2019-2020学年浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟高一上学期期中联考数学试题(解析版)
2019-2020学年浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟高一上学期期中联考数学试题一、单选题1．设集合{}0A x x =>，{}1B x x =≤-，则R A B =I ð（ ） A ．∅ B ．{}10x x -<<C ．{}0x x > D ．{}1x x >-【答案】C【解析】根据题意直接求出B R ð，进而可得R A B I ð的答案. 【详解】由集合{}|1B x x =≤-，得{}|1R B x x =>-ð，又{}0A x x =>， 所以{}|0R A B x x =>I ð. 故选：C. 【点睛】本题考查交集与补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键，属于基础题． 2．以下形式中，不能表示“y 是x 的函数”的是（ ）A ．B ．C ．2y x =D ．()()0x y x y +-= 【答案】D【解析】根据函数的定义即可得到结论． 【详解】根据函数的定义可知A 、B 、C 选项都能表示“y 是x 的函数”， D 选项表示两条相交直线不能表示函数. 故选：D. 【点睛】本题考查函数定义的理解和应用，根据函数的定义是解决本题的关键，属于基础题. 3．设函数12()log (1)f x x =-，则（ ）A ．()f x 在(0,)+∞单调递增B ．()f x 在(0,)+∞单调递减C ．()f x 在(1,)+∞单调递增D ．()f x 在(1,)+∞单调递减【答案】D【解析】求出()f x 定义域，根据对数函数的单调性即可求解. 【详解】12()log (1)f x x =-定义域为(1,)+∞，所以()f x 的递减区间是(1,)+∞. 故选:D. 【点睛】本题考查函数的性质，研究函数要注意定义域优先原则，属于基础题. 4．下列函数中，值域是[)0,+∞的是（ ）A ．2x y =B ．y =C ．()2ln 1y x =+ D ．21y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】C【解析】根据基本初等函数的图象与性质，对各项中的函数依次求出值域，即可得到答案. 【详解】对于A ：2x y =，因x ∈R ，所以函数的值域为()0,∞+，故A 不正确； 对于B：y x ∈R ，则211x +≥，所以函数的值域为[)1,+∞，故B 不正确；对于C ：()2ln 1y x =+，因x ∈R ，则211x +≥，所以()2ln 10x +≥，即函数的值域为[)0,+∞，故C 正确；对于D ：21y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因0x ≠，则210x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以函数的值域为()0,∞+，故D 不正确. 故选：C. 【点睛】本题给出几个函数，考查基本初等函数的图象与性质，函数值域的求法，属于基础题. 5．函数()()2ln 1x f x x-=的图象关于（ ）A ．x 轴对称B ．原点对称C ．y 轴对称D ．直线y x =对称【答案】B【解析】求出函数的定义域，判断函数为奇函数，即可得到答案. 【详解】由题意得210x x ⎧->⎨≠⎩，解得11x -<<且0x ≠，所以函数()f x 的定义域为()()1,00,1-U ，()()()()()22ln 1ln 1x x f x f x xx---∴-==-=--，即()f x 为奇函数，其图象关于原点对称. 故选：B. 【点睛】本题考查根据函数的奇偶性判断函数图象的问题，属于基础题. 6．函数2x y a a a =-+（0a >且1a ≠）的图象不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】分两类，当01a <<时，和1a >进行讨论，即可得到答案. 【详解】当01a <<时，函数2xy a a a =-+为减函数，取0x =时，函数值202155244y a a a a ⎛⎫=-+=--+= ⎪⎝⎭，又01a <<，所以221551244a a a a ⎛⎫<-+=--+≤ ⎪⎝⎭故C 选项符合题意，D 选项不符合题意；当1a >时，函数2x y a a a =-+为增函数，取0x =时，函数值2021524y a a a a ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，又1a >，所以20215124a a a a ⎛⎫-+=--+< ⎪⎝⎭，故A 选项符合题意，B 选项也符合题意. 故选：D. 【点睛】本题考查函数的图象的识别，分类讨论，属于基础题.7．设10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则11221log ,log log ,log 2a a a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭之间的大小关系是（ ）A ．11221log log log log 2aa a a ⎛⎫>> ⎪⎝⎭ B ．11221log log log log 2a aa a ⎛⎫>> ⎪⎝⎭ C ．11221log log log log 2a a a a ⎛⎫>> ⎪⎝⎭D ．11221log log log log 2a a a a ⎛⎫>> ⎪⎝⎭【答案】A【解析】根据对数函数的单调性和a 的范围，可判断出12log log 0a a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，10log 12a<<，12log 1a >，从而得选项.【详解】 令112log y x =，则112log y x =在()0,+?上单调递减，因为10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以12121log log 12a >=，即12log 1a >， 因为10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，令2log a y x =，则2log a y x =在()0,+?上单调递减，所以121log log log 10log 2a a aa ⎛⎫<=< ⎪⎝⎭，1log log 12a a a <=， 所以12log log 0a a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，10log 12a <<，12log 1a >，所以11221log log log log ,2aa a a ⎛⎫>> ⎪⎝⎭故选：A. 【点睛】本题考查比较对数值的大小，关键在于根据对数函数的单调得出各对数值的符号，尤其是与中介值“0”和“1”的大小关系，属于中档题.8．设函数()()2ln 1f x x x =++，则使得()()21f x f x >-的x 的取值范围是（ ）A ．(),1-∞B ．1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭UD ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】由题意利用函数的单调性和奇偶性可得21x x >-，由此求得取值范围. 【详解】由函数()()2ln 1f x x x =++知，定义域为R ，又()()()()()22ln 1ln 1f x x x x x f x -=-+-+=++=，即()f x 为R 上的偶函数，当0x >时，()f x 是增函数， 由()()21f x f x >-，即()()21fx f x >-，所以21x x >-，解得113x <<.故选：D. 【点睛】本题考查函数的单调性和奇偶性的综合应用，属于中等题.9．若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数2y x =，[]1,2x ∈与函数2y x =，[]2,1x ∈--即为“同族函数”.下面函数解析式中也能够被用来构造“同族函数”的是（ ） A ．y x = B ．1y x x=+C ．22x x y -=-D ．0.5log y x =【答案】B【解析】由题意，能够被用来构造“同族函数”的函数必须满足在其定义域上不单调，由此判断各个函数在其定义域上的单调性即可. 【详解】对A ：y x =在定义域R 上单调递增，不能构造“同族函数”，故A 选项不正确； 对B ：1y x x=+在(),1-∞-递增，在()1,0-递减，在()0,1递减，在()1,+∞递增，能构造“同族函数”，故B 选项正确；对C ：22xxy -=-在定义域上递增，不能构造“同族函数”，故C 选项不正确； 对D ：0.5log y x =在定义域上递减，不能构造“同族函数”，故D 选项不正确. 故选：B. 【点睛】本题给出“同族函数”的定义，要求我们判断几个函数能否被用来构造“同族函数”，考查基本初等函数的单调性的知识点，属于基础题. 10．已知函数()41f x t x =--在区间[]2,5的最大值为2，则t 的值为（ ） A ．2 B ．3C ．2或3D ．1-或6【答案】C【解析】根据绝对值函数的特性对t 进行讨论即可得到答案. 【详解】 由函数()41f x t x =--，令()0f x =，得41x t=+， 当412t+≤，即4t ≥时，()f x 去绝对值后的函数在区间[]2,5上为单调递增函数，∴函数()f x 的最大值()45251f t =-=-，解得3t =（舍）或1t =-（舍）， 当415t+≥，即1t ≤，()f x 去绝对值后的函数在区间[]2,5上为单调递减函数， ∴函数()f x 的最大值()42221f t =-=-，解得6t =（舍）或2t =（舍）， 当4215t<+<，即14t <<， ()f x 在区间[]2,5上的最大值为()42221f t =-=-或()45251f t =-=-， 解得3t =或2t =.综上：t 的值为3t =或2t =. 故选：C. 【点睛】本题考查绝对值函数的最值，利用单调性是关键，属于中档题.二、填空题11．已知()f x 为幂函数，且图象过⎛ ⎝⎭，则()4f =________【答案】12【解析】根据幂函数的概念设()af x x =（a 为常数），将点的坐标代入即可求得a 值，从而求得函数解析式，即可得到答案. 【详解】由题意，设()af x x =（a 为常数），则12333a-==，所以12a =-，即()12f x x -=，所以()121442f -==. 故答案为：12. 【点睛】本题考查待定系数法求幂函数解析式、指数方程的解法等知识，属于基础题.12+=________；22log 32-=________【答案】13-43【解析】化根式利用有理数指数幂，指数运算，对数运算即可得到答案. 【详解】2211333=+==-，22224log 2log 3log 4log 3342223⎛⎫⎪--⎝⎭===. 故答案为：13-；43. 【点睛】本题考查有理指数幂的化简求值及对数的运算性质，属于基础题．13．函数()f x =________，值域为________【答案】(],3-∞ 0,⎡⎣【解析】由根式内部的代数式大于等于0求解x 的取值集合得函数的定义域从而可得函数的值域. 【详解】由820x -≥，得3x ≤，所以()f x 的定义域为(],3-∞，因3x ≤，则30228x <≤=，所以0828x ≤-<，即0≤<所以()f x 的值域为0,⎡⎣.故答案为：(],3-∞；0,⎡⎣. 【点睛】本题考查函数的定义域和值域的求法，属于基础题．14．函数()13,03,0x xa x f xbc x +-⎧+≥=⎨⋅+<⎩为奇函数，则a =________，9b c +=________ 【答案】3- 24-【解析】直接利用奇函数的定义可求得a 的值，观察知9b c +为()2f -的函数值，即可得到答案. 【详解】由()f x 为R 奇函数，则()00f =，即()1030f a =+=，所以3a =-，所以()323324f =-=，当2x =-时，()29f b c -=+，又()f x 为R 奇函数，则()()22f f -=-， 所以924b c +=-. 故答案为：3-；24-. 【点睛】本题考查函数的奇偶性，利用()00f =为关键，属于基础题.15．已知函数()lg 1,0132,1x x x f x a a x -+<≤⎧=⎨+->⎩，其中0a >且1a ≠，若()f x 的值域为[)1,+∞，则实数a 的取值范围是________【答案】()(]0,11,2U【解析】利用分段函数的表达式，结合函数的值域，列出不等式求解即可. 【详解】当01x <≤时，()lg 1f x x =-+，()[)1,f x ∈+∞， 当1x >时，()32xf x a a =+-，若01a <<，则()f x 为减函数，又1x >，()f x 的值域为()32,3a a --， 所以321a -≥，解得1a ≤，故01a <<，若1a >，则()f x 为增函数，由()f x 的值域为[)1,+∞，当1x >时，()323xf x a a a =+->-，即函数()f x 在区间()1,+∞上的值域为()3,a -+∞.所以31a -≥，解得2a ≤，故12a <≤. 综上所述：实数a 的取值范围为()(]0,11,2U . 【点睛】本题考查分段函数的应用，函数的最值的求法，属于基础题.16．已知二次函数()()22,f x x ax b a b R =++∈，,M m 分别是函数()f x 在区间[]0,2的最大值和最小值，则M m -的最小值是________【答案】2【解析】求出函数的对称轴，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，求出M m -的最小值即可. 