§3 曲线的曲率和 Frenet 标架
frenet空间标架 一般参数曲线
在数学和物理学中，Frenet空间标架是一种重要的概念，它在描述曲线运动和空间变换时发挥着关键作用。
而一般参数曲线则是在这一理论框架下的重要应用之一，它有着广泛的实际意义和深刻的数学内涵。
本文将围绕这两个主题展开深入探讨，带您逐步深入理解它们的内涵和应用。
1. Frenet空间标架Frenet空间标架是描述空间中一条曲线上的切线、法线和滑线方向的一组矢量基底。
它由三个单位正交矢量构成：切线单位矢量T，法线单位矢量N和滑线单位矢量B。
这一组矢量基底可以完整地描述曲线在空间中的运动特性，是描述曲线弯曲、扭转和形状变化的重要工具。
Frenet空间标架的概念深刻而精妙，它不仅在数学和物理学中有着广泛的应用，也在工程、计算机图形学等领域有着重要的意义。
2. 一般参数曲线一般参数曲线是指曲线的参数方程满足一定的条件，可以将曲线的弧长作为参数。
在Frenet空间标架的描述下，一般参数曲线能够更加简洁地描述曲线的特性。
通过参数化轨迹曲线上的点，我们可以得到曲线上每一点的切线、法线和滑线方向，从而完整地描述出曲线在空间中的运动规律。
一般参数曲线在几何建模、物体运动和曲线绘制等领域有着重要的应用，它为我们理解和描述空间中曲线的运动提供了重要的数学工具。
3. 个人观点和理解从我的角度来看，Frenet空间标架和一般参数曲线是描述空间中曲线运动和变换的重要数学工具。
它们不仅具有丰富的数学内涵，还有着广泛的实际应用。
在学习和研究过程中，我深切体会到这两个概念对于理解曲线运动和空间变换的重要性。
通过深入研究和探讨，我逐渐领会到它们的深刻之处，也感受到它们在数学和物理学中的重要作用。
总结通过本文的讨论，我们深入探讨了Frenet空间标架和一般参数曲线的概念和应用。
从简单到复杂，我们逐步展开对这两个主题的讨论，带您全面理解它们的内涵和意义。
我也共享了我对这两个主题的个人观点和理解，希望能够为您对这一领域的学习和研究提供一些启发和帮助。
微分几何 3.3空间曲线曲率挠率和Frenet公式
r , × r ,, r
, 3
例： 空间曲线：r = r(s)为直线的充要条件是 曲率k(s)=0. 证明 若为直线 r = s a + b，其中a和b都是常向 量，并且| a | = 1，则k(s)= | r ( s ) |= 0; 反之, 若k(s)=0, 则 | r ( s) |= 0 r 于是
其中 ∆s 为 p 点及其邻近点 p1 间的弧长，∆ϕ 为 曲线在点 p 和 p1 的切向量的夹角。 曲率刻画了曲线的弯曲程度，刻画了曲线偏离切线 程度。
∆ϕ k ( s ) = lim ∆s →0 ∆s
在
p
点的曲率为
空间曲线曲率计算公式（ 空间曲线曲率计算公式（自然参数）
uuuur， ∆ϕ | ∆ϕ ⋅1| | MM | | MM | | MM ，| = = = uuuur， ∆s ∆s ∆s ∆s | MM |
由定义 β = γ × α）= γ × α + γ × α （
= −τ ( s）β × γ + k ( s）γ × β = −k ( s）α +τ ( s）γ
则有基本向量导向量与基本向量的关系，即 微分几何的的重要公式
空间曲线的伏雷内公式
α ＝k ( s) β β = −k ( s)α + τ ( s)γ γ = −τ ( s) β
现在设曲线上一点的自然参数为另一邻近点的自然参数为此两个副法向量的夹角是由第一节命题知扭转程度大小为几何意义是它的数值为曲线的副法向量对于弧长的旋转速度由于密切平面把空间分成上下两部分对扭转程度要考虑付法向量向上还是向下即有方向即有下面的定义下面考虑扭转方向因所以定义
3.3空间曲线曲率挠率和Frenet公式 3.3空间曲线曲率挠率和Frenet公式 定义： 空间曲线 (C )
曲率挠率Frenet公式与标架
定理2 设无逗留点的弧长 s 参数化曲线 C: r = r(s) 与 C*: r* = r*(s) 合同，则两条曲线在对应点 r(s) 与 r*(s) 处的挠
率 (s) 与 *(s) 总相等．
证明 与上一节定理2的证明相同，对曲线 C* 各相应量 的记号总打星号表示，并设矩阵 ASO(3) 和位置向量 OP = (b1 , b2 , b3) ，使
适用于一般场合下利用已知知识参与解决问题的过程， 特别适用于理性的数量关系问题的求解过程， 当然包括适用于对曲面几何问题的讨论． 具体的例子，读者可以回头总结前面的相关例题、定理
和公式的证明过程，直至理论框架． 典型的使用过程，也可以参阅第七章§6中球面曲线的局 部特征定理及其证明．本章§7中也经常使用这些步骤．
二．Frenet公式
按照标架运动的一般规律，对于无逗留点的曲线 r ， 其Frenet标架关于曲线弧长 s 的运动公式（作微小位 移时的变换公式）现在已经可以确定为
dr = T ds ；
00ds
ds
0
ds
d00 s
定义1 对于无逗留点的曲线 C ，称 = B N 为曲线的
