湖南师范大学附属中学2019届高三上学期月考(四)数学(理)试卷(含答案)
序框图，执行该程序框图，若输入的 k，a，n 分别为 5，1 203，4，则 输出的 b＝ (A) A．178 C．890 B．386 D．14 303
【解析】模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出 b＝3·50＋0·51＋2·52＋1·53＝178.故选 A. 5．若(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则|a0|－|a1|＋|a2|－|a3|＋|a4|－|a5|＝(A) A．0 C．32 B．1 D．－1
【解析】由已知 z＝1＋i，则|z|＝ 2，z2＝2i，z＝1－i，z 的虚部为 1.所以仅结论②正确，故选 B. 3．若向量 a 与 b 满足(a＋b)⊥a，且|a|＝1，|b|＝2，则向量 a 在 b 方向上的投影为(B) 1 A. 3 的充要条件有： (a＋b)·a＝a2＋a·b＝0，∴a·b＝－1，向量 a 在 b 方向上的投影为 a·b 1 |b| ＝－2. 4．五进制是以 5 为底的进位制，主因乃人类的一只手有五只手指. 中国古代的五行学说也是采用的五进制，0 代表土，1 代表水，2 代表 火，3 代表木，4 代表金，依此类推，5 又属土，6 属水，……，减去 5 即得. 如图，这是一个把 k 进制数 a(共有 N 位)化为十进制数 b 的程
A. 2
(
3
， 3
] ( ] [
3 B. 2 ， 3 cos B
3
C. 2
， 3
] [ ]
3 D. 2 ， 3 sin（B＋C） 2 3sin A ＝ bsin C ＝ 3sin C ，
cos C
2 3sin A
[:]
为{an}的“优值” ，现已知某数列的“优值”
Hn＝2n，记数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 2 019 ＝(B) A．2 022 B．1 011 C．2 020 D．1 010
a1＋2a2＋…＋2n－1an 【解析】由 Hn＝ n ＝2n，
得 a1＋2a2＋…＋2n－1an＝n·2n， ① a1＋2a2＋…＋2n－2an－1＝(n－1)·2n－1， ② n（n＋3） ①－②得 2n－1an＝n·2n－(n－1)·2n－1＝(n＋1)·2n－1，即 an＝n＋1，Sn＝ S2 019 所以 2 019 ＝1 011.故选 B. cos B cos C 2 3sin A 10．在锐角△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 b ＋ c ＝ 3sin C ，cos B＋ 3sin B＝2，则 a＋c 的取值范围是(B) 2 ，
r (－x)r＝C5 r (－1)rxr，可知 a1，a3，a5 都小于 0，则 【解析】由二项展开式的通项公式 Tr＋1＝C5 |a0|－|a1|＋|a2|－|a3|＋|a4|－|a5|＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，在原二项展开式中令 x＝1，可得 a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0.故选 A. 2x－y ≥ 0， y ≥ x， 6．若实数 x，y 满足 y ≥ －x＋b， 且 z＝2x＋y 的最小值为 3，则实数 b 的值为(C)
{
)
A．1
B. 2
9 C.4
5 D.2
【解析】画出可行域如图阴影部分所示，
b 2b b 2b y＝－x＋b， ， 当目标函数 z＝2x＋y 过点 B 时取得最小值，由 2x－y＝0 得 B 3 3 ，则 2×3＋ 3 ＝3， 9
{
) (
)
解得 b＝4.故选 C. 7．气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续 5 天的日平均温度均不低于 22 ℃” ．现有甲、 乙、丙三地连续 5 天的日平均温度的记录数据(记录数据都是正整数)： ①甲地：5 个数据的中位数为 24，众数为 22； ②乙地：5 个数据的中位数为 27，总体均值为 24； ③丙地：5 个数据中有一个数据是 32，总体均值为 26，总体方差为 10.8. 则肯定进入夏季的地区有(B) A．①②③ 【解析】 B．①③ C．②③ D．①
§§§§§
由统计知识，①甲地：5 个数据的中位数为 24，众数为 22，可知①符合题意；②乙
地：5 个数据的中位数为 27，总体均值为 24，有可能某一天的气温低于 22 ℃，所以不符合题意； ③丙地：5 个数据中有一个数据是 32，总体均值为 26，总体方差为 10.8.若某一天的气温低于 22 ℃， 则总体方差就大于 10.8，所以满足题意，故选 B. 8．平面 α 过正方体 ABCD－A1B1C1D1 的顶点 A，平面 α∥平面 A1BD，平面 α∩平面
湖南师大附中 2019 届高三月考试卷(四) 数 学(理科)
时量：120 分钟 满分：150 分
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的． 1．已知集合 A＝{x∈R|x2－x－2＜0}，B＝{x∈Z|x＝2t＋1，t∈A}，则 A∩B＝(C) A．{－1，0，1} B．{－1，0} C．{0，1} D．{0}
ABCD＝l，则直线 l 与直线 A1C1 所成的角为(D)
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
【解析】如图所示，平面 α 过正方体 ABCD－A1B1C1D1 的顶点 A，平面 α∥平面 A1BD，平面 α∩平面 ABCD＝l＝AF，平面 A1BD∩平面 ABCD＝BD，∴BD∥AF，又∵A1C1∥AC，则直线 l 与 直线 A1C1 所成的角即为直线 BD 与直线 AC 所成的角，为 90°.故选 D. a1＋2a2＋…＋2n－1an 9．对于数列{an}，定义 Hn＝ n S2 019
【解析】A＝{x∈R|x2－x－2＜0}＝{x|－1＜x＜2}， 则 x＝2t＋1∈(－1，5)，所以 B＝{0，1，2，3，4}， 所以 A∩B＝{0，1}，故选 C. 2 2．已知复数 z＝1－i，给出下列四个结论：①|z|＝2；② z＝－1＋i；④z 的虚部为 i.其中正确结论的个数是(B) A．0 B. 1 C．2 D．3 z2＝2i；③z 的共轭复数
湖南师大附中2019届高三上学期月考(四)数学(理)试题(含解析)
4．五进制是以 5 为底的进位制，主因乃人类的一只手有五只手指. 中国古代的五行学说也是采 用的五进制， 0 代表土， 1 代表水， 2 代表火， 3 代表木， 4 代表金， 依此类推， 5 又属土， 6 属水， ……， 减去 5 即得. 如图， 这是一个把 k 进制数 a(共有 N 位)化为十进制数 b 的程序框图， 执行该程序框图， 若输入的 k，a，n 分别为 5，1 203，4，则输出的 b＝( ) A．178 B．386 C．890 D．14 303
3 ， 3 D. 2
若存在实数 k，使得函 数 f(x)的值域为[－1，1]，则
D.[2，3]
12．设 A，B 是抛物线 y＝x2 上的两点，O 是坐标原点，若 OA⊥OB，则以下结论恒成立的结论 个数为( ) ①|OA|·|OB|≥2；②直线 AB 过定点(1，0)；③O 到直线 AB 的距离不大于 1 A． 0 B．1 C．2 D． 3
7．气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续 5 天的日平均温度均不低于 22 ℃” ．现有甲、 乙、丙三地连续 5 天的日平均温度的记录数据(记录数据都是正整数)： ①甲地：5 个数据的中位数为 24，众数为 22； ②乙地：5 个数据的中位数为 27，总体均值为 24； ③丙地：5 个数据中有一个数据是 32，总体均值为 26，总体方差为 10.8. 则肯定进入夏季的地区有( ) A．①②③ B．①③ C．②③ D．①
湖南师大附中 2019 届高三月考试卷(四)
数
时量：120 分钟
学(理科)
满分：150 分
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的． 1．已知集合 A＝{x∈R|x2－x－2＜0}，B＝{x∈Z|x＝2t＋1，t∈A}，则 A∩B＝( ) A．{－1，0，1} 2．已知复数 z＝ B．{－1，0} C．{0，1} D．{0}
湖南师大附中2019届高三第四次月考数学理科试卷及解析
湖南师大附中2019届高三第四次月考数学理科试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1.已知集合A ={x ∈R|x 2−x −2<0}，B ={x ∈Z|x =2t +1,t ∈A}，则A ∩B =（）A.{−1,0,1}B.{−1,0}C.{0,1}D.{0}2.已知复数z =21−i ，给出下列四个结论：①z =2；②z 2=2i ；③z 的共轭复数z =−1+i ；④z 的虚部为i .其中正确结论的个数是（）A.0B.1C.2D.33.若向量a 与b 满足(a +b)⊥a ，且a =1，b =2，则向量a 在b 方向上的投影为（）A.3B.−12C.-1D.334.五进制是以5为底的进位制，主因乃人类的一只手有五只手指.中国古代的五行学说也是采用的五进制，0代表土，1代表水，2代表火，3代表木，4代表金，依此类推，5又属土，6属水，……，减去5即得.如图，这是一个把k 进制数a （共有N 位）化为十进制数b 的程序框图，执行该程序框图，若输入的k ，a ，n 分别为5，1203，4，则输出的b =（）A.178B.386C.890D.143035.若1−x 5=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5，则a 0−a 1+a 2−a 3+a 4−a 5=（）A.0B.1C.32D.-16.若实数x ，y 满足2x −y ≥0y ≥x y ≥−x +b且z =2x +y 的最小值为3，则实数b 的值为（）A.1B.2C.94D.527.气象意义上的春季进入夏季的标志为连续5天的日平均温度不低于220C .现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均气温的记录数据（记录数据都是正整数）：①甲地：5个数据是中位数为24，众数为22；②乙地：5个数据是中位数为27，总体均值为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8则肯定进入夏季的地区有（）A.①②③B.①③C.②③D.①8.平面α过正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的顶点A ，平面α平面A 1BD ，平面α∩平面ABCD =1，则直线l 与直线A 1C 1所成的角为（）A.30°B.45°C.60°D.90°9.对于数列{a n }，定义H n =a 1+2a 2+...+2n−1a nn为{a n }的“优值”，现已知某数列的“优值”H n =2n ，记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S2019=（）A.2022 B.1011 C.2020 D.101010.在锐角△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若cos B b+cos C c=23sin A 3sin C，cos B +3sin B =2，则a +c的取值范围是()A.32,3B.32,3C.32,3D.32,311.已知函数f(x)=log 2(2−x),0≤x <k,x 3−3x 2+3,k ≤x ≤a,若存在实数k ，使得函数f(x)的值域为[-1,1]，则实数a 的取值范围是A.[32,1+3]B.[2,1+3]C.[1,3]D.[2,3]12.设A ，B 是抛物线y =x 2上的两点，O 是坐标原点，若OA ⊥OB ，则以下结论恒成立的结论个数为（）①OA⋅OB≥2；②直线AB过定点(1,0)；③O到直线AB的距离不大于1.A.0B.1C.2D.3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知函数f(x)=sin2ωx−π3(x∈R,ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，则ω=____．14.已知函数f(x)=x+1(−1≤x≤0)1−x2(0<x≤1)则−11f(x)dx的值为____．15.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，过x轴上点P的直线与双曲线的右支交于M，N两点（M在第一象限），直线MO交双曲线左支于点Q（O为坐标原点），连接QN.若∠MPO=120°，∠MNQ=150°，则该双曲线的渐近线方程为____.16.某几何体的三视图如图所示，主视图是直角三角形，侧视图是等腰三角形，俯视图是边长为3的等边三角形，若该几何体的外接球的体积为36π，则该几何体的体积为__________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，满足S4=2a4−2，S3=2a3−2.（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n=log2a n−1⋅a n，数列b n an 的前n项和为T n，求使T n>177−2n60成立的正整数n的最小值．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠DAB=60°，∠ADP=90°，平面ADP⊥平面ABCD，点F为棱PD的中点．（Ⅰ）在棱AB上是否存在一点E，使得AF//平面PCE，并说明理由；（Ⅱ）当二面角D−FC−B的余弦值为2时，求直线PB与平面ABCD所成的角．419.为了引导居民合理用水，某市决定全面实施阶梯水价．阶梯水价原则上以住宅(一套住宅为一户)的月用水量为基准定价，具体划分标准如表：阶梯级别第一阶梯水量第二阶梯水量第三阶梯水量月用水量范围(单位：立方米)[0,10)[10,15)[15,+∞)从本市随机抽取了10户家庭，统计了同一月份的月用水量，得到如图茎叶图：（Ⅰ）现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯水量的户数X的分布列与数学期望；（Ⅱ）用抽到的10户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取10户，若抽到k 户月用水量为一阶的可能性最大，求k的值．20.已知点F是椭圆x21+a2+y2=1(a>0)的右焦点，点M(m,0)，N(0,n)分别是x轴，y轴上的动点，且满足MN⋅NF=0.若点P满足OM=2ON+PO（O为坐标原点）．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）设过点F任作一直线与点P的轨迹交于A，B两点，直线OA，OB与直线x=−a分别交于点S，T，试判断以线段ST为直径的圆是否经过点F？请说明理由．21.已知函数f(x)=a(x−1)，g(x)=(ax−1)e x，a∈R.（Ⅰ）若直线y=f(x)与曲线y=g(x)相切于点P(x0,y0)，证明：0<x0<1；（Ⅱ）若不等式f(x)>g(x)有且仅有两个整数解，求a的取值范围．22.选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：x=a+a cosϕy=a sinϕ(φ为参数，实数a＞0)，曲线C2：x=bcosϕy=b+b sinϕ(φ为参数，实数b＞0)．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=αρ≥0,0≤α≤π2与C1交于O，A两点，与C2交于O，B两点．当α＝0时，|OA|＝2；当α＝π2时，|OB|＝4.(Ⅰ)求a，b的值；(Ⅱ)求2|OA|2＋|OA|·|OB|的最大值．23.选修4－5：不等式选讲|（a≠0)已知函数fx=2|x+a|+|x−1a(Ⅰ)当a＝1时，解不等式f(x)＜4；(Ⅱ)求函数g(x)＝f(x)＋f(－x)的最小值．【解析卷】湖南师大附中2019届高三第四次月考数学理科试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1.已知集合A={x∈R|x2−x−2<0}，B={x∈Z|x=2t+1,t∈A}，则A∩B=（）A.{−1,0,1}B.{−1,0}C.{0,1}D.{0}【答案】C【解析】【分析】由题意，先求得集合A，进而得到集合B，再根据集合的交集的运算，即可求解.【详解】由题意，可知A={x∈R|x2−x−2<0}={x|−1<x<2}，则x=2t+1∈(−1,5)，所以B={0,1,2,3,4}，所以A∩B={0,1}，故选C.【点睛】本题主要考查了集合的运算，其中解答中正确求解集合A,B，再根据集合的交集运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.已知复数z=2，给出下列四个结论：①z=2；②z2=2i；③z的共轭复数z=−1+i；④z的虚部为i.1−i其中正确结论的个数是（）A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】【分析】由题意，根据复数z=1+i，利用模的公式和复数的运算、及共轭复数的概念等，即可逐一判定，得到答案.【详解】由已知z=1+i，则z=2，z2=2i，z=1−i，z的虚部为1.所以仅结论②正确，故选B.【点睛】本题主要考查了复数的基本概念，复数的模、共轭复数的概念及复数的运算法则，其中熟记复数的相关概念和复数的运算法则是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.3.若向量a与b满足(a+b)⊥a，且a=1，b=2，则向量a在b方向上的投影为（）A.3B.