七彩阳光联盟高三数学
浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟返校联考 数学答案
高三数学学科 参考答案
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案 B
C
D
A
A
C
C
C
B
B
二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分.
=
−
2b 3a
得：
x0
=1−
2b 3a
，又
x0
0 ，故1−
2b 3a
0
，又 a
0
，故 3a
2b ，则(3)
不正确；综上，(1)、(4)正确，选 B
10，解析：若 S 有 2 个元素，不妨设 S = {a, b} ，由②知集合 S 中的两个元素必为相反数，故可设
S = {a,−a}；由①得 0 T ，由于集合T 中至少两个元素，故至少还有另外一个元素 m T ，当集
所以， MN 2 = ( AC − AB)2 = 1化简得： 2 + 2 − = 1 4
另一方面， BN CM = ( AC − AB) ( AB − AC ) = 2 − 4( + ) + 2
因为， 2
+
2
−
=
1 4
，令
= =
x+ x−
y y
，则
x2
+ 3y2
=
1 4
BN CM = 2 − 4( + ) + 2 = 2(x2 − y2 ) − 8x + 2
浙江七彩阳光联盟2024届高三下学期开学考试数学试题及答案
2023学年第二学期浙江七彩阳光新高考研究联盟返校考高三数学学科试题1.若,考生须知：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号.3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题卷.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.M N 是I 的非空子集，M N M ∪=，则（ ） A.M N ⊆ B.N M ⊆ C.I N M ⊆ D.I M N ⊆ 2.若()1i 1z −=+（i 是复数单位），则z =（ ）3.6611x x x x ++−的展开式中含2x 项的系数为（ ）A.-30B.0C.15D.304.设,a b 为正实数，则“a b >”是“22log ab >”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.某校1000名学生参加数学期末考试，每名学生的成绩服从()2105,15X N ∼，成绩不低于120分为优秀，依此估计优秀的学生人数约为（ ） A.23 B.46 C.159 D.317附：若()2,N ξµσ∼，则()0.6827,(22)0.9545P P µσξµσµσξµσ−<<+=−<<+=. 6.已知,a b 是异面直线，P 是空间任意一点，存在过P 的平面（ ） A.与,a b 都相交 B.与,a b 都平行 C.与,a b 都垂直 D.与a 平行，与b 垂直7.已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，过F 作不与x 轴垂直的直线l 交C 于,A B 两点，设OAB 的外心和重心的纵坐标分别为,m n （O 是坐标原点），则mn的值为（ ） A.1 B.34 C.12D.388.已知数列{}n a 的前n 项和为()2*1221,1,2,N n n n n S a a a a a n n ++===+∈，则下列结论不正确的是（ ）A.1n n a a +是递增数列 B.{}221n n a a +−是递增数列 C.101023S < D.13n na a +< 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量()()1,1,2,0a b ==−，则下列结论正确的是（ ）A.||||a b =B.a 与b 的夹角为3π4C.()a b a +⊥D.b 在a 上的投影向量是()1,1−− 10.已知函数()π2sin (0)6f x x ωω=−>图象关于点π,04中心对称，则下列结论正确的是（ ） A.()f x 的最小正周期3π B.π12f=C.()f x 的图象关于直线πx =对称D.()f x 的图象向左平移π4个单位长度后关于y 轴对称 11.已知函数()(),f x g x 定义域为R ，且()()()()()()()()()(),f x g y f y g x f x y g x g y f x f y g x y −=−−=−，()00g ≠，则下列结论正确的是（ ） A.()f x 为奇函数 B.()g x 为偶函数C.若()()111f g +=，则()()1001001f g −=D.若()()111f g −=，则()()1001001f g += 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.一个宿舍的6名同学被邀请参加一个晚会，如果其中甲和乙两位同学要么都去，要么都不去，则不同去法的种数为__________.（用数字作答）13.函数()()π2cos sin2R 4f x x x x=−+∈的值域为__________. 14.已知正四面体ABCD 的边长为1,P 是空间一点，若222253PA PB PC PD +++=，则PA 的最小值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知等差数列{}n a 的各项均为正数，15932,5a a a a =+=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足()*1211,N n n n n b a b a b n ++==∈，求{}n b 的通项公式及其前n 项和n S . 16.（15分）如图，四棱锥P ABCD −中，平面PAC ⊥平面,ABCD PAC 为等边三角形，AD ∥BC ，,22,BC CD BC CD AD M ⊥==是棱PA 的中点.（1）证明：PB MC ⊥；（2）求平面PAB 与平面PCD 所成角的余弦值.17.（15分）许多小朋友热衷于“套娃娃”游戏.在一个套娃娃的摊位上，若规定小朋友套娃娃成功1次或套4次后游戏结束，每次套娃娃成功的概率为13，每次套娃娃费用是10元. （1）记随机变量X 为小朋友套娃娃的次数，求X 的分布列和数学期望；（2）假设每个娃娃价值18元，每天有30位小朋友到此摊位玩套娃娃游戏，求摊主每天利润的期望.18.（17分）如图，已知椭圆221:12x C y +=，双曲线222:1(0).2x C y x P −=>是1C 的右顶点，过P 作直线1l 分别交1C 和2C 于点,A C ，过P 作直线2l 分别交1C 和2C 于点,B D ，设12,l l 的斜率分别为12,k k .（1）若直线AB 过椭圆1C 的右焦点，求12k k ⋅的值；（2）若121k k ⋅=−，求四边形ABCD 面积的最小值. 19.（17分）设实数0a >，已知函数()()2ln xf x e ax a ax =−+. （1）当1a =时，求函数()y f x =在()()1,1f 处的切线方程； （2）若()0f x ≥在[)1,x ∞∈+上恒成立，求a 的取值范围.2023学年第二学期浙江七彩阳光新高考研究联盟返校考高三数学参考答案一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BBDACADC8.提示：由题意易得0n a >，由221n n n a a a n ++=+得21121112n n n n n n n n a a a a na a a a a a ++++++>≥，所以A 正确；且1121212n n n n n n a a a a a a a −−−−=⋅> ，所以91010122211023S >+++=−= ，故C 错误；由上面知{}n a 也是递增数列，所以2222122n n n n n a a an a a +++++=<，即22222221112n n n n n n a a a a n a a ++++−>−+>−，所以B 正确；由上得211112111222n n n n n n n n n n n n n a a a a n n na a a a a a ++++−−++=+<+=+⋅，累加得()1235231123122222n n n a a n n a a +−−<+++++≥ ，用错位相减法可求得()352323123183122222992n n n n n −−−+++++=−≥⋅ ， 所以12383123992n n n a n a +−+=+−<⋅，故D 正确. 二､多项选择题：本题共3小题.每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.题号 9 10 11 答案BCDBCABD11.提示：由()()()()()f x g y f y g x f x y −=−得()()()()()f y g x f x g y f y x −=−， 所以()()f y x f x y −=−−，故()f x 是奇函数，所以A 正确； 由()()()()()g x g y f x f y g x y −=−得()()()()()g y g x f y f x g y x −=−， 所以()()g y x g x y −=−，故()g x 是偶函数，所以B 正确；由题意得()()()()()()()()()()f x y g x y f x g y f y g x g x g y f x f y −−−=−−+()()()()f y g y f x g x =+⋅− ，令1y =得()()()()()()1111f x g x f g f x g x −−−=+− 由()f x 是奇函数得()00f =，且()()()()220]0]0,00g f g g −=≠ ，解得()01g =当()()111f g +=时，()()()()100100001f g f g −=−=− ，所以C 错误. 由题意得()()()()()()()()()()f x y g x y f x g y f y g x g x g y f x f y −+−=−+−()()()()g y f y f x g x =−⋅+ ，令1y =得()()()()()()1111f x g x g f f x g x −+−=−+ 当()()111f g −=时，()()()()100100100(1)001f g f g +=−+=，所以D 正确. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.32； 13.3,32−；； 15.提示：设O 是正四面体ABCD 内切球的球心，由体积法可求正四面体ABCD，正四面体ABCD，则 22222222PA PB PC PD PA PB PC PD +++=+++2222()()()()PO OA PO OB PO OC PO OD =+++++++()22424PO PO OA OB OC OD OA =+++++22235404423PO PO +++=，即PO = 所以P 是正四面体ABCD 内切球上一点，故PA的最小值为OA PA −=−=.四､解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，由题意得，()1121252a d a d +=+，所以，3d = 故，{}n a 的通项公式为()1131n a a n d n =+−=−.（2）由21n n n n a b a b ++=得，123135n n n n b a n b a n ++−==+，所以()()11221112113103231n n n n n n n n n b b b a a b a b b b b a a a n n −−−−−+=⋅=⋅=+− ， 所以()()103231n b n n =+−.由()()101011323133132nb n n n n==− +−−+得1011111110115325583132323232nnS n n n n =−+−++−=−−=−+++ . 16.【解折】（1）在梯形ABCD 中，由AD ∥,,22BC BC CD BC CD AD ⊥==，得AB AC ⊥.又平面ABCD ⊥平面PAC ，平面ABCD ∩平面,PAC AC AB =⊂平面ABCD ， 所以AB ⊥平面PAC ，所以平面PAB ⊥平面PAC 又等边,PAC M 是棱PA 的中点，所以MC PA ⊥， 所以MC ⊥平面PAB ， 故PB MC ⊥.（2）方法一：取AC 中点O ，易知OP AC ⊥，所以OP ⊥平面ABCD ，建立如图空间直角坐标系O xyz −，设4BC =，则()C()(()0,,,0,,A P M D ，由（1）知平面PAB的一个法向量是0,CM = ，又)(,0,DCCP == 设(),,n x y z =是平面PCD 的法向量，则0000n DC n CP ⋅=+⇒ ⋅== ， 令1z =，可得()n =，所以cos ,n CM n CM n CM⋅===故，平面PAB 与平面PCD方法二：延长BA 和CD 交于E 点，连接PE ，则平面PAB ∩平面PCD PE =因为由（1）MC ⊥平面PAB 所以过M 作MF PE ⊥于F 点，连接FC ，又因为CM PE ⊥，PE CM ⊥所以PE ⊥面MCF ，所以PE CF ⊥则MFC ∠为平面PAB 与平面PCD 所成角的平面角.又因为设4BC =则4,1,PB MF MC===CF =，所以cos MFC ∠=故平面PAB 与平面PCD. 17.【解析】（1）由题意知，随机变量X 的取值为1,2,3,4，则()()()()231212214281,2,3,433393327327P X P X P X P X====×===×====， 即X 的分布列为所以()124865123439272727E X =×+×+×+×=. （2）易知小朋友套娃娃未成功的概率为4216381 =.，则小朋友套娃娃成功的概率为166518181−=. 