平面曲线的曲率
第七节平面曲线的曲率
为半径的圆为 L 在点 M 的曲率圆.
为曲率半径.
二、曲率
1．曲率就是曲线在某点处的弯曲程度.如路 弯度大，车子离心率越大；梁一般在弯的最厉害 的地方断裂；……圆的半径越小弯的越厉害，于 是 2. 定义： 1 k
2 y 0 . 4 x 例3 一工件内表面截线为 ，用砂轮磨 削其内表面，半径多大合适？ 解：砂轮半径 抛物 y 线上各点处曲率半径 2 y 0 . 4 x 的最小者，才不会破 坏工件内表面， 由例2 知抛物线在顶点处曲 曲率半径最小. 率最大， y 0.8 x ， y 0.8 x O 0.8 k (0,0) 0.8 ， 32 (1 0) 1 k 1.25 ， 所以砂轮半径不能大于1.25.
( x0 a ) [ f ( x0 ) ] f ( x0 ) 0
(5)
(6)
1 [ f ( x0 )]2 [ f ( x0 ) ] f ( x0 ) 0
从(6)式解出:
1 [ f ( x0 )]2 f ( x0 ) f ( x0 )
第七节 平面曲线的曲率
讲解方法一：
一、曲率圆
1、实际问题： 一质点作曲线运动， 考察 y 运动在某点 M ( x0 , f ( x0 )) 处的情形. 局部情形时， 可用圆周曲线来替代这点 附近的曲线 L ， 这样就可 以用圆周运动的知识来析 o 这点处的曲线运动.
D
y f ( x)
L
M
x0
x
再代入(5)式解出：
1 [ f ( x 0 )] x 0 f ( x 0 ) f ( x0 )
代入(2)式解出：
曲线的曲率曲率半径
.
O点处抛物线轨道的曲率半径
y
x0
x 2000
x0
0,
y
x0
1. 2000
得曲率为
k
x x0
1. 2000
曲率半径为 2000 米.
F 70 4002 5600(牛) 571.4(千克), 2000
Q 70(千克力) 571.4(千克力),
641.5(千克力).
即:飞行员对座椅的压力为641.5千克力.
§2-8
曲线的曲率.曲率半径
一、平面曲线的曲率及其计算公式
曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量．
1
2
M2 S2 M3
S1
M1
弧段弯曲程度 越大转角越大
S1
M
M
N
S2 N
转角相同弧段越 短弯曲程度越大
y
M0 是基点. MM s ,
C
M.
M M 切线转角为 .
S
. M0 S M
)
定义
o
x
弧段MM的平均曲率为K .
s
曲线C在点M处的曲率 K lim s0 s
在 lim d 存在的条件下,
s0 s ds
K
d .
ds
注意: (1) 直线的曲率处处为零; (2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数, 对于半径为R的圆周 Δ S = RΔθ
1
s R
（3）曲率的倒数称为 曲率半径 = 1/K
1 cos t
sin3 t
2
y
1 4a
1 sin4
t
,
代入公式K
(1
y y2 )3/ 2
1 4a sin
t
高数 平面曲线的曲率 知识点与例题精讲课件
6
3
[1 ( y)2 ]2 (4sin2 t 9cos2 t )2
6
3
(4 5cos2 t )2
3
要使k 最大， 必有 (4 5cos2 t)2 最小，
t , 3 此时k 最大，
22
练习题
一、 填空题：
1、 曲率处处为零的曲线为________；曲率处处相等的
曲线为__________.
M M s
注意: 直线上任意点处的曲率为 0 !
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例1. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 .
解: 如图所示 , s R
K lim 1 s0 s R
M
s
R M
可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;
3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附 近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).
例4. 设一工件内表面的截痕为一椭圆, 现要用砂轮磨 削其内表面 , 问选择多大的砂轮比较合适?
解: 设椭圆方程为
由例3可知, 椭圆在
y
处曲率最大 ,
即曲率半径最小, 且为
R
(a2
sin
2
t
b2
cos 2
t
3
又( b , b2 4ac)为抛物线的顶点, 2a 4a
抛物线在顶点处的曲率最大.
例3. 求椭圆
在何处曲率最大?