−12C.-1 D.33【答案】B【解析】【分析】利用向量垂直的充要条件求得a⋅b=−1，再由向量a在b方向上的投影的计算公式，即可求解，得到答案.【详解】利用向量垂直的充要条件有：(a+b)⋅a=a2+a⋅b=0，∴a⋅b=−1，则向量a在b方向上的投影为a⋅bb =−12,故选B.【点睛】本题主要考查了向量垂直的应用，以及向量的投影的计算问题，其中熟记向量垂直的充要条件和向量的投影的计算公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.4.五进制是以5为底的进位制，主因乃人类的一只手有五只手指.中国古代的五行学说也是采用的五进制，0代表土，1代表水，2代表火，3代表木，4代表金，依此类推，5又属土，6属水，……，减去5即得.如图，这是一个把k进制数a（共有N位）化为十进制数b的程序框图，执行该程序框图，若输入的k，a，n分别为5，1203，4，则输出的b=（）A.178B.386C.890D.14303【答案】A【解析】【分析】根据题设的程序框图，得到该程序的计算功能，即可求解，得到答案.【详解】模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出b=3⋅50+0⋅51+2⋅52+1⋅53= 178.故选A.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，其中解答中根据给定的程序框图，得到该程序框图的计算功能是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.5.若1−x5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a0−a1+a2−a3+a4−a5=（）A.0B.1C.32D.-1【答案】A【解析】由二项展开式的通项公式T r+1=C5r(−x)r=C5r(−1)r x r，可知a1,a3,a5都小于0．则|a0|−|a1|+|a2|−|a3|+ |a4|−|a5|=a0+a1+a2+a3+a4+a5．在原二项展开式中令x=1，可得a0+a1+a2+a3+a4+a5=0．故本题答案选A．6.若实数x，y满足2x−y≥0 y≥xy≥−x+b且z=2x+y的最小值为3，则实数b的值为（）A.1B.2C.94D.52【答案】C【解析】【分析】由题意，画出约束条件所表示的平面区域，判定目标函数z =2x +y 过点B 时取得最小值，即可求解，得到答案.【详解】画出可行域如图阴影部分所示，当目标函数z =2x +y 过点B 时取得最小值，由y =−x +b2x −y =0得B b 3,2b3，则2×b3+2b 3=3，解得b =94.故选C.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义；求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求，其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义是解答的关键．7.气象意义上的春季进入夏季的标志为连续5天的日平均温度不低于220C .现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均气温的记录数据（记录数据都是正整数）：①甲地：5个数据是中位数为24，众数为22；②乙地：5个数据是中位数为27，总体均值为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8则肯定进入夏季的地区有（）A.①②③ B.①③ C.②③ D.①【答案】B 【解析】试题分析：由统计知识①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22可知①符合题意；而②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24中有可能某一天的气温低于22∘C ，故不符合题意，③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8．若由有某一天的气温低于22∘C 则总体方差就大于10.8，故满足题意，选C考点：统计初步8.平面α过正方体ABCD−A1B1C1D1的顶点A，平面α平面A1BD，平面α∩平面ABCD=1，则直线l与直线A1C1所成的角为（）A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】D【解析】【分析】由题意，平面α过正方体ABCD−A1B1C1D1的顶点A，平面α/平面A1BD，平面α∩平面ABCD=AF，得到BD//AF，在根据正方形的性质，即可求解.【详解】如图所示，平面α过正方体ABCD−A1B1C1D1的顶点A，平面α平面A1BD，平面α∩平面ABCD=1=AF，平面A1BD∩平面ABCD=BD，∴BD//AF，又∵A1C1//AC，则直线l与直线A1C1所成的角即为直线BD与直线AC所成的角，即直线l与直线A1C1所成的角为为90°.故选D.【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解问题，其中解答中，着重考查了.9.对于数列{a n}，定义H n=a1+2a2+...+2n−1a n为{a n}的“优值”，现已知某数列的“优值”H n=2n，记数列{a n}n=（）的前n项和为S n，则S20192019A.2022B.1011C.2020D.1010【答案】B【解析】【分析】=2n，得到a1+2a2+...+2n−1a n=n⋅2n，进而求得a1+2a2+...+由题意，根据H n=a1+2a2+...+2n−1a nn2n−2a n−1=(n−1)⋅2n−1，作差即可求解.【详解】由H n=a1+2a2+...+2n−1a nn=2n，得a1+2a2+...+2n−1a n=n⋅2n，①a1+2a2+...+2n−2a n−1=(n−1)⋅2n−1，②①-②得2n−1a n=n⋅2n−(n−1)⋅2n−1=(n+1)⋅2n−1，即a n=n+1，S n=n(n+3)2，所以S20192019=1011.故选B.【点睛】本题主要考查了数列的新定义的应用，以及数列知识的综合应用，其中解答中根据新定义，化简得a1+2a2+...+2n−1a n=n⋅2n，进而得a1+2a2+...+2n−2a n−1=(n−1)⋅2n−1，新作差化简、运算是解答的关键，同时此类问题需要认真审题，合理利用新定义是解答此类问题的基础，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.10.在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若cos Bb +cos Cc=23sin A3sin C，cos B+3sin B=2，则a+c的取值范围是()A.32,3 B.32,3 C.32,3 D.32,3【答案】B 【解析】∵cos Bb +cos Cc=23sin A3sin C∴c sin B+b sin C=23bc sin A3sin C=23ab∴sin(B+C)=23b sin A3∴b=32∵cos B+3sin B=2∴B=π3∴2R=bsin B=1∴a+c=2R(sin A+sin C)=1×[sin A+sin(2π3−A)]=32sin A+3 2cos A=3sin(A+π6)∵0<A<π2∴π6<A+π6<2π3∴32<3sin(A+π6)≤3∴32<a+c≤3。
湖南师大附中2019届高三上学期第二次月考数学试卷(含答案)
湖南师大附中2019届高三上学期第二次月考试卷数学（理科）时量：120分钟 满分：150分一、选择题：本题共12小题，每题5分，共60分，每题只有一个正确选项。
1、若集合A ＝{1，2}，B ＝{1，2，3，4}，则满足A ∪X ＝B 的集合X 个数为 A 、1 B 、2 C 、3 D 、42、在∆ABC 中，三个内角A ，B ，C 满足sin 2A+sin 2B-sin 2C=√3sinAsinB ，则角C 的大小为 A 、30° B 、60° C 、120° D 、150°3、已知随机变量X 服从正态分布N （5，σ2），且P （X <7）＝0.8，则P （3<X <5）＝ A 、0.6 B 、0.4 C 、0.3 D 、0.24、已知数列{a n }是首项为3，公差为d （d ∈N *）的等差数列，若2019是该数列的一项则公差d 不可能是 A 、2 B 、3 C 、4 D 、55、公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率。
如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出n 的值为（参考数据：√3＝1.732，sin15°＝0.2588,sin7.5°＝0.1305） A 、12 B 、24 C 、48 D 、966、设变量x,y 满足约束条件 {y ≥xx +3y ≤4x ≥−2，则z=|x −3y |的取值范围是A 、[2，8]B 、[4，8]C 、[0，8]D 、[8，+∞]7、已知（x- 1x ）n的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等，记展开式中系数最大项为第k 项，则k＝A 、6B 、7C 、6或7D 、5或68、如图直角坐标系中，角α（0<α<π2）和角β（－π2<β<0）的终边分别交单位圆于A 、B 两点，若B 点纵坐标为－513，且满足S ∆OAB ＝√34，则sin （α+π6）的值为A 、 1213B 、 513 C 、－ 1213 D 、 －5139、已知某几何体的三视图如图，则该几何体的表面积是 A 、 39π4+3√3C 、23π2D 、49π410、将函数f(x)=ln(x+1) (x ≥0)的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角θ（θ∈(0,α])，得到曲线C ，若对于每一个旋转角θ，曲线C 仍然是一个函数的图像， 则α的最大值为A 、πB 、 π2C 、 π3D 、π411、已知抛物线y 2=4x,的弦AB 的中点的横坐标为3，则|AB |的最大值为A 、4B 、6C 、 8D 、1012、在棱长为6的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是BC 的中点，点P 是正方形DCC 1D 1面内（包括边界）的动点，且满足∠APD ＝∠MPC ，则三棱锥P －BCD 的体积最大值是 A 、36 B 、24 C 、18√3 D 、12√3 二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分。
2019师大附中高三月考(四)理数答案
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湖南师大附中2019届高三上学期月考试卷(一)(教师版)数学(理)(含答案)
湖南师大附中2019届高三月考试卷(一)数 学(理科)时量：120分钟 满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数z ＝x ＋y i ，其中x ，y 是实数，i 是虚数单位，若y1－i＝x ＋i ，则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于(D)A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】由已知，y ＝(1－i)(x ＋i)＝x ＋1＋(1－x )i ，则y ＝x ＋1，且1－x ＝0，即x ＝1，y ＝2.所以z －＝x －y i ＝1－2i ，所对应的点(1，－2)位于第四象限，选D.2．已知向量a 与b 的夹角是π3，且|a |＝1，|b |＝4，若(3a ＋λb )⊥a ，则实数λ的值为(B)A.32 B ．－32 C.23 D ．－23【解析】由已知，(3a ＋λb )·a ＝0，即3a 2＋λb ·a ＝0，所以3＋2λ＝0，即λ＝－32，选B.3．下列说法中正确的是(C)A ．若样本数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为5，则样本数据2x 1＋1，2x 2＋1，…，2x n ＋1的平均数为10B ．用系统抽样法从某班按学号抽取5名同学参加某项活动，若抽取的学号为5，16，27，38，49，则该班学生人数可能为60C ．某种圆环形零件的外径服从正态分布N (4，0.25)(单位：cm)，质检员从某批零件中随机抽取一个，测得其外径为5.6 cm ，则这批零件不合格D ．对某样本通过独立性检验，得知有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，则在该样本吸烟的人群中有95%的人可能患肺病【解析】对于A ，若x 1，x 2，…，x n 的平均数为5，则2x 1＋1，2x 2＋1，…，2x n ＋1的平均数为2×5＋1＝11，所以说法错误；对于B ，由抽取的号码可知样本间隔为11，则对应的人数为11×5＝55人．若该班学生人数为60，则样本间隔为60÷5＝12，所以说法错误．对于C ，因为μ＝4，σ＝0.5，则(u －3σ，u ＋3σ)＝(2.5，5.5)，因为5.6(2.5，5.5)，则这批零件不合格，所以说法正确．对于D ，有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指对该样本所得结论：“吸烟与患肺病有关系”有95%的正确性，所以说法错误．选C.4．已知⎝⎛⎭⎫2x 2－1x n (n ∈N *)的展开式中各项的二项式系数之和为128，则其展开式中含1x项的系数是(A)A ．－84B ．84C ．－24D ．24【解析】由已知，2n ＝128，得n ＝7，所以T r ＋1＝C r 7(2x 2)7－r ⎝⎛⎭⎫－1x r ＝(－1)r ·27－r C r 7x14－3r. 令14－3r ＝－1，得r ＝5，所以展开式中含1x项的系数为(－1)527－5C 57＝－84，选A.5.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )在R 上单调递增，若a ，b ，c成等差数列，且b ＞0，则下列结论正确的是(A)A ．f (b )＞0，且f (a )＋f (c )＞0B ．f (b )＞0，且f (a )＋f (c )＜0C ．f (b )＜0，且f (a )＋f (c )＞0D ．f (b )＜0，且f (a )＋f (c )＜0【解析】由已知，f (b )＞f (0)＝0.因为a ＋c ＝2b ＞0，则a ＞－c ，从而f (a )＞f (－c )＝－f (c )， 即f (a )＋f (c )＞0，选A.6．设x 为区间[－2，2]内的均匀随机数，则计算机执行下列程序后，输出的y 值落在区间⎣⎡⎦⎤12，3内的概率为(C)A.34B.58C.12D.38【解析】因为当x ∈[－2，0]时，y ＝2x ∈⎣⎡⎦⎤14，1；当x ∈(0，2]时，y ＝2x ＋1∈(1，5]．所以当y ∈⎣⎡⎦⎤12，3时，x ∈[－1，1]，其区间长度为2，所求的概率P ＝24＝12，选C. 7．已知函数f (x )＝sin 2x －2sin 2x ＋1，给出下列四个结论：(B)①函数f (x )的最小正周期是2π；②函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π8，5π8上是减函数；③函数f (x )的图象关于直线x ＝π8对称；④函数f (x )的图象可由函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π4个单位得到．其中正确结论的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.①因为ω＝2，则f (x )的最小正周期T ＝π，结论错误．②当x ∈⎣⎡⎦⎤π8，5π8时，2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π2，3π2，则f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π8，5π8上是减函数，结论正确．③因为f ⎝⎛⎭⎫π8＝2为f (x )的最大值，则f (x )的图象关于直线x ＝π8对称，结论正确．④设g (x )＝2sin 2x ，则g ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝2sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos 2x ≠f (x )，结论错误，选B.8.已知命题p ：若a ＞2且b ＞2，则a ＋b ＜ab ；命题q ：x >0，使(x －1)·2x＝1，则下列命题中为真命题的是(A)A ．p ∧qB ．(綈p )∧qC ．p ∧(綈q )D ．(綈p )∧(綈q )【解析】若a ＞2且b ＞2，则1a <12且1b <12，得1a ＋1b <1，即a ＋b ab <1，从而a ＋b ＜ab ，所以命题p 为真．因为直线y ＝x －1与函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象在(0，＋∞)内有唯一交点，则方程x －1＝⎝⎛⎭⎫12x 有正数解，即方程(x －1)·2x ＝1有正数解，所以命题q 为真，选A.9．已知实数x ，y 满足|x |＋|y |≤1，则z ＝2|x |－|y |的最大值为(D) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2【解析】令|x |＝a ，|y |＝b ，则⎩⎨⎧a ＋b ≤1，a ≥0，b ≥0，且z ＝2a －b .作可行域，平移直线l ：b ＝2a －z ，由图知，当直线l 过点(1，0)时，直线l 的纵截距最小，从而z 为最大，且z max ＝2×1－0＝2，选D.10．