平面曲线的弧长与曲率
定积分之几何应用-弧长曲率
x y
r( r(
)cos )sin
( )
ds (dx)2 (dy)2 r 2( ) r2( )d ,
弧长 s r 2( ) r2( )d .
例 5 求极坐标系下曲线r a sin 3的长.
3
(a 0) (0 3)
解
r
3a sin
2
cos
1
3 3 3
2
2
0
a2 2 a2d a 0
2 1d
a 2 1 42 ln( 2 1 42 ) . 2
五、小结
平面曲线弧长的概念
弧微分的概念
直角坐标系下
求弧长的公式
参数方程情形下
极坐标系下
曲率
一、曲率及其计算公式
1.曲率的定义
曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。
1
2
M2 S2 M3
所求弧长为
a
b
s
b
1
xdx
2
[(1
3
b)2
(1
3
a)2 ].
a
3
x
例 2 计算曲线 y n n sin d 的弧长(0 x n). 0
解 y n sin x 1 sin x ,
nn
n
s
b a
1 y2dx
n nt
0
1 sin t ndt
0
0
6a.
例 4 证明正弦线 y a sin x (0 x 2) 的弧长
x cos t
等于椭圆 y
1 a 2 sin t
(0 t 2) 的周长.
证 设正弦线的弧长等于s1
s1
2 0
1 y2dx
弧线的长度和曲率的关系及其在物理学中的应用
弧线的长度和曲率的关系及其在物理学中的应用弧线是曲线的一种特殊形式，它具有一定的长度和曲率。
本文将探讨弧线的长度和曲率之间的关系，并介绍在物理学中这种关系的应用。
一、弧线的长度和曲率的概念弧线是指在平面上不同点之间的连续曲线。
弧线的长度是指这条曲线所覆盖的实际距离。
曲率是指在曲线上某一点处的切线与该点附近曲线的弯曲程度，曲率的大小与曲线的弯曲程度成正比，可以用弧长来表示。
二、弧线的长度和曲率之间的关系在微积分中，弧长可以通过积分来计算。
设曲线方程为y=f(x)，x从a到b，弧线的长度可以表示为：L = ∫[a,b] √(1+(dy/dx)^2) dx其中，dy/dx为曲线斜率的导数。
而曲率可以通过求导数来计算，即：k = |dy/dx| / (1+(dy/dx)^2)^3/2可以观察到，曲率与弧线的长度之间并没有直接的数学关系。
曲率的计算只与称为“二阶导数”的概念相关，而弧线的长度则需要通过积分来求解。
三、弧线长度和曲率的物理学应用弧线长度和曲率的关系在物理学中有广泛的应用。
以下是其中的几个例子：1. 光学系统中的透镜设计在光学系统中，透镜的曲率决定了光线的聚焦效果，而弧长则影响光线的传输距离。
通过研究弧线的长度和曲率之间的关系，可以设计出更加精确的透镜，提高光学系统的成像效果。
2. 电子学中的电路板设计在电子学中，电路板的设计通常需要考虑电子元件之间的布局和连接。
弧线的长度和曲率可以影响电路板的布线长度和连接的可靠性。
通过优化弧线的长度和曲率，可以减少电路板的空间占用，提高电子设备的性能和可靠性。
3. 车辆运动的轨迹规划在机器人或自动驾驶系统中，车辆需要根据预定的路径进行运动。
弧线的长度和曲率可以影响车辆的转弯半径和行驶距离。
通过研究弧线的长度和曲率之间的关系，可以优化车辆的轨迹规划，提高运动效率和安全性。
4. 引力场中的物体运动在物理学中，弧线的长度和曲率对于描述物体在引力场中的运动轨迹非常重要。
曲线的弧长与曲率的计算与性质
曲线的弧长与曲率的计算与性质曲线是我们经常在数学、物理等领域中遇到的概念。
当我们研究曲线的性质时，曲线的弧长和曲率是两个重要的参数。
本文将介绍曲线的弧长和曲率的计算方法，并探讨它们的性质。
一、曲线的弧长计算方法在几何学中，曲线的弧长是指曲线上两点之间的距离。
对于一条平面曲线来说，我们可以通过积分来计算其弧长。