挠率函数，其中 B 为从法向量对弧长的导数；当挠率非 零时，称其倒数为挠率半径．
可证（习题2.4.1）挠率在容许参数变换下不变．
一．挠率
B ∥N ．
对于无逗留点的曲线 C ，称 = B N 为曲线的挠率
一．挠率
定理1 对曲率非零的曲线 C 而言，C 为平面曲线的 充要条件是其挠率函数恒等于零．
定理2 设无逗留点的弧长 s 参数化曲线 C: r = r(s) 与 C*: r* = r*(s) 合同，则两条曲线在对应点 r(s) 与 r*(s)
frenet标架
1.2.1 曲线的基本三棱形 设 C : r (t) = {x(t), y (t), z (t)} 为正则曲线, 任取定 C 上一点 P0 (t = t0 ) , 并设
1. 切线
P 为 P0 的任一邻近点, P0 点与 P 决定的直线记为 l . 则当 P 沿 C 趋向于 P0 点时, l 的极限 位置称为曲线 C 在 P0 点的切线 (如图2), 定点 P0 称为切点. 直观上, 切线是通过切点的所 有直线中最“贴近”曲线的直线. 设 P 点对应的参数为 t0 + ∆t , 则有 − − → P0 P = r (t0 + ∆t) − r (t0 ), − − → 在割线 P0 P 上作向量 P0 Q (如图1), 使得 − − → r (t0 + ∆t) − r (t0 ) P0 Q = , ∆t − − → 当 P → P0 (即 ∆t → 0 )时, 若 r (t) 在 t0 处可微, 由向量函数微商的定义可得, 向量 P0 Q 的极 限 r (t0 + ∆t) − r (t0 ) = r (t0 ). ∆t→0 ∆t lim
其中 b0 是任意常向量. 上式正是直线段的方程, 这说明曲线 C 是直线. 鉴于这一事实, 以后 我们总是假定曲线上的点都是非逗留点, 这对于研究曲线的局部性质不是一个苛刻的限制. 【注 4】 切平面. 证明 设 P0 (t = t0 ) , P (t = t0 + ∆t) , 则 P0 点处的密切平面 π 的法向量 N 为 r (t0 ) × r (t0 ) . 根据 Taylor 公式, 我们有 − − → 1 P0 P = r (t0 )∆t + (r (t0 ) + ε1 )(∆t)2 , 2 1 r (t0 + ∆t) = r (t0 ) + (r (t0 ) + ε2 )(∆t)2 , 2 这里 lim ε1 = lim ε2 = 0 . 简单计算我们得到
一种任意曲线曲率中心、半径及Frenet标架的图解算法
一种任意曲线曲率中心、半径及Frenet标架的图解算法郑鹏飞;刘青;赵菊娣;林大钧;安琦【摘要】通过分析现有曲线曲率中心、曲率半径的求解方法,与微分几何中Frenet 标架的定义及求解方法,提出了一种基于离散点分段构建平面曲线逼近空间任意曲线的方法,并以此建立以两中垂面与密切平面求交的方式求解曲线曲率中心和Frenet标架的图解及解析模型.所给出的求解任意曲线曲率中心、曲率半径及Frenet标架的图解算法简便可行,试验证明,该算法稳定可靠,适应性广.【期刊名称】《东华大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(042)004【总页数】5页(P593-596,603)【关键词】曲率中心;曲率半径;Frenet标架;图解【作者】郑鹏飞;刘青;赵菊娣;林大钧;安琦【作者单位】华东理工大学机械与动力工程学院,上海200237;义乌工商职业技术学院,浙江义乌322000;义乌工商职业技术学院,浙江义乌322000;华东理工大学机械与动力工程学院,上海200237;华东理工大学机械与动力工程学院,上海200237;华东理工大学机械与动力工程学院,上海200237【正文语种】中文【中图分类】TP391在机械设计中, 经常涉及到复杂曲线的曲率半径和曲率中心的计算, 很多研究者提出了相应的计算方法[1-3], 如切线向量解法[4]、解析法[5-6]、施密特正交法[7]、图解法[8]、公式改进法[9]、复矢量法[10]、坐标变换法[11]等. 另外, 曲线曲率与Frenet标架在工程中有广泛的应用, 如车辆运行路线仿真、桥梁设计[12-16]等. 因此, 研究曲线曲率半径、曲率中心、Frenet标架问题在微分几何和工程应用领域均有重大现实意义. 虽然这些问题曾被广泛研究并应用, 但大多数研究局限于平面曲线, 或是将微分几何中已有的计算公式加以应用解决. 对于离散曲线或未知曲线方程情况下的曲率半径、曲率中心及Frenet标架求解问题的研究甚少. 本文针对这一问题, 提出了一种任意离散空间曲线曲率及Frenet标架求解算法.