(新课标)高考数学一轮复习第六章数列6.3等比数列习题理

§6.3 等比数列1．等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的 等于同一 ，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母q 表示(q ≠0)．2．等比中项如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的 ，且G 2＝ 或G ＝ .3．等比数列的通项公式(1)若{a n }是等比数列，则通项a n ＝ 或a n ＝ .当n －m 为大于1的奇数时，q 用a n ，a m 表示为q ＝ ；当n －m 为正偶数时，q ＝ ．(2)a n ＝a 1qn －1可变形为a n ＝Aq n，其中A ＝ ；点(n ，a n )是曲线 上一群孤立的点．4．等比数列的前n 项和公式等比数列{a n }中，S n ＝⎩⎨⎧ ，q ＝1，＝ ，q≠1. 求和公式的推导方法是： ，为解题的方便，有时可将求和公式变形为S n ＝Bq n－B (q ≠1)，其中B ＝ 且q ≠0，q ≠1.5．等比数列的判定方法(1)定义法：a n ＋1＝a n q 且a 1≠0(q 是不为0的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列． (2)通项公式法：a n ＝cq n (c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列． (3)等比中项法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ·a n ＋1·a n ＋2≠0，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列． (4)前n 项和公式法：S n ＝a1q －1q n －a1q －1＝Bq n－B ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＝a1q －1是常数，且q≠0，q≠1⇒{a n }是等比数列．6．等比数列的性质(1)在等比数列中，若p ＋q ＝m ＋n ，则a p ·a q ＝a m ·a n ； 若2m ＝p ＋q ，则a 2m ＝a p ·a q (p ，q ，m ，n ∈N *)．(2)若{a n }，{b n }均为等比数列，且公比分别为q 1，q 2，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1an ，{p ·a n }(p ≠0)，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫an bn 仍为等比数列且公比分别为 ， ， ， .(3)在等比数列中，按序等距离取出若干项，也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋m ，a n ＋2m，…仍为等比数列，公比为 ．(4)公比不为－1的等比数列前n 项和为S n (S n ≠0)，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…构成等比数列，且公比为 ．(5)对于一个确定的等比数列，在通项公式a n ＝a 1qn －1中，a n 是n 的函数，这个函数由正比例函数a n ＝a1q·u 和指数函数u ＝q n (n ∈N *)复合而成．①当a 1＞0， 或a 1＜0， 时，等比数列{a n }是递增数列； ②当a 1＞0， 或a 1＜0， 时，等比数列{a n }是递减数列； ③当 时，它是一个常数列； ④当 时，它是一个摆动数列．自查自纠1．比 常数 公比 2．等比中项 ab ±ab3．(1)a 1q n －1a m q n －mn －m an am ±n －m anam(2)a1q y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a1q q x4．na 1 a1（1－qn ）1－q a1－anq 1－q 乘公比，错位相减 a1q －16．(2)1q1 q 1 q 1q 2 q1q2(3)q m (4)q n(5)①q ＞1 0＜q ＜1 ②0＜q ＜1q ＞1 ③q ＝1 ④q ＜0(2014·重庆)对任意等比数列{a n}，下列说法一定正确的是( )A．a1，a3，a9成等比数列B．a2，a3，a6成等比数列C．a2，a4，a8成等比数列D．a3，a6，a9成等比数列解：由等比数列的性质，得a9a6＝a6a3＝q3≠0，因此，a3，a6，a9一定成等比数列．故选D.(2015·全国新课标Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( )A ．21B ．42C ．63D ．84解：设等比数列{a n }的公比为q ，则a 1＋a 3＋a 5＝a 1＋a 1q 2＋a 1q 4＝3(1＋q 2＋q 4)＝21，得q 4＋q 2－6＝0，解得q 2＝2，∴a 3＋a 5＋a 7＝(a 1＋a 3＋a 5)q 2＝21q 2＝42.故选B .(2015·东北联考)已知数列{a n }满足2a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝1，则数列{a n }的前10项和S 10为( )A.43(210－1)B.43(210＋1)C.43(2－10－1)D.43(2－10＋1) 解：∵2a n ＋1＋a n ＝0，∴an ＋1an ＝－12.又a 2＝1，∴a 1＝－2，∴数列{a n }是－2为首项，－12为公比的等比数列，∴S 10＝a1（1－q10）1－q ＝－2（1－2－10）1＋12＝43(2－10－1)．故选C .