平面曲线的曲率1
曲线的曲率计算公式
曲线的曲率计算公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：曲线是几何学中一个非常重要的概念，它描述了平面或空间中的一条连续的曲线。
曲线的曲率是描述曲线弯曲程度的一个重要指标，它可以帮助我们了解曲线在某一点的弯曲程度，从而对曲线的形状和性质进行分析。
曲线的曲率计算公式是用来计算曲线在某一点的曲率的数学公式。
曲率的定义是曲线在某一点处的弯曲程度，可以理解为曲线在该点处的切线的弯曲程度。
曲线的曲率计算公式可以用不同的数学方法来推导，其中最常用的是微积分的方法。
在微积分中，曲线的曲率可以用导数来表示。
具体来说，对于平面曲线上的一点P(x, y)，曲线在该点处的曲率可以用下面的公式来表示：\[k = \frac{|y''|}{(1 + (y')^2)^{3/2}}\]k表示曲率，y'和y''分别表示y关于x的一阶和二阶导数。
这个公式可以帮助我们计算出曲线在某一点处的曲率，从而了解曲线在该点处的弯曲情况。
曲线的曲率计算公式是数学分析中的一个重要概念，在几何、物理学和工程学等领域都有广泛的应用。
通过计算曲线的曲率，我们可以更深入地了解曲线的形状和性质，从而帮助我们解决各种实际问题。
曲线的曲率计算公式是一个重要的数学工具，它可以帮助我们了解曲线的曲率和弯曲情况，从而对曲线进行全面的分析。
希望本文对您有所帮助，谢谢阅读！第二篇示例：曲线的曲率是描述曲线弯曲程度的重要概念，其计算公式是曲率计算的基础。
在数学、物理、工程等领域，曲率计算公式被广泛应用，用于描述曲线轨迹的弯曲程度，研究曲线的性质和特征。
本文将介绍曲线的曲率计算公式及其应用。
一、曲线的曲率定义我们来定义曲线的曲率。
在平面几何中，曲线的曲率是指曲线某一点处的切线方向改变的速率。
更直观地说，曲率描述了曲线在某一点处的弯曲程度。
曲率的数值越大，说明曲线在该点处的弯曲程度越大；曲率的数值越小，说明曲线在该点处的弯曲程度越小。
曲线的曲率曲率半径
.
O点处抛物线轨道的曲率半径
y
x0
x 2000
x0
0,
y
x0
1. 2000
得曲率为
k
x x0
1. 2000
曲率半径为 2000 米.
F 70 4002 5600(牛) 571.4(千克), 2000
Q 70(千克力) 571.4(千克力),
641.5(千克力).
即:飞行员对座椅的压力为641.5千克力.
§2-8
曲线的曲率.曲率半径
一、平面曲线的曲率及其计算公式
曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量．
1
2
M2 S2 M3
S1
M1
弧段弯曲程度 越大转角越大
S1
M
M
N
S2 N
转角相同弧段越 短弯曲程度越大
y
M0 是基点. MM s ,
C
M.
M M 切线转角为 .
S
. M0 S M
)
定义
o
x
弧段MM的平均曲率为K .
s
曲线C在点M处的曲率 K lim s0 s
在 lim d 存在的条件下,
s0 s ds
K
d .