设曲线C的方程为γ(s), 其中s为曲线的弧长参数, 则在正则曲线上曲率κ(s)不为零的点有一个完全确定的右手单位正交标架{r(s); α(s), β(s), γ(s)}, 它与表示曲线的笛卡尔直角坐标系的选取无关, 也不受曲线作保持定向的允许参数变换的影响, 称为曲线在该点的Frenet标架[17].Frenet标架的3根轴分别称为曲线的切线、主法线和副法线; 3个坐标面分别称为曲线的法平面(以α为法向量的平面)、从切平面(以β为法向量的平面)和密切平面(以γ为法向量的平面), 它们的方程分别为法平面: (X-r(s))·α(s)=0从切平面: (X-r(s))·β(s)=0密切平面: (X-r(s))·γ(s)=0将曲线C的方程换成自然参数, 则曲线C方程为r=r(t), 对应的曲率及Frenet标架可表示为Frenet标架由3个相互垂直的平面(法平面、从切平面、密切平面)组成, 3个平面的交线分别为主法线、副法线和切线, 其中主法线位于密切平面内. 根据密切平面的定义, 可以在曲线某点P1附近取两个点P2和P3, 分别连接直线P1P3、P1P2, 可得过直线P1P3中点A, 且以直线P1P3为法线的中垂面n1, 同理求得中垂面n2. 最后求得3个平面n1、n2、P1P2P3的交点P0, 即为曲线在P1点的曲率中心点.如图1所示, 点P1和P0间的距离值即为曲率半径. 曲率半径的精度取决于P1附近点与P1的逼近程度, 即点P2和P3越逼近点P1, 曲率中心点的精度越高. 这一图解过程对于平面曲线, 其结果是显然的. 对于空间曲线, 这一图解模型同样适用, 因为空间三维曲线可看成离散的多段平面曲线依次连接而成. 换言之, 可将空间曲线离散化, 用一系列点将曲线离散表示, 这样具有避开求解复杂偏导数方程组的优点, 即适用于曲线方程未知的情况.据此建立其数学模型, 已知点P1(x1, y1, z2), P2(x2, y2, z2)和P3(x3, y3, z3), 其平面的三点式方程为同理, 平面n2的方程为为了简便起见, 令联立式(9)～(11), 可得曲率中心点P0的坐标为因此, 曲线C在点P1处的曲率半径R1=d(P0, P1), 曲率k1=1/d(P0, P1).显然, 求得的曲率半径P0P1即为曲线在该点处的主法线. 副法线的向量即为平面P1P2P3的法向量γ, 而该向量在上述过程中已求得. 因此, 副法线即为过P0点, 并以γ为向量的直线. 同样, 切线即为过P0点, 并以主法线、副法线所在平面的法向量为向量的直线, 该直线较易得到, 在此不再赘述.根据上述数学模型, 将其应用于求解离散空间曲线的曲率半径、曲率中心以及Frenet标架中，可分为以下两类加以简述.(1) 无显式曲线. 曲线用离散点表示, 可将该离散点组按就近原则将其排序, 使其满足连续化条件. 按其顺序, 依次取3点坐标, 即可根据上述模型计算出该离散曲线的Frenet标架.(2) 显式曲线. 将曲线均匀分段, 并获取分段坐标值, 然后依次取点计算Frenet标架. 为了进一步验证本图解算法的有效性和适用性, 本文通过3个实例加以验证. 利用AutoCAD软件中的vlax-curve-getFirstDeriv、vlax-curve-getSecondDeriv函数获得曲线的一次、二次偏导数, 再根据式(5)～(8)求解出曲线的曲率与Frenet标架, 以此作为验证的参照.3.1 平面圆弧曲线如图2(a)所示为一平面圆弧曲线, 测量该圆弧的半径可知为16.705 mm, 现将曲线均分为10段, 在每个分段点计算其Frenet标架与曲率半径. 图2(b)为利用本文算法与微分几何法求得的Frenet标架对比图, 本文算法计算出的曲率中心即为该圆弧圆心, 曲率半径也是16.705 mm, 精确率为100%. 图2(c)是图2(b)的局部放大图. 从图2(c)中可以看出, 本文算法标架与微分几何法标架完全吻合, 证明了本文算法对于求解平面曲线的Frenet标架、曲率中心、曲率半径是有效的.3.2 圆锥面上测地线图3(a)为点云圆锥面模型上的一条测地线, 图3(b)为用本文算法与微分几何法计算结果的叠加对比图. 由图3(b)可知, 本文算法同样适用于空间曲线的Frenet标架求解问题. 将图3(b)局部放大得到图3(c), 可见本文算法所得结果的精度很高.3.3 空间变径螺旋线图4(a)为一变直径的空间螺旋线, 图4(b)为两种计算方法的运行对比结果. 从局部放大图4(c)可见, 本文算法与微分几何法计算结果有细小偏差. 分析该误差产生的原因可知, 由于在曲线上的取点密度(分段数)不同, 会造成Frenet标架计算误差, 因为曲线上三点取值间隔越大, 就会违反本文算法中三点共面, 用分段平面曲线逼近空间三维曲线的理论基础, 造成图4(c)中的偏移误差. 换言之, 取点间距越大, 误差越大, 间距越小, 精度越高. 因此, 利用本文算法计算Frenet标架、曲线曲率、曲率半径、曲率中心点坐标时, 需将取点间距设置成较小数值.最后, 调整取点间距后, 针对平面曲线、空间测地线和空间变径螺旋线进行了多次重复试验, 试验结果表明本文算法对空间任意曲线的精度可达到99.9%, 可满足各种工程应用的需求, 具有实际应用价值.3.4 曲线在Frenet标架上的投影Frenet标架是用于描述欧几里得空间中的粒子在连续可微曲线上的运动, 它反映了曲线的切向、法向、副法方向之间的关系. 