记摊主每天利润为Y 元，则Y 的期望为()()65656526003010183010188127819E Y E X =××−×=××−×=，故摊主每天利润的期望为26009元.18.【解析】（1）设()()1122,,,A x y B x y ，直线AB 方程为1x my =+，与椭圆方程联立，得 ()22121222212210,,,22m my my y y y y m m −−++−=+==++ ()()()212121212224222,1122m x x m y y x x my my m m −++=++==++=++，所以12k k ⋅.（2）设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ，直线,AC BD 方程分别为12121x n y x n y n n +==−，联立1x n y =+2212x y +=得1y =2y =，联立1x n y =+2212x y −=得3y =，同理4y = 所以四边形ABCD面积为412S AC BD y =⋅=−−令2212t n n =+，易知221202,02n n <<<<，且121n n =−，则52,,2t S ∈，因为S 关于t 单调递增，所以min 64212825169S ×==−， 当S 取最小值1289时，122,1,1t n n ===−，经检验满足题意. 19.【解析】（1）当1a =时，()()12ln ,2xxf x e x x f x e x=−+−+′= ()()12,11f e f e =−=−′所以所求切线方程为()()()112y e x e =−−+−，即()11y e x =−−. （2）由()0f x ≥得，()ln xe ax ax a ax −≥−（*）令()()ln ,x ag x x a x g x x′−=−=，易知()g x 在()0,a 上单调递减，(),a ∞+上单调递增当(]0,a e ∈时，因为[)1,x ∞∈+，所以,x e e a ax a ≥≥≥， 所以不等式（*）等价于()()xg eg ax ≥，也等价于xe ax ≥，即xe a x≤，又()'210x x e x e x x − =≥，所以x e x 在[)1,x ∞∈+上单调递增，x e e x ≥， 故(]0,a e ∈满足题意.当(),a e ∞∈+时，由xe x 在[)1,∞+上单调递增知，x e ax =在[)1,∞+上有唯一实数解，设为0x ，且()()000001,,,ln x x e ax ax x ∞∈+==. 所以()00002ln 0xf x e ax a ax =−+=， 所以要使()0f x ≥在[)1,x ∞∈+上恒成立，则()00f x ′=，另一方面，()()020000001220x a x a a f x e a ax a x x x ′−=−+=−+=>，矛盾.故(),a e ∞∈+不满足题意， 综合得，a 的取值范围为0a e <≤.（2）解法二：先证明()10f ≥对任意0a >恒成立，设()()()12ln (0),ln 1g a f e a a a a g a a ==−+>′=−，当()0,a e ∈时，()()0,g a g a ′<在()0,e 上单调递减，(),a e ∞∈+时，()()0,g a g a ′>在(),e ∞+上单调递增，所以()()0g a g e ≥=，即()10f ≥对任意0a >恒成立. 又()2xa f x e a x =−+′，设()2xa h x e a x =−+，则()2x a h x e x=−′，易知()h x ′单调递增，所以()()1h x h ′≥′. 当(]0,a e ∈时，()()10,0h e a h x =−≥′≥′，所以()h x 单调递增，()()()()10,f x h x h e a f x =≥=−≥′单调递增， 所以()()10f x f ≥≥，符合题意. 当(),a e ∞∈+时，同解法一.。
浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟2020-2021学年高三上学期返校联考数学试题 含答案
A． −3
B． −2
C． −1
D．1
4．若双曲线 C :
y2 a2
−
x2 b2
= 1(a
0,b 0) 的一条渐近线为
y
=
3x ，则双曲线 C 的离心率为（
）
A． 2 3 3
B． 3
C．2
D．3
5．已知空间中的三条不同直线 l ， m ， n ．则“ l ， m ， n 两两垂直”是“ l ， m ， n 不共面”的（ ）
________．
15．已知点 A( 3,1) ，直线 l 与圆 x2 + y2 = 4 交于 M ， N 两点，若△AMN 的垂心恰为原点 O ，则直线l
的方程是________． 16．盒中有 4 个质地，形状完全相同的小球，其中 1 个红球，1 个绿球，2 个黄球；现从盒中随机取球，每
次取 1 个，不放回，直到取出红球为止．设此过程中黄球在第 次被首次取到（ = 0 表示黄球未被取
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
10．设集合 S ，T 中至少有两个元素，且 S ，T 满足：①对任意 x, y S ，若 x y ，则 x + y T ②对任
2
意 x, y T ，若 x y ，则 x − y S ，下列说法正确的是（ ） A．若 S 有 2 个元素，则 S T 有 4 个元素 B．若 S 有 2 个元素，则 S T 有 3 个元素 C．存在 3 个元素的集合 S ，满足 S T 有 5 个元素 D．存在 3 个元素的集合 S ，满足 S T 有 4 个元素
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
6．已知 a 0 ， b 0 ， a + b = 1 ，则（ ）
浙江省七彩阳光新高考研究联盟2024-2025学年高三上学期返校联考数学参考答案及解析
2024学年第一学期浙江省七彩阳光新高考研究联盟返校联考高三数学参考答案及解析一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项符合题目要求.)1.【答案】A【解析】因为A={-2,T,0,1,2},其中-2EB,-1EB,所以AC\B=—2,—1,故选 A.2.【答案】D【解析】由题，2=号,故团=舄=樽=籍所以z3=|z|2=§故选D.3.【答案】C【解析】((Q+b)・b=x+l+%(%+1)=必+2*+1=0,解得x=-1,故选 C.4.【答案】C【解析】由题，g(x)=sin(2x+2x%-^)=sin2的所以g(制)=sin：=§故选C.5.【答案】A【解析】设A,B,C三人的体质指数分别为a,b,c,则a+b+c=3X20=60,故5人体质指数的平均值M j(6。
+18+22)=20,又：[(a—20)2+(b—20)2+(b—20)2]=3,所以(q—20)2+(b—20)2+0—20)2=9,所以5人的体质指数的方差为?[(Q—20)2+(b—20)2+0—20)2+(18 -20)2+(22-20)2]=p故选 A.6.【答案】B【解析】设人31，无)伊3叩2),焦点F(0,1),则y Q=么号，由\AF\=无+1,\BF\=y2+l f则\AF \+\BF\^y1+y2+2>\AB\^6,所以=峥N2,当A,F,B三点共线时，yflZ得最小值2.微信公众号：浙江省高中数学故选B.7.【答案】C【解析】当有1个红球时，有侃=8种；当有2个红球时，有能=21种；当有3个红球时，有«=20种；当有4个红球时，有建=5种；当有5个及以上个红球时，不合题意，所以满足条件的不同排列方法的总数之和为54.故选C.8.【答案】B【解析】由V%球l,f(2—二)=—f(x)得f(—x+1)=—f(x+1),所以f(x+1)为奇函数，令g(x)= /'3+1)=[?弋2：)：2二F2，次当x>0时,-%<0,^(-%)=aZn(2x)-bx+b+c=-g(aln(-2x)+bx+b+c,x<0,(%)=—2ln(2x)—2x—2,所以a——2,b—2,b+c——2…即c=-4,所以abc=16,故选 B.二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.)9.【答案】ABD【解析】12。
2022届浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟高三(上)返校数学试卷(学生版+解析版)
2022届浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟高三（上）返校数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.（4分）已知集合4={知1<1},集合5={加好+31+2=0},则AAB=（）A.空集B.（-8,1]C.（-2,-1）D.{-2,-1）2.（4分）复数泮21的虚部是（）A.iB.-iC.1D.-13.（4分）已知直线y=\与直线hz*-my-1=0相互垂直，则实数m的值是（）A.0B.1C.-1D.±14.（4分）已知a,p,y是三个不同的平面，aG0=m邛0丫=儿则下列命题成立的是（）A.若加“则a“丫B.若a“Y，则加““C.若机_！_“，则aJ_yD.若a_1_丫，则加_1.“5.（4分）如图所示为学生常用的等腰直角三角形三角板，如图中，△A3C,BrC均为等腰直角三角形，直角边长度分别为6孩cm和3&cm,两斜边距离为1cm.现将该三角板绕斜边8C进行旋转，则图中阴影部分形成的几何体体积是（）（单位：ctz?）6.（4分）函数丫=嗯护的图象可能是（）7.（4分）如图，在梯形.CD中，AB=2DC,E,产是DC的两个三等分点，G,H是AB的两个三等分点，4c分别交EG,FH于M,N,若而=后,则实数人的值是（）8.（4分）已知小加R,则％+制20”是“函数，（%）=小+”+加一、”存在最小值”的（）A.充要条件C.必要不充分条件D.即不充分也不必要条件*2V2 ,9.（4分）已知双曲线C：———=1（。
>0,Z?>0）的两条渐近线为/1,/2,若双曲线Ca2b2的右支上存在一点尸，使得点尸到/2的距离之和为4则双曲线。
离心率的取值范围是（）A.[曰+oo）B.（1,V2]C.[2,+8） d.（1,2]10.（4分）设。
=加1.01"=蜷，C=y^,（其中自然对数的底数6=2.71828…），则（）A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.c<a<b二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11.（6分）已知角a的终边经过点P（l,V3）,则cosa=,cos （a- ----------- -12.（6分）已知依R,若直线/：y=k*+l被圆/-右+9-3=0所截，则截得的弦长最短为，此时直线I的方程为.13.（4分）若“=log23,Iog2a+log20=l,则3"=.14.（6分）已知多项式（1-2*）+（1+*+*2）3=ao+a\*+a2*1+"+a6*6,贝Ua\=,。
浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟2020-2021学年高三上学期返校联考数学试题
浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟2020-2021学年高三上学期返校联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}13A x x =-<<，集合{1,0,1,2}B =-，则AB =（ ） A ．{}13x x -<<B ．{}13x x -≤<C ．{}13x x -<≤D ．{}13x x -≤≤ 2．已知a R ∈，若()21(1)z a a i =---（i 为虚数单位）为纯虚数，则a =（ ） A ．0 B ．1 C ．1- D ．±1 3．已知等比数列{}1n a +，10a =，53a =，则3a =（ ）A ．3-B ．2-C ．1-D ．14．若双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的一条渐近线为y =，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．3BC ．2D ．35．已知空间中的三条不同直线l ，m ，n .则“l ，m ，n 两两垂直”是“l ，m ，n 不共面”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知0a >，0b >1=，则（ ）A ．b a a b ≥B ．b a a b ≤C ．12a b a b +>D ．1a b a b +< 7．已知(1,3)A -，(2,1)B -两点到直线l 的距离分别是2和3，则满足条件的直线l 共有（ ）条.A ．1B ．2C ．3D ．48．已知2012(21)n n n x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，则下列命题正确的是（ ）A ．当3n =时，不存在12k ≤≤，使得11k k k a a a -++≤B ．当3n =时，对任意12k ≤≤，都有11k k k a a a -++≤C ．当4n =时，必存在13k ≤≤，使得11k k k a a a -++>D ．当4n =时，对任意13k ≤≤，都有11k k k a a a -++>9．已知函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠的图像如图所示，则下列判断正确的个数是（ ）（1）a c b d +>+，（2）ac bd >，（3）32a b >，（4）22294a c b +>A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．设集合S ，T 中至少有两个元素，且S ，T 满足：①对任意,x y S ∈，若x y ≠，则x y T +∈②对任意,x y T ∈，若x y ≠，则x y S -∈，下列说法正确的是（ ） A ．