【详解】由题意，二次函数()2222248a a f x x ax b x b ⎛⎫=++=++- ⎪⎝⎭，其对称轴为4a x =-， 当04a-≤，即0a ≥时，()f x 在区间[]0,2上为增函数， ∴()228M f a b ==++，()0m f b ==，∴288M m a -=+≥，当24a-≥，即8a ≤-时，()f x 在区间[]0,2上为减函数， ∴()0M f b ==，()282m f a b ==++，∴828M m a -=--≥，当014a <-≤，即40a -≤<时，()f x 在区间0,4a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为减函数，在区间,24a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，∴()228M f a b ==++，248a a m f b ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，∴()21828M m a -=+≥；当124a <-<，即84a -<<-时，()f x 在区间0,4a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为减函数，在区间,24a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，∴()0M f b ==，248a a m f b ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，∴228a M m -=>. 综上所述：M m -的最小值是2. 故答案为：2. 【点睛】本题考查了二次函数的性质，函数的单调性，最值问题，分类讨论思想，转化思想，属于中档题．三、解答题17．已知集合{3A x x =≤-或}4x ≥，{}43B x a x a =≤≤+. （1）若1a =-，求A B I ，A B U （2）若B A ⊆，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）见解析（2）(][),61,-∞-+∞U【解析】（1）由题意和交集、并集运算求出A B I ，A B U ；（2）若B A ⊆，则集合B 为集合A 的子集，对集合B 讨论即可得到答案. 【详解】（1）若1a =-，则{}{}43|42B x a x a x x =≤≤+=-≤≤， 所以{}|43A B x x =-≤≤-I ，{|2A B x x ⋃=≤或}4x ≥ （2）若B A ⊆，则集合B 为集合A 的子集， 当B =∅时，即43a a >+，解得1a >； 当B ≠∅时，即43a a ≤+，解得1a ≤，又{3A x x =≤-或}4x ≥，由B A ⊆，则33a +≤-或44a ≥， 解得6a ≤-或1a =.综上所述：实数a 的取值范围为(][),61,-∞-+∞U . 【点睛】本题考查交集，并集的运算，集合与集合的包含关系，属于基础题. 18．已知函数()24xf x x =-. （1）判断函数()f x 在()2,+∞上的单调性并证明；（2）判断函数()f x 的奇偶性，并求()f x 在区间[]6,3--上的最大值与最小值. 【答案】（1）()f x 在()2,+∞上为减函数，理由见解析；（2）见解析. 【解析】（1）利用单调性的定义判断函数()f x 在()2,+∞上的单调性； （2）利用奇函数的定义判断()f x 为奇函数，由单调性即可得最值. 【详解】（1）()f x 在()2,+∞上为减函数，证明如下： 任取122x x >>，则()()()()()()()()()()22122121121212222222121212444=444444x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x ----+-=-=------， 122x x >>Q ，2212211240,40,0,0x x x x x x ∴->->-<>，()()()()()()21121222124=044x x x x f x f x x x -+∴-<--，即()()12f x f x <，∴()f x 在()2,+∞上为减函数.（2）由题意得()f x 的定义域为()(),22,-∞-+∞U ，()()()2244xxf x f x x x -∴-==-=----， ∴()f x 为奇函数，由（1）知，函数()f x 在[]6,3--为减函数， 故当6x =-时，函数()f x 取得最大值为()()24663166f ---==--， 当3x =-时，函数()f x 取得最小值为()()2335343f -==----. 【点睛】本题考查函数的单调性的判断和证明，函数的奇偶性，利用函数的单调性求函数的最值，属于基础题．19．已知函数()2121x xa f x ⋅+=-. （1）当1a =时，解方程()() lg 2lg 1lg18f x f x -=-.（2）当(]0,1x ∈时，()()21f x f x -≥恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）1x =；（2）52a ≤-或12a ≥. 【解析】（1）根据对数运算法则化简原方程得()()22215921x x+=+，再令2x t =，则原方程化为()221591t t +=+整理得22520t t -+=求解可得原方程的解，注意对数函数的定义域；（2）由()()21f x f x -≥化简不等式为()222121x xx a --⋅≥-，令2x t =，当(]0,1x ∈时，得(]1,2t ∈，所以当(]0,1x ∈时，()()21f x f x -≥恒成立，等价于211t a t-+≥在(]1,2t ∈时恒成立，再令()211t g t t t t-==-，证明函数()g t 在(]1,2上单调递增，并得出在(]1,2上的最值，建立关于a 的不等式312a +≥，可得实数a 的取值范围. 【详解】（1）当1a =时，()21212121xxx x a f x ⋅++==--，()()()2222212122121x xx x f x ++==--， 所以方程()() lg 2lg 1lg18f x f x -=-化为()()210lglg 18f x f x =且()()20,0f x f x >>，即()()25 9f x f x =且()()2221021xx +>-，21021x x+>-， 所以()()222121521921x x x x +-=+-，即()()22215921x x +=+， 令2xt =，则原方程化为()221591t t +=+整理得22520t t -+=， 解得2t =或12t =，即22x =或122x=，解得1x =或1x =-，当1x =-时，()()2221021x x+<-，21021x x +<-，故舍去， 故原方程的解为：1x =；（2）由()()21f x f x -≥得()()22212112121x x x x a a ⋅+⋅+-≥--，即()222 121x xx a --⋅≥-， 令2x t =，当(]0,1x ∈时，(]1,2t ∈，所以210t ->，所以当(]0,1x ∈时，()()21f x f x -≥恒成立，等价于当(]1,2t ∈时，()2111a tt +⋅≥-恒成立，即211t a t-+≥在(]1,2t ∈时恒成立，令()211t g t t t t-==-，设112112220,10,012,t t t t t t t t <<<-><->，()()()()121212********* 0t t t t g t g t t t t t t t --⎛⎫⎛⎫-=---=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()12 g t g t <，所以()g t 在(]1,2上单调递增，所以()()()13322 ,1110 ,0<222g g g t =-==-=≤，所以()30<2g t ≤，所以3 12a +≥， 解得52a ≤-或12a ≥；所以实数a 的取值范围是52a ≤-或12a ≥. 【点睛】本题考查指数、对数运算法则，参变分离的思想，证明函数的单调性，以及不等式恒成立的条件，属于难度题。
浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟2020-2021学年高一上学期期中联考数学试题答案
2020学年第一学期浙江“七彩阳光”新高考研究联盟期中联考高一年级数学学科参考答案一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的.)二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的四个选项中，有多个项符合题目要求。
全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.) 13. 0x ∀>，30x ≤； 14. 1；15. 2(,)3+∞；16. −四、解答题(本大题共4小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. （111111712222442331(1)1444()aa a a a a a a a a+++−−−⋅⋅====⋅ ---------------------------4分（2）()3722327322812271827414344131=−+−+=⨯−−⋅+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+−e -------8分 18.解：(1)4321x x −+> ，4322x x −+∴>，403x x −∴>+，34x x ∴<−>或()()+∞−∞−=∴,43, A --------------------------------------------------2分 [][]4,3,5,1,2−=−==AC B m R 又[]4,1)(−=∴B A C R ---------------------------------------------------- 5分(2)x B ∈是x A ∈的充分不必要条件 BA ∴（1）当B =∅时，则321m m −>+，即4m <−.（2）当B ≠∅时，32134m m m −≤+⎧⎨−>⎩或321213m m m −≤+⎧⎨+<−⎩ 742m m ∴>−≤<−或综上所述，27m m <−>或.---------------------------------------------10分 19.解：（1）当1a =时，()2931x x f x =⋅−−，29310x x ∴⋅−−≥，(231)(31)0x x ∴⋅+−≥，0x ∴≥，∴不等式的解集为{0}x x ≥.-------------- 5分（2）法一：()(1)931[(1)31](31)0x x x x f x a a a =+⋅−⋅−=+⋅+−=，31x ∴=或(1)310xa +⋅+=，()0f x =在实数集R 上有两个不相等的根，111101a a ⎧−≠⎪⎪+∴⎨⎪−>⎪+⎩，1a ∴<−且2a ≠−.------10分法二：令3(0)x t t =>，则2(1)10a t at +−−=在(0,)+∞上有两个不等的实根，210124(1)0a a aa a ⎧+<⎪+⎪∴>⎨⎪⎪∆=++>⎩，12a a <−⎧∴⎨≠−⎩.-------------------------------------------10分 20.（1）函数()f x 为奇函数，(0)0f ∴=，1a ∴=.2112()()2112x x x xf x f x −−−−∴−===−++，()f x ∴为奇函数成立，1a ∴=.----------------3分 此时212()12121x xxf x −==−++在R 上单调递增，()20,x ∈+∞，()211,x ∴+∈+∞()10,121x ∴∈+，()20,221x ∴∈+，()22,021x ∴−∈−+ ()()1,1f x ∴∈−------------------------------------------------------------5分（2）2+111()12112x x xa a f x −−+==−++.①当10a +≤时，()f x 恒大于等于1，故不成立.②当10a +>即1a >−时，()f x 在R 上为增函数，且值域为(,1)a − （ⅰ）当1(0)02a f −=<即1a >时，只要1(0)0f −<<即可，1102a −∴−<<，13a ∴<<.（ⅱ）当1(0)02a f −=≥即11a −<≤时，只需要1(0)2a f a −=<，113a ∴<≤.综上所述，133a <<.---------------------------12分。
2019-2020学年浙江省七彩阳光新高考研究联盟高一(下)期中数学试卷 (含答案解析)
