数学分析10.3平面曲线的弧长与曲率

第十章 定积分的应用 3 平面曲线的弧长与曲率一、平面曲线的弧长设平面曲线C=⌒AB. 如图所示，在C 上从A 到B 依次取分点： A=P 0,P 1,P 2,…,P n-1,P n =B ，它们成为曲线C 的一个分割，记为T. 用线段联结T 中每相邻两点，得到C 的n 条弦P i-1P i (i=1,2,…,n)，这n 条弦又成为C 的一条内接折线，记：T =ni 1max ≤≤|P i-1P i |，s T =∑=n1i i 1-i |P P |，分别表示最长弦的长度和折线的总长度。

定义1：对于曲线C 的无论怎样的分割T ， 如果存在有限极限：0T lim →s T =s ，则称曲线C 是可求长的， 并把极限s 定义为曲线C 的弧长.定义2：设平面曲线C 由参数方程x=x(t), y=y(t), t ∈[α,β]给出. 如果x(t)与y(t)在[α,β]上连续可微，且x ’(t)与y ’(t)不同时为零 (即x ’2(t)+y ’2(t)≠0, t ∈[α,β])，则称C 为一条光滑曲线.定理10.1：设曲线C 由参数方程x=x(t), y=y(t), t ∈[α,β]给出. 若C 为一光滑曲线，则C 是可求长的，且弧长为：s=⎰'+'βα22(t)y (t)x dt. 证：对C 作任意分割T={P 0,P 1,…,P n }，并设P 0与P n 分别对应t=α与t=β, 且P i (x i ,y i )=(x(t i ),y(t i )), i=1,2,…,n-1.于是，与T 对应得到区间[α,β]的一个分割T ’： α=t 0< t 1<t 2<…t n-1<t n =β.在T ’所属的每个小区间△i =[t i-1,t i ]上，由微分中值定理得△x i =x(t i )-x(t i-1)=x ’(ξi )△t i , ξi ∈△i ；△y i =y(t i )-y(t i-1)=y ’(ηi )△t i , ηi ∈△i . 从而C 的内接折线总长为s T =∑=∆+∆n1i 2i 2i y x =∑='+'n1i i 2i 2)(ηy )(ξx △t i .记σi =)(ηy )(ξx i 2i 2'+'-)(ξy )(ξx i 2i 2'+'，则s T =[]∑=+'+'n1i i i 2i 2σ)(ηy )(ξx △t i .又由三角形不等式可得：|σi |≤||y ’(ηi )|-|y ’(ξi )||≤|y ’(ηi )-y ’(ξi )|. 由y ’(t)在[α,β]上连续，从而一致连续，∴对任给的ε>0, 存在δ>0， 当T '<δ时，只要ηi , ξi ∈△i ，就有|σi |≤|y ’(ηi )-y ’(ξi )|<α-βε, i=1,2,…,n. ∴|s T -∑='+'n1i i 2i 2)(ξy )(ξx △t i |=|∑=n1i i σ△t i |≤∑=n1i i |σ|△t i <ε,∴0T lim →s T =∑=→''+'n1i i 2i 20T)(ξy )(ξx lim △t i ，即s=⎰'+'βα22(t)y (t)x dt.注：1、若曲线C 由直线坐标方程y=f(x), x ∈[a,b]表示，则看作参数方程：x=x, y=f(x), x ∈[a,b]. 因此，当f(x)在[a,b]上连续可微时，此曲线即为一光滑曲线，其弧长公式为：s=⎰'+ba 2(x )f 1dx. 2、若曲线C 由极坐标方程r=r(θ), θ∈[α,β]表示，则 化为参数方程：x=r(θ)cos θ, y=r(θ)sin θ, θ∈[α,β]. 由x ’(θ)=r ’(θ)cos θ-r(θ)sin θ, y ’(θ)=r ’(θ)sin θ+r(θ)cos θ, 得：x ’2(θ)+y ’2(θ)=r 2(θ)+r ’2(θ)，∴当r ’(θ)在[α,β]连续，且r(θ)与r ’(θ)不同时为零时，此极坐标曲线为一光滑曲线， 其弧长公式为：s=⎰'+βα22 )(θr )(θr d θ.例1：求摆线x=a(t-sint), y=a(1-cost)(a>0)一拱的孤长.解：∵x ’(t)=a-acost; y ’(t)=asint. ∴x ’2(t)+y ’2(t)=2a 2(1-cost)=4a 2sin 22t. 其弧长为s=⎰2π0222t sin 4a dt=4a ⎰2π02tsin d ⎪⎭⎫ ⎝⎛2t =8a.例2：求悬链线y=2e e -xx +从x=0到x=a>0那一段的弧长.解：∵y ’=2e e -x x -. ∴1+y ’2=2x-x 2ee ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+. 其弧长为s=⎰+a 0-x x 2e e dx=2e e -aa -.例3：求心形线r=a(1+cos θ) (a>0)的周长. 解：∵r ’(θ)=-asin θ. ∴r 2(θ)+r ’2(θ)=4a 2cos 22θ.其周长为s=⎰2π02θacos 2d θ=4a ⎰2π02θcos d ⎪⎭⎫⎝⎛2θ=8a.注：∵s(t)=⎰'+'tα22(t)y (t)x dt 连续，∴dt ds =22dt dy dt dx ⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛，即有ds=22dy dx +. 特别称s(t)的微分dx 为弧微分. (如左下图)PR 为曲线在点P 处的切线，在Rt △PQR 中，PQ 为dx ，QR 为dy ，PR 则为dx ，这个三角形称为微分三角形。