若S 有2个元素，则S T 有4个元素 B ．若S 有2个元素，则S T 有3个元素C ．存在3个元素的集合S ，满足S T 有5个元素D ．存在3个元素的集合S ，满足S T 有4个元素二、双空题11．已知log lg100a b =，若10b =，则a =________，若2b a =+，则a =________. 12．已知2sin cos 1θθ=-，则sin θ=________，sin 2θ=________.13．已知某几何体的三视图如图所示（正视图为等腰三角形，俯视图为正方形，侧视图为直角三角形），则该几何体的最短棱长为________，最长棱长为________.14．若实数x ，y 满足约束条件31030x y x y +-≤⎧⎨--≥⎩，则3z y x =-的最大值是________，22x y +的最小值是________.三、填空题15．已知点A ，直线l 与圆224x y +=交于M ，N 两点，若AMN 的垂心恰为原点O ，则直线l 的方程是________.16．盒中有4个质地，形状完全相同的小球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球；现从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止.设此过程中黄球在第ξ次被首次取到（0ξ=表示黄球未被取到），则()E ξ=________.17．已知边长为2的等边ABC ，点M 、N 分别为边AB 、AC 所在直线上的点，且满足1MN =，则BN CM ⋅的取值范围是________.四、解答题18．在锐角ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .已知cos a B =sin 3b A =.（1）求角B 的大小；（2）求22sin cos A C +的取值范围.19．如图，在三棱台ABC DEF -中，平面ACFD ⊥平面DBC ，60ACB ∠=︒，45ACD ∠=︒，AC =AD .（1）证明：AD BC ⊥；（2）若AD =，求直线DE 与平面DBC 所成角的正弦值.20．已知数列{}n a 、{}n b 、{}n c 满足1111a b c ===，1n n n c a a +=-，()*12n n n nb c c n N b ++=⋅∈. （1）若{}n a 、{}n b 为等比数列，求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）若{}n c 为等差数列，公差0d >，证明：233111113n n b b b a a n++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+<+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+--，*n N ∈，3n ≥. 21．如图，已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>，且满足4ab =，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交x 轴于点M .（1）若点(2,1)A ，求椭圆1C 及抛物线2C 的方程；（2）若椭圆1C点A 的纵坐标记为t ，若存在直线l ，使A 为线段BM 的中点，求t 的最大值.22．若函数21()(1)ln 2F x x a x x x b =+--+，(),a b ∈R 既有极大值点1x ，又有极小值点2x .（1）求实数a 的取值范围；（2）求证：()()2121(1)214F x F x a b +<--++.参考答案1．B【分析】由集合并集的运算即可得解.【详解】 因为{}13A x x =-<<，{1,0,1,2}B =-， 所以{}13A B x x ⋃=-≤<.故选：B.【点睛】本题考查了集合的并集运算，考查了运算求解能力，属于基础题.2．C【分析】根据复数的分类和性质可得答案.【详解】若()21(1)z a a i =---（i 为虚数单位）为纯虚数， 则21010a a ⎧-=⎨-≠⎩，得1a =-，故选：C.【点睛】本题考查复数的分类和性质，属于基础题.3．D【分析】根据31a +是11a +和51a +的等比中项列方程，注意31a +与51a +同号.【详解】解：由题意得：()()()23151114a a a +=+⋅+=，由()231110a a q +=+⋅>，得312a +=，故31a =， 故选：D.【点睛】考查等比数列的有关计算，基础题.4．A【分析】根据题意可得a b =e =即可求解. 【详解】解析：由已知得：a b =3b a =，∴e == 故选：A.【点睛】本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了基本运算能力，属于基础题.5．A【分析】由平移后一定出现其中一条线垂直于另外两条线所在平面的情况，根据充分条件，必要条件的定义即可判断．【详解】若空间中的三条不同直线l ，m ，n 两两垂直，则三条直线平移后一定出现其中一条线垂直于另外两条线所在平面的情况，故l ，m ，n 一定不共面；反之若l ，m ，n 不共面，可以两两成60度角，不一定两两垂直，所以，空间中的三条不同直线l ，m ，n .则“l ，m ，n 两两垂直”是“l ，m ，n 不共面”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题借助空间的直线位置关系，考查了充分条件和必要条件，属于基础题．6．C【分析】由题意可得01a <<，01b <<，结合指数函数的图象与性质可判断A 、B ；由指数函数的图象与性质结合基本不等式可判断C ；举出反例可判断D.【详解】由题意01a <<，01b <<，对于A ，当a b <时，b a a a a b <<，故A 错误；对于B ，当a b >时，b a a a a b >>，故B 错误；对于C ，由a a a >，b b b >，222a b ⎛⎫+≤ ⎪ ⎪⎝⎭， 所以12a b +≥，12a b a b a b +>+≥，故C 正确；对于D ，取14a b ==，可得1a b a b +=>，故D 错误. 故选：C .【点睛】本题考查了指数函数图象与性质的应用，考查了基本不等式的应用及运算求解能力，属于中档题.7．C【分析】由5AB ==，直线l 可以看成分别以(1,3)A -，(2,1)B -两点为圆心，2和3为半径的圆的切线，判断两圆的位置关系即可.【详解】解析：分别以(1,3)A -，(2,1)B -为圆心，半径分别是2和3画圆，5AB ==，两圆位置关系是外切，公切线有三条，故选：C.【点晴】此题的关键是发现直线l 和两点之间的关系，充分体现了数形结合思想的强大之处. 8．C【分析】通过举反例的方法判断出A B D 错误，对于C ：当4n =时，写出4(21)x -的展开式即可判断.【详解】当3n =时，323(21)16128x x x x -=-+-+，123a a a +<，A 错；012a a a +>，B 错；当4n =时，4234(21)18243216x x x x x -=-+-+，123a a a +>，C 对；012a a a +>，D 错；故选：C .【点睛】本题主要考查了二项式定理.属于较易题.9．B【分析】对32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠求导，可得1-和0x 是()0f x '=的两个根，作出()'f x 图象，可知0a <，利用(0)00f c '>⇒>、(1)0f -<，即可判断（1）， 02(1)03b x a+-=-<，因为0a <，可知0b <，由于(0)0f d =<，即得0ac <，0bd > ，可判断（2）， 02(1)3b x a +-=-，可得02103b x a =->，结合0a <，可得32a b <，可判断（3）， 222(1)032964f a c b a c ac b '-=⇒+=⇒++=，结合0ac <，可判断（4）.【详解】2()32(0)f x ax bx c a '=++≠，由()f x 的图象知：()0f x '=的两个根为1-和0x ， ()'f x 图象为开口向下的抛物线，所以0a <，又(0)00f c '>⇒>，(1)00f a b c d a c b d -<⇒-+-+<⇒+>+，（1）正确；222(1)032964f a c b a c ac b '-=⇒+=⇒++=，又0ac <，故（4）正确；又2()32f x ax bx c '=++，02(1)3b x a +-=-，若001x <<，则203b a-<，又0a <，故0b <，进一步，由(0)f d =知0d <，则（2）不正确； 又由02(1)3b x a +-=-得：0213b x a =-，又00x >，故2103b a->，又0a <，故32a b <，则（3）不正确；综上，（1）、（4）正确，故选：B【点睛】本题主要考查了利用导数和图象研究函数的系数之间的关系，属于中档题.10．B【分析】根据定义逐一分析集合中元素特征，即可作出判断.【详解】若S 有2个元素，不妨设{},S a b =，因为T 中至少有两个元素，不妨设{},x y T ⊆由②知,x y S y x S -∈-∈,因此集合S 中的两个元素必为相反数，故可设{},S a a =-； 由①得0T ∈，由于集合T 中至少两个元素，故至少还有另外一个元素m T ∈，当集合T 有2个元素时，由得：m S -∈，则m a =±，{}0,T a =-或{}0,T a =.当集合T 有多于2个元素时，不妨设{}0,,T m n =，m ，n ，m -，n -，m n -，n m S -∈，由于m n ≠，0m ≠，0n ≠，所以m m ≠-，n n ≠-，若m n =-，则n m =-，但此时2,2m n m m m n n n -=≠-=-≠，即集合S 中至少有,,m n m n -这3个元素若m n ≠-，则 集合S 中至少有,,m n n -这3个元素都与集合S 中只有2个元素矛盾；综上，{}0,,S T a a =-，故B 正确；若S 有3个元素，不妨设{},,S a b c =，其中a b c <<；则{},,a b b c c a T +++⊆，所以c a -，c b -，b a -，a c -，b c -，a b S -∈，集合S 中至少两个不同正数，两个不同负数，即集合S 中至少4个元素，与{},,S a b c =矛盾，排除C 、D.故选：B【点睛】本题考查集合新定义，考查分析理解判断能力，属中档题.11 2；【分析】由log lg100a b =得：2b a =，代入计算即可.【详解】lg1002=，由log lg100a b =得：2b a =，0a >且1a ≠，若10b =，则a =，若2b a =+，则220a a --=，即2a =，；2.【点晴】此题考对指互化，属于简单题.12．0 0【分析】根据平方数恒为非负数以及余弦函数是有界的函数可得cos 1θ=，sin 0θ=，然后可得角度θ，最后可得结果.【详解】2sin cos 10cos 1θθθ=-≥⇒≥，故cos 1θ=，sin 0θ=，故2k θπ=，k Z ∈，∴sin 02θ=.故答案为：0，0【点睛】本题考查三角函数的有界性，审清题意，细心计算，属基础题.13．2【分析】根据三视图还原几何体的直观图，观察直观图即可得.【详解】此几何体的直观图如图所示，其中，SD ⊥面ABCD ，ABCD 为正方形，由图可知，此几何体最短棱长为2AB SD ==,最长棱长为SB ，由三视图得：SB ===故答案为：2；【点睛】此题考由三视图还原几何体的直观图，属于简单题.14．4-92【分析】根据线性约束条件作出可行域，利用z 的几何意义，即可得出结论.【详解】根据线性约束条件作出可行域如图：由3z y x =-得1133y x z =+，作0l ：13y x =，将0l 沿着可行域的方向平移，过A 时，截距最大，即z 最大，由31030x y x y +-=⎧⎨--=⎩得：51,22A ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 所以max 153422z ⎛⎫=⨯--=- ⎪⎝⎭，22x y +最小为原点到30x y --==， 所以22x y +的最小值是92， 故答案为：4-；92 【点睛】本题主要考查了线性规划问题，关键是转化为几何意义，属于中档题.1520y ++=；【分析】由垂心恰为原点O ，也为圆心，知AMN 为正三角形，直线l 的斜率与OA 斜率互为负倒数，由32AH AO =易求,()H x y ，则直线l 的方程易求. 【详解】解：OA k =，∵AMN 的垂心恰为原点O ，∴直线l 的斜率k =直线OA 与直线l 的交点记为H ，结合圆的垂径定理知AMN 为等边三角形，设,()H x y ，故()()33,1233,12AH x y AO ==---=-，得122H ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，故直线l 20y ++=20y ++=.【点睛】以直线和圆的位置关系为载体，结合三角形的性质，考查求直线方程，基础题.16．56【分析】ξ的可能取值为0，1，2，求出相应的概率，即可求出()E ξ.【详解】ξ的可能取值为0，1，2， 1111(0)4433P ξ==+⋅=，111211(2)434326P ξ==⋅+⋅⋅=， 故1(1)1(0)(2)2P P P ξξξ==-=-==； 所以1115()0123266E ξ=⋅+⋅+⋅=. 故答案为：56 【点睛】本题主要考查了求离散型随机变量的期望，属于基础题.17．313,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【分析】设AN AC λ=，AM AB μ=，求出MN ，又1MN =，得到,λμ的关系式，再求出BN CM ⋅，令x y x y λμ=+⎧⎨=-⎩，得到2811836BN CM x x ⋅=-+，求出对称轴，得到函数的单调性，即可得出结论.