2019-2020学年浙江省七彩阳光新高考研究联盟高一(下)期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分） 1. 角α终边上有一点(−a,2a)(a <0)，则sinα=( )A. −2√55B. −√55C. √55D. 2√552. 化简AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −CO ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. OA⃗⃗⃗⃗⃗ C. AC⃗⃗⃗⃗⃗ D. AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 3. 已知△ABC 中，a =4√2，b =4，A =45°，则B 等于( )A. 30°B. 30°或150°C. 60°D. 60°或120°4. 设函数f(x)=cos(x +π3)，则下列结论错误的是( )A. f(x)的一个周期为−2πB. y =f(x)的图象关于直线x =8π3对称C. f(x +π)的一个零点为x =π6D. f(x)在(π2,π)单调递减5. 已知等比数列{a n }满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2…a n 的最大值为( )A. 32B. 64C. 128D. 2566. 若a >b >c ，且a +b +c =0，下列不等式恒成立的是( )A. ac >bcB. ab >acC. a |b |>c |b |D. a 2>b2>c27. 方程x 2+7x +8=0的两根为tanα，tanβ，且α,β∈(−π2,π2)，则α+β=( )A. −3π4B. π4C. 5π4D. π4或−3π48. 在等差数列{a n }中，若2a 8=4+a 11，则a 5等于( )A. 6B. 2C. 8D. 49. 设θ为两个非零向量a ⃗ ,b ⃗ 的夹角．已知对任意实数t ，|b ⃗ +t a ⃗ |的最小值为1.( )A. 若θ确定，则|a⃗ |唯一确定 B. 若θ确定，则|b ⃗ |唯一确定 C. 若|a⃗ |确定，则θ唯一确定 D. 若|b ⃗ |确定，则θ唯一确定10. 已知数列{a n }是等差数列，若a 9+3a 11<0，a 10⋅a 11<0，且数列{a n }的前n 项和S n 有最大值，那么S n 取得最小正值时n 等于( )A. 20B. 17C. 19D. 21二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11. 已知向量a ⃗ ，b ⃗ ，满足a ⃗ ⋅b ⃗ =2，且b ⃗ =(1,√3)，则a ⃗ 在b ⃗ 方向上的投影为______________； 12. tan300°+cos(−405°)sin750°的值为______ ．13. 在△ABC 中，若a:b:c =1:2:√6，则最大角的余弦值等于________． 14. 若sin(π+x)+cos(π+x)=12，则sin2x =_____，1+tanxsinxcos(x−π4)= _________．15. 设等比数列{a n }的前n 项之积为T n ，若a 5=2，则T 9=________．16. 已知函数f(x)=x 2+mx −1(x ∈[m,m +1])，若对于任意x ∈[m,m +1]，都有f(x)<0成立，则实数m 的取值范围是________．17. 设向量a ⃗ 与向量b ⃗ 的夹角为θ，且a ⃗ =(3,3),2b ⃗ −a ⃗ =(−1,1)，则___________．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分） 18. 设函数f(x)=cos(2x +π3)+sin 2x.(1)求函数f(x)的单调递减区间;(2)若0<α<π2<β<π，f(π4−β2)=1，f(α+β2)=0，求cosα的值．19. 已知向量a ⃗ =(−2,3)，b ⃗ =(3,4)，c ⃗ =a ⃗ −2b ⃗ ．(1)求b ⃗ ⋅c ⃗(2)若a⃗−λb⃗ 与3a⃗−b⃗ 垂直，求实数λ的值．20.在等差数列{a n}中，a2+a3=7，a4+a5+a6=18．(1)求数列{a n}的通项公式．(2)设b n=1，求数列{b n}的前n项和S n．a n a n+121.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a+b+c)(a−b+c)=ac．(1)求B；(2)若sin Asin C=√3−1，求C．422.已知数列{a n}满足：S n=2a n−2(n∈N∗).(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)令b n=(n−1)a n，求数列{b n}的前n项和T n．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题． 由条件利用任意角的三角函数的定义，求得sinα的值． 解：根据角α终边上有一点(−a,2a)(a <0)， 可得x =−a ，y =2a ，r =−√5a ， 故sinα=y r=−√5a=−2√55， 故选A ．2.答案：D解析：本题主要考查向量的加减运算.属于基础题． 利用平面向量的加减法则，即可得答案．解：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −CO ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CO ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． 故选D ．3.答案：A解析：解：在△ABC 中，∵a =4√2，b =4，A =45°， ∴由正弦定理可得：sinB =bsinA a=4×√224√2=12， 又∵a >b ，B 为锐角， ∴B =30°． 故选：A ．由已知利用正弦定理可求sin B 的值，结合大边对大角可得B 为锐角，利用特殊角的三角函数值即可解得．本题主要考查了正弦定理，大边对大角，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．4.答案：D解析：本题考查与余弦函数有关的命题的真假判断，根据三角函数的图象和性质是解决本题的关键，属于基础题．根据余弦函数的图象和性质分别进行判断即可．解：对于A，函数的周期为2kπ，k∈Z，当k=−1时，周期T=−2π，故A正确；对于B，当x=8π3时，cos(x+π3)=cos(8π3+π3)=cos9π3=cos3π=cosπ=−1为最小值，此时y=f(x)的图象关于直线x=8π3对称，故B正确；对于C，，则f(x+π)的一个零点为x=π6，故C正确；对于D，当π2<x<π时，5π6<x+π3<4π3，此时函数f(x)有增有减，不是单调函数，故D错误．故选D．5.答案：B解析：解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a1+a3=10，a2+a4=5，∴q(a1+a3)=10q=5，解得q=12，a1=8．∴a n=8×(12)n−1=24−n．则a1a2…a n=23+2+⋯+(4−n)=2n(3+4−n)2=2−(n−72)2+4942，当且仅当n=3或4时，取得最大值为26=64．故选：B．利用等比数列的通项公式与二次函数的单调性即可得出．本题考查了等比数列的通项公式与二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.答案：B解析：∵a>b>c，且a+b+c=0，∴a>0，c<0，∴ab>ac，故选B．7.答案：A解析：解：方程x 2+7x +8=0的两根为tanα，tanβ， ∴{tanα+tanβ=−7tanαtanβ=8， ∴tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=−71−8=1， 且tanα<0，tanβ<0， 又α，β∈(−π2,π2)， ∴α，β∈(−π2,0)， ∴α+β∈(−π,0)， ∴α+β=−3π4．故选A ．根据根与系数的关系得出tanα+tanβ和tanαtanβ的值，计算tan(α+β)，根据α、β的取值范围求出α+β的值．本题考查了两角和的正切值公式与应用问题，也考查了根与系数的应用问题，是基础题．8.答案：D解析：本题主要考查等差数列的性质，属于基础题．由等差数列{a n }中，2a 8=4+a 11，可得a 5=2a 8−a 11，即可得出． 解：由等差数列{a n }中，根据等差数列的性质，a 5+a 11=2a 8， 若2a 8=4+a 11， 可得a 5=2a 8−a 11=4， 故选D ．9.答案：B解析：由于|b ⃗ +t a ⃗ |2=b ⃗ 2+2a ⃗ ⋅b ⃗ t +t 2a ⃗ 2，令f(t)=a ⃗ 2t 2+2a ⃗ ⋅b⃗ t +b ⃗ 2，而t 是任意实数，所以可得f(t)的最小值为4a ⃗ 2⋅b ⃗ 2−(2a ⃗ ⋅b⃗ )24a ⃗2=4a ⃗ 2⋅b ⃗ 2−4a ⃗ 2⋅b ⃗2⋅cos 2θ4a ⃗2=b ⃗ 2⋅sin 2θ=1，则知若θ确定，则|b ⃗|唯一确定．故选B ．10.答案：C解析：本题主要考查等差数列的定义和性质．等差数列的前n项和公式的应用，属于中档题．由条件求得−9b<a1<−9.5b,d>0.令S n>0，且S n+1≤0，可得n<−2a1d +1，且n≥−2a1d．再由−9b<a1<−9.5b，可得18<−2a1d<19，故有19≤n≤19，从而得到n 的值．解：∵数列{a n}是等差数列，若a9+3a11<0，设公差为d ，则有4a1+38d<0，即2a1+19d<0，故有(a1+9d)+(a1+10d)=a10+a11<0，且a1<−9.5d，再由前n 项和S n有最大值，可得数列为递减数列，公差d<0，结合a10·a11<0，可得a10=a1+9d>0,a11=a1+10d<0，故−9d<a1<−10d，综上可得−9b<a1<−9.5b，令S n>0，且S n+1≤0，可得na1+n(n−1)2d>0，且(n+1)a1+n(n+1)2d≤0，化简可得a1+n−12d>0，且a1+n2d≤0，即−n<−2a1d+1，且n≥−2a1d．再由−9b<a1<−9.5b，可得18<−2a1d<19，∴19≤n≤19，∴n=19．故选C ．11.答案：1解析：根据b⃗ =(1,√3)求出|b⃗ |，再根据平面向量数量积与投影的定义，计算a⃗在b⃗ 方向上的投影即可．本题考查了平面向量的数量积运算以及向量投影的应用问题，是基础题．解：∵a⃗·b⃗ =2，且b⃗ =(1,√3)，∴|b⃗ |=√12+(√3)2=2，∴a⃗在b⃗ 方向上的投影为：|a⃗|cos<a⃗，b⃗ >=|a⃗|×a⃗ ⋅b⃗|a⃗ |×|b⃗|=22=1．故答案为1．12.答案：√2−√3。
浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟2019-2020学年高一上学期10月联考数学试题 PDF版含答案
2.给定下列函数，其中在区间 (0,1) 上单调递增的函数是（ ）
A. y = −x2
B. y =| x2 − 2x |
C. y = ( 1 )x+1 2
3.设函数 f (x) =
x2 −1, x 2
，则 f ( f (2)) 的值为（
）
f (x − 2), x 2
A.0
B.3
C. −1
）
A. a c b B. a b c
C. b a c
D. b c a
6．已知函数 f (x) 是奇函数， f (x) 在(0，＋∞)上是减函数，且在区间[a, b](a b 0) 上的值域
为[－3，4]，则在区间[−b, −a] 上( )
A．有最大值 4 B．有最小值－4
D. f x1 + x2 f (x1)+ f (x2 )
2
2
高一数学学科 试题 第1页（共 4 页）
8．设函数
g(x)
=
x2
−
2
，
f
(x)
=
g(x) g(x)
x g(x) g(x)
，则
f
(x)
的值域是（
）
A．[− 9 , 0] (1, +) B．[0, +) 4
C．[− 9 , +) 4
D．[− 9 , 0] (2, +) 4
9.设
a
=
102016 102017
+1 +1
，
b
=
102017 102018
+1 +1
，
c
2019-2020学年浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟2019级高一上学期期中联考数学参考答案
分
x (0,1] | 4x −1| 2x
=
2x
−
1 2x
令 2x
=
t (1, 2] ，又
y
=
t
− 1 在（1，2]上单调递增 t
当t = 2 时 y 取最大值 3 | a +1| 3 a 1 或a − 5 ............................................13 分
分
ax2 − 2x + 2a, x a
f
(
x)
=
ax
2
+
2x
−
2a,
x
a
当 a = 1 时， f (x) = 1 x2 − 2x +1，对称轴 x = 2 ， f (x) 在[1,2]单调递减，只需 f (2) −1成立
2
2
当 1 a 1 时， f (x) = ax2 − 2x + 2a ，对称轴 x = 1 (1, 2) ， f (x) 在[1, 1 ) 单调递减，[ 1 , 2] 单
−3 16
，
fmin (x) =
f
(−3)
=
−3 5
………………….……..12
分
解：（1）由 lg f (2x) − lg f (x) =1− lg18
即
lg
22x 22x
+1 −1
−
lg
2x 2x
+1 −1
=
lg
5 9
得
lg
22x +1 (2x +1)2
= lg 5 9
14. −3; −24
15. (0,1) (1, 2]
浙江省七彩阳光新高考研究联盟2019-2020学年高一下学期期中数学试题
四、解答题
18. 已知函数
(
)，它的图象的一条对称轴是直线x .
(1)求 的值及函数 的递增区间；
(2)若
，且
，求
.
19. 已知平行四边形
中，
(1)求
的值；
(2)若
，且
，
，
，求 的值.
，点 是线段 的中点.
20. 数列 前 项和为 ，满足
，数列 为等差数列且
，
.
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)若
4. 已知函数
，下列结论错误的是（ ）
A．函数f（x）最小正周期为2π B．函数f（x）在区间（0，π）上是减函数 C．函数f（x）的图象关于（kπ，0）（k∈Z）对称 D．函数f（x）是偶函数
5. 等比数列 中，
，
A．
C．
，则
的值为（ ） B． D．
6. 对于实数 ， ， ，有下列命题：
①若 ，则
B．2
C．
恒成立，设 ， 的夹角为 ，则 D．
的值为（ ）
10. 数列{an}为递增的等差数列，数列{bn}满足bn＝anan+1an+2（n∈N*），设Sn为数列{bn}的前n项和，若a2 为（ ）
，则当Sn取得最小值时n的值
A．14
B．13
C．12
二、双空题
11. 已知向量 （1，2）， （2，﹣2），|2
|＝_____， 在 方向上的投影为_____.