因此, 在获取曲面各点处的Frenet标架之后, 可将该曲线向Frenet标架的基本三平面作正投影, 得到3条平面曲线, 以此来描述原曲线某些特性. 据此, 本文中添加了该功能, 求得曲线上某点处基本三面形的平面方程, 然后将原曲线向这3个平面投影. 本文采用离散化的投影机理, 即将该曲线离散成坐标点, 将所有坐标点投影到平面上, 得到一系列相应的投影点, 最后将这一系列投影点光滑连接成曲线, 该曲线即为原曲线的正投影线. 离散化处理具有降维的优点, 能使问题简单化, 且能处理一些原本比较复杂的问题, 如本文中所提的曲线形式或方程未知及隐式曲线的曲率问题等. 图5为圆锥面测地线上9点分别向其基本三面形投影所得结果.本文提出了一种完整的适用于平面、空间任意曲线曲率问题的求解模型, 并利用离散方法进行降维来处理曲线信息不确定的问题，提出了图解方式解决图形问题, 避免求解复杂微分方程组的困境. 应用所建的算法, 对压力容器壁厚计算中涉及的曲面主曲率半径、轧辊机辊子疲劳强度计算涉及的曲面主曲率半径的求解都取得了直观、快速、准确的结果. 将曲线投影到Frenet标架上, 为直观地研究曲线特性提供了方法.今后的研究工作将在以下几方面开展: 带噪声的离散曲线或隐性复杂曲线的Frenet 标架求解; Frenet标架的机械工程领域的具体应用; 利用曲线曲率或Frenet进行给定条件的曲线、曲面设计等.[6] 闫焱. 空间曲线的主法向量方向的探讨[J]. 陕西师范大学继续教育学报, 2005, 22(3): 104-105.。
空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式
空间曲线的曲率、挠率和Frenet 公式前言空间曲线的曲率、挠率和Frenet 公式是空间曲线基本理论的一部分,它是以空间曲线的密切平面和基本三棱形的知识作为基础的.空间曲线的曲率、挠率和Frenet 公式在空间曲线的基本理论中占有重要位置,是空间曲线的一些基本性质和基本公式.曲线的曲率和挠率完全决定了曲线的形状.当曲线的曲率和挠率之间满足多种不同的关系时,就会得到不同类型的曲线.例如:0k >时为直线,0τ=时为平面曲线.本文将从定义、公式推导和具体举例三方面逐步解析空间曲线的曲率、挠率和Frenet 公式.本文第一部分讲述曲率和挠率的定义,第二部分讲述Frenet 公式和曲率、挠率的一般参数表示的推导,第三部分具体举例有关曲率、挠率的计算和证明.1. 空间曲线的曲率和挠率的定义1.1准备知识—空间曲线的伏雷内标架给出2c 类空间曲线()c 和()c 上一点p .设曲线()c 的自然参数表示是(),r r s =其中s 是自然参数，得drdsr ==α 是一单位向量.α 称为曲线()c 上p 点的单位切向量.由于1=α，则⊥αα，即r r ⊥.在α上取单位向量==αr βαr， (1)β称为曲线()c 上p 点的主法向量.再作单位向量=⨯γαβ，γ称为曲线()c 上p 点的副法向量.我们把两两正交的单位向量,,αβγ称为曲线上p 点的伏雷内(Frenet)标架. 1.2 空间曲线的曲率我们首先研究空间曲线的曲率的概念.在不同的曲线或者同一条曲线的不同 点处，曲线弯曲的程度可能不同.例如半径较大的圆弯曲程度较小，而半径较小的圆弯曲程度较大.为了准确的刻画曲线的弯曲程度，我们引进曲率的概念.要从直观的基础上引出曲率的确切定义，我们首先注意到，曲线弯曲的程度越大，则从点到点变动时，其切向量的方向改变的越快.所以作为曲线在已知一曲线段PQ 的平均弯曲程度可取为曲线在P 、Q 间切向量关于弧长的平均旋转角.设空间中3c 类曲线()c 的方程为().r r s =曲线()c 上一点p ，其自然参数为s ，另一邻近点1p ，其自然参数为s s +∆.在p 、1p 两点各作曲线()c 的单位切向量()s α和()s s +∆α.两个切向量的夹角是ϕ∆，也就是把点1p 的切向量()s s +∆α平移到点p 后，两个向量()s α和()s s +∆α的夹角为ϕ∆.我们把空间曲线在p处的切向量对弧长的旋转速度来定义曲线在点p的曲率.定义[]1空间曲线()c 在p 点的曲率为()lims k s sϕ∆→∆=∆， 其中s ∆为p 点及其邻近点1p 间的弧长，ϕ∆为曲线在点p 和1p 的切向量的夹角. 再利用命题“一个单位变向量()t r （即()1t =r ）的微商的模,()r t 的几何意义是()t r 对于t 的旋转速度”.把这个结果应用到曲线()c 的切向量α上去，则有()k s =α.由于r =α，所以曲率也可表示为()k s r =.由上述空间曲线的曲率的定义可以看出，它的几何意义是曲线的切向量对于弧长的旋转速度.当曲线在一点的弯曲程度越大，切向量对于弧长的旋转速度就越大，因此曲率刻画了曲线的弯曲程度.