ds
注意: (1) 直线的曲率处处为零; (2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数, 对于半径为R的圆周 Δ S = RΔθ
1
s R
（3）曲率的倒数称为 曲率半径 = 1/K
1 cos t
sin3 t
2
y
1 4a
1 sin4
t
,
代入公式K
(1
y y2 )3/ 2
1 4a sin
t
曲率
曲率曲率是数学中一个重要而深奥的概念，它被广泛应用于多个学科领域，包括物理学、几何学和工程学等。
本文将对曲率的定义、性质和应用进行探讨，帮助读者更好地理解这一概念。
曲率是描述曲线和曲面弯曲程度的一个数值指标。
一般来说，曲线的曲率是指曲线在某一点上几何形状的变化程度。
曲面的曲率则是指曲面在某一点上的沿不同方向的几何形状的变化程度。
对于平面上的曲线来说，曲率可以用曲率半径来表示。
曲率半径是一个与曲线曲率成反比的数值，如果曲线越弯曲，曲率半径就越小。
通过计算曲率半径，我们可以对曲线的弯曲程度进行定量分析。
当曲率半径为无穷大时，曲线是直线；反之，当曲率半径为零时，曲线上的任意一点是奇点。
曲率半径可以在物理学、几何学和工程学等领域中得到广泛应用。
对于曲面来说，曲率的计算稍微复杂一些。
曲面上的曲率可以通过计算曲面上的两个主曲率和平均曲率来获得。
主曲率是在点上切平面内的两个正交方向上的曲率，平均曲率是两个主曲率的平均值。
曲面上的曲率可以帮助我们确定曲面上的凸凹部分，从而在工程设计中提供重要的参考信息。
曲率在物理学中有着广泛的应用。
在牛顿力学中，弯曲轨道上的物体会受到曲率半径的影响，从而产生向心力。
在相对论中，曲率可以描述时空的弯曲，是爱因斯坦场方程中的核心概念之一。
曲率在光学中也有着重要的应用，它可以帮助我们理解光线在光学元件中的传播路径。
除了物理学外，曲率在几何学和工程学中也扮演着重要角色。
在几何学中，曲率是研究曲线和曲面性质的基本工具，它可以帮助我们理解和刻画抽象的几何对象。
在工程学中，曲率可以用来描述和分析工程结构的变形情况，从而为工程设计提供依据。
总之，曲率是一个重要的数学概念，它在多个学科领域中有着广泛的应用。
通过对曲率的理解和研究，我们可以更好地揭示自然界和人工构造物的性质，为科学研究和工程实践提供有力支持。
希望通过本文的介绍，读者能对曲率有一个初步的认识，并进一步探索曲率在各个学科领域中的应用。
平面曲线的曲率
( b , b2 4ac)
曲率表征曲线局部性质〔弯曲程度〕的量 砂轮的曲率应不小于抛物线顶点的曲率0.
2a 4a
K 2a
例2、设工件外表的截线为抛物线 y 0.4x2. 现在要用砂轮磨削其内外表.问用直径多大的砂轮 才比较适宜？
注: 直线上任意点处的曲率为 0 !
例2、设工件外表的截线为抛物线 y 0.
y 2a 思考：直线任意点处的曲率是多少?
K 注: 直线上任意点处的曲率为 0 !
现砂在轮要 的用曲砂率轮应磨不削小其于内抛外物表线顶. 点的曲率0.2
3 2
1y 1(2axb) 思考：直线任意点处的曲率是多少?
3 22
y
d
( 1
y2
)dx
0
故曲率计算公式为
y K (1 y2 )32
C:yf(x)
M
x
K d .
ds
例1 抛物线 yax2bxc在哪个点曲率最大？
1、引例：弯曲程度与哪些因素有关？
解: y2axb 砂轮的曲率应不小于抛物线顶点的曲率0.
例如：求半径为R 的圆上任意点处的曲率。
y 2a
25单位长 即直径不得超过2.
C
弧段 M M 平均曲率
K s
点 M 处的曲率
K lim d
s0 s
ds
M
s
M0 M
0
x
例如：求半径为R 的圆上任意点处的曲率。
M s
R M
思考：直线任意点处的曲率是多少?
注: 直线上任意点处的曲率为 0 !