具体计算方法如下：假设有一条曲线C，其方程为y = f(x)，其中a ≤ x ≤ b。
我们可以将曲线分割成无穷多个小线段，然后对每个小线段求长度，并将这些长度累加起来，即可得到曲线C的弧长L。
设曲线上某一点P(x, y)，其切线与x轴的夹角为θ，则小线段的长度可以通过勾股定理计算得到：ds = √(dx² + dy²) = √(1 + (dy/dx)²)dx将dx用x表示，即可得到弧长的积分表达式：L = ∫√(1 + (dy/dx)²)dx (a ≤ x ≤ b)通过求解上述积分，我们可以计算曲线的弧长。
二、曲线的曲率计算方法曲率是描述曲线弯曲程度的一个参数，它与曲线上某一点处的切线有关。
曲线的曲率可以通过以下公式计算：K = |dθ/ds| = |(d²y/dx²)/(1 + (dy/dx)²)^(3/2)|其中，dθ表示角度的变化量，ds表示弧长的微元。
我们可以根据上述公式，对曲线进行求导，然后带入相应的数值，即可得到曲线上某点的曲率K。
三、曲线弧长与曲率的性质1. 弧长与曲线的形状有关：对于相同起点和终点的两条曲线，其弧长不同，取决于曲线的形状。
比如，一条圆形的曲线与一条直线的曲线相比，弧长要更长。
2. 曲率描述曲线的弯曲程度：曲率大的地方，曲线的弯曲程度越大；曲率小的地方，曲线的弯曲程度越小。
通过计算曲率，我们可以描述曲线的局部形态。
3. 曲率与切线垂直：曲线上任意一点处的切线与曲线的法线（垂直于切线的直线）平行。
高数 平面曲线的曲率 知识点与例题精讲课件
6
3
[1 ( y)2 ]2 (4sin2 t 9cos2 t )2
6
3
(4 5cos2 t )2
3
要使k 最大， 必有 (4 5cos2 t)2 最小，
t , 3 此时k 最大，
22
练习题
一、 填空题：
1、 曲率处处为零的曲线为________；曲率处处相等的
曲线为__________.
M M s
注意: 直线上任意点处的曲率为 0 !
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 .
解: 如图所示 , s R
K lim 1 s0 s R
M
s
R M
可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;
3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附 近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).
例4. 设一工件内表面的截痕为一椭圆, 现要用砂轮磨 削其内表面 , 问选择多大的砂轮比较合适?
解: 设椭圆方程为
由例3可知, 椭圆在
y
处曲率最大 ,
即曲率半径最小, 且为
R
(a2
sin
2
t
b2
cos 2
t
3
又( b , b2 4ac)为抛物线的顶点, 2a 4a
抛物线在顶点处的曲率最大.
例3. 求椭圆
在何处曲率最大?
解: x a sin t ;
y b cos t ; 故曲率为
x a cos t y b sin t
x 表示对参 数 t 的导数
K
(
x y xy x 2 y 2 )32
平面曲线的弧长与曲率
O
ax
π
因此 s 4 2 x2(t ) y2(t )dt 0
π
4 2
3a cos2 t sin t
2
3a sin2 t cos t
2
dt
0
12a
π 2
sin
t
cos
tdt
12a
sin2
t
π 2
6a.
0
20
数学分析 第十章 定积分的应用
高等教育出版社
§3 平面曲线的弧长曲率
平面曲线的弧长
n
故 lim T 0 i1
x2(i ) y2(i )Δti
数学分析 第十章 定积分的应用
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x2(t) y2(t) dt.