如图，在平面四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，AB ⊥AD ，BD ⊥CD .将该四边形沿对角线BD 折成一个直二面角A ―BD ―C ，则四面体ABCD 的外接球的体积为(B)A.23πB.32π C ．2π D ．3π【解析】如图，因为平面ABD ⊥平面BCD ，BD ⊥CD ，则CD ⊥平面ABD ，从而CD ⊥AB . 因为AB ⊥AD ，则AB ⊥平面ACD ，从而AB ⊥AC ，所以BC 是外接球的直径．在Rt △BDC 中，BC ＝BD 2＋CD 2＝3，则球半径R ＝32.所以外接球的体积V ＝43π⎝⎛⎭⎫323＝32π，选B.11．设双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，若双曲线上存在点M 满足|MF 1|＝2|MO |＝2|MF 2|，则双曲线的离心率为(C)A ．6B ．3 C. 6 D. 3【解析】过点M 作x 轴的垂线，垂足为A ，因为|MO |＝|MF 2|，则A 为OF 2的中点，所以|AF 2|＝c2，|AF 1|＝3c 2.设|MF 2|＝m ，则|MF 1|＝2m .在Rt △MAF 1中，|MA |2＝4m 2－94c 2.在Rt △MAF 2中，|MA |2＝m 2－c 24，则4m 2－94c 2＝m 2－c24，即3m 2＝2c 2.因为|MF 1|－|MF 2|＝2a ，则m ＝2a ，所以3×(2a )2＝2c 2，即c 2＝6a 2，所以e ＝ca＝6，选C.12．对于给定的正整数n ，设集合X n ＝{1，2，3，…，n }，A X n ，且A ≠记I (A )为集合A 中的最大元素，当A 取遍X n 的所有非空子集时，对应的所有I (A )的和记为S (n )，则S (2 018)＝(D)A ．2 018×22 018＋1B ．2 018×22 017＋1C ．2 017×22 017＋1D ．2 017×22 018＋1【解析】对于集合X n ，满足I (A )＝1的集合A 只有1个，即{1}；满足I (A )＝2的集合A 有2个，即{2}，{1，2}；满足I (A )＝3的集合A 有4个，即{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}；…；满足I (A )＝n 的集合A 有2n －1个，所以S (n )＝1＋2·2＋3·22＋…＋n ·2n －1.由错位相减法，得S (n )＝(n －1)2n ＋1，所以S (2 018)＝2 017×22 018＋1，选D. 二、填空题，本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，则sin ⎝⎛⎭⎫2α－π6＝__－79__．【解析】sin ⎝⎛⎭⎫2α－π6＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α－π3＋π2＝cos 2⎝⎛⎭⎫α－π3＝2cos 2⎝⎛⎭⎫α－π3－1＝－79.14．如图，在△ABC 中，AD →＝13DC →，P 是线段BD 上一点，若AP →＝mAB →＋16AC →，则实数m 的值为__13__． 【解析】因为AD →＝13DC →，则AC →＝4AD →，所以AP →＝mAB →＋23AD →.因为B ，P ，D 三点共线，则m ＋23＝1，所以m ＝13.15．已知函数f (x )＝|2x －1|－a ，若存在实数x 1，x 2(x 1≠x 2)，使得f (x 1)＝f (x 2)＝－1，则a 的取值范围是__(1，2)__．【解析】令f (x )＝－1，则|2x －1|＝a －1.据题意，直线y ＝a －1与函数y ＝|2x －1|的图象两个不同的交点，由图可知，0＜a －1＜1，即1＜a ＜2.16．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，且S n ＝4－⎝⎛⎭⎫1＋2n a n (n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式是a n ＝__n2n －1__．【解析】当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝⎛⎭⎫1＋2n －1a n －1－⎝⎛⎭⎫1＋2n a n ，则⎝⎛⎭⎫2＋2n a n ＝⎝⎛⎭⎫1＋2n －1a n －1，即a n n ＝a n －12（n －1），所以数列{a n n }是首项为1，公比为12的等比数列，则a n n ＝⎝⎛⎭⎫12n －1，即a n ＝n2n －1. 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：60分． 17．(本小题满分12分)如图，在平面四边形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，∠BAD ＝60°，∠BCD ＝120°.(1)若BC ＝22，求∠CBD 的大小；(2)设△BCD 的面积为S ，求S 的取值范围．【解析】(1)在△ABD 中，因为AB ＝4，AD ＝2，∠BAD ＝60°，则BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cos ∠BAD ＝16＋4－2×4×2×12＝12，所以BD ＝2 3.(3分)在△BCD 中，因为∠BCD ＝120°，BC ＝22，BD ＝23，由BC sin ∠CDB ＝BDsin ∠BCD，得sin ∠CDB ＝BC sin ∠BCD BD ＝22sin 120°23＝22，则∠CDB ＝45°.(5分)所以∠CBD ＝60°－∠CDB ＝15°.(6分) (2)设∠CBD ＝θ，则∠CDB ＝60°－θ.在△BCD 中，因为BC sin （60°－θ）＝BDsin 120°＝4，则BC ＝4sin(60°－θ)．(8分)所以S ＝12BD ·BC ·sin ∠CBD ＝43sin(60°－θ)sin θ＝43⎝⎛⎭⎫32cos θ－12sin θsin θ＝3sin 2θ－23sin 2θ＝3sin 2θ－3(1－cos 2θ)＝3sin 2θ＋3cos 2θ－3 ＝23sin(2θ＋30°)－ 3.(11分)因为0°＜θ＜60°，则30°＜2θ＋30°＜150°，12<sin(2θ＋30°)≤1，所以0<S ≤ 3.故S 的取值范围是(0，3]．(12分) 18．(本小题满分12分)如图，在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥底面ABC ，AB ＝2，AC ＝4，∠BAC ＝120°，D 为BC 的中点．(1)求证：AD ⊥PB ；(2)若二面角A －PB －C 的大小为45°，求三棱锥P －ABC 的体积． 【解析】(1)在△ABC 中，由余弦定理得BC 2＝4＋16－2×2×4×cos 120°＝28，则BC ＝27. 因为D 为BC 的中点，则BD ＝CD ＝7.(2分)因为AD →＝12(AB →＋AC →)，则AD →2＝14(AB →＋AC →)2＝14(AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →)＝14(4＋16＋2×2×4×cos 120°)＝3，所以AD ＝ 3.(4分) 因为AB 2＋AD 2＝4＋3＝7＝BD 2，则AB ⊥AD .(5分)因为P A ⊥底面ABC ，则P A ⊥AD ，所以AD ⊥平面P AB ，从而AD ⊥PB .(6分)(2)解法一：因为AD ⊥平面P AB ，过点A 作AE ⊥PB ，垂足为E ，连结DE . 则DE ⊥PB ，所以∠AED 为二面角A －PB －C 的平面角．(8分) 在Rt △DAE 中，由已知，∠AED ＝45°，则AE ＝AD ＝ 3.(9分) 在Rt △P AB 中，设P A ＝a ，则PB ＝AB 2＋P A 2＝4＋a 2.(10分) 因为AB ×AP ＝PB ×AE ，则2a ＝4＋a 2×3，即 4a 2＝3(4＋a 2)，解得a 2＝12，所以P A ＝a ＝2 3.(11分)所以V P －ABC ＝13×S △ABC ×P A ＝13×12×2×4×sin 120°×23＝4.(12分)解法二：分别以直线AB ，AD ，AP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图．设P A ＝a ，则点B (2，0，0)，D (0，3，0)，P (0，0，a )．所以BD →＝(－2，3，0)，BP →＝(－2，0，a )．(8分) 设平面PBC 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·BD →＝0，m ·BP →＝0，即⎩⎨⎧－2x ＋3y ＝0，－2x ＋az ＝0. 取x ＝3，则y ＝2，z ＝23a ，所以m ＝⎝⎛⎭⎫3，2，23a .(9分)因为n ＝(0，1，0)为平面P AB 的法向量，则|cos 〈m ，n 〉|＝cos 45°＝22，即|m ·n ||m |·|n |＝22. 所以27＋12a2＝22，解得a 2＝12，所以P A ＝a ＝2 3.(11分) 所以V P －ABC ＝13×S △ABC ×P A ＝13×12×2×4×sin 120°×23＝4.(12分)19．(本小题满分12分)有甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪80元，送餐员每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内(含40单)的部分送餐员每单抽成6元，超过40单的部分送餐员每单抽成7得到如下频数分布表：送餐单数38 39 40 41 42 甲公司天数10 10 15 10 5 乙公司天数10 15 10 10 5(1)从记录甲公司的50天送餐单数中随机抽取3天，求这3天的送餐单数都不小于40单的概率；(2)假设同一个公司的送餐员一天的送餐单数相同，将频率视为概率，回答下列两个问题： (ⅰ)求乙公司送餐员日工资的分布列和数学期望；(ⅱ)小张打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日均工资的角度考虑，小张应选择哪家公司应聘？说明你的理由．【解析】(1)由表知，50天送餐单数中有30天的送餐单数不小于40单，记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件A ，则P (A )＝C 330C 350＝29140.(3分)(2)(ⅰ)设乙公司送餐员的送餐单数为n ，日工资为X 元，则当n ＝38时，X ＝38×6＝228；当n ＝39时，X ＝39×6＝234；当n ＝40时，X ＝40×6＝240； 当n ＝41时，X ＝40×6＋7＝247；当n ＝42时，X ＝40×6＋14＝254. 所以X 的分布列为X 228 234 240 247 254p 15 310 15 15 110(7分)E ()X ＝228×15＋234×310＋240×15＋247×15＋254×110＝238.6.(9分)(ⅱ)依题意，甲公司送餐员的日平均送餐单数为38×0.2＋39×0.2＋40×0.3＋41×0.2＋42×0.1＝39.8，(10分) 所以甲公司送餐员的日平均工资为80＋4×39.8＝239.2元，(11分) 因为238.6<239.2，所以小张应选择甲公司应聘．(12分) 20．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点与抛物线y 2＝43x 的焦点重合，且直线y ＝bax 与圆x 2＋y 2－10x ＋20＝0相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)设斜率为k 且不过原点的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，直线OA ，OB 的斜率分别为k 1，k 2，若k 1，k ，k 2成等比数列，推断|OA |2＋|OB |2是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由．【解析】(1)因为抛物线y 2＝43x 的焦点为(3，0)，则c ＝3，所以a 2－b 2＝3.(2分)因为直线bx －ay ＝0与圆(x －5)2＋y 2＝5相切，则5bb 2＋a2＝5，即a 2＝4b 2.(4分)解得a 2＝4，b 2＝1，所以椭圆C 的方程是x24＋y 2＝1.(5分)(2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线l 的方程代入椭圆方程，得x 2＋4(kx ＋m )2＝4，即(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，则x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.(7分)由已知，k 2＝k 1k 2＝y 1y 2x 1x 2＝（kx 1＋m ）（kx 2＋m ）x 1x 2，则k 2x 1x 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )，即km (x 1＋x 2)＋m 2＝0，所以－8k 2m 24k 2＋1＋m 2＝0，即(1－4k 2)m 2＝0.因为m ≠0，则k 2＝14，即k ＝±12，从而x 1＋x 2＝2m ，x 1x 2＝2m 2－2.(10分)所以|OA |2＋|OB |2＝x 21＋y 21＋x 22＋y 22＝x 21＋(kx 1＋m )2＋x 22＋(kx 2＋m )2＝(k 2＋1)(x 21＋x 22)＋2km (x 1＋x 2)＋2m 2＝(k 2＋1)[(x 1＋x 2)2－2x 1x 2]＋2km (x 1＋x 2)＋2m 2. ＝54[4m 2－2(2m 2－2)]－2m 2＋2m 2＝5为定值．(12分) 21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x －a (x －1)，a ∈R ，e 为自然对数的底数．(1)若存在x 0∈(1，＋∞)，使f (x 0)＜0，求实数a 的取值范围； (2)若f (x )有两个不同零点x 1，x 2，证明：x 1＋x 2＞x 1x 2. 【解析】(1)解法一：f ′(x )＝e x －a .(1分)①若a ≤0，因为e x >0，则f ′(x )>0，此时f (x )在R 上单调递增． 当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＞f (1)＝e ＞0，不合题意．(2分)②若a ＞0，由f ′(x )>0，得e x >a ，即x ＞ln a ，则f (x )在(ln a ，＋∞)上单调递增，在(－∞，ln a )上单调递减，所以f (x )min ＝f (ln a )＝e ln a －a (ln a －1)＝a (2－ln a )．(4分)据题意，⎩⎪⎨⎪⎧ln a >1，a （2－ln a ）<0，则ln a ＞2，即a >e 2，所以a 的取值范围是(e 2，＋∞)．(5分)解法二：当x ∈(1，＋∞)时，由f (x )＜0，得e x<a (x －1)，即a >e x x －1.(1分)设g (x )＝e xx －1(x >1)，据题意，当x ∈(1，＋∞)时，a ＞g (x )能成立，则a >g (x )min .(2分)因为g ′(x )＝e x （x －1）－e x （x －1）2＝（x －2）ex（x －1）2(x >1)，(3分)则当x ＞2时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当1＜x ＜2时，g ′(x )<0，g (x )单调递减．(4分) 所以g (x )min ＝g (2)＝e 2，故a 的取值范围是(e 2，＋∞)．(5分)(2)由题设，f (x 1)＝f (x 2)＝0，即⎩⎨⎧e x 1＝a （x 1－1），e x 2＝a （x 2－1），则e x 1·e x 2＝a 2(x 1－1)(x 2－1)，即e x 1＋x 2＝a 2(x 1x 2－x 1－x 2＋1)．(7分)要证x 1＋x 2＞x 1x 2，只要证e x 1＋x 2<a 2，即证x 1＋x 2<2ln a ，即证x 1<2ln a －x 2.(8分) 不妨设x 1＜x 2，由(1)可知，a >e 2，且x 1＜ln a ＜x 2，从而2ln a －x 2＜ln a .因为f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，所以只要证f (x 1)>f (2ln a －x 2)，即证f (x 2)>f (2ln a －x 2)．(9分) 设h (x )＝f (x )－f (2ln a －x )，则h ′(x )＝f ′(x )＋f ′(2ln a －x )＝e x －2a ＋e 2ln a －x ＝e x ＋a 2e x －2a ≥2e x·a 2ex －2a ＝0，所以h (x )在R 上单调递增．因为x 2＞ln a ，则h (x 2)>h (ln a )＝f (ln a )－f (ln a )＝0， 即f (x 2)－f (2ln a －x 2)>0，即f (x 2)>f (2ln a －x 2)，所以原不等式成立．(12分)(二)选考题：共10分．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1－255t ，y ＝1＋55t(t 为参数)．(1)求曲线C 1的直角坐标方程及直线l 的普通方程；(2)若曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝sin α(α为参数)，点P 在曲线C 1上，其极角为π4，点Q 为曲线C 2上的动点，求线段PQ 的中点M 到直线l 的距离的最大值．【解析】(1)由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ.将ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ代入，得 曲线C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0.(3分)由⎩⎨⎧x ＝1－255t ，y ＝1＋55t ，得x ＋2y ＝3，所以直线l 的普通方程为x ＋2y －3＝0.(5分)(2)由题设，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫22，π4，其直角坐标为(2，2)．(7分)设点Q (2cos α，sin α)，则PQ 的中点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫1＋cos α，1＋12sin α.(8分) 点M 到直线l 的距离d ＝|1＋cos α＋2＋sin α－3|5＝105⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4≤105.所以点M 到直线l 的距离的最大值为105.(10分) 23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|，其中a 为实常数．(1)若函数f (x )的最小值为3，求a 的值；(2)若当x ∈[1，2]时，不等式f (x )≤|x －4|恒成立，求a 的取值范围．【解析】(1)因为f(x)＝|x＋a|＋|x－2|≥|(x＋a)－(x－2)|＝|a＋2|，(3分)当且仅当(x＋a)(x－2)≤0时取等号，则f(x)min＝|a＋2|.令|a＋2|＝3，则a＝1或a＝－5.(5分)(2)当x∈[1，2]时，f(x)＝|x＋a|＋2－x，|x－4|＝4－x.由f(x)≤|x－4|，得|x＋a|＋2－x≤4－x，即|x＋a|≤2，即―2≤x＋a≤2，即―x－2≤a≤－x＋2.所以(－x－2)max≤a≤(－x＋2)min.(8分)因为函数y＝－x－2和y＝－x＋2在[1，2]上都是减函数，则当x＝1时，(－x－2)max＝－3；当x＝2时，(－x＋2)min＝0，所以a的取值范围是[－3，0]．(10分)。