解: x a sin t ;
y b cos t ; 故曲率为
x a cos t y b sin t
x 表示对参 数 t 的导数
K
(
x y xy x 2 y 2 )32
曲率
曲率曲率是数学中一个重要而深奥的概念，它被广泛应用于多个学科领域，包括物理学、几何学和工程学等。
本文将对曲率的定义、性质和应用进行探讨，帮助读者更好地理解这一概念。
曲率是描述曲线和曲面弯曲程度的一个数值指标。
一般来说，曲线的曲率是指曲线在某一点上几何形状的变化程度。
曲面的曲率则是指曲面在某一点上的沿不同方向的几何形状的变化程度。
对于平面上的曲线来说，曲率可以用曲率半径来表示。
曲率半径是一个与曲线曲率成反比的数值，如果曲线越弯曲，曲率半径就越小。
通过计算曲率半径，我们可以对曲线的弯曲程度进行定量分析。
当曲率半径为无穷大时，曲线是直线；反之，当曲率半径为零时，曲线上的任意一点是奇点。
曲率半径可以在物理学、几何学和工程学等领域中得到广泛应用。
对于曲面来说，曲率的计算稍微复杂一些。
曲面上的曲率可以通过计算曲面上的两个主曲率和平均曲率来获得。
主曲率是在点上切平面内的两个正交方向上的曲率，平均曲率是两个主曲率的平均值。
曲面上的曲率可以帮助我们确定曲面上的凸凹部分，从而在工程设计中提供重要的参考信息。
曲率在物理学中有着广泛的应用。
在牛顿力学中，弯曲轨道上的物体会受到曲率半径的影响，从而产生向心力。
在相对论中，曲率可以描述时空的弯曲，是爱因斯坦场方程中的核心概念之一。
曲率在光学中也有着重要的应用，它可以帮助我们理解光线在光学元件中的传播路径。
除了物理学外，曲率在几何学和工程学中也扮演着重要角色。
在几何学中，曲率是研究曲线和曲面性质的基本工具，它可以帮助我们理解和刻画抽象的几何对象。
在工程学中，曲率可以用来描述和分析工程结构的变形情况，从而为工程设计提供依据。
总之，曲率是一个重要的数学概念，它在多个学科领域中有着广泛的应用。
通过对曲率的理解和研究，我们可以更好地揭示自然界和人工构造物的性质，为科学研究和工程实践提供有力支持。
希望通过本文的介绍，读者能对曲率有一个初步的认识，并进一步探索曲率在各个学科领域中的应用。
平面曲线的曲率
( b , b2 4ac)
曲率表征曲线局部性质〔弯曲程度〕的量 砂轮的曲率应不小于抛物线顶点的曲率0.
2a 4a
K 2a
例2、设工件外表的截线为抛物线 y 0.4x2. 现在要用砂轮磨削其内外表.问用直径多大的砂轮 才比较适宜？
注: 直线上任意点处的曲率为 0 !
例2、设工件外表的截线为抛物线 y 0.
y 2a 思考：直线任意点处的曲率是多少?
K 注: 直线上任意点处的曲率为 0 !
现砂在轮要 的用曲砂率轮应磨不削小其于内抛外物表线顶. 点的曲率0.2
3 2
1y 1(2axb) 思考：直线任意点处的曲率是多少?
3 22
y
d
( 1
y2
)dx
0
故曲率计算公式为
y K (1 y2 )32
C:yf(x)
M
x
K d .
ds
例1 抛物线 yax2bxc在哪个点曲率最大？
1、引例：弯曲程度与哪些因素有关？
解: y2axb 砂轮的曲率应不小于抛物线顶点的曲率0.
例如：求半径为R 的圆上任意点处的曲率。
y 2a
25单位长 即直径不得超过2.
C
弧段 M M 平均曲率
K s
点 M 处的曲率
K lim d
s0 s
ds
M
s
M0 M
0
x
例如：求半径为R 的圆上任意点处的曲率。
M s
R M
思考：直线任意点处的曲率是多少?
注: 直线上任意点处的曲率为 0 !
二、曲率的计算公式
设曲线弧 y f (x)
曲率及曲率半径
曲率及曲率半径1. 什么是曲率？曲率是描述曲线弯曲程度的一个物理量。
在数学中，曲线的曲率表示了曲线在某一点处的弯曲程度。
具体而言，对于平面上的一条光滑曲线，其曲率可以通过求取该点处切线与曲线的夹角的变化率来计算。
2. 如何计算曲率？对于平面上的一条光滑曲线C，我们可以通过以下公式来计算其在某一点P处的曲率：其中，表示曲率，表示切线与x轴正方向之间的夹角变化量，表示沿着曲线移动的弧长。
这个公式可以直观地解释为：当我们沿着曲线移动一个微小距离时，切线与x轴正方向之间的夹角会发生一个微小的变化，而曲率就是这个变化量与弧长变化量的比值。
3. 曲率半径是什么？曲率半径是曲线上某一点处曲率的倒数。
在数学中，对于平面上的一条光滑曲线C，在某一点P处的曲率半径可以通过以下公式来计算：其中，表示曲率半径，表示曲率。
这个公式可以解释为：曲线上某一点处的曲率半径表示了一个与该点最接近的圆在该点处与曲线相切，并且圆心位于凸侧时，该圆的半径大小。
换句话说，曲率半径表示了一个局部近似于直线段的最大程度。
4. 曲率和曲率半径在现实生活中的应用4.1 车辆转弯半径在汽车设计和驾驶中，曲率和曲率半径是非常重要的概念。
车辆的转弯半径决定了车辆能否顺利通过一个弯道或者转弯处。
