵感。
平面曲线在各种领域得到广泛应用。
在综合地质勘探的编录中，[1]地质学家利用曲率圆的某一段圆弧来近似地代表岩层的一段走向，即“以曲代直”；利用曲率半径来编录岩层走向变化大、有褶皱构造的坑道，并用这一编录结果与实际情况作比较。
勘测结果显示，这种方法具有一定的实用价值。
另外，科研人员根据平面曲线曲率半径的运动学规律制造各种机器零件。
例如，数控车床加工时，常常利用刀具切割多曲率圆弧面；在数控车床上加工多曲率圆弧面工件时，[2]不同曲率圆弧交接点的坐标值、加工工艺和刀具的应用非常重要，它不仅具备加工程序的简洁性，还会影响工件的加工质量和加工效率。
在工业制造中，加工特殊管道时，也需要对刀具的曲线加工路径以及刀具自身曲率半径进行深入的研究，用于工厂生产。
本文系统地从数学几何定理以及物理学物体曲线运动的角度探讨了平面曲线曲率的数学物理意义，从而全面认识平面曲线的几何特征的数学和运动学规律。
然后进一步以椭圆曲线为例，探讨了这一广泛存在于天体运动以及工业曲线加工领域的特征曲线的曲率半径变化规律，并通过数值程序的求解得到了不同位置的曲率半径，研究了椭圆曲线在不同位置的曲率半径大小。
平面曲线的曲率
( b , b2 4ac)
曲率表征曲线局部性质〔弯曲程度〕的量 砂轮的曲率应不小于抛物线顶点的曲率0.
2a 4a
K 2a
例2、设工件外表的截线为抛物线 y 0.4x2. 现在要用砂轮磨削其内外表.问用直径多大的砂轮 才比较适宜？
注: 直线上任意点处的曲率为 0 !
例2、设工件外表的截线为抛物线 y 0.
y 2a 思考：直线任意点处的曲率是多少?
K 注: 直线上任意点处的曲率为 0 !
现砂在轮要 的用曲砂率轮应磨不削小其于内抛外物表线顶. 点的曲率0.2
3 2
1y 1(2axb) 思考：直线任意点处的曲率是多少?
3 22
y
d
( 1
y2
)dx
0
故曲率计算公式为
y K (1 y2 )32
C:yf(x)
M
x
K d .
ds
例1 抛物线 yax2bxc在哪个点曲率最大？
1、引例：弯曲程度与哪些因素有关？
解: y2axb 砂轮的曲率应不小于抛物线顶点的曲率0.
例如：求半径为R 的圆上任意点处的曲率。
y 2a
25单位长 即直径不得超过2.
C
弧段 M M 平均曲率
K s
点 M 处的曲率
K lim d
s0 s
ds
M
s
M0 M
0
x
例如：求半径为R 的圆上任意点处的曲率。
M s
R M
思考：直线任意点处的曲率是多少?
注: 直线上任意点处的曲率为 0 !
二、曲率的计算公式
设曲线弧 y f (x)
平面曲线的弧长与曲率
O
ax
π
因此 s 4 2 x2(t ) y2(t )dt 0
π
4 2
3a cos2 t sin t
2
3a sin2 t cos t
2
dt
0
12a
π 2
sin
t
cos
tdt
12a
sin2
t
π 2
6a.
0
20
数学分析 第十章 定积分的应用
高等教育出版社
§3 平面曲线的弧长曲率
平面曲线的弧长
n
故 lim T 0 i1
x2(i ) y2(i )Δti
数学分析 第十章 定积分的应用
高等教育出版社
x2(t) y2(t) dt.
§3 平面曲线的弧长曲率
平面曲线的弧长
由第一章§1习题 6 可知
*平面曲线的曲率
x2(i ) y2(i ) x2(i ) y2(i ) y(i ) y(i ) . 又y(t)在[ , ]上连续，从而在[ , ]上一致连续，
b2
ab sin2 t
b2
32.
当 a b 0 时, 在 t 0, π 处曲率最大, 在 t π ,
3π 2
处曲率最小,
Kmax
a b2
, Kmin
b a2
.
2
数学分析 第十章 定积分的应用
高等教育出版社
§3 平面曲线的弧长曲率
平面曲线的弧长
*平面曲线的曲率
由例1可得,若
a
b
R,
则各点处曲率相等,
数学分析 第十章 定积分的应用
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§3 平面曲线的弧长曲率
平面曲线的弧长
*平面曲线的曲率
数学分析-平面曲线的弧长与曲率
解: 利用对称性
绕 x 轴旋转
星形线
星形线是内摆线的一种.
点击图片任意处 播放开始或暂停
大圆半径 R＝a
小圆半径
参数的几何意义
(当小圆在圆内沿圆周滚动
时, 小圆上的定点的轨迹为是内摆线)
内容小结
3. 平面曲线的弧长
曲线方程
参数方程方程
上
半圆为
下
它也反映了环面微元的另一种取法.
第三节、平面曲线的弧长与曲率
定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线 ,
当折线段的最大
边长 →0 时,
折线的长度趋向于一个确定的极限 ,
此极限为曲线弧 AB 的弧长 ,
即
并称此曲线弧为可求长的.
定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的.
则称
(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:
弧长元素(弧微分) :
因此所求弧长
的弧长 .
解:
例12. 求阿基米德螺线
相应于 0≤≤2
一段的弧长 .
解:
第四节、旋转体的侧面积
设平面光滑曲线
求
积分后得旋转体的侧面积
它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积 .
取侧面积元素:
例19. 计算圆
x 轴旋转一周所得的球台的侧面积 S .