【详解】设AN AC λ=，AM AB μ=，则MN AC AB λμ=-，又1MN =，所以22()1MN AC AB λμ=-= 化简得：2214λμλμ+-⋅=， 另一方面，()()24()2BN CM AC AB AB AC λμλμλμ⋅=-⋅-=-++， 因为2214λμλμ+-⋅=， 令x y x y λμ=+⎧⎨=-⎩， 则22134x y +=， ()2224()2282BN CM x y x λμλμ⋅=-++=--+， 将221123x y =-代入得：2811836BN CM x x ⋅=-+， 对称轴32x =， 由22111012322x y x =-≥⇒-≤≤， 进一步知：2811836BN CM x x ⋅=-+在1122x -≤≤上单调递减， 所以BN CM ⋅的取值范围是313,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故答案为：313,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查了平面数量积的计算，考查向量数量积公式的应用，属于中档题.18．（1）3B π=；（2）17,44⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【分析】（1）根据正弦定理以及sin 3b A =可得sin 3a B =，结合cos a B =tan B =，3B π=；（2）将22sin cos A C +32cos 214C C ++，根据锐角三角形可得62C ππ<<，可得sin(2)3C π<+<22sin cos A C +的取值范围是17,44⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【详解】（1）由正弦定理知：sin sin 3b A a B ==①又由已知条件：cos a B =由①②知：tan B =因为0B π<<，∴3B π=.（2）221cos 21cos 2sin cos 22A C A C -++=+ 11cos 2cos 2122C A =-+ 11cos 2cos 21223C C ππ⎡⎤⎛⎫=---+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 112cos 2cos 21223C C π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭ 1122cos 2(cos cos 2sin sin 2)12233C C C ππ=--+32cos 214C C =++213C π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. ∵ABC 是锐角三角形，所以022032C A C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩，∴62C ππ<<， ∴242333C πππ<+<，所以sin(2)3C π<+<，∴2123C π⎛⎫++ ⎪⎝⎭的取值范围是17,44⎛⎫ ⎪⎝⎭， 即22sin cos A C +的取值范围是17,44⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了正弦定理，考查了降幂公式，考查了两角和的余弦公式，属于中档题. 19．（1）证明见解析；（2. 【分析】（1）由余弦定理知求出DC =，从而可得AD DC ⊥，再利用面面垂直的性质定理可得AD ⊥平面DBC ，进而可得AD BC ⊥.（2）方法一：直线DE 与平面DBC 所成角即为直线AB 与平面DBC 所成角，由（1）可得ABD ∠为所求角，在ABC 中，利用余弦定理可得AB =，在ADB △中即可求解；方法二：以A 点为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可求解.【详解】（1）证明：设AD =，则AC 2a =，又45ACD ∠=︒，由余弦定理知：DC =.由勾股定理的逆定理知：AD DC ⊥，又平面ACFD ⊥平面DBC ，平面ACFD 平面DBC DC =，AD ⊂平面ACFD ，∴AD ⊥平面DBC ，∵BC ⊂平面DBC ，∴AD BC ⊥.（2）方法一：解：直线DE 与平面DBC 所成角即为直线AB 与平面DBC 所成角，由（1）知∴AD ⊥平面DBC ，∴ABD ∠为所求角.AD =，则BC a =，又AC 2a =，60ACB ∠=︒，由余弦定理知：AB =， ∴在直角三角形ADB中，sin AD ABD AB ∠===， （2）方法二：解：令AD =，则BC a =，又AC 2a =，60ACB ∠=︒，由余弦定理知：AB =， ∴222AB BC AC +=，∴AB BC ⊥，∴AD ⊥平面DBC ，∴AD BD ⊥，∴BD a ==，如图，以A 点为原点，建立空间直角坐标系(0,2,0)C a，3,,022B a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，(0,0,0)A ， 设点D 为(),,x y z，则2222222222222222(2)2322AD x y z a AC x y a z a DB x a y a z a ⎧⎪⎪=++=⎪=+-+=⎨⎪⎛⎫⎛⎫⎪=-+-+= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩得到：,,33D a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.∴31,,022CB a a ⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭，∴3,,33CD a a a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， 设平面BCD 的法向量为()111,,n x y z=11111310223033n CB ay n CD ax ayaz ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩， 得到(1,3,n =，又33,,022AB a a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭， ∴||23sin 3||||32AB n a AB n a θ⋅===. 【点睛】本题考查了面面垂直的性质定理、定义法求线面角、空间向量法求线面角，考查了考生的计算能力，属于基础题.20．（1）12n na ；14n nb -=；（2）证明见解析. 【分析】（1）由121c a a =-可求出22a =，进而求出{}n a 的公比，得出{}n a 的通项公式，由2311b c c b =⋅可求出322114c b q b c ===，得出{}n b 的通项公式； （2）由()*12n n n n b c c n N b ++=⋅∈得12n n n n b c b c ++=，利用累乘法求出12n n n c c b c +=，进而得出211n n n c b c c +=，再利用裂项相消法求出2232111111n n c b b b d c c +⎛⎫++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=- ⎪⎝⎭，后用放缩法得到22232121111111n n c c b b b d c c d c d+⎛⎫++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=-<⋅= ⎪⎝⎭，再利用1n n n c a a +=-，用累加法求出n a ，证明31113n a a n d+⋅⋅⋅+≥--即可. 【详解】解：（1）∵1n n n c a a +=-，令1n =，∴121c a a =-，∴22a =， 由{}n a 为等比数列，∴2112a q a ==， ∴11112n n n a a q --==，令2n =，∴232422c a a =-=-=， 令3n =，∴343844c a a =-=-=， ∵12n n n nb c c b ++=⋅，令1n =， ∵2311b c c b =⋅，∴322114c bq b c ===， ∴11124n n n b b q --==.（2）证明：12n n n nb c c b ++=⋅，∴12n n n n b cb c ++=，令1n =，∴3211c b b c =； 令 2n =，∴3422b c b c =；∴111n n n n b c b c +--=， 将以上各式相乘，得：12n n n c c b c +=， ∴2211111n n n n n c c b c c d c c ++⎛⎫==- ⎪⎝⎭， ∴2232111111n n c b b b d c c +⎛⎫++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=- ⎪⎝⎭， ∵11c =公差0d >，∴10n c +>，∴22232121111111n n c c b b b d c c d c d+⎛⎫++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=-<⋅= ⎪⎝⎭，∵1n n n c a a +=-，且1(1)n c n d =+-，∴()()12111211(1)(2)112n n n n n n n a a a a a a c c c a n d -----=-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅=++++-+=∴(2)(1)2n n n a n d --=+，显然3n ≥时，0n a n ->，∴33111133n a a n a d+⋅⋅⋅+≥=---， ∴3n ≥，n *∈N 时，233111113n n b b b a a n++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+<+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+--. 【点晴】此题考数列求和方法的综合运用，关键是合理利用数列{}n c ，找到{}n a 、{}n b 与{}n c 的关系，运用放缩法完成证明，属于难题.21．（1）1C 的方程为：22182x y +=；22:2x C y =；（2）2. 【分析】（1）点(2,1)A 代入椭圆1C 与4ab =联解及抛物线2C 的方程得解； （2）由椭圆1C4ab =联解求得椭圆方程，设(,0)M m ，直线l 的方程为：x y m λ=+，与椭圆1C 方程联解及A 为线段BM 的中点，且点A 的纵坐标为t ，得22B A y y t ==，再利用根与系数关系化简得2222642(36)(4)t λλλ=++再分离变量得解.【详解】解：（1）点(2,1)A 在抛物线22:2(0)C y px p =>上，代入得14p =，14p =，故抛物线22:2x C y =.点(2,1)A 在椭圆1C 上，故22411a b+=，又4ab =，0a b >>，故：a =b =椭圆1C 的方程为：22182x y +=.（2）椭圆1C的离心率为2，故2c a =，又c a =12b a =.又4ab =，0a b >>，故：a =b =椭圆1C 的方程为：22182x y +=.设(,0)M m ，直线l 的方程为：x y m λ=+，联立椭圆1C 方程得：22182x y m x y λ=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，代入化简得：222(4)280y m y m λλ+++-=，224A B m y y λλ+=-+，2284A B m y y λ-⋅=+，222222Δ44(4)(8)6432160m m m λλλ=-+-=+->，由于A 为线段BM 的中点，且点A 的纵坐标为t ， 故22B A y y t ==，得：2234m t λλ=-+，222824m t λ-=+，消t 得：22272(4)36m λλ+=+，代入222824m t λ-=+得：2222642(36)(4)t λλλ=++， 又222226464641144(36)(4)402440λλλλλ=≤=+++++， 所以212t t ≤⇒的最大值为2，当212λ=，m =时，t 取到最大值. 【点睛】本题考查圆锥曲线方程及直线与圆锥曲线位置关系求参数最值，属于较难题. 22．（1）1a >；（2）证明见解析. 【分析】（1）两次求导可知()F x '在(0,1)递减，在(1,)+∞递增，从而判断(1)0F '<，即可得出a 的范围；（2）不等式等价于()()2221212(1)2a x x x x -++-<-，根据极值点关系可得只需证明22212123(1)4(1)ln 2ln 2ln 0a a x x x x -+-++>即可，通过证明∆<0即可.【详解】 （1）()ln F x x x a =-'-，11()1x F x x x-''∴=-= ()F x '在(0,1)递减，在(1,)+∞递增，且当0x →时，()F x ∞'→+，当x →+∞时，()F x ∞'→+， ∴(1)0F '<时()F x 有两个极值点，10a ∴-<，解得1a >.（2）要证()()2121(1)214F x F x a b +<--++， 即证()()()22121211221(1)ln ln 22x x a x x x x x x b ++-+-++21(1)214a b <--++， 即证()()()222221212112211(1)(1)124x x a x x x ax x ax a ++-+--+-<--+， 即证()()222121211(1)124x x x x a -+++<--+，即证()()2221212(1)244a x x x x -<+-++，即证()()2221212(1)2a x x x x -++-<-， 由（1）可知1122ln 0,ln 0x x a x x a --=--=，12122ln ln 22x x x x a ∴+-=++-，1212ln ln x x x x -=-，∴()()2221212(1)2a x x x x -++-<-等价于2(1)a -[]()221212ln ln 2(1)ln ln x x a x x <++-+-整理得22212123(1)4(1)ln 2ln 2ln 0a a x x x x -+-++>， 只需证明22212123(1)4(1)ln 2ln 2ln 0a a x x x x -+-++>即可，由于()()2221212Δ16ln ln 24ln ln x x x x =+-+，又1201x x <<<，∴()221212Δ32ln ln 8ln ln 0x x x x =-+<， ∴22212123(1)4(1)ln 2ln 2ln 0a a x x x x ---++>恒成立，得证.【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值点，利用导数证明不等式，属于较难题.。