D．11
12. 求值：
_____，cos275°+cos215°+cos75°cos15°＝_____.
13. 在△ABC中，三边长分别为a﹣2，a，a+2，最大角的余弦值为 ，则a＝_____，S△ABC＝_____.
2020-2021学年浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟高一上学期期中联考数学试卷及答案
2020-2021学年浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟高一上学期期中联考数学试卷★祝考试顺利★(含答案)满分：120分； 考试世界100分钟；一、单选题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.1.已知全集},4,3{},3,2,1{},5,4,3,2,1{===N M U 则N M C U )(= ( )A.}4{B.}54{，C.}543{，，D.}54321{，，，，2.已知函数，⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<+=1,210,21)(2x x x x x x f 则=）（)21(f f ( ) A.9 B.7 C.319 D.41 3.三个数553.0)51(,3.0,5===c b a 大小的顺序是 ( ) A.c b a >> B.b c a >> C.c a b >> D.b a c >>4.幂函数a x a a x f )22()(2--=在),0(+∞上单调递增,则)1(1)(>+=+b b x g a x 过定点 ( )A.)1,1(B.)2,1(C.)1,3(-D.)2,3(-5.已知函数)(x f 的图象如图所示,则)(x f 的解析式可能是 ( ) A.212)(x x f x -⋅= B.||2)(x x f x ⋅=C.)1|(|)(-=x x x fD.212)(x x x f -⋅=6.已知,11c b a >->>>则下列不等式恒成立的是 ( )A.b c a 2<-B.bc ab >C.b bc a ac -<-D.cb a b > 7.若,4)4)(1(,0,0=-->>y x y x 则y x +的最小值为 ( )A.1B.9C.10D.168.已知)(),(x g x f 分别为定义在R 上的偶函数和奇函数,且满足x x g x f 2)()(=+,若对于任意的 ]2,1[∈x ,都有0])([])(2[≤-•-a a g a x f 恒成立,则实数a 的取值范围是 ( ) A.]417,43[ B.]25,815[ C.]2,815[ D.]417,2[二、多选题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.9.下列各组函数中是同一函数的是 ( ) A.2)(,2)(33+=+=x x g x x f B.3)()(,39)(22+=--=x x g x x x f C.2)(,)1(2)(202+=-+=x x g x x x f D.tt x g x x x f 1)(,1)(+=+= 10.命题“函数12)(2++=ax ax x f 的定义域为R ”为真命题的一个必要不充分条件是 ( )A.10≤<aB.10≤≤aC.1≤aD.21<≤-a11.若函数)(x f 同时满足：①对于定义域上的任意x ,恒有0)()(=-+x f x f ；②对于定义域上的任意21,x x ,当21x x ≠时,恒有0)]()([)(2121<-⋅-x f x f x x ,则称该函数为“七彩函数”. 下列函数中是“七彩函数”的有 ( )A.⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=0,20,2)(22x x x x x f B.51)(x x f -= C.x x x f -=1)( D.||)(2x x x f +=12.函数)|(|2)(c b x x f x +-=,若1)(≥x f 在),0[+∞上恒成立,则c b ,满足的条件可能是 ( )A.⎩⎨⎧≤-≤10b c bB.⎩⎨⎧≥-≤10b c bC.⎩⎨⎧≤>120c b bD.⎩⎨⎧≥≤120b b c。
浙江省2019-2020学年高一数学上学期期中联考试题(含解析)
________
【答案】
1 (1). 3
4 (2). 3
【解析】
【分析】
化根式利用有理数指数幂，指数运算，对数运算即可得到答案.
【详解】
42 3
27 3
2 3
2
32 3 1 3 3 2 33
3 1
32 1 3 3，
2 2 2 4 2log2 3
log2 4log2 3
log
2
4 3
浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟 2019-2020 学年高一数学上学期 期中联考试题（含解析）
考生须知: 1.本卷共 4 页满分 120 分，考试时间 100 分钟； 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；
f (x) log1 (x 1)
3.设函数
2
，则（ ）
A. f (x) 在 (0, ) 单调递增
B. f (x) 在 (0, ) 单调递减
C. f (x) 在 (1, ) 单调递增
D. f (x) 在 (1, ) 单调递减
【答案】D
【解析】
【分析】
求出 f (x) 定义域，根据对数函数的单调性即可求解.
所以 3 2a 1 ，解得 a 1 ，故 0 a 1，
若 a 1，则 f x为增函数，由 f x的值域为1, ，
当
x
1 时，
f
x
ax
3
2a
3
a
，即函数
f
x
在区间
1,
上的值域为
C. y 轴对称
【答案】B
B. 原点对称
D. 直线 y x 对称
浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟高一(上)期中数学试卷
A.
x
1
2
3
4
y
4
3
2
1
B.
C. 푦 = 푥2
3. 设函数푓(푥) = 푙표푔12(푥−1)，则( )
D. (푥 + 푦)(푥−푦) = 0
A. 푓(푥)在(0, + ∞)单调递增 C. 푓(푥)在(1, + ∞)单调递增
B. 푓(푥)在(1, + ∞)单调递减 D. 푓(푥)在(1, + ∞)单调递减
综合考查函数性质的应用
9.【答案】B
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【解析】解：对于 B，函数푦 = 푥 + 1푥,푥 ∈ (12,1)与函数푦 = 푥 + 1푥,푥 ∈ (1,2)满足解析式和 值域相同，定义域不同，是同族函数； 对于 ACD，它们在定义域上具有严格的单调性，当定义域不同时，其值域一定不同， 故不是同族函数； 故选：B． 根据定义，逐项判断即可． 本题以新定义为载体，考查学生对函数三要素的理解，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：根据函数的定义，每个 x 都有唯一的 y 对应，从而判断选项 A，B，C 都 表示 y 是 x 的函数； ∵ (푥 + 푦)(푥−푦) = 푥2−푦2 = 0， ∴ 푦2 = 푥2， ∴ 任一 x 都有两个 y 与之对应，(푥 + 푦)(푥−푦) = 0不能表示“y 是 x 的函数”． 故选：D． 可根据函数的定义可知，任意的 x 有唯一的 y 与之对应，从而可判断出选项 A，B，C 都表示”y 是 x 的函数“，从而只能选 D． 本题考查了函数的定义，清楚函数关系中，x 与 y 的对应关系，考查了推理能力，属于 基础题．
{ 15.
已知函数푓(푥) =
2019-2020学年浙江省七彩阳光新高考研究联盟高一下学期期中数学试题(含解析)
2019-2020学年浙江省七彩阳光新高考研究联盟高一下学期期中数学试题一、单选题1．已知角α终边上有一点P （3，﹣4），则sin α的值是（ ） A ．45-B ．35C ．35±D ．45±2．AB PC BA QC ++-u u u r u u u r u u u r u u u r的化简结果是（ ）A ．PQ uuu rB ．QP uuu rC ．BQ uuu rD ．CQ u u u r3．在△ABC 中，AC =BC ＝2，B ＝60°，则角A 的值为（ ）A ．75°B ．45°C ．45°或135°D ．135°4．已知函数()sin 2f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，下列结论错误的是（ ） A ．函数f （x ）最小正周期为2πB ．函数f （x ）在区间（0，π）上是减函数C ．函数f （x ）的图象关于（kπ，0）（k ∈Z ）对称D ．函数f （x ）是偶函数5．等比数列{}n a 中，11a =，427a =，则2462020+++a a a a L 的值为（ ）A ．()20203318- B ．()20201318- C ．()20203312- D ．()10103312- 6．对于实数a ，b ，c ，有下列命题：①若a b >，则ac bc >；②若a b >，且a c b d +>+，则c d >；③若a b >，且11a b>，则0a >，0b <； ④若0c a b >>>，则a bc a c b>--. 其中真命题的是（ ） A ．①③B ．②③C ．②④D ．③④7．已知tan α，tan β是方程2340x x ++=的两根，且,(0,)αβπ∈，则αβ+的值为（ ）A ．4π B ．34π C ．54π D ．74π 8．在等差数列{}n a 中，45m n a a a a ++＝，则14m n+的最小值为（ ） A ．23 B ．79 C ．89D ．19．已知向量a r ，b r满足a =r |，1=r b ，且对任意的实数x ，不等式a xb a b+≥+r r r r 恒成立，设a r，b r的夹角为θ，则tan θ的值为（ ） A ．﹣B ．C．D10．数列{a n }为递增的等差数列，数列{b n }满足b n ＝a n a n +1a n +2（n ∈N ），设S n 为数列{b n }的前n 项和，若a 2795a =，则当S n 取得最小值时n 的值为（ ） A ．14 B ．13C ．12D ．11二、双空题11．已知向量a =r （1，2），b =r （2，﹣2），|2a b +r r |＝_____，a r 在b r 方向上的投影为_____.12．求值：251534cos tan ππ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭_____，cos 275°+cos 215°+cos 75°cos 15°＝_____. 13．在△ABC 中，三边长分别为a ﹣2，a ，a +2，最大角的余弦值为12-，则a ＝_____，S △ABC ＝_____. .14．已知357cos 4544x x πππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，＜＜，则sin 2x ＝_____，2sin 22sin 1tan x xx+=- _____.三、填空题15．等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项之积为T n ，若满足条件：a 1＞1，a 99•a 100﹣1＞0，99100101a a --＜，当T n 取得最大时，n ＝_____. 16．已知函数()224f x x mx =--+，若对于任意[],2x m m ∈+，都有()0f x >成立，则实数m 的取值范围为_____.17．不共线的向量a r，b r的夹角为θ，若向量2a b -rr与a b -rr的夹角也为θ，则cos θ的最小值为_____.四、解答题18．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+(0ϕπ<<)，它的图象的一条对称轴是直线x 12=π. (1)求ϕ的值及函数()f x 的递增区间；(2)若3()5f α=，且,123ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求sin 2α.19．已知平行四边形ABCD 中，2AB =，4BC =，60DAB ∠=o ，点E 是线段BC 的中点.(1)求AC AE ⋅uuu r uu u r的值；(2)若AF AE AD λ=+u u u r u u u r u u u r，且BD AF ⊥，求λ的值.20．数列{}n a 前n 项和为n S ，满足23nn S =-，数列{}n b 为等差数列且23b S =，4224b b S -=.(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (2)若1231n nc b b b b =++++L ，求数列{}n c 的前n 项和T n .21．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ,若cos (cos )cos 0C A A B +=.