对于空间曲线，曲线不仅弯曲而且还要扭转（离开密切平面），所以研究空间曲线只有曲率的概念是不够的，还要有刻画曲线扭转的程度的量—挠率. 1.3 空间曲线的挠率当曲线扭转时，副法向量（或密切平面）位置随着改变（如图一），所以我 们用副法向量（或密切平面）的转动速度来刻画曲线的扭转程度（在一点离开密切平面的程度）.现在设曲线()c 上一点p 的自然参数为s ，另一邻近点1p 的参数为s s +∆，在p 、1p 两点各作曲线()c 的副法向量()s γ和()s s +∆γ.此两个副法向量的夹角是ϕ∆(如图一).()s s γ+∆（图一）再利用命题“一个单位变向量()t r （即()1t =r ）的微商的模,()r t 的几何意义是()t r 对于t 的旋转速度” .把这个结果应用到曲线()c 的副法向量向量γ上去， 得到lims sϕ∆→∆=∆γ， 此式的几何意义是它的数值为曲线的副法向量（或密切平面）对于弧长的旋转速度.当曲线在一点的扭曲程度越大（离开所讨论点的密切平面的程度越大），副法向量（或密切平面）对于弧长的旋转速度就越大.因此，我们可以用它来刻画曲线的扭转程度.根据（1）和曲率的定义，我们有()k s ===r ααβrα， 即()k s =αβ. (2) 对=⨯γαβ求微商，有()()k s =⨯=⨯+⨯=⨯+⨯=⨯αβαβαβββαβαβγ，因而⊥αγ.又因为γ是单位向量，所以⊥γγ.由以上两个关系可以推出//γβ. (3) 现在我们给出挠率的定义如下： 定义[]1曲线()c 在p 点的挠率为：().s τ⎧+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩γγβγγβ，当和异向，，当和同向 挠率的绝对值是曲线的副法向量（或密切平面）对于弧长的旋转速度. 介绍了曲率、挠率的定义之后，为了更好的应用曲率和挠率,下面我们来看Frenet 公式和曲率、挠率的一般参数表示式的推导过程.2. Frenet 公式和曲率、挠率的一般参数表示式的推导2.1 Frenet 公式的推导 根据（3）及挠率的定义有τ=-γβ（s) （4） 另外，对=⨯βγα求微商，并利用（4）和（2），可以推导出()()()()()s k s k s s ττ=⨯=⨯+⨯=-⨯+⨯=-+βγαγαγαβαγβαγ（5）公式（2），（5），（4）称为空间曲线的伏雷内（Frenet ）公式，即()()()()k s k s s s ττ⎧=⎪⎪=-+⎨⎪=-⎪⎩αββαγγβ， 这组公式是空间曲线的基本公式.它的特点是基本向量α、β、γ关于弧长s 的微商可以用α、β、γ的线性组合来表示.它的系数组成反称的方阵()0()0()0()0k s k s s s ττ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭2.2 曲率的一般参数表示式的推导 若给出3c 类的空间曲线()c().r r s =，则有,dr ds dsr r ds dt dt==，22,222,,222ds d s d r ds d s ds d s r r r r r r dt dt ds dt dt dt dt ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以232,,,2ds ds d s ds r r r r r r r dt dt dt dt ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯=⨯+=⨯⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，由上式得3,,,sin ds r r r r dt θ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭.注意上式中,1,,dsr r r r dt=⊥=， 因而有3,,,,r r k r ⨯=.由此得到曲率的一般参数表示式,,,3,r r k r⨯=.2.3挠率的一般参数表示式的推导 再由伏雷内公式的（4）式τ=-γβ（s)，两边点乘β得r τ=-βββ，因而()()26,2,,,1111111,,,,kk k k k k k k r r r τ⎛⎫=-==⨯ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎪⎝⎭=⎛⎫ ⎪⎝⎭=⨯γβγβαβαααααγγγγγγγγγγ再把,ds r rdt= 22,,2ds d s r r r dt dt ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭323,,,233ds ds d s d s r dt dt dt dt ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭γγγ 代入(),,,,,,r r r ⨯⨯中得()66,,,,,,,,,,,ds r r r r dt ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭γγγγγγ， 所以得到()(),,,,,,2,,,r r r r r τ⨯⨯=⨯. 