浙江省“七彩阳光”2025届高考仿真模拟数学试卷含解析
浙江省“七彩阳光”2025届高考仿真模拟数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集，，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知命题p ：若1a >，1b c >>，则log log b c a a <；命题q ：()00,x ∃+∞，使得0302log x x <”，则以下命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．()p q ∧⌝C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝3．已知(),A A A x y 是圆心为坐标原点O ，半径为1的圆上的任意一点，将射线OA 绕点O 逆时针旋转23π到OB 交圆于点(),B B B x y ，则2AB yy +的最大值为（ ）A ．3B ．2C ．3D ．54．定义在上的函数满足，且为奇函数，则的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．5．两圆()224x a y ++=和()221x y b +-=相外切，且0ab ≠，则2222a b a b+的最大值为（ ） A ．94B ．9C ．13D ．16．已知复数z 满足()()5z i i --=，则z =（ ） A ．6iB ．6i -C ．6-D ．67．某四棱锥的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ）A ．8B ．83C ．4D ．438．若复数211iz i=++（i 为虚数单位），则z 的共轭复数的模为（ ） A ．52B ．4C ．2D ．59．棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -内有一个内切球O ，过正方体中两条异面直线AB ，11A D 的中点,P Q 作直线，则该直线被球面截在球内的线段的长为（ ） A ．22B ．21-C ．2D ．110．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0n a >，1q >，3520a a +=，2664a a =，则5S =（ ） A ．48B ．36C ．42D ．3111．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、M 分别是AB 、AD 、1AA 的中点，又P 、Q 分别在线段11A B 、11A D 上，且11(0)A P AQ m m a ==<<，设平面MEF 平面MPQ l =，则下列结论中不成立的是（ ）A ．//l 平面11BDDB B ．l MC ⊥C ．当2am =时，平面MPQ MEF ⊥ D ．当m 变化时，直线l 的位置不变12．在5678(1)(1)(1)(1)x x x x -+-+-+-的展开式中，含3x 的项的系数是（ ）A ．74B ．121C ．74-D ．121-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
浙江省七彩阳光联联盟2023-2024学年高三下学期开学考试数学试题答案
2023学年第二学期浙江七彩阳光新高考研究联盟返校考高三数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
8.提示：由题意易得0>n a ，由n a a a n n n +=++212得21211112=≥>+=+++++a a a a a a n n n n n n n n ，所以A 正确；且1122112−−−−>⋅=n n n n n n a a a a a a a ，所以10231222110910=−=+++> S ，故C 错误； 由上面知}{n a 也是递增数列，所以2222221++++<=+n n n n n a a a a n a，即22122121222n n n n n n a a n a a a a −>+−>−++++，所以B 正确；由 上得121111112222−+−++++++=⋅+<+=n n n n n n n n n n n n n na a n a a a a n a a a a ，累加得 )2(212322213253121≥−+++++<−+n n a a a a n n n , 用错位相减法可求得)2(29139821232221323253≥⋅+−=−++++−−n n n n n , 所以32913982321<⋅+−+=−+n n n n a a ，故D 正确． 二、多项选择题：本题共3小题。
每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合分，部分选对的得部分分，有选错的得11.提示：由得，所以)()(y x f x y f −−=−，故)(x f 是奇函数，所以A 正确；由)()()()()(y x g y f x f y g x g −=−得)()()()()(x y g x f y f x g y g −=−， 所以)()(y x g x y g −=−，故)(x g 是偶函数，所以B 正确；由题意得)()()()()()()()()()(y f x f y g x g x g y f y g x f y x g y x f +−−=−−−)]()([)]()([x g x f y g y f −⋅+=，令1=y 得)]()()][1()1([)1()1(x g x f g f x g x f −+=−−− 由)(x f 是奇函数得0)0(=f ，且)0()]0([)]0([22g f g =−，0)0(≠g ，解得1)0(=g 当1)1()1(=+g f 时，1)]0()0([)100()100(−=−=−g f g f ，所以C 错误． 由题意得)()()()()()()()()()(y f x f y g x g x g y f y g x f y x g y x f −+−=−+−)]()([)]()([x g x f y f y g +⋅−=，令1=y 得)]()()][1()1([)1()1(x g x f f g x g x f +−=−+− 当1)1()1(=−g f 时，1)]0()0([)1()100()100(100=+−=+g f g f ，所以D 正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．32；13．]3,23[−；14．66；14．提示：设O 是正四面体ABCD 内切球的球心，由体积法可求正四面体ABCD 的内切球半径为126，正四面体ABCD 的外接球半径为46，则 22222222PDPC PB PA PD PC PB PA +++=+++2222)()()()(OD PO OC PO OB PO OA PO +++++++=224)(24OA OD OC OB OA PO PO +++++=35234)46(404222=+=++=PO PO ，即126=PO ， 所以P 是正四面体ABCD 内切球上一点，故PA 的最小值为6612646=−=−PA OA ． 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
浙江省七彩阳光新高考研究联盟2024-2025学年高三上学期返校联考数学试题含答案
2024学年第一学期浙江省七彩阳光新高考研究联盟返校联考高三数学试题（答案在最后）考生须知：1.本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号.3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题卷.选择题部分一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1.已知集合{}{}22,1,0,1,2,21A B x x x =--=->∣，则A B = （）A.{}2,1-- B.{}2,1,0-- C.{}2,1,2-- D.{}2,2-【答案】A 【解析】【分析】先化简集合B ,再求交集.【详解】解一元二次不等式221x x ->,得1x <或1x >所以{|1B x x =<-或1x >+.因为{}2,1,0,1,2A =--,所以{}2,1A B ⋂=--.故选：A.2.已知复数z 满足()1i 2i z +=-，则z z ⋅=（）A.254B.2516 C.54D.52【答案】D 【解析】【分析】根据复数的除法运算化简复数，即可根据复数的性质结合模长公式求解.【详解】由()1i 2i z +=-可得()()()()2i 1i 2i 13i1+i 1+i 1i 2z ----===-，所以222135222z z z ⎛⎫⎛⎫⋅==+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：D3.已知向量()(),1,1,a x b x ==，若()a b b +⊥ ，则x =（）A.1B.2C.1- D.2-【答案】C 【解析】【分析】利用向量数量积的坐标表示解方程即可得出结果.【详解】易知()1,1a b x x +=++，由()a b b +⊥ 可得()()()1110a b b x x x +⋅=⨯+++=，即2210x x ++=，解得1x =-故选：C4.将函数()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上所有的点向左平移π12个单位长度，再把所有点的纵坐标变为原来的12后，得到函数()g x 的图象.则π12g ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A.B.2C.12D.1【答案】C 【解析】【分析】结合三角函数图象变换结论求()g x 的解析式，再求π12g ⎛⎫⎪⎝⎭.【详解】将函数()π2sin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭图象上所有的点向左平移π12个单位长度，可得函数ππ2sin 22sin 266y x x ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭的图象，将函数2sin 2y x =图象上所有点的纵坐标变为原来的12，横坐标不变，可得函数sin 2y x =的图象，所以()sin 2g x x =，故ππ1sin 1262g ⎛⎫== ⎪⎝⎭.故选：C.5.身体质量指数，简称体质指数，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准.该指标是通过体重（kg ）除以身高（m ）的平方计算得来.这个公式所得比值在一定程度可以反映人体密度.一般情况下，我国成年人的身体质量指数在18.523.9~内属正常范围.已知,,A B C 三人的体质指数的平均值为20，方差为3.,D E 两人的体质指数分别为18和22.则这5人的体质指数的方差为（）A.175B.145C.173 D.143【答案】A 【解析】【分析】根据方差的计算公式即可求解.【详解】由于,,A B C 三人的体质指数的平均值为20，方差为3，故()()()22220202033A B C -+-+-=,则()()()2222020209A B C -+-+-=，由于182********2055A B C ++++⨯++==,故5个人的体质指数的平均数为20，故()()()()()222222020201820222094417555A B C -+-+-+-+-++==，故方差为175故选：A6.已知,A B 为抛物线24x y =上的动点，()00,P x y 为AB 中点，若6AB =，则0y 的最小值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】根据抛物线的定义，结合三点共线，即可求解.【详解】如图，F 为抛物线焦点，作AC m ⊥，PN m ⊥，BD m ⊥，连接AF ，BF ，其中m 为准线，由抛物线定义知，26PN AC BD AF BF AB =+=+≥=，所以||3PN ≥，当且仅当F 在AB 上时，等号成立，则点P 到x 轴的最小距离是2，故0y 的最小值为2，故选：B7.将若干个除颜色外完全相同的红色小球和黑色小球排成一列，要求所有的红球互不相邻，当小球的总数为8时，满足条件的不同排列方法的总数之和为（）A.20 B.36 C.54 D.108【答案】C 【解析】【分析】根据题意可知最多有4个红球，因此根据红球个数进行讨论即可，不相邻问题用“插空法”.【详解】8个除颜色外完全相同的球，要使红球互不相邻，则最多有4个红球，根据红球个数分类讨论:1个红球7个黑球：先排7个黑球共有1中排法，从8个空里面选出1个空让红球插入，有18C 8=种选法;2个红球6个黑球：先排6个黑球共有1中排法，从7个空里面选出2个空让红球插入，有27C 21=种选法;3个红球5个黑球：先排5个黑球共有1中排法，从6个空里面选出3个空让红球插入，有36C 20=种选法;4个红球4个黑球：先排4个黑球共有1中排法，从5个空里面选出4个空让红球插入，有45C 5=种选法;所以满足条件的不同排列方法的总数之和为82120554+++=.