二、曲率：考察右上图由参数方程x=x(t), y=y(t), t ∈[α,β]给出的光滑曲线C 上，⌒PQ 与⌒QR 长度相近，但弯曲程度差别较大，可见当动点沿曲线C 从点P 移至Q 时，切线转过的角度△α比动点从Q 移至R 时切线转过的角度△β要大得多.设α(t)表示曲线在点P(x(t),y(t))处切线的倾角，△α=α(t+△t)-α(t)表示动点由P 沿曲线移至Q(x(t+△t), y(t+△t))时切线倾角的增量，若⌒PQ 之长为△s ，则称K =sα∆∆为弧线⌒PQ的平均曲率. 如果存在有限极限 K=s αlim0t ∆∆→∆=s αlim 0s ∆∆→∆=dsd α，则称此极限K 为曲线C 在点P 处的曲率. 由于假设C 为光滑曲线，所以总有α(t)=arctan (t)x (t)y ''或α(t)=arccot (t)y (t)x ''. 又若x(t)与y(t)二阶可导，则由弧微分可得：ds d α=(t)s (t)α''=2322(t)]y (t)x [(t)y (t)x -(t)y (t)x '+'''''''. ∴曲率的公式为：K =2322)y x (y x -y x '+'''''''.注：若曲线由y=f(x)表示，则相应的曲率公式为：K =232)y (1y '+''.例4：求椭圆x=acost, y=bsint, 0≤y ≤2π上曲率最大和最小的点. 解：∵x ’(t)=-asint, x ”(t)=-acost ；y ’(t)=bcost, y ”(t)=-bsint. ∴x ’2(t)+y ’2(t)=a 2sin 2t+b 2cos 2t=a 2+(b 2-a 2)cos 2t ； x ’(t)y ”(t)-x ”(t)y ’(t)=absin 2t+abcos 2t=ab.∴K=2322(t)]y (t)x [(t)y (t)x -(t)y (t)x '+'''''''=232222t]cos )a b ([a ab-+.当cos 2t=0时，K=2a b ；当cos 2t=1时，K=2b a . ∴K max =max{2a b ,2b a }；K min =min{2a b ,2ba}.注：1、当a=b=R 时，椭圆变成圆，则曲率K=R1. 2、直线上处处曲率为0.定义：设曲线C 在某一点P 处的曲率K ≠0. 若过P 作一个半径为ρ=K1的圆，使它在P 处与曲线有相同的切线，并在点P 近旁与曲线位于切线同侧。