§3 平面曲线的弧长曲率
平面曲线的弧长
由第一章§1习题 6 可知
*平面曲线的曲率
x2(i ) y2(i ) x2(i ) y2(i ) y(i ) y(i ) . 又y(t)在[ , ]上连续，从而在[ , ]上一致连续，
b2
ab sin2 t
b2
32.
当 a b 0 时, 在 t 0, π 处曲率最大, 在 t π ,
3π 2
处曲率最小,
Kmax
a b2
, Kmin
b a2
.
2
数学分析 第十章 定积分的应用
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§3 平面曲线的弧长曲率
平面曲线的弧长
*平面曲线的曲率
由例1可得,若
a
b
R,
则各点处曲率相等,
数学分析 第十章 定积分的应用
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§3 平面曲线的弧长曲率
平面曲线的弧长
*平面曲线的曲率
数学分析-平面曲线的弧长与曲率
解: 利用对称性
绕 x 轴旋转
星形线
星形线是内摆线的一种.
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大圆半径 R＝a
小圆半径
参数的几何意义
(当小圆在圆内沿圆周滚动
时, 小圆上的定点的轨迹为是内摆线)
内容小结
3. 平面曲线的弧长
曲线方程
参数方程方程
上
半圆为
下
它也反映了环面微元的另一种取法.
第三节、平面曲线的弧长与曲率
定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线 ,
当折线段的最大
边长 →0 时,
折线的长度趋向于一个确定的极限 ,
此极限为曲线弧 AB 的弧长 ,
即
并称此曲线弧为可求长的.
定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的.
则称
(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:
弧长元素(弧微分) :
因此所求弧长
的弧长 .
解:
例12. 求阿基米德螺线
相应于 0≤≤2
一段的弧长 .
解:
第四节、旋转体的侧面积
设平面光滑曲线
求
积分后得旋转体的侧面积
它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积 .
取侧面积元素:
例19. 计算圆
x 轴旋转一周所得的球台的侧面积 S .
解: 对曲线弧
应用公式得
当球台高 h＝2R 时, 得球的表面积公式
极坐标方程
弧微分:
直角坐标方程
注意: 求弧长时积分上下限必须上大下小
4. 旋转体的侧面积
侧面积元素为
(注意在不同坐标系下 ds 的表达式)
思考与练习
1.用定积分表示图中阴影部分的边界长 s .
曲线的弧长与曲率
曲线的弧长与曲率在微积分学中，曲线的弧长和曲率是研究曲线性质的重要概念。
曲线的弧长是曲线上两点之间的距离，在物理、几何和工程等领域都有广泛的应用。
而曲率则描述了曲线弯曲的程度，是曲线几何形状的重要属性。
本文将从弧长和曲率的定义、计算方法以及它们之间的关系等方面进行探讨。
1. 弧长的定义和计算方法在平面直角坐标系中，设曲线C的参数方程为x=f(t)，y=g(t)，其中a≤t≤b。
我们希望计算曲线C上从点P到点Q的弧长。
假设P的参数值为t1，Q的参数值为t2。
首先，我们将弧长近似分为许多小线段，然后对这些小线段进行求和，即可得到总的弧长。
若将两个相邻点之间的距离表示为Δs，将其与曲线上相应的曲线段长度Δl进行比较，可以得到如下近似关系：Δs ≈ Δl。
通过不断缩小曲线上相邻点的数量和距离，我们可以得到越来越精确的弧长。
当曲线弧长的计算求和极限存在时，我们说曲线是可求长的。
对于参数方程x=f(t)，y=g(t)，我们可以先求出曲线上相邻两点P(t)和Q(t+Δt)的坐标，然后利用勾股定理求出Δl≈√(Δx)²+(Δy)²的近似值，再将这些近似值相加就可以得到曲线C的弧长L。