故选：C.8.已知函数()()()2ln 222,1,ln 22,1x x x f x a x bx c x ⎧-+>⎪=⎨-+++<⎪⎩，若对()()1,2x f x f x ∀≠-=-恒成立，则abc =（）A.16- B.16C.4- D.4【答案】B 【解析】【分析】()()1,2x f x f x ∀≠-=-分别代入解析式，求出,,a b c 即可.【详解】当1,21x x >-<，则()(2ln(22)2)2ln(22)2f x x x x x -=--+=---，(2)ln(2()2)(2)ln(22)2f x a x x b x c a x b bx c -=--++-+=-++-+，由于()()1,2x f x f x ∀≠-=-，则2,2,20a b b c =-=+=，则4c =-；经检验适合题意.故16abc =.故选：B二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.）9.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且公差15180,224d a a ≠+=.则以下结论正确的是（）A.168a =B.若910S S =，则43d =C.若2d =-，则n S 的最大值为21SD.若151618,,a a a 成等比数列，则4d =【答案】ABD 【解析】【分析】根据等差数列的性质即可结合选项逐一求解.【详解】由1518224a a +=可得()112141724a d a d +++=，故1158a d +=，所以168a =，故A 正确，由910S S =可得101606a a d ==-，故43d =，故B 正确，若2d =-，则201640a a d =+=，且单调递减，故n S 的最大值为20S 或19S ，故C 错误，若151618,,a a a 成等比数列，则16161518a a a a ⋅=，即()()64882d d =-+，解得4d =或0d =（舍去），D 正确，故选：ABD10.已知0a >，函数()1ln 1x f x ax x -+=++，()()211ag x a x x =--+.则以下结论正确的是（）A.()f x 为偶函数B.()g x 的图象关于点()1,2a --对称C.当02a <<时，()f x 在其定义域上单调递增D.当1e>a 时，方程()()f x g x =无实根【答案】BD 【解析】【分析】根据奇函数，偶函数的定义判断A ，证明函数()12g x a -+为奇函数，结合函数图象变换结论判断B ，计算可得()102f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭排除C ，化简方程()()f x g x =可得()11ln 11a x x x x --=++，令11x t x -=+，可得ln t a t =，利用导数判断()ln th t t=的单调性求其最值，判断D.【详解】函数()1ln 1x f x ax x -+=++的定义域为−1,1，故函数()f x 的定义域关于原点对称，又()()1ln 1x f x a x x +-=-+-+，所以()()11lnln 011x x f x f x x x -+++-=+=+-+，即−=−，所以函数()f x 为奇函数，不是偶函数，A 错误；因为()()211ag x a x x =--+，函数()g x 的定义域为{}1x x ≠-，所以()()221222a a g x a a x a ax x x-+=--+=+，函数()12g x a -+的定义域为{}0x x ≠，所以函数()12g x a -+的定义域关于原点对称，且()212ag x a ax x--+=--，所以()()12120g x a g x a -++--+=，故函数()12g x a -+为奇函数，即函数()12g x a -+的图象关于原点对称，所以函数()g x 的图象关于点()1,2a --对称，B 正确；因为()00ln10f =+=，11ln ln 32232aa f ⎛⎫=+=-⎪⎝⎭，又02a <<，01ln 32a<<<，故102f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以()102f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以()f x 在其定义域上不可能为单调递增函数，C 错误；方程()()f x g x =，可化为()12ln 111x aax a x x x -++=--++，且11x -<<，所以()11ln11a x x x x --=++，且11x -<<，令11x t x -=+，则0t >，则ln t at =，所以ln ta t=，令()ln t h t t =，则()21ln th t t -'=，所以t e >时，()0h t '<，函数()h t 在区间()e,+∞上单调递减，当0e t <<时，()0h t '>，函数()h t 在区间()0,e 上单调递增，所以当e t =时，函数()h t 取最大值，最大值为1e，所以当1e>a 时，方程ln ta t =无解，故当1e>a 时，方程()()f x g x =无实根，D 正确.故选：BD .11.已知双曲线22:14x C y -=的左､右焦点分别为12,F F ，过坐标原点O 的直线l 与双曲线C 的左､右两支分别交于,A B 两点，P 为C 的右支上一点（异于点B ），12PF F 的内切圆圆心为N .则以下结论正确的是（）A.直线PA 与PB 的斜率之积为4B.若124PF PF ⋅=，则12π3F PF ∠=C.以1PF 为直径的圆与圆224x y +=相切D.若120PF PF ⋅=，则点N 坐标为(【答案】BCD 【解析】【分析】由题意设点1(A x ,1)y ，1(B x -,1)y -，0(P x ,0)y ，把点A ，B 坐标代入双曲线的方程，两式相减得PA PB k k ⋅，即可判断A ；利用余弦定理，结合；记2||PF t =，则双曲线定义即可判断B ，由于12PF PF ⊥，利用勾股定理以及双曲线定义，结合等面积法进而可求内切圆半径，利用切线长的性质即可求解C ；画出图形，利用M 是线段1PF 的中点，结合双曲线的性质以及定义，转化推出以1PF 为直径的圆与圆224x y +=的位置关系即可判断D ．【详解】设点1(A x ,1)y ，1(B x -,1)y -，0(P x ,00)()y x a ≥，则221114x y -=且220014x y -=，两式相减得222201014x x y y -=-，∴2201220114y y x x -=-，220101012201010114PA PBy y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅==-+-，故A 错误，由于12|||4PF PF -=，124PF PF ⋅=，若12π3F PF ∠=，由余弦定理可得()2222212121212121212(2)2cos (2)22cos c PF PF PF PF F PF c PF PF PFPF PF PF F PF =+-⨯∠⇒=-+⨯-⨯∠，解得121cos 2F PF ∠=，由于()120,πF PF ∠∈，故12π3F PF ∠=，故B 正确，P 在双曲线右支上，12||||24PF PF a ∴-==，M 是线段1PF 的中点，111||||||2MF PM PF ∴==，O 是线段12F F 的中点，21||||2MO PF ∴=，∴1211|||222PF PF a -==，1||||2MF OM ∴-=，1||||2OM MF ∴=-，即圆心距等于两圆的半径之差，∴以线段1PF 为直径的圆与圆224x y +=的位置关系是内切，故C正确．记2||PF t =，则1||4PF t =+，12PF PF ⊥ ，222(4)44(41)20t t c ∴++==+=，解得2t =或2t =-（舍去），1||2PF ∴=+12PF F的面积为1211||||2)122PF PF =-+=，设三角12PF F 的内切圆半径为r，则1(2212⨯+-+=，所以r =-，设圆N 与12PF F 三边相切于,,M Q T ，则1122,,,FT F M F T F Q PM PQ ===设1,FT x =则1122,2,FT F M x F T F Q c x ====-故()222PM x PQ c x =+==--，解得2x c =+，所以2OT =,故(N -,D 正确，故选：BCD．非选择题部分三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12.在72x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，3x 的系数为__________.【答案】84【解析】【分析】利用二项展开式的通项令72r 3-=即可求得3x 的系数.【详解】设展开式的第1r -项772772C 2C rrrr r rx xx --⎛⎫= ⎪⎝⎭含有3x 项，令72r 3-=，解得2r =，所以223372C 84x x =，即3x 的系数为84.故答案为：8413.若曲线e x a y +=过坐标原点的切线与圆22(1)(1)2x y -++=相切，则实数a =__________.【答案】1-【解析】【分析】首先,我们需要求出曲线e x a y +=过坐标原点的切线方程。
浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟2021-2022学年高三上学期返校考试数学试题
浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟2021-2022学年高三上学期返校考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}|1A x x =，集合{}2|320B x x x =++=，则A B =（ ）A ．空集B ．(,1]-∞C ．(2,1)--D ．{2,1}--2．复数2021i 的虚部是（ ） A ．iB ．i -C ．1D ．-13．已知直线1l ：1mx y -=与直线2l ：10x my --=相互垂直，则实数m 的值是（ ） A ．0B ．1C ．-1D ．±14．已知α，β，γ是三个不同的平面，m αβ=，n βγ=.则下列命题成立的是（ ）A ．若//m n ，则//αγB ．若//αγ，则//m nC ．若m n ⊥，则αγ⊥D ．若αγ⊥，则m n ⊥5．如图所示为学生常用的等腰直角三角形三角板，图中，ABC ，A B C '''均为等腰直角三角形，直角边长度分别为和，两斜边距离为1cm .现将该三角板绕斜边BC 进行旋转，则图中阴影部分形成的几何体体积是（ ）（单位3cm ）A ．144πB ．126πC ．108πD ．102π6．函数()2ln 1cos x y x+=的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．7．如图，在梯形ABCD 中，2AB DC =，E ，F 是DC 的两个三等分点，G ，H 是AB 的两个三等分点，AC 分别交EG ，FH 于M ，N ，若MN AC λ=，则实数λ的值是（ ）A ．310 B ．13C ．25D ．128．已知a ，b ∈R ，则“||0a b +≥”是“函数()|1||1|f x a x b x =++-存在最小值”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．即不充分也不必要条件9．已知双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的两条渐近线为1l ，2l ，若双曲线C 的右支上存在一点P ，使得点P 到1l ，2l 的距离之和为b ，则双曲线C 离心率的取值范围是（ ）A ．)+∞B ．C ．[2,)+∞D ．(1,2]10．设ln1.01a =， 1.0130b e =，1101c =，（其中自然对数的底数 2.71828e =）则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．c a b <<二、双空题11．已知角α的终边经过点P ，则cos α=___________，πcos 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭___________.12．已知k ∈R ，若直线l ：1y kx =+被圆22230x x y -+-=所截，则截得的弦长最短为___________.，此时直线l 的方程为___________. 13．已知多项式()32260126(12)1x x x a a x a x a x -+++=++++，则1a =________，23456a a a a a ++++=___________.14．抛掷三枚质地均匀的硬币，则事件“恰好有两枚硬币正面朝上”的概率为___________，记正面朝上的硬币枚数为随机变量ξ，则ξ的数学期望是___________.三、填空题15．若2log 3a =，22log log 1a b +=，则3b =___________.16．设ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C .若ABC 2，则23b a c a b ab+-的最小值是___________. 17．已知平面向量a ，b ，c 满足221a b +=，||||c a a b b =+，且2||2c ≤，则当||||a b 取到最小值时，222a b c -+=___________.四、解答题18．已知函数()sin f x x x =. （1）求函数2[()]y f x =的单调递增区间；（2）若函数π()3y f x f x m ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭（m ∈R ）在[0,π]上有两个零点，求m 的取值范围.