(1)求角B 的大小；(2)设BC 的中点为D ，且AD =，求2a c +的取值范围.22．已知数列{a n}满足a1＝3，a232=，且2a n+1＝3a n﹣a n-1.（1）求证：数列{a n+1﹣a n}是等比数列，并求数列{a n}通项公式；（2）求数列{na n}的前n项和为T n，若12n kTn>-对任意的正整数n恒成立，求k的取值范围.2019-2020学年浙江省七彩阳光新高考研究联盟高一下学期期中数学试题解析一、单选题1．已知角α终边上有一点P （3，﹣4），则sin α的值是（ ） A ．45-B ．35C ．35±D ．45±【答案】A【解析】由条件利用任意角的三角函数的定义求出sin α的值即可. 【详解】解：由角α终边上有一点P （3，﹣4）， 可得x ＝3、y ＝﹣4、r ＝|OP |＝5，sin α45y r ==-， 故选：A . 【点睛】本题考查三角函数的定义，是基础题. 2．AB PC BA QC ++-u u u r u u u r u u u r u u u r的化简结果是（ ）A ．PQ uuu rB ．QP uuu rC ．BQ uuu rD ．CQ u u u r【答案】A【解析】利用向量加减的几何意义，直接计算即可. 【详解】解：∵AB PC BA QC AB PC ++-=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()AB -u u u r CQ PC CQ PQ +=+=u u u r u u u r u u u r u u u r ；故选：A . 【点睛】本题考查向量加减混合运算的应用，是基础题.3．在△ABC 中，AC =BC ＝2，B ＝60°，则角A 的值为（ ）A ．75°B ．45°C ．45°或135°D ．135°【答案】B【解析】由已知及正弦定理可得sin sin BC BA AC=，结合AC ＞BC ，由大边对大角可得：B ＞A ，A 为锐角，从而解得A. 【详解】解：∵在△ABC 中AC =BC ＝2，B ＝60°，∴由正弦定理可得：2sin sin 2BC BA AC⨯===，∵AC ＞BC ，可得：B ＞A ，A 为锐角， ∴解得A ＝45°. 故选：B . 【点睛】本题主要考查了正弦定理，大边对大角，属于基础题. 4．已知函数()sin 2f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，下列结论错误的是（ ） A ．函数f （x ）最小正周期为2πB ．函数f （x ）在区间（0，π）上是减函数C ．函数f （x ）的图象关于（kπ，0）（k ∈Z ）对称D ．函数f （x ）是偶函数 【答案】C 【解析】变形可得()sin cos 2f x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，再根据余弦函数的性质逐一判断每个选项即可【详解】解：()sin cos 2f x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，由余弦函数的性质可知， 函数的最小正周期221T ππ==，即A 正确； 在区间（0，π）上是减函数，即B 正确； 关于（2k ππ+，0）（k ∈Z ）对称，即C 错误；是偶函数，即D 正确. 故选：C . 【点睛】本题考查余弦函数的性质，是基础题.5．等比数列{}n a 中，11a =，427a =，则2462020+++a a a a L 的值为（ ）A ．()20203318- B ．()20201318- C ．()20203312- D ．()10103312- 【答案】A【解析】由11a =，427a =求出首项和公比，进一步求出1239n n a -=⋅，最后求新等比数列的前1010项和即可. 【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ， ∵11a =，427a =，∴327q =，解得11a =，3q =.∴13-=n n a ，23a =，29q =，1239n n a -=⋅()()202010102462020319+++193318a a a a -==--L故选：A. 【点睛】从等比数列中抽取某些特定的项组成新的等比数列然后求和，考查求等比数列的通项公式的方法以及求和的方法，同时考查运算求解能力；基础题. 6．对于实数a ，b ，c ，有下列命题： ①若a b >，则ac bc >；②若a b >，且a c b d +>+，则c d >；③若a b >，且11a b>，则0a >，0b <； ④若0c a b >>>，则a bc a c b>--. 其中真命题的是（ ） A ．①③ B ．②③C ．②④D ．③④【答案】D【解析】①取0c =即可作出判断；②举反例，如1a =，1b =-，2c =，3d =；③④均结合作差法和不等式的性质即可判断. 【详解】对①，若0c =，则ac bc =，故①错误；对②，例如1,1,2,3a b c d ==-==，则有1213+>-+， 即满足a c b d +>+，但c d <，故②错误；对③，Q11a b>， ∴110b a a b ab--=>， Q a b >，∴0b a -<， ∴0ab <，由于a b >，∴0a >，0b <，故③正确；对④，()()()()()()()a c b b c a c a b a bc a c b c a c b c a c b -----==------， Q 0c a b >>>，∴0,0,0a b c a c b ->->->， ∴a b c a c b >--.即a b c a c b>--，故④正确. ∴真命题有③和④，故选：D . 【点睛】本题解题关键是掌握不等式的基本性质和特殊值法判断不等式方法，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.7．已知tan α，tan β是方程2340x x ++=的两根，且,(0,)αβπ∈，则αβ+的值为（ ） A ．4π B ．34π C ．54π D ．74π 【答案】C【解析】由tan α，tan β是方程2340x x ++=的两根，可得tan tan 3tan tan 4αβαβ+=-⎧⎨=⎩，然后结合两角和的正切公式及角的范围可求.【详解】Q tan α，tan β是方程2340x x ++=的两根可得tan tan 3tan tan 4αβαβ+=-⎧⎨=⎩故tan 0,tan 0αβ<<Q ,(0,)αβπ∈故,,,22παβππαβπ⎛⎫∈<+<⎪⎝⎭故tan tan 3tan()11tan tan 14αβαβαβ+-+===--∴54παβ+=故选：C. 【点睛】本题主要考查了根据正切两角和公式求两角和，解题关键是掌握正切两角和公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 8．在等差数列{}n a 中，45m n a a a a ++＝，则14m n +的最小值为（ ） A ．23B ．79C ．89D ．1【答案】D【解析】等差数列{}n a 中，由45m n a a a a ++＝，根据等差性质可得：459m n +=+=，再利用“乘1法”、基本不等式的性质，即可求得答案. 【详解】等差数列{a n }中，由45m n a a a a ++＝， 根据等差性质可得：459m n +=+=则14114141()5(51999n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当2n m =，解得3,6m n ==故选：D . 【点睛】本题主要考查了根据均值不等式求最值问题，解题关键是掌握均值不等式公式，注意使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.9．已知向量a r ，b r满足a =r |，1=r b ，且对任意的实数x ，不等式a xb a b+≥+r r r r 恒成立，设a r，b r的夹角为θ，则tan θ的值为（ ）A ．﹣B ．C ．D【答案】C【解析】因为对任意实数x ，不等式a xb a b +≥+r r rr 恒成立，所以22210x a bx a b +⋅-⋅-≥r rr r 对任意实数x 恒成立，0∆≤，即()224(21)0a ba b r rr r ⋅+⋅+≤，结合已知可得cos θ的值，解可得sin θ的值，进而计算可得答案. 【详解】Q 对任意实数x ，不等式a xb a b +≥+r r rr 恒成立∴22210x a bx a b +⋅-⋅-≥r rr r 对任意实数x 恒成立∴0∆≤，即()224(21)0a ba b rrr r ⋅+⋅+≤又Q cos a b a b θθ⋅=⋅=r r r r∴212cos 1)0θθ++≤，即23cos 10θθ++≤21)0θ+≤，解得cos θ=又Q 0θπ≤≤，∴sin θ=， ∴tan θ=故选：C . 【点睛】本题主要考查了求三角函数值，解题关键是掌握向量数量积公式和同名三角函数关系，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.10．数列{a n }为递增的等差数列，数列{b n }满足b n ＝a n a n +1a n +2（n ∈N ），设S n 为数列{b n }的前n 项和，若a 2795a =，则当S n 取得最小值时n 的值为（ ） A ．14 B ．13C ．12D ．11【答案】B【解析】先根据条件求得数列{a n }的通项，得到何时值为正，何时为负，进而得到数列{b n }正负的分界线，即可求得结论. 【详解】解：因为数列{a n }为递增的等差数列，设其公差为d ，则d ＞0；因为a 2795a =， ∴a 1+d 95=（a 1+6d ）⇒a 1494=-d ； ∴a n ＝a 1+（n ﹣1）d ＝（n 534-）d ；当14n ≥时，a n ＞0； 当13n ≤时，a n ＜0；∵数列{b n }满足b n ＝a n a n +1a n +2（n ∈N ），设S n 为数列{b n }的前n 项和， 故数列{b n }前13项为负值； 故当n ＝13时，S n 取得最小值； 故选：B . 【点睛】本题主要考查等差数列基本量的计算，利用等差数列的基本性质是解题的基本策略，此题借助了求等差数列前n 项和最值的方法，所以在关注方法时，也要关注形成方法的过程和数学思想.二、双空题11．已知向量a =r（1，2），b =r（2，﹣2），|2a b +rr|＝_____，a r在b r方向上的投影为_____.【答案】 2-【解析】先根据线性坐标运算求出2a b +rr ，即可求得其模长；再由平面向量数量积的定义可知，a r 在b r方向上的投影为a b b⋅r r r ，然后结合数量积的坐标运算即可得解.【详解】解：∵a =r （1，2），b =r （2，﹣2），∴2a b +=r r （4，2），∴|2a b +rr|==；a r 在b r方向上的投影为2a b b ⋅==-rr r .故答案为：2-. 【点睛】本题主要考查通过向量的坐标求向量的模，考查求向量的投影，熟记向量数量积的几何意义，以及向量数量积的定义即可，属于常考题型.12．求值：251534cos tan ππ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭_____，cos 275°+cos 215°+cos 75°cos 15°＝_____. 【答案】32 54【解析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和三角恒等式的应用求出结果. 【详解】 解：①cos253π+tan （154π-）2416131334422cos tan ππππ⎛⎫⎛⎫=+--=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ②cos 275°+cos 215°+cos 75°cos 15°2211515302sin cos sin =︒+︒+︒=11544+=. 故答案为：35;24. 【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，诱导公式，三角恒等变换在化简求值的应用，属于基础题.13．在△ABC 中，三边长分别为a ﹣2，a ，a +2，最大角的余弦值为12-，则a ＝_____，S △ABC ＝_____. 【答案】54【解析】直接利用余弦定理的应用求出a 的值，进一步利用三角形的面积公式和三角函数关系式的恒等变换求出结果. 【详解】解：在△ABC 中，三边长分别为a ﹣2，a ，a +2， 所以最大边长为a +2， 最大角的余弦值为12-，则()()()222221cos 222a a a C a a+--+=-=-，解得a ＝5.故sin C =，三角形的三边长为3，5，7.所以1352ABC S =⨯⨯=V 故答案为：5【点睛】此题考查了余弦定理和三角形的面积公式，属于基础题.14．