当Δt无限接近于0时，上述近似值趋于精确的弧长。
2. 曲率的定义和计算方法曲线的曲率描述了曲线弯曲的程度。
在平面直角坐标系中，曲线C的曲率表示为k。
对曲线上任意一点P(x,y)，选择与该点相切的一条线段，该线段称为切线。
切线与曲线在P点处的夹角被称为曲线在该点的切角α。
切线的斜率由直线的斜率表示，可以通过求导得到。
曲线的曲率k定义为切线斜率对弧长s的导数，即k=dy/dx。
求解曲率的计算方法有多种，其中一种常用的方法是使用参数方程。
设曲线C的参数方程为x=f(t)，y=g(t)，对其分别关于参数t求导，即可得到曲线的导函数dx/dt和dy/dt。
然后，利用链式法则可以求得dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)。
数学分析10.3平面曲线的弧长与曲率
第十章 定积分的应用 3 平面曲线的弧长与曲率一、平面曲线的弧长设平面曲线C=⌒AB. 如图所示，在C 上从A 到B 依次取分点： A=P 0,P 1,P 2,…,P n-1,P n =B ，它们成为曲线C 的一个分割，记为T. 用线段联结T 中每相邻两点，得到C 的n 条弦P i-1P i (i=1,2,…,n)，这n 条弦又成为C 的一条内接折线，记：T =ni 1max ≤≤|P i-1P i |，s T =∑=n1i i 1-i |P P |，分别表示最长弦的长度和折线的总长度。
定义1：对于曲线C 的无论怎样的分割T ， 如果存在有限极限：0T lim →s T =s ，则称曲线C 是可求长的， 并把极限s 定义为曲线C 的弧长.定义2：设平面曲线C 由参数方程x=x(t), y=y(t), t ∈[α,β]给出. 如果x(t)与y(t)在[α,β]上连续可微，且x ’(t)与y ’(t)不同时为零 (即x ’2(t)+y ’2(t)≠0, t ∈[α,β])，则称C 为一条光滑曲线.定理：设曲线C 由参数方程x=x(t), y=y(t), t ∈[α,β]给出. 若C 为一光滑曲线，则C 是可求长的，且弧长为：s=⎰'+'βα22(t)y (t)x dt.证：对C 作任意分割T={P 0,P 1,…,P n }，并设P 0与P n 分别对应t=α与t=β, 且P i (x i ,y i )=(x(t i ),y(t i )), i=1,2,…,n-1.于是，与T 对应得到区间[α,β]的一个分割T ’： α=t 0< t 1<t 2<…t n-1<t n =β.在T ’所属的每个小区间△i =[t i-1,t i ]上，由微分中值定理得△x i =x(t i )-x(t i-1)=x ’(ξi )△t i , ξi ∈△i ；△y i =y(t i )-y(t i-1)=y ’(ηi )△t i , ηi ∈△i . 从而C 的内接折线总长为s T =∑=∆+∆n1i 2i 2i y x =∑='+'n1i i 2i 2)(ηy )(ξx △t i .记σi =)(ηy )(ξx i 2i 2'+'-)(ξy )(ξx i 2i 2'+'，则s T =[]∑=+'+'n1i i i 2i 2σ)(ηy )(ξx △t i .又由三角形不等式可得：|σi |≤||y ’(ηi )|-|y ’(ξi )||≤|y ’(ηi )-y ’(ξi )|. 由y ’(t)在[α,β]上连续，从而一致连续，∴对任给的ε>0, 存在δ>0， 当T '<δ时，只要ηi , ξi ∈△i ，就有|σi |≤|y ’(ηi )-y ’(ξi )|<α-βε, i=1,2,…,n. ∴|s T -∑='+'n1i i 2i 2)(ξy )(ξx △t i |=|∑=n1i i σ△t i |≤∑=n1i i |σ|△t i <ε,∴0T lim →s T =∑=→''+'n1i i 2i 20T )(ξy )(ξx lim △t i ，即s=⎰'+'βα22(t)y (t)x dt.