专题3.2 复杂数列的求和问题 高考数学选填题压轴题突破讲义(解析版)
一．方法综述数列的求和问题是数列高考中的热点问题，数列的求和问题会渗透多种数学思想，会跟其他知识进行结合进行考查.因此求解过程往往方法多、灵活性大、技巧性强，但万变不离其宗，只要熟练掌握各个类型的特点即可.在考试中时常会考查一些压轴小题，如数列求和中的新定义问题、子数列中的求和问题、奇偶性在数列求和中的应用、周期性在数列求和中的应用、数列求和的综合问题中都有所涉及，本讲就这类问题进行分析.二．解题策略类型一数列求和中的新定义问题【例1】【湖南师范大学附属中学2019届高三上学期月考（四)】对于数列，定义为的“优值”，现已知某数列的“优值”，记数列的前项和为，则（）A．2022 B．1011 C．2020 D．1010【答案】B【解析】由，得，①，②①-②得，即，，所以.故选B.【指点迷津】1.“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.2.解决此类问题的一些技巧：（1）抓住“新信息”的特点，找到突破口；（2）尽管此类题目与传统的数列“求通项，求和”的风格不同，但其根基也是我们所学的一些基础知识与方法.所以在考虑问题时也要向一些基本知识点靠拢，弄清本问所考察的与哪个知识点有关，以便找到一些线索.（3）在分类讨论时要遵循“先易后难”的原则，以相对简单的情况入手，可能在解决的过程中会发现复杂情况与该情况的联系，或者发现一些通用的做法与思路，使得复杂情况也有章可循.【举一反三】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，定义11ni i S n =∑为数列{}n a 前n 项的叠加和，若2016项数列1232016,,,a a a a L 的叠加和为2017，则2017项数列1220161,,,a a a L 的叠加和为( )A. 2017B. 2018C. 22017D. 22018 【答案】A故选A ．类型二 子数列中的求和问题【例2】已知有穷数列{}n a 中， 1,2,3,,729n =L ，且()()1211n n a n +=--，从数列{}n a 中依次取出2514,,,a a a L 构成新数列{}n b ，容易发现数列{}n b 是以-3为首项，-3为公比的等比数列，记数列{}n a 的所有项的和为S ，数列{}n b 的所有项的和为T ，则（ ）A. S T >B. S T =C. S T <D. S 与T 的大小关系不确定 【答案】A【解析】因为()728135727*********s =-+-++⨯-=+⨯=L ， ()()()133372921n nn b -=--=-≤⨯-，所以6n ≤，当6n =时， 6729b =是n a 中第365项，符合题意，所以()()()()631354613T ---==--,所以S T >，选A. *网【指点迷津】一个数列中某些项的求和问题，关键在于弄清楚新的数列的形式，了解其求和方法.【举一反三】已知*n N ∈，集合13521,,,,2482n n n M -⎧⎫=⎨⎬⎩⎭L ，集合n M 的所有非空子集的最小元素之和为n T ，则使得80n T >的最小正整数n 的值为（ ）A. 12B. 13C. 14D. 15 【答案】B∴n T =S 1+S 2+S 3+…+S n =212n -+2237531......222442n n --++++=则21802n -> 的最小正整数n 为13 故选B.类型三 奇偶性在数列求和中的应用 【例3】【福建省2019届高三模拟】已知数列满足，，且，，设数列的前项和为，则__________（用表示）.【答案】【解析】 当是奇数时，，，所以，，，…，，…是首项为1，公差为6的等差数列，因此；当是偶数时，，，所以，，，…，，…是首项为4，公比为3的等比数列，因此.综上，，所以，即.【指点迷津】数列求和中遇到n)1(-，πn sin ，πn cos 都会用到奇偶性，进行分类讨论.再采用分组转化法求和或者并项求和的方法，即通过两个一组进行重新组合，将原数列转化为一个等差数列. 分组转化法求和的常见类型还有分段型（如,{2,n n n n a n =为奇数为偶数）及符号型（如()21nn a n =- ）【举一反三】设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知22a =,()1211n n n a a -++-=,则40S =______【答案】240类型四 周期性在数列求和中的应用 【例4】数列{}n a 满足12sin122n n n a a n π+⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则数列{}n a 的前100项和为__________． 【答案】5100【指点迷津】本题主要考查数列的周期性，数列是定义域为正整数集或它的子集的函数，因此数列具有函数的部分性质，本题观察到条件中有sin2n π ，于是考虑到三角函数的周期性，构造()sin 2f n n π=⋅，周期为4，于是研究数列中依次4项和的之间的关系，发现规律，从而转化为熟悉的等差数列求和问题.解决此类问题要求具有观察、猜想、归纳能力，将抽象数列转化为等差或等比数列问题.【举一反三】已知数列2008，2009，1，，若这个数列从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2019项之和______．【答案】4018【解析】数列从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，可得2008，2009，1，，，，2008，2009，1，，即有数列的最小正周期为6，可得一个周期的和为0，由，可得．故答案为：4018．类型五数列求和的综合问题【例5】【上海市青浦区2019届高三二模】等差数列,满足，则（）A．的最大值为50 B．的最小值为50C．的最大值为51 D．的最小值为51【答案】A【解析】时，满足条件，所以满足条件，即最小值为2，舍去B,D.要使得取最大值，则项数为偶数，设，等差数列的公差为，首项为，不妨设，则，且，由可得，所以,因为，所以，所以，而，所以，故.故选A【指点迷津】先根据题意可知中的项有正有负，不妨设，根据题意可求得，根据，去绝对值求和，即可求出结果.【举一反三】1.【新疆乌鲁木齐市2019届高三一模】已知数列和的前项和分别为和，且，，（），若对任意的，恒成立，则的最小值为_____. 【答案】【解析】，，可得，解得，当时，，化为，由，可得，即有，，即有，对任意的，恒成立，可得，即的最小值为.故答案为：.2.【湖北省宜昌市2019届高三年级元月调考】已知数列是各项均为正数的等比数列，其前项和为，点、均在函数的图象上，的横坐标为，的横坐标为，直线的斜率为.若，，则数列的前项和__________．【答案】【解析】由题意可知：，，，，∴，解得，∴∴∴①②①﹣②得，所以，整理得．故答案为：三．强化训练1.【山东省日照一中2019届高三11月统考模拟】已知函数的定义域为，，对任意R都有，则=A．B．C．D．【答案】B【解析】由，且，得，，，，故选B.2.【四川省凉山州2019届高三二诊】我们把叫“费马数”（费马是十七世纪法国数学家）.设，，，，表示数列的前项之和，则使不等式成立的最小正整数的值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵∴，∴，而∴，，即，当n=8时，左边=，右边=，显然不适合；当n=9时，左边=，右边=，显然适合，故最小正整数的值9故选：B3.【安徽省合肥市2019届高三第二次检测】“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等.某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是件.已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的.若这堆货物总价是万元，则的值为（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【解析】由题意，第一层货物总价为1万元，第二层货物总价为万元，第三层货物总价为万元，…，第层货物总价为万元，设这堆货物总价为万元,则，，两式相减得，则,解得，故选D.4．己知数列满足，，，则数列的前2018项的和等于A．B．C．D．【答案】B【解析】由，即，当n为奇数时，可得，成等比，首项为1，公比为3．当n为偶数时，可得，成等比，首项为3，公比为3．那么：，前2018项中，奇数项和偶数项分别有1009项.故得．故选：B．5.已知等差数列{a n}的首项为，公差为d，其前n项和为，若直线y＝x＋m与圆(x－2)＋y＝1的两个交点关于直线x＋y－d＝0对称，则数列的前10项和为（）A．B．C．D．2【答案】B【解析】因为直线y＝x＋m与圆（x﹣2）2+y2＝1的两个交点关于直线x＋y－d＝0对称，所以直线x＋y－d＝0经过圆心，则有2＋0－d＝0，d＝2，而直线y＝x＋m与直线x＋y－d＝0垂直，所以＝1，＝2，则Sn＝2n＋×2＝n(n＋1)．＝，所以数列的前10项和为1－＋－＋…＋－＝1－＝.故选：B.6．【山东省济南市历城第二中学2019接高三11月月考】定义函数如下表，数列满足，. 若，则（）A．7042 B．7058 C．7063 D．7262【答案】C【解析】由题意，∵a1=2，且对任意自然数均有a n+1=f（a n），∴a2=f（a1）=f（2）=5，即a2=5，a3=f（a2）=f（5）=1，即a3=1，a4=f（a3）=f（1）=3，即a4=3，a5=f（a4）=f（3）=4，即a5=4，a6=f（a5）=f（4）=6，即a6=6，a7=f（a6）=f（6）=2，即a7=2，可知数列{a n}：2，5，1，3，4，6，2，5，1…是一个周期性变化的数列，周期为：6．且a1+a2+a3+…+a6=21．故a1+a2+a3+…+a2018=336×（a1+a2+a3+…+a6）+a1+a2=7056+2+5=7063．故选C7．【吉林省长春市实验中学2019届高三期末】设数列中，若，则称数列为“凸数列”.已知数列为“凸数列”，且，则数列的前2019项和为（）A．1 B．C．D．【答案】C【解析】∵数列{b n}为“凸数列”，∴b n+1＝b n+b n+2，∵b1＝1，b2＝﹣2，∴﹣2＝1+b3，解得b3＝﹣3，同理可得：b4＝﹣1，b5＝2，b6＝3，b7＝1，b8＝﹣2…，∴b n+6＝b n．又b1+b2+…+b6=1﹣2﹣3﹣1+2+3=0，且2019=6+3，∴数列{b n}的前2019项的和＝b1+b2+ b3+336=1-2-3=-4，故选：C．8．【河北省武邑中学2019届高三（上)期中】数列中的项按顺序可以排列成如图的形式，第一行1项，排；第二行2项，从左到右分别排，；第三行排3项，依此类推设数列的前项和为，则满足的最小正整数n的值为A．20 B．21 C．26 D．27【答案】B【解析】解：根据题意，第一行，为4，其和为4，可以变形为；第二行，为首项为4，公比为3的等比数列，共2项，其和为；第三行，为首项为4，公比为3的等比数列，共3项，其和为；依此类推：第n行的和；则前6行共个数，前6项和为：，满足，而第六行的第6个数为，则，故满足的最小正整数n的值21；故选：B．二、填空题9.【宁夏银川一中2019届高三一模】已知数列的前n项和为，数列的前n项和为，满足,且.若对任意恒成立，则实数的最小值为______．【答案】【解析】数列的前n项和为，满足，当时，，解得，所以当时，，化简得，所以当时，，当时上式也成立，所以，因为，，所以，若对于任意恒成立，则实数的最小值为.10．在如图所示数表中，已知每行、每列中的数都构成等差数列，设表中第n行第n列的数为，则数列的前100项的和为______．【答案】【解析】由题意可知，第一行的第n个数为；第二行的第n个数为；第三行的第n个数为；第n行的第n个数为；即，，前100项的和为，，故答案为：．11．【湖南省株洲市2019届高三统一检测（一)】数列的首项为1，其余各项为1或2，且在第个1和第个1之间有个2，即数列为：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…，记数列的前项和为，则__________．（用数字作答）【答案】3993【解析】第个1为数列第项，当时；当时；所以前2019项有45个1和个2，因此12．【湖南省湘潭市2019届高三二模】已知函数的图像在点处的切线与直线垂直，若数列的前项和为，则__________．【答案】【解析】由题意知，则，，故，，故，.故答案为13．【安徽省宣城市2019届高三第二次调研】数列的前项和为，定义的“优值”为，现已知的“优值”，则_________.【答案】【解析】解：由＝2n，得a1+2a2+…+2n﹣1a n＝n•2n，①n≥2时，a1+2a2+…+2n﹣2a n﹣1＝（n﹣1）•2n﹣1，②①﹣②得2n﹣1a n＝n•2n﹣（n﹣1）•2n﹣1＝（n+1）•2n﹣1，即a n＝n+1，对n＝1时，a1＝2也成立，所以.14．【江苏省常州市2019届高三上期末】数列满足，且数列的前项和为，已知数列的前项和为1，那么数列的首项________.【答案】【解析】数列{a n﹣n}的前2018项和为1，即有（a1+a2+…+a2018）﹣（1+2+…+2018）＝1，可得a1+a2+…+a2018＝1+1009×2019，由数列{b n}的前n项和为n2，可得b n＝2n﹣1，，a2＝1+a1，a3＝2﹣a1，a4＝7﹣a1，a5＝a1，a6＝9+a1，a7＝2﹣a1，a8＝15﹣a1，a9＝a1，…，可得a1+a2+…+a2018＝（1+2+7）+（9+2+15）+（17+2+23）+…+（4025+2+4031）+（a1+4033+a1）＝505+×505×504×8+2×504+504×7+×504×503×8+2a1＝1+1009×2019，解得a1＝．故答案为：．15．【广东省汕尾市普通高中2019年3月高三检测】已知数列的首项为数列的前项和若恒成立，则的最小值为______．【答案】【解析】数列的首项，则：常数故数列是以为首项，3为公差的等差数列．则：首项符合通项．故：，，，由于数列的前n项和恒成立，故：，则：t的最小值为，故答案为：．16．【上海交通大学附属中学2019届高三3月月考】对任意，函数满足：，，数列的前15项和为，数列满足，若数列的前项和的极限存在，则________．【答案】【解析】∵，，∴，展开为，，即0≤f（n）≤1，．即，∴，化为＝．∴数列{}是周期为2的数列．∵数列{}的前15项和为，∴＝7（）+．又，解得，．∴＝，＝．由0，f（k+1），解得f（2k﹣1）．0，f（n+1），解得f（2k），又，令数列的前n项和为，则当n为奇数时，，取极限得；则当n为偶数时，，取极限得；若数列的前项和的极限存在，则，，故答案为.。
湖南省湖南师范大学附属中学2019届高三数学上学期月考试题(五)文(含解析)
湖南省湖南师范大学附属中学2019届高三数学上学期月考试题（五）文（含解析）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页。
时量120分钟。