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PB AD ⊥，PBD △为等边三角形.（1）求证：PA ⊥平面ABCD ；（2）若M 为棱PA 的中点，求直线CM 与平面PBD 所成角的正弦值.20．已知数列{}n a 的前n 项积为n T ，112a =，且对一切*n ∈N 均有11n n n n a a T T ++-=-. （1）求证：数列1n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列1n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，求证：ln 1n n S T +>.21．如图，已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为()1,0F ，D 为x 轴上位于F 右侧的点，点A 为抛物线C 在第一象限上的一点，且AF DF =，分别延长线段AF 、AD 交抛物线C 于M 、N .（1）若AM MN ⊥，求直线AF 的斜率； （2）求三角形AMN 面积的最小值.22．已知a ∈R ，()ax f x x e -=⋅，（其中e 为自然对数的底数）. （1）求函数()y f x =的单调区间；（2）若0a >，函数()y f x a =-有两个零点x ，2x ，求证：22122x x e +>.参考答案1．D 【分析】化简结合B ，利用交集的定义求A B . 【详解】∵ 方程2320x x ++=的解集为{1,2}--， ∴ B={1,2}--，又{|1}A x x =≤， ∴ {1,2}A B =--， 故选：D. 2．C 【分析】利用复数的i 的性质进行运算求解即可 【详解】 ()101020212i i i i =⋅=，所以虚部为1故答案选：C 3．A 【分析】根据直线1l ：1mx y -=与直线2l ：10x my --=相互垂直，列出方程，从而可得答案. 【详解】解：因为直线1l ：1mx y -=与直线2l ：10x my --=相互垂直， 所以0m m +=，解得0m =. 故答案为：A. 4．B 【分析】根据线面以及面面关系，逐项分析判断即可得解. 【详解】对A ，平面α和γ可以相交，对B ，根据定理，一个平面和另外两个平行平面相交，则交线平行，故B 正确； 对C ，平面内的一条直线和令一个平面内的一条直线垂直，不能证明线面垂直，即不能证明面面垂直，故C 错误，对D ，若两个面垂直，第三个平面和该两个面相交，交线并不一定垂直，故D 错误. 故选：B 5．C 【分析】由等腰三角形性质和旋转可知：阴影部分形成的体积为大的三棱锥体积1V 减去挖空部分2V . 【详解】阴影部分形成的体积为大的三棱锥体积1V 减去挖空部分2V ，1136π12144π3V =⨯⨯=，()22221π14432π1642π6π36π3V =⨯⨯++⨯⨯-⨯⨯=-=12108πV V V =-=.故选：C 6．A 【分析】从图像利用排除法进行求解：先分析奇偶性，排除B ；计算()00f =排除C ；根据0x +→时，()0f x >；排除D. 即可得到答案. 【详解】 对于()()2ln 1cos x f x x+=，定义域为|,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭关于原点对称.因为()()()()()()22ln 1ln 1cos cos x x f x f x x x+-+-===-，所以()f x 是偶函数，排除B. 当0x =时，()2ln 1000cos01y +===，排除C ； 当0x +→时，()2ln 10x +>，cos 0x >，()0f x >；排除D.故选：A. 7．A 【分析】由梯形ABCD 中，2AB DC =，知CEM AGM ，可得CM AM =，同理CFN ABN ，可得14CM MN CM MN -=+，化简得35MN CM =，进而得310MN AC =，即可得解.【详解】在梯形ABCD 中，2AB DC =，CEMAGM ∴又E ，F 是DC 的两个三等分点，G ，H 是AB 的两个三等分点，23113CDCM CE AM AG AB∴===，即CM AM = 同理知CFNABN ，113243CDCN CF AN AH AB ∴===，即14CM MN CM MN -=+， 整理得35MN CM =，则310MN AC =，即310MN AC = 所以实数λ的值是310故选：A 【点睛】思路点睛：本题考查向量的数乘运算，解题时利用几何性质得到三角形相似，从而得到线段比例关系，从而得到向量的关系，考查学生的数形结合思想与运算求解能力，属于较难题. 8．C 【分析】由题意()f x 是连续的函数，可得在[11]-，内必有最大值和最小值，只考虑1x ≤-或1≥x 时()f x 有最小值，进而求出0a b +≥，结合0a b +≥和0a b +≥的关系即可得出答案. 【详解】因为()f x 是连续的函数，所以在[11]-，内必有最大值和最小值， 所以只需考虑1x ≤-或1≥x 时是否有最小值即可.由题意得，()1()()11()1a b x b a x f x a b x a b x a b x a b x -++-≤-⎧⎪=-++-<<⎨⎪++-≥⎩，，，， 若()f x 有最小值，则当1≥x 时必有0a b +≥，否则()f x 单调递减，无最小值； 同理，当1x ≤-时必有()0a b -+≤即0a b +≥，否则()f x 单调递增，无最小值， 所以()f x 存在最小值⇒0a b +≥，又0a b +≥是0a b +≥的必要不充分条件，所以0a b +≥是“()f x 存在最小值”的必要不充分条件. 故选：C 9．C 【分析】设()00,P x y ，求出两条渐近线方程，根据点到直线的距离公式求出点P 到1l ，2l 的距离之和，再根据点P 到1l ，2l 的距离之和为b ，化简整理结合0x a ≥即可求出答案. 【详解】解：两条渐近线方程为：by x a=±，设()00,P x y ，则点P 到1l ，2l 的距离之和为12d d b +=P 在双曲线C 的右支上一点，故000bx ay +>，000bx ay ->， 所以0122bx d d b c +==，所以02cx a =≥， 所以2ca≥，即双曲线C 离心率的取值范围是[2,)+∞ 故选：C. 10．D 【分析】利用导数证得ln 1≤-x x ，由此先比较,a c ，然后比较,a b ，从而得出正确结论. 【详解】构造函数()()ln 10f x x x x =-+>，()10f =，()'111x f x x x-=-=，所以()f x 在()0,1上()()'0,f x f x >递增，在()1,+∞上()()'0,f x f x <递减，所以()()10f x f ≤=，即ln 1≤-x x .令 1.01x =，则ln a x =，30x b e =，11c x=-，考虑到ln 1≤-x x ，可得11ln 1x x =-，即1ln 1x x -≤-，化简得1ln 1x x≥-等号当且仅当1x =时取到，故 1.01x =时a c >，排除A ，B .下面比较a ，b 大小，由ln 1≤-x x 得， 1.01ln1.010.0130e<<，故b a >.所以c a b <<. 故选:D11．12【分析】由任意角的三角函数的定义以及余弦的两角差公式求解即可. 【详解】由任意角的三角函数的定义可知1cos2α==， sin α=πcos sin )4ααα⎛⎫-=+=⎪⎝⎭;故答案为：①12；12． 1y x =+ 【分析】判断出直线l 所过定点，结合圆的几何性质求得最短弦长，求得k 进而求得直线l 的方程. 【详解】圆22230x x y -+-=的标准方程为()22212x y -+=， 所以圆心为()1,0O ，半径为2r .直线:1l y kx =+过定点()0,1P .故OP =当l OP ⊥时，则截得的弦长最短，且最短弦长为=1OP k =-，所以1k =，所以直线l 的方程为1y x =+.故答案为：1y x =+ 13．1 23 【分析】利用赋值法，令1x =，得出0126a a a a ++++，令0x =时，求出0a ，再根据二项展开式的通项公式求出1a ，从而可求得结果. 【详解】根据题意，令1x =时，则()30126(1216112)a a a a -+++=+++=+，令0x =时，0112a =+=，由于()32260126(12)1x x x a a x a x a x -+++=++++，1a 为展开式中x 项的系数，考虑一次项系数：1221322C C 11a =-+⨯=所以23456261223a a a a a ++++=--=， 故答案为：1，23. 【点睛】关键点点睛：本题考查二项式定理的应用和二项展开式的通项公式，利用赋值法解决项的系数问题是解题的关键，考查学生的化简运算能力，属于较难题. 14．3832【分析】硬币每次正面朝上的概率都为12，结合二项分布的概念和性质即可得出结果. 【详解】由题意知，硬币每次正面朝上的概率都为12，ξ服从二项分布132B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，所以P (恰好有两枚硬币正面朝上)=223113C 228⎛⎫⎛⎫⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，13()322E ξ=⨯=.故答案为：①38，②3215．4 【分析】根据对数的运算性质、换底公式及指数对数恒等式计算可得； 【详解】解：因为22log log 1a b +=，所以()2log 1ab =，即2ab =，因为2log 3a =，所以23322log log 4g 32lo b ===，所以3log 4334b ==； 故答案为：416．-【分析】首先化简条件可得sin sin A B C =，根据正余弦定理可得原式2cos C C =-，利用辅助角公式即可得解.【详解】ABC 2，得21sin sin sin sin 2ac B a B A B C =⇒=⇒=原式22222222322sin 2cos 2cos sin sin b a c b a c c C C C C ab ab ab A B+-+-==-=-=-，而2cos )C C C ϕ-=+≥-tan ϕ=取02πϕ<<，当πC ϕ=-时，即tan C =--故答案为：-17 【分析】根据向量的运算性质以及向量的数量积运算，对||||c a a b b =+两边平方结合条件可得2211cos 4a b θ-≥，从而求得2||||4a b ≥，若要||||a b 取到最小值时，则cos 1θ=-，从而求得222,,b a c 各值，即可得解. 【详解】由221a b +=，||||c a a b b =+得：()224422222212cos 2(1cos )2c a b a b a b a b θθ=++=+--≤，进一步得到： 2211cos 4a b θ-≥，又21cos θ≥-，故2218a b ≥，2||||4a b ≥， 当且仅当cos 1θ=-，221a b +=，2||||4a b =，2||2c ≤解得：2224a -=2224b +=(12)a b =-⋅； 或2224a +=2224b -=(12)a b =-+⋅时取等号， 当2224a -=，2224b +=，(12)a b =-⋅时， ()2||||1(12)||(222)||c a a b b b b b b =+=--=-，2||(222)(222)c b =-=-=. ∴222122a b c --+=当2224a +=2b =(12)a b =-+⋅时，()2||||1(12)||(222)||c a a b b b b b b =+=-+=--，2||(222)(222)c b =+=+=∴222122a b c +-+=综上222122a b c ±-+=.18．（1）π5ππ,π36k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ；（2）. 【分析】（1）函数[]2()y f x =的单调递增区间即是函数2πcos 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递减区间，由2π2π22ππ3k x k ≤-≤+，解不等式即可求解；（2）函数π()3y f x f x m ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭（m R ∈）在[0,π]上有两个零点，即是函数π()(3)y f x x x g f ⎛⎫++= ⎝=⎪⎭，[0,π]x ∈的图像与直线y m =有两个交点，数形结合即可求解.【详解】解：（1）π()sin 2sin 3f x x x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，[]22π2π()4sin 22cos 233y f x x x ⎛⎫⎛⎫==-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数[]2()y f x =的单调递增区间即是函数2πcos 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递减区间，由2π2π22ππ3k x k ≤-≤+，得π5πππ36k x k +≤≤+，k ∈Z ， 所以[]2()y f x =单调增区间为π5ππ,π36k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .（2）记π()()3g x f x f x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，函数π()3y f x f x m ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭（m ∈R ）在[0,π]上有两个零点，即是函数()y g x =，[0,π]x ∈的图像与直线y m =有两个交点， 由（1）的解答知π()2sin 3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故π2sin 3f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以π()sin 2sin 6g x x x x x ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，∵[0,π]x ∈，∴ππ5π,666x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以()y g x =的图像如图所示：数形结合，可知m ∈.19．（1）证明见解析；（2【分析】（1）通过证明,PA AB PA AD ⊥⊥来证得PA ⊥平面ABCD .（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线CM 与平面PBD 所成角的正弦值. 【详解】（1）设1AB =，则BD =， 取PB 中点为H ，连接AH ，DH ，∵PBD △为等边三角形，∴PD PB BD ===，DH PB ⊥， 又AD PB ⊥，DHAD D =，∴PB ⊥面ADH ，∴PB AH ⊥，H 为PB 中点，∴1==PA AB ，∴222PA AB PB +=，∴PA AB ⊥，同理由222PA AD PD +=，得PA AD ⊥， 又AB AD A ⋂=，∴PA ⊥平面ABCD .（2）底面ABCD 是是正方形，由（1）可知AB ，AD ，AP 两两垂直，分别以AB ，AD ，AP 所在的直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．设PA AD AB a ===，则有(,0,0)B a ，(,,0)C a a ，(0,0,)P a ，(0,,0)D a ，0,0,2a M ⎛⎫ ⎪⎝⎭,设平面PBD 的法向量为(,,)n x y z =，∵(,,0)BD a a =-，(,0,)BP a a =-,则有：0000ax ay n BD ax az n BP ⎧-+=⎧⋅=⇒⎨⎨-+=⋅=⎩⎩∴(1,1,1)n =, 又有,,2a CM a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，设直线CM 与平面PBD 所成角为θ, ∴3sin 3||||n CM n CM θ⋅==⋅20．（1）证明见解析，1n na n =+；（2）证明见解析. 【分析】（1）将已知条件变形得11n n n n a T a T +++=+，再根据111a T +=，得1n n a T +=，变形得11n n n T T T -+=，整理得1111n n T T --=，即可证明，并求出11n T n =+，即可求出数列{}n a 的通项公式；（2）根据（1）得21ln 32ln(1)2n n S T n n n ⎡⎤+=+-+⎣⎦，再证明对一切1≥x ，ln(1)0x x +-<，即可证明. 【详解】（1）∵对一切*n ∈N 均有11n n n n a a T T ++-=-，∴11n n n n a Ta T +++=+ 又1112T a ==，∴111a T +=，即1n n a T += ∴2n ≥时，11n n n T T T -+=，得：1111n n T T --= ∴1n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，首项112T =，公差1d =∴11n n T =+，11n T n =+ ∴一切*n ∈N ，11n n na T n =-=+ （2）∵11n n T =+，∴(21)(3)22n n n n n S ++⋅+== ∴22311ln ln 32ln(1)212n n n n S T n n n n +⎡⎤+=+=+-+⎣⎦+ 先证明，对一切1≥x ，ln(1)0x x +-< 令ln(1)y x x =+-，则当1≥x 时，1101y x '=-<+ 即ln(1)y x x =+-在[1,)+∞上单调递减， 故ln(1)ln 210x x +-≤-<，∴ln(1)n n +<， ∴()2211ln 32ln(1)3222n n S T n n n n n n ⎡⎤+=+-+>+-⎣⎦ 2211111111224224n ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-≥+-=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ∴ln 1n n S T +> 21．（1（2）16. 【分析】（1）由抛物线的焦点坐标求出p 的值，可得出抛物线C 的方程，设点()2,2A t t ，可知0t >，求出M 、N 的纵坐标，利用斜率公式结合已知条件得出1AM MN k k ⋅=-，可得出关于t 的方程，解出正数t 的值，进而可求得直线AF 的斜率；（2）求出点M 、N 的坐标，求得AM 以及点N 到直线AM 的距离d ，可求得AMN 的面积关于t 的表达式，利用基本不等式可求得AMN 面积的最小值. 【详解】（1）()1,0F ，则12p=，得2p =，所以，抛物线C 的方程为24y x =， 设()2,2A t t ，点A 为抛物线C 在第一象限上的一点，故0t >，设点(),0D d ，由AF DF =得211t d +=-，则22d t =+，得()22,0D t +，所以，221AMt k t =-，直线AM 的方程为2112t x y t-=+， 联立224112y xt x y t ⎧=⎪⎨-=+⎪⎩，得222240t y y t ---=，所以，42M A y y t -==-， 进一步得()2222AN AD tk k t t t ===--+，直线AN 的方程为212x y t t=-++， 联立22124x y t t y x⎧=-++⎪⎨⎪=⎩，得()224420y y t t +-+=，4N A y y t ∴+=-，则42N y t t=--，又AM MN ⊥，22224414444M N M N A M A M AM MN A M N M A M M N A M M Ny y y y y y y y k k y y y y x x x x y y y y ----∴⋅=⋅=⋅=⋅=---++--， 代入得44122422t tt t t⋅=-----，化简得：42230t t --=， 又0t >，t ∴=(3,A，AF k ∴==（2）由（1）知224,2N t t t t ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，212,M t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ()222221122A M t AM x x t tt+=++=++=，直线AM 的方程2112t x y t-=+即为()22120tx t y t ---= 所以点N 到直线AM 的距离为()()()222221211t t d tt t++==+， ()332331122216AMNtS t t t +⎛⎛⎫==+≥= ⎪ ⎝⎭⎝△， 当且仅当1t =时，S 取到最小值16.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 22．（1）答案见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）求导函数，讨论参数a 的取值范围即可求解单调区间； （2）解法一：先证：122x x a +>，即证：122x x a >-，令函数2()()F x f x f x a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，通过求导判断单调性可证明122x x a +>，从而得()21222122222x x x x e a++>>>；解法二：由ln ln ()0x ax a f x a e e --=⇒=，令()ln ln g x x ax a =--利用导数判断单调性，再构造2()()G x g x g x a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，求导分析单调性即可证明122x x a +>，从而有()21222122222x x x xe a++>>>． 【详解】（1）解：()(1)ax ax ax f x e ax e e ax ---'=-⋅=-∵a ∈R ，∴0a <时，1()(1)0ax f x e ax x a -'=->⇒>，1()(1)0axf x e ax x a -'=-<⇒< ∴0a <时，增区间为：1,a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，减区间为：1,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭；0a =时，()(1)10ax f x e ax -'=-=>，∴0a =时，增区间为：(,)-∞+∞；0a >时，1()(1)0ax f x e ax x a -'=->⇒<，1()(1)0axf x e ax x a-'=-<⇒>， ∴0a >时，增区间为：1,a ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，减区间为：1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）解法一：由（1）知，0a >时，增区间为：1,a ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，减区间为：1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；且1x a >时，()0f x >，11()f x f a ae ⎛⎫== ⎪⎝⎭极大值，函数()y f x =的大致图像如下图所示因为0a >时，函数()y f x a =-有两个零点1x ，2x ，所以1a ae<，即21a e <，不妨设12x x <，则1210x x a <<<；先证：122x x a +>，即证：122x x a >-因为11x a <，所以221x a a -<，又()y f x =在1,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭单调递增，所以即证：()122f x f x a ⎛⎫>- ⎪⎝⎭又()()12f x f x =，所以即证：()222f x f x a ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，21x a >令函数2()()F x f x f x a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，则222()(1)1(1)axax ax ax F x eax e a x ax e e a --+--+⎡⎤⎛⎫⎡⎤'=-+--=-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦因为1x a>，所以2ax ax -<-，10ax -<，故2()(1)0ax axF x ax e e --+⎡⎤'=-->⎣⎦ 函数2()()F x f x f x a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在1,a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，所以1()0F x F a ⎛⎫>= ⎪⎝⎭因为21x a >，所以，()222f x f x a ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，即122x x a +>所以()21222122222x xx x e a ++>>>． （2）解法二：因为0a >时，函数()y f x a =-有两个零点1x ，2x ， 则两个零点必为正实数，ln ln ()0x ax a f x a e e --=⇒=（0x >） 等价于ln ln x ax a -=有两个正实数解； 令()ln ln g x x ax a =--（0x >）则1()g x a x '=-（0x >），()g x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减，且1210x x a <<<令2()()G x g x g x a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，则1122()22021(2)G x a a a a x x ax x a a'=-+-=->-=--所以()G x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，1()0G x G a ⎛⎫>= ⎪⎝⎭又21x a >，故()222g x g x a ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，21,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭又()()12g x g x =，所以()122g x g x a ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，又1210x x a <<<，所以1x ，2210,x a a ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，又()g x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，所以122x x a +>所以()21222122222x x x xe a++>>>． 【点睛】关键点点睛：本题的第二问关键在于构造新函数，通过求导，层层地分析单调性，从而证明122x x a+>，再结合均值不等式求得结果．。