注：1、若曲线C 由直线坐标方程y=f(x), x ∈[a,b]表示，则看作参数方程：x=x, y=f(x), x ∈[a,b]. 因此，当f(x)在[a,b]上连续可微时，此曲线即为一光滑曲线，其弧长公式为：s=⎰'+ba 2(x )f 1dx. 2、若曲线C 由极坐标方程r=r(θ), θ∈[α,β]表示，则 化为参数方程：x=r(θ)cos θ, y=r(θ)sin θ, θ∈[α,β]. 由x ’(θ)=r ’(θ)cos θ-r(θ)sin θ, y ’(θ)=r ’(θ)sin θ+r(θ)cos θ, 得：x ’2(θ)+y ’2(θ)=r 2(θ)+r ’2(θ)，∴当r ’(θ)在[α,β]连续，且r(θ)与r ’(θ)不同时为零时，此极坐标曲线为一光滑曲线， 其弧长公式为：s=⎰'+βα22 )(θr )(θr d θ.例1：求摆线x=a(t-sint), y=a(1-cost)(a>0)一拱的孤长.解：∵x’(t)=a-acost; y’(t)=asint. ∴x’2(t)+y’2(t)=2a2(1-cost)=4a2sin22t.其弧长为s=⎰2π222tsin4a dt=4a⎰2π02tsin d⎪⎭⎫⎝⎛2t=8a.例2：求悬链线y=2ee-xx+从x=0到x=a>0那一段的弧长.解：∵y’=2ee-xx-. ∴1+y’2=2x-x2ee⎪⎪⎭⎫⎝⎛+.其弧长为s=⎰+a-xx2ee dx=2ee-aa-.例3：求心形线r=a(1+cosθ) (a>0)的周长.解：∵r’(θ)=-asinθ. ∴r2(θ)+r’2(θ)=4a2cos22θ.其周长为s=⎰2π02θacos2dθ=4a⎰2π02θcos d⎪⎭⎫⎝⎛2θ=8a.注：∵s(t)=⎰'+'tα22(t)y(t)x dt连续，∴dtds=22dtdydtdx⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛，即有ds=22dydx+. 特别称s(t)的微分dx为弧微分. (如左下图)PR为曲线在点P处的切线，在Rt△PQR中，PQ为dx，QR为dy，PR则为dx，这个三角形称为微分三角形。
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§ 3 平面曲线的弧长与曲率
一、平面曲线的弧长 1、平面曲线的弧长的概念
一条线段的长度可直接度量，但一条曲线段的“长度”一般却不能直接度量，因此需用不同的方法来
求. 定义曲线弧长的基本思想是局部以直代曲 , 即用内接折线总长的极限定义弧长 .
定义1 可求长曲线
设平面曲线C 由参数方程()
()
x x t y y t =⎧⎨
=⎩ （t αβ≤≤）给出，设01{,,
,}n P t t t =是[,αβ]的一个划分
[0,n t t αβ==]，即01n t t t αβ=<<<=，它们在曲线C 上所对应的点为000((),())M x t y t =，
111((),())M x t y t =，…，((),())n n n M x t y t =。
从端点0M 开始用线段一次连接这些分点0M ，1M ，…，n M 得到曲线的一条内接折线，用1i i M M -来表示1i i M M -的长度，则内接折线总长度为
11
1
n n
n i i i i S M M -====∑
曲线C 的弧长S 定义为内接折线的总长在max 0i p t =→时的极限：
10
1
1
lim lim n n
i i p p i i S M M -→→====∑
如果S 存在且为有限，则称C 为可求长曲线。
定义2 设曲线C ：()
()
x x t y y t =⎧⎨
=⎩ （t αβ≤≤），且()x t ，()y t 在[,αβ]上连续可微，且导数()x t '，()y t '在[,αβ]上不同时为0（曲线C 在[,αβ]无自交点），则曲线C 称为光滑曲线.