二、曲率的计算公式
设曲线弧 y f (x)
【微积分讲解】曲线的曲率与挠率
【微积分讲解】曲线的曲率与挠率在微积分学的课程中，我们学到了很多的曲线和曲面之间的关系，其中包括曲率和挠率。
曲率是指在一点处曲线的曲率大小，是表示曲线弯曲程度大小的一种度量方法，而挠率则是曲线在空间内扭动的程度大小。
在本篇文章中，我们将会介绍曲线的曲率和挠率是如何计算的，以及它们之间的关系究竟是怎样的。
一、曲线的曲率曲线的曲率是指曲线在某一个点处的弯曲程度。
在二维空间中的曲线，其曲率是根据曲线长度和弯曲程度的比例来计算的。
假设一个平面曲线被表示为y=f(x)，那么曲线在x=a处的曲率公式可以表示为：$$k = \frac{|f''(a)|}{(1+f'(a)^2)^{3/2}}$$在此公式中，f''(a)是f(x)的二阶导数，f'(a)是f(x)的一阶导数。
可以理解为，曲率大小是曲线在该点附近沿着弧线方向依照曲率半径所构成的圆弧的半径，曲率计量的曲线弯曲程度大小越大，曲率值就越大。
这里就以二维曲线的形态来解释。
在三维空间中的曲线，要计算曲率就更加复杂了。
但是对于一个是参数方程表示的曲线，我们可以使用公式：其中，r(t)是曲线的参数方程表示，r'(t)是曲线在t时刻的一阶导数，r''(t)是曲线在t时刻的二阶导数。
相比于二维平面曲线，这个公式在计算时要用到向量积，稍稍有点麻烦。
在此公式中，f''(a)是f(x)的二阶导数，f'(a)是f(x)的一阶导数，也就是说，挠率用的还是曲线的一阶和二阶导数。
表明了曲面在某一点位置时，其纵向（方向型）与形状（弯曲型）的关系度量，挠率值越大，其形状耐扭曲能力就越弱。
对于三维空间中的曲线，它的挠率比较复杂，可以使用公式：$$t = \frac{(r'(t)\times r''(t))\cdot r'''(t)}{|r'(t)\times r''(t)|^2}$$三、曲率和挠率的关系曲率和挠率都是可以概念化地来度量曲线的性质，但是它们各自的意义是不同的。
数学分析-平面曲线的弧长与曲率
解: 利用对称性
绕 x 轴旋转
星形线
星形线是内摆线的一种.
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大圆半径 R＝a
小圆半径
参数的几何意义
(当小圆在圆内沿圆周滚动
时, 小圆上的定点的轨迹为是内摆线)
内容小结
3. 平面曲线的弧长
曲线方程
参数方程方程
上
半圆为
下
它也反映了环面微元的另一种取法.
第三节、平面曲线的弧长与曲率
定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线 ,
当折线段的最大
边长 →0 时,
折线的长度趋向于一个确定的极限 ,
此极限为曲线弧 AB 的弧长 ,
即
并称此曲线弧为可求长的.
定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的.
则称
(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:
弧长元素(弧微分) :
因此所求弧长
的弧长 .
解:
例12. 求阿基米德螺线
相应于 0≤≤2
一段的弧长 .
解:
第四节、旋转体的侧面积
设平面光滑曲线
求
积分后得旋转体的侧面积
它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积 .
取侧面积元素:
例19. 计算圆
x 轴旋转一周所得的球台的侧面积 S .
解: 对曲线弧
应用公式得
当球台高 h＝2R 时, 得球的表面积公式
极坐标方程
弧微分:
直角坐标方程
注意: 求弧长时积分上下限必须上大下小
4. 旋转体的侧面积
侧面积元素为
(注意在不同坐标系下 ds 的表达式)
思考与练习
1.用定积分表示图中阴影部分的边界长 s .