解: 对曲线弧
应用公式得
当球台高 h＝2R 时, 得球的表面积公式
极坐标方程
弧微分:
直角坐标方程
注意: 求弧长时积分上下限必须上大下小
4. 旋转体的侧面积
侧面积元素为
(注意在不同坐标系下 ds 的表达式)
思考与练习
1.用定积分表示图中阴影部分的边界长 s .
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(3)
利用弧長表示式，可表示如下，其中 為半徑，ds為弧長
d ds
(4)
其中
1
ds
(dx)2
(dy)2
1
(
dy dx
)2
2
dx
(5)
根據(4)式得到
ds d
(6)
將(3)式及(5)式代入(6)式得
1
1
(
dy dx
)
2
2
•探討彼此間的關係，並整理出平面曲線曲率的各種 計算公式。 •透過Mathematica軟體建構軌跡動畫。
一、研究方法與數學推導：曲率與曲率半徑
• 平面座標系的微積分推導
給一平面曲線y(x)，如圖(一)所示：
y(x)在(x , y(x))處的切線斜率可表示為：
y ' dy tan
eJt eit 0 1
t
t2 2!
(29)
0 0 1 t
0 0 0 1
3.矩陣餘式定理應用
有一矩陣Ａ，特徵方程式為 f () 0，特徵值為 1 n。由Cayley-Hamilton theorem知 f ( A) 0。透過餘式定理可知
et f ()q() an-1 (t) n-1 an-2 (t) n-2 a1 (t)1 a0 (t)
dx
1
3
(
dy dx
)2
2
(7)
d2y
d2y
dx2
dx
dx2
1
(
dy dx
)2
所以可得曲率κ如下：
d2y
1
dx 2
3
1+(
dy dx
)2
2
(8)
• 平面座標系的弧長表示法
(25)
所以
eAt VeDtV 1
(26)
2.重根問題-Jordan Canonical Form
令有一 n n 矩陣A，其特徵值為重根。利用Jordan Canonical Form
解決重根問題。矩陣特徵值有二重根時Jordan Form表示為
1 0 0 0 0
0
2
0
0
1.無重根問題-傳統方法 假設有一矩陣A，其特徵向量組成的矩陣為V。vn為矩陣V之列向量
V v1vn
(22)
Av j jv j ， j 1,, n N
(23)
且
AV VD ， D diag(1,n )
(24)
則
eDt diag(e1t ,, ent )
= 1
(19)
則其長度為
(s) = 1
(20)
所以曲率半徑可藉由弧長參數表示法，變成
x2 + y2
=
(21)
x y x
二、研究方法與結果
• eAt矩陣函數運算：
運算矩陣特徵值時，若為相異根，則以傳統相似轉換法，即可求得。 若出現重根，則相似矩陣法無法解出 eAt 真正的解。故需使用Jordan Canonical Form解決重根問題。
圖(二) 位移向量 r(s)
定義單位切向量 為
dr
(15)
ds
則
s= r(s) =( x(s) , y(s) )
(16)
r(s) x(s)2+y(s)2 x(s)2+y(s)2
因為 為單位切向量，其長度為1，亦即
=1
(17)
取微分得
= 0
(18)
所以 與單位法向量 平行，因此我們可定義
(30)
將1 n 分別代入(32)式，可求得 an1 a0，再由實數和矩陣可互換性質，
實數 換為矩陣Ａ可得
eAt f ( A)Q( A) an-1 (t) An-1 an-2 (t) An-2 a1 (t) A a0 (t)I
(31)
代入矩陣Ａ解得 eAt
(x)3
• Frenet Formula
給一平面曲線，其時間參數表示式為( x(t), y(t)) ，藉由弧長關係式
(ds)2 (dx)2 (dy)2
(13)
可將時間參數表示法轉成至空間弧長參數表示如下:
r (x(t), y(t)) (x(s), y(s))
(14)
其中， r 為位置向量，ds為微小段路徑長，如下圖(二)所示。
0
A V 0 0 0 0 V 1
0
0
0 i
1
0 0 0 0 i
(27)
若特徵值為四重根，則Jordan矩陣可表示如下
i 1 0 0
J
0
i
1
0
(28)
0
0
0 0
i 0
1
i
1
t
t2 2!
t3 3!
前言
•在土木工程領域的範疇中，工程上的數學應用與計 算，一直扮演著極為重要的角色。
•土木工程應用上， e A 與 eAt 矩陣的計算在力學方面應用 相當廣泛。
• eAt 的幾何與力學意義就是本研究想要了解的重點。
研究議題
•以向量微積分觀點，探討平面曲線。
•利用曲線弧長參數表示法作為切入點。以不同的參 數表示式求得曲率半徑。 •矩陣函數 eAt 的求解技巧與應用。
d( )
y" = x(s) 1 = y x y x 1 = y x y x
(11)
ds x(s)
(x)2 x
(x)3
將(9)式和(11)式代入(7)式，曲率半徑可轉成如下表示式
=
1+(
y x
)2
3
(x2 +y2 ) 2 =
(12)
(y x y x) y x y x
給一平面曲線，其弧長參數表示式為(x(s),y(s))，則
y = dy = dy ds = y(s)
(9)
dx ds dx x(s)
y'' = d ( y') = d ds ( y')= d ( y') 1
(10)
dx
ds dx
ds x(s)
將(9)式代入(10)式，可得
y(s)
4.算例
例題1：已知矩陣
A
1 0
2 2
，求
(1)
dx
再對x做一次微分，可得
圖(一) 曲線y(x)的微小路徑變化
d 2 y d tan sec2 d (1 tan2 )d
dx2 dx
dx
dx
(2)
移項整理可得
d2y
d2y
d
dx2 (1 tan2 )
dx
dx2
1
(
dy dx
)
2
dx