这是一般参数表示的挠率计算公式.另外说一下密切圆，曲率中心，曲率半径的定义.空间曲线()c 在一点的密切圆（曲率圆）是过曲线()c 上一点()P s 的主法线的正侧取线段PC ，使PC 的长为1k ，以C 为圆心，以1k为半径在密切平面上确定一个圆，这个圆称为曲线()c 在()P s 点的密切圆（曲率圆），曲率圆的中心称为曲率中心，曲率圆的半径称为曲率半径（如图二）.（图二）3. 有关曲率、挠率的计算和证明例 1[]1求圆柱螺线{}cos ,sin ,a a b θθθ=r ()θ-∞<<+∞的曲率和挠率.解 由圆柱螺线方程{}cos ,sin ,a a b θθθ=r ，先计算{},sin ,cos ,a a b θθ=-r ,{},,cos ,sin ,0a a θθ=--r ,{},,,sin ,cos ,0a a θθ=-r ,于是有,=r{},,,2sin cos sin ,cos ,,cos sin 0a ab ab ab a a a θθθθθθ⨯=-=---123e e e r r ,,,⨯=r r代入曲率和挠率的公式得,,,322,,ak a b ⨯===+r r r β()(),,,,,,2222422,,,,,.,ba ba b aa b τ===++r r r r r 由以上可以看出，圆柱螺线的曲率和挠率都是常数.例 2[]1 证明曲率恒等于零的曲线是直线. 证明 已知0,k =≡r 因而,=r 0由此得到 =r a （常向量）. 再积分即得 ,s =+r a b 其中b 也是常向量.这是一条直线的参数方程.例 3[]1证明挠率恒等于零的曲线是平面曲线.证明 若0,τ≡则γ是固定向量，但是我们已知0,=αγ因而有0,=r γ积分后得a =r γ（常数），所以曲线在一个平面上，即曲线是平面曲线.以上即为有关曲率、挠率的计算和证明，充分说明了研究空间曲线的曲率、挠率对空间曲线的研究有重要意义.结语:空间曲线的曲率、挠率和Frenet 公式是空间曲线基本理论的重要部分.其中Frenet 公式是微分几何空间曲线论的基本公式，是研究空间曲线论的基础，在经典微分几何中占有重要地位，可以由它导出曲线的诸多重要性质和定理.参考文献：[1] 梅向明，黄敬之.微分几何（第四版）[M]. 北京：高等教育出版社，2008.。
曲线上的Frenet标架
通过代入t＝0得：
在上述例子计算过程中可观察到向量r″（t）与向量β相等，又由于r″（t）的方向指向曲线凹入的一侧，从而β的方向也指向曲线凹入的一侧．
【相关文献】
［1］范荣辉，岳崇山.Frenet标架运动生成曲线与曲面间的保长变换的软件实现及思考［J］.唐山师范学院学报：自然科学版，2008，30（2）：26－29.
证明 由于曲线C是正则曲线，因此r′（t）≠0．又因为曲线没有停留点且是C2类的，从而r″（t）存在且r′（t）×r″（t）≠0成立，所以向量组是线性无关的向量组．由施密特正交化方法取′，再把ε1，ε2单位化，就可以表示出基本向量α，β，再利用向量积的性质可表示出γ．
接下来讨论三个基本向量的方向．由Frenet标架的定义以及向量积知识［8］可知三个基本向量中只要确定其中两个向量的方向剩下一个向量的方向可随之而定．文献［1］中定义切向量的方向与曲线的正向一致，因此本文中着重讨论了主法向量的方向．
命题2［6－7］（Gram－schmidt正交化方法） 设α1，α2，…，αr（r≤n）是欧式空间Rn中线性无关的向量组，则由如下方法：
所得的向量组是正交向量组．
本文将利用施密特正交化方法推导一般参数下曲线在一点处的Frenet标架中三个基本向量，并讨论基本向量α，β，γ的方向．
定理1 给定C2类正则曲线C，设P（t）是曲线C上任意一点，而曲线C的向量式参数方程为：r＝r（t），a＜t＜b，其中t为一般参数，则Frenet标架中三个基本向量分别为：
文献［2－4］又给出了关于一般参数下曲线的Frenet标架.如下：
命题1［2－4］给定C2类曲线C上一点P（t），设曲线C的向量式参数方程为r＝r（t），a＜t＜b，其中t为一般参数，则Frenet标架中三个基本向量分别为：
微分几何-西安交通大学站群管理系统
“微分几何”课程教学大纲英文名称：Differntial Geometry课程编号：B09043学时：54 学分：3.5适用对象：理学院数学各专业本科生（二年级下）先修课程：数学分析、高等代数与几何使用教材及参考书：陈维恒著，《微分几何初步》，北大出版社梅向明著，《微分几何》虞言林著，《微分几何》一、课程性质、目的和任务本课程主要介绍3-维芡氏空间中曲线和曲面的经典局部理论，使学生树立正确的几何观念，为进一步学习现代数学和物理提供基础和背景。