数学分析10.3平面曲线的弧长与曲率
第十章 定积分的应用 3 平面曲线的弧长与曲率一、平面曲线的弧长设平面曲线C=⌒AB. 如图所示，在C 上从A 到B 依次取分点： A=P 0,P 1,P 2,…,P n-1,P n =B ，它们成为曲线C 的一个分割，记为T. 用线段联结T 中每相邻两点，得到C 的n 条弦P i-1P i (i=1,2,…,n)，这n 条弦又成为C 的一条内接折线，记：T =ni 1max ≤≤|P i-1P i |，s T =∑=n1i i 1-i |P P |，分别表示最长弦的长度和折线的总长度。
定义1：对于曲线C 的无论怎样的分割T ， 如果存在有限极限：0T lim →s T =s ，则称曲线C 是可求长的， 并把极限s 定义为曲线C 的弧长.定义2：设平面曲线C 由参数方程x=x(t), y=y(t), t ∈[α,β]给出. 如果x(t)与y(t)在[α,β]上连续可微，且x ’(t)与y ’(t)不同时为零 (即x ’2(t)+y ’2(t)≠0, t ∈[α,β])，则称C 为一条光滑曲线.定理：设曲线C 由参数方程x=x(t), y=y(t), t ∈[α,β]给出. 若C 为一光滑曲线，则C 是可求长的，且弧长为：s=⎰'+'βα22(t)y (t)x dt.证：对C 作任意分割T={P 0,P 1,…,P n }，并设P 0与P n 分别对应t=α与t=β, 且P i (x i ,y i )=(x(t i ),y(t i )), i=1,2,…,n-1.于是，与T 对应得到区间[α,β]的一个分割T ’： α=t 0< t 1<t 2<…t n-1<t n =β.在T ’所属的每个小区间△i =[t i-1,t i ]上，由微分中值定理得△x i =x(t i )-x(t i-1)=x ’(ξi )△t i , ξi ∈△i ；△y i =y(t i )-y(t i-1)=y ’(ηi )△t i , ηi ∈△i . 从而C 的内接折线总长为s T =∑=∆+∆n1i 2i 2i y x =∑='+'n1i i 2i 2)(ηy )(ξx △t i .记σi =)(ηy )(ξx i 2i 2'+'-)(ξy )(ξx i 2i 2'+'，则s T =[]∑=+'+'n1i i i 2i 2σ)(ηy )(ξx △t i .又由三角形不等式可得：|σi |≤||y ’(ηi )|-|y ’(ξi )||≤|y ’(ηi )-y ’(ξi )|. 由y ’(t)在[α,β]上连续，从而一致连续，∴对任给的ε>0, 存在δ>0， 当T '<δ时，只要ηi , ξi ∈△i ，就有|σi |≤|y ’(ηi )-y ’(ξi )|<α-βε, i=1,2,…,n. ∴|s T -∑='+'n1i i 2i 2)(ξy )(ξx △t i |=|∑=n1i i σ△t i |≤∑=n1i i |σ|△t i <ε,∴0T lim →s T =∑=→''+'n1i i 2i 20T )(ξy )(ξx lim △t i ，即s=⎰'+'βα22(t)y (t)x dt.注：1、若曲线C 由直线坐标方程y=f(x), x ∈[a,b]表示，则看作参数方程：x=x, y=f(x), x ∈[a,b]. 因此，当f(x)在[a,b]上连续可微时，此曲线即为一光滑曲线，其弧长公式为：s=⎰'+ba 2(x )f 1dx. 2、若曲线C 由极坐标方程r=r(θ), θ∈[α,β]表示，则 化为参数方程：x=r(θ)cos θ, y=r(θ)sin θ, θ∈[α,β]. 由x ’(θ)=r ’(θ)cos θ-r(θ)sin θ, y ’(θ)=r ’(θ)sin θ+r(θ)cos θ, 得：x ’2(θ)+y ’2(θ)=r 2(θ)+r ’2(θ)，∴当r ’(θ)在[α,β]连续，且r(θ)与r ’(θ)不同时为零时，此极坐标曲线为一光滑曲线， 其弧长公式为：s=⎰'+βα22 )(θr )(θr d θ.例1：求摆线x=a(t-sint), y=a(1-cost)(a>0)一拱的孤长.解：∵x’(t)=a-acost; y’(t)=asint. ∴x’2(t)+y’2(t)=2a2(1-cost)=4a2sin22t.其弧长为s=⎰2π222tsin4a dt=4a⎰2π02tsin d⎪⎭⎫⎝⎛2t=8a.例2：求悬链线y=2ee-xx+从x=0到x=a>0那一段的弧长.解：∵y’=2ee-xx-. ∴1+y’2=2x-x2ee⎪⎪⎭⎫⎝⎛+.其弧长为s=⎰+a-xx2ee dx=2ee-aa-.例3：求心形线r=a(1+cosθ) (a>0)的周长.解：∵r’(θ)=-asinθ. ∴r2(θ)+r’2(θ)=4a2cos22θ.其周长为s=⎰2π02θacos2dθ=4a⎰2π02θcos d⎪⎭⎫⎝⎛2θ=8a.注：∵s(t)=⎰'+'tα22(t)y(t)x dt连续，∴dtds=22dtdydtdx⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛，即有ds=22dydx+. 特别称s(t)的微分dx为弧微分. (如左下图)PR为曲线在点P处的切线，在Rt△PQR中，PQ为dx，QR为dy，PR则为dx，这个三角形称为微分三角形。