当我们在设计道路时，需要根据车辆的转弯半径来合理规划道路的弯度和宽度，以确保车辆能够安全通过。
4.2 光学镜头设计在光学镜头设计中，曲率和曲率半径被广泛应用。
光学镜头的表面通常具有一定的曲率，以便将光线聚焦到特定位置。
通过调整曲率半径，可以改变光线折射或反射的程度，从而实现不同的光学效果。
4.3 地质勘探在地质勘探中，曲率和曲率半径被用于分析地层结构和岩层形态。
通过对地质剖面上不同点处的曲率进行测量与分析，可以帮助地质学家了解地层的形态特征、断层的位置等重要信息。
4.4 数字图像处理在数字图像处理中，曲率和曲率半径被用于边缘检测和图像分割等任务中。
通过计算图像中不同点处的曲率，可以提取出图像中的边缘信息，从而实现对图像的分割和识别。
【微积分讲解】曲线的曲率与挠率
【微积分讲解】曲线的曲率与挠率在微积分学的课程中，我们学到了很多的曲线和曲面之间的关系，其中包括曲率和挠率。
曲率是指在一点处曲线的曲率大小，是表示曲线弯曲程度大小的一种度量方法，而挠率则是曲线在空间内扭动的程度大小。
在本篇文章中，我们将会介绍曲线的曲率和挠率是如何计算的，以及它们之间的关系究竟是怎样的。
一、曲线的曲率曲线的曲率是指曲线在某一个点处的弯曲程度。
在二维空间中的曲线，其曲率是根据曲线长度和弯曲程度的比例来计算的。
假设一个平面曲线被表示为y=f(x)，那么曲线在x=a处的曲率公式可以表示为：$$k = \frac{|f''(a)|}{(1+f'(a)^2)^{3/2}}$$在此公式中，f''(a)是f(x)的二阶导数，f'(a)是f(x)的一阶导数。
可以理解为，曲率大小是曲线在该点附近沿着弧线方向依照曲率半径所构成的圆弧的半径，曲率计量的曲线弯曲程度大小越大，曲率值就越大。
这里就以二维曲线的形态来解释。
在三维空间中的曲线，要计算曲率就更加复杂了。
但是对于一个是参数方程表示的曲线，我们可以使用公式：其中，r(t)是曲线的参数方程表示，r'(t)是曲线在t时刻的一阶导数，r''(t)是曲线在t时刻的二阶导数。
相比于二维平面曲线，这个公式在计算时要用到向量积，稍稍有点麻烦。
在此公式中，f''(a)是f(x)的二阶导数，f'(a)是f(x)的一阶导数，也就是说，挠率用的还是曲线的一阶和二阶导数。
表明了曲面在某一点位置时，其纵向（方向型）与形状（弯曲型）的关系度量，挠率值越大，其形状耐扭曲能力就越弱。
对于三维空间中的曲线，它的挠率比较复杂，可以使用公式：$$t = \frac{(r'(t)\times r''(t))\cdot r'''(t)}{|r'(t)\times r''(t)|^2}$$三、曲率和挠率的关系曲率和挠率都是可以概念化地来度量曲线的性质，但是它们各自的意义是不同的。
平面曲线的基本性质与方程
平面曲线的基本性质与方程平面曲线在数学中扮演着重要的角色，它们是我们研究几何学、物理学和其他许多学科的基础。
本文将探讨平面曲线的基本性质以及它们的方程表示。
1. 基本性质平面曲线可以是直线、圆、椭圆、抛物线或双曲线等多种形状。
无论其形状如何，平面曲线都具有一些基本的性质：1.1 曲线的长度曲线的长度是指曲线上一点到另一点的实际距离。
对于直线而言，我们可以利用两点之间的距离来计算曲线的长度。
对于其他类型的曲线，我们可以使用微积分的方法对曲线进行参数化，并计算参数范围内的弧长来得到曲线的长度。
1.2 曲线的斜率曲线的斜率描述了曲线在任意一点的变化率。
对于直线而言，我们可以用斜率来衡量其陡峭程度。
对于其他类型的曲线，我们可以使用微积分的方法来计算曲线的切线斜率。
1.3 曲线的曲率曲线的曲率描述了曲线在某一点的弯曲程度。
对于直线而言，曲率为零，因为直线没有弯曲。
而对于其他类型的曲线，我们可以使用微积分的方法计算曲线的曲率。
2. 曲线的方程表示方程是描述曲线的数学表达式。
不同类型的曲线有其特定的方程表示方法：2.1 直线的方程直线的方程可以使用斜率截距法、两点法或一般式等形式表示。
其中，斜率截距法表达式为y = mx + b，其中m为直线的斜率，b为直线与y轴的截距。
2.2 圆的方程圆的方程可以使用标准方程、一般方程或参数方程来表示。
其中，标准方程为(x - a)² + (y - b)² = r²，表示圆心坐标为(a, b)，半径为r的圆。
2.3 椭圆、抛物线和双曲线的方程椭圆、抛物线和双曲线的方程可以使用一般方程或参数方程来表示。
这些方程涉及到二次方程、一次方程和双曲函数等数学工具。
3. 典型问题解析通过分析曲线的方程，我们可以解决许多典型问题，如求曲线的长度、计算切线方程和求曲率等。
3.1 求曲线的长度通过对曲线进行参数化，我们可以利用微积分的方法计算曲线的弧长。
根据参数范围进行积分运算，即可得到曲线的长度。
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