2、弧长公式
定理10.1设曲线C 为如上的光滑曲线，则曲线C 是可求长的，且弧长S 为：
S β
β
α
α
==⎰
⎰
注：利用微元法推导公式
注：其它形式的弧长公式
（1）设()y y x =在[a,b]上可微且导数()y x '可积，则曲线()y y x =（a ≤x ≤b ）的弧长S 为：
a
S =⎰
（2）若曲线极坐标方程()r r θ=，αθβ≤≤，则当()r θ在[,αβ]上可微，且()r θ'可积时，
S β
α
θ=⎰
（3）空间曲线()()()x x t y y t z z t =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
（t αβ≤≤），弧长S 为
S βα
=⎰
其中x(t)，y(t)，z(t)在[,αβ]上可微，导数()x t '，()y t '，()z t '在[,αβ]上可积且曲线C 在 [,αβ]上无自交点。
补例1 求圆周cos x R t =，sin y R t =，02t π≤≤的弧长S 。
补例2 求抛物线2
12
y x =，01x ≤≤的弧长S 。
例3、求椭圆22221x y a b +=（b>a>0）的弧长S 。
3、弧长的微分
设C ：()()x x t y y t =⎧⎨=⎩
（t αβ≤≤）是光滑曲线（()x t '，()y t '在[,αβ]连续且2()x t '＋2
()0y t '≠）；
且无自交点。
若把公式中的积分上限β改为t ，就得到曲线C ，由端点0M 到动点((),())M x t y t 的一段弧长。
t
S α
=⎰
由上限函数的可微性知()S t '
存在，()dS t dS dt ==二、平面曲线的曲率 1、曲率的概念
曲线的弯曲程度不仅与其切线方形的变化角度ϕ∆的大小有关，而且还与所考察的曲线的弧长S ∆有关，并且曲率与
ϕ成正比，与S 成反比。
即一般曲线的弯曲程度可用k S
ϕ
∆=
∆，其中k ：曲线段AB 的平均变化率；ϕ∆：曲线段AB 上切线方向的角度；S ∆：曲线段AB 的弧长。
例1、半径为R 的圆：1
k S S R R
ϕααα∆∆∆=
===∆∆∆⋅。
对于一般的曲线，如何刻画它在一点处的弯曲程度呢？
0lim
s k S ϕ
→∆=∆，称为曲线在A 点的曲率，即0lim s d k dS S
ϕϕ→∆==∆
2、曲率的计算
记()y y x =二阶可微，则在点x 处的曲率为： 因为tg y ϕ'=，arctgy ϕ'=，所以
2211d y y d dx dx y y ϕϕ''''
=⇒=''++
，又因为dS =所以 ()
3/221d y k dS y ϕ''
=
='+ 例1、求2
12
y x =
在任一点的曲率。
3、曲率圆和曲率半径
过点（x ，y(x)）且与y ＝y （x ）在该点有相同的一阶及二阶导数的圆2
2
2
()()x a y b R -+-=称为曲率圆。
曲率圆的中心和半径分别称为曲率中心和曲率半径。
如何求曲线上一点（x ，y(x)）处的曲率圆呢？
因为1R k =
，()
3/221y k y ''
='+，则（a,b ）在过（x ，y(x)）的法线上：1()()()Y y x X x y x -=--'。
例1、 求2
12
y x =
在点（0,0）的曲率圆方程？ 作业 P252：1（1）、（3）、（5）
§ 4 旋转曲面的面积
一、微元法
提前在§ 1讲授
二 、旋转曲面的面积
用微元法推出旋转曲面的面积公式：
设y ＝y(x)于[a,b]上非负，且连续可微，该曲线绕x 轴旋转后所得的旋转面的侧面积：
2b
a
S π=⎰
曲线方程为 ],[ , )(b a x x f y ∈=时，⎰
'+=⇒b
a
dx x f x f )(1)(2S 2π
；
曲线方程为 ],[ , )( , )(βαχ∈==t t y y t x 时，⎰
'+'=⇒β
α
χπdt t y t x y )()()
(2S 22 .
例1 求半径为r 的球带的面积S.
例2
作业P255：1（2）、（4），3（1）。