第03章06节平面曲线的曲率
第6节 曲线的曲率6.1弧长微分在曲线()y f x =上取定一点000(,())P x f x 为起点，从000(,())P x f x 到(,())x f x 的曲线段长记为()s x ，并规定当0x x <时()0s x <。
()s x 是单调增加的函数。
下面求弧长微分ds 。
()()()()s x s x x s x ≤∆≤∆≤∆≤∆∆≤∆≤∆ds =,()ds s x '== 如果()()xt y t ϕψ=⎧⎨=⎩则,()ds s t '==如果()ρρθ=则,()ds s θ'==以后经常要用到以上弧长微分公式。
图6.1y +离 散数 学6.2曲线的曲率这节讨论曲线的曲率，也就是曲线的弯曲程度。
设曲线()y f x =在()00,()x f x 的切线0L 与x 轴正向的夹角为0θ，在()00,()x x f x x +∆+∆的切线x L ∆与x 轴正向的夹角为x θ∆。
经过x ∆，切线的夹角变化了0x θθθ∆∆=-设()00,()x f x 和()00,()x x f x x +∆+∆之间曲线的长为s ∆。
容易想见，()00,()x f x 和()00,()x x f x x +∆+∆之间曲线的曲率（弯曲程度）与θ∆成正比，与s ∆成反比，平均曲率()k x sθ∆∆=∆ 让0x ∆→求极限，就得到曲线()y f x =在()00,()x f x 的曲率（弯曲程度）000()lim ()limx x d k x k x s dsθθ∆→∆→∆=∆==∆ 下面我们求出d dsθ从而得到求曲率的计算公式。
用x 作参数 ()()s s x x θθ=⎧⎨=⎩()()2222tan ()1()cos 1tan ()1()()()1()f x d f x dx d f x dx f x d f x dxd f x dx f x θθθθθθθ'=''=''+='''+=''='+第1章集 合322()1()d f x d ds dxdxds f x θθ''=='⎡⎤+⎣⎦003220()()1()f x k x f x ''='⎡⎤+⎣⎦例子：求半径为r 的圆上一点的曲率。
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N
.
如 果 极 限lim 存 在, s 0 s
s
M0
s M
s
则称 lim 为曲线 在M处的曲率 . s 0 s
记作
lim
Δs 0
d . s ds
2.曲率的计算 1) 光滑曲线 为
2 t y 2 t 0. 若x(t )和y(t )二阶可导且 x
则曲线在点M的曲率为
x x(t ), t . y y(t );
Байду номын сангаас
y x y x
2 x y
3 2 2
3、曲率圆与曲率半径
定义 设曲线 y f ( x ) 在点
M ( x , y ) 处的曲率为k ( k 0). 在点 M 处的曲线的法线上 , 在凹的一侧取一点D, 使 DM
第八节 平面曲线的曲率 曲率的概念 曲率的计算 曲率圆与曲率半径
1.曲率的定义
曲线的弯曲程度：与切线的转角成正比 与曲线的弧长成反比
1
M2
M1
2
S 2
M3
M
S1
N
M
S1
S 2 N
弧段弯曲程度
转角相同弧段越
越大转角越大
短弯曲程度越大
M处的切向量与 N 处的切向量的夹角 , 绕过的弧长为 s。
y
D 1 k
M
y f (x)
o 1 . 以 D 为圆心, 为半径 k 作圆(如图), 称此圆为曲线在点M 处的曲率圆.
x
D 曲率中心,
曲率半径.
注意: 1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的 曲率互为倒数. 1 1 即 ,k . k 2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点 处的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲 率越大(曲线越弯曲).