已知357cos 4544x x πππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，＜＜，则sin 2x ＝_____，2sin 22sin 1tan x xx+=- _____.【答案】725 2875- 【解析】利用三角函数的恒等变换，化简得2sin 22sin 1tan x xx+=-sin 2tan()4x x π⋅+，依题意，分别求得sin 2x 与tan()4x π+的值，即可求得答案.【详解】 解：()()222sin cos cos sin sin 21tan sin 22sin 2sin cos 2sin sin 1tan cos sin 1tan 1cos x x x x x x x x x x x x x x x x x++++====----sin 2tan()4x x π⋅+. ∵5744x ππ＜＜， ∴324x ππ+＜＜2π， 又∵cos （4π+x ）35=，∴sin （4π+x ）45=-.∴tan （4π+x ）43=-.∴cos x ＝cos[（4π+x ）4π-]＝cos （4π+x ）cos 4π+sin （4π+x ）sin 3452π=⨯+（45-）210⨯=-. ∴sin x ＝sin[（4π+x ）4π-]＝sin （4π+x ）cos 4π-sin 4πcos （4π+x ）＝（45-）35=， 可得sin2x ＝2sin x cos x ＝2×（10-）725=. ∴2sin 22sin 71tan 25x x x +=⨯-（43-）2875=-.故答案为：725；2875-. 此题考查三角函数恒等变换公式，二倍角公式，同角三角函数的关系，属于中档题.三、填空题15．等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项之积为T n ，若满足条件：a 1＞1，a 99•a 100﹣1＞0，99100101a a --＜，当T n 取得最大时，n ＝_____.【答案】99【解析】由已知结合等比数列的性质可得a 99＞1＞a 100，进而可求. 【详解】解：由a 1＞1，a 99•a 100﹣1＞0，99100101a a --＜，可得a 99＞1＞a 100， 所以当n ＝99时，T n 最大. 故答案为：99 【点睛】此题考查等比数列的性质的简单应用，属于基础题.16．已知函数()224f x x mx =--+，若对于任意[],2x m m ∈+，都有()0f x >成立，则实数m 的取值范围为_____.【答案】⎛ ⎝⎭【解析】问题转化为()()020f m f m ⎧⎪⎨+⎪⎩＞＞，解一元二次不等式组，即可求出结果.【详解】函数()224f x x mx =--+，若对于任意[],2x m m ∈+，都有()0f x >成立，只需满足：()()020f m f m ⎧⎪⎨+⎪⎩＞＞即可，整理得：()()22224022240m m m m m ⎧--+⎪⎨-+-++⎪⎩＞＞， 解得232333803m m ⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩＜＜＜＜，即2303m ＜＜. 故m 的取值范围是230,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.故答案为：230,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，属于中档题.17．不共线的向量a r ，b r 的夹角为θ，若向量2a b -r r 与a b -r r 的夹角也为θ，则cos θ的最小值为_____. 【答案】22【解析】可根据向量的加减法的几何意义，作出图形，可得三角形相似，利用余弦定理、三角形相似列出方程，表示出cos θ，然后求其最小值. 【详解】如图，不妨令AB BC a ==u u u r u u u r r ，AD b =u u u r r，10a b x ==r r ，＞则DB a b =-u u u r r r ，2DC a b =-u u u r r r ，∴∠A ＝∠BDC ＝θ，∠C 是公共角， ∴△ADC ∽△DBC. 则DC ADBC DB=①. 在△ADC 中，DC 2＝AD 2+AC 2﹣2×AD ×AC ×cos θ＝x 2+4﹣4x cos θ. 在△DBA 中，DB 2＝x 2+1﹣2x cos θ，结合①可得：222244cos 112cos x x x x x θθ+-=+-， 整理得2222()6cos 8cos 0x x xx θθ⎛⎫+-⋅++= ⎪⎝⎭， 即2223cos cos x x θθ⎡⎤⎢⎛⎫+-=⎝⎣ ⎥⎪⎦⎭，所以23cos cos x x θθ+-=或23cos cos x xθθ+-=-，即24cos x x θ+=≥=cos 2θ≥.或22cos x x θ+=，因为2x x+≥2cos θ≤2，故舍去.故cos 2θ≥.故答案为：2. 【点睛】本题主要考查向量的夹角问题，余弦定理的应用，属于中档题.四、解答题18．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+(0ϕπ<<)，它的图象的一条对称轴是直线x 12=π. (1)求ϕ的值及函数()f x 的递增区间；(2)若3()5f α=，且,123ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求sin 2α.【答案】(1)3πϕ=；单调增区间为()51212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，；(2)310+.【解析】(1)由已知结合正弦函数的对称性可求ϕ，代入已知函数解析式后，结合正弦函数的单调性，即可求解；(2)由已知结合同角三角函数平方关系，求出cos 23πα⎛⎫+⎪⎝⎭，再将sin 2α变为sin 233ππα⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，利用两角差的正弦公式展开，即可求解.【详解】 (1)直线12x π=是函数图象的一条对称轴，所以2122k ⨯+=+ππϕπ，k Z ∈，所以,3k k Z πϕπ=+∈，又0ϕπ<<，所以3πϕ=，所以()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由222232k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，得51212k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈， 所以函数()f x 的单调增区间为5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦， (2)因为3()5f α=，所以3sin 235πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为,123ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以2,32ππαπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以cos 203πα⎛⎫+< ⎪⎝⎭，所以4cos 235⎛⎫+==- ⎪⎝⎭πα， 所以sin 2sin 2sin 2cos cos 2sin 333333⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ππππππαααα314525⎛⎫=⨯--=⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查求三角函数的图象性质及给值求值问题，同时考查同角三角函数关系，两角差的正弦公式及角的变换，属于中档题.19．已知平行四边形ABCD 中，2AB =，4BC =，60DAB ∠=o ，点E 是线段BC 的中点.(1)求AC AE ⋅uuu r uu u r的值；(2)若AF AE AD λ=+u u u r u u u r u u u r，且BD AF ⊥，求λ的值.【答案】(1)18；(2)12λ=-. 【解析】(1)根据条件，可以点A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，从而可得出AC AE u u u r u u u r，的坐标，然后进行向量数量积的坐标运算即可；(2)可以得出(023)，BD =u u u r ，(32323)，AF =++u u u r λλ，然后根据BD AF ⊥，即可得出0BD AF ⋅=u u u r u u u r，进行向量数量积的坐标运算，即可求出λ的值. 【详解】(1)以A 点为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则(0,0)A ，(2,0)B ，(4,23)C ，3)E ，(2,3)D ，所以(43)，AC =u u u r ，(33)，AE =u u u r ，所以4323318AC AE ⋅=⨯+=u u u r u u u r；(2)(023)，BD =u u u r ，(32323)，AF =+u u u r λλ，因为BD AF ⊥，所以333)0BD AF ⋅==u u u r u u u rλ，解得12λ=-. 【点睛】本题主要考查向量的数量积的坐标运算，选择恰当的点作为坐标原点建系及正确的写出各点坐标是关键，属于中档题.本题也可以AB u u u r ,AD u u u r作为基底，利用基底法求解.20．数列{}n a 前n 项和为n S ，满足23nn S =-，数列{}n b 为等差数列且23b S =，4224b b S -=.(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)若1231n nc b b b b =++++L ，求数列{}n c 的前n 项和T n . 【答案】(1)a n 11122n n n --=⎧=⎨≥⎩，，，21n b n =+；(2)13112212n n ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭. 【解析】(1)先利用11,2,1n n n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩，求得a n ，然后根据23b S =，4224b b S -=，列出含d 的和1b 的方程组，求出d 与首项1b ，即可求得n b ；(2)先利用等差数列的求和公式，求123n b b b b ++++L ，再求n c ，然后利用裂项相消法即可求出n T .【详解】(1)当1n =时，11231a S ==-=-，当2n ≥时，11123(23)2n n n n n n a S S ---=-=---=，综上，11,12,2n n n a n --=⎧=⎨≥⎩； 由234224b S b b S =⎧⎨-=⎩，得1524b d d +=⎧⎨=⎩，解得123d b =⎧⎨=⎩， 所以3(1)221n b n n =+-⨯=+.(2)因为数列{}n b 为等差数列，所以123(24)(2)2n n b b b n n n b +==+++++L ， 所以()1111222n c n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 所以11111111(1)()()()2324352n T n n ⎡⎤=-+-+-++-⎢⎥+⎣⎦L 111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭ 13112212n n ⎛⎫=-- ⎪++⎝⎭. 【点睛】本题主要考查知n S 求n a ，求等差数列的通项及裂项相消法求和，属于中档题.21．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ,若cos (cos )cos 0C A A B +=.(1)求角B 的大小；(2)设BC 的中点为D，且AD =，求2a c +的取值范围. 【答案】(1)23B π=；(2)(2a c ⎤+∈⎦. 【解析】(1)利用三角形内角和定理将C 用()πA B -+代入，再利用诱导公式及两角和的余弦公式展开整理，即可求出角B ；(2)设BAD θ∠=，利用正弦定理将,a c 用θ表示，再利用三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质,即可求出取值范围.