满分150分。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数6－5i ，－2＋3i 对应的点分别为A 、B ，若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是(C)A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2－iD ．4＋i【解析】复数6－5i 对应的点为A (6，－5)，复数－2＋3i 对应的点为B (－2，3)．利用中点坐标公式得线段AB 的中点C (2，－1)，故点C 对应的复数为2－i ，选C.2．设命题p ：－6≤m ≤6，命题q ：函数f (x )＝x 2＋mx ＋9(m ∈R )没有零点，则p 是q 的(B)A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】函数f (x )＝x 2＋mx ＋9(m ∈R )没有零点，则Δ＝m 2－36<0，即－6<m <6，显然，q 可以推出p ，而p 不能推出q ，故选B.3．点P (a ，3)到直线4x －3y ＋1＝0的距离等于4，且在2x ＋y －3<0表示的平面区域内，则a 的值为(C)A ．3B ．7C ．－3D ．－7【解析】由题意⎩⎪⎨⎪⎧|4a －3×3＋1|5＝4，2a ＋3－3<0，解得a ＝－3.选C.4．已知函数f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝x 13，则在(－2，0)上，下列函数中与f (x )的单调性相同的是(C)A ．y ＝－x 2＋1B ．y ＝|x ＋1|C ．y ＝e |x |D ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥0x 3＋1，x <0【解析】由已知得f (x )在(－2，0)上单调递减，所以答案为C.5．如图所示是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为(D) A ．57＋24π B ．57＋15π C ．48＋15π D ．48＋24π【解析】本题为圆锥与直四棱柱的组合体．注意表面积分为三部分，圆锥侧面展开图，即扇形面积5×6π2＝15π；圆锥底面圆，S ＝πr 2＝9π；直四棱柱侧面积，3×4×4＝48，总面积为48＋24π.6．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均与圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，则该双曲线离心率等于(A)A.355 B.62C.32D.55【解析】圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0圆心为C (3，0)，半径为2，由已知C 到直线y ＝bax 的距离为2，可得9a 2＝5c 2，可得e ＝355.故选A.7．将参加夏令营的400名学生编号为：001，002，…，400，采用系统抽样的方法抽取一个容量为40的样本，且随机抽得的号码为003，这400名学生分住在三个营区，从001到180在第一营区，从181到295在第二营区，从296到400在第三营区，三个营区被抽中的人数分别为(A)A ．18，12，10B ．20，12，8C ．17，13，10D ．18，11，11【解析】根据系统抽样特点，抽样间隔为40040＝10，被抽到号码l ＝10k ＋3，k ∈N .由题意可知，第一营区可分为18个小组，每组抽取1人，共抽取18人，由第二营区的编号为181到295，可知181≤10k ＋3≤295，k ∈N ，可得18≤k ≤29，因此第二营区应有12人，第三营区有10人，所以三个营区被抽中的人数分别为18，12，10.8．已知△ABC 中，∠A ＝30°，AB 、BC 分别是3＋2，3－2的等差中项与等比中项，则△ABC 的面积等于(D)A.32 B.34 C.32或 3 D.32或34【解析】由条件AB ＝3，BC ＝1，由3sin C ＝1sin 30°，得sin C ＝32.∴C ＝60°或120°，∴B ＝90°或30°，∴S △ABC ＝12AB ·BC ·sin B ＝32sin B ＝32或34.故选D.9．右图中，x 1，x 2，x 3为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，p 为该题的最终得分，当x 1＝6，x 2＝9，p ＝8.5时，x 3等于(C)A ．11B ．10C ．8D ．7【解析】x 1＝6，x 2＝9，|x 1－x 2|＝3≤2不成立，即为“否”，所以再输入x 3；由绝对值的意义(一个点到另一个点的距离)和不等式|x 3－x 1|<|x 3－x 2|知，点x 3到点x 1的距离小于点x 3到x 2的距离，所以当x 3<7.5时，|x 3－x 1|<|x 3－x 2|成立，即为“是”，此时x 2＝x 3，所以p ＝x 1＋x 32，即6＋x 32＝8.5，解得x 3＝11>7.5，不合题意；当x 3≥7.5时，|x 3－x 1|<|x 3－x 2|不成立，即为“否”，此时x 1＝x 3，所以p ＝x 3＋x 22，即x 3＋92＝8.5，解得x 3＝8>7.5，符合题意，故选C.10．A (a ，1)，B (2，b )，C (4，5)为坐标平面内三点，O 为坐标原点，若OA →与OB →在OC →方向上的投影相同，则a ，b 满足的关系式为(A)A ．4a －5b ＝3B ．5a －4b ＝3C ．4a ＋5b ＝14D ．5a ＋4b ＝14【解析】由OA →与OB →在OC →方向上的投影相同可知：OA →·OC →|OC →|＝OB →·OC →|OC →|4a ＋5＝8＋5b 4a－5b ＝3.故选A.11．已知直线y ＝mx 与函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x ≤0，12x 2＋1，x >0的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m 的取值范围为(B)A ．(3，4)B ．(2，＋∞)C ．(2，5)D ．(3，22)【解析】做出f (x )的图象，可知m ≤0时，直线y ＝mx 与f (x )只有一个交点，不符题意；当m >0时y ＝mx 与y ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x(x ≤0)总有一个交点，故y ＝mx 与y ＝12x 2＋1(x >0)必有两个交点，即方程12x 2＋1＝mx (x >0)必有两不等正实根，即方程x 2－2mx ＋2＝0必有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4m 2－8>0x 1＋x 2＝2m >0，x 1x 2＝2>0，解得m ∈(2，＋∞)，选B.12．已知方程x 3＋ax 2＋bx ＋c ＝0的三个实根可分别作为一椭圆、一双曲线、一抛物线的离心率，则a 2＋b 2的取值范围是(D)A ．(5，＋∞)B ．[5，＋∞)C ．[5，＋∞)D ．(5，＋∞)【解析】设f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由抛物线的离心率为1，知f (1)＝1＋a ＋b ＋c ＝0故c ＝－1－a －b ，所以f (x )＝(x －1)[x 2＋(1＋a )x ＋a ＋b ＋1]．另外两根分别是一椭圆、一双曲线的离心率，故g (x )＝x 2＋(1＋a )x ＋a ＋b ＋1有两个分别属于(0，1)和(1，＋∞)的零点．故有g (0)>0且g (1)<0，即a ＋b ＋1>0且2a ＋b ＋3<0.运用线性规划知识可求得a 2＋b 2∈(5，＋∞)．故选D.选择题答题卡第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．13．设直线l ：(m －1)x ＋(2m ＋1)y ＋3m ＝0(m ∈R )与圆(x －1)2＋y 2＝8交于A 、B 两点，C 为圆心，且△ABC 面积等于4，则实数m ＝__－12或－72__．【解析】设CA ，CB 的夹角为θ，∴S △ABC ＝12r 2sin θ＝4sin θ＝4，∴θ＝π2，此时圆心C 到直线l 的距离为2，∴|4m －1|（m －1）2＋（2m ＋1）2＝2m ＝－12或m ＝－72.14．已知x >0，y >0，且2x ＋1y＝1，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是__－4<m <2__．【解析】因为(x ＋2y )⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝4＋⎝⎛⎭⎪⎫4y x ＋x y≥4＋24y x ·x y＝8，所以m 2＋2m <8，解得－4<m <2.15．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，过点A 向∠BAD 所在区域等可能任作一条射线AP ，已知事件“射线AP 与线段BC 有公共点”发生的概率为13，则BC 边的长为．【解析】因为P ＝∠BAC ∠BAD ＝13，∠BAD ＝90°，则∠BAC ＝30°，所以BC AB ＝tan 30°＝33.因为AB ＝3，则BC ＝ 3.16．函数y ＝f (x )图象上不同两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)处的切线的斜率分别是k A ，k B ，规定φ(A ，B )＝|k A －k B ||AB |2叫做曲线y ＝f (x )在点A 、B 之间的“平方弯曲度”．设曲线y ＝ex＋x 上不同两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1－x 2＝1，则φ(A ，B )的取值范围是__⎝ ⎛0，2__．【解析】y ＝e x ＋x 的导数为y ′＝e x＋1，k A ＝e x 1＋1，k B ＝e x 2＋1，φ(A ，B )＝|k A －k B ||AB |2＝|e x 1－e x 2|（x 1－x 2）2＋（e x 1－e x 2＋x 1－x 2）2＝|e x 1－e x 2|1＋（e x 1－e x 2＋1）2，x 1－x 2＝1，可得x 1＞x 2，e x 1＞e x 2，可令t ＝e x 1－e x 2，可设f (t )＝t 1＋（t ＋1）2，t ＞0，f ′(t )＝1＋（t ＋1）2－2t （t ＋1）（1＋（t ＋1）2）2＝2－t2（1＋（t ＋1）2）2，当0＜t ＜2时，f ′(t )＞0，f (t )递增；当t ＞2时，f ′(t )＜0，f (t )递减．则当t ＝2处f (t )取得极大值，且为最大值21＋（2＋1）2＝2－12.则φ(A ，B )∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，2－12. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本题满分12分)越接近高考学生焦虑程度越强，四个高三学生中大约有一个有焦虑症，经有关机构调查，得出距离高考周数与焦虑程度对应的正常值变化情况如下表：(1)作出散点图：(2)根据上表数据用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^(精确到0.01)； (3)根据经验，观测值为正常值的0.85～1.06为正常，若1.06～1.12为轻度焦虑，1.12～1.20为中度焦虑，1.20及其以上为重度焦虑，若为中度焦虑及其以上，则要进行心理疏导，若一个学生在距高考第二周时观测值为100，则该学生是否需要进行心理疏导？其中b ^＝错误!错误!＝91，错误!＝错误!－错误!错误!. 【解析】(1)4分(2)x －＝16(6＋5＋4＋3＋2＋1)＝3.5，y －＝16(55＋63＋72＋80＋90＋99)＝76.5，x － y －＝267.75，b ^＝1 452－6×267.7591－6×3.52≈－8.83，a ^＝76.5＋8.83×3.5≈107.41， 所以线性回归方程为y ＝－8.83x ＋107.418分(3)x ＝2时，y ＝－8.83×2＋107.41≈89.74，∵10089.74≈1.11<1.12，为轻度焦虑，故该学生不需要进行心理疏导.12分18．(本题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ，AB ＝2AD ，E 是线段PD 上的点，F 是线段AB 上的点，且PE ED ＝BFFA＝λ(λ>0)．(1)证明：EF ∥平面PBC ；(2)是否存在实数λ，使得异面直线EF 与CD 所成角为60°？若存在，试求出λ的值，若不存在，请说明理由．【解析】(1)作EH ∥AD 交PA 于点H ，连接HF ，∵EH ∥AD ，∴PE ED ＝PHHA.1分又∵PE ED ＝BF FA ＝λ，∴PH HA ＝BFFA，∴FH ∥PB .2分又∵EH ∥AD ，FH ∩HE ＝H ， ∴平面EFH ∥平面PBC .4分∵EF 平面EFH ，∴EF ∥平面PBC .6分(2)存在实数λ＝5，使得异面直线EF 与CD 所成角为60°.7分其理由如下：假设存在实数λ，使得异面直线EF 与CD 所成角为60°， ∵AB ∥CD ，∴∠AFE 为异面直线EF 与CD 所成角，∴∠AFE ＝60°.8分 过点E 作EQ ⊥AD 交AD 于点Q ，连接FQ ， ∵PA ＝AD ，AB ＝2AD ， ∴设AD ＝1，又∵PE ED ＝BFFA＝λ，AF ＝DE ＝21＋λ，AQ ＝λ1＋λ，EQ ＝11＋λ，10分 ∵FQ 2＝AF 2＋AQ 2＝⎝⎛⎭⎪⎫21＋λ2＋⎝⎛⎭⎪⎫λ1＋λ2＝2＋λ2（1＋λ）2， ∵EF 2＝EQ 2＋FQ 2＝2＋λ2（1＋λ）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋λ2＝3＋λ2（1＋λ）2， ∴Rt △FAE 中，cos ∠AFE ＝cos 60°＝AF EF ，∴14＝23＋λ2，∴λ＝ 5.∴存在实数λ＝5，使得异面直线EF 与CD 所成角为60°.12分19．(本题满分12分)在等差数列{}a n 中，a 3＋a 4＋a 5＝84，a 9＝73. (1)求数列{}a n 的通项公式；(2)对任意m ∈N *，将数列{}a n 中落入区间(9m ，92m)内的项的个数记为b m ，求数列{}b m 的前m 项和S m .【解析】(1)因为{}a n 是一个等差数列，a 3＋a 4＋a 5＝84， 所以a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝84，即a 4＝28，设数列{}a n 的公差为d ，则5d ＝a 9－a 4＝73－28＝45，故d ＝9.2分 由a 4＝a 1＋3d ，得28＝a 1＋3×9，即a 1＝1.4分所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋9(n －1)＝9n －8，n ∈N *.6分(2)对m ∈N *，若9m <a n <92m ，则9m ＋8<9n <92m＋8，7分因此9m －1＋89≤n ≤92m －1＋89，8分 故得b m ＝92m －1－9m －1，9分于是S m ＝b 1＋b 2＋…＋b m ＝(9＋93＋…＋92m －1)－(1＋9＋…＋9m －1) ＝9×（1－81m）1－81－1×（1－9m）1－9＝92m ＋1－10×9m＋180.12分20．(本题满分12分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点是F 1、F 2，左右顶点是A 1、A 2，离心率是22，过F 2的直线与椭圆交于两点P 、Q (不是左、右顶点)，且△F 1PQ 的周长是42，直线A 1P 与A 2Q 交于点M .(1)求椭圆的方程；(2)(ⅰ)求证直线A 1P 与A 2Q 交点M 在一条定直线l 上；(ⅱ)N 是定直线l 上的一点，且PN 平行于x 轴，证明：|PF 2||PN |是定值．【解析】(1)设椭圆的焦距是2c ，据题意有：⎩⎪⎨⎪⎧ca ＝22，4a ＝42a ＝2，c ＝1，则b ＝1，所以椭圆的方程是x 22＋y 2＝1.3分(2)(ⅰ)由(1)知A 1(－2，0)，A 2(2，0)，F 2(1，0)，设直线PQ 的方程是x ＝my ＋1，代入椭圆方程得：(m 2＋2)y 2＋2my －1＝0，易知Δ＝4m 2＋4(m 2＋2)＝8m 2＋8>0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，y 1>y 2，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2mm 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2y 2－y 1＝－（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝－22m 2＋2m 2＋2，5分直线A 1P 的方程是：y ＝y 1x 1＋2(x ＋2) ①，直线A 2Q 的方程是：y ＝y 2x 2－2(x －2) ②，7分设M (x ，y )，既满足①也满足②，则x ＝2·x 2y 1＋x 1y 2＋2（y 2－y 1）x 1y 2－x 2y 1＋2（y 2＋y 1）＝2·2my 1y 2＋（y 1＋y 2）＋2（y 2－y 1）2（y 1＋y 2）＋（y 2－y 1）＝2·－2m m 2＋2－2m m 2＋2－222m 2＋2m 2＋2－22m m 2＋2－22m 2＋2m 2＋2＝2·4m ＋222m 2＋222m ＋22m 2＋2＝2， 故直线A 1P 与A 2Q 交点M 在一条定直线l ：x ＝2上.10分(ⅱ)设N (2，t )，P (x 1，y 1)，x 1∈(－2，2)，则|PN |＝2－x 1， ∴|PF 2||PN |＝（x 1－1）2＋y212－x 1＝（x 1－1）2＋1－x 222－x 1＝12（x 1－2）22－x 1＝22.12分21．(本题满分12分)已知函数f (x )＝x 2－a ln x －x (a ≠0)． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若a >0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是函数f (x )图象上的任意两点(x 1<x 2)，记直线AB 的斜率为k ，求证：f ′⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋2x 23>k .