我们把这个圆称为曲线C 在点P 处的曲率圆或密切圆。

曲率圆的半径和圆心称为曲线C 在点P 处的曲率半径和曲率中心。

铁路弯道分析：火车轨道从直道进入到半径为R 的圆弧形弯道时，为了行车安全，必须经过一段缓冲轨道，使得曲率由零连续地增加到R1，以保证火车的向心加速度(a=ρv 2)不发生跳跃性的突变。

如图，x 轴负半轴表示直线轨道，⌒AB是半径为R 的圆弧形轨道(点Q 为其圆心)，⌒OA为缓冲轨道。

我国一般采用的缓冲曲线是三次曲线y=6Rlx 3. 其中l 是⌒OA的弧长. 它的曲率K=23)x l (4R xl 8R 42222+. 当x 从0变为x 0时，曲率K 从0连续地变为K 0=23)x l (4R x l 8R 4022022+=23240202R x 4l x 8l R 1⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⋅. 当x 0≈l ，且R x 0很小时，K 0≈R1. 因此由⌒OA的曲率从0逐渐增加到接近于R1，从而起了缓冲作用。

习题1、求下列曲线的弧长：(1)y=3x ,0≤x ≤4；(2)x +y =1；(3)x=acos 3t, y=asin 3t(a>0),0≤t ≤2π； (4)x=a(cost+tsint), y=a(sint-tcost)(a>0), 0≤t ≤2π； (5)r=asin 33θ(a>0), 0≤θ≤3π；(6)r=a θ(a>0), 0≤θ≤2π.解：(1)∵y ’=x 23；∴弧长S=⎰+40x 491dx=278(1010-1).(2)∵y=1-2x +x, 0≤x ≤1，y ’=1-x1；∴弧长S=⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-+12x 111dx=2⎰+10 1x 2-x 2d x =1+22ln(1+2). (3)∵x ’=-3asintcos 2t, y ’=3acostsin 2t ；x ’2+y ’2=9a 2(sin 2tcos 4t+cos 2tsin 4t)=9a 2sin 2tcos 2t=49a 2sin 22t.∴弧长S=43a ⎰2π0|sin2t |d2t=6a.(4)∵x ’=a(sint+tcost-sint)=atcost, y ’=a(cost-cost+tsint)=atsint ； x ’2+y ’2=a 2t 2. ∴弧长S=a ⎰2π0t dt=2π2a. (5)∵r ’=asin 23θcos 3θ；r 2+r ’2=a 2 sin 43θ.∴弧长S=3a 3θsin 3π02⎰d ⎪⎭⎫ ⎝⎛3θ=23πa.(6)∵r ’=a ，∴弧长S=a ⎰+2π02θ1d θ=πa 2π41++21aln(2π+2π41+).2、求下列各曲线在指定点处的曲率： (1)xy=4, 在点(2,2)；(2)y=lnx, 在点(1,0)； (3)x=a(t-sint), y=a(1-cost)(a>0),在t=2π的点； (4)x=acos 3t, y=asin 3t(a>0), 在t=4π的点.解：(1)∵y=x4, y ’=-2x 4, y ”=4x x 8=3x 8, ∴K=2343x 161x 8⎪⎭⎫ ⎝⎛+. 当x=2时，K=221=42. (2)∵y ’=x1, y ”=-2x 1, ∴K=2322x 11x 1⎪⎭⎫ ⎝⎛+. 