(2015·湖南)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝1，且3S 1，2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________．解：由3S 1，2S 2，S 3成等差数列，得4S 2＝3S 1＋S 3，即3S 2－3S 1＝S 3－S 2，也即3a 2＝a 3，得公比q ＝3，∴a n ＝a 1q n －1＝3n －1.故填3n －1.(2013·北京)若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________；前n 项和S n ＝________.解：由题意⎩⎪⎨⎪⎧a1q ＋a1q3＝20，a1q2＋a1q4＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a1＝2.故S n ＝2（1－2n ）1－2＝2n ＋1－2.故填2；2n ＋1－2.类型一 等比数列的判定与证明设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2.(1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：由a 1＝1及S n ＋1＝4a n ＋2， 有a 1＋a 2＝S 2＝4a 1＋2. ∴a 2＝5，∴b 1＝a 2－2a 1＝3.又⎩⎪⎨⎪⎧Sn ＋1＝4an ＋2， ①Sn ＝4an －1＋2（n≥2）， ② ①－②，得a n ＋1＝4a n －4a n －1， ∴a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)．∵b n ＝a n ＋1－2a n ，∴b n ＝2b n －1(n ≥2)， 故{b n }是以3为首项，2为公比的等比数列．(2)由(1)知b n ＝a n ＋1－2a n ＝3·2n －1，∴an ＋12n ＋1－an 2n ＝34， 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫an 2n 是以12为首项，34为公差的等差数列．∴an 2n ＝12＋(n －1)·34＝3n －14， 得a n ＝(3n －1)·2n －2.【点拨】(1)证明数列{b n }是等比数列，常用方法：①定义法；②等比中项法．(2)证明数列不是等比数列，可举一个反例或用反证法．(2013·陕西) 设{}an 是公比为q 的等比数列.(1)推导{}an 的前n 项和公式；(2)设q ≠1, 证明数列{a n ＋1}不是等比数列． 解：(1) 设{}an 的前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1； 当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋…＋a 1qn －1,①qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，②①－②得，()1－q S n ＝a 1－a 1q n.∴S n ＝a1()1－qn 1－q，∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na1， q ＝1，a1()1－qn 1－q， q≠1.(2) 证明(反证法)：假设数列{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N ＋，()ak ＋1＋12＝()ak ＋1()ak ＋2＋1，a 2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，a 21q 2k ＋2a 1q k ＋1＝a 1q k －1a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1＋1，∵a 1≠0，∴2q k ＝qk －1＋qk ＋1.∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0. ∴q ＝1，与已知矛盾． ∴数列{a n ＋1}不是等比数列．类型二 等比数列基本量的计算(1)在等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，则公比q 的值为________．解：根据已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧a1q2＝7，a1＋a1q ＋a1q2＝21，∴1＋q ＋q2q2＝3，整理得2q 2－q －1＝0， 解得q ＝1或q ＝－12.故填1或－12.(2)(2015·唐山一模)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则Sn an＝________.解：设{a n }的公比为q ，∵⎩⎪⎨⎪⎧a1＋a3＝52， ①a2＋a4＝（a1＋a3）q ＝54， ②②÷①得q ＝12，∴a 1＝2，∴a n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝42n ，∴S n ＝2×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ，∴Sn an ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 42n＝2n －1.故填2n－1.(3)设数列{a n }的前n 项和S n 满足6S n ＋1＝9a n (n ∈N *)． (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)若数列{b n }满足b n ＝1an，求数列{b n }前n 项和T n . 