【解析】(1)f ′()x ＝2x －a x －1＝2x 2－x －ax()x >0，1分 ①当a ≤－18时，2x 2－x －a ≥0恒成立，即f ′()x ≥0恒成立，故函数f ()x 的单增区间为()0，＋∞，无单减区间.2分 ②当－18<a <0时，f ′()x >02x 2－x －a >0，解得：x >1＋1＋8a 4或x <1－1＋8a 4，∵x >0，∴函数f ()x 的单增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1＋8a 4，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1＋8a 4，＋∞，单减区间为⎝⎛⎭⎪⎫1－1＋8a 4，1＋1＋8a 4.4分 ③当a >0时，由f ′()x >0解得：x >1＋1＋8a 4或x <1－1＋8a4.∵x >0，而此时1－1＋8a4≤0，∴函数f ()x 的单增区间为⎝⎛⎭⎪⎫1＋1＋8a 4，＋∞，单减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋1＋8a 4.6分 (2)证明：∵f ′()x ＝2x －a x－1，∴f ′⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋2x 23＝2()x 1＋2x 23－3a x 1＋2x 2－1，由题，k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝()x 21－x 22－a ()ln x 1－ln x 2－()x 1－x 2x 1－x 2＝()x 1＋x 2－a lnx 1x 2x 1－x 2－1，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋2x 23－k ＝2()x 1＋2x 23－()x 1＋x 2－3a x 1＋2x 2＋a lnx 1x 2x 1－x 2 ＝x 2－x 13－3ax 1＋2x 2＋a lnx 1x 2x 1－x 2，8分注意到x 2－x 13>0，故欲证f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋2x 23>k ，只须证明a lnx 1x 2x 1－x 2>3a x 1＋2x 2.因为a >0，故即证lnx 1x 2x 1－x 2>3x 1＋2x 2ln x 1x 2<3()x 1－x 2x 1＋2x 2ln x 1x 2<3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2－1x 1x 2＋29分 令x 1x 2＝t ∈()0，1，g ()t ＝ln t －3()t －1t ＋2， 则g ′()t ＝1t－9()t ＋22＝()t －1()t －4t ()t ＋22>0，故g ()t 在()0，1上单调递增．所以g ()t <g ()1＝0，即ln t <3()t －1t ＋2，即：ln x 1x 2<3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2－1x 1x 2＋2，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋2x 23>k .12分请考生在第22～23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
湖南师大附中2019届高三上学期月考(四)数学(理)试题(含解析)
湖南师大附中2019届高三月考试卷(四)数 学(理科)时量：120分钟 满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x ∈R |x 2－x －2＜0}，B ＝{x ∈Z |x ＝2t ＋1，t ∈A}，则A ∩B ＝( ) A ．{－1，0，1}B ．{－1，0}C ．{0，1}D ．{0}2．已知复数z ＝21－i ，给出下列四个结论：①|z|＝2；② z 2＝2i ；③z 的共轭复数z ＝－1＋i ；④z的虚部为i.其中正确结论的个数是( )A ．0B. 1C ．2D ．33．若向量a 与b 满足()a ＋b ⊥a ，且||a ＝1，||b ＝2，则向量a 在b 方向上的投影为( ) A. 3B ．－12C ．－1D.334．五进制是以5为底的进位制，主因乃人类的一只手有五只手指. 中国古代的五行学说也是采用的五进制，0代表土，1代表水，2代表火，3代表木，4代表金，依此类推，5又属土，6属水，……，减去5即得. 如图，这是一个把k 进制数a(共有N 位)化为十进制数b 的程序框图，执行该程序框图，若输入的k ，a ，n 分别为5，1 203，4，则输出的b ＝( )A ．178B ．386C ．890D ．14 3035．若(1－x)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则|a 0|－|a 1|＋|a 2|－|a 3|＋|a 4|－|a 5|＝( ) A ．0B ．1C ．32D ．－16．若实数x ，y 满足⎩⎨⎧2x －y ≥0，y ≥x ，y ≥－x ＋b ，且z ＝2x ＋y 的最小值为3，则实数b 的值为( )A ．1B. 2C.94D.527．气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22 ℃”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据(记录数据都是正整数)：①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22； ②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8. 则肯定进入夏季的地区有( ) A ．①②③B ．①③C ．②③D ．①8．平面α过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A ，平面α∥平面A 1BD ，平面α∩平面ABCD ＝l ，则直线l 与直线A 1C 1所成的角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°9．对于数列{}a n ，定义H n ＝a 1＋2a 2＋…＋2n －1a nn 为{}a n 的“优值”，现已知某数列的“优值”H n＝2n ，记数列{}a n 的前n 项和为S n ，则S 2 0192 019＝( )A ．2 022B ．1 011C ．2 020D ．1 01010．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos B b ＋cos C c ＝23sin A3sin C ，cos B＋3sin B ＝2，则a ＋c 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤32，3B.⎝⎛⎦⎤32，3C.⎣⎡⎦⎤32，3D.⎣⎡⎦⎤32，311．已知函数f(x)＝⎩⎨⎧log 2()2－x ，0≤x ＜k ，x 3－3x 2＋3，k ≤x ≤a ，若存在实数k ，使得函数f(x)的值域为[－1，1]，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤32，1＋3B.[]2，1＋3C.[]1，3D.[]2，312．设A ，B 是抛物线y ＝x 2上的两点，O 是坐标原点，若OA ⊥OB ，则以下结论恒成立的结论个数为( )①|OA|·|OB|≥2；②直线AB 过定点(1，0)；③O 到直线AB 的距离不大于1 A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π3(x ∈R ，ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，则ω＝____．14．已知函数f(x)＝⎩⎨⎧x ＋1（－1≤x ≤0），1－x 2（0<x ≤1），则⎰11-)(dx x f 的值为____． 15．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)，过x 轴上点P 的直线与双曲线的右支交于M ，N 两点(M在第一象限)，直线MO 交双曲线左支于点Q(O 为坐标原点)，连接QN.若∠MPO ＝120°，∠MNQ ＝150°，则该双曲线的渐近线方程为____ .16．某几何体的三视图如图所示，正视图是直角三角形，侧视图是等腰三角形，俯视图是边长为32的等边三角形，若该几何体的外接球的体积为36π，则该几何体的体积为____．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分． 17．(本小题满分12分)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 4＝2a 4－2，S 3＝2a 3－2. (Ⅰ)求{a n }的通项公式；(Ⅱ)记b n ＝log 2()a n －1·a n ，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n 项和为T n ，求使T n >177－2n 60成立的正整数n 的最小值．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，∠ADP＝90°，平面ADP⊥平面ABCD，点F为棱PD的中点．(Ⅰ)在棱AB上是否存在一点E，使得AF∥平面PCE，并说明理由；(Ⅱ)当二面角D－FC－B的余弦值为24时，求直线PB与平面ABCD所成的角．19．(本小题满分12分)为了引导居民合理用水，某市决定全面实施阶梯水价．阶梯水价原则上以住宅(一套住宅为一户)的月用水量为基准定价，具体划分标准如表：阶梯级别第一阶梯水量第二阶梯水量第三阶梯水量月用水量范围(单位：立方米)[0，10) [10，15) [15，＋∞)从本市随机抽取了10户家庭，统计了同一月份的月用水量，得到如图茎叶图：(Ⅰ)现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯水量的户数X的分布列与数学期望；(Ⅱ)用抽到的10户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取10户，若抽到k户月用水量为一阶的可能性最大，求k的值．已知点F 是椭圆x 21＋a 2＋y 2＝1(a>0)的右焦点，点M(m ，0)，N(0，n)分别是x 轴，y 轴上的动点，且满足MN →·NF →＝0.若点P 满足OM →＝2ON →＋PO →(O 为坐标原点)．(Ⅰ)求点P 的轨迹C 的方程；(Ⅱ)设过点F 任作一直线与点P 的轨迹交于A ，B 两点，直线OA ，OB 与直线x ＝－a 分别交于点S ，T ，试判断以线段ST 为直径的圆是否经过点F ？请说明理由．21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝a(x －1)，g(x)＝(ax －1)e x ，a ∈R .(Ⅰ)若直线y ＝f(x)与曲线y ＝g(x)相切于点P(x 0，y 0)，证明：0<x 0<1； (Ⅱ)若不等式f(x)>g(x)有且仅有两个整数解，求a 的取值范围．(二)选考题：共10分．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋acos φ，y ＝asin φ(φ为参数，实数a ＞0)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝bcos φ，y ＝b ＋bsin φ(φ为参数，实数b ＞0)．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ＝α⎝⎛⎭⎫ρ≥0，0≤α≤π2与C 1交于O ，A 两点，与C 2交于O ，B 两点．当α＝0时，|OA|＝2；当α＝π2时，|OB|＝4. (Ⅰ)求a ，b 的值；(Ⅱ)求2|OA|2＋|OA|·|OB|的最大值．23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f(x)＝2||x ＋a ＋⎪⎪⎪⎪x －1a ()a ≠0. (Ⅰ)当a ＝1时，解不等式f(x)＜4； (Ⅱ)求函数g(x)＝f(x)＋f(－x)的最小值．解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x ∈R |x 2－x －2＜0}，B ＝{x ∈Z |x ＝2t ＋1，t ∈A}，则A ∩B ＝(C) A ．{－1，0，1} B ．{－1，0} C ．{0，1} D ．{0} 【解析】A ＝{x ∈R |x 2－x －2＜0}＝{x|－1＜x ＜2}， 则x ＝2t ＋1∈(－1，5)，所以B ＝{0，1，2，3，4}， 所以A ∩B ＝{0，1}，故选C.2．已知复数z ＝21－i ，给出下列四个结论：①|z|＝2；② z 2＝2i ；③z 的共轭复数z ＝－1＋i ；④z的虚部为i.其中正确结论的个数是(B)A ．0 B. 1 C ．2 D ．3【解析】由已知z ＝1＋i ，则|z|＝2，z 2＝2i ，z ＝1－i ，z 的虚部为1.所以仅结论②正确，故选B.3．若向量a 与b 满足()a ＋b ⊥a ，且||a ＝1，||b ＝2，则向量a 在b 方向上的投影为(B) A. 3 B ．－12 C ．－1 D.33【解析】利用向量垂直的充要条件有：()a ＋b ·a ＝a 2＋a ·b ＝0，∴a ·b ＝－1，向量a 在b 方向上的投影为a ·b ||b ＝－12.4．五进制是以5为底的进位制，主因乃人类的一只手有五只手指. 中国古代的五行学说也是采用的五进制，0代表土，1代表水，2代表火，3代表木，4代表金，依此类推，5又属土，6属水，……，减去5即得. 如图，这是一个把k 进制数a(共有N 位)化为十进制数b 的程序框图，执行该程序框图，若输入的k ，a ，n 分别为5，1 203，4，则输出的b ＝(A)A ．178B ．386C ．890D ．14 303【解析】模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出b ＝3·50＋0·51＋2·52＋1·53＝178.故选A.5．若(1－x)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则|a 0|－|a 1|＋|a 2|－|a 3|＋|a 4|－|a 5|＝(A) A ．0 B ．1 C ．32 D ．－1【解析】由二项展开式的通项公式T r ＋1＝C r 5(－x)r ＝C r5(－1)r x r ，可知a 1，a 3，a 5都小于0，则|a 0|－|a 1|＋|a 2|－|a 3|＋|a 4|－|a 5|＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，在原二项展开式中令x ＝1，可得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝0.故选A.6．若实数x ，y 满足⎩⎨⎧2x －y ≥0，y ≥x ，y ≥－x ＋b ，且z ＝2x ＋y 的最小值为3，则实数b 的值为(C)A ．1 B. 2 C.94 D.52【解析】画出可行域如图阴影部分所示，当目标函数z ＝2x ＋y 过点B 时取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋b ，2x －y ＝0得B ⎝⎛⎭⎫b 3，2b 3，则2×b 3＋2b3＝3，解得b ＝94.故选C.7．气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22 ℃”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据(记录数据都是正整数)：①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22； ②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8. 则肯定进入夏季的地区有(B)A ．①②③B ．①③C ．②③D ．①【解析】 由统计知识，①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22，可知①符合题意；②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24，有可能某一天的气温低于22 ℃，所以不符合题意；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8.若某一天的气温低于22 ℃，则总体方差就大于10.8，所以满足题意，故选B.8．平面α过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A ，平面α∥平面A 1BD ，平面α∩平面ABCD ＝l ，则直线l 与直线A 1C 1所成的角为(D)A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【解析】如图所示，平面α过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A ，平面α∥平面A 1BD ，平面α∩平面ABCD ＝l ＝AF ，平面A 1BD ∩平面ABCD ＝BD ，∴BD ∥AF ，又∵A 1C 1∥AC ，则直线l 与直线A 1C 1所成的角即为直线BD 与直线AC 所成的角，为90°.故选D.9．对于数列{}a n ，定义H n ＝a 1＋2a 2＋…＋2n －1a nn为{}a n 的“优值”，现已知某数列的“优值”H n＝2n ，记数列{}a n 的前n 项和为S n ，则S 2 0192 019＝(B)A ．2 022B ．