二、教学基本要求本课程要求学生建立正确的几何概念、掌握描述和刻划曲线及曲面形状的方法和手段，会进行初步的曲率计算，并能理解Gauss绝妙定理的重要意义。
三、教学内容及要求第一章预备知识1．标架2．向量值函数第二章曲线论1．参数曲线2．曲线的弧长3．曲线的曲率和Frenet标架4．挠率和Frenet公式5．曲线论基本定理6．曲线在一点的标准展开7．平面曲线重点掌握：曲线的Frenet标架及Frenet公式第三章曲面的第一基本形式1．曲面的定义2．切不面及切向量3．曲面的第一基本形式4．曲面上正交参数曲面网的存在性5．保长对应和保角对应6．可展曲面重点掌握：第一基本形式的定义，计算及作用，可展曲面的三种基本形式。
第四章曲面的第二基本形式1．第二基本形式2．法曲率3．Gauss映射和Weingarten映射4．主方向和主曲率的计算5．Duppin标形和曲面在一点的近似展开6．某些特殊曲面。
重点掌握：第二基本形式的定义，法曲率、主曲率、Gauss曲率、中曲率的计算。
第五章曲面论基本定理1．自然标架的运动公式2．曲面一唯一性定理3．曲面论基本议程4．曲面的存在定理5．Gauss定理。
重点掌握：自然标架的运动公司，曲面基本议程，Gauss曲率的内在计算（Gauss定理）。
第六章测地曲率和测地线1．测地曲率和测地挠率2．测地线3．测地坐标系4．常曲率曲面5．向量场的平行移动6．Gauss-Bonnet公式重点掌握：测地曲率的定义和测地线议程，平行移动和协变微分。
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T(t) =
r′(t) |r′(t)|
= (−sin t , cos t , 0) ，
定理 2 设弧长 s 参数化曲线 C: r = r(s) 与 C*: r* = r*(s) 合同，则两条 曲线在对应点 r(s) 与 r*(s) 处的曲率 κ(s) 与 κ*(s) 总相等．
证明 已知两条曲线合同，即存在行列式为 1 的 3 阶正交矩阵 A∈SO(3) 和点 P 坐标 b = (b1 , b2 , b3) ∈ E3 ，使 (x, y, z) = b + (x*, y*, z*) A ， 即
T(s)
•s
C
•
T(s+Δs)
s+Δs
T(s) ΔT(s)
Δθ
T(s+Δs)
图 2-6
定理 1 设弧长 s 参数化曲线 C: r = r(s) 的单位切向量场 T 从 T(s) 到 T(s+Δs) 的夹角为 Δθ(s, Δs)∈(−π, π) ，则
lim
Δs→0
|
Δθ Δs
|
=
|T
′(s)|
．
-1-
解： 当 T(s)×[r(s+Δs) − r(s)] ≠ 0 时为平面 Π1 的一个法向量，而
T(s)×[r(s+Δs) − r(s)]
=
T(s)×[(Δs)r′(s)
+
(Δs)2 2
r″(s) + o((Δs)2)R2(s, Δs)]
-5-
作者：王幼宁
= T(s)×[(Δ2s)2 κ(s)N(s) + o((Δs)2)R2(s, Δs)]
(3.4)
x′(t) y′(t) z′(t) = 0 ．
x″(t) y″(t) z″(t)
密切平面几何直观的理论依据可由下例给出．
例 3 设弧长 s 参数化曲线 C: r = r(s) 上无逗留点．过曲线上一点 P:
r(s) 的切线与以该点为端点之一的弦 PP1 （即直线段 PP1 ）共同张成的平 面记为 Π1 ，其中点 P1: r(s+Δs) ．当点 P1 沿着曲线趋向于点 P 时，试确定 平面 Π1 的极限位置．
-4-
作者：王幼宁
从切平面 (X − r(t))•N(t) = 0 ； 密切平面 (X − r(t))•B(t) = 0 ⇔(X − r(t) , T(t) , N(t)) = 0 ． 其中 X 表示几何对象上的动点的位置向量．密切平面的参数方程还可变形
为用曲线位置向量及其导向量表示．注意到 T(t) =
作者：王幼宁
证明
T ′(s) = lim
Δs→0
T(s+Δs) − Δs
T(s)
，
∴
|T
′(s)|
=
| lim
Δs→0
T(s+Δs) − Δs
T(s)|
=
lim
Δs→0
|T(s+ΔΔs)s−
T(s)|
Δθ
| | 2 sin 2
= lim
Δs→0
Δs
=
lim
Δs→0
|
Δθ Δs
|
．
□
定义 1 正则曲线 C: r = r(t) 的单位切向量场 T(t(s)) 关于弧长 s 的导向
≡
l
．于是，曲率
κ(u)
=
|
dT du
|
=
|
dl du
|
≡
0
．
反之，曲率处处为零的正则曲线具有固定的单位切向 l ，故在弧长参
数
s
下可写
T(s)
=
d ds
r(s)
=
l
，积分则得r(s)
=
(s
−
s0)l
+
r(s0)
，其中
s0
为任
意取定的一点．此即说明该曲线为直线． □
例 2 证明对常数 a > 0 ，圆周 r(t) = (a cos t , a sin t , 0) 的曲率半径处 处为圆周半径 a ．
d dt
1 |r′(t)|
，
因而