解：(Ⅰ)当n ＝1时，由6a 1＋1＝9a 1，得a 1＝13. 当n ≥2时，由6S n ＋1＝9a n ，得6S n －1＋1＝9a n －1， 两式相减得6(S n －S n －1)＝9(a n －a n －1)， 即6a n ＝9(a n －a n －1)，∴a n ＝3a n －1.∴数列{a n }是以13为首项，3为公比的等比数列，其通项公式为a n ＝13×3n －1＝3n －2.(Ⅱ)∵b n ＝1an ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －2，b 1＝1a1＝3，∴{b n }是以3为首项，13为公比的等比数列，∴T n ＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 1－13＝92⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n .【点拨】在等比数列五个基本量a 1，q ，n ，a n ，S n 中，已知其中三个量，可以将已知条件结合等比数列的性质或通项公式、前n 项和公式转化为关于基本量的方程(组)来求得余下的两个量，计算有时要整体代换，根据前n 项和公式列方程还要注意对q 是否为1进行讨论．(1)设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( )A.152B.314C.334D.172(2)在等比数列{a n }中，若a 4－a 2＝6，a 5－a 1＝15，则a 3＝________.解：(1)设等比数列{a n }的公比为q (q ＞0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a2a4＝a23＝1，a 1＋a 2＋a 3＝7， 故a 3＝1， 1q2＋1q ＋1＝7，解得q ＝12，q ＝－13(舍去)． ∴a 1＝4，q ＝12.∴S 5＝a1（1－q5）1－q ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1251－12＝314.故选B .(2)设等比数列{a n }的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a1q3－a1q ＝6，a1q4－a1＝15，两式相除，得q 1＋q2＝25，即2q 2－5q ＋2＝0，解得q ＝2或q ＝12.∴⎩⎪⎨⎪⎧a1＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a1＝－16，q ＝12. 故a 3＝4或a 3＝－4.故填4或－4.类型三 等比数列的性质(1)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6∶S 3＝1∶2，则S 9∶S 3＝________.(2)在等比数列{a n }中，若a 1a 2a 3a 4＝1，a 13a 14a 15a 16＝8，则a 41a 42a 43a 44＝________. (3)设数列{a n }，{b n }都是正项等比数列，S n ，T n 分别为数列{lg a n }与{lg b n }的前n 项和，且Sn Tn ＝n2n ＋1，则log b 5a 5＝________.解：(1)由等比数列的性质：S 3，S 6－S 3，S 9－S 6仍成等比数列，于是(S 6－S 3)2＝S 3·(S 9－S 6)，不妨令S 3＝2，则S 6＝1，代入解得S 9＝32，S 9∶S 3＝3∶4.故填3∶4.(2)解法一：设等比数列{a n }的公比为q ，a 1a 2a 3a 4＝a 1·a 1q ·a 1q 2·a 1q 3＝a 41·q 6＝1，① a 13a 14a 15a 16＝a 1q 12·a 1q 13·a 1q 14·a 1q 15＝a 41·q 54＝8，②②÷①：a41·q 54a 41·q6＝q 48＝8，q 16＝2，∴a 41a 42a 43a 44＝a 1q 40·a 1q 41·a 1q 42·a 1q 43＝a 41·q 166＝a 41·q 6·q 160＝(a 41·q 6)·(q 16)10＝210＝1 024.解法二：由性质可知，依次4项的积为等比数列，设公比为p ， 设T 1＝a 1·a 2·a 3·a 4＝1，T 4＝a 13·a 14·a 15·a 16＝8，∴T 4＝T 1·p 3＝1·p 3＝8，p ＝2.∴T 11＝a 41·a 42·a 43·a 44＝T 1·p 10＝210＝1 024. 故填1 024. (3)由题意知S9T9＝lg （a1·a2·…·a9）lg （b1·b2·…·b9）＝lga95lg b 95＝lga5lgb5＝log b 5a 5＝919.故填919.【点拨】(1)等比数列有很多子数列仍是等比数列，本题是性质“在等比数列中，若S n≠0，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列”的应用，特别注意其前提条件是S n ≠0.(2)等比数列中，依次m 项积仍为等比数列，但公比发生改变．(3)利用性质“当m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)时，有a m ·a n ＝a p ·a q ”转化条件．在数1和100之间插入n 个实数，使得这n ＋2个数构成递增的等比数列，将这n ＋2个数的乘积记作T n ，再令a n ＝lg T n ，n ≥1，求数列{a n }的通项公式．