1 011C ．2 020D ．1 010 【解析】由H n ＝a 1＋2a 2＋…＋2n －1a n n＝2n，得a 1＋2a 2＋…＋2n －1a n ＝n ·2n ， ①a 1＋2a 2＋…＋2n －2a n －1＝(n －1)·2n －1， ②①－②得2n －1a n ＝n·2n －(n －1)·2n －1＝(n ＋1)·2n －1，即a n ＝n ＋1，S n ＝n （n ＋3）2，所以S 2 0192 019＝1 011.故选B.10．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos B b ＋cos C c ＝23sin A3sin C ，cos B＋3sin B ＝2，则a ＋c 的取值范围是(B)A.⎝⎛⎦⎤32，3 B.⎝⎛⎦⎤32，3 C.⎣⎡⎦⎤32，3 D.⎣⎡⎦⎤32，3 【解析】由题意cos B b ＋cos C c ＝23sin A3sin C可得：ccos B ＋bcos C bc ＝sin Ccos B ＋sin Bcos C bsin C ＝sin （B ＋C ）bsin C ＝23sin A 3sin C ，∴b ＝32. cos B ＋3sin B ＝2⎝⎛⎭⎫12cos B ＋32sin B ＝2sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6＝2，∴B ＋π6＝π2，B ＝π3，bsin B ＝1，∴A ＋C ＝2π3，0<C ＝2π3－A<π2，0<A<π2，∴π6<A<π2，a ＋c ＝sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A ＝32sin A ＋32cos A ＝3sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6，∵π6<A<π2，∴π3<A ＋π6<2π3， ∴32<3sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6≤ 3. 故答案选B.11．已知函数f(x)＝⎩⎨⎧log 2()2－x ，0≤x ＜k ，x 3－3x 2＋3，k ≤x ≤a ，若存在实数k ，使得函数f(x)的值域为[－1，1]，则实数a 的取值范围是(B)A.⎣⎡⎦⎤32，1＋3B.[]2，1＋3C.[]1，3 D.[]2，3【解析】由于y ＝log 2(2－x)在[0，k)上是单调递减函数， 当x ＝0时，y ＝1,当x ＝32时，y ＝－1，所以0＜k ≤32.令g(x)＝x 3－3x 2＋3，则g′(x)＝3x 2－6x ＝0，解得x ＝0或x ＝2，当x ＝2时，函数取得极小值－1，当x 3－3x 2＋3＝1时，解得x 1＝1，x 2＝1＋3，x 3＝1－3＜0(舍)， 所以2≤a ≤1＋3，故选B.12．设A ，B 是抛物线y ＝x 2上的两点，O 是坐标原点，若OA ⊥OB ，则以下结论恒成立的结论个数为(C)①|OA|·|OB|≥2；②直线AB 过定点(1，0)；③O 到直线AB 的距离不大于1 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【解析】设A(x 1，x 21)，B(x 2，x 22)，OA →·OB →＝x 1x 2(1＋x 1x 2)＝0x 2＝－1x 1，|OA|·|OB|＝x 21()1＋x 211x 21⎝⎛⎭⎫1＋1x 21＝1＋x 21＋1x 21＋1≥2，①正确；直线AB 的斜率x 22－x 21x 2－x 1＝x 2＋x 1＝x 1－1x 1，方程为y －x 21＝⎝⎛⎭⎫x 1－1x 1(x －x 1)，过定点(0，1)，②错误；原点到直线AB ：⎝⎛⎭⎫x 1－1x 1x －y ＋1＝0的距离d ＝1⎝⎛⎭⎫x 1－1x 12＋1≤1，③正确．故选C.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π3(x ∈R ，ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，则ω＝__1__．【解析】由T 2＝π2，T ＝2π2ω得ω＝1.14．已知函数f(x)＝⎩⎨⎧x ＋1（－1≤x ≤0），1－x 2（0<x ≤1），则⎠⎛－11f(x)dx 的值为__12＋π4__． 【解析】⎠⎛－11f(x)dx ＝⎠⎛－10(x ＋1)dx ＋⎠⎛011－x 2dx ＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋x |0－1＋π4＝12＋π4. 15．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)，过x 轴上点P 的直线与双曲线的右支交于M ，N 两点(M在第一象限)，直线MO 交双曲线左支于点Q(O 为坐标原点)，连接QN.若∠MPO ＝120°，∠MNQ ＝150°，则该双曲线的渐近线方程为__y ＝±x__ .【解析】由题意可知：M ，Q 关于原点对称，∴k MN · k QN ＝b 2a 2，∵k MN ＝3，k QN ＝33，∴b 2a2＝1，渐近线方程为y ＝±x.16．某几何体的三视图如图所示，正视图是直角三角形，侧视图是等腰三角形，俯视图是边长为32的等边三角形，若该几何体的外接球的体积为36π，则该几何体的体积为__9__．【解析】根据几何体的三视图，得出该几何体如图所示，由该几何体的外接球的体积为36π，即43πR 3＝36π，R ＝3，则球心O 到底面等边△ABC 的中心O′的距离||OO′＝R 2－⎝⎛⎭⎫33×322＝3，可得三棱锥的高h ＝2||OO′＝23，故三棱锥的体积V ＝13×34×(32)2×23＝9.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分． 17．(本小题满分12分)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 4＝2a 4－2，S 3＝2a 3－2. (Ⅰ)求{a n }的通项公式；(Ⅱ)记b n ＝log 2()a n －1·a n ，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n 项和为T n ，求使T n >177－2n 60成立的正整数n 的最小值．【解析】(Ⅰ)设{a n }的公比为q ，由S 4－S 3＝a 4得，2a 4－2a 3＝a 4，所以a 4a 3＝2，所以q ＝2.2分又因为S 3＝2a 3－2，所以a 1＋2a 1＋4a 1＝8a 1－2，所以a 1＝2. 所以a n ＝2n .5分(Ⅱ)由(Ⅰ)知b n ＝log 2(a n －1·a n )＝log 2(2n －1×2n )＝2n －1，所以b n a n ＝2n －12n ，6分T n ＝121＋322＋523＋…＋2n －12n ，则12T n ＝122＋323＋524＋……＋2n －32n ＋2n －12n ＋1，T n －12T n ＝12T n ＝12＋⎝⎛⎭⎫121＋122＋123＋…＋12n －1－2n －12n ＋1＝12＋⎝⎛⎭⎫1－12n －1－2n －12n ＋1＝32－2n ＋32n ＋1，所以T n ＝3－2n ＋32n ，10分由T n ＝3－2n ＋32n >177－2n 60，得2n ＋32n <3－177－2n 60＝2n ＋360，即2n >60，则n ≥6，所以n 的最小值是6.12分 18．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠DAB ＝60°，∠ADP ＝90°，平面ADP ⊥平面ABCD ，点F 为棱PD 的中点．(Ⅰ)在棱AB 上是否存在一点E ，使得AF ∥平面PCE ，并说明理由； (Ⅱ)当二面角D －FC －B 的余弦值为24时，求直线PB 与平面ABCD 所成的角． 【解析】(Ⅰ)在棱AB 上存在点E ，使得AF ∥平面PCE ，点E 为棱AB 的中点．理由如下：取PC 的中点Q ，连结EQ 、FQ ， 由题意，FQ ∥DC 且FQ ＝12CD ，AE ∥CD 且AE ＝12CD ，故AE ∥FQ 且AE ＝FQ.所以，四边形AEQF 为平行四边形.3分所以，AF ∥EQ ，又EQ 平面PEC ，AF 平面PEC ， 所以，AF ∥平面PEC.5分(Ⅱ)由题意知△ABD 为正三角形，所以ED ⊥AB ，亦即ED ⊥CD ，又∠ADP ＝90°，所以PD ⊥AD ，且平面ADP ⊥平面ABCD ，平面ADP ∩平面ABCD ＝AD ，所以PD ⊥平面ABCD ，故以D 为坐标原点建立如图空间直角坐标系，7分 设FD ＝a ，则由题意知D ()0，0，0，F ()0，0，a ，C ()0，2，0，B ()3，1，0， FC →＝()0，2，－a ，CB →＝()3，－1，0， 设平面FBC 的法向量为m ＝()x ，y ，z ，则由⎩⎪⎨⎪⎧m ·FC →＝0，m ·CB →＝0 得⎩⎨⎧2y －az ＝0，3x －y ＝0，令x ＝1，则y ＝3，z ＝23a ，所以取m ＝⎝⎛⎭⎫1，3，23a ，显然可取平面DFC 的法向量n ＝()1，0，0， 由题意：24＝||cos 〈m ，n 〉＝11＋3＋12a 2，所以a ＝ 3.10分 由于PD ⊥平面ABCD ，所以PB 在平面ABCD 内的射影为BD ， 所以∠PBD 为直线PB 与平面ABCD 所成的角，易知在Rt △PBD 中，tan ∠PBD ＝PDBD ＝a ＝3，从而∠PBD ＝60°，所以直线PB 与平面ABCD 所成的角为60°.12分 19．(本小题满分12分)为了引导居民合理用水，某市决定全面实施阶梯水价．阶梯水价原则上以住宅(一套住宅为一户)的月用水量为基准定价，具体划分标准如表：阶梯级别 第一阶梯水量第二阶梯水量第三阶梯水量月用水量范围(单位：立方米)[0，10)[10，15)[15，＋∞)从本市随机抽取了10户家庭，统计了同一月份的月用水量，得到如图茎叶图：(Ⅰ)现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯水量的户数X 的分布列与数学期望； (Ⅱ)用抽到的10户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取10户，若抽到k 户月用水量为一阶的可能性最大，求k 的值．【解析】(1)由茎叶图可知抽取的10户中用水量为一阶的有3户，二阶的有5户，三阶的有2户．第二阶段水量的户数X 的可能取值为0，1，2，3，P(X ＝0)＝C 05C 35C 310＝112，P(X ＝1)＝C 15C 25C 310＝512，P(X ＝2)＝C 25C 15C 310＝512，P(X ＝3)＝C 35C 05C 310＝112，4分所以X 的分布列为X 0 1 2 3 P112512512112X 的数学期望E(X)＝0×112＋1×512＋2×512＋3×112＝32.6分(2)设Y 为从全市抽取的10户中用水量为一阶的家庭户数，依题意得Y ～B ⎝⎛⎭⎫10，310， P(X ＝k)＝C k 10⎝⎛⎭⎫310k ⎝⎛⎭⎫71010－k(k ＝0，1，2，3，…，10)，9分由⎩⎨⎧C k 10⎝⎛⎭⎫310k⎝⎛⎭⎫71010－k≥C k ＋110⎝⎛⎭⎫310k ＋1⎝⎛⎭⎫7109－k，Ck 10⎝⎛⎭⎫310k ⎝⎛⎭⎫71010－k ≥C k －110⎝⎛⎭⎫310k －1⎝⎛⎭⎫71011－k ，解得2310≤k ≤3310，又k ∈N *，所以当k ＝3时概率最大．即从全市依次随机抽取10户，抽到3户月用水量为一阶的可能性最大.12分 20．(本小题满分12分)已知点F 是椭圆x 21＋a 2＋y 2＝1(a>0)的右焦点，点M(m ，0)，N(0，n)分别是x 轴，y 轴上的动点，且满足MN →·NF →＝0.若点P 满足OM →＝2ON →＋PO →(O 为坐标原点)．(Ⅰ)求点P 的轨迹C 的方程；(Ⅱ)设过点F 任作一直线与点P 的轨迹交于A ，B 两点，直线OA ，OB 与直线x ＝－a 分别交于点S ，T ，试判断以线段ST 为直径的圆是否经过点F ？请说明理由．【解析】(Ⅰ) ∵椭圆x 21＋a 2＋y 2＝1(a>0)右焦点F 的坐标为(a ，0)，1分 ∴NF →＝(a ，－n)．∵MN →＝(－m ，n)， ∴由MN →·NF →＝0，得n 2＋am ＝0. 3分设点P 的坐标为(x ，y)，由OM →＝2ON →＋PO →，有(m ，0)＝2(0，n)＋(－x ，－y)， ⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－x ，n ＝y2.代入n 2＋am ＝0，得y 2＝4ax.即点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4ax.5分(Ⅱ)解法一：设直线AB 的方程为x ＝ty ＋a ，A ⎝⎛⎭⎫y 214a ，y 1，B ⎝⎛⎭⎫y 224a ，y 2， 则l OA ：y ＝4a y 1x ，l OB ：y ＝4ay 2x. 6分由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4a y 1x ，x ＝－a ，得S ⎝⎛⎭⎫－a ，－4a 2y 1，同理得T ⎝⎛⎭⎫－a ，－4a 2y 2. 8分∴FS →＝⎝⎛⎭⎫－2a ，－4a 2y 1，FT →＝⎝⎛⎭⎫－2a ，－4a 2y 2，则FS →·FT →＝4a 2＋16a 4y 1y 2.9分由⎩⎨⎧x ＝ty ＋a ，y 2＝4ax ，得y 2－4aty －4a 2＝0，∴y 1y 2＝－4a 2.10分 则FS →·FT →＝4a 2＋16a 4（－4a 2）＝4a 2－4a 2＝0. 因此，以线段ST 为直径的圆经过点F.12分解法二：①当AB ⊥x 时，A(a ，2a)，B(a ，－2a)，则l OA ：y ＝2x ，l OB ：y ＝－2x.由⎩⎨⎧y ＝2x ，x ＝－a ，得点S 的坐标为S(－a ，－2a)，则FS →＝(－2a ，－2a)． 由⎩⎨⎧y ＝－2x ，x ＝－a ，得点T 的坐标为T(－a ，2a)，则FT →＝(－2a ，2a)． ∴FS →·FT →＝(－2a)×(－2a)＋(－2a)×2a ＝0. 7分②当AB 不垂直x 轴时，设直线AB 的方程为y ＝k(x －a)(k ≠0)，A ⎝⎛⎭⎫y 214a ，y 1，B ⎝⎛⎭⎫y 224a ，y 2， 同解法一，得FS →·FT →＝4a 2＋16a 4y 1y 2.8分由⎩⎨⎧y ＝k （x －a ），y 2＝4ax ，得ky 2－4ay －4ka 2＝0，∴y 1y 2＝－4a 2.9分 则FS →·FT →＝4a 2＋16a 4（－4a 2）＝4a 2－4a 2＝0. 11分 因此，以线段ST 为直径的圆经过点F. 12分 21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝a(x －1)，g(x)＝(ax －1)e x ，a ∈R .(Ⅰ)若直线y ＝f(x)与曲线y ＝g(x)相切于点P(x 0，y 0)，证明：0<x 0<1； (Ⅱ)若不等式f(x)>g(x)有且仅有两个整数解，求a 的取值范围． 【解析】(Ⅰ)g′(x)＝(ax ＋a －1)e x ，由导数的几何意义可知，(ax 0＋a －1)ex 0＝a ， ①1分 又直线y ＝f(x)的图象过定点(1，0)，因此（ax 0－1）ex 0x 0－1＝a ，即(ax 0－1)ex 0＝a(x 0－1)， ②2分 联立①②消去a 有ex 0＋x 0－2＝0.3分设φ(x)＝e x ＋x －2，则φ′(x)＝e x ＋1>0，所以φ(x)在R 上单调递增． 而φ(0)＝－1<0，φ(1)＝e －1>0，φ(0)φ(1)<0， 由函数零点存在性定理知 0<x 0<1.5分 (Ⅱ)由f(x)>g(x)得a ⎝⎛⎭⎫x －x －1e x <1，令h(x)＝x －x －1e x ，则h′(x)＝1＋x －2e x ＝e x ＋x －2e x ，6分由(Ⅰ)知φ(x)＝e x ＋x －2在R 上单调递增，且x ∈(－∞，x 0)时，φ(x 0)<0；在x ∈(x 0，＋∞)，φ(x 0)>0， 故h(x)在(－∞，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增． ∴h(x)min ＝h(x 0)＝x 0－x 0－1ex 0＝x 0ex 0－x 0＋1ex 0.易证e x≥x ＋1，∴h(x 0)＝x 0ex 0－x 0＋1ex 0>x 20＋1ex 0>0，8分当x ≤0时，h(x)≥h(0)＝1>0；当x ≥1时，h(x)≥h(1)＝1. (1)若a ≤0，则ah(x)≤0<1，此时ah(x)<1有无穷多个整数解，不合题意；9分(2)若a ≥1，即1a ≤1，因为h(x)在(]－∞，0上单调递减，在[)1，＋∞上单调递增，所以x ∈Z ，h(x)≥min {}h （0），h （1）＝1≥1a ，所以h(x)<1a无整数解，不合题意；10分(3)若0<a<1，即1a >1，此时h(0)＝h(1)＝1<1a ，故0，1是h(x)<1a 的两个整数解，又h(x)<1a只有两个整数解，因此⎩⎨⎧h （－1）≥1a ，h （2）≥1a ，解得a ≥e 22e 2－1，所以a ∈⎣⎡⎭⎫e 22e 2－1，1.12分(二)选考题：共10分．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋acos φ，y ＝asin φ(φ为参数，实数a ＞0)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝bcos φ，y ＝b ＋bsin φ(φ为参数，实数b ＞0)．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ＝α⎝⎛⎭⎫ρ≥0，0≤α≤π2与C 1交于O ，A 两点，与C 2交于O ，B 两点．当α＝0时，|OA|＝2；当α＝π2时，|OB|＝4. (Ⅰ)求a ，b 的值；(Ⅱ)求2|OA|2＋|OA|·|OB|的最大值．