【详解】(1)由题意得cos[()](cos )cos 0A B A A B -+++=π，所以()cos cos cos cos 0A B A B A B -++=，所以cos cos sin sin cos cos cos 0A B A B A B A B -+++=，所以sin sin sin 0A B A B +=，又角A 是三角形的内角，所以sin 0A ≠,所以sin 0B B +=，所以tan B =又(0,)B π∈，所以23B π=. (2)设BAD θ∠=，则ABD △中，由23B π=,可知03θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π，由正弦定理及AD =，可得22sin sin sin 33BD AB AD ===⎛⎫- ⎪⎝⎭ππθθ， 所以2sin 2sin 3，BD AB ⎛⎫==- ⎪⎝⎭πθθ，又2a BD =， 所以所以4sin a θ=，2sin 3c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭πθ，所以124sin 4sin 4sin 4sin 32a c ⎫⎛⎫+=+-=+-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭πθθθθθ14sin 4sin 23⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πθθθ， 由03θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π，可知2333πππθ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，所以sin 13⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦πθ，所以(2a c ⎤+∈⎦.【点睛】本题主要考查两角和的余弦公式，两角和的正弦公式的逆用，正弦定理及正弦型函数的值域，属于中档题.22．已知数列{a n }满足a 1＝3，a 232=，且2a n +1＝3a n ﹣a n -1. （1）求证：数列{a n +1﹣a n }是等比数列，并求数列{a n }通项公式； （2）求数列{na n }的前n 项和为T n ，若12n k T n >-对任意的正整数n 恒成立，求k 的取值范围.【答案】（1）证明见解析；113()2n n a -=⋅；（2）12k >.【解析】（1）由2a n +1＝3a n ﹣a n -1得1112n n n n a a a a +--=-，又a 2﹣a 132=-，则数列{a n +1﹣a n }是等比数列，进而求出其通项公式；（2）根据（1）中求得的结果，先求出na n ，再利用错位相减法求前n 项和T n ，然后求出k 的取值范围.【详解】（1）证明：∵2a n +1＝3a n ﹣a n -1，∴1112n n n n a a a a +--=-， 又a 2﹣a 132=-，∴数列{a n +1﹣a n }是首项为32-，公比为12的等比数列. ∴113()2n n n a a +-=-⋅， 即a 2﹣a 1132⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，a 3﹣a 2213()2=-⋅，…，a n ﹣a n -1113()2n -=-⋅（2n ≥）.等式两边同时相加得a n -a 11131122133()1212n n --⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==-+⋅-（2n ≥）， 则113(),22n n a n -⋅≥=，又n ＝1也适合上式， ∴113()2n n a -=⋅.（2）∵012111113()6()9()3()2222n n T n -=⨯+⨯+⨯++⨯L ①， ∴()121111113()6()33()3()22222n n n T n n -=⨯+⨯++-⨯+⨯L ②， 由①﹣②得12113121111111133()3()3()3()3()66()3(12222222212n n n n n n T n n n -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=+⨯+⨯++⨯-⨯=-⨯=-⨯-⨯-L∴()1126122nn T n ⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭， 又12n k T n >-，即()112612122n k n n ⎛⎫-+⨯>- ⎪⎝⎭， ∴()16122n k n n ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭， 令 ()1612()2n n n n c =+⨯， 由()()()()121111618()612()221332n n n n n c c n n n n n ++=++⨯⎛⎫--=⨯- ⎪⎝⎭+⨯， ∴当1n =时，1n n c c +>；当2n ≥时，1n n c c +<.∴()2max 12n c c ==，12k ∴>.【点睛】本题考查等比数列，考查错位相减法求数列的前n 项和，属于中档题.。
2023-2024学年浙江省七彩阳光新高考研究联盟高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年浙江省七彩阳光新高考研究联盟高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |﹣1＜x ≤2}，B ＝{﹣1，0，1，2，3}，则（∁U A ）∩B ＝（ ） A ．{﹣1，3} B ．{﹣1}C ．{3}D ．{0，1，2}2．函数f(x)=1√x−2(x −4)0的定义域是（ ） A ．[2，+∞）B ．（2，+∞）C ．（2，4）∪（4，+∞）D ．（2，4）∩（4，+∞）3．设p ：x ＞2或x ＜23，q ：x ＞2或x ＜﹣1，则p 是q 的（ ）条件． A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要条件D ．既不充分也不必要4．已知a ＞b ＞c ，则（ ） A ．ab ＞bcB ．ac ＞bcC ．1b−c＞1a−cD ．a 2＞b 2＞c 25．若函数f （x ）＝x 2﹣2ax +2a ，x ∈（﹣∞，4）无最值，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＜2B ．a ＞2C ．a ≤4D ．a ≥46．已知函数f(√x −2)=x −4√x +5，则f （x ）的解析式为（ ） A ．f （x ）＝x 2+1（x ≥0） B ．f （x ）＝x 2+1（x ≥﹣2） C ．f （x ）＝x 2（x ≥0）D ．f （x ）＝x 2（x ≥﹣2）7．若关于x 的不等式3x 2﹣（a +2）x ﹣3＞0在区间[13，2]内有解，则a 的取值范围是（ ） A ．(−10，52)B ．（﹣∞，﹣10）C ．（﹣∞，﹣2）D ．(−∞，52)8．已知函数f （x ）＝max {x 2+4x ，x 2﹣4x }，若f （2﹣a ）＞f （2a ），则实数a 的取值范围是（ ） A ．(−1，23)B ．(−2，23)C ．(−∞，23)D ．(23，+∞)二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9．已知函数f(x)={x +2，x ≤−1x 2，−1＜x ＜2，则关于函数f （x ）的结论正确的是（ ）A ．f （f （1））＝3B ．若f （x ）＝1，则x 的值为±1C ．f （x ）的图象关于y 轴对称D ．f （x ）的值域为（﹣∞，4）10．若f （x ）为R 上的奇函数，则下列说法正确的是（ ） A ．f （x ）﹣f （﹣x ）＝2f （x ）B ．g （x ）＝f （x ）•|f （x ）|是偶函数C．f（|x|）是偶函数D．若f（1﹣x）＝f（1+x），则f（2）＝011．已知f（x）是定义在R上的函数，且对任意x∈R，有f（x）＝﹣f（﹣x+2），当x∈[1，+∞）时，f（x）＝x2﹣4x+3，则下列结论正确的是（）A．不等式f（x）＜0的解为{x|1＜x＜3}B．（﹣∞，0）是f（x）的增区间C．方程f（f（x））＝0有5个解D．∀x1，x2∈[0，2]，都有f(x1+x22)≤f(x1)+f(x2)212．已知正实数a，b满足a+4b＝mab+n，则下列结论中正确的是（）A．若m＝1，n＝0，则ab≥16B．若m＝1，n＝0，则a+b≥16C．若m＝0，n＝1，则ba +a+3b≥16D．若m＝﹣1，n＝1，则a+b＜16三、填空题：本题共4小题，每小题0分，共20分．13．命题“∀x＞1，x2﹣x﹣5≤0”的否定是．14．计算：(214)0.5−0．752+6−2×(827)−13=．15．若函数f(x)={(a−3)x+4，x≤a2ax，x＞a是定义在R上的减函数，则实数a的取值范围为．16．已知实数x，y，z满足x2+y2+2z2＝1，则2xy+z的最大值为．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）设集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，集合B＝{x|（x﹣a）（x﹣b）＝0}，其中a、b为常数．（1）用列举法表示集合A；（2）若A∪B＝A，写出以ab的值组成的集合．18．（12分）已知幂函数f（x）＝（2k2﹣k+1）x k（k∈R）在区间（0，+∞）单调递增．（1）求实数k的值；（2）若f(a)+f(1a)=3，求f(a2)+f(1a2)的值．19．（12分）已知函数f（x）＝ax2+bx+1．（1）若f（1）＝0，f（2）＞2b+1，解关于x的不等式f（x）≤0；（2）若0≤f（1）≤1，1≤f（2）≤2，求f（﹣1）的取值范围．20．（12分）f（x）是定义在R上的函数，满足以下性质：①∀x，y∈R，都有f（x+y）＝f（x）+f（y），②当x＜0时，f（x）＜0．（1）判断f（x）的单调性并加以证明；（2）不等式f(x 2+3xx 2+3)+f(a)＞0恒成立，求a 的取值范围． 21．（12分）用不等式知识解决下列问题：（1）已知p 克糖水中有q 克糖（p ＞q ＞0），往糖水中加入m 克糖（m ＞0），（假设糖全部溶解）糖水更甜了，请将这个事实表示为一个不等式；（2）某超市进货A ，B ，C 三种水果糖，进货价格分别为a 元/千克，b 元/千克，c 元/千克，然后把所有糖混合成什锦糖，进货方案有两种，方案一：每种糖进货1500元，方案二：每种糖进货100千克；问哪种方案混合成的什锦糖每千克的价格更低？ 22．（12分）已知函数f(x)=4x−ax 2+1，x ∈R ，a 为常数． （1）若f （x ）是奇函数，设x 1，x 2∈R ，实数m 满足f(x 1)⋅f(x 2)=−m 2，求m 的取值范围； （2）当x ≥﹣4时，f(x)−x a−2≥x 2−1恒成立，求a 的取值范围．2023-2024学年浙江省七彩阳光新高考研究联盟高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．设全集U＝R，集合A＝{x|﹣1＜x≤2}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则（∁U A）∩B＝（）A．{﹣1，3}B．{﹣1}C．{3}D．{0，1，2}解：∵A＝{x|﹣1＜x≤2}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，∁U A＝{x|x≤﹣1或x＞2}，（∁U A）∩B＝{﹣1，3}．故选：A．2．函数f(x)=1x−2(x−4)0的定义域是（）A．[2，+∞）B．（2，+∞）C．（2，4）∪（4，+∞）D．（2，4）∩（4，+∞）解：由{x−2＞0x−4≠0，解得x＞2且x≠4，∴定义域为（2，4）∪（4，+∞）．故选：C．3．设p：x＞2或x＜23，q：x＞2或x＜﹣1，则p是q的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要条件D．既不充分也不必要解：令A＝{x|x＞2或x＜23}，B＝{x|x＞2或x＜﹣1}，因为B⫋A，故p是q的必要不充分条件．故选：B．4．已知a＞b＞c，则（）A．ab＞bc B．ac＞bc C．1b−c ＞1a−cD．a2＞b2＞c2解：当b＝0时，A、D选项错误；当c＝0时，B选项错误；因为a﹣c＞b﹣c＞0，1b−c ＞1a−c，C选项正确．故选：C．5．若函数f（x）＝x2﹣2ax+2a，x∈（﹣∞，4）无最值，则a的取值范围是（）A．a＜2B．a＞2C．a≤4D．a≥4解：函数f（x）的开口向上，对称轴为x＝a，在（﹣∞，a）内单调递减，若在区间（﹣∞，4）内无最值， 则需满足对称轴x ＝a ≥4． 所以a 的取值范围是[4，+∞）． 故选：D ．6．已知函数f(√x −2)=x −4√x +5，则f （x ）的解析式为（ ） A ．f （x ）＝x 2+1（x ≥0） B ．f （x ）＝x 2+1（x ≥﹣2） C ．f （x ）＝x 2（x ≥0）D ．f （x ）＝x 2（x ≥﹣2）解：令√x −2=t ，则t ≥﹣2，所以f （t ）＝（t +2）2﹣4（t +2）+5＝t 2+1（t ≥﹣2）， 则f （x ）＝x 2+1（x ≥﹣2）． 故选：B ．7．若关于x 的不等式3x 2﹣（a +2）x ﹣3＞0在区间[13，2]内有解，则a 的取值范围是（ ） A ．