解法一：设t 1，t 2，…，t n ＋2构成等比数列，其中t 1＝1，t n ＋2＝100，则T n ＝t 1·t 2·…·t n ＋1·t n ＋2，① T n ＝t n ＋2·t n ＋1·…·t 2·t 1，②①×②并利用t i t n ＋3－i ＝t 1t n ＋2＝102(1≤i ≤n ＋2)，得T 2n ＝(t 1t n ＋2)·(t 2t n ＋1)·…·(t n ＋1t 2)·(t n ＋2t 1)＝102(n ＋2)，∴a n ＝lg T n ＝n ＋2(n ≥1)．解法二：依题意，可设这n ＋2个数依次为1，a ，a 2，…，a n ，100；∴T n ＝100a1＋2＋…＋n，a n ＝lg T n ＝n （n ＋1）2lg a ＋2，又∵a n ＋1＝100，∴a n ＝n ＋2(n ≥1)．1．注意等比数列每一项均不为0，q 也不为0.2．等比数列中，已知五个元素a 1，a n ，n ，q ，S n 中的任意三个，便可求出其余两个．可类比上节等差数列“名师点睛”栏1进行探究．3．准确理解等比数列的定义及各公式的等价形式，灵活运用等比数列的性质． 4．在含字母参数的等比数列求和时，应分q ＝1与q ≠1两种情况进行讨论． 5．学习等比数列，要善于将其与等差数列进行类比，如等差数列中与“和”有关的性质可类比等比数列中与“积”有关的性质，还可对二者的思维形式、方法与技巧进行类比．6．等比数列通项公式的求法有： (1)观察法．(2)公式法：①a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S1（n ＝1），Sn －Sn －1（n≥2）； ②等比数列{a n }的通项公式．(3)构造法：①a n ＋1＝pa n ＋q; ②a n ＋1＝pa n ＋q n； ③a n ＋1＝pa n ＋f (n ); ④a n ＋2＝pa n ＋1＋qa n .1．已知等比数列{a n }的公比q ＝2，且2a 4，a 6，48成等差数列，则{a n }的前8项和为( )A ．127B ．255C ．511D ．1 023解：∵2a 4，a 6，48成等差数列，∴2a 6＝2a 4＋48，∴2a 1q 5＝2a 1q 3＋48，又∵q ＝2，∴a 1＝1，∴S 8＝1×（1－28）1－2＝255.故选B .2．一个等比数列的前三项的积为3，最后三项的积为9，且所有项的积为729，则该数列的项数是( )A ．13B ．12C ．11D ．10解：设该等比数列为{a n }，其前n 项的积为T n ， 则由已知得a 1·a 2·a 3＝3，a n －2·a n －1·a n ＝9， (a 1·a n )3＝3×9＝33，∴a 1·a n ＝3，又T n ＝a 1·a 2·…·a n －1·a n ，T n ＝a n ·a n －1·…·a 2·a 1，∴T 2n ＝(a 1·a n )n ，即7292＝312＝3n，∴n ＝12.故选B .3．设各项都是正数的等比数列{a n }，S n 为前n 项和，且S 10＝10，S 30＝70，那么S 40等于( )A ．150B ．120C ．150或－200D ．400解：依题意，数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30成等比数列，因此有(S 20－S 10)2＝S 10(S 30－S 20)，即(S 20－10)2＝10(70－S 20)，故S 20＝－20或S 20＝30；又S 20>0，因此S 20＝30，S 20－S 10＝20，S 30－S 20＝40，故S 40－S 30＝80.S 40＝150.故选A .4．若正项数列{a n }满足lg a n ＋1＝1＋lg a n ，且a 2 001＋a 2 002＋a 2 003＋…＋a 2 010＝2 017，则a 2 011＋a 2 012＋a 2 013＋…＋a 2 020的值为( )A ．2.017×1013B ．2.017×1014C ．2.018×1013D ．2.018×1014解：由条件知lg a n ＋1－lg a n ＝lgan ＋1an ＝1，即an ＋1an＝10，所以{a n }是公比为10的等比数列．∵(a 2 001＋a 2 002＋…＋a 2 010)·q 10＝a 2 011＋a 2 012＋…＋a 2 020，∴a 2 011＋a 2 012＋…＋a 2 020＝2.017×1013.故选A .5．若数列{a n }是正项递减等比数列，T n 表示其前n 项的积，且T 8＝T 12，则当T n 取最大值时，n 的值等于( )A ．9B ．10C ．11D ．12解：∵T 8＝T 12，∴a 9a 10a 11a 12＝1，又a 9a 12＝a 10a 11＝1，且数列{a n }是正项递减数列，∴a 9>a 10>1>a 11>a 12，因此T 10取最大值．故选B .6．将正偶数集合{2，4，6，…}从小到大按第n 组有2n个偶数进行分组如下： 第一组 第二组 第三组 …{2，4} {6，8，10，12} {14，16，18，20，22，24，26，28} … 则2 016位于( ) A ．第7组 B ．第8组 C ．第9组D ．第10组解：前n 组共有2＋4＋8＋ (2)＝2×（1－2n ）1－2＝2n ＋1－2个数．由a n ＝2n ＝2 016知，n ＝1 008，∴2 016为第1 008个偶数，∵29＝512，210＝1 024，故前8组共有510个数，前9组共有1 022个数，即2 016在第9组．故选C .7．在等比数列{a n }中，a 1＝12，a 4＝－4，则公比q ＝________；|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝________.解：∵q 3＝a4a1＝－8，∴q ＝－2.|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝12（1－2n ）1－2＝2n －1－12.故填－2；2n －1－12.8．