【解析】(Ⅰ)由曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋acos φ，y ＝asin φ(φ为参数，实数a ＞0)，化为普通方程为(x －a)2＋y 2＝a 2，展开为：x 2＋y 2－2ax ＝0，其极坐标方程为ρ2＝2aρcos θ，即ρ＝2acos θ，由题意可得当θ＝0时，|OA|＝ρ＝2，∴a ＝1.2分曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝bcos φ，y ＝b ＋bsin φ(φ为参数，实数b ＞0)，化为普通方程为x 2＋(y －b)2＝b 2，展开可得极坐标方程为ρ＝2bsin θ， 由题意可得当θ＝π2时，|OB|＝ρ＝4，∴b ＝2.5分(Ⅱ)由(Ⅰ)可得C 1，C 2的极坐标方程分别为ρ＝2cos θ，ρ＝4sin θ. ∴2|OA|2＋|OA|·|OB|＝8cos 2θ＋8sin θcos θ＝4sin 2θ＋4cos 2θ＋4 ＝42sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π4＋4，8分∵2θ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，5π4，∴42sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π4＋4的最大值为42＋4，当2θ＋π4＝π2，θ＝π8时取到最大值.10分23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f(x)＝2||x ＋a ＋⎪⎪⎪⎪x －1a ()a ≠0. (Ⅰ)当a ＝1时，解不等式f(x)＜4； (Ⅱ)求函数g(x)＝f(x)＋f(－x)的最小值．【解析】(Ⅰ)∵ a ＝1，∴原不等式为2|x ＋1|＋|x －1|＜4，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－1，－2x －2－x ＋1＜4或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，2x ＋2－x ＋1＜4或⎩⎪⎨⎪⎧x>1，2x ＋2＋x －1＜4，3分∴－53＜x ＜－1或－1≤x ＜1或，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－53＜x ＜1.5分 (Ⅱ)由题意得g(x)＝f(x)＋f(－x)＝2()|x ＋a|＋|x －a|＋⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋⎪⎪⎪⎪x －1a ≥2|2a|＋2|a|＝4||a ＋2|a|≥42，8分当且仅当2||a ＝1||a ，即a ＝±22，且－22≤x ≤22时，g(x)取最小值4 2.10分。
湖南省湖南师范大学附属中学2019届高三数学上学期月考试题(四)文(含解析)
湖南师大附中2019届高三月考试卷(四)数 学(文科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页。
时量120分钟。
满分150分。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝R ，集合M ＝{} |x 2x<1，集合N ＝{} |x log 2x >1，则下列结论中成立的是(C)A ．M ∩N ＝MB ．M ∪N ＝NC ．M ∩()∁U N ＝M D.()∁U M ∩N ＝【解析】由2x<1＝20，得x <0，由log 2x >1＝log 22，∴x >2，∴M ∩()∁U N ＝{}x |x <0∩{}x |x ≤2＝M ，故答案为C.2．已知三条不重合的直线m 、n 、l ，两个不重合的平面α、β，下列四个命题中正确的是(A)A ．若l ⊥α，m ⊥β，且l ∥m ，则α∥βB ．若m ∥n ，n α，则m ∥αC ．若m α，n α，m ∥β，n ∥β，则α∥βD ．若α⊥β，α∩β＝m ，n β，则n ⊥α【解析】∵m 与α的位置关系不确定，∴m ∥α不一定成立，B 不成立；由于m 与n 几何位置关系不确定，∴α∥β的条件不具备，C 不成立；D 也不成立，∴选A.3．已知P (1，3)在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1()a >0，b >0的渐近线上，则该双曲线的离心率为(A)A.10 B ．2 C. 5 D. 3【解析】根据点P (1，3)在双曲线的渐近线上，所以双曲线的一条渐近线方程为y ＝3x ，所以有b a＝3，即b ＝3a ，根据双曲线中a ，b ，c 的关系，可以得c ＝10a ，所以有e ＝10，故选A.4．已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，||φ<π2，x ∈R )在一个周期内的图象如图所示，则y ＝f (x )的解析式是(B)A ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6B ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3C ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6D ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3 【解析】由函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，||φ<π2，x ∈R )在一个周期内的图象可得：A ＝1，14T ＝14·2πω＝π12＋π6，解得ω＝2，再把点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，1代入函数的解析式可得：1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋φ，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝1.再由||φ<π2可得：φ＝π3，所以函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.故应选B.5．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为(参考数据：sin 15°＝0.258 8，sin 7.5°＝0.130 5)(C)A ．12B ．16C ．24D ．48【解析】由程序框图可列表如下：因为36－32≈3.106>3.10，所以输出n 的值为24，故选C. 6．已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，通项公式a n ＝log 2n ＋1n ＋2(n ∈N *)，则满足不等式S n <－6的n 的最小值是(D)A ．62B ．63C ．126D ．127【解析】因为S n ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫23×34×…×n ＋1n ＋2＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋2<－6，所以2n ＋2<2－6，n >126，故应选D.7．设A 、B 、C 为圆O 上三点，且AB ＝3，AC ＝5，则AO →·BC →＝(D) A ．－8 B ．－1 C ．1 D ．8【解析】取BC 的中点D ，连接AD ，OD ，因为O 为三角形ABC 外接圆的圆心，则AD →＝12(AB →＋AC →)，OD →·BC →＝0.所以AO →·BC →＝(AD →＋DO →)·BC →＝AD →·BC →＝12(AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝12(|AC →|2－|AB→|2)＝8，选D.8．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x )＝f (x ＋2)，数列{}a n 的前n 项和为S n ，且S n＝2a n ＋2，则f (a n )＝(A)A ．0B ．0或1C ．－1或0D ．1或－1【解析】∵f (x )＝f (x ＋2)，所以f (x )函数周期为2，∵数列{}a n 满足S n ＝2a n ＋2，∴a 1＝－2，S n －1＝2a n －1＋2，∴a n ＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －1，∴{a n }以－2为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＝－2n，∴f (a n )＝f (－2n)＝f ()0＝0，故选A.9．设定义域为R 的函数f (x )＝⎩⎨⎧||lg ||x －2，x ≠2，0，x ＝2，若b <0，则关于x 的方程[f (x )]2＋bf (x )＝0的不同实数根共有(C)A ．4个B ．5个C ．7个D ．8个【解析】由[f (x )]2＋bf (x )＝0，得f (x )＝0或f (x )＝－b .所以方程[f (x )]2＋bf (x )＝0的根的个数转化为函数y ＝f (x )与函数y ＝0，y ＝－b (b <0)的图象的交点个数．因为函数f (x )的图象大致如图所示，数形结合可知，f (x )＝0有3个实数根，f (x )＝－b (b <0)有4个实数根，所以[f (x )]2＋bf (x )＝0共有7个不同的实数根，故答案选C.10．一个圆锥被过顶点的平面截去了较少的一部分几何体，余下的几何体的三视图如下，则余下部分的几何体的体积为(D)A.8π3＋15B.16π3＋ 3 C.8π3＋233 D.16π9＋233【解析】由已知中的三视图，圆锥母线为l ＝（5）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＝22，圆锥的高h＝（5）2－12＝2，圆锥底面半径为r ＝l 2－h 2＝2，截去的底面弧的圆心角为120°，故底面剩余部分为S ＝23πr 2＋12r 2sin 120°＝83π＋3，故几何体的体积为：V ＝13Sh ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫83π＋3×2＝169π＋233，故选D. 11．本周星期日下午1点至6点学校图书馆照常开放，甲、乙两人计划前去自习，其中甲连续自习2小时，乙连续自习3小时．假设这两人各自随机到达图书馆，则下午5点钟时甲、乙两人都在图书馆自习的概率是(B)A.19B.16C.13D.12【解析】据题意，甲、乙应分别在下午4点、3点之前到达图书馆，设甲、乙到达图书馆的时间分别为x ，y ，则⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤4，1≤y ≤3，所对应的矩形区域的面积为6.若下午5钟点时甲、乙两人都在自习，则⎩⎪⎨⎪⎧3≤x ≤4，2≤y ≤3，所对应的正方形区域的面积为1，所以P ＝16，选B.12．设函数d (x )与函数y ＝log 2x 关于直线y ＝x 对称．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧d （x ）－a ，x <1，4（x 2－3ax ＋2a 2），x ≥1，若函数f (x )恰有2个不同的零点，则实数a 的取值范围是(A) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪[2，＋∞) B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，32【解析】因为函数d (x )与函数y ＝log 2x 关于直线y ＝x 对称，所以d (x )＝2x；设g (x )＝4(x －a )(x －2a )，x ≥1，h (x )＝2x－a ，x <1，因为f (x )恰有2个不同的零点，又因为h (x )至多有一个零点，故：①若g (x )有两个零点，h (x )没有零点，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，h （1）＝2－a ≤0，得a ≥2②若g (x )和h (x )各有1个零点，则⎩⎪⎨⎪⎧a <1，2a ≥1且⎩⎪⎨⎪⎧－a <0，h （1）＝2－a >0，得12≤a <1. 综上，a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪[2，＋∞)．故答案选A.选择题答题卡本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．13．已知圆C 1：(x －a )2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x ＋5＝0外切，则a 的值为__0或6__． 【解析】圆C 1：(x －a )2＋y 2＝1的圆心为()a ，0，半径为1，圆C 2：x 2＋y 2－6x ＋5＝0的圆心为()3，0，半径为2，两圆外切，所以||a －3＝3，∴a ＝0，6，故a 的值为0或6.14．如果复数z 满足关系式z ＋||z －＝2＋i ，那么z 等于__34＋i__．【解析】设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ，||z －＝a 2＋b 2，所以a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋i ，所以得：⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝1，解得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝34，b ＝1所以z ＝34＋i.15．已知2a＝5b＝10，则a ＋bab＝__1__．【解析】由已知，a ＝log 210＝1lg 2，b ＝log 510＝1lg 5.所以a ＋b ab ＝1a ＋1b ＝lg 2＋lg 5＝lg10＝1.16．已知定义在R 上的函数f (x )满足：对任意实数a 、b 都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )－1，且当x ＞0时f (x )＞1.若f (4)＝5，则不等式f (3x 2－x －2)<3的解集为__⎝⎛⎭⎪⎫－1，43__．【解析】设x 1＞x 2，则x 1－x 2＞0，f (x 1－x 2)＞1.所以f (x 1)－f (x 2)＝f [(x 1－x 2)＋x 2]－f (x 2)＝f (x 1－x 2)－1>0，即f (x 1)＞f (x 2)，所以f (x )是增函数．因为f (4)＝5，即f (2)＋f (2)－1＝5，所以f (2)＝3.所以原不等式化为f (3x 2－x －2)<f (2)3x 2－x －2<23x 2－x －4<0－1<x <43.故不等式的解集是⎝⎛⎭⎪⎫－1，43.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本题满分12分)已知函数f (x )＝a sin x ＋b cos x ，a ≠0，x ∈R ，f (x )的最大值是2，且在x ＝π6处的切线与直线x －y ＝0平行．(1)求a 、b 的值；(2)先将f (x )的图象上每点的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，再将其向右平移π6个单位得到函数g (x )的图象，已知g ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1013，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2，求cos 2α的值．【解析】(1)f ′(x )＝a cos x －b sin x ，1分由已知有：⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝2a cos π6－b sin π6＝1，解之得：⎩⎨⎧a ＝3，b ＝1.4分 (2)由(1)有f (x )＝3sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，6分 因为将f (x )的图象上每点的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，再将其向右平移π6个单位得到函数g (x )的图象，则g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，8分 由g ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1013，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝513，且2α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，π，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－1213，10分cos 2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3cos π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3sin π3＝－1213·12＋513·32＝53－1226.12分18．(本题满分12分)如图，已知三棱柱ABC －A ′B ′C ′的侧棱垂直于底面，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，点M ，N 分别是A ′B 和B ′C ′的中点。