(−10，52)B ．（﹣∞，﹣10）C ．（﹣∞，﹣2）D ．(−∞，52)解：当x ∈[13，2]时，3x 2﹣3＞（a +2）x 有解， ∴3x −3x ＞a +2在x ∈[13，2]时有解， 又−8≤3x −3x ≤92， 由题意，a +2＜92， ∴a ＜52． 故选：D ．8．已知函数f （x ）＝max {x 2+4x ，x 2﹣4x }，若f （2﹣a ）＞f （2a ），则实数a 的取值范围是（ ） A ．(−1，23)B ．(−2，23)C ．(−∞，23)D ．(23，+∞)解：由函数f （x ）＝max {x 2+4x ，x 2﹣4x }可知，f （x ）＝max {x 2+4x ，x 2﹣4x }是偶函数，在（0，+∞）上单调递增， 则由f （2﹣a ）＞f （2a ），可得|2﹣a |＞|2a |，解得−2＜a ＜23， 所以实数a 的取值范围是(−2，23)． 故选：B ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9．已知函数f(x)={x +2，x ≤−1x 2，−1＜x ＜2，则关于函数f （x ）的结论正确的是（ ）A．f（f（1））＝3B．若f（x）＝1，则x的值为±1 C．f（x）的图象关于y轴对称D．f（x）的值域为（﹣∞，4）解：函数f(x)={x+2，x≤−1x2，−1＜x＜2，当x＝1时，f（1）＝12＝1，f（f（1））＝12＝1，故A错误；当x≤﹣1时，f（x）＝x+2＝1，解得x＝﹣1；当﹣1＜x＜2时，f（x）＝x2＝1，解得x＝1，故B正确；由图象可知，f（x）不关于y轴对称，故C错误．当x≤﹣1时，f（x）的取值范围是（﹣∞，1]，当﹣1＜x＜2时，f（x）的取值范围是[0，4），因此f（x）的值域为（﹣∞，4），故D正确．故选：BD．10．若f（x）为R上的奇函数，则下列说法正确的是（）A．f（x）﹣f（﹣x）＝2f（x）B．g（x）＝f（x）•|f（x）|是偶函数C．f（|x|）是偶函数D．若f（1﹣x）＝f（1+x），则f（2）＝0解：根据题意，依次分析选项：对于A，f（x）为奇函数，则对任意x∈R，f（x）﹣f（﹣x）＝f（x）+f（x）＝2f（x），故A正确；对于B，对任意x∈R，g（﹣x）＝f（﹣x）|f（﹣x）|＝﹣g（x），g（x）奇函数，故B错误；对于C，对任意x∈R，g（x）＝f（|x|），g（﹣x）＝f（|﹣x|）＝f（|x|），故C正确；对于D，令x＝1，f（0）＝f（2）＝0，故D正确．故选：ACD．11．已知f（x）是定义在R上的函数，且对任意x∈R，有f（x）＝﹣f（﹣x+2），当x∈[1，+∞）时，f（x）＝x2﹣4x+3，则下列结论正确的是（）A．不等式f（x）＜0的解为{x|1＜x＜3}B．（﹣∞，0）是f（x）的增区间C．方程f（f（x））＝0有5个解D．∀x1，x2∈[0，2]，都有f(x1+x22)≤f(x1)+f(x2)2解：设﹣x+2＞1，则x＜1，由于当x∈[1，+∞）时，f（x）＝x2﹣4x+3，f（﹣x+2）＝（﹣x+2）2﹣4（﹣x+2）+3＝x2﹣1，故当x∈（﹣∞，1]时，f（x）＝﹣f（﹣x+2）＝﹣x2+1．作出函数f（x）的图象，由图可知不等式f（x）＜0的解为{x|x＜﹣1或1＜x＜3}，A错误；由图观察，B正确；f（f（x））＝0，得f（x）＝﹣1或f（x）＝1或f（x）＝3，对应的解的个数分别为2，2，1，故共有5个解，C正确．举反例，f(1+02)=34＞f(1)+f(0)2=12，D错误．故选：BC．12．已知正实数a，b满足a+4b＝mab+n，则下列结论中正确的是（）A．若m＝1，n＝0，则ab≥16B．若m＝1，n＝0，则a+b≥16C．若m＝0，n＝1，则ba +a+3b≥16D．若m＝﹣1，n＝1，则a+b＜16解：对于A，若m＝1，n＝0，则a+4b=ab≥4√ab，当且仅当a＝8，b＝2时取等号，解得ab≥16，故A正确；对于B，若m＝1，n＝0，则ab＝a+4b≥16，b＞0，无法推出a+b≥16，故B错误；对于C，当m＝0，n＝1时，a+4b＝1，则ba +a+3b=ba+a+3a+12bb=ba+4ab+12≥16，a=19，b=29时取等号，C正确；对于D，当m＝﹣1，n＝1时，（a+4）（b+1）＝5，∵a＞0，b＞0∴{5b+1−4＞05 a+4−1＞0，解得{b＜14a＜1，∴a+b＜54＜16，故D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每小题0分，共20分．13．命题“∀x ＞1，x 2﹣x ﹣5≤0”的否定是 ∃x ＞1，x 2﹣x ﹣5＞0 ． 解：命题“∀x ＞1，x 2﹣x ﹣5≤0”的否定是“∃x ＞1，x 2﹣x ﹣5＞0”． 故答案为：∃x ＞1，x 2﹣x ﹣5＞0． 14．计算：(214)0.5−0．752+6−2×(827)−13=4748．解：(214)0.5−0．752+6−2×(827)−13=[(32)2]0.5−(34)2+136×[(23)3]−13=(32)2×0.5−(34)2+136×(23)3×(−13)=32−916+136×32=4748． 故答案为：4748．15．若函数f(x)={(a −3)x +4，x ≤a 2ax ，x ＞a是定义在R 上的减函数，则实数a 的取值范围为 [﹣4，0） ．解：根据题意，若函数f(x)={(a −3)x +4，x ≤a 2ax ，x ＞a是定义在R 上的减函数，则有{a −3＜02a ＜0(a −3)a +4≥2a 2，解可得﹣4≤a ＜0，即a 的取值范围为[﹣4，0）．故答案为：[﹣4，0）．16．已知实数x ，y ，z 满足x 2+y 2+2z 2＝1，则2xy +z 的最大值为 98．解：因为x 2+y 2+2z 2＝1，则x 2+y 2＝1﹣2z 2， 由x 2+y 2＝1﹣2z 2≥0，可得−√22≤z ≤√22，所以2xy +z ≤x 2+y 2+z ＝﹣2z 2+z +1， 因为−2z 2+z +1=−2(z −14)2+98≤98， 当且仅当{z =14x =y ，即当{x =y =√74z =14或{x =y =−√74z =14时，等号成立， 因此，2xy +z 的最大值为98．故答案为：98．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）设集合A ＝{x |x 2﹣3x +2＝0}，集合B ＝{x |（x ﹣a ）（x ﹣b ）＝0}，其中a 、b 为常数． （1）用列举法表示集合A ；（2）若A ∪B ＝A ，写出以ab 的值组成的集合．解：（1）A ＝{x |x 2﹣3x +2＝0}＝{1，2}； （2）因为A ∪B ＝A ，则B ⊆A ，①当a ＝b 时，B ＝{a }⊆A ，则a ＝1或2，此时ab ＝1或4； ②当a ≠b 时，B ＝{a ，b }＝A ，则{a =1b =2或{a =2b =1，此时ab ＝2，综上所述，以ab 的值组成的集合为{1，2，4}．18．（12分）已知幂函数f （x ）＝（2k 2﹣k +1）x k （k ∈R ）在区间（0，+∞）单调递增． （1）求实数k 的值；（2）若f(a)+f(1a )=3，求f(a 2)+f(1a2)的值． 解：（1）f （x ）＝（2k 2﹣k +1）x k 为幂函数， 则2k 2﹣k +1＝1，解得k ＝0（舍）或k =12， 故实数k 的值为12．(2)f(a)+f(1a )=a 12+(1a)12=a 12+a −12=3， f(a 2)+f(1a2)=(a 2)12+(1a2)12=a +a −1 =(a 12+a−12)2−2=7．19．（12分）已知函数f （x ）＝ax 2+bx +1．（1）若f （1）＝0，f （2）＞2b +1，解关于x 的不等式f （x ）≤0； （2）若0≤f （1）≤1，1≤f （2）≤2，求f （﹣1）的取值范围． 解：（1）∵f （1）＝0，a +b +1＝0，∴b ＝﹣a ﹣1，∵f （2）＝4a +2b +1＞2b +1，∴a ＞0，所以不等式可化ax 2+bx +1≤0， 即ax 2﹣（a +1）x +1≤0，即（x ﹣1）（ax ﹣1）≤0， 所以方程（x ﹣1）（ax ﹣1）＝0的两个根分别为1a 和1，当1a ＞1，即0＜a ＜1，不等式解为{x|1＜x ＜1a}；当1a ＜1，即a ＞1，不等式解为x|1a＜x ＜1}； 当1a=1，即a ＝1，不等式解为{x |x ＝1}． （2）可得{−1≤a +b ≤00≤4a +2b ≤1，令{a +b =x 2a +b =y ，则{a =y −x b =2x −y ．f （﹣1）＝a ﹣b +1＝（y ﹣x ）﹣（2x ﹣y ）+1＝2y ﹣3x +1， 0≤2y ≤1，0≤﹣3x ≤3，1≤2y ﹣3x +1≤5，所以1≤f （﹣1）≤5，即f （﹣1）的取值范围是[1，5]．20．（12分）f （x ）是定义在R 上的函数，满足以下性质：①∀x ，y ∈R ，都有f （x +y ）＝f （x ）+f （y ），②当x ＜0时，f （x ）＜0． （1）判断f （x ）的单调性并加以证明； （2）不等式f(x 2+3xx 2+3)+f(a)＞0恒成立，求a 的取值范围． 解：（1）f （x ）是R 上增函数，证明如下：f （x ）的定义域为R ，令x ＝y ＝0，得f （0）＝0，令x ＝﹣y ，得f （x ）+f （﹣x ）＝0，即函数为奇函数， ∀x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，f （x 1）﹣f （x 2）＝f （x 1）+f （﹣x 2）＝f （x 1﹣x 2）， ∵x ＜0，f （x ）＜0，∴x 1﹣x 2＜0时，f （x 1﹣x 2）＜0， ∴f （x 1）﹣f （x 2）＝f （x 1﹣x 2）＜0，∴f （x 1）＜f （x 2）， ∴f （x ）是R 上增函数．（2）由f(x 2+3x x 2+3)+f(a)＞0，可得f(x 2+3x x 2+3)＞−f(a)=f(−a)，所以−a ＜x 2+3xx 2+3，整理可得（a +1）x 2+3x +3a ＞0对任意的x ∈R 恒成立， 当a +1＝0时，即a ＝﹣1，则有3x ﹣3＞0，解得x ＞1，不合乎题意； 当a +1≠0时，则有{a +1＞0Δ=9−12a(a +1)＜0，解得a ＞12，因此，实数a 的取值范围是(12，+∞)． 21．（12分）用不等式知识解决下列问题：（1）已知p 克糖水中有q 克糖（p ＞q ＞0），往糖水中加入m 克糖（m ＞0），（假设糖全部溶解）糖水更甜了，请将这个事实表示为一个不等式；（2）某超市进货A ，B ，C 三种水果糖，进货价格分别为a 元/千克，b 元/千克，c 元/千克，然后把所有糖混合成什锦糖，进货方案有两种，方案一：每种糖进货1500元，方案二：每种糖进货100千克；问哪种方案混合成的什锦糖每千克的价格更低？解：（1）p 克糖水中有q 克糖（p ＞q ＞0），往糖水中加入m 克糖（m ＞0），（假设糖全部溶解）糖水更甜了，则这个事实可用qp ＜q+m p+m表示；（2）第一种方案，平均价格为45001500a+1500b +1500c=31a +1b +1c；第11页（共11页） 第二种方案，平均价格为100a+100b+100c 300=a+b+c 3； a+b+c 3−31a +1b +1c =(a+b+c)(1a +1b +1c )−93(1a +1b +1c )=(b a +a b +a c +c a +c b +b c )−63(1a +1b +1c ) ≥(2+2+2)−63(1a +1b +1c )=0，（当a ＝b ＝c 时，取到等号）， 当a ＝b ＝c 时，方案一和方案二价格一样；当a ，b ，c 不全相等时，方案一价格更低．22．（12分）已知函数f(x)=4x−a x 2+1，x ∈R ，a 为常数． （1）若f （x ）是奇函数，设x 1，x 2∈R ，实数m 满足f(x 1)⋅f(x 2)=−m 2，求m 的取值范围；（2）当x ≥﹣4时，f(x)−x a−2≥x 2−1恒成立，求a 的取值范围．解：（1）由题意，对任意x ∈R ，都有f （﹣x ）＝﹣f （x ），即4(−x)−a(−x)2+1=−4x−a x 2+1，即﹣4x ﹣a ＝﹣4x +a ，因此a ＝0； f(x)=4x x 2+1，可得f （x ）∈[﹣2，2]，由f(x 1)⋅f(x 2)=−m 2得﹣m 2≥f （x ）max •f （x ）min ＝﹣4，即﹣2≤m ≤2，即m 的取值范围是[﹣2，2]．（2）当x ≥﹣4时，f(x)−x a−2≥x 2−1恒成立， ∴f(0)−0a−2=−a a−2≥−1，∴a ＜2，不等式可化为f(x)≤a 2x −a +2，x ≥﹣4恒成立，则4x−ax 2+1−(a 2x −a +2)=4x−a−(a 2x−a+2)(x 2+1)x 2+1=−12(x 2+1)[ax(x 2−2x +1)+4(x 2−2x +1)] =−12(x 2+1)(ax +4)(x −1)2≤0， ∴ax +4≥0在[﹣4，+∞）上恒成立，∴{a ≥0−4a +4≥0，∴0≤a ≤1， 即a 的取值范围是[0，1]．。