当x=1时，K=221=-42. (3)∵x ’2πt ==a(1-cost)2πt ==a, x ”2πt ==asint 2πt ==a;y ’2πt ==asint2πt ==a, y ”2πt ==acost2πt ==0；∴当t=2π时，K=2322)(2a a =4a 2. (4)x ’4πt ==-3acos 2tsint4πt ==-423a, x ”4πt ==3a(2costsin 2t-cos 3t)4πt ==423a; y ’4πt ==3asin 2tcost4πt ==423a, y ” 4πt ==3a(2sintcos 2t-sint 3t)4πt ==423a ；∴当t=4π时，K=2322a 49a 49⎪⎭⎫ ⎝⎛=3a2.3、求a,b 的值，使椭圆x=acost, y=bsint 的周长等于正弦曲线y=sinx 在0≤x ≤2π上一段的长. 解：当⎰+2π2222t cos b t sin a dt=⎰+2π2t cos 1dt 时，t cos b t sin a 2222+=t )cos a -b (a 2222+=t cos 12+，∴a=1, b=2; 或a=2, b=1.4、设曲线由极坐标方程r=r(θ)给出，且二阶可导，证明它在点(r, θ)处的曲率为K=232222)r (r |r r -r 2r |'+'''+.证：化为参数方程：x=f(θ)cos θ, y=f(θ)sin θ, 则 x ’=f ’(θ)cos θ-f(θ)sin θ,x ”=f ”(θ)cos θ- f ’(θ)sin θ-f ’(θ)sin θ- f(θ)cos θ=[f ”(θ)-f(θ)]cos θ-2f ’(θ)sin θ. y ’=f ’(θ)sin θ+f(θ)cos θ=f ’(θ)sin θ+f(θ)cos θ,y ”=f ”(θ)sin θ+ f ’(θ)cos θ+f ’(θ)cos θ-f(θ)sin θ=[f ”(θ)-f(θ)]sin θ+2f ’(θ)cos θ. ∴x ’2+y ’2=[f ’(θ)cos θ-f(θ)sin θ]2+[f ’(θ)sin θ+f(θ)cos θ]2 =f ’2(θ)-2f ’(θ)cos θf(θ)sin θ+2f ’(θ)sin θf(θ)cos θ+f 2(θ)=r 2+r ’2. ∵x ’y ”=[f ’(θ)cos θ-f(θ)sin θ]{ [f ”(θ)-f(θ)]sin θ+2f ’(θ)cos θ}=f ’(θ)f ”(θ)sin θcos θ-3f(θ)f ’(θ)sin θcos θ+2r ’2cos 2θ-rr ”sin 2θ+r 2sin 2θ; x ”y ’={[f ”(θ)-f(θ)]cos θ-2f ’(θ)sin θ}[f ’(θ)sin θ+f(θ)cos θ]=f ’(θ)f ”(θ)sin θcos θ+rr ”cos 2θ-3f(θ)f ’(θ)sin θcos θ-r 2cos 2θ-2r ’2sin 2θ. ∴x ’y ”-x ”y ’=r 2+2r ’2-rr ”. ∴K=2322)y x (y x -y x '+'''''''=232222)r (r |r r -r 2r |'+'''+.5、用上题公式，求心形线r=a(1+cos θ)(a>0)在θ=0处的曲率、曲率半径和曲率圆. 解：∵r 0=θ=2a, r ’=θ=0, r ”=θ=-a,∴K0=θ=232222)r (r |r r -r 2r |'+'''+0=θ=2322)(4a 6a =4a3. 曲率半径：R0=θ=0=θK1=34a . ∵曲率圆圆心在x 轴上，∴曲率圆为：(x-32a )2+y 2=916a 2.6、证明抛物线y=ax 2+bx+c 在顶点处的曲率最大. 证：该抛物线的曲率为：K=232]b)ax 2([12a++.∴当2ax+b=0，即x=-a2b时，曲率最大. 得证.7、求y=e x 上曲率最大的点. 解：K=232xx )e (1e +=232xx )e (1e +.∴当K ’=32x 212x 3x 232x x )e (1)e (13e -)e (1e +++=0时，x=-2ln .又当x<-2ln 时，K ’>0; 当x>-2ln 时，K ’<0；2)处曲率最大. ∴y=e x在(-2ln,2。