(2015·兰州联考)已知数列{a n }的首项为1，数列{b n }为等比数列且b n ＝an ＋1an ，若b 10·b 11＝2，则a 21＝________.解：∵b 1＝a2a1＝a 2，b 2＝a3a2，∴a 3＝b 2a 2＝b 1b 2，∵b 3＝a4a3，∴a 4＝b 1b 2b 3，…，a n ＝b 1b 2b 3·…·b n －1，∴a 21＝b 1b 2b 3·…·b 20＝(b 10b 11)10＝210＝1 024.故填1 024.9．等比数列{c n }满足c n ＋1＋c n ＝10·4n －1(n ∈N *)，数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝log 2c n ，求a n ，S n .解：设数列{c n }的公比为q ，由题意知， c 1＋c 2＝10，c 2＋c 3＝40， 即⎩⎪⎨⎪⎧c1＋c1q ＝10，c1q ＋c1q2＝40， 解得⎩⎪⎨⎪⎧c1＝2，q ＝4.∴c n ＝2·4n －1＝22n －1，∴a n ＝log 222n －1＝2n －1，S n ＝n （a1＋an ）2＝n[1＋（2n －1）]2＝n 2.10．已知数列{a n }中，a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，且对任意n ∈N *，有a n ＋1＝kS n＋1(k 为常数)．(1)当k ＝2时，求a 2，a 3的值；(2)试判断数列{a n }是否为等比数列？请说明理由．解：(1)当k ＝2时，a n ＋1＝2S n ＋1，令n ＝1得a 2＝2S 1＋1，又a 1＝S 1＝1，得a 2＝3； 令n ＝2得a 3＝2S 2＋1＝2(a 1＋a 2)＋1＝9， ∴a 3＝9. ∴a 2＝3，a 3＝9.(2)由a n ＋1＝kS n ＋1，得a n ＝kS n －1＋1(n ≥2)， 两式相减，得a n ＋1－a n ＝ka n (n ≥2)， 即a n ＋1＝(k ＋1)a n (n ≥2)，且a2a1＝k ＋11＝k ＋1，故a n ＋1＝(k ＋1)a n .故当k ＝－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， n ＝1，0， n≥2.此时，{a n }不是等比数列；当k ≠－1时，an ＋1an＝k ＋1≠0，此时，{a n }是以1为首项，k ＋1为公比的等比数列．综上，当k ＝－1时，{a n }不是等比数列； 当k ≠－1时，{a n }是等比数列．11．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2，5，13后成为等比数列{b n }中的b 3，b 4，b 5.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫Sn ＋54是等比数列．解：(1)设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d . 依题意，得a －d ＋a ＋a ＋d ＝15，解得a ＝5. 所以{b n }中的b 3，b 4，b 5依次为7－d ，10，18＋d .依题意，有(7－d )(18＋d )＝100，解得d ＝2或d ＝－13(舍去)． 故{b n }的第3项为5，由于第4项为10，所以公比为2. 其通项公式为b n ＝b 3·qn －3＝5·2n －3.(2)证明：b 1＝54，数列{b n }的前n 项和S n ＝54（1－2n ）1－2＝5·2n －2－54，即S n ＋54＝5·2n －2.所以S 1＋54＝52，Sn ＋1＋54Sn ＋54＝5·2n－15·2n－2＝2.因此⎩⎨⎧⎭⎬⎫Sn ＋54是以52为首项，2为公比的等比数列．(2013·湖北)已知等比数列{a n }满足：|a 2－a 3|＝10，a 1a 2a 3＝125.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)是否存在正整数m ，使得1a1＋1a2＋…＋1am≥1？若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由．解：(1)由等比数列性质，a 1a 2a 3＝a 32＝125，故a 2＝5. 设数列{a n }的公比为q ，则由|a 2－a 3|＝10有|5－5q |＝10. ∴q －1＝±2，得q ＝－1或q ＝3. ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝5×3n －2或a n ＝5×(－1)n －2.(2)若a n ＝5×3n －2，则1an ＝15×13n －2＝35·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1an 是首项为35，公比为13的等比数列．从而1a1＋1a2＋…＋1am ＝35⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13m 1－13＝910[1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13m ]＜910＜1. 若a n ＝5×(－1)n，则1an ＝15×(－1)n ＝－15×(－1)n －1， 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1an 是首项为－15，公比为－1的等比数列．当m 为偶数，即m ＝2k (k ∈N *)时，1a1＋1a2＋…＋1am＝0＜1. 当m 为奇数，即m ＝2k －1(k ∈N *)时，1a1＋1a2＋…＋1am ＝－15＜1.综上可知，对任何正整数m，总有1a1＋1a2＋…＋1am＜1.故不存在正整数m，使得1a1＋1a2＋…＋1am≥1成立．。