(X − r(t) , T(t) , N(t)) = (X − r(t) ,
r′(t) |r′(t)|
,
T ′(t) |T ′(t)| )
=
(X
−
r(t) , r′(t) , T |r′(t)| |T ′(t)|
′(t))
=
1 |r′(t)| |T ′(t)|
(X − r(t) , r′(t) ,
图 2-5
或是圆周或是圆柱螺线；不同半径的圆周的
单位切向方向变化率以半径较小的为大，等等．当然，以上观察都是在 E3
中进行的；并且在学完本节和下节内容之后，可以证明上述直观印象是正
确的．为了讨论连续变化率，自然用到微积分．另外，用活动标架的观点
来看，寻求附属于曲线本身的适当标架场在几何上是具有意义的．
-3-
作者：王幼宁
的切向量场和法平面场，其中曲线在指定一点的法平面是指过该点且垂直 于切线的平面．
注意到弧长 s 参数化曲线 C: r = r(s) 上的单位切向 T(s) 模长恒定，从 而其曲率向量 T ′(s)⊥T(s) ，可知曲率向量落在法平面内．当曲率向量非零 之时，即当曲率非零之时，利用曲率向量的单位化向量就可以建立符合需 要的单位正交右手标架场．这导致下列两组定义．
一．曲率
为了衡量单位切向方向的变化
率，需要将曲线上“动点的运动速
率”进行统一规定；自然的想法是利
用弧长参数化，考虑单位切向及其方
向相对于弧长的变化率．给定 E3 的一
条弧长 s 参数化曲线 C: r = r(s) ，其单
位切向 T(s) 关于弧长的导向量为 T ′(s)
=
dT ds
=
d2r ds2
．
T(s) = r′(s) ， κ(s) = |T ′(s)| = |r″(s)| ， 对非逗留点进一步有
定义 2 正则曲线 C: r = r(t) 在 r(t0) 处的曲率 κ(t0) = 0 时，称 r(t0) 或 t0 为曲线 C 的一个逗留点；否则称 r(t0) 或 t0 为曲线 C 的一个非逗留点．
定义 3
对无逗留点的正则曲线
C:
r
=
r(t)
，曲率向量
dT ds
的单位化
向量 N(t) 称为曲线 C 在 r(t) 处的
反之，若无逗留点的曲线 C: r = r(t) 的密切平面全部平行，则 B(t) ≡ B(t0) ，从而
r′(t)•B(t0) ≡ 0 , ∀t ； 积分得
[r(t) − r(t0)]•B(t0) ≡ 0 ， 此即该曲线落在点 r(t0) 处的密切平面上，为平面曲线． □
下面讨论计算问题．Frenet 标架显然在曲线的保向正则参数变换下不 变，并且在弧长参数下有简便的算式．事实上，对于在弧长参数 s 参数化 下的曲线 C: r = r(s) ，有
{r(t); T(t), N(t), B(t)} 的各坐标轴和坐标面在原固定坐标系 {O; i, j, k} 下的
方程是容易确定的，列示如下：
切线 主法线 从法线 法平面
X = X(u) = r(t) + u T(t) ； X = X(u) = r(t) + u N(t) ； X = X(u) = r(t) + u B(t) ； (X − r(t))•T(t) = 0 ；
-2-
作者：王幼宁
例 1 直线的曲率处处为零；反之，曲率处处为零的曲线必为直线．
证明：对给定的直线，取定其上一点 p 和其单位方向向量 l ，则其参 数化可写为 r = r(u) = ul + p ．由于 r′(u) = l , |r′(u)| ≡ 1 ，故此时 u 为弧长参
数，T(u)
=
r′(u)
定理 1* 设定义在弧长 s 参数化曲线 C: r = r(s) 上的单位向量场 ξ 从 ξ(s) 到 ξ(s+Δs) 的夹角为 Δϕ(s, Δs)∈(−π, π) ，则
lim
Δs→0
|
Δϕ Δs
|
=
|ξ
′(s)|
．
二．Frenet 标架 为了利用标架场的运动行为刻划曲线的几何性质，一种自然的想法是 在曲线上建立与自身几何属性密切相关的标架场．为此，进一步考虑曲线
证明：设平面曲线 C: r = r(t) 落在过点 p 且以 l 为法向单位向量的平面 (X − p)•l = 0 上，则 [r(t) − p]•l ≡ 0 ．此式对弧长参数求导得 T(t)•l ≡ 0 ．再 对弧长参数求导得 κ(t)N(t)•l ≡ 0 ，从而 N(t)•l ≡ 0 ．由 Frenet 标架的正交性 即得 B(t)∥l ，从而 B(t) ≡ ±l ，说明各密切平面都与所在平面重合．
=
(Δs)2 2
κ(s)B(s)
+
o((Δs)2)⎯R2(s,
Δs)
，
其中向量 R2 和⎯R2 当 Δs→0 时有界．故当点 P1 沿着曲线趋向于点 P 时， 平面 Π1 的极限位置是过点 P 以 B(s) 为法向的平面，即密切平面． □
例 4 试证：平面曲线在非逗留点处的密切平面与所在平面重合；若 无逗留点的曲线 C 的密切平面全部平行，则曲线 C 为平面曲线．
主法向量；向量 B(t) = T(t)×N(t) 称为曲线 C 在 r(t) 处的从法向量 或副法向量或次法向量．单位正